DE2114007A1

DE2114007A1 - Process for producing dipole and multipole magnets and a coil arrangement produced therefrom

Info

Publication number: DE2114007A1
Application number: DE19712114007
Authority: DE
Inventors: Klaus-Peter Juengst; Guenter Ries
Original assignee: Gesellschaft fuer Kernforschung mbH
Current assignee: Gesellschaft fuer Kernforschung mbH
Priority date: 1971-03-23
Filing date: 1971-03-23
Publication date: 1972-10-05
Also published as: CH550529A; FR2130391B3; FR2130391A3; GB1327551A; DE2114007B2

Description

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GESELLSCHAFT FÜR Karlsruhe, den 9.3.1971SOCIETY FOR Karlsruhe, March 9th, 1971

KERNFORSCHUNG MBH. , PIA 71/13 Hä/saNUCLEAR RESEARCH MBH. , PIA 71/13 Hä / sa

Verfahren zum Herstellen von Dipol- und Multipolmagneten und danach hergestellte Spulenanordnung Rgeste method for producing dipole and multipole and dan ac h h e FILLED coil nanordnung

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Herstellen von Dipol- und Multipolmagneten für ionenoptische Einrichtungen mit einem Hohlkörper als Wicklungsträger, durch dessen Bohrung ein Strahlrohr geführt ist und an dessen Außenseite aus supraleitenden Leitern gewickelte, langgestreckte Spulenpakete so angeordnet sind, daß die Längsachsen der Spulenpakete parallel zur Magnetachse liegen und die im wesentlichen senkrecht zur Spulenachse verlaufenden Spulenelemente (Wickelköpfe) außerhalb einer Ebene liegen, die von den in Richtung der Spulenachse orientierten Spulenelementen aufgespannt wird sowie eine nach diesem Verfahren hergestellte Spulenanordnung.The invention relates to a method for producing dipole and multipole magnets for ion-optical devices with a hollow body as the winding carrier, through the bore of which a beam pipe is passed and on the outside of which, wound, elongated coil packs of superconducting conductors are arranged so that the longitudinal axes of the coil packs are parallel to the The magnet axis and the coil elements (winding heads) running essentially perpendicular to the coil axis lie outside a plane which is spanned by the coil elements oriented in the direction of the coil axis and a coil arrangement produced by this method.

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Bei Strahlbiegemagneten, wie sie in Teilchenbeschleunigern Anwendung finden, werden Magnetfelder hoher Feldstärke (." 5o kG) angestrebt. In diesen Bereichen sind Magnetkonstruktic?^n mit feldformendem Eisen nicht mehr sinnvoll. Die Magnetfelder werden mit Luftspulen erzeugt, die aus supraleitenden Drähten gewickelt und mit flüssigem Helium gekühlt sind. Dabei werden langgestreckte, in Bahnrichtung orientierte Spulenpakete verwendet, die an ihren Enden so geformt sind, daß ein Strahlrohr durch den von Spulenpaketen eingeschlossenen Raum geführt werden kann.With beam bending magnets, as used in particle accelerators find, magnetic fields of high field strength (. "5o kG) strived for. In these areas, magnetic structures are used field-forming iron no longer makes sense. The magnetic fields are generated with air coils, which are wound from superconducting wires and cooled with liquid helium. Elongated, used coil packs oriented in the web direction, which are shaped at their ends so that a jet pipe through the Coil packs enclosed space can be guided.

Die Qualität eines Strahlbiegemagneten wird im wesentlichen durch seine teilchenoptischen Eigenschaften, d.h. ein konstantes Inte— gral JBdI über die Apertur für achsenparallele Strahlen bestimmt. Die Genauigkeit des Feldes soll in der nutzbaren Apertur bei 4B/B = lo~ ... lo~ liegen. Störungen der Homogenität des Feldes werden insbesondere auch durch die endliche Länge der Magnete und deren Wickelköpfe verursacht.The quality of a beam bending magnet is essentially determined by its particle-optical properties, ie a constant integral J BdI over the aperture for axially parallel beams. The accuracy of the field in the usable aperture should be 4B / B = lo ~ ... lo ~. Disturbances in the homogeneity of the field are caused in particular by the finite length of the magnets and their end windings.

Es ist bekannt, mit einer Stromverteilung I=I* cos η θ auf einem Kreiszylinder unendlicher Länge in dessen Innern ein 2 n-Pol-Feld, also bei η = 1 ein reines Dipolfeld zu erzeugen. Zur Realisierung ist eine Aufteilung der Spule in Sektorpakete erforderlich. Durch Wahl geeigneter Sektorenwinkel Θ. zwischen einer horizontalen Symmetrieachse und der Achse der Spule i können störende MuItipo!komponenten zum Teil eliminiert werden.It is known to use a current distribution I = I * cos η θ on a circular cylinder of infinite length in its interior to generate a 2 n-pole field, i.e. a pure dipole field at η = 1. To implement it, the coil must be divided into sector packages. By choosing suitable sector angles Θ . between a horizontal axis of symmetry and the axis of the coil i, disruptive multi-component components can be partially eliminated.

Nachteilig ist jedoch, daß die erforderliche Fertigungsgenauigkeit für die sektorförmigen Spulen insbesondere bei Verwendung von supraleitenden Drähten nur mit erheblichem Aufwand erreicht werden kann. Ferner wird bei Biegemagneten eine in der Horizontalen gestreckte Apertur gefordert, so daß bei kreisförmiger Apertur Materialeinsatz und sonstiger Aufwand größer werden.The disadvantage, however, is that the required manufacturing accuracy for the sector-shaped coils, especially when using superconducting wires, only achieved with considerable effort can be. Furthermore, a horizontally elongated aperture is required for bending magnets, so that circular Aperture use of materials and other expenses become larger.

Es ist auch schon analytisch nachgewiesen worden, daß im Überschneidung sber eich zweier gegeneinander verschobener elliptischer Leiterquerschnitte mit konstanter Stromdichte aber gegenläufiger Stromrichtung ein streng homogenes Dipolfeld erzeugtIt has already been proven analytically that in the overlap Over the range of two mutually shifted elliptical conductor cross-sections with constant current density but in opposite directions Current direction generates a strictly homogeneous dipole field

. , 209841/0919. , 209841/0919

•wird. ~•will. ~

BAD OH(QiNAI.BAD OH (QiNAI.

Schwierigkeiten ergeben sich jedoch bei der Herstellu?- .; von .· Spulen mit komplizierter geometrischer Begrenzung; in::.... yondere auch bei Spulenanordnungen aus supraleitenden Leitern. Ferner ^s werden bei gepulsten Dipolen besondere Anforderungen an die Kühlung gestellt, um Erwärmungen und eine Reduzierung des kritischen Stromes im supraleitenden Draht kleinzuhalten.Difficulties arise, however, in the manufacturing process. of. · Coils with complex geometrical boundaries; in :: .... y special also for coil arrangements made of superconducting conductors. Furthermore ^s are provided for pulsed dipoles special demands on the cooling to warming and reduction of the critical current small hold in the superconducting wire.

Es ist auch schon bekannt, bei der aus technischen Gründen notwendigen Begrenzung der Länge der Magnetspulen Stromrückführungen als Wickelköpfe auszuführen und diese Wickelköpfe so abzubiegen, daß die Strahlrohrführung nicht behindert wird. Das Abbiegen der Spulenenden erfordert jedoch besondere Maßnahmen, damit die Supraleitung nicht beeinträchtigt wird. Besonders nachteilig ist bei diesen Wickelköpfen, daß Feldverzerrungen auftreten. It is already known when it is necessary for technical reasons Limitation of the length of the solenoid coils to implement current returns as winding heads and to bend these winding heads in such a way that that the nozzle guide is not obstructed. However, the bending of the coil ends requires special measures so the superconductivity is not impaired. A particular disadvantage of these end windings is that field distortions occur.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zum Herstellen von Dipol- und Multipolmagneten zu schaffen, das es ermöglicht, solche Magnete in einfacher und wirtschaftlicher Weise herzustellen. Dabei soll die Aufteilung der Magnetwicklung so erfolgen, daß leicht herstellbare Spulen mit großer Genauigkeit gebildet werden, deren felderzeugende Elemente so geformt sind, daß eine günstige Kühlung möglich ist und deren Wickelköpfe so ausgebildet sind, daß die von den Wickelköpfen verursachten Feldverzerrungen vernachlässigbaren Einfluß auf die bestimmende Größe yBdl haben.The invention is based on the object of a method for manufacturing of dipole and multipole magnets that make it possible to to manufacture such magnets in a simple and economical manner. The distribution of the magnet winding should be done in such a way that that easily producible coils are formed with great accuracy, the field-generating elements are shaped so that favorable cooling is possible and the end windings are designed in this way are that the field distortions caused by the winding heads have a negligible influence on the determining variable yBdl have.

Diese Aufgabe wird erfindungegemäß dadurch gelöst, daß ebene Flachspulen gleicher axialer Länge und vorbestimmter unterschiedlicher Breite gewickelt und mit einem Epoxydharz getränkt werden, und daß die in Richtung der Magnetachse verlaufenden Spulenelemente vor dem Aushärten des Epoxydharzes so abgebogen werden, daß sie im wesentlichen senkrecht zur Spulenebene stehen und die dabei gebildeten Wickelköpfe Ebenen aufspannen, auf denen die Magnetachse senkrecht steht.This object is achieved according to the invention in that plane Flat coils of the same axial length and predetermined different widths are wound and impregnated with an epoxy resin, and that the coil elements extending in the direction of the magnet axis are bent before the curing of the epoxy resin in such a way that they are essentially perpendicular to the coil plane and the winding heads formed in the process span planes on which the magnet axis stands vertically.

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Beim Abbiegen der in Richtung der Magnetachse verlaufenden Spulenelemente werden die senkrecht zur Achsrichtung orientierten Spulenelemente über achsenparallele Kanten und/oder mit einem vorbestimmten Biegeradius gebogen.When turning the coil elements running in the direction of the magnet axis the coil elements that are oriented perpendicular to the axial direction are made via axially parallel edges and / or with a predetermined one Bent radius.

Bei einer nach dem erfindungsgemäßen Verfahren hergestellten Magnetwicklung ist der Querschnitt des Wickelraumes symmetrisch zu einer ersten parallel zur Ebene der Spulen liegenden Achse durch Einzelspulen belegt, wobei die senkrecht auf der Spulenebene stehende Symmetrieachse der Spulen mit einer zu der ersten Symmetrieachse senkrechten zweiten Symmetrieachse des Wickelraumes identisch ist und die Rechteckquerschnitte der Einzelspulen vorbestimmte Breite und Höhe haben und senkrecht zu der ersten Achse so angeordnet sind, daß zwischen benachbarten Spulenquerschnitten durch Abstandshalter KUhlkanäle gebildet werden, durch die bei senkrechter Anordnung durch freie Konvektion ein Kühlmittel strömt, und daß die achsenparallelen Spulenelemonfce nebeneinander und die Wickelköpfe im wesentlichen übereinander liegen.In the case of a magnet winding produced by the method according to the invention, the cross section of the winding space is symmetrical occupied by individual coils with respect to a first axis lying parallel to the plane of the coils, the axis of symmetry of the coils perpendicular to the coil plane with one to the first Axis of symmetry perpendicular to the second axis of symmetry of the winding space is identical and the rectangular cross-sections of the individual coils have predetermined width and height and are arranged perpendicular to the first axis so that between adjacent coil cross-sections are formed by spacers KUhlkanäle, through which in vertical arrangement by free convection a coolant flows, and that the axially parallel coil elemonfce side by side and the winding heads are essentially one above the other.

Dabei hat es sich als besonders vorteilhaft erwiesen, zum Erzeugen eines Dipolfeldes in einem Feldraum, dessen Querschnitt die Form des Überschneidungsbereiches zweier in Richtung ihrer großen Achsen gegeneinander verschobener Ellipsen hat, den Wickelquerschnitt in einem durch die außerhalb des Überschneidungsbereiches liegenden Flächenelemente der Ellipse bestimmten Wickelraum so anzuordnen, daß die Summe der Rechteckquerschnitte der Wicklung diesen Flächenelementen gleich ist.It has proven to be particularly advantageous for generating of a dipole field in a field space, the cross-section of which has the shape of the area of intersection of two in the direction of their large axes of mutually shifted ellipses, the winding cross-section in one through the outside of the overlap area to arrange lying surface elements of the ellipse certain winding space so that the sum of the rectangular cross-sections the winding of these surface elements is the same.

In bestimmten Fällen kann es auch vorteilhaft sein, zum Erzeugen eines homogenen Feldes innerhalb eines Feldrauraes mit kreisförmigem Querschnitt von vorbestimmtem Radius symmetrisch zu zwei aufeinander senkrecht stehenden Achsen des Feldraumes Einzelspulen mit Rechteckquer schnitt vorbestimmter Breite und Höhe in vorbestimmter Weise anzuordnen, wobei die Abmessungen der Rechteckquerschnitte mit einem Rechenprogramm in der Weise bestimmt sind, daß ausgehend von einer nullten Näherung das Feld nachIn certain cases it can also be advantageous to generate a homogeneous field within a field roughness with a circular Cross-section of a predetermined radius symmetrical to two mutually perpendicular axes of the field space individual coils with a rectangular cross-section of predetermined width and height to be arranged in a predetermined manner, the dimensions of the rectangular cross-sections are determined with a computer program in such a way that, starting from a zeroth approximation, the field after

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Multipole!) analysiert ist und unerwünschte Feldanteile durch Variieren der Rechteckabmessungen auf einen vorbestimmten Wert reduziert sind.Multipole!) Is analyzed and unwanted field components through Varying the rectangular dimensions are reduced to a predetermined value.

Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung ist in der Zeichnung dargestellt und wird im folgenden näher beschrieben. Es zeigenAn embodiment of the invention is shown in the drawing and is described in more detail below. Show it

Fig. 1 Magnetischer Dipol mit sich überschneidenden Ellipsen,Fig. 1 Magnetic dipole with intersecting ellipses,

Fig. 2 Elliptische Konfiguration durch Rechteckguersehnitte angenähert, Fig. 2 Elliptical configuration approximated by a rectangular transverse line,

Fig. 3 Nach einem Näherungsverfahren berechnete Dipo!konfiguration, Fig. 3 Dipoconfiguration calculated according to an approximation method,

Fig. 4a Spule eines Biegemagneten als Flachspule, Fig. 4b Spule nach dem Abbiegen,Fig. 4a coil of a bending magnet as a flat coil, Fig. 4b coil after bending,

Fig. 5 Teil eines Dipolmagneten.Fig. 5 Part of a dipole magnet.

Die in Fig. 1 dargestellten Ellipsen 1 und 2 mit den Halbachsen a und b sind auf einer gemeinsamen Achse 3 um 2x. gegeneinander verschoben. Stellen die Ellipsen 1 und 2 Leiterquerschnitte mit gleicher Stromdichte I aber gegensätzlicher Stromrichtung dar, so wird im Überschneidungsbereich 4 die Stromdichte zu Null. In den außerhalb des Überschneidungsbereiches liegenden Flächen 5 und 6 fließen Ströme entgegengesetzter Richtung Im Überschneidungsbereich 4 läßt sich analytisch ein streng homogenes Dipolfeld The ellipses 1 and 2 shown in Fig. 1 with the semi-axes a and b are on a common axis 3 by 2x. against each other postponed. If the ellipses 1 and 2 represent conductor cross-sections with the same current density I but opposite current direction, see above the current density becomes zero in the overlap area 4. In the areas 5 and 6 lying outside the area of overlap Currents flow in opposite directions. In the intersection area 4, a strictly homogeneous dipole field can be analytically found

χ, b
B = o.B IT ' Iχ, b
B = oB IT ' I

a + ba + b

ableiten. Das Verhältnis Breite zu Höhe der Apertur kann beliebig vorgegeben werden.derive. The ratio of width to height of the aperture can be arbitrary can be specified.

Ohne wesentliche Störung der Feldhoraogenität kann ein beliebiger Wicklungsquerschnitt durch einfacher herstellbare Spulen mit Rechteckquerschnitt angenähert werden. Fig. 2 zeigt schematisch die Spulenanordnung in einem Dipol vom Typ der sich überschneidenden Ellipsen. Die Spulen, des Dipolmagneten haben eine gemeinsame Symmetrieachse 7 und rechteckigen Querschnitt 8, außerdem sind alle Spulen spiegelsymmetrisch zu der Achse 3 angeordnet. Die Breite c ist hier für alle Rechteckquerschnitte gleich und wirdWithout significant disturbance of the field horogeneity, any Winding cross-section can be approximated by easier-to-manufacture coils with a rectangular cross-section. Fig. 2 shows schematically the coil arrangement in a dipole of the intersecting type Ellipses. The coils of the dipole magnet have a common Axis of symmetry 7 and rectangular cross-section 8; in addition, all coils are arranged mirror-symmetrically to axis 3. the Width c is the same for all rectangular cross-sections and becomes

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mit besser werdender Feldgenauigkeit kleiner, die Höhe h ist nur für zwei auf den beiden Seiten der Achse 3 liegende Spulen gleich. Die Breite c wird ferner durch die Kühlbedingungen beeinflußt.as the field accuracy improves, the height h is only the same for two coils located on both sides of the axis 3. The width c is also influenced by the cooling conditions.

.Fig. 3 zeigt eine Spulenanordnung, deren Rechteckleiter 9 für.Fig. 3 shows a coil arrangement whose rectangular conductors 9 for

ein Dipolfeld von 5o kG bei 5o kA/cm mit einem FORTRAN-Programm in der Weise bestimmt wurden, daß ausgehend von einer nullten Näherung das Feld einer Rechteckleiteranordnung nach Multipolen analysiert wird und durch Variieren der Abmessungen unerwünschte Feldanteile teilweise kompensiert werden. Durch iterative Wiederholung wird die Feldhomogenität fortlaufend verbessert, bis der Fehler einen vorbestimmten Wert unterschreitet. Die in Fig. 3 dargestellte Spulenkonfiguration ist nach dieser Iterationsmethode errechnet und erreicht innerhalb des Kreises Io mit einema dipole field of 50 kG at 50 kA / cm were determined with a FORTRAN program in such a way that starting from a zeroth Approximation the field of a rectangular conductor arrangement for multipoles is analyzed and undesirable by varying the dimensions Field components are partially compensated. The field homogeneity is continuously improved by iterative repetition until the Error falls below a predetermined value. The coil configuration shown in FIG. 3 is based on this iteration method calculated and reached within the circle Io with a

-4 Radius von 3 cm eine Feidungenauigkeit von = 2 * Io-4 radius of 3 cm results in a precision inaccuracy of = 2 * Io

Die Notwendigkeit, die Länge des Magneten zu beschränken und für Stromrückführung in den Wickelköpfen zu sorgen, hat an den Magnetenden erhebliche Abweichungen von der Feldhomogenität zur Folge. Für die Teilchendynamik ist jedoch in erster Näherung nur das insgesamt von einem Teilchen durchlaufsne Feld, beim Dipol also/ßdl, wesentlich.The need to limit the length of the magnet and provide current return in the end windings has at the magnet ends result in considerable deviations from the field homogeneity. For the particle dynamics, however, is only as a first approximation the total field traversed by a particle, at the dipole thus / ßdl, essential.

Durch einfache Überlegungen kann gezeigt werden, daß für die hier vorliegende Konzeption die Endeinflüsse auf das /BdI minimal werden.By simple considerations it can be shown that the final influences on the / BdI are minimal for the concept presented here will.

Fig. 4a zeigt eine ebene Spule 11 mit Rechteckquerschnitt für einen pulsbaren supraleitenden Biegemagneten. Die in Achsrichtung des Magneten orientierten Teile der Spule werden nach dem Wickeln über zwei parallel zu dieser Achse verlaufende Kanten 12 und 13 rechtwinkelig abgebogen, so daß sich die in Fig. 4b angedeutete Spulenform mit senkrecht zur Magnetachse angeordneten Wickelköpfen 14 ergibt.Fig. 4a shows a flat coil 11 with a rectangular cross-section for a pulsable superconducting bending magnet. The parts of the coil oriented in the axial direction of the magnet are after Wrap over two edges 12 running parallel to this axis and 13 bent at right angles so that the coil shape indicated in FIG. 4b is arranged perpendicular to the magnet axis Winding heads 14 results.

In dieser Weise hergestellte Spulen werden zu dem in Fig. 5 teilweise dargestellten Dipol vereinigt. Die Spulen 11 haben Recht-Coils made in this manner become partially that of FIG shown dipole combined. The coils 11 are right

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eckquersehnitte 8 mit einheitlicher Breite c = 6 mm. Durch Abstandshalter 15 werden zwischen den Spulen 11 Kühlkanäle 16 von o,5 mm Breite gebildet. Trotz der relativ groben Abstufung der Kontur lassen sich innerhalb eines Kreises von 3 cm Radius FeId-corner transverse middle 8 with uniform width c = 6 mm. By spacers 15 cooling channels 16 of 0.5 mm width are formed between the coils 11. Despite the relatively rough gradation of the Contours can be defined within a circle with a radius of 3 cm.

^ -4
abweichungen von - 2 · Io erreichen.^ -4
Achieve deviations of - 2 · Io.

Die mit der Erfindung erzielten Vorteile bestehen insbesondere darin, daß auf einfache Weise Spulen aus supraleitendem Material hergestellt und zu Dipol- und Multipolmagneten so zusammengesetzt werden können, daß senkrechte Kühlkanäle gebildet werden, die durch einfaches Eintauchen in ein flüssiges Kühlmittel eine den hohen Anforderungen genügende Kühlung ergeben.The advantages achieved with the invention are in particular that coils made of superconducting material in a simple manner can be manufactured and assembled into dipole and multipole magnets in such a way that vertical cooling channels are formed, which, by simply immersing them in a liquid coolant, result in cooling that meets the high requirements.

Das Herstellungsverfahren nach der Erfindung ermöglicht eine Formung der Wickelköpfe in der Weise, daß bei Dipolfeldern yBdl und bei Quadropolfeldern J GdI über die Apertur nahezu konstant ist.The manufacturing method according to the invention enables the winding heads to be shaped in such a way that in the case of dipole fields yBdl and in the case of quadropole fields J GdI is almost constant over the aperture.

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Claims

SOCIETY FOR Karlsruhe, V.3 IΓ97Γ

NUCLEAR RESEARCH MBH. <? PLA 71/13 Hä / sa

Claims;

Process for the production of dipole and multi-pole magnets for ion-optical devices with a hollow body as a winding support, through the bore of which a jet pipe is guided and on the outer side of which is wound from superconducting conductors, elongated coil packs are arranged so that the longitudinal axes of the coil stacks are parallel to the magnet axis and the coil elements are essentially perpendicular to the coil axis (Winding heads) lie outside a plane that of the coil elements oriented in the direction of the coil axis is clamped, characterized in that flat coils of the same axial length and predetermined different Width wrapped and impregnated with an epoxy resin, and that running in the direction of the magnet axis Coil elements are bent before the curing of the epoxy resin so that they are essentially perpendicular to the plane of the coil stand and the winding heads formed in the process span planes on which the magnet axis is perpendicular.

2. The method according to claim 1, characterized in that when turning in the direction of the magnet axis extending coil elements the coil elements oriented perpendicular to the axial direction via axially parallel edges and / or with a predetermined one Bending radius can be bent.

3. Magnet winding produced by the method in claim 1, characterized in that the cross section of the winding space symmetrically to a first axis lying parallel to the plane of the coils occupied by individual coils and which are perpendicular to the axis of symmetry of the coils standing in the coil plane with a second axis of symmetry perpendicular to the first axis of symmetry of the cross-section of the winding space is identical and the rectangular cross-sections of the individual coils have a predetermined width

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and height and are arranged perpendicular to the first axis so that between adjacent coil cross-sections by spacers Cooling channels are formed through which a coolant flows by free convection when arranged vertically, and that the axially parallel coil elements are adjacent to one another and the winding heads are essentially one above the other.

4. Coil arrangement according to claim 3, characterized in that for generating a dipole field in a field space, the cross section of which the shape of the area of intersection of two ellipses displaced in relation to one another in the direction of their major axes

P has the winding cross-section in one of the surface elements of the ellipses lying outside the intersection area certain changing room is arranged so that the total the rectangular cross-section of the winding is the same as these surface elements.

5. Coil arrangement according to claim 3, characterized in that for generating a homogeneous field within a field space with a circular cross-section of a predetermined radius symmetrical to two mutually perpendicular axes of the field space individual coils with a rectangular cross-section predetermined Width and height 'are arranged in a predetermined manner, where-

fc for the dimensions of the rectangular cross-sections with a computer program are determined in such a way that, starting from a zeroth approximation, the field is analyzed for multipoles and unwanted field components are reduced to a predetermined value by varying the rectangular dimensions.

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