DE3713692A1 - Verfahren zur ermittlung von hypothesen oder fehlern unter beruecksichtigung unsicherer merkmale und unter verwendung bedingter merkmalswahrscheinlichkeiten - Google Patents

Description

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen oder Fehlern, die durch charakteristische Mengen von Merkmalen (z. B. Meßgeräteanzeigen bei technischen Geräten o. dgl.) bestimmt sind.

In vielen Wissensbereichen tritt das Problem auf, daß man aus einer Anzahl von Merkmalen auf diejenigen "wissensbereichspezifische Gegebenheiten" schließen möchte, zu denen diese Merkmale am wahrscheinlichsten gehören. Solche "wissensbereichspezifischen Gegebenheiten", über deren Zutreffen anhand der festgestellten Merkmale entschieden werden soll, sind zum Beispiel Gerätefehler in der Technik. Sie werden im weiteren kurz "Hypothesen" genannt. Merkmale sind dann einfach Meßwerte, Beobachtungen oder sonstige Daten, die zu solchen Hypothesen gehören.

Allgemeiner formuliert: Gegeben ist eine Menge von Hypothesen, von denen jede eindeutig durch eine Menge von Merkmalen charakterisiert ist. Gesucht sind diejenigen Hypothesen, die einer vorgegebenen Menge negierter, unnegierter oder unsicherer Merkmale zugeordnet werden können, wobei die Wahrscheinlichkeit der Zugehörigkeit nebst einem mittleren Fehlerintervall für diesen Wahrscheinlichkeitswert anzugeben ist.

Die vorgegebenen Merkmale, für die zugehörige Hypothesen gefunden werden sollen, sind im allgemeinen

*nicht mit Sicherheit vorhanden, *nicht voneinander stochastisch unabhängig, *nicht vollzählig in dem Sinn, daß die Merkmalsmuster der tatsächlich zutreffenden Hypothesen nicht vollzählig vorhanden sind.

Für die zu der vorgegebenen Merkmalsmenge gehörenden Hypothesen gilt, daß

*sie sich nicht gegenseitig ausschließen.

Wissenbereiche, in denen die Probleme auftreten, sind unter anderem Technik, Medizin, Biologie, Geologie, Computerwissenschaft und Sportwissenschaft. Folgende Aufgaben sind in diesen Bereichen zu bewältigen:

• - Ermittlung von Fehlern bei elektrischen und elektronischen Geräten, Motoren, Triebwerken, industriellen Anlagen,
• - Ermittlung pathophysiologischer Zustände bei Menschen, Tieren und Pflanzen,
• - Erkennung gesprochener Wörter durch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens unter Verwendung von Wort-Merkmal-Zuordnungen,
• - hypothetische Bestimmung von geologischen Formationen anhand von Meßwerten und Beobachtungen,
• - Eignungs- und Leistungsprognose bei beruflichen und sportlichen Betätigungen,
  usw.

Viele der bisherigen Systeme setzen weitgehende stochastische Unabhängigkeiten der Merkmale und der Merkmalsprodukte voraus. Solche Voraussetzungen sind im allgemeinen nicht erfüllt und führen zu hohem Überwachungsaufwand und/oder falschen Ergebnissen.

Vermeidet man solche Voraussetzungen, so ergibt sich die Schwierigkeit, daß die Anzahl der Merkmalswahrscheinlichkeiten unter der Bedingung des Auftretens anderer Merkmale so groß wird, daß das System nicht mehr gehandhabt werden kann. Muß man dennoch bedingte Merkmalswahrscheinlichkeiten verwenden, so ergibt sich die Zwangslage, nach Möglichkeit keine stochastischen Unabhängigkeiten im voraus zu fordern und dennoch die Anzahl der zu speichernden Werte klein zu halten; dieses Problem ist bisher nicht zufriedenstellend gelöst worden.

Einige weitere Systeme versuchen, mittels empirischer Zuweisungsfunktionen eine Zuordnung der zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge zu den Hypothesen zu erreichen. Hierbei werden Beziehungen eingesetzt, die mit den Erkenntnissen der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht in Übereinstimmung zu bringen sind. In den besonders wichtigen Grenzfällen der jeweils anstehenden Problematik versagen solche Systeme.

Ein großer Mangel der meisten der existierenden Systeme besteht vor allem auch darin, daß nur solche Merkmale berücksichtigt werden können, die mit Sicherheit vorhanden sind.

Mathematisch läßt sich das Problem folgendermaßen formulieren:
1. {E _i | i = 1, . . ., l}, l ∈/N, ist die Menge der zugelassenen Merkmale (engl.: Evidence).

2. {H _j | j = 1, . . ., m}, m ∈/N, ist die Menge der zugelassenen Hypothesen. Es wird also im weiteren wegen der weitverbreiteten Begriffsbildung stets von den Hypothesen H _j die Rede sein, deren Wahrscheinlichkeit aufgrund aufgetretener Merkmale ermittelt werden soll.

3. Zu jeder Hypothese H _j , 1 j m gehört eine Merkmalsmenge Tj, für die gilt:

• - T _j ⊂ {E _i | i = 1, . . ., l},
• - T _j enthält alle zu H _j gehörenden Merkmale,
• - H _j enthält keine nicht zu H _j gehörenden Merkmale,
• - (H _a ≠ H _b ) ⇔ (T _a ≠ T _b ) für alle 1 a, b m,
• - T _j enthält nur nicht-negierte Merkmale.

5. Die Elemente der Menge {H _j | j = 1, . . ., m} schließen sich nicht gegenseitig aus. Insbesondere gilt nicht

Die Elemente der Menge {E _i | i = 1, . . ., l} sind im allgemeinen nicht stochastisch unabhängig. Für beliebige E _r , E _s mit 1 r, s l gilt also im allgemeinen nicht:

p(E _r | E _s = p(E _r ).

Ebenso sind Merkmalsprodukte im allgemeinen nicht stochastisch unabhängig.

7. Die zu verarbeitende Merkmalsmenge S ⊂ {E _i | i = 1, . . ., l}, die für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen eingesetzt wird, enthält im allgemeinen keine vollständige, einem H _a zugeordnete Merkmalsmenge, 1 a m.

Mit den Festlegungen 1. bis 7. läßt sich die Problemstellung wie folgt formulieren:
Gegeben sei eine beliebige Menge S ⊂ {E _i | i = 1, . . ., l}, wobei voneinander verschiedene Elemente von S negiert, nicht-negiert oder unsicher auftreten können. Gesucht ist eine geordnete Liste der p(H _j | π _j ), j=1, . . ., m, wobei π _j das Produkt all der Elemente von S ist, die auch in T _j vorkommen.

Hinweis:
Die Symbole E _i , H _j mit tiefgestellten Indizes kennzeichnen Variable.

Die Symbole E 3, E 7, H 1, usw. mit hochgestellten Indizes kennzeichnen konkret definierte Merkmale bzw. Hypothesen, wie sie in den Beispielen oder sonstigen Wertzuweisungen vorkommen.

Erfindungsgemäß wird die vorliegende Aufgabe dadurch gelöst, daß jeder Hypothese H _j ein spezifisches Merkmalsprodukt SPEMERK(H _j ) zugeordnet wird, das im allgemeinen für jedes H _j eine unterschiedliche Anzahl von Merkmalen besitzt. Diese Merkmale sollen für die Gültigkeit von H _j einen besonders hohen Beitrag liefern, die Werte

sollen also möglichst hoch sein. Die Anordnung der Elemente innerhalb von SPEMERK(H _j ) wird so vereinbart, daß die Werte

von rechts nach links zunehmen.

Zuerst wird für alle H _j mit den bereits zur Auswertung vorliegenden Merkmalen eine Berechnung durchgeführt, dann werden für die erfolgversprechenden H _j alle in SPEMERK(H _j ) aufgeführten, noch nicht vorliegenden Merkmale erhoben und für eine Berechnung 2 verwendet, wobei für beide Berechnungen der sogenannte L-Satz

verwendet wird, der die durch eine Strichkennung markierten unsicheren und weitere negierte oder unnegierte Merkmale verarbeitet, und dessen Produktionswahrscheinlichkeiten, die nach dem Ausschreiben der rechten Seite entstehen, jeweils durch ein Produkt bedingter Merkmalswahrscheinlichkeiten ersetzt werden, wobei für beliebiges h 1 die Formeln

p(E _h . . . E₁)= p(E _h | E _h-₁ . . . E₁) · p(E _h-1 | E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | E₁) · p(E₁)

und

p(H _j E _h . . . E₁)= p(E _h | H _j E _h-₁ . . . E₁) · p(E _h-₁ | H _j E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | H _j E₁) · p(E₁ | H _j ) p(H _j )

zu verwenden sind.

Eine Kennzeichnung der Verfahren besteht darin, daß in einer Datei 1 die SPEMERK(H _j ) und in einer Datei 2 die Zahlenwerte mit ihren relativen Fehlern derjenigen Wahrscheinlichkeiten gespeichert sind, die zur Berechnung der p(H _j | π _j ) in Berechnung 2 erforderlich sind, wobei π _j das Produkt aller Merkmale aus der zur Verarbeitung vorliegenden Merkmalsmenge ist, die auch in SPEMERK(H _j ) vorkommen, und deren Reihenfolge in SPEMERK(H _j ) übernommen wird.

Während Berechnung 2 somit ermöglicht ist, fehlen für Berechnung 1 die benötigten Wahrscheinlichkeiten, die im allgemeinen nicht in Datei 2 vorhanden sind.

Da Berechnung 1 ohnehin nur ein grobes Aussortieren chancenloser Hypothesen bewirkt, behilft man sich durch die Ermittlung von Näherungswerten aus den gespeicherten bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten. Dies geschieht durch eine Vorgehensweise, die durch nachfolgende Beispiele verdeutlicht wird:

p(E 2) ≈ 1/2 · [p(E 2 | E 1) + p(E 2 | 1)]
p(E 3 | E 5) ≈ 1/4 · [p(E 3 | E 5 E 7 E 1) + p(E 3 | E 5 E 7 1) + p(E 3 | E 5 7 E 1) + p(E 3 | E 5 7 1)], usw.

Eine Besonderheit des Verfahrens besteht darin, daß für alle bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten versucht wird, das Bedingungsprodukt zu verkleinern. Für beliebiges h 1 und beliebig viele und beliebige Merkmale, z. B. f, g mit h-1 f, g 1 gilt:

1. p(E _h | E _h-₁ . . . E _g . . . E _f . . . E₁) geht über in p(E _h | E _h-₁ . . . E₁) falls

und

gilt.

2. p(E _h | H _j E _h-₁ . . . E _g . . . E _f . . . E₁) geht über in p(E _h | H _j E _h-₁ . . . E₁) falls

und

gilt.

Diese Beziehungen gelten als erfüllt, wenn sich jeweils die Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeitswerte der linken und rechten Seite überlappen. Für den Wahrscheinlichkeitswert einer linken oder rechten Seite mit der Form sind die Grenzen des Konfidenzintervalls mit

gegeben.

Erforderlich sind also zwei Dateien:

• - Datei 1 führt alle Hypothesen mit den zugehörigen spezifischen Merkmalsprodukten SPEMERK(H _j ),
• - Datei 2 enthält Plätze für alle bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten und alle p(E _i ) und p(H _j ), wie sie bei den Berechnungen 2 erforderlich werden.
  Die Anzahl benötigter Plätze überschreitet eine festgelegte Größe nicht, da auch die Maximalanzahl der Merkmale für die SPEMERK(H _j ) begrenzt werden kann.

Die Plätze enthalten den Zahlenwert, falls ein solcher verfügbar ist. Ist dies nicht der Fall, so wird bei den bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten versucht, das Bedingungsprodukt durch die Suche nach stochastischen Unabhängigkeiten zu verkleinern und dann einen solchen äquivalenten Zahlenwert einzutragen. Gelingt dies ebenfalls nicht, so werden aus dem Bedingungsprodukt möglichst wenige Merkmale solange entfernt, bis ein Zahlenwert verfügbar ist oder das Bedingungsprodukt keine Merkmale mehr enthält. Im Bedingungsprodukt weiter rechts stehende Merkmale werden hierbei gegenüber den weiter links stehenden Merkmalen bevorzugt entfernt.

Jedem Zahlenwert wird in Klammern sein prozentualer Fehler beigefügt, der bei dem zuletzt beschriebenen Vorgehen selbstverständlich nur geschätzt werden kann. Ist kein Fehler angegeben, so wird im Bedarfsfall ein default-value benutzt.

Für die besten p(H _j | f _j ) wird der relative Größtfehler bestimmt, wobei die bei der Berechnung verwendeten Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander bestimmt sein sollen, weshalb voneinander unabhängig bestimmte Werte auch voneinander unabhängige Fehler aufweisen. Es sei R: = p(H _j | π _j ) für beliebiges 1 j m, dann gilt:

A als Anzahl unsicherer Merkmale.

Die Terme Z _ν und N _ν , ν = 0, . . ., 2 ^A -1, bestehen aus multiplativ verknüpften Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel für die Terme Z₀ und N₀:

Z₀ = ₀ · Q₀.

N₀ = Ñ₀ · Q₀

Die Terme Z _ν und N _n werden also in der folgenden Form geschrieben:

Z _ν = _ν · Q _n N _ν = Ñ _ν · Q _ν , ν = 0, . . ., 2 ^A -1,

wobei die _ν , Ñ _ν alle bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten und die Q _ν alle Ausdrücke der Form

für unsichere Merkmale E _i ′ enthalten.

Damit folgt:

Für R: = folgt:

Nun gilt für den relativen Größtfehler , daß

gilt, wenn für die Fehlervorzeichen der ungünstigste Fall gesetzt wird. Damit folgt abschließend:

Dabei werden die

dadurch gewonnen, daß die relativen Fehler der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, die im jeweiligen Term als Faktoren vorkommen.

Das vorgeschlagene Verfahren hat zunächst den Vorteil, daß es keine Voraussetzungen über die stochastische Unabhängigkeit der Merkmale benötigt, und daß es unsichere Merkmale zuläßt.

Für das Verfahren sind bedingte Merkmalswahrscheinlichkeiten erforderlich, die selbstverständlich vorab gespeichert sein müssen. Um die Anzahl der Speicherungen gering zu halten, werden für eine Hypothese H _j genau 1(H _j) Merkmale zugelassen, die negiert, unnegiert oder unsicher auftreten dürfen. Seien (E _l . . . E₁) die 1(H _j ) Merkmale von SPEMERK(H _j ), dann erfordert dies folgende Speicherplätze:

Da für den Nenner des L-Satzes nochmals dieselbe Anzahl Speicherungen erforderlich ist, und da auch p(H _j ) vorhanden sein muß, ergibt sich für die Berechnung einer Hypothese ein Gesamtbedarf von 2 · 2 ^l -1)+1=2 ^l+1-1 Speicherplätzen.

Werden 1 := 8 Merkmale zugelassen, so erfordert dies die Verfügbarhaltung von 511 Speichermöglichkeiten für eine Hypothese, so daß für 20 Hypothesen 20 · 511 = 10 220 Speicherplätze erforderlich sind.

Ein Vorteil des Verfahrens besteht auch in der Möglichkeit, nicht verfügbare Zahlenwerte bedingter Merkmalswahrscheinlichkeiten durch einen äquivalenten Wert zu ersetzen, wenn stochastische Unabhängigkeiten gefunden wurden, oder einen Näherungswert zu verwenden.

Der berechnete relative Größtfehler ermöglicht es, die als Ergebnisse ermittelten Hypothesenwahrscheinlichkeiten in Fehlerklassen einzuordnen und begründet gegeneinander abzuwägen.

Durch die erfindungsgemäße Vorgehensweise ergeben sich weitere Vorteile:

• - Grundsätzlich alle (bekannten) Hypothesen werden für ein Bewertung herangezogen, so daß keine Hypothese, deren Wahrscheinlichkeit einen Schwellenwert übersteigt, vergessen werden kann.
• - Jeder benutzte Wahrscheinlichkeitswert ist ein berechneter Wert; er basiert auf statistischem Material, das im Rechner verfügbar gehalten wird und fortlaufend erweitert werden kann.
• - Eventuell erforderliche zusätzliche Merkmale werden nur für die wahrscheinlichsten Hypothesen nachgefordert, so daß richtungslose Befunderhebung entfällt.

Anhand eines Beispiels, und zwar der Fehlerermittlung an Radargeräten, soll das erfindungsgemäße Verfahren näher erläutert werden.

Folgende Situation sei angenommen:
Eine größere Anzahl von Radargeräten desselben Typs ist unter vergleichbaren Bedingungen im Einsatz. Auftretende Störfälle werden zentral dokumentiert.

Bezeichnungen:
H 1, H 2, usw.: Fehler (Hypothesen)
E 1, E 2, usw.: Merkmale
1, 2, usw.: gesuchte, jedoch nicht bestätigte Merkmale.

Konkret vorgeführt werden:

• * Hilfsmittel 1,
• * Hilfsmittel 2,
• * Verfahren mit
  • - Berechnung 1 für alle H _j ,
  • - Berechnung 2 für die erfolgsversprechendsten H _j ,
  • - Bestimmung des relativen Größtfehlers für einen ausgewählten Fall.

CodeBeschreibungH 1Kondenswasser in Hohlleiter HL 102 H 2Widerstand R 65 oberhalb Toleranzgrenze H 3Spannungsabfall durch Kriechströme über C 14 · · · E 1Bildschirmanzeige Radarecho verwaschen E 2Bildschirmanzeige in x-Richtung gedehnt E 3Bildschirmanzeige oszilliert E 4Antennendrehung ungleichmäßig E 5Warnlampe L 208 flackert E 6Rauch aus Power Supply E 7Reibgeräusche aus Antennengetriebe · · ·

Hilfsmittel 1 Datei der möglichen Hypothesen mit zugehörigen spezifischen Merkmalsprodukten

Grundsätze für den Aufbau der Datei:

• 1. Die Hypothesen sind nach aufsteigenden Indizes geordnet. Jede Hypothese H _j besitzt ein spezifisches Merkmalsprodukt SPEMERK(H _j ).
• 2. SPEMERK(H _j ) ist ein Produkt von Merkmalen, die aus der charakteristischen Merkmalsmenge von H _j stammen und möglichst hohe besitzen, i = 1, . . ., 1(H _j ). Innerhalb von SPEMERK(H _j ) wird die Anordnung der Merkmale so vereinbart, daß die von rechts nach links zunehmen.
• 3. Zwei spezifische Merkmalsprodukte sollen gleich heißen, wenn sie dieselben Merkmale enthalten. Dann gilt:
  (H _a = H _b ) ⇔ (SPEMERK(H _a ) = SPEMERK(H _b ))
  für alle 1 a, b m, wobei m die Anzahl der Hypothesen bezeichnet.
• 4. SPEMERK(H _j ), j = 1, . . ., m, enthält nur nicht-negierte Merkmale.
• 5. Die Merkmale eines spezifischen Merkmalsprodukts sind nicht vollzählig in einem anderen spezifischen Merkmalsprodukt enthalten.

Die Datei wird wie folgt festgelegt:

HypotheseSPEMERK(H _j )

H 1(E 7 E 4 E 2) H 2(E 4 E 5) H 3(E 3 E 6 E 5 E 4)

Hilfsmittel 2 Datei der Wahrscheinlichkeitswerte

Grundsätze für den Aufbau der Datei:

• 1. Jede Hypothese erhält Speicherplätze für die Wahrscheinlichkeiten und bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten, die für die Bezeichnung der im L-Satz auftauchenden Produktwahrscheinlichkeiten erforderlich sind.
• 2. Die Speicherplätze enthalten die entsprechenden Zahlenwerte, wenn diese bekannt sind.
• 3. Ist für einen Speicherplatz der Zahlenwert nicht bekannt, so wird versucht, das Bedingungsprodukt durch die Ermittlung stochastischer Unabhängigkeiten zu verkürzen und den Zahlenwert der so bestimmten bedingten Wahrscheinlichkeit einzutragen.
• 4. Sind Zahlenwerte gemäß 2. und 3. nicht gefunden worden, so wird ein Näherungswert eingetragen. Es ist der erste verfügbare Wert derjenigen bedingten Wahrscheinlichkeit, die man aus der Speicherplatz-Wahrscheinlichkeit durch Entfernen von möglichst wenigen Merkmalen aus dem Bedingungsprodukt erhält. Bei Gleichheit der Merkmal-Anzahl werden im Bedingungsprodukt möglichst weit rechts stehende Merkmale bevorzugt entfernt.
• 5. Das Entfernen von Merkmalen aus dem Bedingungsprodukt einer Speicherplatz-Wahrscheinlichkeit gemäß 4. wird solange fortgesetzt, bis entweder ein Wert gefunden wird, oder das Bedingungsprodukt keine Merkmale mehr enthält. Im letzten Fall wird dann der schlechtestmögliche Näherungswert, nämlich für beliebige i, j der Wert von p(E _i ) bzw. p(E _i | H _j ) eingetragen.
• 6. Zu jedem Zahlenwert gehört ein relativer Fehler, der in Prozenten angegeben ist. Dies kann eine aus statistischem Material ermittelte oder eine geschätzte Fehlerangabe sein. Ist keine Fehlerangabe gemacht, so wird ein default-value verwendet.

Bezeichnungen und Erläuterungen

• - Die eingetragenen bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten, z. B. p(E7 | H1 E4 E5) kennzeichnen den Speicherplatz.
• - Der zu einem Speicherplatz gehörende Zahlenwert ist unmittelbar darunter eingetragen. Die relativen Fehler in Prozentangaben stehen in Klammern dahinter. Sind keine Fehler angegeben, so wird ein default-value verwendet.
• - Die Markierung - umfaßt Gruppen mit denselben Negierungen.

Verfahren

Es seien die Merkmale {E 7, E 6′, E 3, E 2} zur Auswertung vorgegeben, mit p(E 6 | E 6′) = 0.7,

Damit sollen dann die p(H _j | π _j ), j = 1, . . ., 3 bestimmt werden, wobei π _j alle die Merkmale aus {E 7, E 6′, E 3, E 1} enthält, die auch in SPEMERK(H _j ) vorkommen, und wobei die Reihenfolge der Merkmale innerhalb f _j der Reihenfolge in SPEMERK(H _j ) entspricht.

1. Für alle H _j wird ein erster Durchlauf ausgeführt, der näherungsweise die erfolgsversprechenden H _j liefern soll. Die hierfür erforderlichen bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten, die im allgemeinen nicht gespeichert sind, werden als Näherung durch Mittelwertbildung aus den Speicherelementen gewonnen.

Beispiel für eine Mittelwertbildung:

p(E 3 | H 3 E 6) ≈ 1/4 · [(p(E 3 | H 3 E 6 E 5 E 4) + p(E 3 | H 3 E 6 E 5 4) + p(E 3 | H 3 E 6 5 E 4) + p(E 3 | H 3 E 6 5 4))].

Damit folgt:

p(H 2 | ) = p(H 2) = 0.35.

Mit

folgt:

2. Die besten H _j werden ausgewählt; im vorliegenden Beispiel besteht Interesse an H 3 und H 2. Dann werden die noch fehlenden Merkmale für SPEMERK(H 3) und SPEMERK(H 2) nachgefordert, dies sind E 4 und E 5. Die Untersuchungen mögen ergeben, daß E 4′ und 5 gilt, mit

3. Nun wird mit der vergrößerten, zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge {E 7, E 6′, 5, E 4′, E 3, E 2} ein Durchlauf gestartet, der nur die besten H _j erfaßt, im vorliegenden Beispiel H 3 und H 2. Es wird also

und

ermittelt, wofür der Ablauf der Berechnung nur für den letztgenannten Fall in der nachfolgenden Ziff. 4, vorgeführt wird.

4. Für die besten H _j wird der jeweilige relative Größtfehler des Endergebnisses bestimmt, also

Der letztgenannte Fall wird zusammen mit der Berechnung von p(H 2|E 4′ 5) dargestellt.

Es wird an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, daß der relative Größtfehler dazu dient, die Qualität einer berechneten Hypothesenwahrscheinlichkeit durch einen Vergleich mit den relativen Größtfehlern der übrigen berechneten Hypothesenwahrscheinlichkeiten abzuschätzen.

Es ist

Es kann versucht werden, p(E 4) an anderer Stelle der Datei 2 zu finden. Ist dies erfolglos, so muß p(E 4) als Näherungswert aus den zur Hypothese H 2 gehörenden Werten durch Mittelwertbildung gewonnen werden.

Ist p(E 4) ein Näherungswert, so wird wie folgt geschätzt:

Entsprechend gilt:

Für die weiteren noch benötigten Werte gilt:

Insgesamt folgt mit den bereits eingeführten Abkürzungen

Z _ν , N _ν , _ν , Ñ _ν , Q _ν , ν = 0, 1:

Die Erfindung soll weiterhin anhand der Figuren erläutert werden. Es zeigt

Fig. 1 ein Gerät zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens,

Fig. 2 ein Flußdiagramm zur Berechnung der Hypothesen­ wahrscheinlichkeiten und des relativen Größtfehlers.

Das in Fig. 1 dargestellte Gerät umfaßt den Rechner 2 für den gesteuerten Verfahrensablauf entsprechend dem in Fig. 2 dargestellten Flußdiagramm. Über die Eingabe 3 werden einmalig die zu verarbeitende Merkmalsmenge und die Zahlenwerte von p(E _k | E′ _k ) und

für unsichere Merkmale E′ _k eingegeben, da diese Zahlenwerte von der angewendeten Bestimmungsmethode abhängig sind. Mit 4 ist die Steuer-Eingabe bezeichnet, die jeweils nach einer Aufforderung erfolgt. An sich bekannte Kommunikationsmittel 5 sind zwischen der Eingabe 4 und dem Rechner 2 vorgesehen. Während des Verfahrensablaufs greift der Rechner 2 auf die in den Baueinheiten 6 und 7 gespeicherten Informationen zurück. Die Datei 1 (Bezugszeichen 6) enthält alle zur Diskussion stehenden Hypothesen und ihre spezifischen Merkmalsprodukte. In der Datei 2 (Bezugszeichen 7) befindet sich eine Sammlung all der Wahrscheinlichkeitswerte und bedingten Merkmals­ wahrscheinlichkeiten, die für die Berechnung der im L- Satz geforderten Produktwahrscheinlichkeiten benötigt werden; außerdem wird für die Wahrscheinlichkeitswerte ein relativer Fehler gespeichert, falls ein solcher verfügbar ist. Der Ausgang des Rechners 2 ist mit 8 bezeichnet. Über an sich bekannte Kommunikationsmittel 9 liefert er eine nach abnehmender Wahrscheinlichkeit sortierte Liste von Hypothesen oder Fehlern. Über Eingabe 4 kann das Vorhandensein, Nicht-Vorhandensein oder unsichere Vorhandensein der Merkmale nachgeliefert werden, die vom Rechner benannt werden. Außerdem hat hier noch die Übermittlung der Wertangaben von p(E _k |E′ _k ) und

für die unsicheren Merkmale E′ _k zu erfolgen.

Der Ablauf des Verfahrens zur Bestimmung der Hypothesen­ wahrscheinlichkeiten und der relativen Größtfehler ist aus dem in Fig. 2 dargestellten Flußdiagramm ersichtlich. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, werden die benutzten Bezeichnungen an einem Beispiel demonstriert.

Sei (E 4′ 5) das aktuell zu berücksichtigende Merkmals­ produkt. Dann ist:

₀:= p(E 4 | H 2 5) · p( 5 | H 2) · p(H 2), ₁:= p( 4 | H 2 5) · p( 5 | H 2) · p(H 2), Ñ₀:= p(E 4 | 5) · p( 5), Ñ₁:= p( 4 | 5) p( 5),

Die Durchführbarkeit des Verfahrens für (theoretisch) beliebig viele unsichere und beliebig viele negierte oder unnegierte Merkmale wird mit dem Flußdiagramm in Fig. 2 erreicht.

Bezeichnungen

VERMERKZu verarbeitendes Merkmalsprodukt HYPMENGMenge in Betracht gezogener Hypothesen BERECHNUNG 2Boole′sche Variable, die anzeigt, ob derzeit Berechnung 1 oder Berechnung 2 durchgeführt wird SPEMERK(H _j )Spezifisches Merkmalsprodukt von H _j AKTMERKAktuell zu berücksichtigendes Merkmalsprodukt. Produkt aus SPEMERK(H _j ) und allen Elementen aus VERMERK, die auch in SPEMERK(H _j ) vorkommen. Reihenfolge der Merkmale von AKTMERK wie in SPEMERK(H _j ) RECMERKRechnerisch benötigtes Merkmalsprodukt. Entsteht aus AKTMERK durch Entfernung der Unsicherheitskennung. Unsichere Merkmale werden nach und nach negiert. jIndex der Hypothese H _j j-te Hypothese GGesamtzahl der Hypothesen ZAEHLERZähler auf der rechten Seite des L-Satzes NENNERNenner auf der rechten Seite des L-Satzes Δ ZAbsoluter Fehler von ZAEHLER Δ NAbsoluter Fehler von NENNER AAnzahl unsicherer Merkmale νIndex eines Zähler- oder Nennerterms mit 0 ν 2 ^A - 1 Z _ν Zählerterm, z. B. für die unsicheren Merkmale E 2′, E 1′:

N _ν Nennerterm, z. B. für die unsicheren Merkmale E 2′, E 1′:

k Index der Merkmale kmax höchster Index der Merkmale

Erläuterung der Blöcke

1)VERMERK ist vorgegeben. 2)HYPMENG enthält initial alle bekannten Hypothesen. 3)Im ersten Durchlauf wird Berechnung 1 ausgeführt. 4)j wird auf den kleinsten Index der in HYPMENG enthaltenen Hypothesen gesetzt. 5)AKTMERK wird ermittelt als Produkt aller Elemente aus SPEMERK(H _j ) die auch in VERMERK vorkommen. Reihenfolge wie in SPEMERK(H _j ). 6)Das erste rechnerisch benötigte Merkmalsprodukt RECMERK entsteht aus AKTMERK durch Entfernung der Unsicherheitsstriche. 7)Für die anstehende Hypothese werden die Variablen ZAEHLER, NENNER, ν, Δ Z und Δ N initialisiert. 8)Für die anstehende Hypothese und das anstehende ν werden die für Zähler- und Nennerterme erforderlichen Produktwahrscheinlichkeiten berechnet. Dies geschieht mit den Formeln p(E _h . . . E₁) = p(E _h | E _h-1 . . . E₁) · p(E _h-1 | E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | E₁) · p(E₁),
p(H _j E _h . . . E₁) = p(E _h | H _j E _h-1 . . . E₁) · p(E _h-1 | H _j E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | H _j E₁) · p(E₁ | H _j ) · p(H _j ).

11-15)Im Falle unsicherer Merkmale E′ _k erfolgt Vervollständigung der Zähler- und Nennerterme durch Multiplikation mit p(E _k | E′ _k )/p(E _k ) oder p( _k | E′ _k )/p( _k ) Dies geschieht A-fach. 16-19)Im Falle von Berechnung 2 wird vervollständigt. 22)Vervollständigung des Zählers und des Nenners. 23) 24)Im Falle der Berechnung 2 Vervollständigung von Δ Z und Δ N. 25) 26)Interpretiert man die Negierung eines ursprünglich unsicheren Merkmals als eine binäre 1 und die Nicht-Negierung als eine binäre 0, so liefern die ursprünglich unsicheren Merkmale eine binäre Zahl, deren Wert gleich ist zum Wert von ν.
Beispiel für die unsicheren Merkmale E 1′, E 2′: (. . E 2 E 1) ⇒ (* 0 0) ⇒ ν = 0
(. . E 2 1) ⇒ (* 0 1) ⇒ ν = 1
(. . 2 E 1) ⇒ (* 1 0) ⇒ ν = 2
(. . 2 1) ⇒ (* 1 1) ⇒ ν = 3

27)Falls ν = 2 ^A -1 erreicht ist, sind alle ursprünglich unsicheren Merkmale negiert. 28)Für die anstehende Hypothese wird das Ergebnis notiert. 29) 30)Im Falle von Berechnung 2 wird der relative Größtfehler des Ergebnisses notiert. 31)-33)j wird so lange hochgezählt, bis ein Index aus HYPMENG gefunden oder G überschritten wird. 34)Die Hypothesen werden nach abnehmender Wahrscheinlichkeit sortiert. 35)-38)Im Fall der Berechnung 1 wird die Liste der besten H _j HYPMENG zugewiesen. VERMERK wird dahingehend vergrößert, daß für alle H _j aus dem neu definierten HYPMENG die noch nicht bekannten Merkmale aus dem jeweiligen SPEMERK(H _j ) festgestellt und zu VERMERK hinzugefügt werden. Da nun Berechnung 2 erfolgt, wird BERECHNUNG 2 auf true gesetzt. 39)Das Verfahren kann abgebrochen werden. Es kann jedoch auch versucht werden, mit dem jetzt vergrößerten VERMERK eine Verbesserung durch einen erneuten Durchlauf zu erzielen.

Claims (14)

1. Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens von Hypothesen H _j , j = 1, . . ., m, m 2, anhand einer zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge unter Verwendung bedingter Merkmalswahrscheinlichkeiten, dadurch gekennzeichnet, daß für jedes H _j ein spezifisches Merkmalsprodukt SPEMERK(H _j ) mit einer im allgemeinen für jede Hypothese verschiedenen Anzahl von Merkmalen festgelegt ist, daß für alle H _j mit denjenigen Merkmalen des SPEMERK(H _j ), die bereits zur Auswertung vorliegen, eine Berechnung 1 durchgeführt wird, daß dann für die erfolgversprechendsten H _j alle im SPEMERK(H _j ) aufgeführten, noch nicht vorliegenden Merkmale festgestellt und für eine Berechnung 2 verwendet werden, wobei für beide Berechnungen der sogenannte L-Satz eingesetzt wird, der die durch eine Strichkennung markierten unsicheren und weitere negierte oder unnegierte Merkmale verarbeitet, und dessen Produktwahrscheinlichkeiten, die nach dem Aufschreiben der rechten Seite entstehen, jeweils durch ein Produkt bedingter Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden, wobei die Ersetzung für beliebiges h 1 nach den Formelnp(E _h . . . E₁)= p(E _h | E _h-₁ . . . E₁) · p(E _h-₁ | E _h-₂ . . . E₁) . . . p (E₂ | E₁) · p (E₁)undp(H _j E _h . . . E₁)= p(E _h | H _j E _h-₁ . . . E₁) · p(E _h-₁ | H _j E _h-₂ . . . E₁) . . . -p(E₂ | H _j E₁) · p (E₁ | H _j ) · p (H _j )erfolgt, und daß zum Schluß für jede der auf diese Art durch Berechnung 2 ermittelten Hypothesenwahrscheinlichkeiten nach bekannten Vorgehensweisen ein relativer Größtfehler berechnet wird; das Verfahren ist weiter dadurch gekennzeichnet, daß in einer Datei 1 die SPEMERK(H _j ) und in einer Datei 2 die Zahlenwerte mit ihren relativen Fehlern derjenigen Wahrscheinlichkeiten gespeichert sind, die in Berechnung 2 gefordert werden, daß jedoch auch die Berechnung 1 erforderlichen Wahrscheinlichkeiten aus Datei 2 gewonnen werden können, wenn die Näherungp(E _h ) ≈ ½ · [p(E _h | E _g ) + p(E _h | _g )],E _h und E _g beliebig, benutzt wird; eine weitere Kennzeichnung des Verfahrens besteht darin, daß beim Aufbau der Datei 2 für alle bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten, deren Zahlenwerte nicht bekannt sind, überprüft wird, ob aus einem Bedingungsprodukt Merkmale entfernt werden können, daß dabei für beliebig viele und beliebige Merkmale, z. B. E _f , E _g und ein beliebiges Bedingungsprodukt (E _h . . . E _g . . . E _f . . . E₁), h < f, g 1, die Beziehungen und für ein Bedingungsprodukt (H _j E _h . . . E _g . . . E _f . . . E₁) die Beziehungen erfüllt sein müssen, und daß die Erfüllung einer solchen Beziehung nicht verworfen wird, wenn sich die jeweiligen Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeitswerte der linken und der rechten Seite überlappen, wobei für den Wahrscheinlichkeitswert einer solchen Seite mit der Form die Grenzen des Konfidenzintervalls mit gegeben sind; das Verfahren ist abschließend dadurch gekennzeichnet, daß für nicht ermittelbare bedingte Merkmalswahrscheinlichkeiten der Datei 2 ein Nährungswert und ein geschätzter relativer Fehler eingesetzt wird, wobei der genäherte Wert dadurch gewonnen wird, daß möglichst wenig Merkmale solange aus dem Bedingungsprodukt entfernt werden, bis ein Zahlenwert für diese Merkmalswahrscheinlichkeit mit verkürztem Bedingungsprodukt verfügbar ist.

2. Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens von Fehlern H _j , j = 1, . . ., m, m 2, an einem technischen Gerät, an einer industriellen Anlage oder dergleichen anhand einer zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge unter Verwendung bedingter Merkmalswahrscheinlichkeiten, dadurch gekennzeichnet, daß für jedes H _j ein spezifisches Merkmalsprodukt SPEMERK(H _j ) mit einer im allgemeinen für jeden Fehler verschiedenen Anzahl von Merkmalen festgelegt ist, daß für alle H _j mit derjenigen Merkmalen des SPEMERK(H _j ), die bereits zur Auswertung vorliegen, eine Berechnung 1 durchgeführt wird, daß dann für die erfolgsversprechenden H _j alle im SPEMERK(H _j ) aufgeführten, noch nicht vorliegenden Merkmale festgestellt und für eine Berechnung 2 verwendet werden, wobei für beide Berechnungen der sogenannte L- Satz eingesetzt wird, der die durch eine Strichkennung markierten unsicheren und weitere negierte oder unnegierte Merkmale verarbeitet, und dessen Produktwahrscheinlichkeiten, die nach dem Aufschreiben der rechten Seite entstehen, jeweils durch ein Produkt bedingter Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden, wobei die Ersetzung für beliebiges h 1 nach den Formelnp (E _h . . . E₁)= p(E _h | E _h-1 . . . E₁) ·P(E _h-1 | E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | E₁) · p(E₁)undp(H _j E _h . . . E₁)= p(E _h | H _j E _h-1 . . . E₁) · p(E _h-1 | H _j E _h-2 . . . E₁) . . . p(E₂ | H _j E₁) · p(E₁ | H _j ) · p(H _j )erfolgt, und daß zum Schluß für jede der auf diese Art durch Berechnung 2 ermittelten Hypothesenwahrscheinlichkeiten nach bekannten Vorgehensweisen ein relativer Größtfehler berechnet wird; das Verfahren ist weiter dadurch gekennzeichnet, daß in einer Datei 1 die SPEMERK(H _j ) und in einer Datei 2 die Zahlenwerte mit ihren relativen Fehlern derjenigen Wahrscheinlichkeiten gespeichert sind, die in Berechnung 2 gefordert werden, daß jedoch auch die für Berechnung 1 erforderlichen Wahrscheinlichkeiten aus Datei 2 gewonnen werden können, wenn die Näherungp(E _h ) ≈ 1/2 · [p(E _h | E _g ) + p(E _h | _g )],E _h und E _g beliebig, benutzt wird; eine weitere Kennzeichnung des Verfahrens besteht darin, daß beim Aufbau der Datei 2 für alle bedingten Merkmalswahrscheinlichkeiten, deren Zahlenwerte nicht bekannt sind, überprüft wird, ob aus einem Bedingungsprodukt Merkmale entfernt werden können, daß dabei für beliebig viele und beliebige Merkmale, z. B. E _f , E _g und ein beliebiges Bedingungsprodukt (E _h . . . E _g . . . E _f . . . E₁), h < f, g 1, die Beziehungen und für ein Bedingungsprodukt (H _j E _h . . . E _g . . . E _f . . . E₁) die Beziehungen erfüllt sein müssen, und daß die Erfüllung einer solchen Beziehung nicht verworfen wird, wenn sich die jeweiligen Konfidenzintervalle für die Wahrscheinlichkeitswerte der linken und der rechten Seite überlappen, wobei für den Wahrscheinlichkeitswert einer solchen Seite mit der Form die Grenzen des Konfidenzintervalls mit gegeben sind; das Verfahren ist abschließend dadurch gekennzeichnet, daß für nicht ermittelbare bedingte Merkmalswahrscheinlichkeiten der Datei 2 ein Näherungswert und ein geschätzter relativer Fehler eingesetzt wird, wobei der genäherte Wert dadurch gewonnen wird, daß möglichst wenig Merkmale solange aus dem Bedingungsprodukt entfernt werden, bis ein Zahlenwert für diese Merkmalswahrscheinlichkeit mit verkürztem Bedingungsprodukt verfügbar ist.
Den Berechnungen wird der L-Satz zugrunde gelegt, dessen L-Operator, durch die nachfolgenden Regeln 1-8 definiert wird. Bezeichnungen

p(E _h | E _h ′), h beliebig, gibt die Sicherheit an, mit der die Eigenschaft E _h tatsächlich auftritt.
(. . . E _h . . .) bedeutet, daß das Ereignisprodukt in der runden Klammer an beliebiger Stelle das Ereignis E _h enthält.
Die Anzahl A unsicherer Merkmale in einem Ereignisprodukt ist beliebig t. Unter dem Operatorzeichen L stehen dann genau A Merkmale. Regel 1

Für beliebigen Operator gilt: In Worten: Wird angewendet, so erhält man das Ergebnis dadurch, daß man p(. . . E _h . . .) mit multipliziert, dann zu dem so gebildeten Ausdruck denselben Ausdruck additiv hinzufügt und schließlich in dem additiv hinzugefügten Ausdruck alle E _h negiert. Regel 2

Eine Operation ist undefiniert, falls das unter dem Operator stehende Ereignis im Operanden an irgendeiner Stelle negiert auftritt. Regel 3

Ein Operator ist undefiniert, falls das unter dem Operator stehende Ereignis an keiner Stelle des Operanden vorkommt. Regel 4

Ist der Operand eine Summe, so wird der Operator auf jeden Summanden angewendet, und die Teilergebnisse werden summiert. Regel 5

Ist der Operand ein Produkt, so werden die Faktoren, die das unter dem Operator stehende Ereignis nicht enthalten, vor den Operator gezogen. Zur Vereinfachung wird für beliebiges definiert: Regel 6

Das Produkt zweier Operatoren ist die Hintereinanderausführung dieser Operatoren. Regel 7 (Definitionsbereich)

Der Definitionsbereich eines Operators enthält 0, 1 und beliebige p(. . . E _h . . .). Hinzu kommen die Ausdrücke, die aus p(. . . E _h . . .) bei Beachtung der Regeln 1 bis 6 durch wiederholte Anwendung beliebiger Operatoren gebildet werden können. Regel 8 (Wertebereich)

Der Wertebereich eines Operators enthält 0, 1 und alle Ausdrücke, die aus beliebigen p(. . . E _h . . .) durch regelgerechte Anwendung des Operators und beliebig vieler Operatoren gebildet werden können. Beispiele

Es seien E 1′, E 2′ unsichere, E 3, E 4 sichere Merkmale. Dann ist für beliebiges H _j : Beweis des L-Satzes

Es sei {E _t , . . ., E₁} die zu verarbeitende Merkmalsmenge. Ein beliebiges Merkmal E _r ∈ {E _t , . . ., E₁} sei unsicher. Die sicheren Merkmale werden nicht-negiert angeschrieben; sie können jedoch beliebig durch ihre Negationen ersetzt werden. Dann gilt:
Lemma Beweis: Bei bereits bekanntem E _r (wahr oder falsch) ergibt die Hinzunahme weiterer Informationen über E _r keine Veränderung der zur Diskussion stehenden Wahrscheinlichkeit.
Also folgt: Satz (L-Satz für ein einzelnes unsicheres Merkmal) Beweis: Satz (L-Satz für beliebig viele unsichere Merkmale)

Völlig willkürlich seien E′ _s , E′ _r , E′ _q unsicher. Dann ist: Beweis: Interessehalber sei hier erwähnt, daß der L-Operator kommutativ ist, d. h. daß für beliebige E _r , E _s gilt: Dies kann durch Ausschreiben der beiden Seiten der Gleichung leicht verifiziert werden.