DE202018000352U1

DE202018000352U1 - Schwingmaschine

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Publication number: DE202018000352U1
Application number: DE202018000352.2U
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Filing date: 2018-01-15
Publication date: 2019-01-16
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Abstract

Schwingmaschine umfassend Schwinger, einen Kurbelantrieb und einen Motor dadurch gekennzeichnet, dass der Motor dazu eingerichtet ist, die Schwingmaschine in einen Betriebszustand zu bringen, in dem die Schwinger in einer Frequenz des Motors schwingen, wobei die Schwinger von einem Mittelschwinger und äußeren Schwingern gebildet werden, wobei der Mittelschwinger dazu eingerichtet ist, resonante Schwingungen auszuführen und die äußeren Schwinger mit dem Kurbelantrieb verbunden vorliegen, wodurch Impulse, die durch die resonanten Schwingungen des Mittelschwingers erzeugt werden, auf den Kurbelantrieb übertragbar sind.

Description

Vorwort
Eine Welle trägt in der Mitte eine Scheibe. Die Welle geht durch den Mittelpunkt der Scheibe. Welle und Scheibe sind fest Verbunden und die Welle ist an den Enden in Kugellager gelagert. Die gleiche Scheibe schwingt, wenn um die Stange eine Drehfeder gesteckt und das eine Ende der Drehfeder mit der Schwungmasse/Stange und das andere außerhalb der Welle befestigt ist und die Scheibe ausgelenkt, ihr Energie zugeführt, wurde.
Bild 0.1
Zusammenstellung von rotiertender Scheibe, Schwinger und schwingende Scheibe.
Bild 0.1.1 rotierende Scheibe
1 = Grundplatte, 2 = Aufnahme, 3 = rotierende Scheibe = m, 4 = Lager, n = Drehzahl, F = Kraft.
Bild 0.1.2 Schwinger
1 = Grundplatte, 2 = Blattfeder, 3 = Masse (Blattfederaufsatz = Kugel) = m, f = Frequenz,
F = Kraft.
Bild 0.1.3 schwingende Scheibe
1 = Grundplatte, 2 = Aufnahme, 3 = schwingende Scheibe = m, 5 = Drehfeder,
6 = Aufnahme, f = Frequenz, F = Kraft.
Vergleichen wir die einzelnen Systeme miteinander, sind gleiche und unterschiedliche Merkmale zu erkennen. Auf die Masse = m wirkt immer eine Kraft = F ein, sie bewirkt im Bild 0.1.1, dass sich die Masse = m dreht und in den beiden anderen Systmen schwingt. Schwing- und Drehbewegung unterscheiden sich bezüglich der Drehrichtung. Die Scheibe (Bild 0.1.1) ändert ihre Drehrichtung nicht, wenn sie sich mit der Welle dreht, bis ihre Rotationsenergie in nicht rückführbare Energie umgewandelt ist; die Scheibe (Bild 0.1.3) sowie der Schwinger (Bild 0.1.2) ändern nach jeder halben Periode ihre Schwingrichtung. Im Bild 0.1.1 nimmt die Scheibe mit der Masse = m Rotationsenergie auf und kann sie als Arbeit (Drehmoment = M = J φ°°) wieder abgeben. Im Bild 0.1.2 und Bild 0.1.3 nimmt die Feder Spannenergie auf und gibt sie als Schwing-arbeit = W = k s x (s = Schwingweg, x = Auslenkung und k = Federkonstante) ab.
Der Weg = s, um den sich die Masse = m im Bild 0.1.2 bewegen, ist nicht gradlinig, sondern ist ein Bogen = b = I φ* (b = Weg, φ* = Winkel im Bogenmaß und I = Länge der Blattfeder) somit ist W = k x b. Im Bild 0.1.3 ist b = rφ* (r = Radius der Scheibe). Die Größe und Richtung der angreifenden Kraft = F ist bestimmbar, wenn von ihr eine Schnur gespannt, die an einen Ende die Masse = m trägt und am anderen Ende die Masse = M, dann gilt: F_G = M g (g = Erdbeschleunigung). Bei den Schwingsystemen bewirkt die Gewichtskraft = F_G, dass sich die Federn spannen, im Fall der Drehscheibe halten wir die Scheibe mit der Hand fest, Handkraft gleich Gewichtskraft, so dass die Scheibe auch ohne Bewegung ist. Geben wir die Systeme frei, dann beginnt sich die Scheibe zu drehen, die Schwingsysteme schwingen. Es handelt es sich um eine Dreh- und freie Schwingbewegung (Reibungsverluste werden vernachlässigt). Die Kraft wird durch die Erdbeschleunigung = g erzeugt ist somit konstant. Bei nicht konstanter Kraft ist das Drehmoment = M = F r = J φ°° vom Winkel = φ abhängig (φ = s/r, φ°= φ/t = s/rt = ω, φ°° = φ°/t = s/rt²= ω°). Die Arbeit für ein konstantes Drehmoment ist W = M φ = F r φ = F r s/r = F s für ein beliebiges Drehmoment = M = W_rot = ∫_φ1 ^φ2 M(φ) φ. In beiden Systemen ist die Federkonstant = k = konstant. Im System (Bild 0.1.2 und 0.1.3) gilt: k* = |M/Δα| = Winkelrichtgröße und k = |F/Δx| = Federkonstante. Zur Dimension: [k*]= N m/rad = Nm und [k]= N/m. Beim Spannen der beiden Federn (Blatt- und Drehfeder) wird Arbeit verrichtet, es wird in den Federn potentielle Energie gespeichert. E_Drehfeder = Mmax φ/2 = ½ F r φ =½ k*x r φ = ½ k*x r s/r = ½ k*x s = ½ k* s² (x = s) und E_Blattfeder = ½ F b = ½ k b² = ½ k |² φ*² --- Verdrillungsarbeit = potentielle Energie der Drehfeder, Spannarbeit = potentielle Energie der Blattfeder. Periodendauer: T = 2 π(m/k)²(Blattfeder) und T = 2 π(J/M)² (Drehfeder) mit f = 1/T = Frequenz. Für das System (Bild 0.1.1) gilt: Die kinetische Energie eines rotierenden Körpers ist E_kin = J/2 ω²= E_Rot (Rotationsenergie). Ein rotierender Körper ist wie eine gespannte Feder ein Energiespeicher. Die physikalische Größe J wird Massenträgheitsmoment genannt mit J = ½ m r² (r = Radius der Scheibe). Die Änderung der Winkelgeschwindigkeit von ω₁ auf ω₂ hat demnach eine Änderung der Rotationsenergie zur Folge E_rot(ω₁) = 0 zu E_rot(ω₂) > 0 mit E_rot = J/2 (ω₂ ²-ω₁ ²). Das Massenträgheitsmoment = J ist auf die Drehachse bezogen. Ist das nicht der Fall, dreht die Scheibe um einen anderen Drehpunkt, der nicht im Schwerpunkt sitzt. Dann gilt der Satz von Steiner: J_A = J_S+ m a² (a = Abstand von Drehasche zum Schwerpunkt, Indizes: A = Drehpunkt, S = Schwerpunkt). Die Scheibe erhält einen Drehimpuls, der die Richtung der Winkelgeschwindigkeit = ω hat. Eine Änderung des Drehimpulses = L = J ω kann nur durch eine Änderung der Winkelgeschwinschwindigkeit = ω erfolgen, wenn das Massenträgheitsmoment = J konstant ist. M = beschleunigten Drehmoments, M = J φ°° = J ω°, ΔL = J Δω = M Δt. Das Produkt M Δt heißt Drehmomentenstoß oder Antriebsmoment. Ist das Drehmoment = M nicht konstant, sondern einen Funktion der Zeit (M = M(t)), gilt: M = J φ°° = J dω/dt, M dt = J dω und nach der Integration ∫_t1 ^t2 M dt = ∫_ω1 ^ω2 Mdω und daraus folgt ΔL = J Δω = ∫_t1 ^t2 M dt. In den Schwingsystemen ist nach dem Durchschneiden des Seils, die Kraft = F = M g entfällt, die Schwingenergie E_schwing = E_kin + E_pot= ½ m x°²+ ½ m x² frei. Beide Energien, Spannenergie = E_p und kinetische Energie = E_kin, formen sich ineinander um, bis diese Energien in nicht umwandelbare, dem Schwingsystem nicht mehr zurückzuführende Energien (Reibenergie = Wärme) umgewandelt sind. Haben alle Systeme die Winkelgeschwindigkeit = ω = 2π n = 2π f und erhalten sie keine Energiezufuhr, ist die Zeit bis zum Stillstand, ein Maß für den Energieinhalt der einzelnen Systeme. Schwingdauer: T = 2 π(m/k)²(Blattfeder) für eine Periode, t = Schwingzeit für z Perioden: t = T z, M = L° --- M = Fr = dL/dt --- F r dt = dL ---F r (t₂ - t₁) = L₂ - L₁ mit t₁ = 0 folgt L₁= 0 ---F r t₂ = L₂ ---t₂ = L_2/F r. Die Zeit = t lässt sich bestimmen (Stopuhr).
Bewegungsenergie: E_R = E_schw. 1/2 J_Sω² = 1/2m x°² +1/2 k x² mit x° = x/t = r ω, J_S = 1/2m r²
1/4m₁ r²ω² = 1/2m₂x°² + 1/2kx², 1/4m₁ x°² = 1/2m₂ x°² +1/2 k x²,
1/4m₁ x°² -1/2m₂ x°² = + 1/2k x² mit m₁= m₂,
1/4m x°² -1/2m x°² = + 1/2k x², m x°² (1/4 - 1/2) = +1/2k x², - 1/4m x°² = + 1/2k x²,
m x°² + 2k x² = 0, mit a² = 2 k, x°x°+ a² xx = 0,
Ansatz: x = e^-iat, x° = -ia e^-iat
(-ia e^-iat)( -ia e^-iat) +a²e^-iate^-iat= 0, -a² e^-i2at+a² e^-i2at= 0 --- der Ansatz erfüllt die Dgl.
Ist m₁ ≠ m₂ beispielweise m₁ = π m₂ geht π in die Dgl. als Faktor hier, konstanter Faktor, ein. In der Schwingmaschine werden die System Bild 0.1.1 und Bild 0.1.2, durch eine Stange verbunden, aneinander gekoppelt. Statt eine rotierenden Scheibe wird ein Kurbelantrieb (Scheibe mit Stange) konstruiert und die Stange mit der Schwingmasse verbunden.
Bild 0.2
rotierende Scheibe und Schwinger sind aneinander gekoppelt
Bild 0.2.1
1 = Grundplatte, 2 = Aufnahme, 3 = Scheibe, m = Masse der Scheibe, n = Drehzahl des Kurbelantrieb (hinter der Scheibe = 3 und nicht gezeichnet).
Bild 0.2.2
1 = Grundplatte, 2 = Blattfeder, 3 = Schwingaussatz = Kugel, m = Masse der Kugel, f = Schwingfrequenz.
Die Kurbelstange verbindet die Scheibe mit dem Schwinger und damit kann aus der Schwingbewegung eine Drehbewegung entstehen. Eine Bedingung für die Schwingmaschine ist, dass sich bei einmaliger Auslenkung, des Schwingers, der Kurbelantrieb mindestens 4-mal aus der Ruhe dreht. Die Kraft, die an der Kurbel wirkt muss so groß sein, dass 4 Umdrehungen des Kurbelantreibs möglich sind.
T = 2π (m/k)^1/2--- t = 4 T. Auslenkkraft gleich Beschleunigungskraft = k x = m a--- a = k x /m Ansatz: m_T= Trägemasse der Scheibe = Massenaufsatz = m, f = 1/T, ω =2π f.
Aus der Ruhe drehen: ω = ω₀ + a t = 0 + at --- t* =ω/a.
Bedingung: t* > t = 4 T. Zahl der Umdrehungen = U mit t = 4T.
U = ω₀ t + ½ a t²= 0 + ½ a t²= (k x /2m)t² mit U > 4 und m_T = m. Soll ein Körper aus der Ruhe bewegt werden ist, die Trägheit der Masse zu überwinden und die Haftreibung (die Scheibe ist über die Welle mit Rollenkugellager gelagert µ = 0,05). F_R = m g µ (g = Erdbenigung, m = Masse des Körpers), F_T= m g µ = m_T a = k x, daraus folgt, dass die zu beschleunigende Masse = m auf der Blattfeder größer sein muss als die träge Masse der Scheibe (m > m_T). U F_t r = ½ J ω² --- (k x /2m)t² F_t r = ½ (1/2 m r²)(2πn)²
Bild 0.3 Aufbau wie Bild 0.2 nur ist hier im Bild 0.3.1 der An-triebsmotor (nicht gezeichnet) eingebaut.
Bild 0.3.2 dito Bild 0.2.2.
P = U I = elektrische Leitung, P = F x° = k x x° = Schwingerleistung Δ P = k Δx x° = Leistungsverlust mit dem Wirkungsgrad = η = (x - Δx)/ x . Ist Δ P = U I = k Δx x°schwingt der Schwinger verlustfrei, weil die Schwingverluste durch den Antriebsmotor ausgelichen wird. Die Baugruppen, aus denen die Schwingmaschine aufgebaut ist, sind in den Bildern (Bild 0.1 - Bild 0.3) wiederzufinden. Die Baugruppen werden im Einzelnen unter „Theorie“ beschrieben. Die Schwingmaschine wandelt Spannenergie in Schwingenergie um. Die Schwingenergie in Rotationsenergie umzuwandeln erfolgt über die Kurbelantriebe. Die Spannenergie ist in der Schwingmaschine gespeichert, wenn die Schwinger der Maschine gespannt sind. Die Schwinger bestehen aus Blattfedern, die in einer Grundplatte befestigt sind und am freien Ende Massen tragen. Diese Schwinger werden in der Physik als Masse - Feder - System bezeichent. So wie die Schwinger in der Schwingmaschine angeordnet sind, können sie keine freien Schwingungen ausführen. Kennen wir die Federkonstante der Blattfeder und das Gewicht des Blattfederaufsatzes, lässt sich die Frequenz oder die Schwingdauer eines frei schwingenden Schwingers berechnen. Diese Schwingfrequenz = f wir zur Drehzahl = n des Kurbelantrieb. Alle Teile, die vom Kurbelantrieb in Rotation versetzt werden, haben diese Drehzahl des Kurbelantriebes. Wir nutzen also die Schwingenergie des Schwingers, um Massen rotieren zulassen. Damit der Schwinger unendlich lange schwingen kann, ist Energie notwendig. Zwar hat der Schwinger nach dem einmaligen spannen Energie - Spannenergie -, die ist aber schon nach einige Schwingperioden in Reibung (Luftreibung) umgewandelt und kann der Schwingmaschine nicht wieder zugeführte werden. Soll die Schwingmaschine schwingen, und zwar etwas Länger als nur einige Male, ist ihr Energie zuzuführen. Ein Antriebsmotor und andere Aggregate, die den Schwingverlust ausgleichen, werden beschrieben. Die Spannenergie eines Schwingers wird durch magnetische Kopplung auf die andere Schwinger übertragen. Die magnetische Kopplung wird ermöglicht durch Dauermagnete die als Massenaufsatz auf der Blattfeder befestigt sind. Stehen sich gleichnamige Magnetpole gegenüber, stoßen sie sich ab. Ist die Magnetkraft gleich oder größer der Spannkraft der Balttfeder, erfolgt eine Kraftübertragung von jedem Schwinger auf den Kurbelantrieb, d.h. die Spannkraft einer Blattfeder vervielfacht sich um die Anzahl der Schwinger. Die Schwingmaschine hat drei aneinander gekoppelte Schwinger.
Der Mittelschwinger schwingt zwischen zwei äußeren Schwingern mit denen er (ideale) elastische Stöße ausgetauscht; die äußeren Schwinger sind mit dem Kurbelantrieb starr verbunden. Die Kopplung des Mittelschwingers zu den beiden äußeren Schwingern ist eine magnetische Kopplung, mit der Kopplungskraft = F = µ PP*/4 π x² (x = Abstand der Schwinger zueinander, P = P*= Polstärke, µ = µ₀ µ_ρ= Permeabilität)
und einer starren Kopplung der äußeren Schwinger zu den Kurbelantrieben durch die Schubstangen. Ist die Schwingfrequenz = f_schw und die Drehzahl des Antriebsmotor = n gleich, gilt: f_schw = n. Die Resonanzbedingung ist erfüllt, d.h. der Mittelschwinger schwingt mit einer größeren Amlitude als der Kurbelradius = r des Kurbelantriebs. Dieser Impulszuwachs bei Resonanz wird auf den Kurbelantrieb durch einen Drehimpulszuwachs übertragen, den Generatoren kann mehr Leistung entnommen werden. Der Wirkungsgrad der Schwingmaschine wird verbessert, indem der beschriebene Aufbau gespiegelt wird, d.h., der obere Teil der Schwingmaschine besteht aus drei Schwingern, zwei Kurbelantrieben, die mit den äußeren Schwingern durch eine Kurbelstange verbunden sind und selbst je Kurbelantrieb zwei Massen (Energiespeicher) drehen. Dieser Aufbau wiederholt sich an der Unterseite der Schwingmaschine. Die drei Blattfedern sind durchgehend, sie verbinden Ober- und Unterteil der Schwingmaschine. Der Schwingverlustausgleich erfolgt durch den Antriebsmotor, der mit den Schwungmassen und Generatoren auf einer Welle sitzt. Die Idee zur Schwingmaschine ist an der Technischen Universität Berlin entstanden, und zwar im Rahmen einer wissenschaftlichen Hausarbeit im Studiengang „Amt des Studienrats mit einer beruflichen Fachrichtung“.
Für die Korrektur meiner ersten Manuskripte möchte ich Frau Gabriele Kende aus Berlin und Herrn Karl Hinrich aus Emden danken.
Das Werk enthält Fehler aller Art und für die Berichtigung stehen Ihnen im Anhang unbeschriebene Seiten zur Verfügung...
In meinen Onlineshop ist die Schwingmaschine erhältlich als:
Download, Daumenkino, Buch, Skript und CD sowie einer Zeichnung (Skizze) der Schwingmaschinen in den Formaten DIN A4 bis DIN A0.
Berlin, im November 2017 Ralf Zablowski
Allgemeine Theorien zur Schwingmaschine
Mit der Schwingmaschine werden die physikalischen Gebiete:

■ Mechanik (Statik der starren Körper);
■ Kinematik (Translation, zusammengesetzte Bewegung, Rotation, Bewegung auf der Kreisbahn);
■ Dynamik (Kräfte bei der Translation, Federkraft, Reibungskräfte, Trägheitskräfte der Translation, Arbeit, Energie und Leistung, Gesetz von der Erhaltung der Energie, Wirkungsgrad, Impuls und Stoß, elastischer Stoß, Dynamik der Drehbewegung, Trägheit bei der Rotation, Dynamisches Gesetz der Rotation, Massenträgheitsmoment);
■ Mechanische Schwingungen (ungedämpfte harmonsiche Schwingung, Schwingungsgleichung, Phasenwinkel, Elongation, Eigenschwingung der ungedämpften harmonischen Schwingung, lineare Federschwingung, freie gedämpfte Schwingung, Eigenfrequenz, aperiodische Bewegung, erzwungene Schwingung, Resonanz, gekoppelte Schwingung);
■ Elektizitätslehre (Gleichstromkreis, Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen, elektrische Energie, Arbeit und Leistung, Dauermagnetisierung, Elektromagnetismus, Durchflutungsgesetz, ferromagnetische Stoffe, Induktionsgesetz, Sebstinduktion, Gegeninduktion, Ein- und Ausschaltung von Stromkreisen mit Induktivität, Kraft und Energie im magnetischen Feld, Generatoren und Motoren); tangiert und bilden Gebiete aus denen sich die Schwingmaschine konstruieren lässt.

Schwinger
Das Federpendel = Schwinger wird in der Physik als Masse- Feder-System geführt. Wir verstehen darunter eine Blattfeder, die an einen Ende fest eingespannt ist, und am freien Ende eine Masse trägt. Wird die Blattfeder gespannt und losgelasen wirkt die Rückstellkraft der Feder und es wird eine Schwingbewegung erzeugt.
Gedämpfte Schwingung
Bild 1.1.1.1 gedämpfter Schwinger
Dämpfung durch: Luftreibung, Lagerreibung und Einspannung.
m = Masse, x = Auslenkung, k = Federkonstante, φ = Auslenkwinkel. Wird der Schwinger um x = Auslenkung ausgelenkt, vollführt
er gedämpfte Schwingungen um seine Ruhelage (ungespannte Feder).
Das Masse-Feder-System = Schwinger hat die Dgl.:
mx°° + rx° + k x = 0, x°° + 2 δ x° + ω₀ ² x = 0 mit 2δ = r/m, ω₀ ²= k/m und die Lösung: x(t) = x₀ e^-δt sin ωt. Die Amplitude =x₀ ist nicht konstant, sondern von der Zeit abhängig, x₀=x₀(t).
Die Amplitude nimmt während des Schwingvorgangs ständig ab, ohne Energiezufuhr ist jede Schwingung gedämpft. Die Reibkraft = F_R = r x° mit x° = Geschwindigkeit und F_R ~ x° (für Luftreibung gilt: F_L~x°²). Das Schwingverhalten des Schwingers lässt sich grafisch darstellen und zwar in einem x-t-Diagramm (Weg-Zeit-Diagramm)
Bild 1.1.1.2
x = Auslenkung, x₀= Anfangswert der Auslenkung, T = Periodendauer, ω = 2 π f = Kreisfrequenz mit f = 1/T, t = Zeit, φ = φ₀ + ωt = Phasen-winkel hier φ₀ = 0,
1 = x(t) = x₀ e^-δt sin ωt = Schwingkurve, 2 = x(t) = x₀ e^-δt= Abklingkurve, x*_1, x*₂ = Amplituden.
x*_i+n = x*_i/kⁿ mit k = Abklingverhältnis, n und i = beliebige ganze Zahlen,
∧ = δT , ∧ = Logarithmisches Dekrement, δ = ß/2m = Abklingkonstante,
T₀ = 2π/ω₀ = Periodendauer des ungedämpften Schwingers,
T = 2π/ω = Periodendauer des gedämpften Schwingers mit ω = (ω₀ ² - δ²)^1/2,
T = 2π/(ω₀ ²- δ²)^1/2 mit ω₀ ² = 4 π²/T₀ ² --- T = 2π/(4 π²/T₀ ²- δ²)^1/2,
T = (2π/2 π/) T₀ (1 -T₀ ² δ²/4 π²)^1/2 =T₀ /(1-T₀ ² δ²/ 4 π²)^1/2, ω= Kreisfrequenz.
Wird der Schwinger ausgelenkt und losgelassen, schwingt er n-mal und benötigt die
Zeit t = nT, bis er zum Stillstand kommt, ß = Dämpfungskonstante,
ω = (ω₀ ² - δ²)^1/2 --- ω² = (ω₀ ² - δ²) --- ω₀ ² - ω² = δ² = (β/2m)²,
∧ = δT = In k, T =2 π (m/k)^1/2 hierbei ist m = Masse, k = Federkonstante, T = 1/f und f = die Frequenz des Schwingers.
Beispiel:

T = 0,02 s --- f = 50 1/s, d.h. der Schwinger schwingt in 1s 50 mal hin und her, mit s = Sekunde. Die Schwingzeit = t bis zum Stillstand nach dem Auslenken und T = Persiodendauer des gedämpften Schwingers lässt sich berechnen mit t = nT,
T = t/n, T - T₀ = 2π/(ω₀ ² - δ²)^1/2 - 2π/ω₀ und ω₀= (k/m)^1/2
(T - T₀)/ 2 π = 1/((ω₀ ² - δ²)^1/2 -ω₀) --- ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ = 1/((ω₀ ² - δ²)^1/2
1/( ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ )=((ω₀ ² - δ²)^1/2 (1/( ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ ))² = ω₀ ² - δ² (1/( ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ ))²- ω₀ ² = - δ²(-1), mit n = Anzahl der Schwingungen
ω₀ ² - (1/( ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ ))² = δ², (ω₀ ² - (1/( ((T - T₀)/ 2π) + 1/ω₀ ))²)^1/2 = δ

ω = ((ω₀ ² - δ²))^1/2 = gedämpfte Schwingung, sie ist immer vorhanden, wenn die Diskriminante = d = (ω₀ ² - δ²) (Ausdruck unter der Wurzel), größer Null ist (ω₀ ² > δ²).

Die Diskriminante = d ist ein Kriterium, wie der Schwinger nach einmaligem Auslenken zurück in den Grundzustand kehrt. Mit f = 1/T und T = Periodendauer und f₀ = 1/T₀ und T>T₀. Eine Dämpfung bewirkt somit eine Vergrößerung der Periodendauer. Die Frequenz der gedämpften Schwingung ist also kleiner als die der ungedämpften Schwingung.
x(t) = x₀ e^-δt sin ωt = Schwingkurve (1), x(t) = x₀ e^-δt= Abklingkurve (2),
kⁿ = x*_i/x*_i+n = e^-δt mit k = Abklingverhältnis mit n = 1 für eine Periode = Anzahl der Schwingungen, k= x*_i/x*_i+1 = e^-δT.
Nun ist das Abklingverhältnis nichts anderes als die Abnahme der Amplitude. Bleibt die Amplitude während eines Schwingvorganges konstant, liegt entweder eine ungedämpfte Schwingung vor oder eine Schwingung deren, Schwingverluste ausgeglichen wurden. Eine ungedämpfte Schwingung ist im Maschinenbau nicht zu realisieren ohne Energiezufuhr. Die Lösung der Schwingungsgleichung: x°° + 2 δ x° + ω₀ ² x = 0 erfolgt nicht wie üblich, in dem die Ableitungen isoliert und integriert werden, sondern mit einem Ansatz, der willkürlich gewählt werden kann, wenn der physikalische Sachverhalt berücksichtigt ist. Das Masse - Feder - System = Schwinger hat die Dgl.: m x°° + r x° + k x = 0 (1),
m = Masse, r = Reibfaktor und k = Federkonstente sind Koeffizienten die während der Schwingungen konstant bleiben. Die Lsg. von (1) ist in der Literatur zu finden, und zwar unter lineare homogene Dgl. mit konstanten Koeffizienten.
Ansatz: x = e^at, x° = a e^at, x°° = a² e^at (2) mit (2) in (1),
m a² e^at + r a e^at + k e^at =0(3),
Charakteristische Gleichung: m a² + r a + k = 0 (4),
mit der Lsg.: a_1,2= - r/2m +/- ((r² /4m²) - (k/m))^1/2, (5) x = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t für die (6) Dlg.: x°° + (k/m) x = 0,
x = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t, x° = C₁ a₁ e^a1t + C₂ a₂ e^a2t, x°° = C₁ a₁ ² e^a1t + C₂ a₂ ² e^a2t (7), (7) in (6) einsetzten: C₁ a₁ ²e^a1t + C₂ a₂ ² e^a2t +(k/m) C₁ e^a1t + C₂ e^a2t= 0 (8),
C₁ und C₂ werden mit den Randbedingungen gelöst oder anders gesagt, C₁ und C₂
sind so zu bestimmen, dass die Dgl. (8) erfüllt ist (Koeffiziertenvergleich).
x = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t Lsg. der Dgl.

Anfangsbedingung:: x(t=0)= x₀ --- x (t=0)= C₁ + C₂ = x₀ (Auslenkung), x°(t=0) = C₁ a₁ + C₂ a₂= 0 (Auslenkung gleich Wendepunkt ist x° =0), x°(t=0) = C₁ iω₀ - C₂ iω₀ = 0 --- C₁ = C₂ und C₁ + C₁ = x₀ --- 2 C₁ = x₀,

_o

^iωt

_o

^-iωt

_o

^iωt

^-iωt

^iωt

_o

₁

^a1t

₂

^2t

^-δt

₁

^at

₂

^-at

^-δt

_o

₁

₂

1.1.1.1 aperiodischer Grenzfall: ω₀ = δ --- ß >0, 0 = (ω₀ ² - (β/2m)²)^1/2, δ = ß/2m Dieser Schwingzustand ist für die Schwingmaschine nicht geeignet, denn ein optimaler Einsatz der Maschine ist nur möglich, wenn alle Schwinger schwingen. In anderen technischen Geräten, beispielsweise bei elektrischen Messwerken oder Fahrzeugdämpfungen, soll sich der aperiodische Schwingfall einstellen.
x(t) = C₁ e^a1 ^t + C₂ e ^{a2 t} mit a₁ = - δ + ((p/2)² - q)^1/2 und a2 = - δ - ((p/2)² - q)^1/2
((p/2)² - q)^1/2 = 0, mit (p/2)² =q, a₁ = -p/2 + ((p/2)² - q)^1/2 , a₂ = -p/2 - ((p/2)² - q)^1/2
a₁ = -p/2 + (0)^1/2, a₂ = -p/2 - (0)^1/2, a₁= a₂ = - δ.
Damit ist nur eine unabhängige Lsg. vorhanden, der Ansatz zur Lösung des homogenen linearen Dgl. 2. Ordung bedingt zwei unabhängige Lsg.
Allgemeine Lösung: x(t) = e^-δt (C₁ e ^-at + C₂ e ^{-a t}) = Ce ^at, x(t) = Ce ^at,
x(t) = Ce ^at ist eine Lösung lässt sich erzielen mit dem Ansatz Variation der Konstanten,
die Konstante = C wird zur Funktion = C(t) erhoben.
x = C(t)e ^at , x°= C(t)°e ^at+ C(t)ae ^at=e ^at (C(t)°+ C(t)a),
x°° = ae ^at (C(t)°+ C(t)a)+ e ^at (C(t)°°+ C(t)a+ C(t)°+ C(t)°a),
x°° = e ^at (C(t)°°+ 2aC(t)°+a² C(t)). Die Terme sind in die Dgl. einzusetzen.
x°° + 2 δ x° + ω₀ ² x = 0,Mit e ^kt≠0, a = - δ, ω₀ ² = δ²,
e ^at (C(t)°°+ 2aC(t)°+a² C(t) +2 δ ( (C(t)°+ C(t)a) +ω₀ ²C(t) = 0,
e ^at (C(t)°°+(2 δ+ 2a) C(t)°+(a² +2 δa +ω₀ ²)C(t) = 0,
e ^at (C(t)°°+(2 δ - 2δ) C(t)°+(δ² -2 δδ +δ²)C(t) = 0,
e ^at (C(t)°°)= 0 --- C(t)°° = 0, ∫C(t)°° dt = C(t)° + C, ∫(C(t)° +C) dt= C(t) +C₁ t + C₂ = 0,
C(t) +C₁ t + C₂=0 --- C(t) = C₁ t + C₂,
x = (C₁ t + C₂) e ^at.
Allgemeine Lösung: x(t) = C₁ e^-δt + C₂ t _e ^-δt
Mit den Anfangsbedingungen: x(t=0) = x₀, x°(t=0) = 0,
x(t=0) = C₂e^-δt + C₁ t e^-δt = C₂ = x₀,
x(t)° = (C1 t + C₂)°e ^at +(C₁ t + C₂) a e ^at,
x(t) =( C₁e ^at +( C₁ t + C₂) ae ^at,
x(t=0)° = C₁ + C₂a = 0 --- C₁ = - C₂a = -ax₀,
x(t) = (-x₀ at + x₀ )e ^at = x₀ (1+δt)e ^at mit -δ = ß/2m = a,
Literatur: x(t) = x₀ t e^at.
Bild 1.1.1.1.1
x = Auslenkung, φ₀ = 0, x*₁, x*₂ =Amplituden, x₀ = Anfangswert der Auslenkung ,T = Periodendauer, ω = 2 π f = Kreis-frequenz mit f = 1/T, t = Zeit, φ = φ₀ + ωt = Phasenwinkel,
1 = x(t) = x₀ e^-δt sin ωt Schwingkurve,
2 = x(t) = x₀ e^-δt= Abklingkurve,
3 = x(t) = x₀ te^-δt= aperiodischer Grenzfall.
1.1.1.2 Kriechfall: ω₀ > δ- ß < 0, ω = (ω₀ ² - (β/2m)²)^1/2, δ = ß/2m, ß < 0,
x(t) = C₁ e^a1t + C₂ e ^{a2 t} mit a₁ = - δ + ((p/2)² - q)^1/2 und a₂ = - δ - ((p/2)² - q)^1/2.
Die Diskriminante wird negativ und durch vertauschen von δ = Abklingkonstante mit ω₀= Eigenfrequenz des Schwingsystems wieder postiv und wir nennen dann die Diskriminante = ω = Frequenz des gedämpten Schwinger. Die Vertauschung wird wieder mathematisch korrekt, wenn ω imaginär =jω gesetzt wird:
((p/2)² - q)^1/2 < 0, mit p = 2δ, ω₀ ²< q --- δ < ω₀ mit k = ((δ)² -ω₀ ² )^1/2 < 0
x(t)= (C₁e^(-δ ^+iω)t + C₂ e (^(-δ ^-iω)t) = e^-δt (C₁e^at + C₂ e ^-a ^t) = e^-δt (C₁e^iωt + C₂ e ^-iωt)(1)
mit Euler: e^iωt = cos ωt + j sin ω t und e^-iωt = cosω t -j sinω t; den Euler-Gleichungen läßt sich die Lsg (1) umformen.
x(t) = e^-δt (C₁(cos ωt + j sin ωt )+ C₂(cos ωt - j sinω t)),
= e^-δt (C₁cos ωt +C₁ j sinω t)+ C₂cosω t -C₂ j sin ωt),
= e^-δt (C₁cosω t +C₂cosω t)+ -C₂ j sin ωt+C₁ j sinω t),
=e^-δt cosω t(C₁ +C₂) + sinω t(C₁ -C₂)j (1).
Komplexe Funktionen in der Lsg. einer Dgl. sind an mathematische Sätze gekoppelt:
Eine komplexe Funktion, deren relle Variable = t in der Form x(t) = f(t) = u(t) + j v(t) Lösung einer homogenen linearen Dgl. ist, sind dann auch x₁= u(t) und x₂= v(t) Lsg. der Dgl. Mit der Substitution: (C₁ +C₂) = A und (C₁ -C₂) = B und einsetzen der Substitutions in (1) folgt x(t) = e^-δt (Acos ωt + B jsin ωt).
Mit den Anfangsbedingungen: x(t=0) = x₀, x°(t=0) = 0,
x(t=0) =x₀ = e^-δt (Acosω t + B jsin ωt) --- A=x₀,
x(t) = e^-δt (Acosωt+ B jsin ωt), x(t)°= -δe^-δt (Acosωt+ B jsinω t)+e^-δt (-Asinω t + B jcosω t), x(t = 0)° = 0 = -δ(A + B j), A = jδ B, (C1 + C₂) = A, (C₁ -C₂) = B,
C₁ + C₂ = jδC₁ - jδ C₂, C₁- jδC₁ = C₂ - jδ C₂, C₁ (1- jδ) = C₂ (1- jδ) --- C₁= C₂,
x(t) = e^-δt 2 cos ωt (C₁),
x(t= 0) = x₀ = e^-δt 2 cos ω t(C₁) = 2 C₁, C₁ = x₀/2,
x(t) = e^-δtx₀ cos ω t,
x (t) = x₀ t e^-δt (e^jωt -e^-jωt). Diese Lösung ist in der Literatur zu finden.
Bild 1.1.1.2.1
x = Auslenkung, φ₀ = 0, x*₁, x*₂ = Amplituden, x₀= Anfangswert der Auslenkung,
T = Periodendauer,
ω = 2 π f = Kreisfrequenz mit
f = 1/T, t = Zeit, φ = φ₀ +ωt = Phasenwinkel,
1 = x(t) = x₀ e^-δt sin ωt Schwingkurve,
2 = x(t) = x₀ e^-δt= Abklingkurve,
3 = x(t) = x₀ te^-δt=aperiodischer Grenz,
4 = x (t) = x₀ te^-δt (e^jωt - e^-jωt) = Kriechfall.
Ungedämpfte Schwingung
Das Masse - Feder - System = Schwinger hat die Dgl.: m x°° + r x° + k x = 0 mit
r = 0 --- a_1,2= - r/2m +/- ((r² /4m²) - (k/m))^1/2 = +/-(-k/m)^1/2
mit ω₀ = (k/m)^1/2 --- ω₀ ² = k/m, mit i = (-1)^1/2 --- iω₀ = (-k/m)^1/2
a₁= + iω₀, a₂= - iω₀, damit lautet der Ansatz:
(5) x = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t für die (6) Dlg.: x°° + (k/m) x = 0,
x = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t, x° = C₁ a₁ e^a1t + C₂ a₂ e^a2t, x°° = C₁ a₁ ² e^a1t + C₂ a₂ ² e^a2t (7)
(7) in (6) einsetzten: C₁ a₁ ² e^a1t + C₂ a₂ ² e^a2t +(k/m) C₁ e^a1t + C₂ e^a2t= 0 (8)
C₁ und C₂ werden mit den Randbedingungen gelöst oder anders gesagt,
C₁ und C₂ sind so zu bestimmen, dass die Dgl. (8) erfüllt ist (Koeffiziertenvergleich).
x = C₁ e^a1t + C2 e^a2t Lsg. der Dgl.
Anfangsbedingung: x(t=0)= x₀ --- x (t=0)= C₁ + C₂ = x₀ (Auslenkung)
x°(t=0) = C₁ a₁ + C₂ a₂= 0 (Auslenkung gleich Wendepunkt ist x° =0)
x°(t=0) = C₁ iω₀ - C₂ iω₀ = 0 --- C₁ = C₂ und C₁ + C₁ = x₀ --- 2 C₁= x₀
x(t) = X_o/2 e^iωt + x_o/2 e^-iωt = x_o/2(e ^iωt + e ^-iωt)
mit Euler: e^iωt = cos ω t + i sin ω t und e^-iωt = cos ω t - i sin ω t
x(t) = x_o/2 (cos ω t + i sinω t + (cos ω t - sin ωt)) = x_o/2 (2cos ωt )
x(t) = x_o cos ω t oder x(t) = x_o sin ω t, denn sin und cos unterscheiden sich nur um π/2.
Es gilt die Schwingungsgleichung: m x°° + k x = 0 mit k/m = ω₀ ²
x°° + ω₀ ² x = 0 --- Dgl.
x(t) = x_m sin (ω₀ t) mit der Lsg. der Dgl., x°(t) = xm ω₀ cos (ω₀ t)
x² = x² _m sin² (ω₀ t) und x°² = x² _mω₀ ²cos² (ω₀ t)
E_P + E_K = E = k x²/2 + m x°²/2 =
=(k/2) x² _m sin² (ω₀ t) + (m/2) x² _m ω₀ ² cos² (ω₀ t) = konst., ω₀ ² = k/m,
E_P + E_K= (k/2) x² _m sin² (ω₀ t) + (k/2) x² _m cos² (ω₀ t) =
= (k/2) x² _m (sin² (ω₀ t) +cos² (ω₀ t)) mit (sin² (ω₀ t) +cos² (ω₀ t)) = 1
E = E_P + E_K = k/2 x² _m (sin² (ω₀ t) +cos² (ω₀ t)) = k/2 x² _m = konst.
Ist die Gesamtenergie = E= konstant, wandelt sich ständig potentielle Energie = E_P in kinetische Energie = E_K um und umgekehrt, dieser Wechsel erfolgt periodisch.
Wird das System ausgelenkt, ist der Auslenkpunkt auch Umkehrpunkt, vermindert um den Schwingverlust durch Reibung. Die kinetische Energie ist am Umlenkpunkt Null und die potentielle Energie maximal, am Nulldurchgang ist der Schwinger unausgelenkt, die potentielle Energie Null und die kinetische Energie maximal. Die Amplitude = x* ist konstant, wenn keine Reibung wirkt oder dem Schwingsystem von außen Energie zugeführt wird.
erzwungene Schwingung
Bild 1.1.3.1 erzwungene Schwingung
1 = Masse-Feder-System = Schwinger,
2 = Motor,
3 = Kurbelantrieb.
Das Masse -Feder-System hat die Dgl.:
mx°° + rx° + k x =0.
Der Motor = 2 überträgt mit der Schubstange seine Drehzahl = n an den Schwinger = 1. Nach einer Einschwingphase schwingt der Schwinger mit der Drehzahl = n des Motors, n = f = Schwingfrequenz,
dann gilt die Dgl.:

m x°° + r x° + k x = F_m cos ω_Et.
Die Lsg. der Dgl.: m x°° + r x° + k x = F(t) setzt sich aus der Lsg. = x_h = homogenen
und einer s.g partikulären Lsg. = x_P zusammen, x(t) = x_h + x_P.
Bild 1.1.3.2
Einschwingvorgang und stationärer Zustand einer erzwungenen Schwingung
m x°° + r x° + k x = 0 (1),
x_h(t) = x₀ e^-δt e^-ωdt (2),
m x°° + r x° + k x = F_E cos ω_Et (3),
x_p(t) = x* e^iγ (4),
x_inh = x_h(t) +x_h(t),
= x₀ e^-δt e^-ωdt + x* e^iγ.
Die homogene Differentialgleichung = x_h (1) setzt sich physikalisch aus den Kräften: Rückstellkraft = m x°°, Reibkraft = r x°, Federkraft = k x, Erregerkraft = F_E(t), zusammen. Die Erregerkraft setzt das Schwingsystem = m x°° + r x° + k x periodisch in Bewegung.
Die Erregerkraft = F_E cos ω_Et (3) = Erregerfunktion= x* e ^iωEt hat wie das Schwingsystem (Lsg. des Schwingsystemes = x_h (t)) eine Lösung, die s.g. Lösungsfunktion = x_p (t, (ω) = x_m e ^i(ωEt-γ) mit x_m = F_E/k = statische Auslenkung hier die Auslenkung des Erregers.
Kriterium der gedämpfen Schwingung: ω₀ > δ --- ß >0, δ = ß/2m, ω_d = (ω₀ ² - δ ²)^1/2,
x°° + 2δ x° + ω₀ ²x = 0 (1),
Schwingfall: ω₀ > δ (D < 1) und D = δ/ω₀ = Dämpfungsgrad.
Ansatz: x = e^at, x°= ae^at, x°° = a²e^at einsetzen in die Dgl. (1) = homogene Dgl.
ma²e^kt +rae^kt + ke^kt = 0, e^kt(ma² +ra+ k) = 0 und mit 2 δ = r/m und k/m= ω₀ ²
e^kt(a²+2δ a+ω₀ ²)= 0, e^kt ≠0, (a²+2δ a+ω₀ ²) = 0, wird mit einer s.g. charakteristischen Gleichung, quadratische Gleichung: a₂ + pa + q = 0 gelöst.
a_1,2 = -p/2 +/- ((p/2)² - q)^1/2 mit p = 2δ, q = ω₀ ², a_1,2 = - δ+/- ((δ)² - ω₀ ²)^1/2.
Der Wurzelausdruck: ((p/2)² - q)^1/2 = ((δ)² - ω₀ ²)^1/2 ist bei einer gedämpften Schwingung größer Null. Gedämpfte Schwingung: ω₀ > δ --- ß >0, ω_d = (ω₀ ² - δ²)^1/2, δ = ß/2m,
a₁ = - δ - ω_d und a₂ = - δ + ω_d
x(t) = C₁e^a1t + C₂e^a2t = C₁ e^(-δ-ωd)t+ C₂e^(-δ+ωd)t = C₁ e^-δt e^-ωdt+ C₂ e^-δt e^ωdt,
Anfangsbedingung: x(t=0)= x₀--- x (t=0) = C₁ + C₂ = x₀ (Auslenkung),
x°(t) = -C₁ δ e^-δt e^-ωdt- C₁ e^-δt ω_d e^-ωdt - C₂ δe^-δt e^-ωdt +C₂ e^-δt ω_d e ^ωdt,
x°(t= 0) = -C₁ δ - C₁ ω_d - C₂ δ +C₂ ω_d = 0 mit C₂ = C₁,
x°(t= 0) = -C₁ δ - C₁ ω_d - C₁ δ +C₁ ω_d = 0 --- -2C₁ δ = 0 mit δ ≠ 0 --- C₁= 0,
x(t) = C₂ e^-δt e ^ωdt ---C₁ + C₂ = x₀ --- C₂ = x₀,
x(t) = x₀ e^-δt e ^ωdt in der Literatur ist zu finden: x(t) = x₀ e^-δt cos (ω_dt + φ₀).
m x°° + r x° + k x, x°° + 2δ x° + ω₀ ²x = (F_E/m) cos ω_Et (3) das ist die Dgl. für eine erzwungene Schwingung. Einen Ansatz leiten wir aus den Schwingverhalten des Schwingsysten im
Bild 1.1.3.2 ersichtlich, ab. Die Ampitude (Anfangsamplitude) = x₀ nimmt mit dem Abklingkoeffizienten = δ (bedingt durch Reibung) ab. Für die Ampituden zweier aufeinanderfolgenden Schwingungen gilt: x_o(i + ₁) = e^-δTd x_o(i) mit T_d = Schwingdauer des gedämpften Schwingers. In der Einschwingphase übernimmt der Erreger =(F_E/m)cos ω_Et das Abklingverhalten der erzwungenen Schwingung und nach der Einschwingphase über nimmt der Erreger ganz das Verhalten des erzwungenen Schwingsystems.
Der Ansatz bedingt somit die Fkt: e^-δTd x_o(i) + x_M e^iωEt gewählt x_p= x* e^i(ωEt ^-γ)
mit x₀ = x_M= F_E/k = x* und γ = Phasenwinkel, er beschreibt die Phasenverschiebung zwischen gedämpfte Schwingung und Erregerschwingung.
Ansatz: x_p= x* e^i(ωEt ^-γ), x°_p= x*iω_E e^i(ωEt ^-γ), x°°_p= - x*ω² _E e^i(ωEt ^-γ) einsetzen in die Dgl. (3)
x°° + 2δ x° + ω₀ ²x = (F_E/m) e^iωEt,
- x*ω² _E e^i(ωEt ^-γ) +2δ x*iω_E e^i(ωEt ^-γ) +ω₀ ²x* e^i(ωEt ^-γ) = (F_E/m) e^iωEt |: e^i(ωEt ^-γ),
- x*ω² _E +2δ x*iω_E + ω₀ ²x*= (F_E/m) e^iγ (ordnen nach Real- und Imaginärteil),
x* (-ω² _E + ω₀ ²)= (F_E/m) e^iγ - 2δ x*iω_E --- x*(ω₀ ²- ω² _E) = (F_E/m) e^iγ - 2δ x*iω_E.
Bild 1.1.3.3 komplexe Zahlen (Ebene)
Z = r e^iγ = komplexe Zahle,
b = Imaginärkomponente von z = 2δ x*iω_E,
a = Realkomponente von z = x*(ω₀ ²- ω² _E),
r = Betrag von z = (F_E/m) e^iγ,
x°° + 2δ x° + ω₀ ²x = (F_E/m)cos ω_Et --- Dgl.,
x_p= x* e^iγ --- Lsg. der Dgl.
x°°+ 2δ x°+ ω₀ ²x =(F_E/m) e^iωt das ist die Dgl., wenn der Erregermotor den Schwinger in Schwingung versetzt. Argument = ω darf nicht Lösung der charakteristichen Gleichung sein, wenn dies der Fall ist, wird der Ansatz um die Fuktion t^z erweitert, also:
y_p(t) = x* t^z e^iγ. Die charakteristische Gleichung = quadratische Gleichung:
a₂ + pa + q = 0, wird gelöst und mit dem Argument = ω verglichen.
a_1,2 = -p/2 +/- ((p/2)² - q)^1/2 mit p = 2δ und q = ω₀ ²= Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers, ω_E= Kreisfrequenz des Erregers (Motor) mit ω_E= 2 π f_E, f_E = Frequenz des Motors = n = Drehzahl und nach dem Einschwingvorgang ist das auch die Frequenz des Schwingsystems. Bedingung: a ≠ ω₀.
Hinzu kommt, dass das System nahe der Resonanz arbeitet. D.h. erreicht die Erregerfrequenz = ω_E die Eigenfrequenz des Systems = ω₀ mit ω₀= 2π f₀ und f₀= 1/T₀, T₀ = 2π(m/k)^1/2 sind die Erregerkraft = F und die Dämpfungskonstante = ß eine Funktion der Amplitude = x₀= f(ω_E).Wird der Schwingausgleich mit dem Motor erzielt, übernimmt der Motor die Startphase der Schwingmaschine und den Schwingausgleich. Ist der Motor nicht für den Schwingausgleich zuständig, sondern, die Schubstangenantriebe, der Klingelantieb oder die Spulen als Blattfederaufsatz, ist die Schwingmaschine in der Startphase anzukurbeln oder mit einem Motor zu starten.
Resonanz
Die Gleichung der Dgl. mit Störfunktion lautet mx°° + rx° + kx = F(t) und ist eine inhomogene Dgl.. Sie besagt, dass die Summe der Kräfte aus Rückstell-, Reib-und Federkraft durch die äußere Kraft beeinflußt werden, erstmal gleich ist. Im Resonanzfall sind die Kräfte nicht mehr einfach die Summe der Kräfte, sondern das System schwingt dynamisch, und dieser Zustand ist unkontrolliert. Für die mathematische Behandlung der Dgl. mit Störfunktion gilt: Inhomogene Dgl. (mit Resonanz): x°° + x° + 2 x = cosh t
Charateristische Gleichung der homogenen Dgl.
r²+ r - 2 = 0 --- r₁= 1, r₂= -2--- Lsg. der hom. Dgl. --- x_h= C₁e^t + C₂e^-2t.
Für cosh t kann mit Euler geschrieben werden: cosh t = ½(e^t + e^-t).
Mit C₁= ½ und C₂ = 0, damit wird aber die Lsg. der hom. Dgl. zu einen Glied der Störfunktion, x°° + x° + 2 x = cosh t --- x°° + x° + 2 x = ½(e^t + e^-t),
x_h= C₁e^t + C₂ e^-2t, x°_h= C₁e^t -2 C₂e^-2t, x°°_h= C₁e^t + 4 C₂e^-2t,
C₁e^t + 4 C₂e^-2t + C₁ e^t -2 C₂ e^-2t + 2 (C₁e^t + C₂e^-2t) = ½(e^t + e^-t) mit C₂ = 0 und C₁ = ½,
1/2 (e^t + e^t) + e^t = ½(e^t + e^-t) --- es tritt Resonanz ein....
Resonanz setzt voraus, dass ein frei schwingendes System durch eine äußere Kraft zum Schwingen angeregt wird, die nahe der Eigenfrequenz des Systems schwingt. Soll sich Resonanz einstellen, ist das schwingungsfähige System nicht mehr im Einschwingvorgang, die Erregerkraft hat das Schwingverhalten des Systems übernommen. Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude entsprechend der Dämpfungskonstanten = ß ab. Stellt sich Resonanz ein, ist die Amplitude von der Erregerfrequenz = ω_E abhängig und der Dämpfungskonstanten = ß. Die Gleichungen beziehen sich auf den eingeschwungenen Zustand, das System schwingt mit der Erregerfrequenz:
Ansatz: x_p= x* e ^i(ωEt ^-γ), x°_p= x*iω_E e ^i(ωEt ^-γ), x°°_p= - x*ω² _E e ^i(ωEt ^-γ) einsetzen in die Dgl. (3),
x°° + 2δ x° + ω₀ ²x = (F_E/m) e^iωEt ---
- x*ω² _E e ^i(ωEt ^-γ) +2δ x*iω_E e ^i(ωEt ^-γ) +ω₀ ²x* e ^i(ωEt ^-γ) = (F_E/m) e^iωEt|: e ^i(ωEt-γ),
-x*ω² _E +2δ x*iω_E + ω₀ ²x*= (F_E/m) e^iγ = x_P = partikuläre Lsg. (ordnen nach Real- und Imaginärteil),
x*(-ω² _E + ω₀ ²) = (F_E/m) e^iy - 2δ x*iω_E--- x*(ω₀ ²- ω² _E) = (F_E/m) e^iγ - 2δ x*iω_E,
x*=((F_E/m) e^iγ-2δ x*iω_E)/(ω₀ ²- ω² _E) = Amplitude des schwingenden Systems mit Erreger = F_E,
x*(ω₀ ²-ω² _E) = (F_E/m) e^iγ - 2δ x*iω_E--- x*(ω₀ ²- ω² _E) + 2δ x*iω_E= (F_E/m) e^iγ (Quadrieren),
(F/m)² (cos γ + i sin γ)² = x*² (ω₀ ²-ω² _E)² +(2δω_E ix*)² mit cos γ + i sin γ)² = 1,
(F/m)² = x*² (ω₀ ²-ω² _E)² +(2δω_E ix*)² (Pythagoras).
Bild 1.1.3.1.1
R = x*² (ω₀ ² ω²E)², I =( 2 δ iω_E x*)²,
Z = ((F/m) (cos γ + i sin γ))²,
tan γ = I/R,
γ = arctan I/R = Phasenwinkel,
Im = imaginär (Ordinate), Re = reell (Abzisse),
Z = komplex.
x*²= F/m)² / (ω₀ ²-ω² _E)² + 1/x*² (2 δω_E x*)², x* = (F/m)² / (ω₀ ²-ω² _E)² + 1/x*²(2 δω_E x*)²)^1/2,
x* = (F/m)((ω₀ ²-ω²E)² + (2 δω_E)²)^1/2 = Amplitudengleichung.
Die Amplitudengleichung wird benötigt, um die Resonanzfrequenz zu bestimmen, Rechenschema: 1 Ableitung bilden, 1 Ableitung Null setzen den Wert in die Zweite Ableitung einsetzten. Ist die 2. Ableitung kleiner Null, liegt ein Maximum vor.
Normieren: Verlustfaktor = d = δ2/ω₀, Frequenzverhältnis = λ = ω_E/ω₀, Amplitudenverhältnis = f(λ) =x_m(λ) /x₀(0).
Damit sind die physikalischen Größen ohne Einheit.
f(λ) = m ω₀ ²/F = ω² ₀/( (ω₀ ²-ω² _E)² + (2 δ ω_E)²)^1/2 |d ω₀/2 = δ,
f(λ) = m ω₀ ² /F = ω² ₀/( (ω₀ ²-ω² _E)² + (d ω₀ω_E)²)^1/2 |1/ω² ₀,
f(λ) = m ω₀ ²/F = ω² ₀/( (ω₀ ²/ω² ₀-ω² _E/ω² ₀)²+ (d ω₀ω_E /ω² ₀ )²)^1/2 |1/ω² ₀,
f(λ) = m ω₀ ²/F = 1/( (1-λ²)² + (d λ)²)^1/2,
Substition: λ = x f(x)= ((1-x²)² + (dx)²)^-1/2,

df(x)/dx = - ½ ( ... )^-3/2 (2( 1-x²)-2x ) + 2 d²x), = - (2 (1-x ²)-2x) + 2 d²x)/ 2 ((1-x ²)²+(dx)²)^3/2, = - (2 (-2x + 2x³) + 2 d²x)/2 ((1-x²)²+(dx)²)^3/2, = - (-4x +4x³ + 2d²x /2 ((1-x²)²+(dx)²)^3/2, = 4x -4x³ - 2d²x /2 ((1 -x ²)²+(dx)²)^3/2, = 2x( 2 -2x² - d²/2 ((1-x²)²+(dx)²)^3/2, = x(2 -2x ² - d²/ ((1-x²)²+(dx)²)^3/2,

²

_E

₀

²

_E

₀

²

^1/2

₀

_E

²

₀

²

^1/2

₀

_E

²

₀

²

₀

²

_E

²

₀

²

₀

²

₀

²

_E

²

₀

²

_R

_E

²

₀

²

^1/2

²

ω_R= ω = (ω₀ ²- ß²/2m²)^1/2 = (ω₀ ² - 2δ²)^1/2 (3),
ω = Kreisfrequenz des gedämpften Schwingers.

_R

₀

^1/2

₀

²

_E

²

^1/2

_R

₀

²

^1/2

Das Verhältnis der Resonanzamplitude zur statischen Auslenkung = x*s= F/mω₀ ² wird mit Resonanzüberhöhung oder Gütefaktor bezeichet Q = x*_R/x*st,
γ = arctan (2δω_E/(ω₀ ²-ω_E ² )= Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger.
Bild 1.1.3.1.2
γ = Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger,
δ = Abklingkonstante = ß/2 m = 0, keine Dämpfung.
Unabhängig von der Dämpfung beträgt bei ω₀= ω die Phasenwinkeldifferenz = γ = π/2.
Die Schwingmaschine soll im Resonanzbereich arbeiten, d.h :

- periodische Anregungskräfte sind eine Voraussetzung,
- kleine Differenz zwischen Erregerfrequenz = ω_E und Eigenfrequenz = ω des System.

Bild 1.1.3.1.3
γ = arctan= 2 δω_E/(ω₀ ²-ω² _E) = Phasenwinkel, Winkel des Resonators = 4 gegenüber des Erreger = 2, φ_M= Auslenk-winkel des Mittelschwingers, φ_A= Auslenkwinkel des Außenschwingers, β = Schubstangenwinkel, φ*= Kurbelwinkel.
1= Außenschwinger, 2= Kurbelantrieb mit Motor (Generator), 3= Schubstange (gehört zum Erreger), 4 = Mittelschwinger, m = Masse, r = Kurbelradius, x = Auslenkung.
Randbedingungen: x(t=0) = x₀ = x*, x°(t=0) = 0.
Die Schwingmaschine hat bei x(t=0) = x₀ = x* einen Umlenkpunkt, die Blattfeder des Schwingers ist max. ausgelenkt (gespannt) und die Geschwindigkeit = x(t=0)°= 0.
Der Schwinger, genauer die Masse erfährt vom Umkehrpunkt aus die max. Beschleunigung durch die Rückstellkraft der Blattfeder. Die Erregerkraft wirkt von Periode zu Periode auf den Schwinger ein. Es ist betriebsnotwendig, dass von den Umkehrpunkten die Blattfeder und die Erregerkraft in gleicher Richtung beschleunigt werden. Das System schwingt nun mit ω₀= ω_E, dann wird die Amplitude = x =F/(ß²ω_E ²)^1/2 nur noch durch die Erregerfrequenz und der Dämpfungskonstante beeinflußt, die Masse = m ist nicht mehr relevant. Die Dämpfungskonstante = ß wird immer kleiner (geht gegen Null) und dadurch wird die Erregerkraft = F größer, d.h. die Amplitude.
Genau dieser Betriebszustand der Schwingmschine soll sich einstellen, denn die Außenschwinger sind an dem Kurbelradius in ihrer Auslenkung gebunden, trotzdem kann sich der Mittelschwinger den Außenschwingern nähern und seine Resonanzkraft durch Beschleuigung der Massen an den Außenschwingern abgeben.
α = arctan(2 δ ω_E/(ω₀ ²- ω_E ²) = Phasenwinkel des Schwingers gegenüber des Erregers. $j^{2} ω^{2}_{E} x * e^{j (ω_{E} t - γ)} + 2 δ j ω_{E} x * e^{j (ω_{E} t - γ)} + ω_{0}^{2} x * e^{j (ω_{E} t - γ)} = (F/m) e^{j ω_{E} t}$

Gleichung (3) veranschaulicht, wenn ω_E≈ ω₀ ist, verändern sich die Kräfte links und rechts vom Gleichheitszeichen. Dann bestimmt die Erregerkraft mit ihrer Frequenz = ω_E das weitere Geschehen der Schwingmaschine.
Bild 1.1.3.1.4
x-ω-Diagramm,
Amplituden-Frequenz-Diagramm
x*_St= Ausgelenkt des Schwingers
(Blattfederauslenkung bei ω = 0),
ω₀ = Eigenfrequenz des Schwingers,
ω_E = Frequenz des Erregers,
ω_R = Resonanzfrequenz,
δ = Abklingrate = ß/2m,
ß = Dämpfungskonstante, m = Masse.
Der Kurvenverlauf bei Resonanz (gestrichelte Linie) kann nur vom Mittelschwinger erzielt werden, denn die äußeren Schwinger sind an den Kurbelradius bezüglich der Auslenkung gebunden. Die Wechselwirkung = Wechselwirkungskraft zwischen den Schwingern wird gezielt eingesetzt. Wird die Dämpfungskonstante = ß klein, vergrößert sich die Amplitude = x, je nach dem, mit welcher Erregerfrequenz = ω_E der Motor dreht. Nähert sich die Erregerfrequenz = ω_E der Eigenfrequenz der Schwingmaschine = ω₀ stellt sich Resonanz ein. Dann schwingt das System mit der Resonanzfrequenz = ω_R.
Kopplung von zwei Schwingern
Bild 1.1.4.1
Magnetkräfte
F = p₁ B = µ₀ p₁ p₂/4 π x²,
B = µ₀ p₂/4 π x², p₁, p₂= Polstärke,
F = BH A = Dauermagnet, (BH) = Energieprodukt = konst,
F_F = µ₀ p₁ p₂/4 π (x₁-x₂)² = k_m1/(x² ₁-x² ₂),
Die Herleitung der Dgl. erfolgt über die
Kräfte am Schwinger S₁ und S₂.
∑F₁ = -F_R1-k_m/(x² ₁-x² ₂) = k x₁,
∑F₂ = -F_R2+ k_1m ² =k x₂. Die Schwinger sind ausgelenkt und schwingen: F_R= F_a=mx°°
∑F₁ = 0 = m x₁°°+ k x₁ + k₁₂/(x² ₁-x² ₂),
∑F₂ = 0 = m x₂°°+ k x₂ - k₁₂/(x² ₁-x² ₂).
Bewegungsgleichung:
(1) m₁x₁°° + k₁ x₁ + k_m/(x² ₁-x² ₂) = 0 mit km = µ₀ p₁ p₂/4 π und k= F/x,
(2) m₂ x₂°°+ k₂ x₂ - k_m/(x² ₁-x² ₂) = 0 ,
(1) + (2): m(x₁°°+x₂°°) +k(x₁+x₂) +k_m/(x² ₁-x² ₂)+ (-k_m/(x² ₁-x² ₂))= 0,
(1) -(2): m(x₁°°-x₂°°) + k(x₁ -x₂) -k_m/((x² ₁-x² ₂) - (-km/(x² ₁-x² ₂)= 0,
(1) + (2): m(x₁°°+x₂°°) +k(x₁+x₂) = 0,
(1) -(2): m(x₁°°-x₂°°) + k(x₁-x₂) = 0,
Substitution: X₁°°*= (x₁°°+x₂°°), x₂°°*= (x₁°°-x₂°°), x₁*= (x₁+x₂), x₂*= (x₁-x₂),
(1)+ (2): m(x₁°°*) + k(x₁*) = 0 --- (x₁°°*) + ω² ₀(x₁*) = 0 mit ω² ₀= k/m,
(1)-(2): m(x₂°°*) + k(x₂*) =0 --- (x₂°°*) + ω² ₀(x₂*)= 0 mit ω² ₀= k/m,
Ansatz: x₁*(t) = A sin ω₁t +B cos ω₁t, x₁°*(t) = A ω₁ cos ω₁t -B ω₁sin ω₁t,
x₁°°*(t) = -A ω² ₁ sin ω₁t -B ω² ₁cos ω₁t,
x₁*(t) = -A ω² ₁ sin ω₁t -B ω² ₁cos ω₁t + ω² ₀(A sin ω₁t +B cos ω₁t),
x°₁*(t) = -A ω³ ₁ cos ω₁t +B ω³ ₁sinω₁t + ω² ₀(ω₁A cos ω₁t -B ω₁ sin ω₁t),
Randbedingungen = RB: x₁*(t=0) = x₀, x°₁*(t=0) = 0,
x₁*(t=0) = -B ω² ₁+ ω² ₀ B = x₀ --- B = x₀/(ω² ₀-ω² ₁),
x°₁*(t=0) = -A ω³ ₁ + ω² ₀ω₁A =0 --- A = 0,
x₁*(t) = -B ω² ₁cos ω₁t + ω² ₀B cos ω₁t = Bcos ω₁t(ω² ₀ -ω² ₁),
x₁*(t)=-x₀/(ω² ₀-ω² ₁) *cos ω₁t(ω² ₀- ω² ₁) =x₀ cos ω₁t,
Die Dgl. (1) +(2) = (1)-(2) nur (1) +(2) --- ω₁ und (1) -(2) --- ω₂, x₂*(t)= x₀ cos ω₂t,
Rücksubstitution: x₁*= (x₁+x₂), x₂*= (x₁-x₂),
x₁*+ x₂*=(x₁+x₂)+(x₁-x₂) = x₁+x₂+x₁-x₂ = 2 x₁,
x₁*- x₂*=(x₁+x₂) - (x₁-x₂) = x₁+x₂-x₁+x₂ = 2 x₂,
x₁= (x₁*+x₂*)/2 = 2 x₀(cos ω₁t +cos ω₂t),
x₂= (x₁*-x₂*)/2 = 2 x₀(cos ω₁t - cos ω₂t).
Kopplung von drei Schwingern (ohne Kopplungsfeder)
Bild 1.1.5.1 ohne Kopplungsfeder
Jeder Schwinger wird um x = x₁= x₂= x₃ ausgelenkt, und zwar nach (+).
Die Massen = m₁= m₂= m₃, die Feder-konstanten der Blattfedern = k₁= k₂=
k₃ sind gleich. x₀₁ = x₀₂= x₀₃ = Gleichge-wichtslage = Nulldurchgang,
I = ½ (I_m+I_m) + I_F, I_m = 2 x₁,
I = ½ (2 x₁ +2 x₁)+ 2x₁= 3 x₁. Sind die
Schwinger so positioniert, besteht keine Verbindung zwischen ihnen und sie können frei schwingen ohne zusammen zu stoßen. Werden alle Schwinger um= x = x₁= x₂ = x₃ ausgelenkt und schwingen frei, dann gilt:
x°° + ω² ₀ x= 0, ohne Dämpfung.
Die Herleitung der Dgl. erfolgt über die Kräfte am Schwinger: F_F= k x.
∑F = -F_R1 =k x₁, ∑F = -F_R2= k x₂, ∑F= -F_R3 = k x₃, die Schwinger sind jetzt ausgelenkt. F_a= F_R= mx°°, ∑F = 0 = mx₁°°+ k x₁, ∑F = 0 = mx₂°°+k x₂, ∑F = 0 = mx₂°°+ k x₃.
Die Schwinger sind jetzt losgelassen, dann gilt das Newtonsche Kraftgesetz. mx₁°°+k x₁= 0 mit der Lsg: x₁= C₁e^k1t + C₂e^k2t, k₁= -δ +(δ -ω² ₀)^1/2, k₂= -δ -(δ -ω² ₀)^1/2.
Da ja x = x₁= x₂= x₃ gleich sind, sind auch x = x₁°°= x₂°°= x₃°° gleich und damit sind auch die Lösungen gleich x₁= x₂= x₃ = C₁e^k1t + C₂e^k2t. Die Konstanten C₁ und C₂ werden mit den Randbedingungen ermittelt.
Hier gilt: E_kin+E_pot = konst. (ohne Dämpfung für jeden einzelnen Schwinger)
E_kin+E_pot = ½ m x₁°²+1/2 k x² ₁= konst.,
E_kin+E_pot = ½ m x₂°² +1/2 k x² ₂= konst.,
E_kin+E_pot = ½ m x₃°² +1/2 k x² ₃= konst.
Kopplung von drei Schwingern (mit Kopplungsfeder)
Bild 1.1.6.1 mit Kopplungsfeder ohne Luftreibung
Der Schwinger = S₁ wird nach rechts (+) ausgelenkt, und zwar um x₁, dann werden die Anderen beiden um x₂ und um x₃ ausgelenkt. Die Massen = m₁= m₂ = m₃, die Federkonstanten der Blattfedern= k₁= k₂= k₃= k₁₂= k₂₃. x₀₁ = x₀₂= x₀₃= Gleichgewichtslage = Nulldurch-gang sind gleich, I = Schwingerabstand = Blattfederabstand.
I = ½ (I_m+I_m) + I_F, I_m = 2 x₁,
I = ½ (2 x₁ +2 x₁) + 2x₁= 3 x₁, x₁= x₂= x₃= I_F
Durch die Spiralfeder = Druckfeder sind die Schwinger aneinander gekoppelt. Werden die Schwinger = S₁, S₂ und S₃ ausgelenkt und losgelassen wirken, die Kräfte im Bild.
Die Druckfeder wirkt wie ein Magnetfeld zwischen den Schwingern. Die Dämpfung wird vernachlässigt F₁₂= k₁₂ (x₁-x₂), F₂₃= k₁₂ (x₂-x₃).
Die Herleitung der Dgl. erfolgt über Kräfte am Schwinger: F_F = kx,
∑F₁= k x₁= -F_R1- k₁₂ (x₁-x₂), ∑F₂= k x₂ = -F_R2+k₁₂ (x₁-x₂) - k₂₃ (x₂-x₃),
∑F₃=k x₃= -F_R3 + k₂₃ (x₂-x₃), die Schwinger sind jetzt ausgelenkt F_R= F_a= mx°°,
∑F₁ = 0 = mx°°₁+ k x₁ + k₁₂ (x₁-x₂),
∑F₂ = 0 = mx₂°°+ k x₂ - k₁₂ (x₁-x₂) + k₁₂ (x₂-x₃),
∑F₃ = 0 = mx°°₃+ k x₃ - k₂₃ (x₂-x₃), mit F_a = F_R= ma = mx°° und mit k = k₁₂ = k₂₃,
Vereinfachung
Alle Systemfedern werden durch eine Auslenkkraft gespannt und beschleunigen alle Massen = Blattfederaufsätze z. Z. t = t₀ in die gleiche Richtung, entgegen der Auslenkbewegung.
mx°°₁+ mx₂°°+ mx°°₃ = -k x₁ + k₁₂ (x₁-x₂)+ k x₂ - k₁₂ (x₁-x₂) + k₁₂ (x₂-x₃) +k x₃ - k₂₃ (x₂-x₃), m(x°°₁+x₂°°+x°°₃) =- k(x₁ + x₁ - x₂ + x₂ - x₁ + x₂ + x₂ - x₃ + x₃ - x₂ + x₃),
M(x°°₁+x₂°°+x°°₃)=- k(x₁+x₂ +x₃), d.h. die Gesamtgeschleunigung beruht auf der gesamten Auslenkung der Systemfedern.
m(x°°₁+x₂°°+x°°₃) - k(x₁+ x₂ +x₃) = 0 mit x₁+ x₂ +x₃ = x* = Gesamtauslenkung und x°°₁+x₂°°+x°°₃= x°°*= Gesamtbeschleunigung.
m x°°* +kx* = 0 --- m x°°* +kx* = 0 mit k/m = ω*²,
x°°* + ω*²x* = 0 --- Dgl. des Schwingsystems mit der Lsg. :
x*= C₁e^k1t + C₂e^k2t, k₁=-δ +(δ -ω*²)^1/2, k₂=-δ - (δ -ω*²)^1/2, die Konstanten C₁ und C₂ werden mit den Randbedingungen bestimmt.
x*_m = Die Anfangsauslenkung des System, die Summe der drei Einzelauslenkungen.
Luftreibung
Bild 1.1.6.1.1 mit Kopplungsfeder und Luftreibung
Wie Bild 12.1.6.1 nur dass die Kräfte:
Luftreibung = F_L hinzukommt.
Der Schwinger = S₁ wird nach rechts (+) ausgelenkt, und zwar um x₁, dann werden die Anderen beiden um x₂ und um x₃ ausgelenkt. Die Massen = m₁= m₂ = m₃, die Federkonstanten der Blattfedern= k₁= k₂= k₃= k₁₂ = k₂₃. x₀₁ = x₀₂ = x₀₃ = Gleichgewichtslage = Nulldurch-gang, I=Schwingerabstand = Blattfederabstand.
I = ½ (I_m+I_m) + I_F, I_m = 2 x₁,
I = ½ (2 x₁ +2 x₁) + 2x₁= 3 x₁, x₁ = x₂= x₃= I_F
Durch die Spiralfeder = Druckfeder sind die Schwinger aneinander gekoppelt. Werden
die Schwinger = S₁, S₂ und S₃ ausgelenkt und losgelassen wirken, die Kräfte im Bild.
Die Druckfeder wirkt wie ein Magnetfeld zwischen den Schwingern. Die Dämpfung wird nur mit der Luftreibung (F ∼ x°²) berücksichtigt.
Die Herleitung der Dgl. erfolgt über Kräfte am Schwinger: F_F = kx,
∑F₁=k x₁=-F_R1 - k₁₂(x₁-x₂), ∑F₂= k x₂ = -F_R2+k₁₂ (x₁-x₂) - k₂₃ (x₂-x₃),
∑F₃=k x₃=-F_R3 + k₂₃ (x₂-x₃), die Schwinger sind jetzt ausgelenkt F_R=F_a=mx°°.
∑F₁ = 0 = mx°°₁+ k x₁ + k₁₂ (x₁-x₂) + rx°²,
∑F₂ = 0 = mx₂°°+ k x₂ - k₁₂ (x₁-x₂) + k₁₂ (x₂-x₃) + r x°²,
∑F₃ = 0 = mx°°₃+ k x₃ - k₂₃ (x₂-x₃) + r x°² mit F_a= F_R= ma = mx°° und mit k = k₁₂ = k₂₃.
Vereinfachung
Alle Systemfedern werden durch eine Auslenkkraft gespannt und
beschleunigen alle Massen = Blattfederaufsätze z. Z. t = t₀ in die gleiche Richtung, entgegen der Auslenkbewegung und die Luftreibung wirkt an alle Schwinger gleich. Reibkräfte wirken immer der Beschleunigungskraft = Rückstellkraft entgegen.
mx°°₁+ mx₂°°+ mx°°₃ = -(k x₁ + k₁₂ (x₁-x₂)+ k x₂ - k₁₂ (x₁-x₂) + k₁₂ (x₂-x₃) +k x₃ - k₂₃ (x₂-x₃))- r x°² m(x°°₁+x₂°°+x°°₃) = - k(x₁ + x₁ - x₂ + x₂ - x₁ + x₂ + x₂ - x₃ + x₃ - x₂ + x₃) - x°²
m(x°°₁+x₂°°+x°°₃) = - k(x₁+ x₂ +x₃) - rx°², d.h. die Gesamtgeschleunigung beruht auf der gesamten Auslenkung der Systemfedern gehemmt durch die Luftreibung.
m(x°°₁+x₂°°+x°°₃) - k(x₁+ x₂ +x₃) - 3r x°² = 0 mit x₁+ x₂ + x₃ = x* = Gesamtauslenkung und x°°₁+ x₂°°+x°°₃= x°°* = Gesamtbeschleunigung.
m x°°*+ kx* + 3r x°² = 0 --- m x°°*+ 3r x°² +kx* = 0 mit k/m = ω*², 6 δ = r/m,
x°°* + 6δ x°*² + ω*²x* = 0 (1) --- Dgl. des Schwingsystems mit Luftreibung, x°² = x°*², Läst sich elementar nicht lösen...
Mit nummerischer Integration der Schwingungsgleichungen (1) ist eine Lösung denkbar. Schwingt das System im Vakuum entfällt die Luftreibung.
Wie jedes Maschinenelement mit Verschleiß - Dissipation von Materie - behaftet ist,
ist auch der Schwinger mit Verschleiß behaftet. Die Schwingzahl, die zum Bruch der Blattfeder führt, muss bekannt sein und wird im Dauerschwingversuch ermittelt.
Die Reibung während des Schwingens führt zu gedämpften Schwingungen. Mehrere Reibarten sind für die Dämpfung des Schwingers maßgebend:
a) Luftreibung, b)Elementarteilchenreibung und c) Einspannreibung.
Die Kraft, die jeder Reibart zugeordnet ist, ist die F_R= Reibkraft, und diese ist
entsprechend der Reibart in der Dlg. des Schwingers zu berücksichtigen.
Alle Reibarten berücksichtigt die Dgl. =(1)
x°° + ∑_i=0 ^i=Nδ_i x°ⁱ + ω₀ x = 0 (1) Ansatz: x = e^at für i = 1 und δ₀ = 0
x°° + 2δ₁ x° + ω₀ ² x = 0, ist die bekannte Dgl. für eine gedämpfte Schwingung mit der Lsg: x(t) = C₁ e^a1t + C₂ e^a2t diese Lsg. berücksicht die Luftreibung nicht.
Für i = 2 und δ₀ = 0
x°°+ 2δ₁ x° + 2δ₂ x°² + ω₀ ² x = 0 Ansatz: x = e^at,
a² e^at +2 δ₁ a e^at+ 2δ₂ (a e^at)² + ω₀ ²e^at= 0,
e^at (a²+2 δ₁ a+ 2δ₂a² e^at + ω₀ ²)= 0 mit e^at≠0,
(a²+2 δ₁ a+ 2δ₂a² e^at + ω₀ ²)= 0. Die Dgl. ist nicht mehr elementar lösbar, berücksichtigt aber die Luftreibung.
Kurbelantrieb
Die Kurbel dreht rechts herum, Uhrzeigersinn, und startet (mathematisch) im II. Quadranten.
Bild 1.2.1
Die Punkte a-b-c - „bilden“ ein Dreieck. Vom Punkt c aus wird das Lot auf die Strecke = x gefällt, dann entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.
1 = Masse = Schwingeraufsatz, x = Schwingweg, x° = Schwinggeschwindigkeit, x°°= Schwingbeschleunigung, ß = Kurbelwinkel. Ist die Einschwingphase abgeschlossen, übernimmt die Erregerkraft den Betrieb der Schwingmaschine.
Bild 1.2.2 Kurbeltrieb
a = l_k = Pleuelstange, b = r = Kurbelradius, γ + β =180° mit ß = Kurbelwinkel. Das Lot von B aus, teilt das Dreieck: A-B-C in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Pleuelstange = l_k und der Kurbelradius = r bleiben beim Kurbeltrieb konstant.
Die Winkel: α, χ und γ ändern sich beim Drehen der Kurbel und die Strecke c = c₁+ c₂ ändert sich in dem Verhältnis, in dem sich die Strecken c₁ und c₂ ändern.
Die Punkte: A, B und C mit den Seiten: a, b und c bilden das Dreieck. Sind: a, b und γ bekannt, kann die Seite = c berechnet werden c = f(a, b, γ).
a² = h²+ (c - c₂)² mit sin γ = h/b --- h = b sin γ,
h² = b²sin² γ = b²sin² γ + c² - 2cc₂+ c₂ ² mit cos γ = c₂ /b , c₂ = b cos γ, c₂ ² = b² cos² γ²,
a²= b²sin² γ + c ² - 2c b cos γ + b² cos² γ² = b²sin² γ + b² cos² γ² + c² - 2c b cos γ =
= b² + c² - 2c b cos γ.
Für den Kurbelantrieb gilt:

I² = r² + x ² - 2x r cos β mit ß = 180° - γ,
I² = x² + r²- 2 x r cos (180°- γ) - x² - 2 x r cos (180°-γ) = I² - r²,
x² - 2 x r cos (180°-γ) - (I² - r²)= 0 (1).

²

x₁, x₂ = - p/2 +/- ((p/2)² - q)^1/2, p = 2 r cos β, q = (r² -I²),
x₁ = - p/2 + ((p/2)² - q)^1/2 = - r cos β + (r² cos²β - r² + I²)^1/2,
x₂ = - p/2 - ((p/2)² - q)^1/2 = - r cos β - (r² cos²β - r² + I²)^1/2,
x₁ ist die Lsg, denn: (x₁ + r cos β)² = r² cos²β - r² + I² = + I² + r² (cos²φ-1),
mit cos²β + sin²β = cos²β -1= - sin²β, (x₁ + r cos β)² = I² - r² sin²β,

²

₁

²

₁

²

₁

²

₁

²

^1/2

²

^1/2

Kopplung von Schwinger und Kurbelantrieb
Bild 1.2.1.1
1= Stabmagnet (Schwinger)
momentane Position,
2= Kurbellager, 3 = Totpunkt:
Start- und Umkehrpunkt,
4 = Pleuelstange, 5 =Pleuelstangen- und Kurbelpunkt,
6 =Stabmagnet,
7 = Schwinger (Blattfeder),
x = Weg des Dauermagneten,
n = Drehzahl der Kurbel,
α = Pleuelstangenwinkel,
β = Kurbelwinkel,
φ = Blattfederwinkel,
γ = 180 - ß = Kurbelwinkel.
Vom Totpunkt =3 aus wird der Weg des Dauermagneten mit dem Kurbelwinkel = β berechnet. Von Punkt = 3, Umkehrpunkt des Schwingers, beginnt der Schwingweg = x bis zum nächsten Umkehrpunkt = 3*. Allgemein gilt:
x = Weg des Dauermagneten ist Pleuelstangenlänge = I_K und Kurbelradius = r_k, minus der Projektion von beiden auf den Weg = x des Dauermagneten = Schwingweg.
Achse: x = r_k + I_k -(cos α I_s + cos γ r_k) mit dieser Formel ist nur der Pleuelstangenwinkel = α durch den Kurbelwinkel = γ = 180° - ß ersetzt werden.
Schwingerposition gleich Kurbelantriebsposition
Kurbelrad, Schubstange und Schwinger bilden eine Einheit. Der Schwinger soll das Kurbelrad während des Betriebs der Schwingmaschine drehen. Bevor der Schwinger das Kurbelrad drehen kann, muss er Energie in Form von Spannenergie = E_pot = k x² aufnehmen. Ist die Blattfeder gespannt, besitzt der Schwinger Spannenergie und kann diese Energie an die Schubstange bzw. an das Kurbelrad weiterleiten. Damit legt die Schwingerposition, die Position des Kurbelrades, fest. Die Masse des Schwingers beschreibt beim Schwingen einen Kreisbogen mit dem Radius = r = l = Länge der Blattfeder. Im Betrieb schwingt der Schwinger hin und her, das Kurbelrad soll sich ohne Drehrichtungswechsel drehen, somit muss gelten x > r, mit x = minimale Auslenkung, r = Kurbelradius. Wird der Schwinger nach links ausgelenkt, bewegt die Rückstellkraft = Federkraft der Blattfeder das Kurbelrad nach rechts mit einer Rechtsdrehung (Uhrzeigersinn).
Beim Rückschwingen der Blattfeder soll das Kurbelrad seine Drehrichtung beibehalten, d.h. nach Erreichen des Umkehrpunktes muss die Kurbel sich im Uhrzeigersinn weiter drehen.
Bild 1.2.2.1

Die Quadranten des Kurbelantriebs sind mathematisch definiert, verlaufen somit entgegen dem Uhrzeigersinn:
In einen Koordinatensystem : y -Achse (+) = Ordinate und x- Achse (+) = Abzisse. Die Winkel der einzelnen trigonometrischen Funktionen beginnen im l. Quadranten zu zählen

Quadranten:	I	II	II	IV
Kurbelwinkel = ß	(0-90)°	(90-180)°	(180-270)°	(270-360)°

1 Radiant = rad = 1m/1m, (rad) = 1--- φ* = (π rad/180°) φ°, --φ° = (180°/π rad) φ*,
φ, β :	0°	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
φ,β:	0	0,785	1,57	2,355	3,14	3,925	4,71	5,495	6,28
β, ß = Kurbelwinkel(Drehwinkel) und φ, φ = Blattfederwinkel (Schwingwinkel)

Konzepte - Konstruktionen - für den Schwingausgleich
Bild 1.3.1 Konzepte für den Schwingausgleich
1 = Grundplatte, 2 = Schwinger mit Dauermagnet, 3 = Schwinger mit Spule, Spule mit Fe-Kern, 4 = bewegte Einspannung mit Antriebsmotor für den Kurbelantrieb, 5 = Antriebsmotor auf der fliegenden Welle mit Generatoren und Schwungmassen,
6 = Schwingausgleich: Thomson-Spule, Spule mit Fe-Kern und Al-Ring (Al-Ring ist an der Schubstange befestigt), 7 = Schwingausgleich: Spule mit Fe-Kern als Zugmagnet (Eisenstück an der Schubstange), 8 = Klingelantrieb: Spulen mit U-förmigen Fe-Kern.
Die Baugruppen: 3,6,7 und 8 bedingen die Selbstinduktion.
Induktion
Im Makrokosmus ist Materie an Ladungen gekoppelt. Im Mikrokosmus gilt dieser Satz des Makrokosmus auch, nur ist hier Masse ohne Ladung (Neutronen) neben Masse mit pos. Ladung (Positronen) und Masse mit neg. Ladung (Elektronen) vorhanden.
Die Teilchen mit Ladungen sind Quellen (Positronen) und Senken (Elektronen) von elektrischen Wellen. Jede elektrische Welle erzeugt eine mag. Welle und umgekehrt. Bewegen sich nun Teilchen, die mit einer Ladung behaftet sind, erzeugen sie je nach Bewegung (beschleunigt oder nicht beschleunigt) veränderliche (turbulente) oder konstante (wirbelfreie) Felder (Feldlinien).
Hier ist die Induktion gemeint, die von einer Vielzahl von Teilchen mit Ladungen erzeugt wird, wenn beispielsweise eine Leiterschleife - Vielzahl von Teilchen mit Ladungen - durch ein Magnetfeld bewegt wird. Ist die Leiterschleife offen, kann an den Enden ein Spannungsstoß gemessen werden, ist sie geschlossen entsteht ein Stromstoß; dieser Vorgang wird elektrische Induktion genannt.
Bild 1.3.1.1
A *= Flächeninhalt der Kurve, ist ein Maß für die induzierte Spannung = U und Strom = I.
A* = ∫_t0 ^t1U_inddt = Φ(t₁) - Φ(t₀) - Φ = ΔΦ, Φ = B A (A = Fläche der Leiterschleife) und B = mag. Induktion.
Eine Spule besteht aus mehreren Leiterschleifen, somit gilt für die Induktion einer Spule:
U_ind = - n dΦ/dt mit n = Anzahl der Leiterschleifen, A * = n ΔΦ = n Δ B A.
Die Umwandlung von Materie in Wellen ist mit Energie verbunden, Energie ist Masse.
E = m x°²(Masse ist Energie mit x_M° = Geschwindigkeit der Masse),
ΔE = h f (Energieportion = Quant mit h = Konstante, f = Frequenz),
ΔQ = (e = q = Ladungsportion = Elektron mit Q = ∑q = ∑e),
E = Ew x Hw (E = Energie, Ew = elektr. Feldstärke (Welle), Hw = mag. Feldstärke (Welle), H" - 1/x°²H°° = 0, E" - 1/x°²E°° = 0 mit x° = f λ= Wellengeschwindigkeit, f = Frequenz,
λ = Wellenlänge des Magnetfeld = H (H°, H°°, H', H"sind Ableitungen nach der Zeit = t oder Weg = x). Diese Felder werden verändert in dem Dauermagnete oder stromdurchflossenen Spulen aufeinander zu oder voneinander weg bewegt werden oder wenn wir
eineSpule einschalten (H > 0) oder eine Spule abschalten (H = 0) oder eine Leiterschleife mit derFläche = A senkrecht zu H bewegen oder die Fläche = A im Magnetfeld verformen oder A im Magnetfeld drehen. In den Baugruppen im Bild 1.3.1 werden Magnetfelder verändert, die Magnetfelder wechselwirken miteinander. Die Wechselwirkung der Felder soll am Beispiel eines Kupferdrahtes (Kupferstab), der in das Magnetfeld eines U-Magneten pendelt, erklärt werden.
Bild 1.3.1.2
1 = U-Magnet, B_U= mag. Induktion des U-Magneten (Dauermagnet) 2 = Schaukel, Bs= mag. Induktion des Kupferstabes, wenn Strom durch den Leiter fließt. F_L= q (E + x° B) = Lorentz-kraft, sie lässt sich unterteilen in: F_x= F = q x° B = magnetische Kraft und F_y= F = q E = elektrische Kraft.
Legen wir an den Enden des Schaukeldrahts eine Spannung = U, fließt je nach Polung ein Strom = I. Die Spannung, die am Schaukeldraht anliegt, erzeugt im Leiter = Kupferdraht ein elektr. Feld = E und dieses E-Feld bewegt die Elektronen im Leiter durch den Leiter (F_y= F = q E). In Metallen (Kupferdraht ist ein Metall) werden die s.g. Valenzelektronen, die nicht an einen Atomkern gebundenen Elektronen, durch den Raum im Kupfer der nicht durch Gitteratome begrenzt ist, beschleunigt. Um diese freien Wegstrecken - Flugbahn = Elektronenfaden - bildet sich ein radialsymmetrisches Magnetfeld = B-Feld aus, das durch die Oberfläche des Drahtes dringt.
Nun stehen sich im Raum zwei Magnetfelder gegenüber, die miteinander Wechselwirken. Je nach Stromrichtung - Strom = bewegte Elektronen - ändern sich die Feldlinienrichtung um den Kupferdraht. Das Magnetfeld des U-Magneten ändert seine Richtung nicht, die Stromrichtung durch den Kupferdraht einscheidet, ob der Draht in das Magnetfeld des U-Magneten hinein- oder herausgestoßen wird. Die Wechselwirkung von Magnetfedern finden wir dem Prinzip auch beim elektrischen Motor und Generator, bei den Baugruppen: 5, 7 und 8 im Bild 1.3.1 wieder. In Baugruppe 5 wechselwirken Magnerfelder miteinander, damit kann Motor auch als Generator eingesetzt werden. Der Motor Baugruppe 5 übernimmt die Startphase der Schwingmaschine, d.h. er bringt die Schwingmaschine in den Betriebszustand und dann übernimmt der Klingelantrieb, Baugruppe 8, den weiteren Betrieb der Schwingmaschine. Arbeitet die Schwing-maschine im Betriebszustand erzeugt der Motor (Baugruppe 5) Strom, er arbeitet als Generator.
Selbstinduktion
Bild 1.3.1.1.1 (Parallelschaltung)
S = Schalter, L₁= L₂= Glühlampen, R = Widertand (ohmser), R = Widerstand (ohmscher), L = Spule mit Fe-Kern, U = Gleichspannung Fe-kern.
Bild 1.3.1.1.2 (Parallelschaltung)
S = Schalter, G = Glimmlampe, L = Spule mit Fe - Kern.
(Versuch 1)
Bild 1.3.1.1.1 zwei gleiche Glühlampen = L₁= L₂ sind parallel geschaltet und liegen an einer Gleichstromquelle = U. Nach der Glühlampe = L₁ ist ein verstellbarer Widerstand = R und nach der Glühlampe = L₂ eine Spule mit Fe-Kern geschaltet. Beide Glühlampen werden bei geschlossenem Schalter so geregelt, das beide Glühlampen gleich hell leuchten Einschalten: Die Glühlampe = L₁ im Widerstandszweig leuchtet sofort, die im Spulenzweig merklich später auf. Der Strom des Spulenzweiges erreicht nicht sofort seine volle Höhe. Ausschalten: (Annahme) die Glühlampen (L₁, L₂) in beiden Zweigen leuchten heller auf, weil ihre Widerstände, der ohmsche Widerstand der Spule mit dem des regelbaren Widerstandes, abgestimmt wurden und die Spule jetzt als Spannungsquelle mit höherer Energie arbeitet.
Bemerkung
Die Spule hält den Strom= I, der durch ihren Zweig fließt zurück, lädt sich selbst erst mit Energie = E = U I t = Pt auf und gibt dann den Strom weiter an die Glühlampe = L₁, so dass diese später leuchtet. Die Spule wandelt elektr. Energie in magn. Energie um. Schalten wir den Strom ab, nach dem die Spule sich mit magn. Energie geladen hat, gibt sie diese Energie, die größer ist als U < P/I, weiter.
(Versuch 2)
Bild1.3.1.1.2 Eine Glimmlampe ist parallel zu einer Spule mit Fe-Kern geschaltet. Die Spannungsquelle U = 24 V kann durch den Schalter dazu oder abgeschaltet werden.
Einschalten: Die Glimmlampe = G leuchtet nicht, weil sie ein Zündspannung von U = 150 V hat.
Ausschalten: Die Glimmlampe glimmt leicht, und zwar die Elektrode die am Pluspol = (+) der Spannungsquelle anliegt.
Bemerkung
Die Glimmlampe ist eine Leuchte, bestehend aus einem Glaszylinder, der an den Stirnflächen zwei Metallkappen trägt. Die Kappen tragen je eine Elektrode (Draht, der zur Mitte des Glasrohrs abgebogen ist, so dass sich die Drähte, nicht berührend, parallel gegenüber stehen) neg. Elektrode = Kathode und pos. Elektrode = Anode, die das Edelgas (Neon) bei geringem Druck im Glaszylinder zum Leuchten bringt. Es werden Spannungen von ca. 150 V benötigt, erst dann leuchtet Neongas. Der Strom muss durch einen Widerstand (ca. 100 kΩ) begrenzt werden. Der Glaszylinder mit Gas gefüllt ist gasdicht verschlossen.
Im Versuch Induktivität (stromdurchflossener Kupferdraht wird von einen U-Magneten abgelenkt) haben wir gezeigt, dass sich um den Kupferstab ein radialsymmetrischen Magnetfeld aufbaut. Dieser Effekt kann beim verformen des Kupferstabes zu einer Leiterschleife nicht verloren gehen. In einer Spule sind n- Leiterschleifen aneinander gereiht und werden nacheinander von Strom durchsetzt, bilden also nacheinander ein Magnetfeld aus. Nun wirkt jede Leiterschleife, die gerade von Strom durchsetzt wird, auf die vorhergehende zurück, d.h. beide Magnetfelder beeinflussen sich. Dieser Effekt lässt im sich Versuch zeigen.
Bild 1.3.1.1.3
1 = Primärspule, 2 = Sekundärspule, S = Schaltet, U_ = Gleichspanungsquelle, V = Voltmeter. Fließt durch die Primärspule = 1 ein Strom = I, so bildet sich ein Magnetfeld aus, deren Feldlinien durchsetzen die Sekundärspule = 2.
Feldlinien, die einen Leiter schneiden, erzeugen in dem Leiter einen Spannungsstoß, der durch das Voltmeter angezeigt wird. Haben die Feldlinien der Primärspule alle Leiterschleifen der Sekundärspule durchschnitten, haben wir zwei Spulen mit gleichem Magnetfeld, als ob die Leiterschleifen der Primärspule mit den Leiterschleifen der Sekundärspule verbunden wären. Beide Spulen bleiben in Ruhe - Induktion der Ruhe - im Gegensatz zur Induktion der Bewegung, wo sich die Primärspule der Sekundärspule nähert und in ihr einen gleichnamigen Magnetpol an der Stirnfläche induziert, die Spulen stoßen sich ab. Bei der Induktion der Ruhe folgt die Sekundärspule der Veränderung an der Primärspule (Ein- und Ausschaltvorgänge). Legen wir an der Primärspule eine Wechselspannung, wird auch in der Sekundärspule eine Wechselspannung induziert. Die Änderung des magnetischen Feldes einer Spule bewirkt nicht nur in einer davor aufgestellten Spule (Bild 1.3.1.1.3) eine Induktion, sondern in den Windungen der Primärspule wird die Änderung des von ihr selbst erregten Feldes wirksam (Selbstinduktion). Die Spule wird beim Abschalten von einem Verbraucher zu einer Spannungsquelle, sie versucht, den Strom in gleicher Richtung weiter fließen zu lassen; dabei hat sich die Polung der Spannung an der Spule umgekehrt. Nun bestätigen beide Versuche (Bild 1.3.1.1.1-2), dass die Spule beim Einschalten Zeit benötigt bis der Einschaltstrom = I die letzte Windung der Spule erfasst hat, beim Ausschalten vergeht ebenfalls Zeit, bis der Strom = I = 0 ist.
Das Besondere der Selbstinduktion ist, dass die Spannung gleich nach dem Ausschalten um ein Vielfaches höher ist als die Spannung, die an der Spule anliegt.
Mit einem Oszillographen lässt sich die Zeit bestimmen, wie lange die Spule benötigt, um nach dem Einschalten ihren max. Strom = I_max und nach dem Ausschalten den min. Strom = I_min= 0 erreicht. Außerdem kann die Spannungsspitze nach dem Ausschalten vom Bild des Oszillographen abgelesen werden.
Bild 1.3.1.1.4
L = Spule mit Fe-Kern, R = ohmscher Widerstand, U_ = Gleichspannung, S = Schalter, 1 = Oszillograph.
L und R sind in Reihe geschaltet. Der Widerstand = R wird an den Oszillographen angeschlossen. Schalten wir den Schalter = S periodisch ein und aus, zeigt sich am Oszillograph, folgendes Bild:
Bild 1.3.1.1.5
Auf dem Bildschirm des Oszillographen erkennen wir den langsamen Zeitverlauf = t, den Anstieg von I auf I_o und von U₀ auf U nach dem Einschalten der Spannung = U. Bein Ausschalten fließ der Strom = I noch ein wenig weiter und geht allmählich auf Null zurück. Die Selbstinduktion ist an der Spannungsspitze am Ausschaltpunkt (t_aus) gut zuerkennen. Die Zahlenwerte von t = Zeit sowie U und I sind ablesbar. Wird in gleichen Abständen ein- und ausgeschaltet ist Δt = t_aus - t_ein = konstant.
Beim Einschalten einer Gleichspannung mit Induktivität erreicht der Strom erst nach einiger Zeit seine Endwerte. In jedem Stromkreis muss die Summe aller Spannungen Null sein - Maschenregel -. Die Maschenregel: ∑u = 0= u - R i - L di/dt = 0. Wird der Schalter = S geschlossen, beginnt die Spannung = u (Ursache) auf den Stromkreis mit den Strom = I zu wirken (Wirekung). Ohne Selbstinduktion würde der Strom rasch auf den Wert i = u/R ansteigen. Mit Selbstinduktion im Stromkreis wirkt die Induktionsspannung = u_i der Spannung = u entgegen - Lenzsche Regel -, der Strom kann nicht beliebig anwachsen. Einschaltvorgang: Der Strom, die Elektronen, werden in jedem Augenblick von der Spannung = u - u_i = i R bewegt. Bei t = 0 muss I = 0 sein --- u = u_i = 0 ---- u = u_i=L di/dt, damit ist z.Z. = t =0 noch kein Anstieg des Stromes di/dt = (1/L)u festzustellen und dieser Anstiegsstrom ist vom ohmschen Widerstand unabhängig. Bei großer Selbstinduktivität, große Windungszahl = N, steigt der Strom langsam bei kleiner schneller an. Mit wachsender Stromstärke muss di/dt abnehmen und damit ist der Ansatz: u = R i, L di/dt = 0 --u - L di/dt = i R, erfüllt. Die Stromstärke = i erreicht nicht sofort den stationären Wert i = u/R, sondern folgt zeitlich dem Exponentialgesetz: i = I(1 - e^-(R/I)t) = (1 - e^-t/T),
Γ = L/R =Zeitkonstante.
Einschub
Der Schwinger ist eine Blattfeder mit Massenaufsatz (meachnischer Schwinger). Der Strom sind bewegte - schwingende Massen - Elektronen (elektischer Schwinger).
Wir vergleichen beide Schwinger miteinander, denn wir wissen, dass Energie nicht erzeugt und nicht vernichtet werden kann, sondern nur umgeformt wird.
Beide Schwinger bedingen Energie:
E_E + E_M = E_schw.= konst. --- 1/2 Q²/C + ½ L I² = E_schw.= konst. --- elektrischer Schwinger.
E_p + E_k = E_schw.= konst. --- 1/2k x² + ½ m x°² = E_schw.= konst. --- mechanischer Schwinger. 1/2 Q²/C + ½ L I² = E_schw.= konst ---1/2 Q/CQ + ½ L II = E_schw.= konst.
1/2k x² + ½ m x°² = E_schw.= konst --- 1/2k x x + ½ m x°x° = E_schw.= konst.
Leiten wir beide Gleichungen nach der Zeit ab, folgt:
1/2C (Q°Q + Q°Q) L/2 (II° + II°)= 0 --- mit Q° = I --- (1/C)IQ + L II°= 0---(1/C)Q + L I°= 0 (1)
(K/2) x° x + x° x + (m/2) x°x°°+x°x°° = 0 --- k x + mx°° = 0 (Kraft)
leiten wir (1) nochmals nach der Zeit ab, folgt:
(1/C)Q° + LI°°= 0 --- (1/C)I + L I°° = 0 --- I°°+ (1/LC)I = 0 --- I°° + ω² I = 0 mit ω² =1/LC
--- k x + mx°° = 0 --- x°°+ ω²x = 0 mit ω² = k/m
Jetzt ist verständlicher, warum das Zeitverhalten des Schwingers - mechanischen Schwingers - mit dem eines Elektrons - elektischen Schwinger - zu vergleichen ist.
Beim Schwinger ist es die pot. Energie, die Spannenergie, und bei dem Elektronen ist es der Potentialunterschied zwischen Minuspol = (-)-Pol und Pluspol = (+)-Pol (Spannung = u), die die Massen in Bewegung hält.
Für t = Γ = Zeit, hat die Stromstärke = I einen Wert, der bei T(t = Γ) = 63,2% vom Endwetes ist. Dann ist I = I(1 - e^-1t/T) = 0,632 I. Für t = 3 Γ ist i = I(1 - e^-3) = 0,950 I.
Dieser Stromanstieg mit Induktivität (Einschaltvorgang) lässt sich graphisch darstellen.
Bild 1.3.1.1.6
Maschenregel: u_a - L di/dt - i R_Ω= 0 (1) u_a = Batteriespannung = konstant = (Gleichpannung). L di/dt = Spannung an der Spule= i R_Ω= Spannung am ohmschen Widerstand--- tanα = di/dt = I°.
Der Proportionalitätsfaktor = L = - U_ind/I° = (Selbst)Induktivität genannt. Er beschreibt eine elektrische Eigenschaft der Spule, wie die träge Masse eine mechanische Eigenschaft eines Körpers ist. Für eine Zylinderspule kann die mag. Induktion = B = µ n I/I* (I* = Länge der Spule mit A = konst.) berechnet werden.
U_ind = - n (a B°) und B° = µ n I°/I* und L = - U_ind/I°. U_ind = -L I°, I° ist die Steigung der Stromstärke = I und ist zu U_ind proportional.
L = µ n² A/I*ist durch vergleich mit der Spannung = U_ind errechnet.Eine Spule hat einen ohmschen Widerstand, der zu berücksichtigen ist.
Reihenschaltung einer Spule=L mit ohmschen Widerstand = R.
i = I(1 - e^-(R/L)t) = (1 - e^-t/T) ist die Lösung der Dgl = Differentialgleichung:
u_a - L di/dt - i R_Ω= 0 (1),
di/dt = (u - R i)/L --- di L/(U - R i) = dt, ∫₀ ⁱ di L/(u - R i) = ∫ dt,
-L/R ∫_u1 ^u2 dv/v = t mit der Substitution: v = u - R i, dv/di = - R,
di = - dv/R , u1 =u, u2=u - R i,
-L/R ∫_u1 ^u2 dv/v= - L/R ln v| _u ^{u - Ri}= -L/R ln (u - R i) / u = t,
In (u - R i)/ u = -t R /L,
Ansatz: y = e^x --- ln y = x In e = x,
(u - R i)/ u = e ^{-t R/L},
u - R i =u e ^-t ^R/L --- - R i = u e ^{-t R/L} - u (-1),
u - u e ^{-t R/L} = R i --- u/R (1- e ^-t ^R/L) = i, i = I(1- e^-t/T) mit T = L/R (2).
Ein anderer Rechenweg beim Einschaltvorgang
Bild 1.3.1.1.7
T---∞(geht gegen unendlich) gilt i---I, daher ist die Horizontale i = I, die Asymptote (Konstante) folgt mit (2) i = I(1- e ^-t/T) mit T = L/R (2), di/dt = 0 = (- I/T- e ^-t/Γ) = I/L e ^-t/Γ) = tan α,
tan α = I ist der Anstiegswinkel der Graden, die ihren Ursprung bei t =0 hat und sich tangential an den Graphen der Kurve = 2 anlegt und zwar bei t = t₁.
Ansatz: u_a - L di/dt - i R= 0 --- - L di/dt = i R- u_a, di/dt=-1/L (i R- u_a)= - R/L (i - u_a/R),
di /dt= - R/L(i -u_a/R), di/(i -u_a/R)=(- R/L) dt,
In (i - u_a/R) + In C =(-R/L) t, ln(i - u_a/R) =(-R/L)t - In C,
e ^ln(i-ua/R)= e^(-R/L)t e ^-lnC,
i = u_a/R = -Ce^(-R/L)t mit C = u_a/R,
i = u_a/R = - u_a/R e^(-R/L)t, i = - u_a/R e^(-R/L)t + u_a/R,
i = u_a/R (1 - e^(-R/L)t) mit u_a/R = I₀,
i = I₀ (1 - e^(-R/L)t).
Ausschaltvorgang eines Stromkreises mit Induktivität
Bild 1.3.1.1.8 Ausschalten
Zum Zeitpunkt I(t) = I_(t=0)=0 ist der Strom an der Quelle null. Im Stromkreis selbst braucht der Strom noch einige Zeit, um auf Null abzusinken.
Wie beim Einschaltvorgang hat auch der Ausschaltvorgang einen exponentiellen Verlauf.
Dgl: - L di/dt - i R = 0 mit u_a = 0 --- Lsg der Dgl: I = I₀ e ^-(R/L)t
Ist der Ansatz des Einschaltvorgangs ohne u_a = Spannungsquelle.
di/dt + R/L i =0, di/dt = - R/L i (1) das ist die Dgl: dy/dt = a y mit der Lsg: y = e^-at
Es gilt: y = e^-at, dy/dt =- a e^-at einsetzen in (1) mit a = R/L und y = i
- (R/L) e^-(R/L)t+ - (R/L) e^-(R/L)t = 0 --- i = i₀ e ^-(R/L)t mit i_(t=0) = i₀=U(t = 0)/R,
di/dt =-(R/L) I, i' =-(R/L) i mit i = e ^-(R/L)t, i'= -(R/L)e ^-(R/L)t
i' = - (R/L) i, -(R/L)e ^-(R/L)t =-(R/L) e ^-(R/L)t--- i = I₀ e ^-(R/L)t
Bild 1.3.1.1.9 Wechselspannung
ist das Bild 1.3.1.1.2 nur mit Wechselspannung S = Schalter, G = Glimmlampe, L = Spule mit Fe-Kern.
Im Wechselstromkreis wird die Spule = L immer mit einen, der Spule eignen ohmschen Widerstand in Reihe gezeichnet. Damit die Besonderheit des Wechselstroms gegenüber dem Gleichstroms deutlich wird, messen wir einmal die Stromstärke = I und Spannung = U und versuchen, dieses Daten nachzurechnen.
Annahme
U_ = 22,2 V, I_ = 280 mA Gleichspannung,
U^∼ = 22,2V, I^∼ = 28 mA Wechselspannung, Teilspannung: U^∼ _R= 13 V, U^∼ _L= 18 V,
Ohne zu rechnen: I^∼ < I_ (Faktor 10),
Summe derTeilspannungen: U^∼ _R+ U^∼ _L> U_ (31V > 22,2 V).
Bild 1.3.1.1.10
Schließen wir die Spule = L an einen Oszillograph an, dann erscheint auf dem Bildschirm der Kurven-verlauf von U_L , U_R und i (Ordinate) über die Zeit= t oder Winkelwinkel = ωt (Abzisse).
Wir erkenne, das die Teilspannung = U_L gegenüber der Teilspannung = U_R um annähernd 90° vorauseilt.
U = (U_R ² + U_L ²)^1/2= Z I---22,2V = ((13 V)² + (18 V)²)^1/2,
Z = U^~/I^~ = 22,2V/0,028 A = 792,9 Ω,
Z = (R² + X_L ²)^1/2, R = U_R/ I^~ = 13V/0,028A =464,3 Ω, X_L = U_L/I^~ = 18V/0,028A = 642,9 Ω, X_L = Z sin α --- sin α=X_L/Z = 642,9 Ω/792,9 Ω = 0,81 --- α=54,1°.
P_ = 22,4 V *0,28 A = 6,3 W,
P^~ = 22,4V * 0,28 A *cos 54,1 = 22,4V * 0,28 A* 1= 6,3 W,
X_L = ω L --- L = X_L/ω = X_L/2π f = 642,9 Ω s/ 314 = 2,05 H = V s/A,
U_ind = - L I° mit f= 1/T--- T = 1/f = 1s/50= 0,02s, I^~/T = I° = 0,028A/0,02 s = 1,4 A/s,
U_ind = - L I° = - 2,05 H*1,4 A/s = 2,87 V.
Die Induktivität einer Spule hat folgende Verluste:

a) Kupferverlust in der Kupferwicklung
b) Wirbelstrom- und Hystereseverluste im Ferritkern = Fe-Kern.

_L

²

_L

²

_L

^1/2

_L

^-6

^½

Bild 1.3.1.1.11
Würde der Wechselstromkreis nur einen ohmschen Widerstand haben, würde der Phasenwinkel = α (α = 0). Die Spulen, die wir verwenden, haben alle Kupferwicklungen und somit einen ohmschen Widerstand (Wirkwiderstand), der die Spule erwärmt (Spulenverluste).
Allgemein
Jeder Wechselstromkreis besitzt außer den Blindwiderständen (L = Spule,
C = Kapazität) auch einen ohmschen Widerstand (R = Wirkwiderstand). Die Blindwiderstände eines Wechselstromkreises erzeugen die Phasendifferenz zwischen Spannung = u und Strom = i.Der Unterschied von Wechsel und Gleichstrom wird an der Leistungsanpassung festgemacht, denn die Leistung ist im beiden Stromkreisen gleich:
P_ = P^~ (U I = U I cosα) mit cosα = Leistungsfaktor.
Momentanleistung = p = i^sin ωt u^cos ωt = i^sin ωt u^sin ωt +α,
P = Wirkleistung = 1/T ∫₀ ^T = i^sin ωt u^sin (ωt +α) dt = u^i^ cos α/2 = U I cosα.
Nur in einen Wechselstromkreis ohne Blindwiderstände erreicht der Leistungsfaktor mit α = 0 seinen Maximalwert cosα = 1.
Gleichstrom: P = U I --- Leistung
Wechselstrom: S = U I cosφ --- Leistung mit cosφ = P/S,
Q = (S²- P²)^1/2 = U I sinφ --- Blindleistung,
P= (S²- Q²)^1/2 = U I cosφ --- Wirkleistung,
S =(P² + Q²)^1/2= UI -I² Z --- Scheinleistung.
U_ind = -N Φ° = - L I° mit L= µN² A/I (I = Länge der Spule).
W/t = P = U I mit U = R I--- P = R I²= (R + R_i) I²,
W = ½ LI² --- dW/dt =1/2 L (I°I +II°) = L II = mit U = R I--- P = R I²= (R + R_i) I².
Baugruppe 3 im Bild 1.3.1 --- Spule
Bild 1.3.1.1.1.1
Baugruppe 3 ---- Spule
Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Anfahren der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in der gleichen Richtung bewegen (spannen). Der Ausgleichs-impuls - Stoßkraft- erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren.
Liegt an jeder Spule die Gleiche Spannung = U- (Gleichspannung), können die Spulen als Dauermagnete bezügliche ihre mag. Induktion = B aufgefasst werden.
Der Schwingausgleich ist dann nicht über die Spulen als Blattfederaufsatz möglich. Nutzen wir aber die Selbstinduktion, in dem wir die Spulen gezielt ein- oder ausschalten, kann der Schwingausgleich über die Spulen als Blattfederaufsatz - Schwingmasse - erfolgen. Dann bilden die Schwinger (Baugruppe 3) und der Schwingaufsatz = Spulen Schwinger.
Elektrischer Schwingkreis: Spule (Massenaufsatz)- Kondensator-System,
Mechanischer Schwinkreis: Feder - Masse (Spulenaufsatz) - System.
Schwingsysteme: Feder-Masse-Schwinger mit elektrischen Schwinger (Schwingkreis)
Bild1.3.1.1.1.2
R = ohmscher Widertstand, C = Kondensator, L = Spule, m = Masse,
k = Federkonstante, G = Wechselstromgenerator, B = mag. Induktion, Index = 1 und 2 sind gleich (1 = 2).
Die elektrischen Schwingkreise werden über die Spule - Selbstinduktion - gekoppelt.
Der Stoß der sich bei momentaner Gegenüberstellung von gleichnamig gepolten
Spulen einstellt, soll zwei von drei Schwingern auslenken (Bild 1.3.1.1.1.3). Der Kondensator = C ist zwischen den Schwingern einzubringen (Handversuch 4.3.3).
Bild 1.3.1.1.1.3
Schwingzustand: (t=0) Ausgangsposition x₀ = Auslenkung: max. ausgelenkt (Spannkraft),C = Kondensator: max. E - Feld (geladen), L = Spule: kein B - Feld (Induktion), k = Blattfeder: max. Spannkraft (Rückstellkraft),E_pot = ½ k x² = 1/2 Q²/C = max.
E_kin= min, x°=0, x°°= 0, x = x₀
Bild 1.3.1.1.1.4
Schwingzustand:(t=0 bis t =π/2)
Nulldurchgang, x₀ = Auslenkung: min. ausgelenkt (Spannkraft), C = Kondensator: min.
E - Feld (geladen), L = Spule: max. B - Feld (Induktion),k = Blattfeder: min. Spannkraft (Rückstellkraft), E_pot =min.,E_kin= m/ 2 x°²
=max., x° = konst, x°°= 0, x = 0.
Bild 1.3.1.1.1.5
Schwingzustand: (t =π/2 bist = π)
Umkehrpunkt, x₀ = Auslenkung: max. ausgelenkt (Spannkraft), C = Kondensator: max.
E - Feld (geladen), L = Spule: kein B - Feld (Induktion), k = Blattfeder: max. Spannkraft (Rückstellkraft), E_pot= ½ k x² = 1/2Q²/C = max.E_kin= min, x° =0, x°°= 0, x = x₀. Die Bewe-gung erfolgt entgegen der Auslenkbewegung
Bild 1.3.1.1.1.6
Schwingzustand:(t =π bis t = 3π/4) --- Nulldurchgang, x₀ = Auslenkung: min. auslenkt (Spannkraft), C = Kondensator: min. E - Feld (geladen), L = Spule: max. B-Feld (Induktion), k =Blattfeder: min. Spannkraft (Rückstellkraft), E_pot=min. E_kin= m/ 2 x°²=max., x° = konst, x°°= 0, x = 0. Die Bewegung erfolgt zur der Aus-lenkbewegung.
Bild 1.3.1.1.1.7
Schwingzustand:(t= 3π/4 bis t=2π=0)
Ausgangsposition, aber nicht ausgelenkt, sondern die Auslenkung nach der 1. Periode (Schwingverluste), x₀ = Auslenkung: max. ausgelenkt (Spannkraft), C = Kon-densator: max. E-Feld (geladen), L = Spule: kein B-Feld (Induktion), k = Blattfeder: max. Spannkraft (Rückstellkraft),E_pot = ½ k x² = 1/2Q²/C = max.,
E_kin= min, x°=0, x°°= 0, x= x₀.
An den Umlenkpunkten, und zwar bei: t₀= 0, t₄ = π und t₈ = 2π, und an den Nulldurchgängen: t₂= π/2 und, t₆=3π/4 hat die Kopplung (Magnetfeld) keinen Einfluss auf die Kraftübertragung.
Soll mit einem elektrischen Schwingkreis die Umkehr des Magnetfeldes erfolgen, sind der elektrische und magnetische Schwinger aufeinander abzustimmen. In der Schwingmaschine wird von den Umlenkpunkten der Schwingverlustausgleich vollzogen, den Schwingern Energie zugeführt. Die Energiezufuhre erfolgt durch:

a) Das Magnetfeld durch Umpolung des Stromes. Selbstverständlich sind die Ein- und Ausschaltzeiten zu berücksichtigen, d.h. die Schwingzeiten von mechanischen - und elektrischen Schwingern sind abzustimmen. Nach dem Einschwingvorgang stellen sich konstante Frequenzen ein. Die Massen des Schwingers sind die Spulen mit Fe-Kern und an ihnen liegt die umpolbare Klemmspannung.
b) Die Massen der Schwinger sind Dauermagnete. Ihr Magnetfeld ist so gerichtet, dass sich die Dauermagnete immer abstoßen und so ist eine Kraftübertragung durch die Magnetkopplung möglich. Das Magnetfeld ist unabhängig von der Position des Schwingers und somit unabhängig von der Schwingperiode des mechanischen Schwingers.
c) An den Massen des Schwingers sind Federn befestigt. An den Umkehrpunkten wirkt dann die Feder zur Kraftübertragung.
d) Im Handversuch 4.3.3, ist eine Kondensatorkopplung skizziert.

Kondensator = C: Einschalten:: I_C (t) = (U_K/R)exp (- t/ RC) U_C (t) = U_K (1 - exp (- t/ RC))
Kondensator = C: Ausschalten:: I_C (t) = (-U_K/R) exp (- t/ RC) U_C (t) = U_K (exp (- t/ RC))
Spule = L: Einschalten:: I_L (t) = (U_K/R + R_sp)(1 - exp (- t(R+ R_SP)/L) U_L (t) = U_K(1 - R/R + R_sp)(1 - exp (- t(R+ R_SP)/L)
Spule = L: Ausschalten:: I_L (t) = (U_K/R + R_sp)(exp (- t(R_ges)/L) U_L (t) = -U_K(R+ R_p/R + R_sp)(1 - exp (- t(R_ges)/L)

_Sp

_P

₀

^1/2

₀

²

₀

²

^1/2

Die Berücksichtigung der Induktionsphänomäne
Induktion, Selbst-und Gegeninduktion ist bei der Dimensionierung der Spulen (Spulendrahtquerschnitt) zu berücksichtigen. Die Spulen sind gekoppelt und somit ist der Kopplungsfaktor zu bestimmen:

Gleicher Wicklungssinn (Reihenschaltung):: L = L₁+ L₂+ 2 M
(Parallelschaltug):: L = L₁ L₂- 2 M/ L₁+ L₂ - 2 M
Entgegengesetzter Wicklungssinn (Reihenschaltung):: L = L₁+ L₂- 2 M
(Parallelschaltug):: L = L₁ L₂- 2 M/ L₁+ L₂ + 2 M

₁

₂

^1/2

₁

₂

_ind

_L

₀

²

₀

²

Die Induktivität eines Leiters hängt nur von dessen Geometrie ab, solange sich innerhalb der Leiterwindungen keine Materie befindet - gerader Leiter (langer Draht) und gewickelter Leiter (lange Spule) -.
Bild1.3.1.1.1.8
Die Analogie von elektrischen und mechanischen Schwingern ist im Bild 1.3.1.1.1.2
zu erkennen. Der zeitliche Ablauf von gekoppelten Schwingern muss angepasst werden. Elektrischer Schwingkreis mit RCL - Glied: R = ohmscher Widerstand, C = Kondensator und L = Spule.
Nach der Maschenregel gilt: u_R + u_C + u_L= 0 (1)
Mit diesen Ansatz (1) kann die Dgl. für den gedämpften elektromagnetischen Schwingkreis hergeleitet werden. Bei einer freien, gedämpften harmonischen Schwingung sind die Energieverluste pro Zeiteinheit konstant.
dE_ges/ dt = 0 ---- E_ges = E_m + E_e+ Q = konstant = ½ L I² + Q²/ 2 C + R I²= konstant.
½ LI²+Q²/2C = R I² mit, E_m= magnetische Energie der Spule, E_e = elektrische Energie des Kondensators und Q = R I²= Wärmeenergie des Widerstandes.
d/dt Em + d/dt E_e + Q = 0 (2)
L Idl/dt + e/C de/dt + R I²= 0 (3) mit de/dt =I und kürzen von I in (3)
L dl/dt + e/C + R I = 0 (4) wird (4) nach der Zeit differenziert folgt die Dgl. der elektromagnetische Schwingung.
L d² I/dt² + (1/C) I + R dl/dt = 0 (5) --- Dgl. der elektr. - und mang. Schwingung.
Wird (5) mit der periodischen Spannung = U₀ sin ω t angeregt, wird Gleichung (5) um diesen Term ergänzt.
Ld² I/dt² + 1/C I + R dl/dt = dU/dt = U₀ sin ω t
LI°° + R I° + 1/C I = U₀ sin ω t
I°° + R/L I° + 1/C LI = U₀/L sin ω t (6) erzwungene Schwingung (elektrischer Schwingkreis)
mx°°+r/m x° + k/m x = F_m/m sin (ωt) (7) erzwungener Schwingung (mechanischer Schwingkreis)
x°°+ 2 δ x° + ω₀ ² x = F_m/m sin (ω t) (5) mit 2 δ =r/m, ω₀ ² =k/m
Zwei Massen = m sind durch eine Spiralfeder aneinander gekoppelt.
Beide Schwinger sind durch die Kopplungsfeder in der Lage, die Schwingenergie auszutauschen, zu speichern.
x₁°° + r/m x₁° + k/m x₁ = 0 (1)
x₂°° + r/m x₂° + k/m x₂ = 0 (2)
(1)und (2) schwingen gleichphasig:
Die Kopplungsfeder bleibt ohne Wirkung, weil beide Schwinger nach rechts um die gleiche Auslenkung bewegt und dann zum Schwingen freigegeben werden. Beide Schwinger schwingen, als ob sie mit der Spiralfeder nicht verbunden wären.
T₀ = 2π (k/m)^1/2 = T₁ =2π (k/m)^1/2 = T₂ =2π (k/m)^1/2, f₀ = 1/T₀ = 1/T₁= 1/T₁
(1) und (2) schwingen gegenphasig:
Die Kopplungsfeder ist wirksam. Beide Schwinger drücken die Spiralfeder beim aufeinander zuschwingen und zwar zum Mittelpunkt des Systems, zusammen und spannen die Feder beim Auslenken. Keiner der beiden Schwinger kann eine volle Periode schwingen, denn beim Zusammenstoß im Mittelpunkt des Systems geht ihre Schwingenergie in die Spiralfeder und sie selbst haben werder Spann- noch kin. Energie. Die Spiralfeder beschleunigt sie zum äußeren Umkehrpunkt des Systems. T₂=2π (1/2 k + k₁₂/m)^1/2, f₂ = 1/T₂ (1) und (2) überlagertes Schwingen:
Schwinger (1) wird um x₁ ausgelenkt, er drückt die Spiralfeder zusammen und die ihrerseits lenkt den Schwinger (2) um x₂ aus. Wird dasSystem jetzt zum Schwingen freigege-ben, wirkt die Rückstellkraft beider Schwinger.
Bild 1.3.1.1.1.9
links: der Schwingkreis mit dem RCL-Glied, G = Genetaror mit regelbarer Spannung = U und Frequenz = f;
rechts: Zeigerdiagramm (U-I-Diagramm).
RCL-Glied: Wechselspannung --- Z = 1/(1/R)²+(1/ωL -ωC)²)^1/2
Gezielte Zusammenstellung der RCL-Glieder zum parallelen Schwingkreis. In einen Stromkreis mit Widerstand = R wird parallel zu R eine Spuel = L geschaltet. Anschließend wird die Spule durch einen Kondensator ersetzt. Der Grundfunktion der Parallelschaltung von Widerständen (R-L, R-C) ist im Zeigerdiagramm wiedergegeben, nämlich das sich die Spannung nicht teilt, an jeden Widerstand gleich ist, aber der Strom an jeden Widerstand verschieden ist. Sind alle drei Widerstände (R-C-L) parallel geschaltet ist das zeigt das Zeigerdiagramm den vorher gefunden Zusammenhang.
Das letzte Bild im Bild 1.3.1.1.1.9 zeigt einen elektrischen Schwingkreis dessen Schwingungen erzwungen sind, und zwar durch den Wechselstrom- Generator = G^~
Dgl. einer erzwungenen Schwingung, hier eines elektrischen Schwingers = Schwingkreises.
LI°° + R I° + 1/C I = U₀ sin ω t
I°° + R/L I° + 1/C L I = U₀/L sin ω_E t (6) erzwungene Schwingung
I°° + 2 δ I° + ω₀ ² I = U₀/L sin (ω_E t) (5) mit 2 δ =R/L, ω₀ ² =1/C L,
Ansatz:

I = e^ωt, I° = ω e^ωt, I°° = ω² e^ωt,
ω² e^ωt + 2 δ ω e^ωt + ω₀ ² e^ωt =0| :e^ωt,
ω²+ 2 δ ω + ω₀ ²=0,
ω_1,2 = δ +/- (δ² -ω₀ ²)^1/2, ω₁ = -δ + (δ² -ω₀ ²)^1/2, ω₂ = -δ - (δ² -ω₀ ²)^1/2,

₁

₂

₁

^ω1t

₂

^ω2t

₁

₂

₀

₁

^ω1t

₂

^ω2t

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₀

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^ω1t

₂

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₁

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₂

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₂

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_P

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²

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^ω2t

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₁

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^1/2

²

^1/2

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²

_E

₀

²

_E

Der Wirkwiderstand = R ist gleich dem Blindwiderstand = Z.
Bild 1.3.1.1.1.10 Z-f-Diagramm
Z = Blindwiderstand, f = Frequenz, f_r= Resonanzfrequenz = f = f₀
Kurvenbereich a): f < f₀ --- RL-Parallelschaltung
Kurvenbereich b): f > f₀ --- RC-Parallelschaltung
Bandbreite: Δf= f_o - f_u=f_r/Q= f_rd mit d = 1/Q= ѡ_rL/R = Dämpfungsfaktor Zusammenfassung:

1. Q>je < List, in Worte: Die Güte = Q des Schwingkreises wird größer, wenn die Induktivität = L kleiner wird und je größer die Kapazität = C ist (C>).
2. Q<, wenn R<; Die Güte = Q wird kleiner, wenn der Widerstand = 'R kleiner wird
3. Tritt Resonanz ein, der Schwingkreis hat die Frequenz = f_r= Resonanzfrequenz = f = f₀ kann der Strom in der Spule = L und im Kondensator= C um das vielfache des Stromen = I ansteigen. I = I_R + I_L + I_C= Strom an den Widerständen.

Bild 1.3.1.1.1.11 dito Bild 1.3.1.1.1.9
nur das die Glieder (R-C-L) des elelkrischen Schwingkreises in Reihe zusammengeschaltet sind. Auch hier ist die Grundfunktion der Reihenschaltung des Schwingkreises = Schwinger wiederzufinden. I = Strom teilt sich im Schwingkreis nicht auf aber an jeden Widerstand (R- C- L) liegt eine andere Spannung = U an.
Reihenschaltung
Die Spannung = u, die durch jedes Bauteil im RCL- Glied fließt, ist verschieden. Durch jedes Bauteil fließt der gleiche Strom = I. Der Stromkreis kann Wechsel- oder Gleichstrom angeschlossen werden, dabei ist die Spannung (Ursache)und der Strom (Wirkung) im Schwingkreis. Wir schalten erst einen ohmschen Widerstand = R und eine Spule mit Fe-Kern in den Reihenkreis --- U = R I --- U = (u² _R + u² _L)^1/2 I = Z I --- Z =(u² _R + u² _L)^1/2.
Dann schalten wir einen ohmschen Widerstand = R und einen Kondensator = C in den Reihenkreis --- U = R I --- U = (u² _R + u² _C)^1/2 I = Z I --- Z =(u² _R + u² _C)^1/2.
Anschließend schalten wir die Widerstände zusammen in dem s.g. RCL- Glied ---
U = R I --- U = R I --- U = (u² _R + (u_L - u_C)²)^1/2 I = Z I --- Z = (u² _R + (u_L - u_C)²)^1/2
Bild 1.3.1.1.1.12
Z = Blindwiderstand, f = Frequenz, f₀= Resonanzfrequenz = f = f₀
Kurvenbereich a): f < f₀ ---U_C < U_L --- induktives Verhalten
Kurvenbereich b): f > f₀ ---U_C > U_L --- kapazitives Verhalten
U_C= U_L ---4 X_L= X_C
Bei Resonanz gilt X_L = X_C --- ωL = 1/ωC dann verhält sich der Schwingkreis wie ein Wirkwiderstand.
Bandbreite: Δf = f₀ -f_u = f_r/ Q= frd mit d = 1/Q = R/ω_rL = Dämpfungsfaktor
Die Phasenverschiebung = tan φ = (ωL- 1//ω C)/R zwischen Spannung = u und Strom = I
Zusammenfassung

1. Q > je L> ist, in Worte: Die Güte = Q des Schwingkreises wir größer, wenn die Induktivität = L größer wird und je kleiner die Kapazität = C ist (C<).
2. Q<, wenn R>; Die Güte = Q wird kleiner, wenn der Widerstand = R größer wird (in den Schaltungen muss auch der innere Widerstand der Spannungsquelle un der Widerstand der angeschlossenen Belastung berücksichtigt werden).
3. Tritt Resonanz ein, der Schwingkreis hat die Frequenz = f_r= Resonanzfrequenz = f = f₀ kann die angelegte Spannung = u = u_R + u_C + u_L= die Spannung in der Spule = L und im Kondensator= C um das Vielfache ansteigen.

_L

_C

_L

_C

_L

_C

Baugruppe 6 im Bild 1.3.1 --- Thomson-Spule
Bild 1.3.1.1.2.1
6 = Thomson-Spule (Schwingausgleich); f₁, f₂, f₃ = Schwingerfrequenz, n₁= Wellendrehzahl, Sp₁= Primärspule, Sp₂= Sekundärspule (AI-Ring).
Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Anfahren der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in die gleiche Richtung bewegen(spannen). Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft- erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren. Der AI-Ring =Sekundärspule = Sp₂ und die Spule mit Fe-Kern = Primärspule = Sp₁.Für den Schwingausgleich ist die Sekundärspule passiv, d.h. mit ihr kann kein Schwingausgleich gesteuert werden. Die Primärspule ist, wie der Selbstinduktion 1.3.1.1.1 beschrieben, zu schalten. Der AI-Ring wird sehr schnell warm, wenn er in einer Postion gehalten wird, er soll immer in Bewegung sein und den Schwingausgleich immer während des Ausschaltvorgangs vollziehen. Dann wirkt die Selbstinduktion über einen erhöhten Spannungs- impuls, der ein Vielfaches der Spulenspannung ist.
Eine Primär- und eine Sekundärspule und ein geschlos-sener Fe-Kern ist ein Transformator. Legen wir an der Primärspule des Transformators eine Wechselspannung an, wird auch in der Sekundärspule eine Wechsel-spannung induziert. Die Thomson-Spule arbeitet wie ein Transformator, nur ist der Fe-Kern nicht geschlossen.
Baugruppe 7 im Bild 1.3.1 --- Zugmagnet
Bild 1.3.1.1.3.1
7 = Zugmagnet (Schwingausgleich); f₁, f₂, f₃= Schwingerfrequenz, n₁= Wellendrehzahl, Sp= Primärspule. 7 = Zugmagnte das sind die Teile: Fe-Kern, Eisenstück an Schubstange und Primärspule. Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Anfahren der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in der gleichen Richtung bewegen. Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft- erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren. Verbinden wir die beiden Spulen (Primärspulen) mit einem Bügel, schalten die Spulen in Reihe und legen Wechselspannung an die Spulen, so wird in jeder Spule abwechseld die Selbstinduktion im Rhythmus der Wechselspannung wirksam. D.h., das Eisenstück auf der Schubstange wird mit einem Vielfachen der Spannung von der Spule angezogen, als Spannung an der Spule anliegt. Der Schwingausgleich mit Eisenstück an der Schubstange ähnelt den Schwingausgleich des Klingelantriebes, nur dass beim Klingelantrieb das Eisenstücks an der Blattfeder befestigt ist.
Baugruppe 8 im Bild 1.3.1 --- Klingelantrieb
Bild 1.3.1.1.4.1
8 = Klingelantrieb (Schwingausgleich); f₁, f₂, f₃= Schwingerfrequenz, n₁= Wellendrehzahl, Sp = Primärspule. 8 = Klingelantrieb das sind die Teile: Fe-Kern, Eisenwinkel an der Blattfeder und Primärspule. Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Starten der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in die gleiche Richtung bewegen(spannen). Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren. Beide Spulen sind durch den U-förmigen Fe-Kern miteinander verbunden. Sie sind in Reihe geschaltet. Legen wir eine Wechselspannung an die Spulen, so wird in jeder Spule abwechseld die Selbstinduktion im Rhythmus der Wechselspannung wirksam. D.h., das Eisenstück an der Blattfeder wird mit einem Vielfachen der an der Spule anliegenden Spannung angezogen.
Gegeninduktion
Bild 1.3.1.2.1 Gegeninduktionen
Induktive Kopplung zweier Spulen
L₁ = L₂ = Spulen durch ein Fe-Kern,
R = ohmscher Widerstand, S = Schal-ter, 1 = Oszilloskop, U= Batterie = Gleichspannung.

Der Strom erzeugt in der Spule= L₁ ein Magnetfeld, dessen Feldstärke = H bzw. Kraftflussdichte (Induktivität= B) proportional zum Strom = I ist.
Ein Teil der Feldlinien durchsetzt die Spule = L₂. Ändert sich der magnetische Fluss = ϕ durch eine Spule der Windungszahl =N, wirkt in der Spule eine Umlaufspannung bzw. es wird ein Spannungsstoß induziert.
U_ind= - N dϕ/dt, ∫t₁ ^t2 u_ind dt = - N (ϕ₂ - ϕ₁)
Ändert sich der Strom = I durch eine Spule, wird in der Spule selbst eine Spannung bzw ein Spannungsstoß U_ind= - L dl/dt = Selbstinduktion = Induktivität der Spule, induziert. In der Spule = L₂ wird nach dem Induktionsgesetz eine Spannung U_2v = - ϕ_1,2v mit N = Anzahl der Windungen induziert. ϕ_1,2N ist der Fluss, der in Spule = L₁ erzeugt wird und durch die N-ten Windungen der Spule 2 hindurch geht. I_1,2N ~ B ~ I --- u₂ = - M₁₂I₁°, M= Proportionalitätskonstante = Gegeninduktivität der Spulenanordnung. Fließt durch Spule = L₂ ein zeitlich veränderlichen Strom = I₂°,
induziert er in Spule 1 eine Spannung = u₁, u₁ = - M₂₁I₂°.

	gleich gewickelt		entgegengesetzt gewickelt
Reihenschaltung:	L= L₁ + L₁ + 2M		L= L₁ + L₁- 2M
Parallelschaltung:	L = L₁ * L₁ -M²/ L₁ + L₁ - 2M		L = L₁ * L₁ - M²/ L₁ + L₁ +2M
		M =k (L₁ * L₁)¹/²mit k= Kopplungsgrad von (0 -1)
		M₁= (k₁L₁/N₁)N₂, M₂= (k₂L₂/N₂)N₁
	M₁M₂= (k₁L₁/N₁)N₂ (k₂L₂/N₂)N₁= k²(N₂L₁/N₁)(N₁L₂/N₂) mit N₂=N₁
		M² =k²(N₁L₁/N₁)(N₂L_2/N₂) = k²L₂*L₁
		M = k(L₂*L₁)^1/2

Messung der Gegeninduktivität: Baugruppe 3 --- Spulen
Bild 1.3.1.2.1.1
Messung der Gegeninduktion
M = Gegeninduktion,
M_x = zu messende Gegeninduktion,
Sp = Spulen,
V = Spannungsmesser,
S = Schalter,
R*₁, R*₄= Widerstand (regelbar),
R₁, R₄ = Widerstand ( Spulendraht),
u₁,u₄ = Spannungsquelle=Batterie,
A = Amperemeter,
I₂, I₃ = Induktionsstrom,
I₁, I₄ = Quellenstrom,
h = Abstandsmaß, 1 = Abstandskorb,
2 = Grundplatte.
Ändert sich der Strom in einem Leiter, ändert sich auch das ihn umgebende Magnetfeld. Induktion ist immer mit der Änderung des magnetischen Flußes verbunden. Dieser mag. Fluss durchdringt nacheinander die Leiterschleifen und erzeugt eine Induktionsspannung. Diese Spannung bewegt die Elektronen, d.h. der Strom fließt entgegen der Elektronenbewegung der ersten Leiterschleife, somit ist auch das induzierte Magnetfeld entgegen gerichtet und hemmt daher den Strom durch die Leiterschleifen der Spule zu fließen.
Der Induktionsvorgang der beiden ersten Leiterschleifen vollzieht sich an allen Leiterschleifen. Die induzierte Spannung = u_i1 ist der Stromänderung proportional.
U_i1 = - N₁ d ϕ₁, B₀₁ = µ₀ H₁, H₁= N₁I₁ /L₁ --- Feldstärke in der ersten Spule
ϕ₁ = B₀₁ A₁----d ϕ₁ = dB₀₁ A₁ =A₁ µ₀ dH₁ = (A₁ µ₀ N₁/L₁) dt₁
U_i1 = - N₁ dϕ₁ /dt= - N₁ (A₁ µ₀ N_1/L₁) dl_1/dt
U_i4 = - N₄ d ϕ₄, B₀₄ = µ₀ H₄, H₄ = N₄ I₄/L₄ --- Feldstärke in der zweiten Spule
ϕ₄ = B₀₄ A₄----d ϕ₄ = dB₀₄ A₄ =A₄ µ₀ dH₄ = (A₄ µ₀ N₄ /L₄) dl₄
U_i4 = - N₄ dϕ₄/dt= - N₄ (A₄ µ₀ N₄ /L₄) dl₄/dt = = - L₄* dl₄/dt mit L₄*= A₄ µ₀ N₄ ² /L₄= Selbstinduktion,
A = Fläche eines Pols, N = Windungszahl, l = Länge der Spule, µ₀ = Feldkonstante
Mit A₁= A₄, B₀₁= B₀₄ , N₁= N₄, l₁= l₄,l₁ = l₄= Strom durch die Spule.
Messung der Gegeninduktivität mit ineinander gesteckten Spulen:Baugruppe 3
Bild 1.3.1.2.2.1
Die Bezeichnungen sind dem Bild 1.3.1.2.1.1 zu entnehmen. Sp* = Primärspule
Sp= Sekundärspule
Die Primärspule wird auf die Sekundärspule gesteckt. Fließt eine Wechselspannung durch die Primärspulen und werden beide Spule auf Resonanz abgestimmt, entstehen in der Sekundärspule eine sehr hohe Spannung mit hoher Frequenz, die ein entsprechendes Magnetfeld mit hoher Energiedichte erzeugt, woraus ein starker Stromstoß resultiert.
Werden die Schalter S₁ und S₄ geschlossen, fließt durch die Primärspulen = Sp₁* und Sp₄* ein Wechselstrom. Dieser induziert in den Sekundärspulen =Sp₁ und Sp₄ eine Spannung und lässt einen Wechselstrom mit wechselnder Richtung durch die Sekundärspulen fließen. Dieser induzierte Wechselstrom in den Sekundärspulen baut ein wechselnden mag. Fluss auf. Dieser mag. Fluss durchdringt die Spulen = Sp₂ und Sp₃. In diesen Spulen wird wieder eine Spannung induziert, die ihrerseits einen Wechselstrom durch die Spulen Sp₂ und Sp₃ fließen lässt, der ein Magnetfeld aufbaut, das dem Magnetfeld der Primärspulen entgegen gesetzt ist. Der Spulenabstand = h vergrößert sich, wenn die Spulen Sp₁* und Sp₁ sowie die Spulen Sp₄* und Sp₄ in Resonanz schwingen. Die Primärspule = SP* hat den Strom = I_P = I₁ = I₄ und den mag. Fluss = ϕ_P, dann gilt:
ϕ_N = mag. Fluss, und zwar der Teil des magnetischen Flusses, der die Spule = Sp₂ durchströmt. ϕ_N = k₁ ϕ_P mit k₁= Kopplungsfaktor, der Kopplungsfaktor muss < 1 sein, denn mag. Energie kann auch nicht zu 100% umgewandelt werden (Wärme, Reibung). ϕ_v = ϕ_P - ϕ_N = (1 - k₁) ϕ_P ist der Teil des mag. Flusses, der verloren geht.
Indizes: v = verloren, P = Primär, N = Nutz
Dauerhafte Magnetisierung
Die Magnetisierungskurve entspricht eine Hysteresiskurve
Bild 1.3.2.1 zeigt eine Hysteresiskurve für Eisen
N = Neukurve, B_r= magn. Remanenz (Restmagnetismus), H_c= Koerzitivfeldstärke.
Die von einer Hysteresiskurve eingeschlossene
Fläche entspricht der Entmagnetisierungsarbeit. Dauermagnete sind aus Werkstoffen mit großer Remanenz und großer Koerzitivfeldstärke. Elektromagnete sind aus Werkstoffe mit geringer Remanenz, geringer Koerzitivfeldstärke (kleiner Umwand-Iungsverluste) und großer Permeabilitätszahl.
Entmagnetisieren: Einbringen des magnetischen Gegenstandes in eine von Wechselstrom durchflossenen Spule. Dann entweder den Strom verringern oder den Gegenstand langsam aus dem Spulenfeld entfernen.
Permeabilität: E_m = 1/ 2 (BH) V mit V = Volumen des Magneten. Gleichsetzen von E_m=E_p = m g h = potentieller Energie. 1/ 2 (BH) V = m g h, damit kann die Höhe = h ermittelt werden, h ist der Polabstand, zwei Dauermagnete werden mit Hilfe eines Zentriermantels übereinnader gestellt. Energieprodukt = (BH) mit (BH) = µH²) = ((1/µ)B²) und µ = µ_rµ₀ = Permeabilität lassen sich Permeabilität in einem Versuch bestimmen (siehe Handversuch 4.2).
Bild 1.3.2.2
L₁ = Spule mit Fe- Kern = K, L₂ = Messspule mit V = Voltmeter, S = Schalter,
R = verstellbarer Widerstand, I = Strom,
U₀ = Gleichspannung, A = Amperemeter.
Ist der Schalter geschlossen, können sich die Ladungen im Stromkreis aufgrund des Potentialunterschiedes am Leiter bewegen. Die Spule = L₁ baut ein Magnetfeld auf (magnetische Energie) und am Amperemeter kann der Strom abgelesen werden.
Für ferromagnetische Kerne aus Eisen oder Nickel oder Kobalt oder Legierungen aus den genannten Metallen ist µ_r>> 1 und die Permeabilität = µ= µ₀µ_r.
Damit immer der gleiche Strom vor dem öffnen des Schalters = S in die Spule, im
Bild 1.3.2.2, fließt, wird ein regelbarer Widerstand = R im Stromkreis geschaltet.
a) Berechnung der Permeabilitätszahl

µ₀ = mag. Feldkonstante = Induktionskonstante
µ_r = L(K)/L(oK) --- mit K = Kern = L(K) = Induktivität der Spulen mit Kern und oK = ohne Kern = L(ok) = Induktivität der Spulen ohne Kern

_r

₀

_i

B-Feld einer langen Spule: H = N I /L, B = µ_rµ₀ H , B =Nµ_rµ₀ I/L, L = Spulenlänge,
U_i =- N dΦ/dt = - N Φ° mit Φ° = B°A , B° = N µ_rµ₀ I°/ LU_i =- N Φ°= -NA N µ_rµ₀ I°/L---- µ_r= I Ui/ N²Aµ₀ I°. Mit dem Versuch können alle Daten ermittelt oder an der Spule gemessen werden und µ_r= Permeabilitätszahl, lässt sich berechnen. In Luft gilt:
B = µ_rµ₀ H mit µ_r =1. B = µ₀ H, µ= µ_rµ₀. In Metallen (z.B. Eisen) ist µ= Permeabilität nicht konstant.
Bild 1.3.2.3
B =mag. Flussdichte (T), H = mag. Feldstärke (A/m),
µ= Permeabilität (Vs/Am), in den markierten Bereich, (B*, H*) ist die Proportionalität zwischen B und H zu erkennen, Proportionalitätsfaktor = µ = B/H.
Der Zusammenhang zwischen H und B ist mit der Magnetisierungskurve -Hysteresis-Kurve - direkt abzulesen.
Ferromagnetismus
Bild 1.3.2.4
A = Stirnflächen der Probe und der Spule,
L = Länge der Probe und Spule, H = mag. Feldstärke der Spule,
I = Strom, der durch die Windungen = N der Spule fließt.
Die Polstärke = P an der Fläche= A ist für die mag. Kraft maßgebend.
Wird die Probe in die Spule gebracht, richten sich die mag. Dipolmomente
nach dem äußeren Feld aus, die Magnetisierung beginnt. Nach einer Zeit = t,
die von der Stärke des H-Feldes = H, vom Material der Probe sowie deren Abmessungen abhängt, tritt Sättigung ein, d.h. auch, wenn die Probe länger in der Spule bleibt, steigt die Magnetisierung nicht an. H = N I /L = M mit H = mag. Feldstärke der Spule, L = Länge der Spule, I = Strom durch die Spule, N = Windungen der Spule.
Die Gleichung besagt: Sind alle Dipolmomente der Fe-Probe ausgerichtet, erzeugen sie ein H-Feld = magn. Feldstärke, das der Spule entspricht. Die Abmessungen von Probe und Spule sind gleich, d.h. V = A L, und die mag. Feldstärke = H der Spule ist bekannt, somit ist die mag. Feldstärke der Fe-Probe berechenbar
Mit m_sp = N I A = mag. Dipolmoment der Spule, gilt:
H V = NI V/L= MV --- HV = N I A = MV --- m_sp= N I A = MV
M = N I A /V = m_sp/V =Magnetisierung der Probe
m_sp= N I A = MV und M = X_m H---- m_sp = X_m HV
X_m = mag. Suszeptibilität ist ein Maß für die magnetischen Eigenschaften der Probe. Unter der Kraftwirkung des mag. Feldes orientieren sich die im Stoff (Material) vorhandenen mag. Dipole und zwar in Feldrichtung. Spule: J = χ µ₀ H mit χ = mag. Suszeptibilität,J = mag. Polarisation, µ₀ = mag. Feldkonstante fürs Vakuum H = N I/L = H-Feld der Spule (Zylinderspule), N = Windungen der Spule, I = Strom durch die Spule (Windungen), L= Länge der Spule, µ_r= B/ B₀= Permeabilitätszahl des Stoffes χ = J / µ₀ H =
B - B₀/µ₀ ( H - H₀) = µ_rµ₀( H - H₀)/ µ₀( H - H₀) = µ_r - 1. Je nach dem Zahlenwert= χ = mag. Suszeptibilität hat, wird das mag. Material eingeteilt.
Teilchenzahl und Feldstärke
Teilchenzahl = N = n N_A--- V = 1 cm³ = Volumen sind 10²³ Teilchen enthalten.
V = 8 cm³ sind 8•10²³ Teilchen enthalten (Annahme)
N_A= Avogadrozahl = 6•10²³ 1/mol, N = Teilchenzahl, n = Stoffmenge in mol
8 *10²³ = n 6•10²³ 1/mol --- n = 1,34 mol (Stoffmenge)
n = m / M --- M = m/n --- M = 38,3 g/ 1,34 mol = 28,58 g/mol = molare Masse
Die Masse einer Stoffmenge die 1 Mol ergibt (n = 1 mol) ist:
M = N_A u Ar= (6,023×10²³1/mol)•(1,66×10^-24 g)•Ar, Ar= Atommasse
u = atomare Masseneinheit ist der 1/12-te der Masse des Kohlenstoffisotops ₆ ¹²C
1 u = 1/12 m_C12= 1,66057•10^-24 g
M = A_r g/mol --- atomare Substanz, M = M_r g/mol --- molekulare Substanz
M = A_r g/mol: A_{r Co} = 58,933, A_r _Ni = 58,71, A_r _Fe = 55,847,
Mco = 58,933 g/mol, M_Ni = 58,71 g/mol, M_Fe = 55,847 g/mol,
Der Magnetwürfel im Handversuch 4.2 besteht aus leichten Legierungsbestandteile.
Annahme
Strontium = M_Sr = 87,62g /mol. Die Stoffmenge = n:
ρ = m/V = n M /V = m/M-----n_Fe = ρ_Fe V/ M_Fe = 7,8 8/55,847 = 1,1173 mol n_Sr = ρ_Sr V/ Msr = 2,4 8/87,62 = 0,219 mol
n_Fe + n_Sr = 1,34 mol --- Die Annahme ist sinnvoll.
V ρ = m ---- Massenanteile: ρ = x ρ_Fe+y ρ_Sr mit x = 045 und y = 0.55
4.785 = 0,45 7,8 + 0,55 2,4 = 3,51 + 1,32 = 4,83g /cm³
Der Magnetwürfel enthält insgesamt 8•10²³ Teilchen (Atome) davon sind
8•0,45 = 3,6•10²³ Eisenatome und 8•0,55= 4,5•10²³ Strontiumatome. Diese Eisen-
und Strontiumatome erzeugen nach der Magnetisierung den magnetischen Flus = Φ₀. Das B-Feld, das die 8•10²³ Teilchen (Eisen-und Strontiumatome) erzeugen, hält den Würfel auf einen Abstand h = 30mm. Alle Würfel haben ihr eigenes Magnetfeld und diese sind gegeneinander gerichtet, sie erhöhen die Energiedichte = w.
Für den Magnetismus einer Substanz sind Elektronen, genauer der Spin, Eigendrehimpuls, der Elektronen, maßgebend.

Die Elektronenkonfiguration der Atome, hier Eisen- und Strontiumatome, gibt Auskunft, welche und wie viele der nicht abgeschlossenen Hüllenelektronen das mag. Feld=
B-Feld erzeugt.

Elektronenkonfiguration
		1 s \| 2s 2p \| 3s 3p 3d \| 4s 4p 4d 4f \| 5s 5p 5d 5f \| 6s 6p 6d \| 7s
Wasserstoff:	H --- 1 \| hat 1 s-Elektron --- z = 2 n² = 2•1² = 2, es fehlt noch 1 e
	z = 2 n² = 2•2² = 8, es fehlen noch 2 e
	1s \| 2s 2p \| 3s 3p 3d \| 4s 4p 4d 4f \| 5s 5p 5d 5f \| 6s 6p 6d \| 7s
Sauerstoff: O	2s \| 2s 4p \|
Stickstoff: N	2s \| 2s 3p \|
Argon: Ar	2s \| 2s 6p \| 2s 6p
Eisen: Fe	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 6d \| 2
Cobalt: Co	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 7d \| 2
Nickel: Ni	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 8d \| 2
Kupfer: Cu	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 10d \| 1
Strontium: Sr	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 10d \| 2 6 \| 2

Die aufgelisteten Metalle haben alle kubisch-flächenzentrierte Gitter = kfz, nur Cobalt hat ein hexagonales Gitter. In der Kombination: 76% Ni+5% Cu+2% Co s.g Mumetall erreicht die Legierung eine Permeabilitätszahl µ_r = 100000 = 1 *10⁵
Eisen (1mal geglüht) µ_r = 14600, χ_m = µ_r -1 (Molare Suszeptibilität)
χ_m = χ M = -12,97 *10^-9 (Wasser),

Elektronenkonfiguration von Eisen und Strontium
	1s \| 2s 2p \| 3s 3p 3d \| 4s 4p 4d 4f \| 5s 5p 5d 5f \| 6s 6p 6d \| 7s
Eisen: Fe	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 6d \| 2s
Strontium: Sr	2s \| 2s 6p \| 2s 6p 10d \| 2s 6p	\| 2

Die 1s, 2s, 3s, 3p, und 4s Eletronen sind abgeschlossen.
Bei den 3d Elektronen fehlen dem Eisen 4 Elektronen, damit die Schale abgeschlossen ist. Den 4p Elektronen fehlen gegenüber dem Eisen wieder 4 Eletronen um abgeschlossen zu sein, das Strontiumatom ist abgeschlossen.
Die 4d Elektronen und 4f Elektronen fehlen dem Fe-Atom und dem Sr-Atom.
Die 5s Elektronen werden nur vom Sr-Atom erreicht.
Das Fe-Atom hat die Ordungszahl Z = 26 (p = 26 und e = 26) das Sr-Atom hat die Ordungszahl Z = 38 (p = 38 und e = 38) mit p = Proton, e= Elektron).
Beide Atome haben in ihren gemeinsamen Hüllenelektronen 64 Elektronen und davon werden 12 Elektronen durch ein von außen angelegtes mag. Feld =H ausgerichtet, d.h ihr Eigendrehimpule (Spin) wird verändert.
Weissche-Bezirke und Bochwände
Mag. Momente wirken auf die atomaren Drehimpulse der Probe, die sich mit steigenden H-Feld = H der Spule aus den unmagentischen Zustand (H =0) über s.g. Wandverschiebungen = Blochwände bei (H₁>1) mit folgenden Drehprozessen = Weisschen Bezirken bei (H₂>>1) bis zur Sättigung (H₃ = H_max) bewegen lassen.
Soll ein Metall (Ferromagnet) magnetisiert werden, muss dem Metallstück Energie hier magnetische Energie zugeführt werden.

Bild 1.3.2.5
1 =Metall (Ferromagnet),2 = Weisssche Bezirke, 3 = Bloch Wände,
H* = äußeren Magnet-feld (durch eine Spule erzeugt)
Treffen die Magnetfelder des äußeren Feldes = H auf die Weissschen Bezirke = 2,
die selbst ein gesättigtes Magnetfeld = B besitzen, werden sie entsprechend ihrer momentanen Lage zum äußeren Feld ausgerichtet, ein Weissscher Bezirk mehr als der anderen. Die Weissschen Bezirke werden durch Blochwände = 3 getrennt.
Ist das Metall nach außen unmagnetisch, haben sich die Magnetfelder der Weisschen-Bezirke kompensiert. Werden durch das äußere Magnetfeld die Weissschen-Bezirke gedreht, ändert sich der magn. Zustand der Probe. Feldlinien treten durch die Oberfläche der Probe, die Probe ist magnetisiert. Aus der Mechanik sind die Gleichgewichtszustände: Stabil, labil, und indifferentbekannt. Soll ein stabiler Zustand eines Weissschen Bezirke geändert werden, mussein Kipp-Moment aufgebracht werden.
Bild 1.3.2.6
1= Metall (Ferromagnet)
2 =Weisssche Bezirk
3 =Blochwände
H* = äußeres Magnetfeld
Der Weisssche - Bezirk = 2 steht solange stabil in den Blochwänden = 3, solange die Blochwände ortsfest sind, d.h. sie sich nicht verrücken. Wird nur eine Blochwand bewegt, verändert sich der momentane Gleichgewichtszustand.
Momentanes Gleichgewicht: F h = F* L mit F* ist zum vom Schwerpunkt = S gerichtet.
F* L = Standmoment, F h = Kippmoment.
Ist F h > F*L wird die momentane Lage verändert.
Bild 1.3.2.7
H* =mag. Feldstärke,H = mang. Feldstärke
(Weiss-schen-Bezirk), r = Schwerpunktradius
S = Schwerpunkt des Weisschen-Bezirks,
F*= Standkraft
Standmoment = F* L mit L = Länge des Weisschen Bezirks sind wesentlich größer als das Kippmoment = F h mit h = Breite des Weisschen Bezirks.
L und h kann als Feldlinie des Weisschen Bezirks vom Nord- zum Südüpol betrachtet. werden. Richtet sich nur das Magnetfeld des Weissschen Bezirks nach dem äußeren Magnetfed aus, dreht sich der Weisssche Bezirk, so dass die Feldlinienrichtung, mit den Feldlinien des äußeren Magnetfeldes übereinstimmen, es verstärken.
Dann ist das äußere Magnetfeld parallel zum Magnetfeld des Weissschen Bezirks.
Die durch Magnetisierung, ausgerichteten Weissschen Bezirke, deren Magnetfeld = Σ H, tritt an der Stirnfläche aus, jedenfalls der größte Teil des Magnetfeldes. Diese Orientierung des Magnetfeldes läßt sich im Versuch (Handversuch 4.2) bei Magnetwürfeln nachweisen. Die mag. Kraft = F_M= BH A mit BH = Energieprodukt und A = Polfläche. Die Energie die wir beim Magnetisieren in Form von elektrischer Energie zugeführt haben, ist jetzt in der Probe gespeichert. E_M = B H V = B H A x---- d E_M/dx = F_M = B H A
Bild 1.3.2.8
N = Nordpol, S = Südpol, L = Kantenlänge des Würfels = 20 mm, P = Punkt, a = Abstand zu den Polen, F = Kraft von P zu den Polen.
F_res= resultierende Kraft der beiden Polkräfte.
Berechnung zu Bild 1.3.2.8: P_N = Ps = 1,223 Am = Polstärke, L = 20 mm, a = 10 mm Gesucht ist die Kraft = F von den Polen =P_N = P_S zum Punkt P
F = µ₀ *P_N * P_S/( 4π a²) = 4π 10^-7 Wb/Am*( 1,223 Am)²/ 4π (0.01m)²
= 1,5 10^-3 N --- Wb A² m² /Am* m²= Nm A²m²/A²m*m²
Fres= ( F²+F² )^1/2 = (2 F² )^1/2 = 1,73 * 10^-3 N (Pythagoras)
Bild 1.3.2.9
N = Nordpol, S = Südpol, L = Kantenlänge des
Würfels = 20 mm, P = Punkt, a = Abstand zum
Nordpol, F = Kraft von P zum Nordpol.
Berechnung zu Bild 1.3.2.9: P_N = Ps = 1,223 Am = Polstärke, L = 20 mm, a = 10 mm, L + a = 30 mm. Gesucht ist die Kraft vom Nordpol zum Punkt P
B_N = µ₀ *P_N/( 4π a²) mang. Flußdichte vom Nordpol zum Punkt P
B_S = µ₀ *P_S/(4π (L + a)²) mag. Flußdichte vom Südpol zum Punkt P

Resultierende Flußdichte =: ΔB = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N/( 4π a²)- µ₀ *P_S/( 4π (L + a)²) ΔB = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N / 4π ( 1/a² - (L + a)²) = = 4π 10^-7 Wb/Am* 1.223 Am /4π (1/(0,01m)²- (0,03m)²) = 10^-7 Wb/Am* 1.223 Am * 8888,9/ m² = 1,33 *10^-3 Wb Am /Am m² = N m Am /A² m m² = N/Am = T= 1,09 *10^-3T F = ΔB P_N= 1,09 *10^-3T 1,223 Am = 1,33* 10^-3 NAm / Am = N= 1,33* 10^-3 N

Bild 1.3.3.1
Schaltproblematik bei der Schwingmaschine.
Von einem Stromnetz kann Wechselspannung entnommen und in jeder Größe und Form für die Schwingmaschine transformiert werden (Gleichstrom).1 = Spule, 2 = Fe-Kern, B =mag. Induktion, I_E= Eingangs-strom, I_A= Ausgangs-strom, I_I= induzierter Strom. Spule = Sp₁ ist kurzgeschlossen, liegt an keinem Netz = U an.
Fließt Gleichstrom durch den Spulendraht der Spule = Sp₂, ist die Polstärke an den Polen der Spule konstant. Die Spule = Sp₁ ist fest und kurzgeschlossen, die andere beweglich und an Gleichspannung angeschlossen. Nähert sich die Spule = Sp₂ der festen Spule = Sp₁, baut die bewegliche Spule = Sp₂ in der festen Spule = Sp₁ ein gleichnamiges Magnetfeld auf, und zwar beim Annähern an die kurzgeschlossenen Spule = Sp₁ (Abstoßkraft). Entfernt sich die Spule = Sp₂ (bewegliche Spule) von der festen Spule = Sp₁, stehen sich ungleichnamige Pole gegenüber und ziehen sich an (Anzugskraft).
Bild 1.3.3.2 dito 1.3.3.1 nur beide Spulen sind in Reihe geschaltet. Der Strom = I fließt durch die Spulen, als ob Spule = Sp₁ und Spule = Sp₂ eine Spule währen. Beide Spulen sind ortsfest (x° = x°° = 0). Mit jeder zusätzlichen Windungszahl steigt die Induktivität = L der Spule. = L. L = µ A N²/ L* , L* = Länge der Spule mit L/D = 1,3, L* = 78 mm, µ = µ ₀ µ_r= Konstante der Spule, A = Stirnfläche
Bild 1.3.3.3 dito 1.3.3.1 nur beide Spulen sind voneinander unabhängige an dem gleich Netz angeschlossen, und zwar so, dass sich gleichnamige mag. Pole gegenüber stehen (Abstoßung).
Annahme
T_S= = 0,1 s = Schwingdauer des Schwingers,
T_W = 0,02 s Schwingdauer des Wechselstroms mit f = 50 Hz .
Der Wechselstrom schwingt 5-mal schneller und der Schwinger (Spule = Sp₂) baut mit dieser Frequenz = f = 1/T ein Wechselfeld in Spule = Sp₁ auf und ab (Bild 1.3.3.1).
Ist die dadurch induzierte Magnetkraft größer als die Blattfederkraft, können sich die Schwinger bei einer entsprechenden Annährung abstoßen, ohne dabei zu warm zu werden. Die Kraft, die durch Erhöhung der Spannung in der Spule induziert wird, kann errechnet werden und ist bei Wechselstrom eine Funktion der Zeit.
Nun entspricht Wechselstrom Ein- und Ausschaltvorgängen mit einer Spule und bekanntlich vollzieht sich der Stromanstieg und -abstieg in der Spule langsamer als das Ein- und Aus- schalten und beim Ausschalten erhöht sich noch die Spannung.
Spannung = u(t) und Strom = i(t) sind Zeitfunktionen, d.h. sie haben im Wechselstromkreis eine Phasenabhängigkeit. Die Abhängigkeit lässt sich in einem u-i-t-Diagramm oder P-t-Diagramm darstellen. Die trigonometrischen Sin- und Cos-Funktionen entsprechen, bis auf den Phasenwinkel = φ im u-i-Diagramm.
Bild 1.3.3.4
Ist in einen Stromkreis eine Induktivität geschaltet (eine Spule) hat der ohmsche Widerstand der Spule eine andere Phase als die Spule mit ihrer Induktivität. Der Phasenunterschied beträgt ωt = φ = 90°. Wir betrachten die Spule im Stromkreis als einen ohmscher Widerstand = R und eine Induktivität = L
Wir abstrahieren, d.h. wir skizzieren kein Bild das die beiden Schwinger mit den Spulen Sp₁ und Sp₂ wiedergibt, siehe hierzu Bild 1.3.3.1, hier sind die Spulen ohne Blattfeder skizziert. Wir geben anstelle ein Oszilographenbild wieder...
Im unteren Bild ist diese Oszilographenbild skizziert. Der Schwingweg ist über die Zeit abgetragen. Nähert sich die Spule = Sp₁ (Primärspule) mit der Geschwindigkeit = x₁° der Spule = Sp₂ (Sekundärspule) so wird in der Sekundärspule ein gleichenamiger mag. Pol induziert. Erreicht die Primärspule, die ja Blattfederaufsatz ist, den Umkehrpunkt - die Rückstellkraft wird wirksam -, die Primärspule entfernt sich von der Sekundärspule, würde sich auch die mag. Polung ändern und es würden sich ungleichnamige mag. Pole gegenüber stehen, die sich ja bekanntlich anziehen. Damit die Abstoßkraft auch beim entfernen der beiden Spulen wirksam bleibt, muss die Primärspule ungepolt werden. Dann stehen sich auch beim entfer5nen der beiden Spulen gleichnamige mag. Pole gegenüber.
Dauerhafte und momentane Magnetisierung
Ein Generator kann nur aus Spulen aufgebaut sein, wenn die Spulen einen Fe-Kern enthalten, die im Betrieb das erforderliche Magnetfeld erzeugen, und zwar bis zur Sättigung des Fe-Kerns. Hervorzuheben ist das Siemens-Prinzip -Selbsterregung, hier beeinflussen die mag. Felder des Anker- und der Feldspulen gegenseitig bis wieder Sättigung der Fe-Kerne erreicht ist. Die Generatoren der Schwingmaschine, wie auch der Motor, haben entweder einen Anker (Generator) als Dauermagnet oder die Feldspulen (Motor).
Schwingausgleichmotor auf Generatorwelle
Bild 1.3.4.1.1
2= Antriebsmotor (Schwingausgleich); f₁ , f ₂ , f ₃ = Schwingerfrequenz, n₁= Wellendrehzahl, Der Antriebsmotor sitzt auf der fliegenden Welle mit einen Motor oder Generator.
Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Anfahren der schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in die gleiche Richtung bewegen. Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft- erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren.
Diese Variante der Schwingmaschine wird unter 3. Schwingmaschine näher beschrieben. Hinter jeder Schwungmasse = 2 befinden sich die fliegenden Wellen (2 Stück) und der Kurbelantrieb. Auf der fliegenden Welle ist neben den Schwungmassen = 2 entweder ein Motor oder ein Generator befestigt. Mit dem Motor wird der Schwingverlust der Schwinger ausgelichen und mit Generatoren erzeugen die Schwinger Strom. Beim Motor besteht der Rotor aus drei Spulen, die unter 120° versetzt angeordnet sind und die Feldspule sind zwei Schalenmagnete (Dauermagnete). Diese Dauermagnete sind bezüg-liche der mag. Feldstärke fest, d.h. ihr Energieprodukt = (BH) = 200 KJ/m³= konstant und der Rotor kann nur gegen dieses Energieprodukt arbeiten. Hat der Moror durch Zufuhr von elektischer Energie diese in mag. Energie umgewandelt, ist die Leistungsgrenze = P_max erreicht. Genauso arbeiten die Genetatoren, nur ist hier der Rotor ein Dauermagnet und die Feldspule eine Zylinderspule. P_ab< P_max und die abzuführende Leistung = P_ab ist die Leistung, die notwendig ist, um die Schwingmaschine in den Betriebszustand zu bringen. Dann ist nur noch die Leistung = P_zu dem Motor zuzuführen um den Betriebszustand aufrecht zu erhalten - Leerlauf. Die Schwingmaschine hat insgesamt 2 Motore (Verlustausgleich und Leistungsabnahme) und 6 Generatoren (Leistungsabgabe), die die Maschine wirtschaftlich arbeietn lassen.
η = P_zu/P_ab < 1 mit P_ab= W_schw /t +W_rot/t + W_Gen/t + W_Träg/t
Auf der fliegenden Welle = 1 - im Bild 1.3.4.1.1 nicht gezeichnet - kann ein Motor oder ein Generator befestigt sein. Dann wird entweder ein Motor (eine fliegende Welle) mit einem Generator (eine fliegende Welle) durch den Kurbelantrieb zu einer Welle verbunden. Mit dieser Wellenkombination kann der Schwingausgleich und Spannung erzeugt werden. Sind zwei Generatoren (zwei fliegende Welle) mit einen Kurbelantrieb verbunden, wird mit dieser Wellenkombination Spannung durch die Genartoren erzeugt.
Fliegende Welle: Motor
Bild 1.3.4.1.2 (Motor)
1 = Welle mit Ankerdynamobleche, 2 = Halteplatte, 3 = latte, 4 = Blechzylinder, 5 = Dauermagnet s.g. Magnetschalen, gesintert (fest). 6 = Anker mit drei über die Längsachse gewickelten Spulen (drehend). 7 = Schwungrad
Der Motor überwindet die Startphase der Schwingmaschine.
Allgemeines
Im Bild 1.3.1.2 - Induktionsschaukel - haben wir die Lorentzkraft genutzt, um zu klären warum der Kupferdraht in das Magnetfeld den U-Magneten hinein oder herausgezogen wird. Wir vervollständigen die Skizzen (Bild 1.3.1.2) um weitere Kupferstäbe, die zu einer Leiterschleife verbunden und vervielfältigen diese Leiteschleife n-mal.
Annahmen
P = U I = 19 V *1,2 A = 22,8 VA (Spannung = U und Strom = I an der Leiterschleife)
Bild 1.3.4.1.3
links im Bild sehen wir die vereinfachte Skizze
Bild 1.3.1.2 -Induktionsschaukel - rechts im Bild ist eine rechteckige Leiterschleife skizziert und mit dieser Leiterschleife leiten wir die Gleich-ungen (1) und (2) mit ω t = ß, her.
(1)M_d = n I B A sin ß und (2) P = n I B A ω sin ß und M_d = Drehmomnet, P = M ω = Leistung b = Leiterstück (Stirnseite), a = Leiterstück (Längsseite), F_x= F_L= B_zx° q, F_y= F_L = q E_y mit Lorentzkraft = F_L = q(E + x° x B) (x = Kreuzprodukt),n = Drehzahl--- ω = 2 π n, A = Fläche der Leiter-schleife ( A _l_ B_z)
Annahme
(+) --- (-) = Verbraucher, (-) --- (+) = Erzeuger betrachten wir die Leiterschleife und den Kupferdraht als Widerstand = R, gilt: U = R I --- P = U I ((+) --- (-) = Verbraucher) aber der Strom = I kann nur vom höheren Potential = (-) zu niedrigen Potential = (+) fließen - q° = I mit q = Ladung = Elektronen - Würden wir die Ladungsträger in den Kupferdraht einzeichen ist die Richtung immer von (-) --- (+)....
Fließengeschwindigkeit = x° der Ladungsträger = q von (-) nach (+) im homogenen B-Feld = mag. Induktion = B_z wirkt das Kräftepaar =F_x an den Längsstücken der Leiterschleife mit dem Drehmoment = M_d = F x b = I A B = I A B sin ß ( aus Skizze ß = 90 °, weil (A _|_ B_z), wenn nur eine Leiterschleife sich im Magnetfeld = B gefindet. Sind N = Anzahl der leiterschleifen im Magnetfeld = B, gilt:
M_d = N(F x b) =N( I A B) = N I A B sin ß und mit P = Mω = N I A B ω sin ß.
Daten
Die Ankermasse = m_AM = 433 g ist vorgegeben, wenn die 6 Schwinger die 4 Kurbelantriebe aus der Ruhe beschleunigen sollen - Massenträgheitsmoment = J - P = U I = 19 V * 1,2 A = 22,8 VA (Netzteil: Wechselstrom = U 220V, I = 1,2 A auf U_ = 19 V,
I = 1,2 A), A = 1021 mm² aus A = (Dπ/4)L, D = 50 mm = Durchmeser eines am Umfang 4-polig magnetisierten Dauermagnetens (Zyliner), L = 26 mm = Länge. Dieser Dauermagnet kommtbei den Generatoren zum Einsatz. B = 1 T (gewählt und unter der Voraussetztung das BH = 200 KJ/m³= Energieprodukt ist) [B] = T = N/Am = Vs/m², n = 22,7 1/s = f = Schwingfrequenz = Drehzahl, ω = 2 π n = 142,6 1/s = Winkelgeschwindigkeit, sinß = 1,
P = Mω = N I A B ω sin ß, N = P/ I A B ω sin ß = 22,8/1,2*0,001 * 143 = 133 VA s m²/VA s m²= Windungen, und zwar für den Anker. Der Anker umfast 3 Spulen --- n/3 = 45 Windungen pro Spule.
Mit der Masse = m = 433 g für den Anker ist die Kupfermasse vorbestimmt. Der Kupferdraht der Spulen wird um Dynamoblechen gewickelt. Das Verhältnis: m_Fe /m_Cu= 1,3, dann gilt: m_Fe +mcu= 433 g, m_Fe +1,3m_Fe= 433 g, m_Fe = 433 g/2,3 = 188,3 g, mcu = 245 g Annahme
dcu= 0,8 mm --- mcu = V ρ = r² π L ρ --- L= m_Cu/ r² π ρ mit r= 0,4 mm,
ρ_Cu= 8,8 g/cm³,L= 5541,6 cm = 55,4 m = Drahtlänge für 3 Spulen, L = 18,4 m pro Spule.

ohmscher Widerstand:: U = R I --- R = U/I = 19v/1,2 A = 15,8 Ω R = ρ_CuL/A = 0,0172 *18,4/0,5024 = 0,63 Ω

_ges

₁

₂

₃

₁

₂

₃

²

₀

_r

_Dauerm

²

₀

_r

²

₀

_r

²

^-6

_r

_Spule

²

_Dauerm

³

²

L = N₂ µA/L = 45²* 3,43* 10^-30,001/0,078 = 0,082 H = Vs/A

Ohmscher Widerstand = R:: Reihe = R_ges = 1/R₁ + 1/R₂+1/ R₃= 0,53 Ω L_ges = L₁ + L₂ + L₃= 3* L₁ = 0,246 H (Induktivität)
Ohmscher Widerstand = R:: Parallel = 1/R_ges = R₁ + R₂ + R₃= 3* 0,63 = 1,89 Ω 1/ L_ges = 1/L₁ +1/ L₂ + 1/L₃ = 4,06 H (Induktivität)

_ind

Fliegende Welle: Generator
Bild 1.3.4.1.4 (Generator)
1 = Welle mit Dauermagnet
2 = Halteplatte, 3 = Platte
4 = Blechzylinder, 5 = Zylinderspule mit Kunststoffgestell, 6 = Dauer-magnet gesintert im gegossenen Metallbett, 7 = Schwungrad
Der Dynamo arbeite nach dem Prinzip eines Fahrraddynamos.
Die Ankermasse = m_AM = 433 g ist vorgegeben, wenn die 6 Schwinger die 4 Kurbelantriebe aus der Ruhe beschleunigen sollen.
Der Anker ist hier ein Dauermagnet: D = 50 mm, L = 26 mm, der über den Umfang 4 polig magnetisiert ist und sich in einer Zylinderspule dreht. Die Drehzahl = n = f = 22,7 1/s Die Bildreihe (Bild 1.3.4.1.5 - 7), die das Motor- und Generatorprinzip erklären soll.
Bild 1.3.4.1.5 Motorprinzip
Zwei drehende Leiterschleifen (a) mit Fe-Kern (b) mit der Flächennormalen = A. A prallel zu Bz, d.h. die Leiterschleifen werden von dem Magnetfeld = B geschnitten. Damit sich die Ankerspulen (a,b) im Magnetfeld = B_Z(fest) drehen können, muss durch den Spulendraht Strom fließen, fließt ein Strom = I, wird ein Magnetfeld aufgebaut und durch den Fe-Kern (b) verstärkt, das mit dem festen Magnetfeld = B_Z in Wechselwirkung tritt. Diese Wechselwirkung verursacht das Kräftepaar = Fx im Abstand = c, das die Ankerwelle zum drehen bringt.
Bild 1.3.4.1.6 Dynamoprinzip
Bild 1.3.4.1.6 entspricht dem Bild 1.3.4.1.5 nur dass hier die beiden Leiterschleifen(a) mit Fe-Kern (b) fest sind. Leiterschleifen (a) und Fe-Kern (b) sind eine Spule hier eine Feldspule die fest steht. In den Feldspulen wird eine Spannung induziert durch den sich drehenden Dauermagneten = D, dessen Flächennormale = A zu Nordpol = N = Magnetfeld des Dauermagneten parallel ist. In der skizzierten Position des Dauermagneten schneiden dessen Feldlinien = B den Spulendraht (Leiterschleifen). In den Spulen wird durch das Drehen des Dauermagneten eine Spannung = U_ind = - L I° induziert.
Bild 1.3.4.1.7 Fahrrad-Dynamo
Leiterschleifen sind um einen Spulenkörper gewickelt - Spule ohne Fe-Kern -. Die Spule ist fest und hat im Innenraum, in dem sich der Dauermagnet dreht einen Leiterzaun = Fe-Zaun aus Eisen. Im Innenraum dreht sich der gleiche Dauermagnet wie im
Bild 1.3.4.1.6. Die Feld-linien des Dauermagneten wirken über den gesamten Umfang der Leiterschleife, aus einem Schneiden der Leiterschleifen durch die Feldlinien des Dauermagneten (Bild 1.3.4.1.6) wurde ein Schleifen an den Leiterschleifen durch die Feldlinien des Dauermagnern (Bild 1.3.4.1.7). Induktion entsteht aber nur, wenn Leiterschleifen geschnitten werden, damit dieser Effekt - Schneiden der Leiterschleifen - wieder erzeugt wird, wird in den Luftspalt Anker (Dauermaget) und Spule (ohne Fe-Kern) ein Metallzaun gesteckt. Dreht der Anker (Dauermagnet) jetzt in der Spule, wird bei jedem Vorbeidrehen des Nordpols am Fe-Zaun dieser magnetisiert, d.h. es entseht ein Nord und Südpol - verstärkt - ? Diese Feldlinien schneiden jetzt wieder die Leiterschleife der Spulen und erzeugen eine Induktionsspannung.
Klar wird, wenn wir die Bilder 1.3.4.1.5 und 1.3.4.1.6 vergleichen, dass Motor und Dynamo nach dem gleichen Prinzip funktionieren -jeder so konstruierte Motor kann auch als Dynamo arbeiten -. Der Motor wandelt elektrische Energie in Rotationsenergie um und der Generator arbeitet umgekeht: er wandelt Rotationsenergie in elektrische Energie um. Wir nutzen die Rechnung für den Motor Bild 1.3.4.1.2, um den Generator Bild 1.3.4.1.4 zu berechnen.
Motor (Bild 1.3.4.1.2)
Anker: N = 133 Windungen für den gesamten Anker bestehend aus 3 Spulen.
Masse = m = 433 g des Ankers. Das Verhältnis: m_Fe /m_Cu= 1,3, dann gilt:
m_Fe +mcu= 433 g --- m_Fe +1,3m_Fe= 433 g, m_Fe = 433 g/2,3 = 188,3 g---- m_Cu = 245 g
dcu= 0,8 mm --- mcu = V ρ = r² π L ρ --- L = m_Cu / r² π ρ mit r = 0,4 mm, ρ_Cu= 8,8 g/cm³
L* = 5541,6 cm = 55,4 m = Drahtlänge für 3 Spulen --- L* = 18,4 m pro Spule.
ohmscher Widerstand: U = R I--- R = U/I = 19v/1,2 A = 15,8 Ω
R = pcuL/A = 0,0172 *18,4/0,5024 = 0,63 Ω, R = 0,63 Ω ist der ohmsche Widerstand der Spule (Bei Wechselspannung der Wirkwiderstand)
An den Spulen liegt Gleichspannung:
L = µ A N²/ L*, L* = Länge der Spule mit L/D = 1,3, L* = 78 mm,
µ = µ 0 µ_r--- Aus Tabellen: µ_r= 2690, B = 1T,
(BH)_Spule = (1,8 * 692)= 1246 N/m²mit H = NI/L = 45 1,2 A/0,078m = 692,3 A/m,
Die Spule muss gegen das mag. Feld des Dauermagneten anarbeiten.
L = N₂ µA/L = 45²* 3,43* 10^-30,001/0,078 = 0,082 H = Vs/A
Ohmscher Widerstand = R: Reihe = R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ +1/ R₃= 0,53 Ω
L_ges = L₁ + L₂ + L₃= 3* L₁= 0,246 H (Induktivität)
Ohmscher Widerstand = R: Parallel = 1/R_ges = R₁ + R₂ + R₃= 3* 0,63 = 1,89 Ω
1/ L_ges = 1/L₁ +1/ L₂ + 1/L₃ = 4,06 H (Induktivität)
u_ind = - L I° mit I° = 1,2 A/ 0,044 s f = 22,7 1/s --- T = t = 0,044 s (Periode), = - 0,246 *1,2A/0,044 s = - 6,7 Vs A/As = V --- Reihe.
u_ind = - L I° mit I° = 1,2 A/ 0,044 s f = 22,7 1/s --- T = t = 0,044 s (Periode), = - 4,06* 1,2A/0,044 s = -110,7 Vs A/As = V --- Parallel.
Feldspulen = Dauermagnetschalen
(BH)_Dauerm. = 200 000 N/m² dito Bild 1.3.4.1.9
Generator: Feldspulen dito Ankerspulen des Motors
u_ind = - L I° mit I° = 1,2 A/ 0,044 s f = 22,7 1/s ---- T = t = 0,044 s (Periode), = - 0,246 *1,2A/0,044 s = - 6,7 Vs A/As = V -Reihe.
u_ind = - L I° mit I° = 1,2 A/ 0,044 s f = 22,7 1/s ---- T = t = 0,044 s (Periode), = - 4,06* 1,2A/0,044 s = - 110,7 Vs A/As = V -Parallel.
Ankerspule ist jetzt ein Dauermagnet = Zylindermagnet mit 4 Polen am Umfang, siehe Bild 1.3.4.1.8 (BH)_Dauerm. = 200 000 N/m²
Generator (Fahrraddynamo):
Zylinderspulen dito Ankerspulen des Motors
u_ind = - L I° mit I° = 1,2 A/ 0,044 s f = 22,7 1/s ---- T = t = 0,044 s (Periode) = - 0,246 *1,2A/0,044 s = - 6,7 Vs A/As = V --Reihe
Ankerspule ist jetzt ein dauermagnet = Zylindermagnet mit 4 Polen am Umfang, siehe Bild 1.3.4.1.8(BH)_Dauerm. = 200 000 N/m²
Bild 1.3.4.1.8
Dauermagnet als Zylinder, 4-polig am Umfang magnetisiert drehend.
(BH)_Dauerm = (200 KJ/ m³)= 200000 N/m² (Dauermagnetdrehend) mit D = 50mm,
L = 26 mm, m_Dauerm. = 433 g, p = 8,4 g/cm³(Dichte)
Bild 1.3.4.1.9 Dauermagnet als Magnetschalen, diametral magnetisiert, fest, m = Masse nicht begrenzt.
Bild 1.3.4.1.10 Dauermagnet = 1 (Bild 1.3.4.1.8) dreht in einer Zylimderspule = 2 (fest) zwischen 1 und 2 ist der Fe-Zaun = 3 (fest) gesteckt.
Biegeschwingung
Bild 1.3.5.1
4 = bewegte Einspannung (Schwingausgleich); f₁, f₂, f₃= Schwingerfrequenz, n₁ = Drehzahl der fliegenden Welle, x = Weg der Einspannung, x° = Geschwindigkeit der Einspannung,
x°° = Beschleunigung der Einspannung, n₂ = Drehzahl des Bewegungsmotor.
Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Start der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in die gleiche Richtung bewegen (spannen). Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft- erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren.
Bewegen wir die Einspannung = 4 wird diese Bewegung durch Biegeschwingungen des Mittelschwingers auf die äußeren Schwinger = 1 = 3 übertragen; die geben diese Bewegung an den Kurbelantriebe weiter und der Kurbelantrieb dreht die fliegende Welle mit der Drehzahl = n₁.
Bewegte Einspannung
Bild 1.3.5.1.1und 1.3.5.1.2
1 = bewegte Einspannung, 2 = Motor für Mittelschwinger (einarmiger Hebel)
1* = Kippeinspannung, 2*= Motor für Mittelschwinger (zweiarmiger Hebel)
φ* = Kurbelwinkel, n = Drehzahl Antriebmotors (verstellbat), h = Hebel, H = Hebel x° = Geschwindigkeit, x°° = Beschleunigung, Index : E = Einspannung.
Der Mittelschwinger = M wird durch die Bewegung der Einspannung = 1 und 1* ausgelenkt. Wird die Bewegung der Einspannung (x_E°, x_E°°) mit der Bewegung der Masse (x_m°, x_m°°) durch die Blattfeder des Mittelschwinger = M gekoppelt, entstehen Schwingkurven, Sinusschwing-ungen der Form = x(t) = x_o sin ω_Et + φ. Diese Schwingungen entsprechen einen zeitlich periodischen Vorgang.
Wir unterscheiden zwei Möglichkeiten die Bewegung der Einspannung auf die Schwingmassen zu übertragen:
Bild 1.3.5.1.1: die Einspannung wird direkt von dem Motor über die Schubstange bewegt.
Die Blattfeder ist in der bewegten Einspannung befestigt (einarmige Bewegung).
Bild 1.3.5.1.2 die Blattfederverlegerung, Hebel = h, wird bewegt, dadurch wird der Hebel = H, Blattfeder, bewegt (zweiarige Bewegung).
Die Biegeschwingungen des Mittelschwingers = M, erzeugt durch die Einspannbewegung, ist eine Funktion der Drehzahl = n₂ des Bewegungsmotors. Biegeschwingungen - Spannenergie - erzeugen die Drehzahl = n₂ über die mag. Koppung der Schwinger untereinander und die Befestigung der äußeren Schwinger an die Kurbelantriebe, auf die fliegende Welle mit der Drehzahl = n₁ zu übertragen.
Bild 1.3.5.1.3
1 = Knoten, 2 = Bauch, 3 = Blattfeder (Mittelschwinger = M), 4 = Schwingungsform der Blattfeder = a, λ = Knotenabstände, b = Abstand zwischen den ersten Knoten und der Einspannung, I=Blattfederlänge.
Besonderheit
Die Oberschwingungen sind nicht ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz. Bewegt sich die Einspannung mit konstanter Geschwindigkeit = x° entstehen verschiedene Schwingungsformen der Blattfeder, wenn die Länge = l variiert wird.
Bei der Schwingmschine ist: l = konst. und x° = konst., und zwar nach derEinschwingphase. Besonderheit
Bei Resonanz sind die Schwingungsformen nicht nach Gleichung = (4) verteilt (4) λ_n = 4 l/2 n + 1 mit n 0 1,2,3...
Zur Einzelheit Z im Bild 1.3.5.1.3. Hier wird der Zustand der Blattfeder genutzt, um die Wellengleichung nach d'Alembert-Gleichung: y°° = c²y" herzuleiten. Sonst wird für die Herleitung ein Seil, das an beiden Enden fest eingespannt ist und ausgelenkt wird, herangezogen. dF = F₀ dx/R mit F₀ als resultierend Kraft, die Kräfte F₁ und F₂ sind die Kräfte, die die Blattfeder zur Ruhelage hin (F₁) und von der Ruhelage weg bewegen (F₂). die Kräfte die parallel zur Blattfeder wirken, haben bezüglich der Schwingungsformen keinen Einfluß.
Ist die Krümmung = k = 1/R mit R = Krümmungsradius klein, kann k = u" gesetzt werden. Das Massenstück = dm wird zum Nulldurchgang - Ruhelage - hin beschleunigt, mit dm = ρ A dx (A = Stirnfläche der Blattfeder).
u°° = dF/ ρ A dx = F₀ u"dx/ρ A dx --- F₀ u"/ρ A mit σ = F₀/A = M_b/W_b
u°° = u" σ/ρ --- u°° = u"a mit a = σ/ρ. Nun gilt:
Jede Funktion u = f(x - ct), u = f(x + ct) ist Lösung der Dgl.: u°° = u"a mit der Phasengeschwindigkeit: c = (a)^1/2.Das Lässt sich zeigen, in dem wir u(x,t) partiell nach x und t zweimal ableiten,u°° = c²u".
Bild 1.3.5.1.4
1 = Biegestab in Ausgangsposition ohne Auslenkung (x =0)
2 = 3 = Biegestab mit max. Auslenkung, x = x_max= Amplitude, 4 = Anreger:
Wechselstrommagnet, f = 50 Hz, 5 = Einspannung = Knoten, oberes freies Ende = Bauch.
Der Wechselstrommagnet gleicht die Verluste beim Schwingen aus und wir setzen voraus, dass das Anziehen der Blattfeder mit dem Magneten gleichzusetzten ist mit dem Hin-und Herbewegen und Beschleunigen der Einspannung. Um verschiedene Schwingformen zu erhalten, muss die Stablänge variiert werden. Der Blattfederaufsatz, der Dauermagnet, ist nicht skizziert. Der Schwinger schwingt in seiner Grundfrequenz.
Die Oberschwingungen sind nicht mehr ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz, d.h. nicht mehr harmonisch zur Grundfrequenz.
Erläuterung:
Die Wellengleichung: u°° = c²u"= F/A ρ mit σ = F/A haben wir hergeleitet.
Bild1.3.5.1.5 Wellenmaschine
1 = Gummiband
2 = Einspannung (fest)
2* = Einspannung (lose)
3 = Motor mit Exenterscheibe mit e = Exenter
Dreht die Exenterscheibe mit n --- ω = 2πn = Winkelgeschwindigkeit entstehen Wellen der Form: 4,5 und 6
4 = Grundschwingung - f₁
5 = 1. Oberschwingung-f₂
4 = 2.Oberschwingung - f₃
Die Form der Wellen die durch die drehende Exenterscheibe erzeugt werden ist von der Winkelgeschwindigkeit = ω = 2πn abhängig. Dreht der Exenter nicht und Schlagen wir mit einen Metallstab auf das Gummiband, läuft eine Welle von fester Einspannung zu fester Einspannung (nicht im Bild 1.3.5.1.5 skizziert). An der Einspannung kehrt sich der Wellenbauch um, d.h. läuft die Welle mit einen Bauch nach oben zur Einspannung, verlässt sie die Einspannung mit einen Bauch nach unten, es entstehen stehende Wellen; wenn der Abstand = L zwischen den Gummibandenden gleich der halben Wellenlänge λ/2 der erregten Welle oder ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2 ist. Abstimmbedingung für zwei feste oder zwei losen Einspannung: L = a λ/2 mit a = 1,2,3,... Abstimmbedingung für eine feste und eine lose Einspannung: L = (2a - 1) λ/4 mit a = 1,2,3,...
Die Schwingmaschine arbeitet wie die Wellenmaschine im Bild 1.3.5.1.5 eine lose und eine feste Einspannung L = (2a - 1) λ/4---λ = 4 L/ (2a - 1) = 4L/1 mit a = 1 (Grundzustand)
c = λf --- f₁ = c/λ₁= (1/4L)(F/A ρ)^1/2 Grundfrequenz mit a = 1.
Die Anzahl der stehenden Wellen zwischen den Einspannungen ist eine Funktion der Winkel-geschwindigkeit = ω der Exenterscheibe. Betrachten wir die Welle als Schwingungsfähiges System, dann können wir folgern: An den Knoten hat die Welle die Auslenkung = x = 0 und am Bauch die max. Auslenkung = x_max. und zwischen Bauch und Knoten bewegen sich die Welle mit x° = Wellengeschwindigkeit.
x° = rω = r 2πn--- E_schw = E_pot + E_kin = ½ k x² + 1/2 m x°² ---- E_pot = E_kin
E_kin = 1/2 m (rω)² =1/2 m (r 2πn)² mit r = e = Exenter der Exenterscheibe und f = n = Schwingfrequenz der Welle = Drehzahl des Exenters. Damit hat die Welle die Schwingenergie = E_schw mit E_schw= 2 E_kin = m (r 2πn )² mit m = Masse des Seile oder Gummiband und r = Exenter. Wenden wir diese Annahme auf die Blattfedern der Schwingmaschine an, wir betrachten nur eine Blattfeder und lassen nicht nur die Grundschwingung mit a = 1 gelten dann gilt:
L = (2a - 1) λ/4 --- 4 L/(2a -1) = λ --- c = λ f, x° = λ f = (4 L/(2a - 1))f x° = rω = r 2πn = (4 L/(2a - 1))f mit f = n --- Schwingfrequenz der Balttfeder = Drehzahl der Exenterscheibe oder Antriebsmotor der bewegten Einspannung.
r 2πn = (4 L/(2a - 1))f --- r 2π = 4 L/(2a - 1) --- a = ((2 L /r π)+1)/2 = Gangzahliges Vielfaches von L = Einspannabstand oder Blattfederlänge, wenn L = Blattfederlänge, r = x/2 ( x = Weg der bewegten Einspannung oder r = Exenter) und n = Drehzahl des Exenters bekannt sind. Einseitig eingespannte Blattfeder
y =( F x²/6 E I)(3L - x) = Gleichung der Biegelinie
y* = F L³/ 3 E I = Durchbiegung
tanα = y'= F L²/ 2 E I = 3 y*/2L Neigung der Biegelinie vom freien Ende der Blattfeder aus.
Bild 1.3.5.1.6
Der Schwinger als Teilschwingsystem.
r = Blattfederlänge, F = Spannkraft
M_E = Einspannmoment, x = Variable
M_b(x) = - (r-x) F
E I y(x)" = - M_b(x) = - (r-x) F Integration --- y(x)'
E I y(x)' = -∫ M_b(x)dx = - (r-x) F = - F (r-x)²/2+ C₁(x) Integration -y(x)
E I y(x) = -∫∫ M_b(x) dx dx = - (r-x) F = - F (r-x)³/3+ C₁(x)x + C₂(x)
Bestimmung der Konstanten: C₁(x) und C₂(x)
Σ F_z= 0 = F_A-F --- F_A =F
E I y'(x =0)= 0= F (r-x)²/2+ C₁(x)=- F (r)²/2+ C₁(x)--- C₁(x) = F (r)²/2
E I y(x=0)=0 = F (r-x)³/3+ C₁(x)x + C₂(x)= - F (r)³/6+ C₂(x)--- C₂(x)= F (r)³/6
Biegelinie: y(x)
E I y(x)= F (r-x)³/6+ C₁(x)x + C₂(x)= - F (r-x)³/6+ F (r)²/2 x + F (r)³/6
y(x) = F/EI((r-x)³/6+ 3(r)²/6 x + (r)³/6 = F/6EI ((r-x)³+ 3(r)² x + (r)³)
Durchbiegung an der Stelle x = r---f = y(x)
y(x = r) = F/EI((r-x)³/6+ 3(r)²/6 x + (r)³/6 = F/6EI ((r-r)³+ 3(r)² r + (r)³= F 4r³/6EI
f = F 2r³/3EI größte Durchbiegung an der Stelle: x = r
Zusammenhang zwischen Durchbiegung = y* und Federkonstante =k y* = F L³/3 E I (1), F = k y (2) --- (2) in (1) y* = k y L³/3 E I----- k = 3 E 1/ L³ mit y*= y
Dynamisches Gleichgewicht --- Frequenz der Einspannung = Blattfederfrequenz f_a= c/λ_a= (1/4L)(F/A ρ)^1/2 mit a = 1,2,3,... , 4 L/ (2a - 1) = λ_a
f_a=((2a -1)/4 L)c= ((2a - 1)/4L)(F/A ρ)^1/2. Diese Gleichung gilt, wenn die Oberfrequenzen
(a >1) ein ganzzahliges Vielfacher der Grundfrequenz (a = 1) ist --- schwingende Saite oder schwingendes Gummiband. Die Schwimngmaschine hat aber Blattfedern eingespannt, und zwar ein Ende fest und das andre Ende lose. Gemeinsam haben alle Schwingunsformen (ob, Grund- oder Oberfrequenz) das am festen Ende ein Knoten ist und am freien Ende ein Bauch. Schwingt die Blattfeder mit oberen Frequenz liegen zwischen der Einspannung und dem freien Ende der Blattfeder die Knoten. Diese Knoten haben annähernd gleiche Abstände, nur der erste Knoten von der Einspannung gesehen hat einen größeren Abstand als die Abstände zwischen Knoten-Knoten. Soll annäherd der Abstand Einspannung zum ersten Knoten errechnet werden, kann der Absatz verwendet werden.
Bild 1.3.5.1.7
L* = tan α y*, L = Blattfederlänge, L = a a* + L*+ a**---a** = L- a a* - L*
a = 1,2,3,..., a* = knoten - Knoten = Abstand, L* = Strecken vom freinen Ende ( L * = a*/2 ?) a** = Abstand: Einspannung zum 1. Knoten
Für die Grundfrequenz des einseitig eingespannten Stabes ist a = 1.
Durch den Biegestab werden Wellen in Längs- und Querrichtung vom transportiert. Zu unterscheiden sind die physikalischen Größen: Welle und Schwingung. Der Biegestab hat über seine Länge, und zwar von der Einspannung bis zum Biegestabende, beim Schwingen Knoten verteilt. Die Anzahl der Knoten gibt Auskunft über die Biegelinienform und in welcher Ober - oder Grundschwingung der Biegestab schwingt. Die Einspannung gilt als Knoten.Knoten und Bäuche sind das Kriterium für Wellen und eine Welle ist ein zeitlich und räumlich verteiltes Gebilde. Zur Berechnung der Wellenlänge = λ, der Frequenz = f, kann die Wellengleichung für Biegeschwingungen verwendet werden. Für den einseitig eingespannten Stab, wie auch für den in der Mitte eingespannten Stab, gelten die Randbedingungen:
Bild 1.3.5.1.8
Longitudinalschwingungen eines Stabes: an einem Ende fest, am anderen frei.
Ist die Variante mit der bewegten Einspannung, d.h. das feste Ende wird bewegt
und am freien Ende ist der Dauermagnet befestigt.
Bild 1.3.5.1.9
Longitudinalschwingungen eines Stabes: in der Mitte fest, an beiden Enden frei.
Ist die Variante zu Bild 1.3.5.1.8, nur dass die bewegte Einspannung zwei Blattfedern
mit zwei freien Enden, an denen die Dauermagnete befestigt sind, bewegt.
Mit: a = 1 = Grundschwingung, a = 2 = 1. Oberschwingung, a = 3 = 2.Oberschwingung
a = 4 = 3. Oberschwingung usw.
Bild 1.3.5.1.10 Zweiarmiger Hebel
Σ M₁ = Σ M₂, F₁* I₁= F₂ *I₂,
F₂= F₁ *I₁ / I₂, F₁ =Motorkraft = Antriebskraft am Hebel, F₂ = Schwingkraft = Antriebskraft für die äußeren Schwinger, I₁, I₂,= Hebel, x = Weg, x° = Geschwindigkeit, x°° = Beschleunigung, Index: M = Motor, S = Schwinger. Vom Antriebs-motor ist das Drehmoment = M = F₂r aufzubrin-bringen. Diese ist mit einen Gesamtwirkungs-grad =η_ges zu berücksichtigen. Dieser Wirkungs-grad muss den Wirkungsgrad der Schwinger sowie den Wirkungsgrad der anderen Kurbelan-triebe berücksichtigen.
η_ges = η₁η₂ η₃ =0,75* 0,9*0,75=0,5. M = F₂r/ η_ges. Durch die Hebelarmbewegung = I₂ werden am Hebel = I₁ Biegeschwingen erzeugt. Diese Biege-schwingungen sollen die äußeren Schwinger durch Stoßkraft = F(t) = p° = (mv)° bewegen. Die festeigespannte Blattfeder schwingt unter cosinusförmiger Anregung am Helbel = l₂ mit Biegeschwingungsn in der Grundform = a = 1, Grundschwingung heißt, dass über die Blattfeder Länge = l₂ keine Knoten entstehen. Die Einspan-nung = E gilt als Knoten.
Biegeschwingungen haben gegenüber anderen Schwingungsformen (Angezupfte Geigensaite, Gummiband), die besonderen Eigenart, dass ihre oberen Frequenzen nicht mehr ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz sind.
statisches Gleichgewicht
Bild 1.3.5.1.11
F = mg = Kraft, r = Abstand von m= Masse zum Lager A und B,a = Abstand Lager A oder B zur Schubstangenaufnahme Hebel: mg r = F a.
freigemachtes System
Bild 1.3.5.1.12
F₂ = Kraft, r = Abstand von F₂ und Lager A oder B. a = Abstand vom Lager zur Kraft = F₁. Die Kraft = F₁ wirkt periodisch auf den Hebel = a, dadurch wird die Masse = m periodisch ausgelenkt.
Die Arbeitsweise der Schwingmaschine ist vertikal, d.h. die Schwerkraft geht nur mit einen Bruchteil ein, genauer mit dem Auslenkwinkel= φ. Wenn die äußere Kraft = F₂ als starr angenommen wird, kann die Durchbiegung = f für einen einseitig eingespannten Träger mit der äußerenKraft = F berechnet werden.
Das gilt für beide Hebel von der Einspannung. Hebel 1: F₁a und Hebel 2: F₂r Bewegt der Kurbelantrieb die Schwinger: S₁ , S₂ und S₃ wird jede einzelne Blattfeder durch Biegung (Biegeschwingungen) beansprucht und damit ist der Belastungsfall III (schwingend) zu berücksichtigen. Die Schubstange wird dadurch nicht nur auf Zug und Druck beansprucht, sondern auch auf Knickfestigkeit; die Beanspruchung auf Knickung, tritt periodisch auf und beansprucht damit auch die Schubstange schwingend. Der Mittelschwinger soll die beiden äußeren Schwinger durch Kraftstöße beeinflussen. Der Mittelschwinger schwingt mit der Erregerfrequenz = f_E, nähert sich die Erregerfrequenz der Systemfrequenz tritt, Resonanz ein. Der Mittelschwinger schwingt dann mit einer größeren Auslenkung, er kommt den aüßeren Schwingern näher und damit ist die Stoßkraft größer. Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbeltrieb in ihrer Auslenkung begrenzt, maximale Auslenkung ist gleich dem Kurbelradius, somit kann die übertragene Energie durch größere Auslenkung des Mittelschwingers nur durch Erhöhung der Rotationsenergie, was beabsichtigt ist, ausgeglichen werden.
Bild 1.3.5.1.13
x(t) = x_o sin ω_Et + φ.
ω_E = Erregerfrequenz = Motordrehzahl
cp= Phasenwinkel = 0, x₀= Auslenkung
Sinusschwingungen sind ein zeitlich periodischer Vorgang.
x(t= t₁) = x_o sin ω_Et₁
Mit k = Federkonstante--- F = k x, x = Auslenkung, E = Elastizitätsmodul, I = Flächenträgheitsmodul, L = Blattfederlänge, L₁= bewegter Hebel, k = F/x = 3 E I / L³.
F(t) = k x_o sin ω_Et₁ = F(t) = (3 E I / L³) x_o sin ω_Et₁ --- Zeitverlauf der Kraft = F(t) des Blattfederaussatzes (Dauermagnet)--- ω = 2 π f ---- ω/2π = f = Schwingfrequenz
F(t) = (3 E I / L₁ ³) x_o sin ω_Et₁= (3 E I / a³) x_o sin ω_Et₁ --- Zeitverlauf der Kraft an der verlängerten Blattfeder (Einspannung).
Hier handelt es sich um Biegeschwingungen, und da die Blattfeder einseitig eingespannt ist, hat sie an der Einspannung einen Knoten und am freien Ende einen Bauch. Beim Schwingen im Grundzustand entstehen zwischen Einspannung und Blattfederaufsatz (Dauermagnet) keine Knoten.
Antriebsmotor der bewegten Einspannung
Bild 1.3.5.1.14
Zu 1 = Feldspulen, fest: Sie tragen die Wicklungen der Feldspule (3 Stück) aus Kupferdraht.
Zu 2 = Ankerspulen, drehend: 3 Spulen um 120° am Anker versetzt aus Kupferdraht.
1 = Feldspule, 2 = Anker (drehend), 3 = Welle, 4 = Zapfen für den Kurbelantrieb, 5 = Kollektor (Schleifring oder Lamellenkollektor) 6 = Rillenkugellager, 7 = Haltestange (Feldspule)
Der Motor der die Einspannung bewegt hat, nur Spulen als Anker und Feldspulen.
Er bewegt die Einpannung über einen Kurbelantrieb hin und her. Der Motor ist offen, d.h. der Feldspulenträger (1 = Feldspulen) ist aus Dynamoblech. Das Dynamoblech wird über die Haltestangen gesteckt und verkeilt, der Motor ist nicht verkleidet...
Die Bürsten (Kohlestifte) werden auf den Kollektor über ein Halteblech (Kupfer) gesteckt. Der Anker soll den Kurbelradiums = r nicht überschreiten.
Bild 1.3.5.1.15
1 = Dynamoblech des Ankers. Durch die Mittelbohrung wird die Welle gesteckt,
damit erhalten alle Bleche eine Zentrierung und halt. 2 = Dynamoblech der Feldspule. Durch die drei Halbbohrungen am Umfang des Bleche bekommen die Feldspule eine Zentrierung und halt.
Wir modifizieren den Motor Bild 1.3.4.1.2 und den Generator Bild 1.3.4.1.4 so, dass der Antriebsmotor der bewegten Einspannung nur aus Spulen besteht.
Der Anker ist dann die im Bild 1.3.5.1.15 links (1) skizzierten Bleche, auf der Antriebswelle zusammengesteckt, und mit Kupferdraht umwickelten Anker und die Feldspulen sind die rechts im Bild 1.3.5.1.15 (2) auf den Stäben (nicht gezeichnet) zusammengesteckten Bleche, wenn die Bleche mit Kupferdraht umwickelt sind.
Beide Spulen: Feld- und Ankerspulen sind aufeinander abgestimmt, d.h. mit der Leistungsgleichung = P = M ω = N I B A ω sin (ω t) werden die Spulendaten abgestimmt.
N = 133 Windungen (Anker- und Feldspule), A = 0,001 m²= Flächennormale, L = Länge der Spule, ω = Winkelgeschwindigkeit = 143 1/s²,
Schwingfrequenz = f = n = Motordrehzahl mit ω = 2π f = 2π n und f = 1/T und T = 2π (m/k)^1/2 F(t) r = M = N I B A sin (ω t ) = 3 k x*0,98*r mit F_t= 3 k x 0,98 = Tangentialkraft an der Kurbel und k x = Federkraft eines Schwingers. (BH) = Energieprodukt = 200000 N/m² (beispielsweise für einen Dauermagneten aus Sm Co₅.
H = N I /L--- N I B A = (H B) AL = (200000 N/m²) AL.
Mit diesen Vereinfachungen lässt sich eine Abstimmung der Spulen (Anker- und Feldspulen) erzielen.
Spezielle Arbeitsweisen der Schwingmaschine
Wir stellen alle unter Pos. 1.3 aufgeführten Konzepte des Schwingausgleichs an der Schwingmaschine vor. Das Grundkonzept: drei Schwinger in der oberen und drei in der unteren Hälfte der Schwingmaschine bleibt immer erhalten. Die Startphase der Schwingmaschine wird immer über den Motor (Baugruppe 8, Bild 1.3.1 unter Pos. 1.3.1.3, und zwar je ein Motor im oberen und je ein Motor im unteren Teil der Schwingmaschine), durchgeführt. Haben diese Motoren die Schwingmaschine in den Betriebszustand gebracht, übernimmt der Antriebsmotor = Motor diesen Betriebszustand und die 6 Generatoren erzeugen den Strom. Die Schwingmaschine arbeitet im Leerlauf, von den Generatoren wird keine Spannung erzeugt. Die Energie, die der Antriebsmotor jetzt aufbringen muss, ist die, die durch Reibung in Wärme oder Verschleiß umgesetzt wird, und die, die jeder Motor oder Generator im Leerlauf besitzt, um Anziehungskräfte der Dauermagnete im Motor oder Generator zu überwinden. Wird den Generatoren Spannung abgenommen, verstärkt sich die Wechselwirkung der Magnetfelder bis die Ankerspulen die Feldstärke = H der Dauermagnete erreicht haben. Der Motor unter Baugruppe 4 im Bild 1.3.1 (Pos. 1.3.5.1 im Inhaltsverzeichnis) enthält keine Dauermagneten. Die Ankerspulen, ihnen wird von außen elektrische Energie zugeführt, erregen die Feldspulen. Die Lorentzkraft dreht den Anker über die Feldspulen hinweg. Auf der Ankerwelle sitzt der Kollektor, der die von außen zugeführte elektr. Energie auf die Ankerspulen verteilt. Dieses Prinzip - Motoren ohne Dauermagnet - kann auch bei Generatoren angewendet werden, sie arbeiten dann selbsterregend nach dem Siemensprinzip.
Die auf der Motor- und Generatorwelle befestigten Massen sind Energiespeicher, wenn sie sich mit konst. Drehbewegung drehen. Drehen die Massen langsamer, geben sie Energie ab, sollen sie schneller drehen muss Energie zugeführt werden, die Drehrichtung ändert sich dabei nicht, denn das würde bedeuten, dass die Massen ihre Trägheit, die sie im Stillstand haben überwinden müssen. Die Schwinger sind auch Energiespeicher, wenn sie einmal Schwingen. Wie bei den Drehmassen gilt: werden sie langsamer, muss Energie aufgewendet werden, um den alten Energiezustand zu erreichen. Die Trägheit wird beim Spannen der Blattfeder aufgehoben, und zwar durch die Spannkraft. An den Umlenkpunkten der Schwingung ist die Feder immer gespannt und kann dadurch die Trägheit des Blattfederaufsatzes (Spulen oder Dauermagnete) überwinden. Anders als beim Massenspeicher gibt er beim Schwinger die sich ständig umkehrende Bewegungsrichtung. Massenspeicher - Drehscheiben - ermöglichen eine konstante Energieabgabe. Ein Generator gibt eine glatte, die Amplitude der Spannung oder des Stroms ist nahezu konstant, Energie ab. Das Spannen der Blattfedern der Schwingmaschine beim Arbeiten mit Generatoren und Motoren, ist das Neue und mit der Schwingmaschine ist diese neue Arbeitsweise realisiert.
Kopplung von Schwinger und Kurbelantrieb
Bild 2.1.1
1 = Mittelschwinger, 2 = Außenschwinger, 3 = Einspannung, 4 = Kurbel, 5= Aufnahme (Kurbelantrieb), r = Kurbelradius, φ = Auslenkwinkel des Mittelschwingers, B = magn. Induktion, x = Auslenkung, m = Masse, a = Länge der Blattfeder, ω= Kurbelgeschwindigkeit, f = Schwingfrequenz, N = Nordpol (Magnetfeld), S = Südpol (Magnetfeld), k = Federkonstante. Indizes: 1 = Mittelschwinger, 2 = Außenschwinger, Bedingung: x₁ < r< x₂ (Resonanz). λ = r_K/ I = Schubstangenverhältnis, φ_K= Kurbelwinkel, ω_K= dφ_K/dt = Kurbelgeschwindigkeit. Die Kurbelgeschwindigkeit = ω_K ist konstant, wenn der Schwinger =2 mit konstanter Frequenz schwingt. ω_K = 2 πn, n = Drehzahl der Kurbel mit n = f, f = Frequenz des Schwingers. Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Start der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in der gleichen Richtung bewegen (spannen). Der Ausgleichsimpuls, Stoß-kraft, erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren. Die Energie von der Schwingmasse (Blattfederaufsatz) ist Es = 1/ 2 m (dx_K/dt)² und soll der Energie der rotierenden Schwung-massen entsprechen (Annahme).
E_R = 1 /2 J (d(φ_K/dt)² mit J = Trägheitsmasse der Schwingscheibe, J = 1 /2 m r²
Bild 2.1.2 ist derAusschnitt aus Bild 2.1.1
φ_K= Kurbelwinkel, φ_S= Auslenkwinkel = Schwingwinkel des Schwingers, β = Schubstanenwinkel, k = Federkonstante, r_B = Blattfederlänge, r_K = Kurbelradius, x = Auslenkung, I = Schubstange, die Zahlen: 1-4 zeigen den Schwingweg der Dauermagnete (Kolben) und der Kurbel. 1-2-3-4 = Hin- und Rückweg der Schwingmassen bzw. eine Umdrehung der Kurbel, wenn die Kurbel linksherum dreht im Uhrzeigersinn (der Schwinger ist nach rechts ausgelenkt). Der Kurbelwinken φ_K =φ_K, _math.: 1: 0-90°, 2: 90°-180°, 3: 180°-270°,
4: 270°-360.°Wird der Schwinger nach links ausgelenkt, startet die Schwingmaschine entsprechend 2.1.1 Startpunkt von Schwinger/Kurbelantrieb (Start) = Inhaltsverzeichnis.
x° = dx/dt = r ω sin ωt + 1/ 2 (- 2 r² sin ωt cos ωt) ^-1/2
x°° = d²x/dt² = r ω² cos ωt - 1/ 4 (- 2 r² ω cos ωt cos ωt - ω sin ωt sin ωt)^{- 3/2}
x°° = d²x/dt² = r ω² cos ωt - 1/ 4 (- 2 r² ω( cos² ωt + sin²ωt)^-3/2
x°° = d²x/dt² = r ω² cos ωt - 1/ 4 (- 2 r² ω(1)^-3/2
Dgl: mx°° + µ x° + kx = 0 ---- x°° + µ/m x° + k/m x = 0 (1) mit δ= µ/2m, ω₀ ² = k/m
x°° +/- 2δ x° + ω₀ ²x = 0 (2) δ² = µ²/4m²
x (t) = x₀ e^-δt sin ((ω² ₀ - δ²)^1/2 t + φ₀) (2)
Die Dgl = (1) und die dazu gehörige Lsg = (2) geben die Schwingungsgleichung des im
Bild 2.1.2 abgebildeten Schwingsystems = a ohne Erregerkraft und Kurbeltrieb= b wieder.In der Dgl. (1) ist: mx°° = Trägkeitskraft, µ x° = Dämpfung, k x = Rückstellkraft= Federkraft. Zu dieser Kraft muss noch die F_F,m = ½ (BH) A = magnetische Abstoßkraft
der mag. Pole hinzugefügt werden A = Polfläche, (BH) = Energieprodukt.
Startpunkt von Schwinger/Kurbelantrieb (Start)
Nach der mathematischen Zählrichtung der trigonometrischen Funktionen, soll die Kurbel sich links herum drehen. Bei der Schwingmaschine dreht die Kurbel rechts herum und damit ist das Vorzeichen des Kurbelwinkels zu ändern, siehe Bild 1.2.2.1. Schwinger und Kurbelstange befinden sich auf einer Linie. Die Linie ist der Endpunkt des II. Quadranten (mathematisch).
Der Schwinger ist ausgelenkt: b_S* = I φ*, b* = I φ*max, = max.
Kurbelwinkel = ß= 180°, b_K ^* = r β*, b_K* = r 3,14
Kurbelpunkt = P_K bewegt sich am Umfang= 2 r_kπ der Kurbel
Schwingpunkt = Ps bewegt sich am Umfang =2 l π der Blattfeder
Ausgangsmaß: a = 2 r_k + l_S (ein s.g. Konstruktionsmaß)
Bild 2.1.1.1:
ß= 180° (II), φ= max. (II)
x= x_(II) = - r_k cos ß + (l² _S- r² _k sin² ß)^1/2x_(II) = 1 r_k - (l² _s )^1/2= r_k +l_s
x_I≈b_S* = I φ*, a = xs+ I_S + x_k, Vorzeichen: cos 180° =-1 (neg), sin 180° = 0 (pos)
x = - r_k cos ß + (l² _S- r² _k sin² ß)^1/2 mit ß = 180°, cos ß = cos 180° = -1, sin ß = sin180° = 0
x = -(-1 r_k) + (( l² _S)^1/2= r_k + l_S, b_S*= lφ*≈ x_I
Der Schwinger ist im Betriebszustand, d.h. die Einschwingphase ist abgeschlossen und alle betrachteten Teile (Blattfeder, Schwingmasse, Schubstange und Kurbel) der Schwingmaschine sind in Bewegung
Schwinger: E_S = E_pS + E_kS = (1/2) k x² + (1/2) m₁ x°² = konst
Indizes: S = Schwinger, pS = potentielle Schwinger- u. kS = kinetische Schwingerenergie, m₁= Masse des Schwingeraufsatzes + 1/2 Schubstangenmasse, x = Auslenkung, x° = Auslenkgeschwindigkeit, k = Federkonstante, x = r = Kurbelradius (für die Rechnung).
Kurbel: E_k = E_pK + E_kK= (1/2) J ω² + m₂ g h= konst.
Indizes: K= Kurbel, pK = potentielle Kurbel, kK= kinetische Kurbel mit ω= 2 πf_K,
f_K= Kurbelfrequenz, J = (1/2) m₃ r²= Trägheitsmoment, m²= 1/2 Schubstangenmasse,
m₃= 1/2 Schubstangenmasse + Kurbelmasse
ß= 180° (II), φ= max. (II) mit h = h/2
E_s+ E_k= E_pS + 0+ E_pK + E_kK= (1/2) k x² + 0 + (1/2) J ω² + m₂ g h/2
Ein halber Hingang des Schwingers/Kurbelantriebs
Der Schwinger befindet sich am Nulldurchgang der Bewegungslinie = Schwinglinie.
Er bewegt sich von der Ausgangsposition weg. Die Kurbel befindet sich am Anfang
des II. Quadranten (mathematisch) der Bewegungslinie gleich Kurbelradiusumfang der Kurbel = Drehlinie. Der Schwinger ist unausgelenkt: b_S* = I φ*, b_S*=0
Kurbelwinkel= ß= 90°, b_K ^* = r β*, b_K* = r 1,57
Kurbelpunkt = P_K bewegt sich am Umfang = 2 r_kπ der Kurbel, b_S*= I φ*≈ x_S= 0 Schwingpunkt = Ps bewegt sich am Umfang =2 l π der Blattfeder
Ausgangsmaß: a = 2 r_k + l_S (ein s.g. Konstruktionsmaß)
x = - r_k cos ß + (l²S- r² _k sin² ß)^1/2mit ß = 90°---cos ß = cos 90° = 0, sin ß = sin 90° = 1
x = 0 + (l² _S - r²k)^1/2= (l² _S - r² _k)^1/2= (15)^1/2 r, r/l = ¼ = λ = Schubstangenverhältnis
Bild 2.1.2.1
ß= 90° (I), φ= min, (I), x= x_(II)= - r_k cos ß + (l² _s- r² _k sin² ß)^1/2, x_(II) = 1 r_k - (l² _s)^1/2= r_k +l_s,
x_I≈b_S* = l φ*, a = x_S+ l_S+ x_k, Vorzeichen: cos 90° = 0 (pos), sin 90° = 1 (pos)
Der Schwinger ist im Betriebszustand, d.h. die Einschwingphase ist abgeschlossen und alle betrachteten Teile (Blattfeder, Schwingmasse, Schubstange und Kurbel) der Schwingmaschine sind in Bewegung.
Schwinger: E_S = E_pS + E_kS = (1/2) k x² + (1/2) m₁ x°² = konst
Indizes: S = Schwinger, pS = potentielle Schwinger-, kS = kinetische Schwingerenergie
m₁= Masse des Schwinger Aufsatzes + 1/2 Schubstangenmasse, x = Auslenkung,
x° = Auslenkgeschwindigkeit, k = Federkonstante, x = r = Kurbelradius (für die Rechnung) Kurbel: E_k = E_pK + E_kK = (1/2) J ω² + m₂ g h= konst
Indizes: K= Kurbel, pK = potentielle Kurbel, kK= kinetische Kurbel, mit ω= 2 πf_K,
f_K= Kurbelfrequenz, J = (1/2) m₃ r²= Trägheitsmoment, m²= 1/2 Schubstangenmasse,
m₃= 1/2 Schubstangenmasse + Kurbelmasse, ß= 90° (I), φ= mion. (I) mit h = h
Es + E_k =0 + E_kS + E_pK + E_kK= 0 + (1/2) m₁ x°² + (1/2) J ω² + m₂ g h
Ein Hingang des Schwingers/Kurbelantriebs
Schwinger und Kurbelstange befinden sich auf einer Linie. Die Linie ist der Ausgangspunkt des I. Quadranten (mathematisch). Der Schwinger befindet sich am Umkehrpunkt der Bewegungslinie = Schwinglinie. Die Kurbelstange befindet sich am Anfang des I.Quadranten (mathematisch) der Bewegungslinie des Kurbelradius = Umfang der Kurbel = Drehlinie. Der Schwinger ist ausgelenkt: b_S* = l φ*, b_S* = l φ*_max = max.
Kurbelwinkel= ß= 0°, b_K* = r β*, b_K* = r0 = 0
Kurbelpunkt = P_K bewegt sich am Umfang = 2 r_kπ der Kurbel
Schwingpunkt = P_S bewegt sich am Umfang =2 l π der Blattfeder
Ausgangsmaß: a = 2 r_k + l_S (ein s.g. Konstruktionsmaß)
x = - r_k cos ß + (l² _s- r² _k sin² ß)^1/2mit ß = 0°, cos ß = cos 0° = 1, sin ß = sin 0° = 0, ß = 0° = 360°, x = - r_k + (l²s)^1/2 =- r_k + l_S = l_S- r_k, b_S*= l φ*_max≈ x_S= max.
Bild 2.1.3.1:
ß= 0° (II), φ= max, (II), x= x_(II) = - r_k cos ß + (l² _k - r² _ksin² ß)^1/2, x_(I) = l_s - r_k, x_l≈b_S* = I φ* =max a = x_S+ l_S + x, Vorzeichen: cos 0° = 1 (pos), sin 0° = 0 (pos)
Der Schwinger ist im Betriebszustand, d.h. die Einschwingphase ist abgeschlossen und alle betrachteten Teile (Blattfeder, Schwingmasse, Schubstange und Kurbel) der Schwingmaschine sind in Bewegung
Schwinger: E_S = E_pS + E_kS = (1/2) k x² + (1/2) m₁x°² = konst
Indizes: S = Schwinger, pS = potentielle Schwinger-, kS = kinetische Schwingerenergie, m₁= Masse des Schwinger Aufsatzes + 1/2 Schubstangenmasse,x = Auslenkung,
x° = Auslenkgeschwindigkeit, k = Federkonstante, x = r = Kurbelradius (für die Rechnung) Kurbel: E_k = E_pK + E_kK= (1/2) J ω² + m₂ g h= konst
Indizes: K= Kurbel, pK = potentielle Kurbel, kK= kinetische Kurbel,mit ω= 2 πf_K,
f_K= Kurbelfrequenz, J = (1/2) m₃ r²=Trägheitsmoment,m₂= 1/2 Schubstangenmasse,
m₃= 1/2 Schubstangenmasse + Kurbelmasse, ß= 0° (II), φ= max, (II) mit h = h/2,
E_s+ E_k= E_pS + 0+ E_pK + E_kK= (1/2) kx² + 0 + (1/2) J ω² + m₂g h/2
2.1.4 Ein Hingang - und ein halben Rückgang des Schwingers/Kurbelantriebs
Der Schwinger befindet sich am Nulldurchgang der Bewegungslinie = Schwinglinie. Er bewegt sich auf die Ausgangsposition (ß = 180°) zu. Die Kurbel befindet sich am Ende des IV. Quadranten (mathematisch) und zwar auf der Bewegungslinie = Umfang der Kurbel= Drehlinine. Der Schwinger ist unausgelenkt: b_S* = I φ*, b_S* = I φ*_min = 0.
Kurbelwinkel ß= 270°, b_K* = r β*, b_K* = r 4.71
Kurbelpunkt = P_K bewegt sich am Umfang = 2 r_kπ der Kurbel
Schwingpunkt = P_S bewegt sich am Umfang =2 l π der Blattfeder
Ausgangsmaß: a = 2 r_k + l_S (ein s.g. Konstruktionsmaß)
x = - r_k cos ß + (l² _S- r² _ksin² ß)^1/2 mit ß = 270°---cos ß = cos 270° = 0, sin ß = sin 270° = -1
x = + (l²s- r² _k)^1/2 = (15)^1/2 r, r/l = ¼ = λ = Schubstangenverhältnis, b_S*= l φ*_max≈ x_S= max.
Bild 2.1.4.1
ß= 270° (IV) φ= min, (IV), x= x_(II) = - r_k cos ß + (l² _S- r² _ksin² ß)^1/2, x_(IV) = l_S - r_k, x_IV≈b_S* = l φ*_min =min, a = x_S+ l_S + x, Vorzeichen: cos 270° = 0 (pos), sin 270° = -1 (neg)
Der Schwinger ist im Betriebszustand, d.h. die Einschwingphase ist
abgeschlossen und alle betrachteten Teile (Blattfeder, Schwingmasse, Schubstange und Kurbel) der Schwingmaschine sind in Bewegung. Schwinger: E_S = E_pS + E_kS = (1/2) k x² + (1/2) m₁ x°² = konst.
Indizes: S = Schwinger, pS = potentielle Schwinger-, kS = kinetische Schwingerenergie, m₁= Masse des Schwinger Aufsatzes + 1/2 Schubstangenmasse, x = Auslenkung,
x° = Auslenkgeschwindigkeit, k = Federkonstante, x = r = Kurbelradius (für die Rechnung)
Kurbel: E_k = E_pK + E_kK = (1/2) J ω² + m₂ g h= konst.
Indizes: K= Kurbel, pK = potentielle Kurbel, kK= kinetische Kurbel, mit ω= 2 πf_K,
f_K= Kurbelfrequenz, J = (1/2) m₃ r²= Trägheitsmoment, m₂= 1/2 Schubstangenmasse,
m₃= 1/2 Schubstangenmasse + Kurbelmasse , ß= 90° (I), φ= min. (I) mit h = 0,
E_S+ E_k=0 + E_kS+ E_pK + 0= 0 +(1/2) m₁ x°² + (1/2) J ω² + 0.
Ein Hin-und Rückgang des Schwingers/Kurbelantriebs (Ende)
Schwinger und Kurbelstange befinden sich auf einer Linie.
Die Linie ist der Endpunklt des III. Quadranten (mathematisch).Hier sich II. - und III. Quadrant identisch. Der Schwinger ist ausgelenkt: b_S* = I φ*, b* = l φ*_max = max. Kurbelwinkel = ß= 180°, b_K* = r β*, b_K* = r 3.14,
Kurbelpunkt = P_K bewegt sich am Umfang = 2 r_kπ der Kurbel
Schwingpunkt = P_S bewegt sich am Umfang =2 l π der Blattfeder,b_S*= l φ*≈ x_l Ausgangsmaß: a = 2 r_k+ l_S(ein s.g. Konstruktionsmaß)
x = - r_k cos ß +(l² _S- r² _k sin² ß)^1/2 mit ß = 180°---cos ß = cos 180° = -1, sin ß = sin 180° = 0
x = -(-1 r_k) + (l² _S)^1/2= (r_k + l_S)
Bild 2.1.5.1:
ß= 180° (II), φ= max. (II), x= x_(II)= - r_k cos ß + (l² _S- r²k sin² ß)^1/2, x_(II) = 1 r_k - (l²s)^1/2= r_k +l_s, x_l≈b_S* = l φ*, a = xs+ l_S+ x_k, Vorzeichen: cos 180° = -1 (neg), sin 180° = 0 (pos)
Der Schwinger ist im Betriebszustand, d.h. die Einschwingphase ist abgeschlossen und alle betrachteten Teile (Blattfeder, Schwingmasse, Schubstange und Kurbel) der Schwingmaschine sind in Bewegung.
Schwinger: E_S = E_pS + E_kS = (1/2) k x² + (1/2) m₁ x°² = konst
Indizes: S = Schwinger, pS = potentielle Schwinger-, kS = kinetische Schwingerenergie, m₁= Masse des Schwinger Aufsatzes + 1/2 Schubstangenmasse,x = Auslenkung,
x° = Auslenkgeschwindigkeit, k = Federkonstante, x = r = Kurbelradius (für die Rechnung) Kurbel: E_k = E_pK + E_kK = (1/2) J ω² + m₂ g h= konst
Indizes: K= Kurbel, pK = potentielle Kurbel, kK= kinetische Kurbel
mit ω= 2 πf_K, f_K= Kurbelfrequenz, J = (1/2) m₃ r²= Trägheitsmoment,
m₂= 1/2 Schubstangenmasse,m₃= 1/2 Schubstangenmasse + Kurbelmasse, ß= 180°(II), φ= max. (II) mit h = h/2
E_S+ E_k= E_pS + 0+ E_pK + E_kK= (1/2) k x² + 0 + (1/2) J ω² + m₂ g h/2
Kopplung der Schwinger untereinander
Die Schwingaufsätze: Dauermagnete oder Spulen werden so dimensioniert, dass ihre Abstoßkraft untereinander bei einem zu bestimmenden Abstand, gleich der Federkraft ist. Wie die Magnetkraft von Spule oder Dauermagnet bestimmt wird, ist unter Pos. 1.3.2.3 Schwinger mit Spulenaufsatz und 1.3.3.1 Schwinger mit Dauermagnet beschrieben. Das Zusammentreffen von zwei Dauermagneten oder Spulen, vorausgesetzt es stehen sich gleichnamige Magnetpole gegenüber, entspricht einem idealelastischen Stoß. Die äußeren Schwinger sind mit den Kurbeltrieb verbunden, somit kann nur der Mittelschwinger mit den äußeren Schwingern elastische Stöße austauschen.
2.2.1 Stöße des Mittelschwingers mit den äußeren Schwingern
Leiten wir die kin. Enregie = E_kin = ½ m x°² ab, und zwar dE_kin /dx°= 2/2 m x°erhalten wir den Impuls = p = m x°, den der Mittelschwinger mit den äußeren Schwingern austauscht. Die pot. Energie = E_pot = ½ k x² nach dem Weg abgeleiter dE_pot /dx = 1/2k (1x + x1) ergibt die Spannkraft = F = k x. Beide Energieformen bilden die Schwingenergie, die der Mittelschwinger und die äußeren Schwinger während des Schwingens besitzen.
E_schw. = E_pot + E_kin = ½ k x² + ½ m x°²und mit E_kin = E_pot --- E_schw. = E_pot + E_pot = 2 E_pot
(vollkommen) elastischer Stoß
Bild 2.2.1.1.1
Stahlkugeln = 1 hängen an einem Faden = 2, 3 = Aufhängung, 4 = Platte.
Zwei Stahlkugeln hängen an einem Faden. Wird die linke Kugel um h ausgelenkt und losgelassen, prallt sie auf die ruhende Kugel. Die stoßende Kugel kommt mit einem Schlag zum Stillstand und überträgt ihre gesamte Bewegungsenergie auf die gestoßene Kugel.
Anmerkung
Beide Kugeln haben die gleiche Masse.
E = m g h = ½ m x°²... potentielle- und kinetische Energie
pv = mx°, p_n = mx° ... Impuls mit Index: v = vor - und n = nach den Stoß.
Bild 2.2.1.1.2
Dauermagnete sind an Blattfedern befestigt, 5 = Dauermagnet, 6 = Blattfeder, 7 = Platte, h = x = Auslenkung. Zwei Dauermagnete sind an zwei Blattfedern befestigt. Wird der Schwinger ausgelenkt und losgelassen, stößt er auf den Ruhenden. Der stoßende Schwinger kommt mit einen Schlag zum Stillstand und überträgt seine gesamte Bewegungsenergie auf den gestossenen Schwinger.
Anmerkung
Beide Rundmagnete haben die gleiche Masse =m und gleiche mag.
Feld stärke = H. Zugeführte Energie = abgeführte Energie minus nicht rückführbare Energie. E = k x² = ½ m x°²... potentielle- und kinetische Energie, p_V = mx°, p_n = mx° ... Impuls mit Indizes: v = vor - und n = nach dem Stoß.
Stoßzeit
Der Stoß ist idealelastisch Energie: E = kx² = 1/2 BH V, Impuls: pv = mx°, p_N = mx°.
Nach dem Auslenken vollführen beide Schwingsysteme (Kugeln am Faden und Dauermagnet auf Blattfeder) noch einige Schwingungen um ihre ursprüngliche Ruhelage, bevor sie zum Stillstand kommen.
Bild 2.2.1.2.1
1 = Hammer (Metall) oder Schwinger = S₁ (ortsfest),
2 = Stahlkugel oder Schwinger = S₂ (bewegt),3 = Ku -pferdraht, 4 = Spannungs-quelle mit Meßuhr, 5 = Li- chtschranke,x = Abstandmaß, v = Geschwindigkeit.
Annahme
Aufprallgeschwindigkeit =Abprallgeschwindigkeit.
Trifft die Stahlkugel =2 auf den Hammer = 1, ist der Stromkreis geschlossen und die Kurzzeituhr startet. Verlässt die Kugel wieder die Hammeroberfläche, ist der Stromkreis unterbrochen und die Kurzzeituhr bleibt stehen und zeigt die Stoßzeit an.
Annahme
Zeit = Δt = 10^-4 s.Die Lichtschranke wird beim Einschwingen der Kugel für die Zeit = t_E durch die Fadendicke unterbrochen und beim Rückschwingen wieder. Die Strecke = x = Abstandsmaß und die Zeit= t ist bekannt, die die Kugel benötigt, um hin- und zurückzuschwingen. Gesamtzeit = t_g= t₁ +t₂ +Δt = x₁/x°₁+x_2/x°₂ +Δt mit x₁=x₂ = Weg und x°₁ =x°₂ Geschwindigkeit für den Hin- und Rückflug der Kugel. t_g= 2 (x₁ /x°₁) + Δt --- Δt = t_g - 2(x_1/x°₁) = Stoßzeit Wird der Hammer =1, die Kugel = 2 durch einen Dauermagneten ersetzt und der Kupferdraht durch eine Blattfeder, kann die Stoßzeit nach diesem Prinzip gemessen werden. Beim Zusammentreffen ist die Energiedichte der mag. Energie am größten. Diesen Effekt nutzen wir, indem wir im Zentrum des Stoßens eine Leiterschleife anbringen, die Leiterschleife mit einen Oszillographen verbinden und den an den Leiterschleifenden entstehenden Spannungsstoß über die Zeit betrachten.
Bedingung
Federkraft = F_F= k x= magn. Kraft = F_m =(µ₀PP*/4π) 1/x²= ½ (BH) A
Stoßkraft
Während des Stoßes wird die Kugel im Bild 2.2.1.2.1 in der Zeit = Δt = 10^-4 s zunächst auf Null verzögert und dann auf - v beschleunigt, d.h. die Kugel fliegt mit der Geschwindigkeit, mit der sie auf den Hammer zufliegt, wieder zurück, es ändert sich nur die Richtung. Ihre Impulsänderung = Δp* beträgt Δp* = m Δv*. Die Kugel erfährt also die Kraft F* = Δp*/Δt. Es handelt sich um einen zentralen (ideal) elastischen Stoß. Der Impuls = p* eines Körpers ist das Produkt aus seiner Masse = m und seiner Geschwindigkeit = v*--- p* = m v*. Eine Kraft = F*, die eine Zeit = Δt auf einen Körper einwirkt, ändert dessen Impuls = p* um Δp = F Δt, F Δt = Kraftstoß.
Kraft = F ist der zeitliche Mittelwert der Kraft: Δp* = F* Δt(* = Vektor).
In einen t-F—Diagramm kann die Impulsänderung=Δp ermitteln werden.
Bild 2.2.1.3.1
Die Fläche =3 im Bild 2.2.1.3.1 ist ein Maß für die Impulsänderung = Δp*
Die Linie = 1 zeigt eine konstante Kraft = F₀. Die Kurve = 2 zeigt einen nicht konstanten Kraftverlauf, der wieder eine Impulsänderung entspricht.
Fläche =3 (schraffiert) = zeitlich konst. Kraft = ∫ F₀dt = F₀ (t₁-t₂)
Fläche =3 +3₁*+3₂*+3₃* (schraffiert + nicht schraffiert) =∫ F(t)dt = mit zeitabhängigen Kraftverlauf. In der Stoßebene registriert die Spule (Leiterschleife) die Zeit = t und die Kraft = F des Stoßes. Damit kann eine Impulsänderung ermittelt werden.
Impulserhaltungssatz
p = m v = F t = konst ----- d(mv)/dt = dp/dt = F, mit F = 0, d(mv)/dt = 0--- mv = konst.
Mit m v = konst., kommt der Erhaltungssatz zur Anwendung
Energieerhaltung: ½ m₁v₁ ² + 0 = ½ m₁u₁ ² +½ m₂u₂ ² (1) mit m₂ = k m₁
Impulserhaltung: m₁v₁+0= m₁u₁+m₂u₂ (2)

(1): ½ m₁ --- v₁ ²+ 0 = u₁ ² +k u₂ ² --- v₁ ² = u₁ ² +k u₂ ² (3)
(2) : m₁---- v₁ + 0 = u₁+ k u₂ --- v₁ = u₁+ k u₂ (4)
v₁ ² = u₁ ² +k u₂ ² (3) ---v₁ ² - u₁ ² = k u₂ ², v₁ ² - u₁ ² = (v₁- u₁)(v₁+ u₁)
(3) --- (v₁- u₁)(v₁+ u₁)= k u₂ ²
(4) --- v₁- u₁= k u₂ Wir teilen (3): (4) --- (v₁+ u₁)= u₂ (5)
(5) --- v₁ + u₁= u₂
(4) --- v₁- u₁= k u₂ --- (5) + (4) ---2 v₁= u₂ + k u₂ = u₂ (k+ 1) (6)
(6) --- 2 v₁= u₂ (k+ 1) --- 2 v₁/(k+1) =u₂
(5)---v₁ + u₁= u₂ (5) (-1) --- - v₁-u₁=-u₂ (7)
(4) --- v₁-u₁= k u₂ (4): k --- (v₁ - u₁)k= u₂ (8)
(7) + (8) --- (-v₁ -u₁₎+ (v₁ - u₁)k = 0 ---(-v₁ -u₁₎= - (v₁ - u₁)k (9)(-1) (9)(-1) --- (v₁+u₁)= (v₁ + u₁)k = (v₁k+ u₁k)--- v₁-v₁k = u₁k - u₁ (10)
(10) --- v₁-v₁k = u₁k - u₁---- v₁ (1-k) = u₁ (k -1) --- v₁ (1-k)/ (k -1) = u₁ 2 v₁/(k+1) = u₂, v₁(1-k)/ (k -1) = u₁

₁

₂

₁

Sich stoßende Dauermagnete = Magnete (gleichnamige Magnetpole)
Bild 2.2.1.4.1
Massenverhältnis = k = 1.Wir erhalten: 2 v₁/(1+ 1) = u₂= v₁, v₁(1-1)/(1 +1) = u₁= 0
Bild 2.2.1.4.2
Massenverhältnis k =2, Hier stößt ein Magnet auf einen ruhenden mit doppelter Masse.
Wir erhalten: 2 v₁/(1+ 2) = u₂, u₂= 2/3 v₁, v₁(1-2)/(1 +2) = u₁, u₁=- 1/3 v₁
Der leichte Magnet prallt mit einem Drittel seiner Geschwindigkeit zurück, während der schwere auf 2/3 v₁ beschleunigt wird. Dabei ändert der leichte stoßende Magnet seinen Impuls um m₁ Δv₁= m₁ (-1/3 v₁-v₁)= - 11/3 m₁v₁, überträgt also dem gestoßenden mehr Impuls als der vor dem Stoß besaß. Deshalb bewegt er sich nach dem Stoß nach links. Der schwere Magnet besitzt nun den Impuls m₂ u₂= 2m₁2/3 v₁ = 11/3 m₁v₁
Bild 2.2.1.4.3
Massenverhältnis k =1/2. Der gestoßene Magnet hat die halbe Masse. Wir erhalten:
2 v₁/(1+1/2) = u₂, u₂= 11/3 v₁, v₁(1-1/2)/(1 +1/2) = u₁, u₁= 1/3 v₁
Wir leiten den Stoß von gleichnamigen Magnetpolen ab, indem wir zwei Stahlkugel beim Zusammenstoß betrachten. Der leichte Magnet schwingt schneller weg, als sich der schwerere Magnet nähert. Der schwere Magnet folgt mit 1/3 seiner Anfangsgeschwindigkeit. Nähern sich zwei gleichnamige mag. Pole, so nimmt die Stoßkraft zu und zwar im Abstandsquadrat, bis beide Magnete sich auf einen Abstand genähert haben, wo sich die Stoßkräfte kompensiert haben. Jetzt nimmt die Stoßkraft ab und die Magnete verlassen die Stoßlinie mit den Endgeschwindigkeiten u₁ und u₂.
Bild 2.2.1.4 4 (zentraler Stoß)
P₁ = ∫_t1 ^t2 F₁(t) dt, P₂ = ∫_t1 ^t2 F₂ (t) dt, p₂ = k p₁
Mit k = Stoßziffer: k = 1 vollelastischer Stoß
k < 1 teilelastischer Stoß, k = 0 unelastischer
oder plastischer Stoß. Mittlere Stoßkraft:
F_m = (P₁+ P₂)/Δt
Gerader zentraler Stoß:
v₁, v₂ = Geschwindigkeit vor den Soß
c₁, c₂ = Geschwindigkeit nach dem Stoß
c₁= m₁v₁+ m₂c₂ - k m₂(v₁-v₂))/(m₁+ m₂)
c₂= m₁v₁+ m₂c₂ + k m₁(v₁-v₂))/(m₁+ m₂)
k = p₂ /p₁ = (c₂- c₁)/(v₁- v₂)
Energieverlauf beim Stoß:
ΔE = (m₁ m₂) (v₁- v₂)² (1 - k²)/2(m₁-m₂)
Die Annährungsphase = A₁, die Abstoßungsphase = A₂, A₁=A₂

Sonderfälle:: m₁ = m₂, k=1---- c₁=v₁, c₂ =v₂, m₁ = m₂, k =0 ---- c₁=c₂ = (v₁+ v₂)/2 m₂ --- ∞ v₂ = 0, k =1 ---- c₁= -v₂, c₂ =0, m₂ ---∞ v₂ = 0, k =0 --- c₁= 0, c₂ =0

Bild 2.2.1.4.5
2 = Stoßfläche, sie steht 90° zur Stoß normalen = 1. Die Stoßnormale = 1 geht durch Schwerpunkt = S der beiden Dauermagnete.
Ist v = die Geschwindigkeiten vor dem Stoß, c = die Geschwindigkeiten nach dem Stoß und sind α, β = Winkel unter dem sich die Dauermagnete vor dem Stoß zur Stoßnormalen nähern und α', β'= Winkel mit dem sich die Rundmagnete nach dem Stoß von der Stoßnormalen entfernen, dann gilt: v₁ sinα = c₁ sinα' , v₂ sinβ = c₂ sinβ'
c₁ cosα' = v₁ cosα - ((v₁ cosα - v₂ cosβ)(1 + k)/(1 + m_1/m₂))
c₂ cosβ' = v₁ cosβ - ((v₂ cosβ - v₁ cosα)(1 + k)/(1 + m_1/m₂))
hieraus läßt sich α', β', c₁, c₂ berechnen.
Gemeinsame Drehachse von Kurbelantrieb, Motor oder Generator und Schwungmassen
Diese gemeinsame Achse ist theoretisch, eine gemeinsame Achse haben nur Motor oder Generator mit den Schwungmassen. Die Achsen sind so ausgeführt, dass sie durch den Kurbelantieb miteinander verbunden sind. Erfolgt der Schwingausgleich von den fliegenden Achsen, überträgt die Achse ein Drehmoment, nämlich das vom Antriebsmotor auf den Kurbelantrieb und dann wird aus der Achse eine Welle, denn nur Wellen können Drehmomente übertragen. - Achsen tragen und stützen umlaufende oder schwingende Bauteile; Achsen werden auf Biegung beansprucht. In allen anderen Fällen des Schwingausgleichs erfolgt über den Kurbelantrieb die Drehmonetenübertragung auf die fliegenden Achsen - hier erfolgt auch eine Drehmomentenänderung (Torsionsbeanspruchung), nämlich wenn die Generatoren Strom erzeugen -, und dann wird wieder aus der Achse eine Welle...
Fliegende Lagerung
Generator-Generator-Welle
Bild 2.3.1.1
1 = 2 Steckwelle mit Flansch, 3 = Aufnahme für Kurbelstange 4 = Masse (Generator und Schwungrad), 5 = Masse (Generator und Schwungrad).
Unten im Bild sehen wir das dynamische Verhalten -Durchbiegung - der Welle. Die fliegende Welle ähnelt der ausgelenkten Blattfeder mit der Federkonstante = k = F/x (1) mit x = Auslenkweg. Die fliegend gelagerten Wellen = 1 und 2 haben auch eine Feder-konstante = c_q = 3E I/L³(2) Die Durchbiegung der Blattfeder beim Schwingen = x = f= F L³/3 E I (3) und die Frequenz des Schwinger errechnet sich aus f = 1/T = 1/2 π (c/m)^1/2 (4). Die biegekritische Drehfrequenz der fliegend gelagerten Welle ist: f = n_k= 1/2 π (c_q/m)^1/2(5). Die Gleichungen (4) und (5) sind gleich. Mit f = F L³/3E I und F = k f --- f = k f L³/3E I --- k= 3E I/ L³ = c_q.
Hier ist die Wellen aus ein Verbund von Bauteilen: Motor, Genreator und Schwungmasse aufgebaut, die die Durchbiegung verändern. Theoretisch ist die Durchbiegung zu dem Kurbelradius zuzurechnen, d.h. die Außenschwinger werden mit den Radius = r_AS = r_K+ f (r_K = Kurbelradius und f = Durchbiegung) ausgelenkt.
Die fliegenden Wellen arbeiten unter verschiedenen Schwingausgleichsmethoden, unterschiedlichen Belastungsarten: a) Wird der Schwingausgleich durch den Antriebsmotor aus der fliegenden Welle erreicht, wird über die fliegende Welle der Kurbelantrieb gedreht und der wiederum versetzt die Schwinger in Schwingbewegung - Bild 2.3.1.2 -. b) Der Schwing-ausgleich wird über die Schwinger oder über die Schubstange des Kurbelantriebs erreicht und dreht die fliegende Welle gleichmäßig - Bild 2.3.1.1 -.
Motor- Generator - Welle
Bild 2.3.1.2
Dito Bild 2.3.1.1, nur dass hier anstelle eines Dynamos ein Motor auf der Antriebswelle sitzt.
1 = Generator, 2 = Motor, 3 = Kurbelantrieb, 4 = Aufnahme, 5 = Schwungmassen.
Im Betriebszustand erfolgt der Schwingausgleich durch die Methoden
a) oder b). Mit der Methode a) für den Schwingausgleich erfolgt die Startphase der Schwingmaschine auch über den Antriebsmotor, bei den Methoden unter b) kann mit einer Handkurbel oder auch mit einem Motor die Startphase erfolgen, dann, wenn der Motor für die Startphase eingesetzt wird, kann dieser nach Erreichen des Betriebszustandes als Generator eingesetzt werden - Doppelfunktion des Motors -.
Schwingausgleich
Der Schwingausgleich bei der Schwingmaschine wird durch den Einsatz von zwei Gleichstrommotoren erzielt: Ein Motor arbeitet an der oberen Hälfte der Schwingmaschine und bewegt (dreht) 3 Generatoren und 4 Schwungmassen, 2 Kurbelantriebe und 3 Schwinger, die untere Hälfte des Schwingers ist gleich ausgerüstet und wird ebenfalls von einen Antriebsmotor angetrieben.
Die Motoren werden über ein Netzteil mit Gleichstrom versorgt. Das Netzteil wandelt Wechselspannung = U ~ = 220 V (I = 2 A) in Gleichspannung = U_, und zwar in regelbare Gleichspannung um. Der Drehzahlbereich des Gleichstrommotors der nahe bei der Eigenfrequenz der Schwinger liegt, ist bei konst. Drehmoment = M, in der Drehzahl = n über das Netzteil regelbar. Damit ist der Resonanzbereich der Schwinger gut steuerbar, denn so kann den Generatoren optimale Leistung entnommen werden. Alle anderen Schwingausgleichsaggregate: Klingel-, Schubstangenantrieb und bewegte Einspannung der Schwingmaschine werden beschrieben.
Antriebsmotor
Bild 2.4.1.1 Gleichstrommotor
1 = Dauermagnetschalen sind diametral magnetisiert und fest (2 Stück)
2 = Anker mit drei Zylinderspulen
3 = Kollektor mit Kohlen (Kollektor dreigeteilt, zwei Kohlestifte)
n = Drehzahl der Kurbel
Über die Kohlestifte = 3 (Kollektor) bekommen die Ankerspulen Gleichstrom = U_.
Das sich in den Spulen = 2 des Ankers aufbauende Magnetfeld wechselwirkt mit dem Magnetfeld des Dauermagneten = 2. Haben die Ankerspulen die Feldstärke des Dauermagneten erreicht, arbeitet der Motor an seiner Betriebsgrenze.Die Drehzahl des Motors ist in dem Bereich genau regelbar, bei dem sich Resonanz einstellt.
Schwingfrequenz = f gleich Motorfrequenz = n
Bild 2.4.1.1.1
1 = außen Schwinger, 2 = Mittelschwinger, 3 = Außenschwinger, 4 = Kurbelantrieb,
5 = Motor, 6 = Generator, 7 = Schwungmasse, 8 = Schubstange = Kurbelstange,
f₁ = Frequenz zu 1, f₂ = Frequenz zu 2, f₃ = Frequenz zu 3, Drehzahl = n₁ , Drehzahl = n₂ , mit: f₁ = f₂ = f₃ , n₁= n₂ , f₁ = f₂ = f₃ = n₁= n₂ ,
Schwingt der Mittelschwinger = 2 mit seiner Eigenfrequenz = f₂ , schwingen die Außenschwinger = 1,3 ebenfalls mit dieser Frequenz, denn sie sind durch ein Magnetfeld aneinander gekoppelt. Die Außenschwinger = 1,3 sind über die Schubstange = 8 mit der Kurbel = r verbunden.
Der Antriebsmotor = 5 dreht mit seiner Drehzahl = n_M den Kurbelantrieb = 4 sowie die Schwingmassen = 7. Die Kurbelstange = 8 gibt diese Drehzahl = n_M an die Außenschwinger = 3 und 1 ab. Der Antriebsmotor = 5 dreht in der eingezeichneten Richtung, diese Richtung nehmen alle drehenden Bauteile ein, d.h., die Schwinger = 1,2 und 3 schwingen nach rechts. Der Antriebsmotor ändert nie seine Drehrichtung, nur die Schwinger wechseln immer nach T/2 = Schwingdauer ihre Schwingrichtung. Der Motor wird schnell auf die Drehzahl = n_M* gebracht, die unterhalb der Eigenfrequenz = f_E der Schwinger ist. Ist n_M* = f_E stellt sich Resonanz ein, d.h. der Mittelschwinger =2 schwingt mit einer größeren Amplitude als r = Kurbelradius. Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbelantrieb bezüglich ihrer Auslenkung an den Kurbelradius gebunden. Sie können die Vergrößerung der Amplitude des Mittelschwingers durch Resonanz nur in eine schnellere Drehbewegung des Kurbelantriebes = 4 umsetzten. Diese Drehzahlerhöhung = Δn_M , bei der sich Resonanz eingestellt, ist der Betriebszustand der Schwingmaschine, und diesen gilt es zu erreichen und beizubehalten.
Bild2.4.1.1.2 (Annahmen)
1 = Startbedingung des Schwingers = 12 = Startbedingung des Schwingers = 2
3 = Startbedingung des Schwingers = 3
1*, 2* und 3* sind die Schwingkurve - harmonische Schwingung-der einzelnen Schwinger (1,2 und 3) mit der Funktion : x(t) = x_m sin(ω_S t + φ_S), x_m = Amplitude.
Phasenangleichung
Der Antriebsmotor - Erreger = erzwungene Schwingung - dreht mit der Drehzahl = n, der Schwinget schwingt mit der Schwingfrequenz = f, ist n = f, kann sich Resonanz einstellen. Dreht der Motor mit dieser Frequenz = n, schwingen alle Schwinger phasengleich.
Bild 2.1.2.1
Die anfangs vorhandene Phasen-Differenz der einzelnen Schwinger (1, 2 und 3) ist aufgehoben, sie schwingen jetzt, als wenn kein Magnetfeld zwischen ihnen wirken würde.
Erreger (Antriebsmotor) und Schwinger (1, 2 und 3) haben die gleiche Kreisfrequenz = ω und schwingen mit der gleichen Amplitude = x_m . Das sind die Bedingungen für Resonanz.... Sie schwingen mit gleicher Phase, d.h. das Argument der Sinusfunktion muss gleich sein:
(ω t + φ_S) = (ω t + φ_E) = Phase, Index: E = Erreger, S = Schwinger) --- ωs = ω_E ist gleich φ_S = φ_E wird gleich, wenn sich der Antriebsmotor einige Zeit gedreht hat. Damit ist
(ω t + φ_S) = (ω t + φ_E) = phasengleich und das sind die Bedingungen für Resonaz. Für den Angleich der ungleichen Phasen = (ω τ + φ_∑) (ω τ + φ_E), sind mehrere Methoden möglich und zwar durch Änderung:

a) der Kreisfrequenz des Erregers = Antriebsmotor oder
b) der Schwingfrequenz der Schwinger (1, 2und 3)
bb) :
- -- der Masse des Schwingaufsatzes (Dauermagnet)
- -- der Blattfederlänge
- -- des Spulenstroms, wenn der Schwingaufsatz eine Spule ist.

P

_E

_S

f_E

f_S

2

₂

1

3

x₂

R

1

2

Leistung
Die Antriebsleistung = P_An ist die Leistung die notwendig ist die schwingmaschine in den Betriebszustand zu bringen. Die Betriebsleistung = P_Be ist kleiner als die Antriebsleistung = P_An(P_An > P_Be oder(P_Be < P_An ) und wird Leerlaufleistung genannt, weil die Genaratoren noch ohne Verbraucher - noch keine Spannung erzeugen - arbeiten. Ist 3 k x x° = P_Schw die Schwingerleistung und ist P_G = UI die Generatorleistung ist die Betreibsleistung = P*_Be = P_Be + P_Schw = P_Be + P_G mit P_Schw = P_G . Berücksichtigen wir, dass die Schwinger nur einmals, nämlich beim Start ausgelenkt werden müssen und im Betrieb, die Schwinger schwingen, nur der Schwingverlust aufgebracht werden muss, gilt: = P*_Be = P_Be + ΔP_Schw mit ΔP_Schw = 3 k Δx x° mit Δx = x - x* (x = Anfangsauslenkung, x° = Auslenkung nach einer Schwingperiode). Kennen wir die Polstärke = P oder das Energieprodukt = BH der Dauermagnte, können wir die Blattfedern dimensionieren und die Federkraft = F_F der Magnetkraft = F_M anpassen. Mit der Federkraft = F_F von 3 Schwingern = 3F_F wird der Kurbelantrieb angetrieben, an ihm wirkt das Drehmoment = M = 3F_F * r (r = Kurbelradius). Mit diesen Drehmomnet sind die Schwungmassen (4 Stück), 2 Kurbelantriebe mit Schubstange, und 4 Gereatoren (3 Geneatoren + 1 Motor = Antriebsmotor) auf Betriebsdrehzahl zu beschleunignen. Wir bestimmen die Arbeit, die notwendig ist, um alle Drehteile von ω₀= 2 π n = 0 auf ω_b= 2 π n_B = 413 1/s zu drehen --- Die von den Drehteilen verichtete Arbeit = die von den Drehteilen gespeicherte kinetische Energie --- E_R = ½ J (ω_B ²_ ω₀ ²). Setzen wir diese Energie gleich der Spannenergie der Schwinger --- E_Sp = 3/2 k x³ = ½ J (ω_B ²-ω₀ ²) ist die Bedingung unter der die Schwingmaschine arbeiten soll, erfüllt. Selbstverständlich sind die Schwingverlust zu berücksichtigen, hier ist nur der obere Teile (3 Schwinger statt 6 Schwinger beberücksichtigt). Kennen wir die Leistung, die notwendig ist, um die Maschine arbeiten zu lassen, ist die Leistung des Antriebsmotors zu bestimmen, diese Leistung kann mit einen s.g. Bremsband bestimmt werden.
Bild 2.4.1.3.1 Bremsband
1 = Motorwelle, 2 = Schwungmasse,
3 = Bremsband, n = Motordrehzahl,
k = Federkonstante (kann auch eine Blattfeder sein), m = Masse (es können verschiedene Massen aufgelegt werden). F₁= Seilkraft, F₂= Seilkraft, F_R= Reibkraft, P = F_R * x° = F_R r ω = (F₁ F₂)r ω = (F₁- P₂)r 2πn.
Bremsband = 3 aus Leder, Schwungmasse = 2 aus Grauguß:
Gleitreibung: µ_G=0,5 (trocken), Haftreibung: µ_H = 0,5 (trocken).
Vor dem Versuch, wird das Bremsband um das Schwungrad gelegt, dann ist beim Anfahren des Motors die Haft- und Gleitreibung zu überwinden.
Reibkraft: F_R = (F₁- F₂) = µ F_n mit F_n= Normalenkraft, µ = µ_G + µ_H
Dreht der Motor nicht, gilt: m g = k x mit x = Auslenkung der Feder.
Dreht der Motor, wird durch die Reibkraft die Masse = m angehoben und die Feder wird entlastet, und zwar um den Betrag = x*, um den die Masse = m angehoben wird. Dreht der Motor jetzt mit konstanter Drehzahl = n, stellt sich ein Gleichgewicht - nach Aufheben der Haftreibung ein - ,d.h. die Masse = m ist in Ruhe und die Blattfeder bleibt entlastet---
F_R= k x*(dieses Drehmomeht = M = k x*r muss der Motor aufbringen). Erhöhen wir die Masse = m um das n-fachen, beispielsweise um eine Größe, so dass der Motor sich nicht mehr drehen kann - der Motor wird nur noch warm - ist seine Leistungsgrenze = P erreicht... Leistung ist Arbeite in der Zeit ---
P = W/t( 3/2 k x² )/T = (½ J (ω_B ² - (ω₀ ²)/T = (F₁- F₂)r 2πn mit T = 1/f = 1/n = Periodendauer (F₁= m g mit g = Erdbeschleunigung, m = Masse (verschiedene Massen), F₂ = k x mit x =Auslenkung der Feder. Wählen wir anstellen der Zugfeder die 3 Blattfedern der Schwingmaschine und lenken wir um r=x= Kurbelradiums aus, ist das die Kraft der drei Schwinger...
Bild 2.4.1.3.2 Atwoodsche Fallmaschine
Im Motor wie im Generator wirkt die Lorentzkraft = F_L= B v e (B = mag. Induktion, v = Geschwindigkeit, e = Ladung).Wird der Generator Bild 1.3.4.1.4 nicht angetrieben und hängen an den Seilen gleiche Masse - nicht im Bild 2.4.1.2.5 skizziert -, bleiben die Massen = m unbewegt in Ruhe --- m g = mg. Der Generator bleibt weiter ohne Antrieb, wir erhöhen die Masse auf der linken Seite im Bild 2.4.1.2.5 um das Doppelte, wie skizziert, dann dreht das System nach links und die Masse bewegen sich in einer Richtung, nämlich in Seilrichtung, mit a = konstant.
m a + ma + ma = m g --- 3 ma = mg --- mg/3m = a ---a = g/3.
Drehen wir jetzt den Generator mit Drehzahl = n, und zwar konstant, ist die Drehzahl abgestimmt, d.h. die Massen bewegen sich nicht, gilt: a = ω°die Winkelbeschleunigung ist gleich der Beschleunigung = a = konstant und dann gilt: a m = F_L= e v B. Die Leistung = P = UI die dem Genator entnommen werden kann ist bei dieser Winkelbeschleunigung konstnat.
Leistung: P_= U_ I_= W/t = Leistung am Gleichstromnetz = P_zu.
Leistung: P = M ω = F r ω = F r2 π n (Kurbelantrieb)
Leistung: P = N I B A ω sin ω t, M = N I B A sin ω t = Drehmoment
Wirkungsgrad: η = P_ab/ P_zu
P_ab, die Leistung ist zu bestimmen --- P_ab = W_ab/T
Translatorische Massen: m₁= Schwingermasse, m₃= Schubstangenmasse,
m_T= m₁+ m₃(l_1/l) mit l₁= Kurbelzapfen - Schwerpunkt(Schubstange).
Rotorische Massen: m_R= m_S+ m_K= m_A, Indizes : S = Schwungmasse, k= Kugelantriebsmasse, A = Ankermasse.
Abstoßkraft der Dauermagnete
F_A =(½) (BH) A mit (BH)= Energieprodukt, A = Polfläche, B = µ H, F_A = (1/2) (µ H²) A, Federkraft = F_F= kx, P = M ω = F_tr 2π n = Leistung mit F_t=Tangentialkraft an der Kurbel,
r = Kurbelradius. Der Kurbelwinkel = γ ist (Annahme): γ= 90° = Kurbelwinkel).
ß = Pleuelstangenwinkel = sinß = r/4r = 0,25 --- ß = 14,5°.
Fs= F_F/cos 14,5° = F_F/0,968, F_t = F_S sin(ß + γ), F_N= F_F sinß, damit sind die Kräfte am Kurbelantrieb berechenbar.
Leistung des Antriebsmotors
P = U I (Gleichstrom: ist die zugeführte Leistung). Abgeführt wird die Leistung am Kurbelantrieb = F_tr 2π n plus die gespeicherte Energie, die sich mit n = drehenden Schwungmassen, ΔE_R = (J/2)(ω₂ ² - ω₁ ²) einstellt. Die Schwungmassen drehen mit
ω₂ ² = Winkelgeschwindigkeit im Betriebszustand.
ΔE_R = ΔW_R und P = W/t = M ω₂= L° ω₂ = d(Jω₂)/dt ω₂ und J = Massenträgheitsmomen = J,
J = m/2 r² mit m = Masse und r = Radius der Masse.
ω = (J₂ ω₂ + J₁ ω₁) /J2 + J₁ Drehstoß, beide Körper rotieren nach der Kupplung/Kopplung mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit = ω (hier ist J₂ = J₁, denn wir betrachten ja nur die Massen in Ruhe und dann, wenn die Massen die Winkelgeschwindigkeit von ω₁= 0 nach ω₂ durchlaufen haben).
Klingelantrieb
Bild 2.4.2.1
1 = Blattfeder, 2 = Dauermagnete, 3 =Winkel, 4 = Spule mit Fe-Kern, 5 = Stift, 6 = Kontaktblech, 7= Spulenaufnahme, 8 = Grundplatte, F = Auslenkkraft, x = Auslenkweg, φ = Auslenkwinkel. Das Prinzip des Wagner-Hammers beruht auf der Selbstunterbrechung des Stromkreises bedingt durch die Kontaktfeder. Die Ma-gnete ziehen im Takt der Schwingfrequenz = f = 1/T die Blattfeder an.
Spulendimensionierung:
Hier werden die Spulen nicht als Stoßelektromagnete eingesetzt, sondern, wie üblich, als Zugmagnete. Fließt Strom durch die Spule wird der Weicheisenkern angezogen. Es sind die gleichen Spulen, die auch als Abstoßspulen als Schwingauf-satz des Schwingers und für die Kopplung (Abstoß-ung) der Schwinger sorgen.
Bild 2.4.2.2
1 = Blattfeder, 3 = Winkel, K = Kontaktblech, St = Stift, S = Schalter, U_ = Gleichstromquelle. Schwingt die Blattfeder = 1 nach links, wird der Winkel = 3 nach unten gebogen und erreicht das Kontaktblech = K. Der Stromkreis ist geschlossen, wenn der Schalter = S ge-schlossen ist. Beide Spulen sind in Reihe geschalteten, sie ziehen den Winkel, das Eisen, an. Öffnen wir den Schalter = S im Umkehrpunkt der Blattfeder = 1, wirkt die Rückstellkraft und die Blattfeder kann nach recht schwingen, denn der Stromkreis ist unterbrochen und schwächt das Magnetfeld. Beim Öffnen des Schalters = S wird die Spannung in der Spule erhöht - Selbstinduktion, d.h. der Winkel = 3 wird mit entgegengerichteten Feldlinienverlauf angezogen, das Nach-Rechts-Schwingen wird gehemmt.
Wird statt der Gleichspannung = U_ eine Wechselspannung = U^∼ in den Stromkreis eingesetzt und hat der Stromkreis die Frequenz des Schwingers, wird immer der Strom im Umkehrpunkt es Schwingers umgepolt.
Bild 2.4.2.3
Ist der Versuch zu Bild 2.4.2.2 nur, dass die Spulen mittig zur Blattfeder sitzen. D.h. die Selbstinduktion wird jetzt zu Gunsten des Schwingausgleichs genutzt. Die Anziehungskraft ist auf die Winkel halb so groß.
Bild 2.4.2.4
Ist der Versuch zu Bild 2.4.2.2 nur, das die Kontaktfeder = K und der Stift = St versetzt wurden, und zwar so das erst Strom durch den Stromkreis fließt, wenn der Winkel = 3 das Kontaktblech = K erreicht hat. Jetzt stellt die Schaltung - (St-K 3) = Wagnerhammer)-eine Selbstunterbrechung dar. D.h. erreicht der Winkel = 3 das Kontaktblech = K, ist der Stromkreis geschlossen, und der Winkel wird wieder von den Spulen angezogen.
Im Bild 2.4.2.1 ist diese Variante gewählt - Selbstunterbrechung, nur dass die Spule über die Mitte des Mittelschwingers verrückt wurde. Tauschen wir die Gleichstromquelle gegen eine Wechselstrom-quelle aus kann auf die Selbstunterbrechung verzichtetwerden, um einen Schwingausgleich einzuleiten.
Schwingfrequenz gleich Klingelantriebsfrequenz
Bild 2.4.2.1.1
Obere Hälfte der Schwingmaschine
1 = Außenschwinger, 2 = Mittelschwinger, 3 = Außenschwinger, 4 = Kurbelantrieb,
5 = Klingelantrieb, 6 = Generator, 7 = Schwungmasse, 8 = Schubstange = Kurbelstange,
f₁ = Frequenz zu 1, f₂ = Frequenz zu 2, f₃ = Frequenz zu 3, Drehzahl = n₁ , Drehzahl = n₂ ,
St = Kontaktstift, Bl = Kontaktblech, S = Schalter, U_ = Gleichspannung.
Schwingt der Mittelschwinger = 2 mit seiner Eigenfrequenz = f₂ , schwingen die Außenschwinger = 1,3 ebenfalls mit dieser Frequenz, denn sie sind durch ein Magnetfeld aneinander gekoppelt. Die Außenschwinger = 1,3 sind über die Schubstange = 8 mit der Kurbel = r verbunden. Schwingt der Klingelantrieb mit der Frequenz = f_K - der Winkel an der Blattfeder wird mit der Frequenz = f_K angezogen - werden die Außenschwinger = 1 und 3 durch das koppelnde Magnetfeld mit dieser Frequenz angestoßen. Der Kurbeltrieb dreht dann mit dieser Frequenz = n_K = f_K sowie die Schwingmassen = 7. Der Klingelantrieb bestimmt, in welcher Drehrichtung der Schwingverlustausgleich stattfindet und mit welcher Drehrichtung die Startphase der Schwingmaschine überwunden wird. Zieht die rechte Spule den Winkel nach unten, dreht der Kurbeltrieb rechtsherum, zieht die linke Spule den linken Winkel nach unter, dreht der Kurbeltrienb, jetzt der linke, auch rechtsherum.Schwingt der Mittelschwinger = 2 unterhalb der Eigenfrequenz = f_E der Schwinger, ist die Betriebsdrehzahl der Schwingmaschine noch nicht erreicht. Ist f_K* = f_E (Index: k = Klingel, F = Blattfeder), stellt sich Resonanz ein, d.h. der Mittelschwinger =2 schwingt mit einer größeren Amplitude als r dem Kurbelradius. Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbelantrieb bezüglich ihrer Auslenkung an den Kurbelradius gebunden. Sie können die Vergrößerung der Amplitude des Mittelschwingers nur durch Resonanz in eine schnellere Drehbewegung des Kurbelantriebes = 4 umsetzten. Diese Drehzahlerhöhung = Δn_M, bei der sich Resonanz eingestellt, ist der Betriebszustand der Schwingmaschine, und diesen gilt es zu erreichen und beizubehalten.
Bild 2.4.2.1.2 dito Bild 2.4.1.1.2
1 = Startbedingung des Schwingers = 1,2 = Startbedingung des Schwingers = 2,3 = Startbedin-gung des Schwingers = 3.
1 * , 2* und 3* sind die Schwingkurven - harmonische Schwingungen - der einzelnen Schwinger (1, 2 und 3) mit der Funktion: x(t) = x_m sin(ω_S t + φ_S), x_m = Amplitude.
Phasenangleichung
Schwingt der Klingelantrieb - erzwungene Schwingung - mit der Erregerfrequenz ≈ Schwingfrequenz - f_E ≈ f_schw -, kann Resonanz erzielt werden, dann schwingen alle Schwinger phasengleich.
Bild 2.4.2.2.1
Die anfangs vorhandene Phasendifferenz der einzelnen Schwinger (1, 2 und 3) ist aufgehoben, die schwingen jetzt, als wenn kein Magnetfeld zwischen ihnen wirken würde.
Dito Bild 2.4.2.1.1 sonst dito2.4.2.1
Leistung dito 2.4.1.3
Spulendimensionierung
Die Spulendaten: L = 40 mm = Länge, m_Fe/m_Cu= 1,3 = Massenverhältnis mit m_Fe = 153g, mcu= 118g. Die Spulendaten sind hochgerechnet aus dem Handversuch 4.3.1 mit dem Klingel-Trafo, genauer dessen Spulen...
m_Fe = r_Fe ²π L ρ_Fe = 1,25^2* 3,14*4*7,8 =153 g mit r, L in cm, r_Fe = 1,25 cm,
mcu =(r_Cu ² - r_Fe ²) π L ρ_CU---- (m_Cu /π L ρ_CU)+ r_Fe ² = r_Cu ² mit L= 4 cm ρ_CU= 8,9 g/cm³.
Die Magnete ziehen im Takt der Schwingfrequenz = f = 1/T, die Blattfeder an.
Die gleichen Spulen haben wir zur Abstoßung der Schwinger eingesetzt, nur hier als Blattfederaufsatz.
((118/π* 4* 8,9) + 1,25²) _cm ² = 2,62cm² --- r_Cu= 1,62 cm
N = a * L/d² _d mit a = (16,2 - 12,5) = 3,7mm
N = 3,7*40/0,3²= 1644 Windungen, d_d = 0,3 mm = Drahtdurchmesser
L = 40 mm = Spulenlänge, m_Fe/m_Cu = 1,3 mit m_Fe = 153g, m_Cu= 118g,
Ds = 33 mm= Durchmesser der äußeren Kupferwicklung,
d_S =25mm = Fe-Kerndurchmesser,
I* =((D_S + d_S)/2) 3,14* N = 29 mm* 3,14 *1644 = 150 m - Kupferdrahtlänge,
F = 1/2 Φ H = 35,5 N = 1/2 B AH = 1/2 B² A/µ₀, mit: B = mag. Flussdichte (Induktion),
H = mag. Feldstärke, A = Polfläche, µ₀ = mag. Feldkonstante =1,257*10^-6 V s/Am.
F = 1/2 B² A/µ₀ --- B = F 2 µ₀/A = 0,43 T (½, weil zwei Polflächen wirksam sind).

Annahme:: Φ = BA und A = 490,6 mm², Φ = BA = 0,43* 491 = 211T mm².

³

Θ_Fe = H_Fe *L_Fe =0,1*10³ A/m *0,04 m = 4A Durchflutung des Fe-Kerns,
B = µ₀ H_L --- H_L = B/ µ₀ = 0,43 /1,257*10^-6 = 342084A/m = 1 T m A/ Vs = Vs m A/ Vsm²=A/m.
Θ_L= H_L*I_L = 342084A/m * 0,03 m = 10263 A.

Θ = Θ_Fe + Θ_L =4A + 10263 A = 10267A,
Θ_L= N I ---- I = Θ/N = 10267A /1644 = 6,2 A (Strom durch die Spule).

²

₀

²

^-4

^-6

²

⁴

²

^1/2

t

BH

²

³

^-4

²

M

₁

^1/2

M

	gleich gewickelt	entgegengesetzt gewickelt
Reihenschaltung:	L= L₁ + L₁ + 2M		L = L₁ + L₁- 2M
	L = 83,2 + 2*37,4		L = 83,2 - 74,8
	L= 158,2 H		L = 8,4 H
Parallelschaltung:	L = L₁ * L₁ -M²/ L₁ + L₁- 2M		L = L₁ * L₁ - M²/L₁ + L₁ +2M
	L = 1731- 1399/8,4		L = 1731 - 1399/158,2
	L = 39,5H		L = 2,09 H

²

₀

^1/2

^-6

^-4

^1/2

²

^1/2

²

^1/2

²

^1/2

^~

^-4

^~

²

^1/2

²

^1/2

^~

²

^1/2

²

^1/2=

²

^1/2

²⁺

²

^1/2

Zugstangenantrieb (Zugmagnete)
Bild 2.4.3.1
Ein Teil der oberen Hälfte der Schwingmaschine
11 = 2 x Spulen mit Fe-Kern und Gestell, Kontaktblech und -stift, 12 = Eisenstück auf Kurbelstange = 8 befestigt, 13 = Halterahmen, 3 = Außenschwinger, 4 = Kurbeltrieb, 6 = Generator,2 = Gestell,
7 = Schwungrad.
Die Teile 11 und 12 entsprechen einem Klin-gelanantrieb und den haben wir unter Klingelantrieb 2.4.2 besprochen. Hier ist das Eisenstück, das über die Selbstunterbrechung von den Spulen des Klingelantriebes angezogen wird, an der Schubstange = Kurbelstange befestigt.
Die Selbstinduktion der Spulen bewirkt eine Spannungserhöhung um ein Mehrfaches der angelegten Spannung und einen Wechsel der mag. Polung an der Spule, d.h. der Strom fließt in entgegengesetzter Richtung wie der Strom der an der Spule anliegt. Die Schubstange bewegt sich periodisch in horizontaler und vertikaler Richtung gleichzeitig, d.h. sie bewegt sich zu den Spulen und an den Spulen vorbei.
Anmerkung
Zwei U-Magnete, die wir mit gleichnamiger Polung aufeinander zubewegen, drehen sich voneinander weg, siehe Handversuche 4.5. Setzen wir also den Klingelantrieb als Schwingausgleich ein muss, gewehrleistet sein, dass sich nie, gleichnamige Pole gegenüberstehen, wenn zwei Klingelantriebe miteinander arbeiten. Konstruieren wir einen Schubstangenantrieb nach den Thomson-Schwinger, wird an der Schubstange der AL-Ring Sekundärspule) befestigt und der Schwingausgleich erfolgt durch den Induktionsstoß in Richtung der Erdanziehungskraft oder von der Erdanziehunhgskraft weg gerichtet.
Schwingfrequenz gleich Schubstangenfrequenz
Bild 2.4.3.1.1
Obere Hälfte der Schwingmaschine
1 = Außenschwinger, 2 = Mittelschwinger, 3 = Außenschwinger,4 = Kurbelantrieb, 5 =Zugstangenantrieb, 6 = Generator, 7 = Schwungmasse, 8 = Schubstange, 9 = Eisenstück, 10 = Aufnahme,
f₁ = Frequenz zu 1, f₂ = Frequenz zu 2, f₃ = Frequenz zu 3, Drehzahl = n₁ = n₂= Kurbelantriebe, Generatoren und Schwungmassen.
Wir kurbeln mit einer Handkurbel die Schwingmaschine an, so dass der Mittelschwinger = 2 mit seiner Eigenfrequenz = f₂ schwingt, dann schwingen die Außenschwinger = 1,3 ebenfalls mit dieser Frequenz, denn sie sind durch ein Magnetfeld aneinander gekoppelt. Die Außenschwinger = 1,3 sind über die Schubstange = 8 mit der Kurbel = r verbunden. Zieht der Klingelantrieb mit der Frequenz = f_K das Eisenstück = 9 an, geben die Außenschwinger = 1 und 3 diese Frequenz an den Mittelschwinger durch elatische Stöße weiter, denn das Magnetfeld koppelt die Schwinger untereinander.
Der Schubstangenantrieb dreht dann mit dieser Frequenz = n_K = f_K die Generatoren = 6 und Schwungmassen = 7 ebenfalls. Durch das Ankurbeln mit der Hand ist die Drehrichtung aller Baugruppen vorgegeben, d.h. die Schubstangenantriebe müssen diese Drehrichtung beim Starten unterstützen.
Dreht sich der Generator die Schwungmasse den Kurbeltrieb einmal herum - alle Baugruppen des oberen Teils der Schwingmaschine, Bild 2.4.3.1.1 drehen sich in eine Richtung -, bewegt sich das Eisenstück = 9 einmal zum oberen und unteren Schubstangenantrieb. Beginnt die Bewegung zu den Anzugsspulen des Schubstangenantriebes, beginnen die Spulen anzuziehen, kurz vor erreichen des Umkehrpunktes - wenn die Bewegung weg von den Spulen beginnt, schalten die Spulen ab, der Strom wird unterbrochen. Der Effekt der Selbstinduktion wird genutzt, um das Eisenstück um den Umkehrpunkt der Bewegung zu bringen, damit ist der Rhythmus, die Periode des Ein- und Ausschaltvorgangs der Spulen vorbestimmt. Schwingt derMittelschwinger = 2 unterhalb seiner Eigenfrequenz = f_E , ist die Betriebsdrehzahl der Schwingmaschine noch nicht erreicht. Ist f_S* = f_E (Indizes: S = Schubstange, F = Balttfeder) stellt sich Resonanz ein, d.h. der Mittelschwinger =2 schwingt mit einer größten Amplitude= A als der Kurbelradius (A > r = Kurbelradius). Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbelantrieb bezüglich ihrer Auslenkung an den Kurbelradius gebunden, sie können die Vergrößerung der Amplitude des Mittelschwingers nur durch Resonanz in eine schnellere Drehbewegung des Kurbelantriebes = 4 umsetzten. Diese Drehzahlerhöhung = Δn_M , bei der sich Resonanz einstellt, ist der Betriebszustand der Schwingmaschine, und diesen gilt es zu erreichen und beizubehalten.
Bild 2.4.3.1.2 (Annahmen) dito Bild 2.4.1.1.2
1 = Startbedingung des Schwingers = 1, 2 = Start-bedingung des Schwingers = 2, 3 = Startbedingung des Schwingers = 3.
1* , 2* und 3* sind die Schwingkurven - harmonische Schwingungen - der einzelnen Schwinger (1,2 und 3) mit der Funktion : x(t) = x_m sin (ω_S t + φ_S), x_m = Amplitude. Das ist der Phasenabstand (Annahme) beim Ankurbeln der Schwingmaschine und kurz danach.
Phasenangleichung dito 2.4.1.2
Leistung dito 2.4.1.3
Schubstangenantrieb (Thomson-Schwinger)
Bild 2.4.4.1
Ein Teil der oberen Hälfte der Schwingmaschine 1 = Schwinger (2,3 = Schwinger nicht skizziert), 4 = Kurbelantrieb, 5 = Schwingausgleich = Schubstangenantrieb (Thomson-Schwinger), 6 = Gene-rator, 7 = Schwungmasse, 8 = Schubstange mit Teil 5 = Al-Ring, 9 = Spule, 10 = Aufnahme. Die Teile: 5,8,9 und 10 bilden den Schub-stangenantrieb. n = Drehzahl (Kurbelantrieb, Generatoren und Schwungmassen), f = Frequenz (Schwinger).
Der A-Ring =Teil 5 bewegt sich innerhalb des Fe-Kerns. Wird an die Spule = 9 eine Spannung angelegt, fließt Strom durch die Spule = 9 und induzierte eine Spannung = U _ind . im Al - Ring = 5, dadurch erzeugt dieser ein sich um den A-Ring aufbauendes Magnetfeld. Wird der Spulenstrom abgeschaltet, wird durch Selbstinduktion in dem A-Ring eine höhere Spannung induziert als die angelegte Spulenspannung, es ist dem Spulenmagnetfeld entgegengerichtet. Jetzt stehen sich zwei gleichnamige Magnetpole gegegüber und die stoßen sich ab. Die Abstoßkraft läßt sich aufteilen in eine vertikal in eine horizontal angreifende Kraft zur Schubstange.
Bedingung
Die resultierende Kraft muss zur Spule hin gerichtet sein und die horizontale Kraft soll größer als die vertikale Kraft sein. Das Problem ist, dass sich die Kurbelstange nicht nur vertikal bewegt, sondern auch horizontal.
Die horizontale Bewegung wird durch die Selbstinduktionskraft unterstützt, wenn der Thomsom - Schwingausgleich so wie im Bild 2.4.4.1 befestigt ist, damit kann der Kurbelantrieb gedreht werden. Die vertikale Bewegung hat die Länge = 2 r (mit r = Kurbelradius) und dient nicht dem Schwingausgleich. Beim Induktionsstoß durch den Thomson - Schwingausgleich ist der Abstand A-Ring zum Fe-Kern konstant zu halten.
Schwingfreqenz gleich Schubstangenfrequent
Bild 2.4.4.1.1
Die obere Hälfte der Schwingmaschine 1, 3 =Außenschwinger, 2 = Mittelschwinger, 4= Kurbelantrieb, 5 = Al - Ring, 6 = Generator, 7 = Schwungmasse, 8 = Schubstange = Kurbelstange, 9 = Spule mit Fe-Kern, 10 = Halterung. Die Teile: 5,9 und 10 bilden den Schubstangenantrieb. n₁ und n₂ = Drehzahl des Kurbel-antriebs (Generator und Schwungmassen), f₁ , f₂ und f₃= Schwingerfrequenz.
Wir bringen die Schwingmaschine mit einer Handkurbe auf Betriebsdrehzahl.
Der Mittelschwinger = 2 schwingt jetzt mit seiner Eigenfrequenz = f₂ , die Außenschwinger= 1,3 ebenfalls mit dieser Frequenz, denn sie sind durch ein Magnetfeld aneinander gekoppelt. Die Außenschwinger = 1,3 sind über die Schubstange = 8 mit dem Kurbelantrieb verbunden. Bewegt sich der Schubstangenantrieb mit der Frequenz = fst -der AL-Ring wird durch Selbstinduktion hin und her bewegt -, haben diese Frequenz auch die Schwinger (1, 2 und 3). Der Kurbelantrieb dreht dann mit dieser Frequenz = n_K = f_K die Generatoren = 6 und die Schwingmassen = 7. Der Schubstangenantrieb bestimmt, in welcher Drehrichtung der Schwingverlustausgleich erfolgt und mit welcher Drehrichtung die Startphase der Schwingmaschine überwunden wird. Der Induktionskraftstoss soll immer dann erfolgen, wenn der A-Ring sich in Richtung des Kurbelantriebs bewegt. Dann muss der Spulenstrom abgeschaltet werden, damit der Induktionsstoß wirksam wird.
Schwingt der Mittelschwinger = 2 unterhalb der Eigenfrequenz = f_E der Schwinger, arbeitet die Schwingmaschine noch nicht im Betriebszustand, der ist erreicht, wenn gilt: f_St ≈ f_E (Indizes: St = Schubstangenantrieb, F = Blattfeder = Schwinger).
Jetzt kann Resonanz erzielt werden, d.h. der Mittelschwinger =2 schwingt mit einer größeren Amplitude= x als r =Kurbelradius. Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbelantrieb bezüglich ihrer Auslenkung an den Kurbelradius gebunden. Sie können die Vergrößerung der Amplitude des Mittelschwin-gers durch Resonanz nur in eine schnellere Drehbewegung des Kurbelantriebes = 4 umsetzten. Diese Drehzahlerhöhung = Δn_M , bei der sich Resonanz eingestellt, ist der Betriebszustand der Schwingmaschine und diesen gilt es zu erreichen und beizubehalten.
Bild 2.4.4.1.2 (Annahmen) dito Bild 2.4.1.1.2
1 = Startbedingung des Schwin-gers = 1, 2 = Startbedingung des Schwingers = 2, 3 = Startbeding-ung des Schwingers = 3.
1* , 2* und 3* sind die Schwingkurven - harmonische Schwingung - der einzelnen Schwinger (1,2und 3) mit der Funktion : x(t) = x_m sin(ω_St + φ_S), x_m = Amplitude
Phasenangleichung dito 2.4.1.2
Leistung dito 2.4.1.3
Bild 2.4.4.3.1
Ein Teil der oberen Hälfte der Schwingmaschine 1 = Außenschwinger, 2 = Mittelschwinger(nicht skizziert), 4 =Kurbelantrieb, 5 = Al - Ring, 6 =Generator,
7 = Schwungmasse, 8=Schub- Schubstange = Kurbelstange, 9 = Spule mit Fe-Kern,
10 = Halterung.
Die Teile: 5,9 und 10 bilden den Schubstangenan-trieb. n₁ und n₂ = Drehzahl des Kurbelantriebs (Generator und Schwungmassen), f₁ , f₂ und f₃ = Schwingerfrequenz Bild 2.4.4.3.2 Freigemachtes System
m = Masse, H = A-Ring (vertikal) mit F_V* , F_V , F_T = Thomson-Kraft (horizontal)
Indizes: H = Horizontal, V = Vertikal, x _sH = Schwingweg, x_SH° = Schwinggeschwindigkeit, x_SH°° = Schwingbeschleunigung, xsv= Schwingweg, x_SV°= Schwinggeschwindigkeit,
x_SV°° = Schwingbeschleunigung.
Der Innenduchmessers des A-Ring ist:

a) dem Fe- Kern anzupassen, b) soll den Induktionsstoß maximieren.

N₂

N₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

²

₁

₀

Wechselstrom (Primärspule):: L = N² µ A /L = = 1644² * 1,257*10^-3*4,9*10^-4/0,04 = 41,6H = m² Vs/Am m= Vs/A = H (Spulendaten dito 2.4.2.3 Leistung)
(Sekundärspule):: L = 1* 10µ A /L mit N = 1, L₂= L₁/10. BH/H²= µ L = 10* 20 000 *4,9*10^-4/(47 000)²*0,04 = 0,0001mH = Dimension unklar, Al läßt sich magnetisieren...

₂

₁

U_K

_Kd

₂

I_Cu

_d

_Al

^-6

^-4

^-8

²

₀

_r

^-3

_r,Fe

₀

_r

^-6

_r,Al

_ind

^-5

²

_K

_N

_K

_k

₁

_k

_Kd

₁

_K

_Kd

₁

_K

U_K

I_Kd

bewegte Einspannung
Bild 2.4.5.1
Zweiarmiger Hebel
Indizes: 1 = Schwinger = S, 2 = Motor = M, Σ M₁ = Σ M₂, F₁* I₁= F₂ *I₂, F₂= F₁ *I₁ / I₂, F₁ = Motorkraft = Antriebskraft am Hebel F₂ = Schwingkraft = Antriebskraft für die äußeren Schwinger, I₁ , I₂ = Hebel, x = Weg, x° = Geschwin-digkeit, x°° = Beschleunigung. Vom Antriebsmotor ist das Drehmoment = M = F₂r aufzubringen. Diese ist mit einen Gesamtwirkungs-grad = η_ges zu berücksichti-gen. Dieser Wirkungsgrad muss den Wirkungsgrad der Schwinger sowie den Wirkungsgrad der Kurbelantriebe berücksichtigen.
η_ges = η₁η₂ η₃
= 0,75* 0,9*0,75=0,5.
M =F₂r/ η_ges. Durch die Hebelarmbewegung = I₂ werden am Hebel = I₁ Biegeschwingen erzeugt. Diese Biegeschwingungen sollen die äußeren Schwinger anstoßen mit der Stoßkraft = F(t) = p° = (mv)°. Wie sich der Hebel = I_S verformt --- siehe Biegeschwingungen. Die Blattfeder ist nicht unterbrochen und trägt am freien Ende den Massenaufsatz (Dauermagnete). Das kurze Ende wird durch den Antriebsmotor hin und her bewegt.
Schwingfrequenz gleich Einspannfrequenz
Bild 2.4.5.1.1
Der obere Teil der Schwingmaschine 1,3 = Außerschwinger, 2 = Mittelsinger, 4 = Kurbelantriebe, 5 = Einspannantrieb (Motor), 6 = Generatoren, 7 = Schwungscheiben, 8 = Schubstange, 9 = Antriebsmotor mit Kurbel, 10 = Aufnahme.
Die Teile: 9,10 sind der Einspannantrieb = 5, n₁ und n₂ = Kurbelantriebsdrehzahl, f₁ , f₂ und f₃ = Schwingerfrequenzen, n_M = Motordrehzahl.
Wir kurbeln die Schwingmaschine mit einer Handkurbel auf Betriebsdrehzahl an. Dann schwingt der Mittelschwinger = 2 mit seiner Eigenfrequenz = f2, die Außenschwinger = 1,3 haben ebenfalls diese Frequenz, denn sie sind durch das Magnetfeld aneinander gekoppelt. Die Außenschwinger = 1,3 sind über die Schubstange = 8 mit der Kurbel =r verbunden. Dreht nun der Antriebsmotor = 9 mit der Drehzahl = n_M , werden die Außenschwinger = 1 und 3 durch das koppelnde Magnetfeld mit dieser Frequenz angestoßen. Denn der Mittelschwinger = 2 schwingt mit der Frequenz = n_M = f₂ . Der Antriebsmotor bestimmt, in welcher Drehrichtung der Schwingverlustausgleich stattfindet und mit welcher Drehrichtung die Startphase der Schwingmaschine überwunden wird, d.h. die Drehrichtung des Antriebsmotors ist gleich der Drehrichtung des Kurbelantriebes.
Schwingt der Mittelschwinger = 2 unterhalb der Eigenfrequenz = f2, schwingen die Schwinger nicht mit der Betriebsdrehzahl der Schwingmaschine. Ist f₂ = n_M (Index: 2 = Mittelschwinger, M = Antriebsmotors) stellt sich Resonanz ein, d.h. der Mittelschwinger = 2 schwingt mit einer größeren Amplitude als r der Kurbelradius. Die äußeren Schwinger sind durch den Kurbelantrieb bezüglich ihrer Auslenkung an den Kurbelradius gebunden.
Sie können die Vergrößerung der Amplitude des Mittelschwingers nur durch Resonanz in eine schnellere Drehbewegung des Kurbelantriebes = 4 umsetzten. Diese Drehzahlerhöhung = Δn_M, bei der sich Resonanz einstellt, ist der Betriebszustand der Schwingmaschine, und diesen gilt es zu erreichen und beizubehalten.
Bild 2.4.5.1.2 (Annahmen) dito Bild 2.4.1.1.2
1 = Startbedingung des Schwingers = 1, 2 = Startbedingung des Schwingers = 2, 3 = Startbedingung des Schwingers = 3.
1* , 2* und 3* sind die Schwingkurven - harmonische Schwingung - der einzelnen Schwinger (1, 2 und 3) mit der Funktion : x(t) = x_m sin (ω_S t + φ_S), x_m = Amplitude Die Kurve = 2** zeigt die vergrößerte Amplitude des Mittelschwingers (harmonische Schwingung?)
Phasenangleichung dito 2.4.1.2
Leistung dito 2.4.1.3
Bild 2.4.5.3.1 bewegte Einspannung
1 = bewegte Einspannung, 2 = Motor für Mittelschwinger (einarmiger Hebel),
3 = Schwinger (Mittelschwinger) Bewegung der Einspannung: x_E° = Geschwindigkeit,
x_E°° = Beschleunigung
Bewegung der Masse:
x_S° = Geschwindigkeit, x_S°° = Beschleunigung
Bewegung der Kurbel: φ° = Geschwindigkeit = ω
φ°° = Beschleunigung = α= ω°
m_S = Masse des Blattfederaufsatzes
k = Federkonstante
r = Kurbelradius
h = Blattfederlänge
Kurbelantrieb (Herleitung siehe 1.2)
Aus der Literatur:
x = r(1 - cos φ) + (λ/2)r sin² φ mit φ = ωt = 2 π n t, x° = ω r sin φ (1 + λ cos φ)
x°° = ω² r (cos φ + λ cos 2 φ) mit λ = r/I =¼, M = F_t r = Drehmoment des Motor = 2
Fs =Kraft an der Schubstange = I mit sin ß = ¼ --- ß = 14,5° --- vereinfacht:
F_S= M/r sin φ), F_t ≈ F_S = m_E x_E°° = m_E ω² r (cos φ + λ cos 2 φ)
Ist die Winkelgeschwindigkeit = ω = konstant, hat die bewegte Einspannung an den Umkehrpunkten die Beschleunigung = x°° = 0 und x° = 0, denn hier kehrt sich die Bewegungsrichtung um. Die Masse = ms auf der Blattfeder (Blattfederaufsatz) kann dieser Bewegungsumkehr nicht folgen und wird um x_S= ausgelenkt nach rechts, mit x_S°>0 und x_S°°>0. In diesem Augenblick bewegt sich die Einspannung mit x_E°°>0 und x_E° >0 und damit wird der Blattfederaufsatz nochmals nach rechts bewegt. Jetzt zieht die bewegte Einspannung den Blattfederaufsatz über die gesamte Hublänge = 2 r bis zum Umkehrpunkt der Bewegung.
Am umkehrpunkt wird die Bewegung auf x_E° = 0 und x_E°°= 0 abgebremst. Damit schwingt der Battfederaufsatz nach links und wird nochmals nach links ausgelenkt nachdem die Bewegungsumkehr stattgefunden hat. Wieder zieht die bewegte Einspannung den Blattfederaussatz über die gesammte Hublänge = 2r und am Unkehrpunkt der Bewegung wird die Blattfeder wieder ausgelenkt, usw. Dieses Auslenkmanöver wiederholt sich nach jeder Bewegungsumkehr der Einspannung mit 1 Umdrehung der kurbel werden 2 Umkehrbewegungen erzeugt
Annahme
Der Mittelschwinger ist nicht durch die äußeren Schwinger begrenzt, dann erfolgt nach jeder Bewegungsumkehr bedingt durch den Massenaufsatz eine Auslenkung der Blattfeder (Trägheitskraft = F_T= ms x_E°°). Dreht der Motor mit n = Drehfrequenz und hat der Schwinger die Eigenfrequenz = f und erreicht die Drehzahl = n die Schwingfrequenz --- n = f folgt Resonanz, d.h. der Schwinger erfährt unkontrollierte Auslenkungen...
Der Mittelschwinger schwingt zwischen den Außenschwingern und kann damit diese unkontrollierte Auslenkung auf die Außenschwinger abgeben. Zu der jetzt vorhandenen Auslenkkraft der Außenwinger, F = k x, erfolgt nach jeder Bewegungsumkehrung ein Geschwindigkeitszuwachs = x_E °, ein Leistungszuwachs = P = k x x_E°, denn der Geschwindigkeitszuwachs kehrt sich mit der Umlenkbewegung um. Mit P = Mω = k x x_E°, d.h., dem Kurbelantrieb wird die Leistung durch den Motor = P = Mω zugeführt und der Kurbelantrieb gibt die Leistung P = kxx_E° an den Schwinger ab.
Bild 2.4.5.3.2 Zweiarmiger Federhebel
Obere Teil des Mittelschwingers 1 = kurzer Hebel, 2 = Motor für Mittelschwinger (einarmiger Hebel), 3 = Schwinger (Mittelschwinger)
Bewegung der Einspannung:
x_E° = Geschwindigkeit, x_E°° = Beschleunigung.
Bewegung der Masse: x_S° = Geschwindigkeit, x_S°° = Beschleunigung.
Bewegung der Kurbel: φ° = Geschwindigkeit = ω
φ°° = Beschleunigung = α= ω°,D = Drehpunkt, ms= Masse des Blattfederaufsatzes,
k = Federkonstante, r = Kurbelradius, H + h = Blattfederlänge mit H = Hebel arm,
h= Hebelarm.
Wir bewegen den Hebel = h um r = Kurbelradius. Vom Drehpunkt = D im Abstand = h wirkt die Kraft = F_t ≈ F_S= m_E x_E°°= m_E ω² r (cos φ + λ cos 2 φ), somit das Drehmoment = M = Fs h. Damit wirkt am anderen Ende der Blattfeder die Kraft F = Fs h/H. Lenken wir den Hebel = h um r aus, wird die andere Seites des Hebels um x = h r/H ausgelenkt. Der Mittelschwinger bewegt somit die äußreren Schwinger um x.
Annahme
Wir befestigen zwei Dauermagneten am oberen Ende des Mittelschwingers, und zwar so, das ein Abstand = x_m zu den anderen Dauermagneten, der Außenschwingern, entsteht. Bewegen wir jetzt den Mittelschwinger, so wird der Abstand = x_m der Dauermagnete auf x_m* verringert, d.h. die Magnetkraft nimmt zu. Damit ist die Auslekung der Blattfeder am oberen Ende x_m** = x_m - x_m*, die Blattfeder biegt sich um x** durch. Federkraft = Magnetkraft = k x_m**= ½ BHA. Diese Kraft = F = k x_m**= ½ BHA ist vom Antriebsmotor aufzubringen und wird über die Blattfeder zu den Dauermagneten geleitet. M = F_M h = k x_m**H sind die Drehmomente, sie sind an beiden Ender der Blattfeder gleich und sie wirken so, dass Blattfeder sich immer bogenförmig durchbiegt egal wie das kurze Ende der Blattfeder ausgelenkt wird.Diese Prozeß der Arbeitsaufnahme hat die Zeit = t gedauert und den Kurbelantrieb drehen lassen, was die Zeit t* dauert. Leistungsaufnahme = P = W/t und Leistungsabgabe = P* = W/t*. Arbeitet die Schwingmaschine im Betriebszustand, soll die Zeit = t = t* sein, d.h. die Schwingmaschine speichert im Schwingtakt = T = Periodendauer die zugeführte Energie und gibt sie im gleichen Takt wieder ab. Ist die Blattfeder ungespannt, ist das die Postion, an dem der Kurbelantrieb den Schwingausgleich erzielen kann, wenn er in der gleichen Richtung erfolgt. Ist die Schwingmaschine im Betrieb, ändert sich die Drehrichtung der fliegenden Wellen nicht, d.h. diese Drehrichtung ist durch die Schwinger zu unterstützen, auch beim Schwingausgleich durch den zweiarmigen Blattfederhebel.
Schwingmaschine
Die Schwingmaschine ist mit dem Schwingausgleich Antriebsmotor ausgerüstet.
Dieser Antriebsmotor übernimmt die Startphase der Schwingmaschine und steuert den anschließenden Betriebszustand der Schwingmaschine.
Baugruppen im Bild 3.1
Baugruppen: 3.1.1 Gestell, 3.1.2 Schwinger, 3.1.3 frei fliegende Welle nur Generatoren 3.1.4 freifliegende Welle mit Generator und Antriebsmotor, 3.1.5 Kurbelantrieb und 3.1.6 Schwungmassen
Die Schubstange soll immer durch die Schwerkraft beim Start der Schwingmaschine nach unten fallen und die Schwinger in der gleichen Richtung bewegen(spannen). Schwinger in der gleichen Richtung bewegen (spannen). Der Ausgleichsimpuls - Stoßkraft-erfolgt immer in Drehrichtung der Generatoren. Das Kernstück der Schwingmaschine sind die
Schwinger mit durchgehender Blattfeder und den Blattfederaufsätzen - Dauermagnete - (Baugruppe 3.1.2 Schwinger). Der obere Teil der Schwingmaschine enthält den freischwingen Mittelschwinger und zwei Außenschwinger, die mit dem Kurbelantrieb starr verbunden sind, der untere Teil der Schwingmaschine ist genauso aufgebaut.
Der obere sowie untere Teil der Schwingmaschine enthält je einen Antriebsmotor und drei Generatoren (Baugruppe 3.1.3) und (Baugruppe 3.1.4). Zwischen den Baugruppen 3.1.3 und 3.1.4 sitzt der Kurbelantrieb (Baugruppe 3.1.5). Zwischen dem Gestell Baugruppe 3.1.1 und den Baugruppen 3.1.3 -4 sitzen die Schwungmassen, Baugruppe 3.1.6. Die Schwinger, Baugruppe 3.1.2 werden an der Grundplatte befestigt und die frei fliegenden Wellen, Baugruppe 3.1.3 und 3.1.4 werden an den Flachstahl, Teil 3.1.1.2 angeschraubt. Der Kurbelantrieb, Baugruppe 3.1.5 verbindet die fliegenden Wellen mit den Außenschwingern.
Gestell mit Dämpfung
An das Gestell, Baugruppe 3.1.1, werden die Teile: Grundplatte 3.1.1.1 und Flachstahl 3.1.1.2 gestiftet (zentriert) und geschraubt. Die Dämpfung, Teil 3.1.1.3, ist ein Normteil, wird unbearbeitet an die Teile Flach 3.1.1.2 geschraubt.
Die Grundplatte wird nur auf Länge geschnitten und die Schnittflächen werden gefräst. Die Grundplatte erhält über die Länge 8 Gewindebohrungen und 4 Stiftbohrungen.
Mit diesen Bohrungen die gleich tief über die Breite der Grundplatte gebohrt werden und dem Befestigungsmaterial (Schrauben und Stifte) wird der Flachstahl an die Grundplatte geschraubt. Die Dämpfung wird an dem Flachstahl befestigt. Die Oberfläche von der Grundplatte und dem Flachstahl bleibt unbearbeitet (Walsoberfläche).
Schwinger
Die Baugruppe Schwinger 3.1.2 besteht aus den Teilen: 3.1.2.1 Blattfeder, 3.1.2.2 Rundmagnet und Spannung 3.1.2.3. An die Blattfedern werden die 4 Rundmagnete angeschraubt, und zwar mit Senkschrauben mit Kreuzschlitz, DIN 965 und die entsprechenden Muttern als Senkschrauben, DIN..., dann werden erst 2 Rundmagnete an die Blattfeder geschraubt, die Blattfeder durch die Grundplatte gesteckt und mit der Spannung 3.1.2.3 befestigt. Die Spannung hat auch eine Montagereihenfolge: Erst den Stift = 3.1.2.3.2 durch den Winkel = 3.1.2.3.1 stecken, dann die Blattfeder = 3.1.2.1 über den Stift stecken. Die halbfertigte Spannung durch die Grundplatte stecken und mit den beiden Klemmwinkeln, 3.1.2.3.3 und 3.1.2.3.4 in der Grundplatte verkeilen. Alle Winkel und Sicherungswinkel = 3.1.2.3.5 über den Winkel = 3.1.2.3.4 mit der Grundplatte verschrauben. Anschließend die beiden anderen Dauermagnete an das freie Ende der Blattfeder schrauben.
fliegende Welle: nur Generatoren
Bild 3.1.3.1
Fliegende Welle = 3.1.3 mit zwei Generatoren und der Kurbelantrieb = 3.1.5, genauer die Verbindungsstange zwischen den beiden fliegenden Wellen sowie Schwungmassen = 3.1.3.3 und Befestigung = 3.1.3.4
Bild 3.1.3.2
Fliegende Welle = 3.1.3 mit einen Generator und den Unterbaugruppen:
3.1.3.1 = Welle mit Dauermagnet (Zylinder), 3.1.3.2 = Spule mit Spulenkörper,
3.1.3.3 = Schwungmasse, 3.1.3.4 = Befestigung, 3.1.3.5 = Haltewinkel
Die DIN - Teile (Normteile): Kugellager, Sicherungsringe, Paßfedern, Abstandshüsen und Mutter sind nicht skizziert.
Bild 3.1.3.3
Unterbaugruppe Welle
Zeigt die vorgefertigte Welle bestehend aus den Einzelteilen: 3.1.3.1 = Welle,
3.1.3.1.1 = Scheibe (Kurbelantrieb), 3.1.3.1.3 = Dauermagnet mit Füllung,
3.1.3.1.2 = Zylinder.
Zur Montage der Welle:
Auf die Welle = 3.1.3.1 werden die Teile der Reihe nach aufgesteckt: 3.1.3.1.1 = Scheibe, 3.1.3.1.2 = Zylinder, 3.13.1.3 = Dauermagnet
Bemerkung: Die Passungen sind so gewählt, dass die Teile von Hand gefügt werden können. Der Dauermagnet aus Samarium-Cobalt (SmCo₅) ist ein Rohling (Hohlzylinder), in dessen Quadratbohrung eine Füllung aus Kunstharz gegossen wird. Der Halt zwischen Welle und Rohling (SmCo₅) wird erzielt, indem zwei Paßfedern nach DIN mit eingegossen werden.
Bild 3.1.3.4
Unterbaugruppe Spule
Zeigt die vorgefertigte Spule bestehend aus den Einzelteilen: 3.1.3.2 = Spulenkörper
mit Kupferdraht, 3.1.3.2.1 = Scheibe (Kurbelantrieb), 3.13.2.2 = Scheibe, 3.1.3.2.3 = Stab, 3.1.3.5 = Haltewinkel
Zur Montage der Spule:
Auf den Spulenkörper wird der Kupferdraht gewickelt und an den Abnehmern (nicht gezeichnet) befestigt. Die Stäbe 3.1.3.2.3(4 Stück) werden an die Scheibe 3.1.3.2.2 geschraubt und anschließend wird der Spulenkörper über die Stäbe geschoben. Die Scheibe 3.1.3.2.1 wird an die freien Stäbe 3.1.3.2.3 geschraubt. Die vorgefertigte Spule wird an das Halteblech3.1.3.5 geschraubt.
Bemerkung
Die skizzierten Kugellager werden auf der Welle erst fixiert und dann in die Spule eingebracht und mit Sicherungsringen für Bohrungen DIN 472 gesichert.
Bild 3.1.3.5
Unterbaugruppen:
3.1.3.3= Schwungmasse, 3.1.3.4 = Befestigung.
Das Einzelteil: 3.1.3.4.1 Montagehilfe gehört zur Befestigung, 3.1.3.4 und wird benötigt, wenn diese an das Gestell befestigt wird. Die Befestigung wird als letztes auf die Welle befestigt und durch Anziehen der Mutter am Ende der Welle, bekommen alle Teile der Welle ihren Halt.
Auf der fliegenden Welle sind gereiht: 3.1.3.1.1 Scheibe (Kurbelantrieb), 3.1.3.1.2 Zylinder, 3.1.3.1.3 Dauermagnet, 3.1.3.3 Schwungmasse und 3.1.3.4 Befestigung. Damit die Teile richtig Positioniert sind werden Spannhülsen eingesetzt und damit ein Mitdrehen für einige Telie ausgeschlossen, werden Paßfedern eingesetzt. Das Drehen im Magnetfeld das sich zwischen den Anker (Dauermagnet) und der Feldspule aufbaut wird durch Kugellager ermöglicht.
Anmerkung
Der Anker dreht sich und die Feldspule ist fest.
fliegende Welle: Motor und Generatoren
Bild 3.1.4.1
Fliegende Welle = 3.1.4 (Motor und Generator) und der Kurbelantrieb = 3.1.5, genauer die Verbindungsstange zwischen den beiden fliegenden Wellen. 3.1.4.3 = Schwungmasse und 3.1.4.4 = Befestigung
Bild 3.1.4.2
Fliegende Welle = 3.1.4 mit einen Motor
3.1.4.1 = Welle mit Anker (Spulen),3.1.4.2 = Spule (Zylinderspule), 3.1.4.3 = Schwungmasse, 3.1.3.4 = Befestigung, 3.1.4.5 = Haltewinkel
Die DIN-Teile (Normteile): Kugellager, Sicherungsringe, Passfedern, Abstandshülsen und Muttern sind skizziert.
Die Teile: 3.1.3.1 = 3.1.4.1 = Welle, 3.1.3.4 = 3.1.4.4 = befestigung, 3.1.3.3 = 3.1.4.3 = Schwungmasse und 3.1.3.5 = 3.1.4.5 = Haltewinkel sind gleich.
Bild 3.1.4.3
Unterbaugruppe Welle
Zeigt die vorgefertigte Welle, bestehend aus den Einzelteilen: 3.1.4.1 = Welle,
3.1.4.1.1 = Scheibe (Kurbelantrieb), 3.1.4.1.2 = Kollektor, 3.1.4.1.3 = Anker mit Spulen. Zur Montage der Welle: Auf die Welle = 3.1.3.1 werden die Teile: 3.1.4.1.1 = Scheibe, 3.1.4.1.2 = Kollektor, 3.1.4.1.3 = Anker mit Spulen der Reihe nach aufgesteckt.
Die Teile: 3.1.3.1 = 3.1.4.1 Welle und 3.1.3.1.1 = 3.1.4.1.1 Scheibe sind gleich.
Fertigung: Der Anker besteht aus Dynamoblechen, die auf einem Montagedorn fixiert werden. Dann werden die Dynamobleche am Umfang abgedeckt mit einer Hülse email-iert. Nachdem emailieren erfolgt das Trocknen im Ofen. Entfernen der Hülse und des Monatgedorns mit anschließendem Säubern und aufstecken auf die Welle, entsprechend der Montagereihenfolge. Die drei Spulen werden mit Kupferdraht gewickelt, so dass sich nach den Wickeln auf den Dynamoblechen 3 Spulen befinden. Die Kupferdrahtenden der Spule werden für die Kollektorklemmen zusammengebunden und in den Kollektor gesteckt. Kollektor und Anker werden auf der Welle verankert. Beim Aufstecken des Kollektors auf die Welle werden die Klemmen, die den Kupferdraht halten -Spulenenden, geschlossen.
Bild 3.1.3.4
Die Unterbaugruppe Spule zeigt die vorgefertigte Spule bestehend aus den Einzelteilen: 3.1.3.2 = Spulen aus Dauermag-netschalen mit Blechmantel, 3.1.4.2.1 = Scheibe (Kurbelantrieb), 3.1.4.2.2 = Scheibe, 3.1.4.2.3 = Stab, 3.1.4.5 = Haltewinkel.
Zur Montage der Spulen aus Dauermagnetschalen: Die Dauermagnetschalen werden in den Blechmantel gesteckt. Die Stäbe 3.1.4.2.3(4 Stück) werden an die Scheibe 3.1.4.2.2 geschraubt und anschließend wird der Blechmantel mit Dauermagnetschalen über die Stäbe geschoben. Die Scheibe 3.1.4.2.1 wird an die freien Stäbe 3.1.4.2.3 geschraubt. Die vorgefertigte Spule wird an das Halteblech 3.1.4.5 geschraubt.
Bemerkung: Die eingezeichneten Kugellager werden in den Scheiben fixiert und mit Sicherungsringen für Bohrungen DIN 472 gesichert.
Bild 3.1.4.5
Unterbaugruppen: 3.1.4.3 = Schwungmasse, 3.1.4.4 = Befestigung
Das Einzelteil: 3.1.4.4.1 Montagehilfe gehört zur Befestigung 3.1.4.4 und wird benötigt, wenn diese an dam Gestell gefestigt wird. Zur Montage der Bestigung. Die Befestigung wird als letztes auf die Welle befestigt und durch das Anziehen der Mutter am Ende der Welle, bekommen alle Teile der Welle ihren Halt.
Die Unterbaugruppen: 3.1.4.3 = Schwungmasse, 3.1.4.4 = Befestigung, sind gleich der Unterbaugruppen: 3.1.3.3 = Schwungmasse, 3.1.3.4 = Befestigung Auf der fliegenden Welle sind gereiht:
3.1.4.1.1 Scheibe (Kurbelantrieb), 3.1.4.1.2 Kollektor, 3.1.4.1.3 Anker, 3.1.4.3 Schwungmasse und 3.1.4.4 Befestigung.
Damit die Teile richtig positioniert sind werden Spannhülsen eingesetzt und damit ein Mitdrehen für einige Telie ausgeschlossen wird, werden Paßfedern eingesetzt.
Das Drehen im Magnetfeld, das sich zwischen dem Anker (Spulen) und den Dauermagneten (Magnetschalen) aufbaut, wird durch Kugellager ermöglicht. Anmerkung: Der Anker dreht sich und die Feldspule (Dauermagnetschalen) sind fest.
Kurbelantrieb
Bild 3.1.5.1
Der Kurbelantrieb 3.1.5 bestehet aus den Unterbaugruppen: 3.1.5.1 Kurbelzapfen, 3.1.5.2 = Kurbelstange, 3.1.5.3 = Schwingzapfen, 3.1.5.4 = Klemmhülsen,
3.1.5.5 = Hülsenmutter (DIN ?), 3.1.5.6 = Hülsenschraube DIN = Rillenkugellager.
Die Kurbelstange oder Pleuelstange stellt die Verbindung zwischen Kurbelantrieb= 3.1.5 und Schwinger = 3.1.2 dar. Das Drehmonent = M des Kurbelantrieb ist gleich dem Drehmoment an der Welle = 3.1.3.1.
Die Verbindung zum Kurbelantrieb wird durch die Kurbelstange, Kurbelzapfen und Hülsenmuttern hergestellt. In den Kurbelzapfen wird das andere Ende der Kurbelstange gesteckt und mit Hülsenschraube und - mutter geschraubt. Der Innenring des Kugellagers wird mit Klemmhülsen gehalten.
Bild 3.1.5.2 Unterbaugruppen: 3.1.5.1 Kurbelzapfen, 3.1.5.2 = Kurbelstange, 3.1.5.3 = Schwingzapfen, 3.1.5.4 = Klemmhülsen, 3.1.5.5 = Hülsenmutter (DIN ...), 3.1.5.6 = Hülsenschraube, 3.1.5.7 = Klemmhülsen DIN = Rillenkugellager.
Die Kurbelstange ist geschweißt: Stange = 3.1.5.2.1 und Auge = 3.1.5.2.2
Das Rillenkugellager sitzt im Innenring mit einer Übergangspassung auf dem Kurbelzapfen = 3.1.5.1. Die Hülsenschraube = 3.1.5.4 und die Klemmhülsen = 3.1.5.7 halten den Innenring des Kugellagers. Der äußere Ring des Kugellagers wird in das Zylinder = 3.1.5.2.2 eingepreßt, er soll nach beiden Seiten Spiel haben.
Schwingausgleich
Der Schwingausgleich bei der Schwingmaschine wird durch den Einsatz von zwei Gleichstrommotoren erzielt: ein Motor arbeitet an der oberen Hälfte der Schwingmaschine und treibt drei Generatoren, drei Schwinger und der Andere arbeitet an der unteren Hälfte und treibt eben falls drei Generatoren und drei Schwinger an.
Die Motoren werden über ein Netzteil mit Gleichstrom versorgt. Das Netzteil wandelt Wechselspannung = U ~ = 220 V (I = 2 A) in Gleichspannung = U_, und zwar in regelbare Gleichspannung um. Der Drehzahlbereich des Gleichstrommotors der nahe bei der Eigenfrequenz der Schwinger liegt, ist bei konst. Drehmoment = M in der Drehzahl = n genau über das Netzteil regelbar. Damit ist der Resonanzbereich der Schwinger gut steuerbar, denn so kann den Generatoren optimale Leistung entnommen werden.
Antriebsmotor
Bild 3.2.1.1 Gleichstrommotor
1 = Feldspulen: Dynamoblech
3 Zylinderspulen werden auf das Dynamobleche gewickelt
2 = Anker: Dynamoblech
3 Zylinderspulen werden auf das Dynamoblech gewickelt
3 = Kollektor mit Kohlen (Kollektor dreigeteilt, zwei Kohlestifte)
n = Drehzahl der Kurbel
Der Motor ist offen, d.h., die Feldspulen - Dynamoblech (Fe-Kern) mit Kupfdraht (Spulen)-sowie die Ankerspulen - Dynamoblech (Fe-Kern) mit Kupferdraht (Spulen) - sind sichtbar. Die Bürsten (Kohlestifte) werden auf den Kollektor über ein Halteblech (Kupfer) gedrückt. Der Anker soll den Kurbelradiums = r nicht überschreiten. Mit dieser Bauweise ist gewährleistet, dass die Antriebsmotoren - die Schwingmaschine hat 2 Antriebsmotoren und sechs Generatoren - auch als Generatoren eingesetzt werden können und umgekehrt.
Bild 3.2.1.2
1 = Anker aus Dynamoblech und Kupferdraht 1 = Feldspule aus Dynaoblech und Kupferdraht
a = Niete. Bei Sättigung - die Dynamobleche nehmen keine Magnetisierung mehr auf - hat der Anker das gleiche Energieprodukt = BH wie die Feldspullen.
Die Ankermasse = m_AM = 433 g ist vorgegeben, wenn die 6 Schwinger die 4 Kurbelantriebe aus der Ruhe beschleunigen sollen --- Massenträgheitsmoment = J.
P = U I = 19 V * 1,2 A = 22,8 VA (Netzteil: Wechselstrom = U 220V, I = 1,2 A auf
U_ = 19 V, I = 1,2 A), A = 1021 mm² aus A = (Dπ/4)L = Magnetfläche ---
D = 50 mm = Durchmeser eines am Umfang 4-polig magnetisierten Dauermagnetens (Zyliner), L = 26 mm = Länge.
Dieser Dauermagnet kommt bei den Generatoren zum Einsatz mit:
B = 1 T --- [B] = T = N/Am = Vs/m²(gewählt und unter der Voraussetztung, dass BH = 200 KJ/m³ = Energieprodukt ist), n = 22,7 1/s = f = Schwingfrequenz = Drehzahl,
ω = 2 π n = 142,6 1/s = Winkelgeschwindigkeit, sinß = 1.
P = Mω = N IAB ω sin ß = Leistung --- N = P/ I A B ω sin ß = 22,8/1,2*0,001 * 143 = 133
= VA s m²/ VA s m²= Windungen, und zwar für den Anker. Der Anker umfasst 3 Spulen --n/3 = 45 Windungen pro Spule. Mit der Masse = m = 433 g für den Anker ist die Kupfermasse vorbestimmt. Der Kupferdraht der Spulen wird um die Dynamobleche gewickelt. Das Verhältnis = m_Fe/m_Cu= 1,3 ist, dann gilt:
m_Fe + m_Cu = 433 g --- m_Fe +1,3m_Fe= 433 g --- m_Fe = 433 g/2,3 = 188,3 g---- m_Cu = 245 g Annahme
d_Cu= 0,8 mm --- m_Cu = V ρ = r²πΛρ --- L = m_Cu/ r² π ρ mit r= 0,4 mm, ρ_Cu= 8,8 g/cm³, L = 5541,6 cm = 55,4 m = Drahtlänge für 3 Spulen ---
L = 18,4 m pro Spule.

_ges

₁

₂

₃

₁

₂

₃

An den Spulen liegt Gleichspannung an
L = µ A N²/ L*, L* = Länge der Spule mit L/D = 1,3, L* = 78 mm
µ = µ 0 µ_r --- Aus Tabellen: µ_r= 2690, B = 1 T, (BH)_Dauerm. = 200 000 N/m²
B/H = µ₀ µ_r-----µ_r = B²/200 000 µ₀ mit [µ_r] = ./.(Dauermagnet)
= 1 T² m² A m/ 200000 N * 1,27 10^-6Vs
= 3,9---- aus Tabelle: µ_r= 119, B = 1,8 T
(BH)_Spule = (1,8 * 692)= 1246 N/m²mit H = N I /L = 45 1,2 A/0,078m = 692,3 A/m (BH)_Dauerm = (200 KJ/ m³)= 200000 N/m²
Die Spule muss gegen das mag. Feld des Dauermagneten anarbeiten.
L = N² µA/L = 45²* 3,43* 10^-30,001/0,078 = 0,082 H = Vs/A

Ohmscher Widerstand =: R: in Reihe = R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ +1/ R₃= 0,53 Ω
: L_ges = L₁ + L₂ + L₃= 3* L₁= 0,246 H (Induktivität)
Ohmscher Widerstand =: R: parallel = 1/R_ges = R₁ + R₂ + R₃= 3* 0,63 = 1,89 Ω
: 1/ L_ges = 1/L₁ +1/ L₂ + 1/L₃ = 4,06 H (Induktivität)

_ind

1

f

6

_ind

1

f

4

1

2

U_

Wirkungsgrad
Bild 3.3.1 Schwinger mit Eisenjoch
1 = 2 = 3 = Schwinger, das Eisenjoch ist die Blattfeder = k, x = Auslenkung,
k = Federkonstante, φ = Auslenkwinke, P = Abstand vom Nordpol.
Hier stehen sich zwei gleichnamige Magnetpole gegenüber, diese stoßen sich ab. Würden sich zwei ungleichnamige Magnetpole gegenüber stehen, verdoppelt sich die mag. Induktion im Punkt = P---- 2 B(x) =(µ₀P_N/ 4 π)((1/ x²) -1/(L+x)²)
Würden wir das Eisenstück aus Bild 3.3.2 hinter einen Magneten stellen (wird angezogen), ändert sich die mag. Induktion wie folgt: B(x) =(µ₀P_N/ 4 π)((1/ x²) - 1/(2L+x)²)
Das ist die Situation der Schwingmaschine und hier gilt:
2B(x) =(µ₀P_N/ 4 π)((1/ x²) - 1/(2L+x)²), d.h. die mag. Induktion verdoppelt sich und für die Länge = L wird 2 L eingesetzt. Die Blattfeder und die Grundplatte bilden das Eisenjoch.
Allgemein
Lenken wir die drei Schwinger nach einer Seite aus, ist die Kraft = F = 3 k x erforderlich mit k = Federkonstante und x = Auslenkweg. Schwingen nun alle drei Schwin-ger in Phase, kehren sich nach 1 Periode wieder zum Auslenkpunkt zurück, aber nicht an die gleiche Stelle, denn schon nach einer Schwingperiode stellen sich Schwingverluste ein. Die Blattfedern schwingen nur bis x* = x - Δ x zurück.
η_⍰ = Wirkungsgrad = x*/x hergeleitet aus der Energie (Arbeit). Es gilt immer x < x*(kleiner) mit x = Auslenkung.
Ein Beispiel für den Schwingverlust ist die Luftreibeung --- Luftreibungskraft = F_L∼x° (x°
= Schwinggeschwingikeit) ---- F_L = C x° mit C = Konstante = f(A) ( A =Polfläche und C ~A).
Nun wird ein c_w-Wert diffiniert:
C_w,Kugel = 0,45 , C_w,scheibe = 1, 12 (entspricht der Polfläche).
C = ½ c_wρ_LA mit ρ_L= Dichte der Luft----- F_L = C x° = ½ c_wρ_LA x°.
η = Wirkungsgrad = F_L/ F = (kx - ½ c_wρ_LA x°)/ k x.
Nach dem Auslenken und Loslassen der Schwinger, schwingen die Schwinger zum Nulldurchgang und hier haben sie die größte Geschwindigkeit = x°max.
Daten und Festelgungen
Wir dimensionieren die Schwinger nach der mag. Kraft zwischen den Dauermagneten. Aus: IBS Magnet Rundmagnet (spezielle Anfertigung) aus SmCo₅.
Am freien Ende der Blattfeder werden 2 Rundmagnete befestigt mit L = Länger = 20 mm, D = Durchmesser = 40 mm deren gleichnamige Magnetpole sich gegenüber stehen.
(HB)_max = 200 KJ/m³ A = (0,02m)²π = 0,001256 m²
F = 1/2 (HB)_max A = 125,6 N. ist beispielsweise die Anzugskraft eines Dauermagneten mit den Daten in der Rechnung gegenüber eines Eisenstücks.
Die Anziehungskraft verdoppelt sich, wenn statt des Eisenstücks ein gleicher Dauermagnet verwendet wird. Die beiden Dauermagnete ziehen sich dann mit der doppelten Kraft = 2 F = 2* 125,6 N = 252 N an. Stehen sich zwei Dauermagnete mit gleichnamigen Magnetpolen gegenüber stoßen sie sich mit der Kraft = F = 252 N ab. Diese Überlegungen sind vereinfacht sollen uns aber für die Dimensionierung genügen...
Mir der Abstoßungskraft lenken wir die Blattfeder eines Schwingers aus, und was für ein Schwinger gilt, gilt auch für die anderen, denn sie sind alle gleich dimensioniert.
Masse auf der Blattfeder (zwei Dauermagnete).
m = Vρ = A Lρ =12,56 *2 cm³*8,4 g/ cm³= 211g--- 2 * 211g = 422g mit L = Länger= 20 mm, D = Durchmesser = 40 mm.
Festlegung: Magnetkraft = F_M= 252 N gleich Auslenkkraft = F_F = 252 N der Blattfeder. Federstahl: σ_b,max = 500 N/mm² (Lastfall III = schwingende Belastung) ---
σ_b,max = b M_b/b h²= 500 N/mm² mit M_b = F * I = 252 N *0,3 m = 75,6 Nm ---
b = 40mm, h = (b M_b/b σ_b,max )^1/2= (6*75600 mm² N mm /mm N40 *500)^1/2 = 4,76 = mm F = k x, x = Auslenkung = Amplitude mit E = 2,1 *10⁵N/mm²
X_max = 2 I²σ_b,max /3 E h = 2*(300 mm)² *500 Nmm²/3*4,8mm* 2,1 *10⁵ Nmm² = 30 mm Probe: x = F I³ / 3 E I mit I = b h³/12, W_b = b h²/6 (nicht gerechnet)
Mit der Abstoßkraft = F = 252 N = Federkraft, gilt:
F = k x --- k = 252 N/ 0,03 m = 8400 N/m k = kg m/ ms² = kg/s²,
T = 2π (m/k)^1/2= 2π (0,422 kg s²/8400 kg)^1/2= 0,044 s
f = 1/T = 22,7 1/s F Schwingfrequenz, ω = 2π f = 142,6 1/s
s = Schwingweg = 4 *x = 120mm,
s° = Schwinggeschwindigkeit = s/T = 0,12 m/ 0,044 s = 2,73 m/s
Bild 3.3.2
1 = Dauermagnet, 2 = Eisenstück, p = Abstand vom Nordpol = N.
Zieht ein Dauermagnet = 1 ein Stück Eisen an, wirkt die Kraft F = ½ BHA, denn im Volumen = V = A a mit a = Abstand (Nordpol zu P) ist die Energie = E_M= ½ B H V gespeichert. Im Punkt = P wirkt die mag. Induktion = B = B(x) = F_M/P_N mit P_N= Polstärke hier Nordpol.
Δ B = (B_N - Bs) = (µ₀P_N/ 4 π x²) -(µ₀P_S/ 4 π (L +x)²) mit F = ΔB P_N = ½ BH A mit
A = Polfläche, H = mag. Feldstärke. Um die Polstärke zu ermitteln, vergleichen wir das mag. Moment = m einer Spule mit dem eines Dauermagneten --- ΔB P_N = ½ BH A = ½ B(N I /L)A--- ΔB P_N = B(N I /L)A --- P_N = AN I /L und dann ist F = B(x) P_N. P_N = Polstärke des Nordpols. B(x) =(µ₀P_N/ 4 π)((1/ x²) - 1/(L+x)²) = mag. Induktion an der Stelle x (unser Punkt = P). Hier stehen sich Nord- und Südpol gegenüber, somit wird das Metallstück (Eisen) angezogen.
Bild 3.3.3
1 = Dauermagnet, 2 = Dauermagnet, p = Abstand vom Nordpol =N dito Bild 3.3.2 nur hier stehen sich zwei gleich Magnete mit ungleicher mag. Polung gegenüber. Ist die Haftreibung kleiner als die mag. Anziehungskraft, ziehen sich die Magnete gegenseitig an oder haben die Abstoßkraft = 2 F = 252 N.
Masse auf dem Schwinger (Schwingmasse). m = Vρ = A Lρ =12,56 *2 cm³*8,4 g/ cm³
= 211g--- 2 * 211g = 422g
mit L = 20 mm = Länger, D = 40 mm = Durchmesser und der Abstoßkraft = F = 252 N.
Bild 3.3.4
1 = Gestell, 2 = Schwinger, 3 = Kurbelantrieb, I = 4*r = 120 mm, r = 30 mm Kurbelradius, Ft= 732 N, Fst= 756 N, F_r= 94,4 N, 4 = Generatoren/Motor, 5 = Schwungmassen,
F_St = 3 * F = 3* 252 N = 756 N, sin α = F_r /F_St = r/I = 30 mm/120 mm = 0,25
F_r = 94,5 N, E_kin = kin. Energie, E_Rot = rot. Energie (Gegengewicht des Kurbelzapfens), α = 14,5°, cos α= 0, 968 = F_,t /F_St --- F_t= 732 N = Tangentialkraft an der Kurbel = r,
P = M ω = Ft r ω = 732 N 0,03 m 142,6 1/s, P = 3131,5 W = N m/s = Leistung an einen Kurbelantrieb = 3 P = 3131,5 W/2 = 1565,8 W
Für die Schwingmaschine gilt: Schwingen die drei Schwinger nach dem Auslenken und Loslassen nach rechts, drücken die Kurbelstange des rechten Kurbelantriebs = 3 und ziehen die linke Kurbelstange des linken Kurbelantriebs = 3. Mit dem Energieansatz können wir schreiben:
Die Spannenergie der Blattfedern wird in Rotationsenergie auf die fliegenden Wellen über den Kurbelantrieb übertragen.
E_Sp = E_Rot --- 3/2 k x²= ½ J ω² mit J = Massenträgheitsmoment = ½ m r²
Die Leistung pro Kurbelantrieb ist P_K = Pw = 3/4 k x²T (Indizes = k = Kurbel, W = Welle),
T = Periodendauer und zwar aus der Schwingerleistung berechnet. Der Kurbelantrieb hat selbstverständlich einen Wirkungsgrad = η_k = 0,8 (Annahme). Damit steht für die Umsetzung auf die Welle nur noch die Leistung = P_w = P η_K für das Drehen der fliegenden Welle zur verfügung. Mit P = W/t --- W = E = P t. Setzen wir jetzt die Zeit für eine Periode ein, gilt: P_W*T = 1/2 J ω² Damit können wir das Massenträgheitsmonet = J berechnen. Für jeden Kurbelantrieb stehen somit P_K T= 1/2 J ω² zur Verfügung. Dieses Massenträgheitsmoment kann für eine Welle (2 fliegende Wellen und ein Kurbelantrieb) eingesetzt werden. Auf die fliegenden Welle sitzen insgesamt 6 Massen (3 Generatorenmassen + 1 Motormasse + 2 Schwungmassen) alle Massen = m sind gleich und die Generatoren und Motormassen sind Zylinder mit gleichem Radius = r_M, nur die Schwungmassen hat den Radius = r_schw (r_schw = 3 r_M) --- J = (½ m r²+½ m r²+½ m 3r²)2= m r² (1+1+3) = 5 m r² pro fliegender Welle. 3/4 k x²T = 1/2 J ω² = 1/2 (5 m r²) ω² --- (3/4) k x²T = (5/2) m r² ω² --- 3 k x²T = 10 m r² ω² P_K = Pw = 3 k x²T = 10 m r² ω² die Leistung hat ein Kurbelantrieb für die Welle nur Verfügung resultierend aus der Spannenergie der Blattfedern.
Mit Wirkungsgrad P*_K = P*_W = P_Kη_K = P_Wη_K = η_K 3 k x²T = η_K 10 m r² ω²
In dieser Rechnung ist nicht berücksichtigt, dass die Generatoren und Motoren auch im Stand - Stillstand der Schwingmaschine - Anziegungskräfte besitzen, bedingt durch die Dauermagnte und Trägheits- sowie Reibkräfte. Die Berücksichtigung dieser Kräfte erfolgt auch durch den Wirkungsgrad. Pro Motor und Generator rechnen wir mit einen Wirkungsgrad = η_G,M = 0,9 (diese Maschinen arbeiten mit einem hohen Wirkungsgrad). η_G,M,ges = η_G,M η_K = (0,9)⁴*0,8 = 0,52 -- damit verringert sich die Leistung pro Welle nochmals: P**w= P η_G,M,ges = η_G,M,ges 3 k x²T = η_G,M,ges 10 m r² ω² ---
m = P**_w / η_G,M,ges 10 r² ω² = P**_w /η_G,M,ges 3 k x²T ist die Ankermasse eines Generator oder Motors.
Erklärung dieser Rechengangs
Ein Motor hat eine Leistung = P_M = UI = 3132 W und einen Wirkungsgrad von η_M = 0,9, treibt einen Generator an. Damit kann dem Generator die Leistung = P* = P_M η_M
=2819 W zugeführt werden. Sebstverständlich hat der Generator auch einen Wirkungsgrad = η_G = 0,9 (η_M = η_G = 0,9), folglich können wir dem Genaror die Leistung
= P**= P_M* η_M η_G = 2537 W entnehmen.
Schalten wir die Ankerspulen in Sternschaltung gilt:
Bild 3.3.5
Die Generatorspulen sind in Stern-Schaltung geschaltet für einen Generator
I = I_Str._,, U_1,2 = U_1,3 = U_3,1= (3)^1/2 U_Str., cos 30° = U_1,2/2 U_Str., U_1,2= (3)^1/2 U_Str.
P = 3 U_Str. I_Str. cos φ mit cos φ = 0,82 (Motor)
P = 3 (U/(3)^1/2) I cos φ
Dynamoblech, Stahlguß:
B = 1,9 T, H = 21000 A/m
u_ind = - NΦ° = - N(A B)° = - N A B° mit B° = Bω = diese Spannung wird von einer Spule erzeugt.
u_ind= I Z --- I = u_ind/Z (Strom durch eine Spule) --- L ω + R² = Z² --- Z = (L ω + R²)^1/2
Scheinleistung: S = U I
Wirkleistung: W = U I cos φ, cos φ = R/Z
Blindleistung: Q = U I sin φ, sin φ = 0,9
P = 3 (U/(3)^1/2) I cos φ (Leistung pro Ankerspule)
Die Leistung der Schwingmaschine
1.Bedingung
Spannen wir alle drei Schwinger, oberen Seite der Schwingmaschine, soll diese Spannkraft ausreichen alle drehenden Teile mindesten 4 - mal zu drehen.
Auslenkraft = Beschleunigungskraft - k x = m a --- a = k x/m
Aus der Ruhe drehen: ω = ω₀ + a t --- t = (ω - ω₀)/a mit ω₀ = 0 --- t = ω/a
und der Bedingung: t > 4 T mit T = Schwingperiode der Schwinger
U = ω₀ t + 1/2 a t² = Anzahl der Umdrehungen --- U Ftr = ½ J ω²
U = ½ J ω² / F_t r = 4 ---J = 2 U F_t r / ω² gesamtes Massenträgheitsmoment der drehenden Teile J = 2 U F_tr / ω² = 2 * 4* 732 * 0,03 /143²= 0,0086 kg m²
J = ½ m r² --- m = J 2 / r²= 19 kg. Diese Masse = m_ges = 19 kg soll nicht für die drehenden Teile des oberen Teils der Schwinhgmaschine überschritten werden (alle drehenden Teile haben den Radius = r = Kurbelradius). Im obreren Teil der Schwingmaschine befinden sich zwei Kurbelstangen, die wir je zur Hälfte schwingend und drehend rechnen.
2.Bedingung
Die Rotationsenergie = E_R soll gleich der Schwingenergie = E_schw sein.
E_R= 1/2 J ω²,
Eschw= 1/2 k x²+ 1/2 m x° ²mit 1/2 k x²= 1/2 m x°² folgt: E_schw = 3 k x²
E_R= E_schw ---- 1/2 J ω² = kx² mit k = 8400 kg/s², ω = 143 1/s, x = 0,03 m,
J = ½ m r²= ½ 19 kg* (0,03 m)²= 0,00855 kg m²

1 /2 J ω² = kx² ---- 0,5* 0,00855 * 143² = 3* 8400 * 0,03²

87,4 Nm = 22,7 Nm

Erhöhen wir die Schwingmassen bedeutet das, dass jeder Schwinger zusätzlich eine Masse = m = 3,3 kg tragen muss (Knickung!!)
Gleichen wir die Schwingmassen den rotierenden Massen an --- m_schw = 3 kg = m_R ist auch die zweite Bedingung erfüllt.
Wichtig
Wir arbeiten nur mit der Leistung, die die Schwinger durch spannen der Blattfedern haben, d.h. P = 3 k x²/T = 22 Nm/ 0,044 s = 500 W.
Diese Leistung kann die Schwingmaschine, der obere Teil der Schwingmaschine, für eine Schwingperiodendauer = T der Schwingmaschine, nutzt.
Wir vereinfachen und setzen den Schwingverlust der Maschine, wiedergegeben durch den Wirkungsgrad = η_ges = 0,7. P_ab = P_zu η--- P_ab = 500 W * 0,7 = 350 W.
Damit die Schwingmaschine kontinuierlich weiterarbeiten kann, ist ihr pro Schwingperiode die Leistung P* = P_zu - P_ab = 500 W - 350 W = 150 W zuzuführen, wenn die Schwinger einmal ausgelenkt wurden.
Der Antriebsmotor soll die Schwingmaschine in den Betriebszustand bringen, somit ist die Leistung von P = 500 W/η_M = 556 W aufzubringen.
Denn 6 Generatoren der Schwingmaschine kann die Leistung von P = 1000 W entnommen werden, wenn ihnen pro Schwingperiode P = 300 W zugeführt wird und sie einmal in den Beztriebszustand gebracht sind.
Würden wir einen Generator mit einen Motor direkt antreiben gilt:
P_zu = P_ab/η --- P_M= 500W/ 0,9 = 556 W. Hier kann dem Generator die Leistung P = 500 W entnommen werden, wenn er durch einen Motor mit P = 556 W angetrieben wird.
Mit dem Einsatz der Schwingmaschine, gilt:
P_zu = P_ab - P_ab η_ges = (500 - 500* 0,7) = 150 W
Leistungsgewinn: P = 556 W - 150 W = 406 W, wenn die Maschine im Betreibszustand arbeitet.
Heben/Fördern
Bild 3.3.1.1
Heben ohne Schwingmaschine
1 = Gleitbahn, 2 = Seil, 3 = Kurbelantrieb (die Teile: K, L), H = Hub, R = Rolle, K = Kreuzkopf, m = Masse, L = Pleuelstange, M =Antriebsmotor, r = Kurbelradius, n = Drehzahl, f = Frequen
Welche Antriebsleistung = P in W =Watt = Nm/s ist erforderlich, wenn die Masse = m in der Zeit = t = 1 s, um H = Hub gehoben oder gesenkent wird? Der Wirkungsgrad vom Kurbelantrieb = η = 0,7 (er beinhaltet den Wirkungsgrad der Rolle = η_R)
P_zu=P_ab/η--- F = mg
P_ab = F H/t = m g H/t mit g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²
P_zu= P_ab/η , wenn F in N, H in m und t in s, dann ist P_zu in W
Bild 3.3.1.2
Heben mit Schwingmaschine, entspricht Bild 3.3.1.1, nur dass der Schwinger = 4 hinzukommt. Schwinger = 4: k = Federkonstante, f = Schwingfrequenz = n = Drehzahl des Kurbelantriebs.
Die Schwingenergie = E_schw= E_p+ E_k= ½ k x²+ ½ m x°²mit ½ k x²= ½ m x°², k = Federkonstante der Blattfeder, m = Masse des Kreuzkopfs = k (Blattfederaufsatz) x° = Kreuzkopfgeschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit ist eine Kreisbahn mit der Radius der Blattfederlänge) Leistung ist Arbeit in der Zeit = P = W/t. Schwingmaschinenbedingung:
mg = k x---Erdanziehungskraft der Masse = m gleich Federkraft oder mit der Spannenergie der Feder: (Kraft mal Geschwindigkeit). Leiten wir die Energie nach dem Weg = x ab,
erhalten wir die Kraft = F = dE/dx =1/2 kx² = k x = Spannkraft der Blattfeder.
Ansatz: F = mg = kx, d.h. die Masse =m mit den Seil spannt die Blattfeder um x = Auslenkung.
Die abgeführte Leistung = P_ab= m g H/t ist unverändert, nun ist P_ab= P_spn= kx² /T mit T = 2 π(m/k)^1/2 = Periodendauer der Schwingung.
P_ab = F H/t = m g H/t---- P_zu = (m g H/T - kx²/T)/η
Diese Leistung = P_zu ist der Hebemaschine pro Perioden zuführen, wenn die Blattfeder einmal gespannt wurde.
Heben/Fördern
Bild 3.1.3.3
Fördern ohne Schwingmaschine 1 = Kolbenvolumen = V = A H (mit A = Kolbenfläche). Volumen = 2 V.
Die Pumpe ist eine doppelt wirkende Kolbenpumpe, sie fördert im Hin- und Rückgang zweimal das Ko= Kolben der Pumpe, H = Hublänge, K = Kreuzkopf, 2 = Kurbelantrieb (Die Teile: L,K), L = Pleuelstange, M = Antriebsmotor, r = Kurbelradius, n = Drehzahl und H = 2π r = Umfang der Kurbelscheibe = Hublänge.
Die Pumpe fördert aus eine Tiefe = h = 10 m das Volumen = V in der Zeit = t = 1 s.
P_ab= m g h /t mit m = Vρ = 2 A H ρ mit ρ= Dichte von Wasser.
P_ab= m g h /t = 2 A H ρ h /t, η = Wirkungsgrad, und zwar der gesamte Wirkungsgrad
( Kurbelantrieb, Motor, und Pumpe).
P_zu= P_ab/ η = 2 A H ρh /tη
Bild 3.2.1.4 Fördern mit Schwingmaschine entspricht Bild 3.2.1.3, nur dass der Schwinger = 4 hinzukommt. Schwinger = 4 (die Teile: k,K), k = Federkonstante, K = Kreuzkopf (Massenaufsatz der Blatt-feder), f = Schwingfrequenz = n = Drehzahl des Kurbelantriebs
Ansatz: F = mg = kx, d.h. Die Seilmasse = m spannt die Blattfeder um x = Auslenkung.
Starten wir den Antriebmotor = M des Kurbelantriebs = 3, so bewegt sich der
Kreuzkopf = K mit der Kurbelgeschwindigkeit= x° = 2 πf = 2 π n
Damit hat der Schwinger die Leistung = P = F x° = k x (2 π f)
mit f = 1/ T und T =(2 π (m/k)^1/2 mit m = Masse der Kreuzkopfes,
f = (k/m)^1/2/(2π), P_ab= = (k/m)^1/2 = Kreisfrequenz = 2π f = 2π/T,
x° = rω (mit r= Kurbelradius) und P = Mω= M 2π n = M 2πf.
Die abgeführte Leistung = P_ab= m g h/t mit m = m = Vρ= 2 AH ρ
P=Mω = M2πn = P_ab= mgh/tmit M = F_t r und F_St =kx=3
sin α = F_r /F_St = r/I = 0,25m---- α = 14,5°, cos α= 0, 968 = F_t /F_St---F_t= 0,968 * F_St = Tangentialkraft an der Kurbel P = Mω = F_t r ω = P = M2π n = M2π f mit f = n Erdanziehungskraft der Wassersäule mit m = Masse dieser Säule, nun soll gelten Federkraft gleich Gewichstkraft der Wassersäule. Berechnung der Federkraft aus der aus Spannenergie der Feder, dE/dx =1/2 k x²= kx = Spannkraft.
Ansatz
F = mg = kx, d.h. Die Masse = m = 2 A H ρ lenkt die Blattfeder um x = Auslenkung aus. Die abgeführte Leistung = P_ab= 2 A η ρ g h/t ist unverändert, nun ist P_ab= P_spn= k x² /T
mit T = 2 π(m/k)^1/2 = Periodendauer der Schwingung.
P_ab=W/t=2 A η ρ g H/t---- P_zu= (2 A η ρ g H/T- kx²/T)/η
Diese Leistung = P_zu ist der Fördermaschine pro Perioden zuführen, wenn die Blattfeder einmal gespannt wurde.
Heben/Fördern
Bild 3.3.1.5 Stirlingmotor ohne Schwingmaschine
1= Verdrängerkolben, 2 = Arbeitskolben, 3 = Kreuzkopf zu 2(Der Kreuzkopf und der Arbeibskolben ist durch ein Rohr verbunden in dem die Stange des Kreuzkopfes 4 sich bewegt), 4 = Kreuzkopf zu 1, 5 = Pleuelstange zu 1, 6 = Pleuelstange zu 2, 7 = Kurbelantrieb, 8 = Arbeitsraum,
a) Energiezufuhr (Wärme), b) Energieabfuhr (Wärme), c) Energieabfuhr (Wärme),
d) Energiezufuhr (Wärme)
Wir idealisieren den Stirlingprozeß und rechnen ihn als Vergleichsprozeß:
2 Isothermen = T = konstant (Kompression und Expansion), 2 Isochore = V = konstant (Wärmezu- und Wärmeabfuhr).
Bei Position a) die Kolben (1,2) und die Kurbelpunkte (1*,2* --- Kurbelwinkel = 90°) sind gleichmäßig um die 90°-Marke verteilt. Dem Innenraum = 8 wird von außen Energie in Form von Wärme zugeführt. Die Luft im Innenraum ist komprimiert, steht unter Druck, und drückt den Arbeitskolben = 2 nach recht, das Kurbelrad dreht sich rechtsherum. Während des Erwärmens bleibt die Temperatur = T₁ konstant. Der Verdrängerkolben = 1 bewegt sich kaum.
Bei Position b) die Kolben (1,2) und die Kurbelpunkte (1*,2*--- Kurbelwinkel = 180°) sind gleichmäßig um die 180°-Marke verteilt. Energie (Wärme) wird nach außen über die Kühlrippen = 9 abgeführt. Der Arbeitskolben = 2 bewegt sich nach rech bis er fast zum Stillstand kommt und der Verdrängerkolben = 1 bewegt sich nach links. Der Verdrängerkolben drängt die warme Luft in den kalten Zylinderraum, der Verdrängerkolben wird auf die Temperatur = T₁ durch die Luft abgekühlt.
Bei Position c) der Kolben (1,2) und die Kurbelpunkte (1*,2*--- Kurbelwinkel = 270°) sind gleichmäßig um die 270°-Marke verteilt. Wärme wird immernoch über die Kühlrippen = 9 nach außen abgegeben. Der Arbeitskolben bewegt sich nach links, die Luft wird komprimiert ohne dass sie sich erwärmt. Die Temperatur bleibt bei T₁= konstant. Der Verdrängerkolben bleibt während der Kompression der Luft fast ohne Bewegung.
Bei Position d) der Kolben (1,2) und die Kurbelpunkte (1*,2*--- Kurbelwinkel = 360°) sind gleichmäßig um die 360°-Marke verteilt. Der Verdrängerkolben verschiebt die komprimierte Luft in den warmen Zylinderraum. Die Luft wird auf die Temperatur = T₂ erwärmt (Verdrängerkolbentemperatur). Der Arbeitskolben = 2 bewegt sich kaum.
Bei Position a) beginnt der Stirling-Prozeß erneut.
Der Stirling-Prozeß ist mit Ericssion-Prozeß für Gasturbinen (geschlossener Kreislauf) zu vergleichen:
1-2: Verdichten und Wärmezufuhr = Q₁₂, 2-3: Wärmezufuhr = Q₂₃ von außen,
3-4: Wärmeabgabe, und zwar Q₂₁= Q₃₄, 4-1: Entspannen (Volmenvergößrerung unter Wärmeabgabe) Wärmeabgabe = Q₄₁.
Bild 3.3.1.6
|W| = -W=
=Q₂₃ + Q₁₄= m R_iT₂InV₄/ V₁ + m R_iT₁InV₁/ V₄
= m R_iT₂ -T₁InV₄/V₁
η = |W| / Q₂₃ = m R_iT₂ - T₁InV₄/V₁/ m R_iT₂InV₄/ V₁
=1-T₂/T₁
Allgemein
Ein Vergleichsprozeß: Isothermer Kompresion und Expasion, Isochorer Wärmezufuhr und Wärmeabfuhr. Die Luft (Gas) strömt vom kalten Raum über einen äußeren Wärmetausch (Kühlrippen) in den warmen Raum des Stirlingzylinder. Die Luftbewegung erfolgt über eine kombinierte Kolbenbewegung der beiden Kolben (Arbeits- und Verdrängerkolben), so dass das Komprimieren und Expandieren der Luft in den entsprechenden Zylinderräumen erfolgen kann.
Bild 3.3.1.7 dito Bild 3.3.1.5 bis auf den Schwinger
Der Schwinger das sind die Teile: 10 = Blattfederaufsatz befestigt an den Kreuzkopf = 3 (Arbeitskolben), 11 = Blattfeder (mit der Länge = L), 12 = Einspannung, k = Federkonstante. |W| = - W = Q₂₃ + Q₁₄= m R_iT₂InV₄/ V₁ + m R_iT₁InV₁/ V₄
= m R_i(T₂-T₁)InV₄/V₁
η = |W| / Q₂₃ = m R_iT₂ - T_iInV₄/V₁/ m R_iT₂InV₄/ V₁
=1-T₂/T₁
Der Blattfederaufsatz ist der Kreuzkopf = 3 (Arbeitskolben).
Wir gestalten - dimenionieren - den Schwinger (Blattfeder mit Kreuzkopf) so, dass er die Arbeit = W verrichten kann, die der Stirlingmotor ohne Schwingmaschine verrichten kann. |W|= m R_iT₂ - T₁InV₄/V₁= M ω T mit T = 1/f = 1/n und n = Drehzahl des Kurbelantriebes gleich Schwingfrequenz = f des Schwingers.
P = M ω mit M = F r (r = Kurbelradius = x = Auslenkung der Blattfeder oder Bewegung des Kreuzkopfes (Arbeitskolben) des Stirlingmotors). Nun gilt: F = F_st= Kraft die am Kreuzkopf der Arbeitskolben angreift --- Ft = F_st 0,97 = Tangentialkraft am Kurbelradius.
F_t = F_st 0,97 = k x 0,97 --- P = M ω = k x r 0,97 2π n --- W = PT = k x r 0,97 2π n T
W = PT = k x r 0,97 2π n T = k x r 0,97 2π n /f = k x r 0,97 2π (mit n = f)
2|W| = 2 m R_i(T₂ - T₁)InV₄/V₁= 2 k x r 0,97 2π (Doppelkolben)
Wir haben die Arbeit, die der Stirlingmotor (Doppelkolben) verrichtet mit der Arbeit die die Schwinger (2 Schwinger) verrichten gleich gesetzt.
Arbeitet der Stirlingmotor mit einen Wirkungsgrad von η = P_ab/ P_zu = 0,7 = 1 - T₂ /T₁
und kennen wir P_zu= M ω = k x r 0,97 2π n, kann P_ab berechnet werden.
P_ab = P_zu η --- P_ab = k r x 0,97 2π n0,7
Δ P =2 P_zu - 2P_ab = 2 k r x 0,97 2π n - 2k r x 0,97 2π n 0,7 =
= 2k rx 0,97 2π n (1 - 0,7) =2 k rx 0,97 2π n 0,3
Δ P = 2 k x r 0,97 2π n 0,3
Diese Leistung ist dem Stirlingmotor pro Perioden zuführen, wenn die Blattfedern einmal gespannt wurden.
Oder 2|W|/T= 2 (m R_i(T₂ - T₁)InV₄/V₁)/T mit T = Schwingdauer einer Periode des Schwingers
ΔP = 2k x r 0,97 2π n 0,3 = 2((m R_i(T₂ - T₁)InV₄/V₁)/T) 0,3 ist die Leistung als Wärmemenge die dem Stirlingmotor zuzuführen ist.
Handversuche
Federkonstante
Bild 4.1.1
p m_i= Masse: 50g, 100g,150 und 200g
L = Blattfederlänge = 125 mm, h_i= Höhenabstände unter der Masse = m_i
h₀= Grundhöhe = 20 mm, k = Federkonstante.
F_i= m_i g ----- k_i= F_i/h_i mit h_i: h₁= 5 mm, h₁ = 10 mm, h₃ = 13 mm, h₄ = 18,5 mm
F₁= m₁g = 50 g *9,81 kg/s²≈0,5 N ---- k₁= F₁/h₁ = 0,5 N/5 mm = 0,1 N/mm
F₂= m₂ g = 100 g *9,81 kg/s²≈1,0 N ---- k₂= F₂/h₂ = 1,0 N/10 mm = 0,1 N/mm
F₃= m₃ g = 150 g *9,81 kg/s²≈1,5 N ---- k₃= F₃/h₃= 1,5 N/13 mm = 0,115 N/mm
F₄= m₄ g = 200 g *9,81 kg/s²≈2,0 N ---- k₄= F₄/h₄ = 2,0 N/18,5 mm = 0,108 N/mm Blattfeder = b = 32 mm = breit, h = 0,5 mm = dick
Federstahl: σ_bzu|= 50 kp/mm²(Lastfall: Schwingend für einfache Federformen, Literatur) Umrechnung: 1 kp = 9,81 N---- 50 kp ≈ 500N ----- σ_bzu|= 500 N/mm²
Für den Versuchsaufbau, Bild 4.1.1 gilt: h = F L³/3 E I, σ_bzu|= Mb/Wb,
W_b = b h²/6 = 32 mm * (0,5mm)²/6= 1,33 mm³
I_b = b h³/12 = 32 mm * (0,5mm)³/12 = 0,333 mm⁴
h = FL³/3 E I = 1,5 N * 125³ mm³ /3* 2,1 *10⁵N/mm² *0,333 mm⁴ =
= 14 mm= Auslenkung
σ_bzu|= M_b/W_b = F L / b h²/6 = F L 6 / b h² = 1,5 N *125 mm /1,33 mm³= 141 N/mm²
Magnetwürfelabstand
Bild 4.2.1
Zwei Würfel (Dauermagnete) sind übereinander gestellt:
1 = Grundplatte, 2 = Würfel, 3 = Würfel, 4 = Stäbe (Kunststoff), Kantenlänge = a = 20mm, Masse = m= 38,3 g, Volumen = V = 8cm³, Dichte = ρ = 4,7875 g / cm³, h = 30 mm
H= h + a = 50 mm
Der magn. Fluss = Φ = BA ist im Luftvolumen = V_L gleich dem im Magtnetvolumen = V_Fe Die Schwerkraft ist aufgehoben, denn der Magnetwürfel = 3 schwebt über den Magnetwürfel = 2---- m g = ½ (BH) A-----2 m g/A=
=(BH) = 1878,6 N/m²= Energieprodukt
(BH)_x=30mm = 1879N/m²---- F(x=30)= 0,375 N
(BH)_x=13mm = 9236 N/m² F(x=13) = 1,844 N
F(x=13) - F(x=30)= 1,5 N
Haben die Magnetwürfel einen Abstand von x = 30mm zueinander wirkt eine Kraft von F = 0,375 N, bei einen Abstand von x = 13 mm wirkt eine
Kraft = F = 1,5 N
F = B P --- P = F/ B_r = 1,5 / 0,245 = 6,12 Am = Polstärke
= N /T = kg m A s²/s² A kg = m A
F = ½ (BH) A mit Stirnfläche des Magneten. Hier stehen sich zwei gleichnamige Magnetpole gegenüber, die den mag. Flussdichte im Luftspaltvolumen = V = A h erhöhen. Daraus folgt: F + F = F_ges. = (BH) A
Magnetwürfel mit Zusatzmasse
Bild 4.2.1.1
M = Magnetmasse = 38,3 g
m_i = Masse: 50g, 100g, 150g und 200g
h_i = Höhenabstand unter der Masse = m_i
h₀ = Grundhöhe = 25 mm bedingt durch die
Massenaufnahme, Teil 1 (Masse der Massenaufnahme unbekannt).
F_i= m_i g
F₁= m₁g = 50 g *9,81 kg/s²≈0,5 N
F₂= m₂ g = 100 g *9,81 kg/s²≈1,0 N
F₃= m₃ g = 150 g *9,81 kg/s²≈1,5 N
F₄= m₄ g = 200 g *9,81 kg/s²≈2,0 N
x_i: x₁= 16 mm, x₂ =13mm, x₃= 10 mm, x₄ = 8mm
Handversuch 4.3
F = 0,375 N ---x₀ = 30 mm,M = 38,3 g, L= 20mm
ΔB₀ = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N / 4π ( 1/x₀ ² - (L + x₀ ²) =
= 4π 10^-7 Wb/Am* /4π (1/(0,03m)²- 1/(0,05m)²)
= 10^-7 Wb/Am* P_N 711/ m² --- F₀ = 0,375 N
ΔB₁ = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N / 4π (1/x₁ ² - (L + x₁ ²)²) =
= 4π 10^-7 Wb/Am* /4π (1/(0,016m)²- 1/(0,036m)²)
= 10^-7 Wb/Am* P_N 3135/ m² --- F₁ = 0,5 N
ΔB₂ = (BN - Bs) = µ₀ *P_N / 4π ( 1/x₂ ² - (L + x₂ ²)²) =
= 4π 10^-7 Wb/Am* /4π (1/(0,013m)²- 1/(0,033m)²)
= 10^-7 Wb/Am* P_N 4999/ m²--- F₂= 1, N
ΔB₃ = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N / 4π ( 1/x₃ ² - (L + x₃ ²)²) =
= 4π 10^-7 Wb/Am* /4π (1/(0,010m)²- 1/(0,030m)²)
= 10^-7 Wb/Am* P_N 8889/ m²--- F₃= 1,5 N
ΔB₄ = (B_N - B_S) = µ₀ *P_N / 4π ( 1/x₄ ² - (L + x₄ ²)²) =
= 4π 10^-7 Wb/Am* /4π (1/(0,008m)²- 1/(0,028m)²)
= 10^-7 Wb/Am* P_N 14350/ m²--- F₄= 2 N
F = ΔB P --- P =( F₀/b₀)^1/2=(F_1/b₁)^1/2=(F₂/b₂)^1/2=(F₃/b₃)^1/2=( F₄/b₄)¹
Die Faktoren: b₀ , b₁ , b₂ , b₃ , und b₄ lassen sich berechnen, somit kann die Polstärke = P berechnet werden. Im Versuch standen sich zwei gleiche Magnetwürfel gegenüber, somit ist der Wert ΔB mit 2 zu multiplizieren.
Spulen mit Fe-Kern
Zugmagnet - magnetisches Feld
Bild 4.3.1.1
a= Spulenabstand = 16 mm, L = 30 mm, Fe = Weicheisen-Stück(7,5 x30x1,5) mm,
A = Stirnfläche des Fe-Kern = 28,3 mm², x = 2 mm = Abstand Pol zu Weicheisenstück
U- = 1,5 V Liegt an den Spulen = U, kann das Eisenstück = Fe die Masse = m = 1kg nicht halten, bei U = -3,0V hält das Fe-Stück die Masse = m = 1 kg und kann eine Masse = 0,4 Kg von einen Abstand = x = 2 mm nicht anziehen. Bei U- = 12,0 V an den Spulen kann die Masse = m = 0,4 kg auf x = 2mm angezogen werden.
I = 12 A, Trafodaten in: 220V/50Hz, aus:
(1,5 - 12) V-, P = 25 W, U^~ = 9 V kann die Masse = m = 0,2 kg von einen Abstand = x =2 mm anhgezogen werden.
Trafodaten( in): 220V/50 Hz, (out): 9V/50Hz Spulendaten: N = 800 Windungen,
d = 0,25 mm--- A= 0,0625 mm², ρ_Cu= 0,172 Ω mm²/m, Klingel: Firma Kupp (U^~= 5 -8 V)
Bild 4.3.1.2
Es gilt: Fg/2 = F_m -- Σ F = 0 = - Fg + F_m +F_m ---F_g /2= F_m
Stoßmagnet - magnetisches Feld
Bild 4.3.2.1
I_A = Ausgangsstrom, erzeugt H_A , Nordpol (Experiment), 1= Grundplatte, 2= Spule
mit Fe-Kern, 3= Spule mit Fe-Kern, x = Polabstand, L = Spulenlänge, I_E = Eingangsstrom, A = Polfläche
Beide Spulen werden so zentriert, dass sich beide gleichnamigen Polflächen der Fe-Kerne gegenüberstehen. Dann wird der Eingangsstrom =I_E in die Spulen, und zwar in beiden so erhöht, dass sich ein Polabstand =x= 30mm einstellt.
Gleichstrom: Strom = I und Spannung = U werden notiert. Dann wird der
Versuch wiederholt mit Wechselstrom = I^~ , Schwingfrequenz = f des Schwingers
und f^~ = (10)1/s = Frequenz des Stromes.
Die Spulendaten: L = 40 mm = Spulenlänge, m_Fe/m_Cu= 1,3 mit m_Fe = 153g,
mcu= 118g, Ds =33 mm= Durchmesser der äußeren Kupferwicklung,
d_S =25mm= Fe-Kerndurchmesser
Die Spulendaten: N = 1644 Windungen, d_d = 0,3 mm = Drahtdurchmesser
Berechnung: F = 1/2 Φ H = 1/2 B A H = 1/2 B² A/µ₀
B = mag. Flußdichte (Induktion), H = mag. Feldstärke, A = Polfläche
µ₀ = mag. Feldkonstante =1,257*10^-6 V s/Am
Es stehen sich zwei gleichnamige Pole gegenüber und die stoßen sich ab.
Annahme
Φ = BA und B = 1 T (gewählt) und A = 490,6 mm²
Φ=BA=1*491=1T mm²
Aus einer Magnetisierungstabelle: B = 1 T------H = 0,3*10³ A/m
Θ_Fe = H_Fe *I_Fe =0,3*10³ A/m *0,04 m = 12A Durchflutung des Fe-Kerns
B = µ₀ H_L ----- H_L = B/ µ₀ = 1/1,257* 10^-6 = 0,795*10⁶ A/m
= 1 T m A/ Vs = Vs m A/ Vsm²=A/m
Θ_L= H_L*I_L =0,795*10⁶ A/m* 0,03 m = 23850 A
Gesamtdurchflutung: Θ = Θ_Fe + Θ_L =12A + 23850 A = 23862 A
Θ_L= N I ---- I = Θ/N = 2862 A/ 1644 = 14,5 A (Strom durch die Spule)
F = 1/2 B² A/µ₀ = 1/2 1² 4,9 * 1^-4/1,257*10^-6 = 182 N = A m T² m²/V s
= A m kg² m² s² A/s⁴ A² kg m² = kgm /s²N
Die Kraft entsteht, wenn durch die Spule ein Strom von I = 14,5A fließt
Kombinierte Stoßkraft: elektrisches - und magnetische Feld
Bild 4.4.1
1= Grundplatte, 2 = Spule, 3= Kondensator
k = Federkonstante, E = elektr. Feld,
B= magn. Feld, (+) = Pluspol, (-) = Minuspol
F = ½ Q_(-) *Q_(-)/4 πεr², Q = I t = C U
F = µ₀ *P_N * P_N/(4π r²)= 182 N,
P = F/B, B = µN I /L
F = B² /2µ₀ mit = µ₀ = µ₀µ_r.
B = µ₀ H = µ₀ N I/L. Hier stoßen sich beide Pole, und zwar der magn. wie auch der elektr. Pol ab.Φ = B A = mag. Fluß--- B =µ₀µ_r H, Ψ = DA = elektr. Fluß --- D =ε₀ε_r E. Der mag. Fluss ist im Fe-Kern genau so stark wie zwischen den Polen, also in Luft. Der elektr. Fluß hat als Quelle die pos. Ladungen und als Senke die neg. Ladungen des Kondensators.
Annahme
Der Kondensator wird mit U = 24 V geladen.
I =Q/t =14,5 A---Q=I t = 14,5 A 0,1 s = 1,45 As, t =T =2 π(k/m)^1/2= 2 π(LC)^1/2= 0,1s
Diese Ladungsmenge =Q pendelt zwischen Spule = L und Kondensator = C hin und her, und zwar in der Sekunde = s ca. 10-mal.
D. h. durch den Spulendraht fließt pro Periode die Ladungsmenge = Q.
Q = 1,45 As und erzeugt eine anziehende oder abstoßende Kraft auf den Platten.
F = ½ Q *Q/4 πεr²mit r = 30mm
F = ½ q * q/4 πεr² = 1/2(1,45*1,45/4 π 8,85*10^-120,032)= 1*10¹³N
Q = C U----C = Q/U = 1,45 As/24 V = 0,06 As/V= F mit s = 0,03 m
C= ε₀ε_r A /s -------A = C s/ ε₀ε_r=0,06F m 0,03 m/8,85*10^-12F
A = 2*10⁸m² (Kondensatorfläche !!)
Anmerkung
Atomabstand ca. 3-mal Atomdurchmesser,
Atomdurchmesser =D = 10^-10 m. A = 2*10⁸m² *10^-10
= 2*10^-2m², wenn an der Oberfläche die
Ladungen= Q in zwei Lagen im Abstand von 3*10^-10m verteilt sind.
Die elektrische Abstoßkraft darf nicht durch den Luftwiderstand kompensiert werden.
4.5 Thomson-Versuch
Bild 4.5.1 Thomson-Schwinger
1 = Spule,
2= Spulenanschlüsse,
3 = Fe-Kern der Spule (Fe-Stab),
4 = Al-Ring,
5 = Gestell,
6= Grundplatte,
f₁=f(U) = Frequenz.
Der Al-Ring =Teil 4 bewegt sich immer innerhalb des Fe-Kerns = Teil 3. Wird an den Klemmen = Teil = 2 der Spule= Teil 1 eine Spannung = U angelegt, wird der Al-Zylinder von der Spule wegbewegt. Beim Anlegen der Spannung an die Spule fließt ein Strom durch die Spule - Einschaltvorgang - genauer durch den Spulendraht (Kupferdraht),
und baut um den Spulendraht ein Magnetfeld auf.
Annahme
Primärspule = 300 Windungen, Sekundärspule = 1 Windung, U^~ = 150 V Wechselspannung. Beim Einschalten des Spulenstroms -Wechselstrom durch die Primärspule -wird der Al-Ring emporgeschleudert.
Bei eingeschalteter Primärspule, kann der Al-Ring zur Schwebe gebracht werden, indem der Strom abgestimmt wird, dabei erwärmt er sich sehr stark, denn durch den Al-Ring fließt ein starker Strom = I₂
U₁/U₂= N₁/N₂ und I₁/I₂ = N₂/N₁.
Mit P = U I = U₁I₁ = (N₁/N₂) U₂* (N₂ /N₁)I₂ = U₂*I₂ (ohne Verluste)
Schwingen mit Zylindermagneten
Bild 4.6.1
gekoppelte Schwinger
B₁, B₂ = Magnetfeld = B = B-Feld, m₁, m₂ = Massen, k₁,k₂ = Federkonstante, x = Auslenkung, I = Federlänge, φ₁, φ₂ = Grundauslenkung durch das B-Feld aus der Vertikalen = V
x₀ = I φ₁= I φ₂, F_F = x k = Federkraft,
Fm= µo p₁ p₁/2 π h²= Magnetkraft,
Fm = p₂ B = Magnetkraft,
B₁ = µ₀ p1/2 π h² = mag. Induktion,
P_1,p₂ = Polstärke.
In den Zylindermagneten können Spulen mit Fe-kern (Bild 4.3.2) eingesetzt werden, und zwar in der Innenbohrung, damit kann die Abstoßkraft variiert werden. Setzen wir anstelle der Spule zwei Platten - Kondensatorplatten- in die Innenbohrung ein, entsteht eine kombinierte Abstoßkraft (Blid 4.4).
Zylindermagnete mit den Daten
Außendurchmesser = D₂ = 21 mm, Innendurchmesser = d₂ = 7,5 mm, Dicke = s₂ = 6,0 mm, Masse = m₂ = 8,7 g. Ein Ringmagnet wird auf eine DIN-A4-Heftleiste aus
Federstahl befestigt.
Federstahl: 0,2 mm dick, 10 mm breit und 95 mm lang (Einspannlänge = 70 mm) befestigt. Dann werden zwei von diesen Schwingern auf einer Gewindestange geschraubt, so dass sie sich beim Schwingen gegenseitig beeinflussen. Dieser Versuchsaufbau entspricht dem Bild 4.6.1 mit I = 70 mm, m₁ = m₂ = 17,4 g (zwei Ringmagnete an einer Blattfeder). Der Einspannabstand ist H_E = 20 mm, und h = 25 mm ist der Ringmagnetenabstand, erzeugt durch das Magnetfeld. Die Schwinger S₁ und S₂ werden um x = 22 mm ausgelenkt und zum Schwingen losgelassen. Die Schwinger sind gleich (m = Masse, k = Federkonstante, usw.), schwingen sie einzeln, ist ihre Frequenz = f gleich oder die Periodendauer = T. Die Magnetkraf t= F_M= ½ BHA ist gleich der Auslenkkraft= Federkraft= F_F = k x. Werden die Schwinger ausgelenkt und losgelassen, wirken die Rückstellmomente: M₁ und M₂.
M₁ = - F_F1 I φ₁ - F_m1 I (φ₁ - φ₂) und M₂ = - F_F2 I φ₂ + F_m2 I (φ₁ - φ₂). Schwingen die Schwinger mit gleicher Phase, ändert sich der Abstand = H_E zwischen ihnen nicht. Wirken zwei Drehmoment = M₁ und M₂ in der gleichen Richtung an jedem Schwinger, ändert sich der Abstand zwischen den Magneten, sie werden verschieden ausgelenkt. Werden die Schwinger zum Schwingen freigegeben, wirken die Drehmomente M₁ und M₂, das sind die Drehmomente, die die Drehbeschleunigung (Winkelbeschleunigung) cp°°₁ = M1/J auslösen.
φ°°₂ = M2/J mit J = Massenträgheitsmoment
φ°°₁ J = - F_F1 I φ₁ - F_m1 I (φ₁ - φ₂)
φ°°₂ J = - F_F2 I φ₂ + F_m2 I (φ₁ - φ₂ )
φ°°₁ J + F_F1 I φ₁ + F_m1 I(φ₁ - φ₂)= 0 mit (F_F1 I+ F_m1 I) /J = ω₀₁ ² und F_m1I/J = β₀₁ ²
φ°°₂ J + F_F2 I φ₂ - F_m2 I (φ₁- φ₂)= 0mit (F_F2I+ F_m2I)/J = ω₀₂ ² und F_m2I/J = β₀₂ ²
φ°°₁ + ω₀₁ ² φ₁ = - β₀₁ ²(φ₁ - φ₂) (1)
φ°°₂ + ω₀₂ ² φ₂ = β₀₂ ² (φ₁ - φ₂) (2) gekoppelten Dgl.
Subtrahieren: (1) minus (2) d²/dt² (φ₁ - φ₂) + ω₀ ² (φ₁ - φ₂) = - β₀ ²(φ₁ - φ₂)
addieren: (1) plus (2) d²/dt² (φ₁ + φ₂) + ω₀ ² (φ₁ + φ₂) = β₀ ² (φ₂ + φ₁)
mit x₁ = (φ₁ - φ₂) = I (φ₁ - φ₂) und x₂ = (φ₁ + φ₂) = I (φ₁ + φ₂)
x°°₁+ ω₀ ² x₁ = - β₀ ² x₁------ x°°₁ + (ω₀ ² + β₀ ²) x₁ = 0 mit (ω₀ ² + β₀ ²) = ω₁ ²
x°°₂ + ω₀ ² x₂ = β₀ ² x₂------- x°°₂ + (ω₀ ² - β₀ ²) x₂ = 0 mit (ω₀ ² - β₀ ²) = ω₂ ²
x°°₁+ω₁ ² x₁ = 0 und x°°₂ + ω₂ ² x₂ = 0 Dgl. mit den Lsg: x₁ und x₂
x₁ = a₁e^ω1t + b₁e^-ω1t und x₂ = a₂e^ω2t + b₂e^-ω2t
Die Rückumformung: x₁ = (φ₁ - φ₂) und x₂= (φ₁ - φ₂)
x₁-φ₁=-φ₂---x₁-φ₁=-φ₂,-x₁+φ₁=φ₂
x₂ = (φ₁- x₁+φ₁)----(x₂+x₁)/2=φ₁=φ₂
x₂=((x₂+x₁)/2-φ₂)----(x₂-x₁)/2=φ₂
Anmerkung zum Ansatz:
φ₁(t)=(x₂+x₁)/2=1/2(a₂e^ω2t + b₂e^-ω2t + a₁e^ω1t + b₁e^ω1t) (3)
φ₁(t)= (x₂+x₁)/2=1/2 (a₂ cos ω₂t+b₂sin ω₂t+a₁ cos ω₁t + b₁ sin ω₁t) (3)
φ₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (a₂e^ω2t+b₂e^-ω2t -a₁e^ω1t +b₁e^-ω1t) (4)
φ₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (a₂ cos ω₂t + b₂sin ω₂t - a₁ cos ω₁t + b₁ sin ω₁t (4)
φ°1(t) = (x₂+x₁)/2= 1/2 (-a₂ω₂sin ω₂t + b₂ω₂cos ω₂t - a₁ω₁sin ω₁t + b₁ω₁ cos ω₁t) (5) φ°₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (-a₂ω₂sin ω₂t+ b₂ω₂cos ω₂t + a₁ω₁sin ω₁t + b₁ω₁ cos ω₁t) (6)
Die Ansätze sind gleichwertig: Euler-Gleichungen
φ₁(t)= (x₂+ x₁)/2= 1/2 (a₂ cos ω₂t +a₁ cos ω₁t + b₂sin ω₂t + b₁ sin ω1t) (3)
φ₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (a₂ cos ω₂t - a₁ cos ω₁t + b₂sin ω₂t - b₁ sin ω₁t) (4)
φ°₁(t) = (x₂+x₁)/2= 1/2 (-a₂ω₂sin ω₂t - a₁ω₁sin ω₁t + b₂ω₂cos ω₂t + b₁ω₁ cos ω₁t) (5)
φ°₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (-a₂ω₂sin ω₂t + a₁ω₁sin ω₁t + b₂ω₂cos ω₂t - b₁ω₁ cos ω₁t) (6)
Fall 1: Beide Schwinger S₁ und S₂ werden nach einer Seite ausgelenk und zwar nach (+) = positiv
Bild 4.6.2 Randbedingungen von (3), (4), (5) u. (6).
Das sind die Zylindermagnete (Dauermagnete) von Bild 4.6.1. Die Anfangsbedingungen sind hier anders, beide Schwinger S₁ und S₂ werden getrennt ausgelenkt. Die Auslenkung ist gleich gerichtet und hat den gleichen Betrag = Winkel = φ₀.
Randbedingungen
φ₁(t=0) = φ₂(t=0) = φ₀
φ₁(t=0) = (x₂+x₁)/2= 1/2 (a₂+a₁+0+0) = φ₀
φ₂(t=0) = (x₂-x₁)/2= ½ (a₂ - a₁+ 0-0) = φ₀
φ°₁(t=0) = (x₂+ x₁)/2= 1/2 (-0 -0 + ω₂ b₂ + ω₁ b₁) = 0
φ°₂(t=0) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (-0 +0 +ω₂ b₂ - ω₁ b₁) = 0
| ω₂ b₂ ω₁ b₁ | = 0
| ω₂ b₂ -ω₁ b₁ |= 0, -ω₂ b₂ω₁ b₁- ω₁ b₁ω₂ b₂= -2ω₂ b₂ω₁ b₁ = D
|0 ω₁ b₁ |= ω₂ b₂
| 0 -ω₁ b₁ |=ω₂ b₂, -0 - 0= 0 = D₁--- D₁/D = 0 damit ist b₁ = 0
ω₂ b₂ 0 | = ω₁b₁
ω₂ b₂ 0 | = -ω₁ b₁, 0 - 0= 0 = D₂---- D₂/D = 0 damit ist b₂= 0
φ₁(t=0) = (x_2(t=0)+ x_1(t=0))/2 = ½ (a₂ +a₁), φ₂(t=0) = (x_2(t=0)- x_1(t=0))/2 = ½ (a₂ -a₁)
φ₁(t)= φ₂(t) = φ₀ cos ω₂t= φ₀ cos ω₁t mit ω1² = (ω₀ ² + β₀ ²), F_m1 I/J = β₀ ² = 0
ω2² = (ω₀ ² - β₀ ²) = ω₁ ²
Beide Schwinger schwingen mit gleicher Phase = ω₂t = ω₁t, gleicher Amplitude = φ₀ und gleicher Frequenz =ω₂= ω₁ so, als ob die Kopplung des (B-Feld = B) nicht vorhanden wäre. Die Schwinger, der Schwingvorgänge, bedingen die Energieformen:
Spannenergie =potentielle Energie : E_F = ½ k x²
Kinetische Energie = E_kin = ½ m x°²
mag. Energie = E_mag = BH V mit F = p₁ B = µ₀ p₁ p₂/h²--- B = µ₀ p_2/h² = µ₀ p₂H A h / h² = µ₀ p₂H A /h
Bei der gleichsinnigen Schwingung ist die mag. Energie quasi aufgehoben, sie ist unabhängig von der Stärke der Kopplung. Es findet nur die Energieumformung zwischen E_kin = ½ m x°² und E_F = ½ k x² also zwischen der kin.- und der Spannenergie statt, es gilt: E_ges= E_kin + E_pot = konst.
Fall 2: Beide Schwinger = S₁ u. S₂ werden nach entgegengesetzten Seiten ausgelenkt. Diese Schwingsituation tritt bei den Schwingern in der Schwingmaschine nicht auf, stellt somit einen theoretische Betrachtung der Schwinger im Bild 4.6.3 dar.
Bild 4.6.3 Randbedingungen von (3) und (4)
- φ₁(t= 0) = φ₂(t=0) = φ₀
-φ₁(t=0) =- (x₂+x₁)/2= -1/2 (a₂ +a₁ +0 +0) = φ₀
φ₂(t=0) = (x₂-x₁)/2= 1/ 2 (a₂ - a₁+ 0- 0) = φ₀
-φ°₁(t=0) =- (x₂+ x₁)/2= -1/2 (-0 -0 + ω₂ b₂ + ω₁ b₁) = 0
φ°₂(t=0) = (x₂- x₁)/2= 1/2 (-0 +0 +ω₂ b₂ - ω₁ b₁) = 0
-φ₁(t=0) = -1/ 2 (a₂ +a₁) = φ₀----- φ₁(t)=- φ₀cos ω₁t, mit ω₁ ² = (ω₀ ² + β₀ ²),
-φ₂(t=0) =-1/2 (a₂-a₁) = φ₀----- φ₂(t) = φ₀cos ω₂t, mit ω₂ ² = (ω₀ ² - β₀ ²),
φ₂(t) = φ₀cos (ω₁t - π), mit ω₂ ² = (ω₀ ² - β₀ ²) φ₂(t) = φ₀cos (ω₁t - π +π) = φ₀cos (ω₁t) mit = ω₂= ω₁ Beide Schwinger schwingen mit dem Phasensprung = (ω₀ ² + β₀ ²)t = (ω₀ ² -β₀ ²)t β₀ ²t= - β₀ ²t --- β₀ ²t= β₀ ²t - π --- Phasensprung = π und gleicher Amplitude = φ₀.
Amplitude = φ₀ und gleicher Frequenz = ω₂ = ω₁
Der Schwingvorgang bedingt die Energieformen: Spannenergie =potentielle Energie : E_F = ½ k x², kinetische Energie = E_kin = ½ m x°² und mag. Energie = E_mag = BH V mit F = p₁ B = µ₀ p₁ p₂/h²--- B = µ₀ p_2/h² = µ₀ p₂H A h / h² = µ₀ p₂H A /h.
Im Zeitpunkt t = 0 sind beide Schwinger max. ausgelenkt, sie haben die Spannenergie =
E_F = ½ k x². Werden die Schwinger zum Schwingen freigegeben, bewegen sie sich beschleunigt aufeinander zu und prallen am Nulldurchgang aufeinander ---
E_F1 = ½ k x²,E_F2 = ½ k x², E_F1 = - E_F2, ½ k x² = - ½ k x²
Es ist ein ideal elastischer Stoß und je nach magn. Kopplung werden die Massen = m₁ = m₂ (Magnete oder Spulen) wieder in entgegengesetzter Richtung zum Wendepunkt beschleunigt. Am Nulldurchgang ist E_pot= k x² = 0, dies wiederholt sich x-mal, bis sich die umwandelbaren Energien (E_kin, E_pot) nicht mehr in rückzuführende Energien umgewandeln lassen. ω₁ ² = (ω₀ ² + β₀ ²) --- ω₁ = (ω₀ ² + β₀ ²)^1/2 (7)
ω₂ ² = (ω₀ ² - β₀ ²) --- ω₂= (ω₀ ² - β₀ ²)^1/2 (8)
Eine gedämpfte Schwingung kommt nur zustande, wenn in (8) ω₀ > β₀ ist. Ist dies nicht der Fall, also ω₀ ≤β₀, so kehren die Schwinger nach einmaligem Ausschlag asymptotisch in die Ruhelage zurück (Kriechfall), am schnellsten, wenn ω₀ = β₀ (aperiodischer Grenzfall).
Von Schwingungen kann nur gesprochen werden, wenn die Schwinger den Nulldurchgang durchschwingen. Hier ist der Nulldurchgang die Stoßlinie, so dass die Bewegung der Schwinger hier endet. Sie „schwingen“ eventuell ohne den Nulldurchgang zu passieren zum Ausgangspunkt zurück...
Fall 3: Ein Schwinger = S₁ wird am Nulldurchgang festgehalten, der andere (S₂) wird zur pos. Richtung ausgelenkt.
Bild 4.6.4 Randbedingungen von (3) und (4)
φ₁(t= 0) = φ₂(t=0) = φ₀
φ₁(t=0) = (x₂+x₁)/2= 1/2 (a₂+a₁+0+0) = φ₀
φ₂(t=0) = (x₂-x₁)/2= 0
φ°₁(t=0) = (x₂+ x₁)/2= 1/2 (-0 -0 + ω₂ b₂ + ω₁ b₁) = 0
φ°₂(t=0) = (x₂- x₁)/2= 1/2 (-0 +0 +ω₂ b₂ - ω₁ b₁) = 0
φ₁(t)= (x₂+x₁)/2= 1/2 (a₂ cos ω₂t + b₂sin ω₂t + a₁ cos ω₁t + b₁ sin ω₁t) (3)
φ₂(t) = (x₂-x₁)/2= 1/2 (a₂ cos ω₂t + b₂sin ω₂t - a₁ cos ω₁t + b₁ sin ω₁t (4)
φ₁(t=0) = 1/2 (a₂+a₁) = φ₀, φ₁(t)= φ₀ cos ω₂t + cos ω₁t mit ω₁ ² = (ω₀ ² + β₀ ²),
φ₂(t=0) =1/2 (a₂ -a₁) = 0, φ₂(t) = -φ₀ cos ω₂t + cos ω₁t mit ω₂ ² = (ω₀ ² - β₀ ²),
Der Schwinger = S₂ schwingt auf den ruhenden Schwinger = S₁ zu. Beim ideal elastischen Stoß am Nulldurchgang wird der Schwinger S₁ ausgelenkt und beide Schwinger schwingen dann zurück und vollziehen Schwingungen wie im Fall 1. Die Anregungsenergie des Schwingers = S₂, die den Schwingvorgang in Gang setzte, wird dann von beiden Schwingern beim Schwingen aufgebraucht.
Spannenergie =potentielle Energie : E_F = ½ k x²
Kinetische Energie = E_kin = ½ m x°²
Mag. Energie = E_mag = BH V mit F = p₁ B = µ₀ p₁ p_2/h²--- B = µ₀ p_2/h²
= µ₀ p₂H A h / h² = µ₀ p₂H A /h
Zum Zeitpunkt t = 0 hat Schwinger = S₁ keine Energie und Schwinger = S2 hat nur Spannenergie = E_F = ½ k x². Beim Zusammenstoß der Schwinger wird kin.
Energie=E_kin = ½ m x°² des Schwingers = S₂ in Schwingungsenergie umgewandelt
E_schw = E_kin + E_F = 1/2 m x°² + 1/2 kx²
ω₁ ² = (ω₀ ² + β₀ ²) --- ω₁ = (ω₀ ² + β₀ ²)^1/2 (7)
ω₂ ² = (ω₀ ² - β₀ ²) --- ω₂= (ω₀ ²- β₀ ²)^1/2 (8)
Eine gedämpfte Schwingung kommt nur zustande, wenn in (8) ω₀> β₀ ist. Ist
dies nicht der Fall, also ω₀≤ β₀, so kehren die Schwinger nach einmaligem Ausschlag asymptotisch in die Ruhelage zurück (Kriechfall), am schnellsten,
wenn ω₀= β₀ (aperiodischer Grenzfall).
Fall 4: Wie Fall 1, nur dass der Schwinger = S₁ periodisch durch einen gleichen
Magneten angestoßen wird. Beide Schwinger= S₁ u. S₂ werden nach einer Seite ausgelenkt, und zwar nach (+).
Bild 4.5
Randbedingungen von (3), (4), (5) u. (6)
φ₁(t= 0) = φ₂(t=0) = φ₀
φ₁(t=0) = (x₂+x₁)/2= 1/2 (a₂+a₁+0+0) = φ₀
φ₂(t=0) = (x₂-x₁)/2= ½ (a₂ - a₁+ 0- 0) = φ₀
φ°₁(t=0) = (x₂+ x₁)/2= 1/2 (-0 -0 + ω₂ b₂ + ω₁ b₁) = 0
φ°₂(t=0) = (x₂ - x₁)/2= 1/2 (-0 +0 +ω₂ b₂ - ω₁ b₁) = 0
Sind die beiden Schwinger ausgelenkt, und zwar um φ₀, und werden sie zum Schwingen freigegeben, schwingen unter gegenseitiger Beeinflussung durch den Schwinger = S₃, der sie periodisch anstößt. Der Schwingvorgang lässt sich so veranschaulichen. Nach dem Auslenken beider Schwinger erfolgt die Anregung untereinander durch die Kopplung - Magnetfeld -. Sie vollführen Schwingungen durch den Nulldurchgang, der vom Nulldurchgang des einzelnen Schwingers verschieden ist. Wirkt auf dieses schwingungsfähige System gleicher Kopplung von außen eine konstante Kraft = F_m periodisch ein, so wird das System von der äußeren Kraft zum Mitschwingen angeregt, das System vollzieht erzwungene Schwingungen. Rückstellkraft = F_R , Dämpfungskraft = F_D , Erregerkraft = F_E .
Dann lautet das Grundgesetz der Dynamik:
F_E + F_R + F_D = m x°°--- F₀ cos ω_E t - kx-ßx° = mx°° mit ß/m = 2δ, k/m = ω² ₀,
x°°+ 2 δ x° + ω² ₀ x = (Fo/m) cos ω_E t --- Dgl. der erzwungenen Schwingung.
Lsg. der homg. Dgl.:
x = A1 sin (ω₀ t) + A2 cos (ω₀ t)
x° = A1ω₀ cos (ω₀ t) - A2 ω₀ sin (ω₀ t)
x°° = - A1ω₀ sin (ω₀ t) - A2 ω² ₀ cos (ω₀ t)
x°°+ 2 δ x° + ω² ₀ x = 0
- A1ω² ₀ sin (ω₀ t) - A2 ω² ₀ cos (ω₀ t) + 2 δ A1ω₀ cos (ω₀ t) - A2 ω₀ sin (ω₀ t)+
A1ω² ₀ sin (ω₀ t) + A2 (ω² ₀cos (ω₀ t) = 0
+ 2 δ A1ω₀ cos (ω₀ t) - 2 δ A2 ω₀ sin (ω₀ t) = 0
Alcos (ω₀ t) - A2 sin (ω₀ t) = x = x_h --- Lsg. der hom. Dgl. x_h = A1cos (ω₀ t) - A2 sin (ω₀ t)
F₀/m cos(ω_E t) = Erregerfunktion = Störfunktion. Mit A₁ = Fo/m und A₂ = 0 wird
die Lsg. der hom. Dgl ein Glied der Erregerfunktion ---- Resonanz: ω₀ = ω_E
Variation der Konstanten
x = z1 cos(ω_E t) , x° = z°1 cos(ω_E t) - z1ω_E sin(ω_E t) mit z°1 cos(ω_E t) =0
x°° = - z°1ω_E sin (ω_E t) - z1ω² _E cos (ω_E t)
x°°+ 2 δ x° + ω² ₀ x =(F₀/m) cos ω_E t mit ω² ₀ =ω² _E
- z°1ω_E sin (ω_E t) - z1ω² _E cos (ω_E t) +2 δ(- z1ω_Esin(ω_E t) + z₁ ω² _Ecos(ω_E t) = (F₀/m) cos ω_E t
- z°1ω_E sin (ω_E t) -2δ z1ω_E sin(ω_E t) = (F₀/m) cos ω_E t mit - z°1ω_E sin (ω_E t) = 0
-2 δ z1ω_E sin(ω_E t) = (F₀/m) cos ω_E t
z1= - (F₀/m) cos ω_E t /2 δω_E sin(ω_E t) = - (F₀/m) cot ω_E t /2 δω_E
x = z1 cos(ω_E t) = - (F₀/m)cos(ω_E t)*cot ω_E t /2 δω_E, Mit ß/m = 2δ,
x = - F₀ COS(ω_E t)*cot ω_E t / ßω_E
Ist das System aus Schwinger- und Erregerkraft eingeschwungen, schwingt das System mit der Frequenz des Erregers und ist gegenüber dem Erreger um den Phasenwinkel = φ verschoben. Die Erregerkraft wirkt periodisch und hat die Frequenz = ω_E. Nach der Einschwingphase ist ω₀ = ω_E, das sind die Bedingungen für Resonanz. Ist das System ungedämpft, wächst die Amplitude unendlich an, die Folge ist eine Resonanzkatastrophe, im gedämpften Fall steigt dagegen die Amplitude bei Resonanz lediglich bis auf einen endlichen Maximalwert der Auslenkung an, bei dem die nicht umwandelbare Energie pro Periode gerade der zugeführten Erregerenergie ist. Ist die Erregerfrequenz = ω_E niedriger als die Resonanzfrequenz = ω_R, so schwingen Erreger und Resonator gleichphasig, die Phasenverschiebung = φ der beiden Schwingungen ist Null. Ist ω_E >> ω_R, dann schwingen Erreger und Resonator gegenphasig, die Phasenverschiebung = φ beträgt in diesen Fall φ = 180°. Die wichtigste Eigenschaft aller schwingungsfähigen Systeme ist die Periodizität. Die periodisch wiederkehrende Größe ist die Auslenkung = x(t) = x(t + T) mit T = Periode oder Schwingdauer einer vollen Schwingung, d.h. Hin - und Hergang.
Impuls- und Energieerhaltung
Bild 4.7.1 - 4.7.9:
Mit den Bildern 4.7.1- 4.7.9 soll die Impulserhaltung erklärt werden. Der Versuch ist abgewandelt und ist bekannt als Kugelspiel, d.h. Kugeln (Metallkugeln) hängen an einem dünnen Faden und wahlweise werden eine oder zwei Kugeln ausgelenkt und losgelassen, so dass sie gegen die ruhenden Kugeln stoßen. Immer fliegen so viel Kugeln von den ruhenden Kugeln fort, wie ausgelenkt werden (Impulserhaltung).
Die Magnete sind auf Blattfedern montiert. Die Pfeile symbolisieren das Magnetfeld.
Es gilt: F_F = F_M, F_F = Federkraft, F_M = Magnetkraftkraft.
Impulserhaltung
Bild 4.7.1 -4.7.3: Der Magnet ist ausgelenkt, wird er losgelassen, wirkt die Federkraft=F_F durch die Auslenkung = x. Durch die Federkraft wird die Masse = m= Magnet mit x°°m = k x---- x°° = k x/ m beschleunigt. Mit action = reactio (Aktion = Reaktion), gemeint ist die Kraft = F = m x°°, mit der der ausgelenkte Magnet gegen den ruhenden Magneten stößt. Beide Magnete beeinflussen sich gegenseitig, stoßen sich gegenseitig, so dass jeder Schwingungen um seinen Ruhelage ausführt, sich ursprüngliche Zustand, wieder einstellt.
Bild 4.7.4 - 4.7.6 bestätigt den Versuch von Bild 4.7.1 - 4.7.3, nur dass jetzt der ausgelenkte Magnet gegen 4 Magnete stößt. Es wird nur ein Magnet ausgelenkt und die Magnete zwischen stoßenden und gestoßenen Magneten bleiben in Ruhe (Annahme).
Bild 4.7.7 - 4.7.9 bestätigt den Versuch von Bild 4.7.4 -4.7.6, nur dass jetzt zwei Magnete ausgelenkt werden und nach dem Loslassen gegen 3 ruhende Magnete stoßen. Zwei Magnete stoßen gegen drei ruhende Magnete stoßen. Die Stöße sind ideal elastisch und können mit den Magnetstößen im Betrieb bei der Schwingmaschine verglichen werden.
Impulserhaltungssatz: m₁v₁+m₂ v₂= m₁ v_n1 + m₁v_n2 (1) Index: n = nach Energieerhaltungssatz: m₁ v² ₁+m₂ v² ₂ = m₁ v_n1 ² + m₁ vn₂ ² (2) x° = v
(2) / (1) = m₁ v² ₁/m₁v₁ = v₁ , m₂ v² ₂/m₂ v₂ = v₂,
m₁ v_n1 ² /m₁ V_n1= V_n1, m₁ v_n2 ²/ m₁V_n2= V_n2 (3)
(3) v₁ + v₂ = v_n1 +v_n2, setzen wir (3) in (1) ein, erhalten wir die Geschwindigkeit der beiden Körper nach dem Stoß
v_n1 =v₁(m₁ - m₂) / (m₁+m₂) + v₂ 2 m₂ ((m₁+m₂) (4)
v_n2 =v₂(m₁ - m₂)/ (m₁+m₂) + v₁ 2 m₁ ((m₁+m₂) (5)
(4), (5) die Geschwindigkeit der Körper unmittelbar nach dem Stoß.
2 Schwinger mit den RB =Randbedingungen: Bild 4.7.1-3
Schwinger = 1: ruht: x°=0, x°° = 0
Schwinger = 2: stößt mit x°=0, x°°≠0 gegen Schwinger 1 mit x = Weg, x° = Geschwindigkeit, x°° = Beschleunigung, k = Federkonstante, m = Masse
(1), (2) vor dem Stoß
(1) E_Kin1= 1/2m₁x₁°² = E_pot1= 1/2k₁x₁ ² = 0 (die Feder ist ungespannt)
(2) E_Kin1= 1/2m₂X₂°² =0, E_pot2= 1/2k₂X₂≠² (die Feder ist gespannt)
(1),(2):E_Kin1= 0+ 0 +0+1/2k₂ x₂ ²= konst. (vor dem Stoß)
(1),(2): E_Kin1= 1/2m₁x₁°² +1/2m₂ x₂°² +1/2k₁x₁ ²+1/2k₂ x₂ ²= konst.(nach dem Stoß)
= 1/2m₁ (x₁°²+x₂°²)+1/2k₁(x₁ ²+x₂ ²)= konst.
5 Schwinger mit den RB =Randbedingungen: Bild 4.7.4-6
Schwinger = 2, 3, 4, 5: ruht: x°=0, x°° = 0
Schwinger = 1: Stößt mit x°≠0, x°°≠0 gegen die Schwinger 2,3,4,5 mit x = Weg,
x° = Geschwindigkeit, x°° = Beschleunigung, k = Federkonstante, m = Masse (1), (2,3,4,5) vor dem Stoß j = 1,2,3,4,5
(j₌2,3,4,5) E_Kin,j= 1/2m_jx_j°² = E_pot,j= 1/2k_jX_j ² = 0 (die Federn sind ungespannt)
(j=1) E_Kin1= 1/2m₁x₁°² = 0, E_pot1= 1/2k₁x₁ ²≠0 (die Feder ist gespannt)
(1), (2,3,4,5) nach dem Stoß j = 1,2,3,4,5
(j=1,2,3,4) E_Kin,5= 1/2m_jx_j°² = E_pot,j= 1/2k_jX_j ² = 0 (die Federn sind ungespannt)
(j=5) E_Kin5= 1/2m₅x₅°²≠0 E_pot5= 1/2k₅x₅ ²≠0 (die Feder ist gespannt)
Die Energie des 1. Schwingers wird auf alle Schwinger übertragen. Alle
Schwinger stehen dicht beieinander, so dass die Energie so schnell durch die
Schwinger = 2,3,4 übertragen wird, dass keine Bewegung sichtbar ist. Der
Schwinger 5 ist ohne Gegenkraft, an den Schwinger 2,3,4 ist die Gegenkraft: die Federkraft = F_F = k x und die Trägheitskraft = F_T= -m a und somit wirkt die
Energie des 1. Schwingers direkt auf ihn und er wird abgestoßen.
5 Schwinger mit den RB =Randbedingungen: Bild 4.7.7-9
Schwinger = 3, 4, 5: ruht: x°=0, x°° = 0
Schwinger = 1, 2: Stößt mit x°=0, x°°≠0 gegen die Schwinger = 3,4,5mit x = Weg,
x° = Geschwindigkeit, x°° = Beschleunigung, k = Federkonstante, m = Masse (1, 2), (3, 4, 5) vor dem Stoß j = 1, 2, 3, 4, 5
(j = 3, 4, 5) E_Kin,j= 1/2m_jx_j°² =E_pot,j= 1/2k_jX_j ² = 0 (die Federn sind ungespannt)
(j = 1, 2) E_Kinj= 1/2m_jx_j°² = 0, E_pot,j= 1/2k_jx_j ²≠0 (die Feder ist gespannt)
(1, 2), (3, 4 ,5) nach dem Stoß j = 1,2,3,4,5
(j = 1, 2, 3,) E_Kin,5= 1/2m_jx_j°² = E_pot,j= 1/2k_jX_j ² = 0 (die Federn sind ungespannt)
(j = 4, 5) E_Kin5= 1/2m₅x₅°²≠0 E_pot5= 1/2k₅X₅ ²≠0 (die Feder ist gespannt)
Die Energie des 1 und 2. Schwingers wird auf alle Schwinger übertragen. Alle Schwinger stehen dicht beieinander, so dass die Energie so schnell durch die Schwinger = 3, 4, 5 übertragen wird, dass keine Bewegung sichtbar ist. Die Schwinger = 4, 5 sind ohne Gegenkraft, an den Schwinger = 2, 3, 4 ist die Gegenkraft, die Federkraft = F_F = k x und die Trägheitskraft = F_T= -m a und somit wirkt die Energie des 1.u. 2. Schwingers direkt und sie werden abgestoßen. Zugeführte Energie = abgeführte Energie - nicht rückführbare Energie.
U-Magneten-Schwinger
Bild 4.8.1
1 = Einspannung
2 = Blattfeder
3 = Blattfeder
4 = U-Magnet
5 = U-Magnet
6 = U-Magnet
7 = Motor
8 = Lager
9 = Befestigung
10 = Auflage
11 = Spulen mit Fe-Kern
12 = Polschuh
13 = Weicheisen
14 = Rahmen
L = Länge, l = Länge, H = Höhe
d = Durchmesser.
U-Magnet der Firma: IBS-Magnete
U-Magnetdaten: m = 55 g, Haftkraft = F = 45 N, L = 30 mm, l = 15mm
H = 20 mm, d = 4 mm, Werkstoff: AINiCo
Stehen sich gleichnamige Magnetpole gegenüber, stoßen sie sich ab. Das gilt auch für die Pole der U-Magnete. Für die Haftkraft = F gilt, wenn der U-Magnet an einem
Weicheisenstück haftet, kann er mit einer Kraft = F = ½ BHA (B= magn, Induktion, H = mag. Feldtärke, A = Haftfläche) belastet werden. Wird das Weicheisenstück durch einen zweiten U-Magneten ersetzt, gilt: = F = BHA, d.h. die Belastbarkeit nimmt zu, und zwar um das doppelte. Halten wir den Abstand = a der beiden U-Magnete konstant und ist der Abstand so, das die Anziehungskraft = F (es stehen sich gleichnamige Magnetpole, Magnet = 5 und 6, gegenüber) wirkt, dreht sich der U-Magnet = 5 mit, wenn sich der Motor = 7 dreht. Halten wir jetzt den U-Magneten = 5 fest und dreht der Motor = 7 weiter, spüren, wir die Anziehungskraft, wenn sich ungleichnamige Magnetpole und die Abstoßkraft, wenn sich gleichnamige Magnetpole gegenüberstehen. Schalten wir den Motor = 7 ab, und positionieren wir Magnet = 5 und 6 mit gleichnamige Magnetpole gegenüber und verringern wir den Abstand = a, wirkt nicht nur die Anziehungskraft, sondern die Magnete werden gegeneinander verdreht, es wirkt ein Drehmoment = M. Beide U-Magnete, die Teile 5 und 6, sind Massen und sind am freien Ende der Blattfedern, Teile 2 und 3, befestigt, und zwar drehend. Lenken wir die Blattfedern aus und lassen sie mit gleicher Phase schwingen, beibt der Abstand = a konstant, es wirkt die Anziehungs- oder Abstoßungskraft der Magnete. Synchronisieren wir die Schwingung der Magnete kann die Magnetkraft gezielt eingesetzt werden, um Schwingverluste auszugleichen.
Versuch 1:
Nähert sich der U-Magnet = 6 den U-Magneten= 5 bis auf 7 mm, wirkt die Anziehungskraft der U-Magnete. Entfernt sich der U-Magnet = 5 jetzt vom U-Magneten = 6, wird der U-Magnet = 6 mitgezogen. Der U - Magnet = 6 zieht den U-Magneten = 5 mit und erst, wenn die Mitnahme über eine Strecke von 22 mm erfolgt, lösen sich die Magnete voneinander,
die Anziehungskraft (F = BHA (2 Magnete)) ist gleich der Federkraft (F = k x (k= Federkonstante)).
Versuch 2: (noch nicht realisiert, U-Magnete als Schwingaufsatz)
Dreht die Motorwelle mit der Drehzahl = n und entspricht die Drehzahl der Schwingfrequenz = f ist der Schwingvorgang abgestimmt, wenn sich immer gleichnamige Magnetpole während des Schwingvorgangs gegenüberstehen. Die Blattfeder Schwinger = S₁ wird periodisch von dem Klingelantieb (die Teile: 11-14) angezogen.
Der Abstimmvorgang im einzelnen (gleichphasiges Schwingen): Erreicht der Schwinger = S₂ den linken Umkehrpunkt hat auch der Schwinger = S₃ diesen Umkehrpunkt erreicht,
und zwar mit gleichnamigen Magnetpolen. Beginnt bei dieser Position der Schwinger die Rückstellkraft der Blattfeder zu wirken, soll der Kingelantrieb den Schwinger= S₂ anziehen. Dann erfährt der Schwinger = S₃ einen magnetischen Kraftstoß und dieser Kraftstoß erzielt einen Schwingverlustausgleich.
Bleibt am linken Umkehrpunkt der beider Schwinger der Klingelantrieb außer Betrieb, die Schwinger = S₂ wird nicht angezogen, sondern wir betätigen den Motor = 7, d.h. der Motor dreht sich um 180°, dann stehen sich ungleichnamige Magnetpole in dem Augenblick gegenüber, beginnt jetzt die Rückstellkraft der Blattfedern zu wirken, dann nähern sich die Magente einander an, die Rückstellkraft der Blattfeder wird gehemmt. Ein zweiter magnetischer Kraftstoß wirkt, nämlich dann, wenn sich der Motor wieder um 180° gedreht hat. Jetzt stoßen sich die Magnete wieder ab und hemmen den Schwingvorgang nochmals. Mit dieser Versuchsanordnung der beiden U-Magnete im Bild 4.6.1 läßt sich bei gleichphasigen Schwingen ein Schwingverlustausgleich nur unter Einsatz des Klingelantriebes erzielen.
Beim gegenphasigen Schwingen, die U-Magnete stoßen sich am Nulldurchgang ab, kann auch mit der Drehbewegung des Schwingers = S₃ ein Schwingverlustausgleich erzielen werden, nämlich dann, wenn der Schwinger = S₃ genau beim Zusammenstoß der Schwinger gedreht wird. Dann wirken kurzzeitig Anziehungskräfte und gleich daraus Abstoßkräfte und diese Stoßsituation spannt die Blattfedern zusätlich, führt ihnen potentielle Energie zu, wenn die Stoßsituation periodisch wiederholt wird.
Bild 4.8.2
1 = Einspannung
2 = Blattfeder
3 = Blattfeder
4 = Spule mit Fe-Kern
5 = Spule mit Fe-Kern
6 = Spule mit Fe-Kern
7 = Motor
8 = Lager
9 = Befestigung
10 = Auflage
11 = Spulen
12 = Polschuh
13 = Weicheisen
14 = Rahmen
L = Länge der Spule, D = Außendurchmesser der Spule, d = Innendurchmesser der Spule = Fe-Kerndurchmesser
Bild 4.8.2 entspricht Bild 4.6.1 nur statt der U-Magnete (Dauermagnete) sind jetzt zwei Klingelantriebe als Schwingaufsatz eingesetzt.
Durch alle Spulen (Schwingaufsätze: 4, 5 und 6) fließt Gleichstrom. Dann lassen sich die Versuche wie mit Bild 4.8.1 realisieren.
Ist der Gleichstrom regelbar, d.h. können wir ihn vertärken oder schwächen, kann diese Regelbarkeit dres Stromes zum Schwingverlustausgleich genutzt werden.
Gleichphasiges Schwingen: Bleibt am linken Umkehrpunkt der beider Schwinger der Klingelantrieb außer Betrieb, der Schwinger = S₂ wird nicht angezogen, sondern wir erhöhen den Gleichstrom durch beide Spulen, wird die Abtoßkraft erhöht, die Blattfedern werden zusätzlich gespannt, erhalten potentielle Energie. Dieser Zuwachs an Energie ist für den Schwingverlustausgleich nutzbar.
Anmerkung
Der Vorteil von Spulen als Schwingaufsatz gegen über U-Magneten ist der, dass sie bei Wechselstrom, durch die Spulen fließt Wechselstrom, kein konstantes Magnetfeld besitzen. Das Magnetfeld wird mit der Frequenz des Wechselstromes gewechselt. Stimmt die Frequenz des Wechselstroms mit der Schwingfrequenz überein, braucht die Position der magnetischen Pole, sondern nur mit der Schwingerposition abgestimmt werden.
Ein Nachteil der Spulen ist, sie werden warm und sind schwerer als U-Magnete.
Ausblick
Bild 5.1 dito Bild 2.3.1.1 (fiegende Welle)
Der Kurbelantrieb entfällt genauer nur die Pleuelstange wird vom Kurbeltrieb benötigt. Die fliegende Welle von Bild 2.3.1.1 wird verlängt. Die Verlängerung der Welle hat die Federkonstante = k_w= 3E l/ L³= k_F= F/x mit der Bedingung x = r (x =Auslenkung der Blattfeder = r = Durchbiegung der fliegenden Welle)
n_k= 1/2π(k_w/m)^1/2 = f_F= 1/2π( k_F/m)^1/2 mit m = Blattfederaufsatz = fliegende Welle + ½ m_P|
(m_P| = Masse der Pleuelstange).
Mit dieser Konstruktion ist der Kurbelradius vor der Drehzahl der fliegenden Welle abhängig und da Kurbelradius = Auslenkung der Blattfeder ist haben wir nur gekoppelte System:
1. Systemkopplung durch das Magnetfeld der Dauermagnete als Blattfederaufsatz.
2. Systemkopplung durch die fliegende Welle durch die Pleuelstange und damit mit den Außenschwinger (ein Schritt mehr zur freien Schwingung)
ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
Zitierte Nicht-Patentliteratur

DIN A4 bis DIN A0 [0008]

Claims

Schwingmaschine umfassend Schwinger, einen Kurbelantrieb und einen Motor dadurch gekennzeichnet, dass der Motor dazu eingerichtet ist, die Schwingmaschine in einen Betriebszustand zu bringen, in dem die Schwinger in einer Frequenz des Motors schwingen, wobei die Schwinger von einem Mittelschwinger und äußeren Schwingern gebildet werden, wobei der Mittelschwinger dazu eingerichtet ist, resonante Schwingungen auszuführen und die äußeren Schwinger mit dem Kurbelantrieb verbunden vorliegen, wodurch Impulse, die durch die resonanten Schwingungen des Mittelschwingers erzeugt werden, auf den Kurbelantrieb übertragbar sind.
Schwingmaschine nach Anspruch 1 dadurch gekennzeichnet, dass die Schwinger eine Blattfeder und mindestens eine Masse m umfassen, wobei die Massen m Dauermagnete umfassen, die gleichnamigen Polen zueinander angeordnet vorliegen.
Schwingmaschine nach Anspruch 2 dadurch gekennzeichnet, dass die Dauermagnete dazu eingerichtet sind, die Schwinger aneinander zu koppeln.
Schwingmaschine nach Anspruch 2 oder 3 dadurch gekennzeichnet, dass die Dauermagnete gleiche Polstärken aufweisen.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass Positionen der Schwinger mit DNS-Streifen und Lichtschranken ermittelbar sind.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass der Motor auch als Generator einsetzbar ist.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine einen Klingelantrieb umfasst, wobei der Klingelantrieb zwei Zylinderspulen umfasst, die auf einem Eisenkern angeordnet vorliegen.
Schwingmaschine nach Anspruch 7 dadurch gekennzeichnet, dass der Eisenkern eine U-Form aufweist.
Schwingmaschine nach Anspruch 7 oder 8 dadurch gekennzeichnet, dass an der Blattfeder des Mittelschwingers zwei Metallwinkel angeordnet vorliegen, die wechselseitig mit einer Kreisfrequenz eines Wechselstroms angezogen werden, wenn der Wechselstrom durch die Zylinderpulen des Klingelantriebs fließt.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass eine Anzugskraft der Zylinderspulen größer ist als eine Federkraft der Blattfeder.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 2 bis 10 dadurch gekennzeichnet, dass eine Abstoßkraft der Dauermagnete mindestens im Wesentlichen genauso groß ist wie die Federkraft der Blattfeder.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 7 bis 11 dadurch gekennzeichnet, dass der Klingelantrieb dazu eingerichtet ist, einen Schwingverlustausgleich durchzuführen.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine mindestens einen zweiarmigen Hebel umfasst, wobei der zweiarmige Hebel einen Motor, eine Drehscheibe, Zapfen und eine Schubstange umfasst.
Schwingmaschine nach Anspruch 13 dadurch gekennzeichnet, dass der zweiarmige Hebel dazu eingerichtet ist, mittels magnetischer Stöße die Außenschwinger auszulenken.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine einen Bewegungsschlitten umfasst, der mit einer bewegten Einspannung verbunden vorliegt.
Schwingmaschine nach Anspruch 15 dadurch gekennzeichnet, dass eine Bewegung der Einspannung auf die Dauermagnete übertragbar ist.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine Spulen als Blattfederaufsatz umfasst, wobei die Spulen dazu eingerichtet sind, einen Schwingverlustausgleich durchzuführen.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 2 bis 16 dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine U-Magnete als Blattfederaufsatz des Mittelschwingers umfasst, sowie einen Generator und einen weiteren Magneten als Blattfederaufsatz der äußeren Schwinger, wobei die U-Magnete mit der Blattfeder verbunden vorliegen sind.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 6 dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine einen Schubstangenantrieb umfasst, der dazu eingerichtet ist, einen Schwingverlustausgleich durchzuführen.
Schwingmaschine nach Anspruch 19 dadurch gekennzeichnet, dass der Schubstangenantrieb zwei Zylinderspulen umfasst, die auf einem Eisenkern angeordnet vorliegen.
Schwingmaschine nach Anspruch 19 oder 20 dadurch gekennzeichnet, dass die Zylinderspulen in Reihe geschaltet sind.
Schwingmaschine nach Anspruch 19 dadurch gekennzeichnet, dass der Schubstangenantrieb einen Aluminiumring umfasst, der an einer Schubstange angeordnet vorliegt, sowie eine Zylinderspule, die auf einem Eisenkern angeordnet vorliegt, wobei der Aluminiumring dazu eingerichtet ist, die äußeren Schwinger auszulenken, wenn ein Strom durch die Zylinderspule fließt.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine eine fliegende Welle umfasst.
Schwingmaschine nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche dadurch gekennzeichnet, dass die Schwingmaschine einen Stirling-Motor umfasst.
Schwingmaschine nach Anspruch 24 dadurch gekennzeichnet, dass der Stirling-Motor dazu eingerichtet ist, einen Schwingverlustausgleich durchzuführen.
Spannung zur Befestigung der Blattfeder in einer Grundpatte der Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25 dadurch gekennzeichnet, dass die Blattfeder in der Grundplatt fixiert wird, wobei die Fixierung von einer Zentrierung gebildet wird.
Gestellt für eine Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25
Welle für eine Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25
Kurbelantrieb für eine Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25
Verbindungsmittel zwischen einer Welle und einem Schwinger dadurch gekennzeichnet, dass die Welle und der Schwinger Bestandteil einer Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25 sind.
Dämpfung für eine Schwingungsmaschine nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 25