DE19858477B4

DE19858477B4 - Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen

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Publication number: DE19858477B4
Application number: DE1998158477
Authority: DE
Inventors: Paul Mathias
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 1998-12-17
Filing date: 1998-12-17
Publication date: 2004-12-02
Anticipated expiration: 2018-12-18
Also published as: DE19858477A1

Abstract

Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen, die Verkehrsströme in einem vorgegebenen Verkehrsnetz hinreichend definieren, mittels einer datenverarbeitenden Anlage, wobei die Topologie des Verkehrsnetzes in Form eines gerichteten Graphen mit Quellen (Q) und Zielen (Z), die untereinander über Knoten (k) und zwischen diesen verlaufenden Strecken (s) verbunden sind sowie Zu- und Abflüsse an den Quellen bzw. Zielen, charakteristische Eigenschaften der einzelnen Strecken, wie insbesondere Kapazitäten und Reisezeitfunktionen und ferner für einzelne Strecken auch Meßwerte zu der Verkehrsbelastung bekannt sind, gekennzeichnet durch folgende Schritte:
– das Verkehrsnetz wird in der datenverarbeitenden Anlage auf ein rekurrentes neuronales Netzwerk (SIM) abgebildet, indem jeder Strecke (s_i) des Verkehrsnetzes ein bestimmtes Neuron (n_i) und einer Fahrzeugmenge auf der jeweiligen Strecke ein Aktivitätszustand (x_i) des entsprechenden Neurons zugeordnet wird sowie Gewichte (w_ij) von Koppelverbindungen zwischen den Neuronen (n_i bzw. n_j) entsprechend der Aufteilung des Verkehrsflusses am zugeordneten Knoten (k_i) des Verkehrsnetzes bestimmt werden,
– dieses Netzwerk...

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen gemäß dem Oberbegriff des Patentanspruches 1.
Der vorliegenden Erfindung liegt das Problem zugrunde, bei der Untersuchung von Verkehrsströmen in Straßennetzen ein plausibles, in sich konsistentes und diversen Rahmenbedingungen genügendes Bild des Verkehrsgeschehens zu bestimmen, aus dem sich Verkehrsflüsse bzw. Reisezeiten auf jeder einzelnen Straße oder damit äquivalent die von den Verkehrsteilnehmern gewählten Routen ergeben. Dafür gegeben sei die durch einen gerichteten Graphen repräsentierte Topologie des Straßennetzes. Ferner wird zugrunde gelegt, daß charakteristische Merkmale der einzelnen Straßen, z.B. deren Kapazitäten oder Reisezeitfunktionen bekannt sind. Dies gilt ebenso für die Verkehrsnachfrage, die sich in Verkehrsströmen ausdrückt, die in das betrachtete Straßennetz ein- bzw. daraus abfließen. Diese Verkehrsnachfrage ist durch eine Matrix der Verkehrsströme, eine Quelle-Ziel-Matrix darzustellen. Für einzelne, d.h. einige wenige Straßen sollen ferner auch gemessene Verkehrsbelastungen vorliegen. Darin liegt die eigentliche Schwierigkeit, denn in der Realität sind nie alle Straßen des Netzes mit Meßstellen ausgestattet. Wäre dies der Fall und wären damit alle Straßenbelastungen bekannt und auch das Szenario des Gesamtverkehrs vollständig gegeben.
In der Straßenverkehrstechnik hat es sich eingebürgert, Methoden, mit denen für ein gegebenes Verkehrsnetz aus wenigen bekannten Größen eine möglichst zuverlässige Aussage über die Entwicklung der Verkehrssituation in diesem Verkehrsnetz abgeleitet wird, als Verfahren zur Verkehrsumlegung zu bezeichnen. Diesen Verfahren ist gemeinsam, zu versuchen, aus bruch stückhaften Informationen über das Verkehrsgeschehen auf das Gesamtbild zu schließen, wobei gewisse Annahmen über die Dynamik des Transportsystems gemacht werden. Eine dieser Annahmen ist z.B., daß alle Fahrer ihre Reisezeit minimieren wollen. Eine Lösung dieses Problems kann man sich als eine Umlegung der Verkehrsstrom-Matrix auf das Straßennetz vorstellen, daher stammt auch der Name des Verfahrens.

Lösungen für dieses Problem, die im vorliegenden Zusammenhang eine Rolle spielen, sind vor allem aus

Sheffi, Y. (1986): Urban Transportation Networks: "Equilibrium Analysis with Mathematical Programming Methods." Prentice-Hall;
Boyce, D.E., LeBlanc L.J., Chon K.S. (1988): "Network Equilibrium Models of Urban Locations and Travel Choices – A Retrosprective Survey.", Journal of Regional Science, Vol. 28, No. 2, 159–183;
Florian, M. (1986): "Nonlinear Network Cost Models in Transportation Analysis." Mathematical Programming Study, No. 26, 167–196.

bekannt.

Diese Dokumente legen dar, daß die charakteristischen Verkehrsflußmuster in einem Straßennetz durch die Wechselwirkung zweier fundamentaler Mechanismen entstehen: Einerseits versuchen die einzelnen Verkehrsteilnehmer ihr Reiseziel in möglichst kurzer Zeit zu erreichen. Sie wählen hierzu Routen, die nicht immer die kürzesten Wege sein müssen, die sie aber erfahrungsgemäß möglichst schnell zu ihrem Ziel bringen. Auf der anderen Seite hängt die durchschnittliche Reisezeit der Verkehrsteilnehmer auf den einzelnen Straßen davon ab, wieviel Verkehr die Straßen belastet. Die Verkehrsbelastungen ihrerseits sind jedoch eine direkte Folge der Routenentscheidungen der Verkehrsteilnehmer. Die begrenzte Durchlaßfähigkeit des Straßennetzes führt also bei hoher Verkehrsbelastung zu Verlagerungen der Verkehrsströme. Die aus diesen Wechselwirkungen resultierende Systemdynamik läßt sich als ein Szenario zu "Angebot" und "Nachfrage" auffassen, wobei das Angebot durch die Leistungsfähigkeit der Straßen gegeben ist und die Nachfrage der Routenwahl entspricht.

Die sich daraus ergebende Abhängigkeit von Reisezeiten und Verkehrsflüssen rechtfertigt auch die Einbeziehung des Gleichgewicht-Begriffs in die Verkehrsumlegung. Dem liegt die Annahme zugrunde, daß Verkehrsteilnehmer, welche häufig oder sogar regelmäßig von einem bestimmten Startpunkt aus zu einem bestimmten Zielpunkt des Netzes gelangen möchten, in einer Lernphase zunächst mit alternativen Routen experimentieren. Schließlich entscheiden sie sich für diejenige Route, bei der sie das Gefühl haben, sich in bezug auf die Reisezeit nicht mehr verbessern zu können. Da die Verkehrsteilnehmer prinzipiell unabhängig voneinander operieren, gibt es in diesem Stadium keine Kraft mehr, die die Verkehrsflüsse auf andere Routen zwingen würde. Damit entsteht ein Gleichgewicht zwischen der Verkehrsnachfrage und der Leistungsfähigkeit der zur Verfügung stehenden Verkehrswege. In formaler Betrachtung entspricht dies einem Systemzustand, der sich auch bei fortschreitender zeitlicher Entwicklung nicht mehr ändert und daher Fixpunkt oder Attraktor genannt wird. In der Realität kennt natürlich kein Verkehrsteilnehmer den Netzzustand in seiner Gesamtheit zu jedem Zeitpunkt vollständig. Er wählt deshalb die Route, von der er lediglich annimmt, sie sei die schnellste. Ferner können singuläre Ereignisse, wie Unfälle oder auch Witterungsverhältnisse, den normalen Verkehrsablauf unverhältnismäßig stören.

Da dieses Gleichgewicht von Verkehrsflüssen und Reisezeiten das charakteristische Verhalten der Verkehrsteilnehmer in sein Kalkül aufnimmt, wird es auch als Nutzergleichgewicht bezeichnet, das auch als 1. Wardrop'sches Prinzip bekannt ist. Nach diesem Prinzip sind die Reisezeiten auf allen tätsächlich benutzten Routen gleich und geringer als solche Reisezeiten, die sich für ein einzelnes Fahrzeug auf jeder der unbenutzten Routen ergäben.

Unabhängig davon, daß die Verkehrsteilnehmer den aktuellen Zustand im betrachteten Straßennetz keineswegs vollständig kennen können, führt ihr "egoistisches" Verhalten, über das gesamte Netz betrachtet, auch nicht zwangsläufig zu einem Minimum der Summe der Reisezeiten. Aus diesem Grunde wird in einer Betrachtung des Verkehrsflußgeschehens ein Systemgleichgewicht definiert, mit dem das 2. Wardrop'sche Prinzip korrespondiert, nach dem dann die mittlere Reisezeit minimal ist. Dem Systemgleichgewicht liegt zugrunde, die Verkehrsflußmuster rechnerisch so zu ermitteln, daß eine vorgegebene, die Interessen des gesamten Transportsystems widerspiegelnde Zielfunktion minimiert wird. Solche Zielfunktionen können z.B. "Reisezeitsumme des gesamten Straßennetzes" oder auch "Schadstoffausstoß" sein. Im Gegensatz zum Nutzergleichgewicht beschreibt das Systemgleichgewicht das Verkehrsgeschehen nicht so, wie es ist, sondern so wie es im Hinblick auf die Zielfunktion im Idealfall sein sollte. Der Betreiber des Transportsystems kann dann versuchen, den systemoptimalen Zustand durch geeignete Steuerungsmaßnahmen zu erreichen. Ein Unterschied zwischen Nutzer- und Systemgleichgewicht entsteht aber nur dann, wenn es zu Überlastungsphänomenen, wie Staus kommt. Bei geringem Verkehr liefern beide Modelle die gleichen Ergebnisse.

Neben dieser Klassifizierung unterscheidet man bekannte Verfahren zur Verkehrsumlegung auch bezüglich ihrer zeitlichen Auflösung. Werden etwa die Eingabedaten, z.B. Zu- und Abflüsse des Netzes und seine sonstigen Charakteristika, wie z. B. Kapazitäten oder Steuerungsstrategien, über einen vorgegebenen Analysezeitraum konstant gesetzt, so spricht man von statischen Verfahren. Ein solcher Analysezeitraum ist meist die Zeit des Spitzenverkehrs. Die Plausibilität statischer Verfahren resultiert aus zwei Grundannahmen. Einerseits soll sich die zu untersuchende Verkehrssituation mit geringer Varianz regelmäßig einstellen. Andererseits wird angenommen, daß die Verkehrsteilnehmer mit den Verhältnissen im Wegenetz vertraut sind und mit einiger Sicherheit die für sie günstigsten Routen wählen. Für die Analyse von singulären Ereignissen ist diese Betrachtungsweise deshalb bestenfalls nur eingeschränkt geeignet. Statischen Verfahren liegen zeitlich Bemittelte Eingabedaten zugrunde. Die produzierten Ergebnisse sind deshalb auch ihrerseits zeitliche Mittelwerte mit entsprechend eingeschränkter Aussagekraft. Sie beschreiben einen statischen Verkehrszustand im Sinne eines Gleichgewichtszustandes als Konvergenzpunkt eines Relaxationsprozesses. Statische Verfahren zur Verkehrsumlegung liefern keine Informationen über die aktuelle, zeitliche Entwicklung des Verkehrssystems und sind deshalb auch nicht in der Lage, kurzfristige Prognosen zu liefern. Trotzdem bilden die mit ihnen ermittelten Verkehrsbelastungen und Abbiegebeziehungen eine wichtige Grundlage für die verkehrstechnische und verkehrsorganisatorische Gestaltung und Bemessung der Verkehrsanlagen und Verkehrsnetze. Zudem haben aus den Berechnungen abgeleitete Kennwerte eine große Bedeutung für die Bewertung von verkehrstechnischen Planungsvarianten (Straßenneubau, Spurenanzahl freier Strecken, Abbiegespuren an Kreuzungen, Signalprogramme, etc.).

Mit dem zunehmenden Ausbau von integrierten Verkehrsmanagement- und -informationssystemen sind in den letzten Jahren allerdings auch die Anforderungen an Aussagen zu Verkehrsflüssen gestiegen. Es werden dabei zunehmend Informationen nachgefragt, die die Evolution bzw. zeitliche Entwicklung des betrachteten Transportsystems betreffen. Solche dynamischen Simulationen sind unter anderem für den Echtzeit-Einsatz ge dacht. Sie müssen deshalb in der Lage sein, den Zustandsänderungen des Systems in kleinen zeitlichen Schritten zu folgen. Man spricht dann von dynamischer nutzeroptimaler bzw. von dynamischer systemoptimaler Verkehrsumlegung.

Dynamische Verfahren berücksichtigen in Erweiterung der auf statischen Vorstellungen beruhenden Verfahren zeitveränderliche Quelle-Ziel-Matrizen. Mit deren Hilfe wird erreicht, die Entwicklung, d.h. zeitliche Veränderung des Systems über einen gewissen, vorgegebenen Analysezeitraum zu beschreiben. Diese auf einer dynamischen Modellvorstellung beruhenden Verfahren stellen damit auf die Beschreibung des aktuellen und zukünftigen Zustands des sich verändernden Transportsystems ab. Insbesondere sollen sie in der Lage sein, die Reisezeiten von Fahrzeugen während ihrer Reise vorherzusagen. Ein typischer Anwendungsfall ist hier ein individuelles, dynamisches Zielführungssystem. Die diesen Verfahren zugrundeliegenden Annahmen sind dabei ganz ähnlich denen der statischen Verfahren.

Ein besonderes Merkmal der dynamischen Verfahren sind die als zeitveränderlich angesetzten Streckenreisezeiten. Dies führt zu zwei ganz verschiedenen Reisezeitmaßen, nach denen die Reiserouten gewählt werden: die augenblicklichen und die aktuellen Streckenreisezeiten. Erstere legen der Routenentscheidung die zum Zeitpunkt der Entscheidung im Straßennetz herrschenden Reisezeiten zugrunde. Die dabei angenommene Reisezeit muß aber nicht mit der später am Reiseziel tatsächlich benötigten Reisezeit übereinstimmen. Dies liegt daran, daß sich die Streckenreisezeiten während der Fahrt zum Reiseziel ändern können. Eine Routenentscheidung nach aktuellen Reisezeiten dagegen berücksichtigt die Streckenreisezeiten, so wie sie sich beim Fortschreiten der Fahrt auf den entsprechenden Strecken einstellen werden. Ein solches Problem ist nur dann exakt (deterministisch) lösbar, wenn die Rahmenbedingungen (Quelle-Ziel-Matrizen) über den gesamten Analysezeitraum vorliegen und die dynamische Umlegung im Nachhinein durchgeführt wird. Für einen "online"-Betrieb ist vorauszusetzen, daß Routenentscheidungen aktuelle Reisezeiten zugrundegelegt werden. Dies erfordert Prognosen, die auf irgendeine Art und Weise, z.B. aus historischen Daten bestimmt werden müssen und natürlich mit gewissen Unsicherheiten behaftet sind. Ferner ist einleuchtend, daß dynamische Verfahren zur Verkehrsumlegung mit einem erheblich höheren Rechenaufwand verbunden sind als statische Verfahren.

In diesem Überblick wurde dargelegt, daß das zu lösende Problem bei bekannten statischen Verfahren zur Verkehrsumlegung vorzugsweise als eine nichtlineare Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingungen betrachtet wird. Dafür wurde eine Reihe von Lösungen entwickelt, die die Verkehrsflüsse sukzessive und inkrementell in einem "Alles-oder-nichts"-Verfahren auf das Straßennetz umlegen. Zur Konvergenzbeschleunigung werden meist noch Optimierungsschritte zur Bestimmung der Suchrichtung eingefügt. Letztlich basieren alle diese Lösungen darauf, für jeden Iterationsschritt die linearisierte Form der Optimierungsfunktion zu minimieren. Bei den bekannten dynamischen Verfahren zur Verkehrsumlegung wird das zu lösende Problem als Steuerungsaufgabe interpretiert, was letztlich wieder dazu führt, ein Optimierungsproblem zu lösen. Andererseits werden dabei auch spezielle Methoden der Variationsrechnung zur Lösung eingesetzt.

Der vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen zu schaffen, das – im Gegensatz zu dafür bereits bekannten Verfahren, die das Verkehrsgeschehens auf einem Verkehrsnetz vielfach mit einem analytischen Ansatz zu beschreiben versuchen – das Verkehrsgeschehen durch dessen möglichst realistische Simulation zu bestimmen sucht und dazu einen Weg bietet, der bei wirtschaftlichem Berechnungsaufwand die Untersuchung auch größerer bzw. komplexer Verkehrsnetze ermöglicht. Damit soll auch die Voraussetzung dafür geschaffen werden, leistungsfähige Hardware-Komponenten parallel arbeitend in Verkehrsrechnern einzusetzen, um das Verfahren auch unter Echtzeitbedingungen auszuführen zu können.

Erfindungsgemäß wird diese Aufgabe bei einem Verfahren der eingangs genannten Art, durch die im Kennzeichen des Patentanspruches 1 beschriebenen Merkmale gelöst.

Dieser Lösung liegt zunächst die Überlegung zugrunde, mit der Art und Weise der gewählten Verkehrsumlegung eine formale Abbildung des Verkehrsgeschehens möglichst realistisch und dennoch so zu definieren, daß Ergebnisse mit vertretbarem Aufwand in Form einer unmittelbaren Aussage erzielt werden. Demnach sollen sich in der zu wählenden Abbildung charakteristische Merkmale eines Verkehrsnetzes, wie z.B. Verkehrsmengen auf Strecken, deren Kapazitäten sowie davon unmittelbar abhängige Reisezeiten, die Aufteilung von Verkehrsflüssen usw. möglichst unmittelbar ausdrücken lassen. Aussagen als Ergebnisse der ermittelten Verkehrsinformation andererseits sollen sich ebenso unmittelbar in verkehrstechnischen Maßen ausdrücken.

Erfindungsgemäß gelingt dies dadurch, daß ein gegebenes Verkehrsnetz, das als ein gerichteter Graph mit Quellen und Zielen darzustellen ist, formal als ein rekurrentes neuronales Netz interpretiert wird, in dem dessen charakteristische Merkmale in unmittelbarer Analogie realen Einflußparametern eines Verkehrsnetzes entsprechen. In einem einfachen Beispiel betrachtet, bildet eine Straßenkreuzung einen Knoten im Verkehrsnetz, in den einzelne Strecken des Verkehrsnetzes einmünden bzw. von dem andere Strecken ausgehen. An diesem Knoten verteilen sich die Verkehrsmengen der einmündenden Strecken, ausgedrückt durch Abbiegebeziehungen, in bestimmter Weise auf die abgehenden Strecken. Im neuronalen Netz wird jeder dieser Strecken ein Neuron zugeordnet. In der Sprache der neuronalen Netze sind dann die Verkehrsmengen der jeweiligen Strecken als die Aktivitätszustände der Neuronen zu definieren. Durch die Abbiegebeziehungen am Knoten ist die Aufteilung der streckenbezogenen Verkehrsflüsse gegeben. Diesem Sachverhalt entsprechen die Verbindungsgewichte der miteinander gekoppelten Neuronen. Dieses Beispiel verdeutlicht, daß sich der Transportvorgang des Verkehrsgeschehens unmittelbar auf den Propagierungsmechanismus in einem neuronalen Netz übertragen läßt.

Von besonderem Vorteil ist dabei im Hinblick auf den Berechnungsaufwand, daß in diesem Anwendungsfall die Kopplungen im neuronalen Netz stark eingeschränkt sind. Einerseits kann es keine Verbindungen zwischen Neuronen in beiden Richtungen geben, was sich daraus ergibt, daß das Verkehrsnetz als gerichteter Graph dargestellt wird. Andererseits folgt aus vorstehendem Beispiel, daß eine Strecke über den Knoten nur mit einer begrenzten Anzahl von nachfolgenden Strecken verbunden ist. Während in einem neuronalen Netz im allgemeinsten Fall alle Neuronen miteinander gekoppelt vorauszusetzen sind, ist in diesem Anwendungsfall der Kopplungsgrad der Neuronen entsprechend gering. Diese Analogie zwischen Verkehrsnetz und rekurrentem neuronalem Netz läßt sich so stark ausprägen, wie das einführende Beispiel zeigt, daß Methoden und Ergebnisse aus der Theorie rekurrenter neuronaler Netze für diese Anwendung im Bereich der automatischen Verkehrsumlegung vorteilhaft genutzt werden können.

In Anbetracht der relativ komplexen methodischen Zusammenhänge im Falle der vorliegenden Erfindung wird darauf verwiesen, daß weitere Ausgestaltungen der Erfindung und deren Vorteile im einzelnen in der Beschreibung von Ausführungsbeispielen dargelegt sind.

Derartige Ausführungsbeispiele der Erfindung werden im folgenden anhand der Zeichnung näher beschrieben, dabei zeigt:
1 schematisch und vereinfacht ein als gerichteter Graph dargestelltes Verkehrsnetz, das auf jeweils zwei Quellen und Ziele reduziert ist,
2 die Abbildung des Verkehrsnetzes von 1 auf ein neuronales Netz,
3 in einem Blockschaltbild ein als Simulations-Netzwerk bezeichnetes Rechenwerk, mit dem die Entwicklung eines Systemzustandes eines neuronalen Netzes nach dem Beispiel von 2 in zeitdiskreten Schritten berechnet wird,
4 ein Blockschaltbild zweier gekoppelter Rechenwerke, d. h. des Simulations-Netzwerkes und eines Fehlerpropagierungs-Netzwerkes, welches Parameter des Simulations-Netzwerkes entsprechend einer Zielfunktion iterativ so einstellt, daß der Systemzustand im Simulations-Netzwerk in Richtung auf einen Gleichgewichtszustand konvergiert,
5 eine schematische Darstellung des Verkehrsnetzes in Form zweier Schichten, die jeweils die Topologie des Verkehrsnetzes bezogen auf ein individuelles Ziel wiedergeben,
6 die Blockdarstellung dreier miteinander konkurrierender rekurrenter neuronaler Netzwerke in Form von zwei miteinander gekoppelten Fehlerpropagierungs-Netzwerken, die mit dem Simulations-Netzwerk zusammenarbeiten, das entsprechend 5 eine Schichtenstruktur besitzt und
7 in Form eines rekursiven Flußdiagrammes wie sich die Topologie der in 5 dargestellten Schichten durch Eliminieren von für das Verkehrsgeschehen irrelevanten Kopplungen reduzieren läßt.
In nachfolgend dargelegten Ausführungsbeispielen wird die statische Variante eines Verfahrens zur automatischen Verkehrsumlegung beschrieben, das auf der Verwendung von rekurrenten neuronalen Netzen (RANN) basiert, die vereinfachend als RANN bezeichnet werden. Das Verfahren wird – auch zum besseren Verständnis – in zwei Stufen entwickelt. Im ersten Ausführungsbeispiel wird eine vereinfachte Basisversion dargestellt, die jedoch bereits die entscheidenden Merkmale des Verfahrens aufzeigt. In einem zweiten Ausführungsbeispiel wird diese Basisversion durch Einführung einer Schichtenstruktur des RANN so erweitert, daß vorgegebene Quelle-Ziel-Matrizen in vollem Umfang einbezogen werden.
Das nachstehend beschriebene Verfahren zur automatischen Verkehrsumlegung basiert auf dem Einsatz zweier RANN, von denen das erste, als Simulations-Netzwerk SIM bezeichnet, das Verkehrsgeschehen simuliert, während das zweite, als Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR bezeichnet, gewisse Steuerungsparameter des ersten Netzwerks justiert. Dieses Verfahren zur automatischen Verkehrsumlegung nutzt mit Vorteil den Umstand aus, daß Verkehrswegenetze und RANN bezüglich der Topologie und der Dynamik viele Gemeinsamkeiten aufweisen. In beiden Fällen kann die Systemdynamik als "Transportvorgang" durch ein "Wegenetz" angesehen werden. Dabei entsprechen den Fahrzeugen bzw. den Verkehrsdichten des Straßenverkehrs Aktions- oder Aktivitätspotentialen der künstlichen neuronalen Netze. Die Fortpflanzung bzw. Fortbewegung dieser "Einheiten" hängt im Verkehrswegenetz hauptsächlich von Fahrzeuggeschwindigkeiten und Abbiegebeziehungen ab, die wiederum durch die Verkehrsdichten beeinflußt sind. Im Falle der RANN wird die Systemdynamik durch Aktivitätsfunktionen („squashing functions") und Verbindungs- bzw. Kopplungsgewichte bestimmt. Ist diese Analogie genügend ausgeprägt, um eine strenge formale Abbildung des Verkehrswegenetzes und seiner Eigenschaften auf künstliche neuronale Netze zu ermöglichen, können Methoden und Ergebnisse aus der Theorie der RANN für den Bereich der Verkehrsumlegung genutzt werden. Im folgenden wird gezeigt, daß diese gesuchte Abbildung tatsächlich konstruierbar ist. Dies gelingt dadurch, daß einerseits dem Verkehrsgeschehen eine formale Beschreibung des Verkehrsflusses zugrunde gelegt wird, die im Hinblick auf die gewünschte Abbildung gewählt ist und andererseits für das RANN bestimmte Modifikationen bzw. Erweiterungen vorgenommen werden.
In 1 ist schematisch und beispielhaft ein einfaches Verkehrswegenetz mit zwei Quellen Q₁, Q₂, ferner zwei Zielen Z₁, Z₂ sowie mehreren Strecken s_i und Knoten k_j dargestellt. Allgemeiner betrachtet, ist das Verkehrswegenetz als gerichteter Graph mit M Strecken und N Knoten definiert. Q und Z seien dabei die Anzahl der Quellen bzw. Ziele des Netzes. S ist die Menge der Strecken, K die Menge der Knoten, O ⊂ S die Menge der Quellstrecken,
⊂ S die Menge der Zielstrecken, Ɛ_i ⊂ S die Menge der am Knoten i beginnenden Strecken, und Ɛ_i ⊂ S die Menge der am Knoten i endenden Strecken. Ferner liefert die Funktion α(.) den Knoten am Beginn einer Strecke und ω(.) den Knoten am Ende einer Strecke.
Wie in 2 gezeigt ist, wird dieses Verkehrswegenetz als ein neuronales Netzwerk, das Simulations-Netzwerk SIM, konstruiert, das die Dynamik des Verkehrsgeschehens möglichst realistisch nachbildet. Die Topologien des Verkehrswegenetzes und des neuronalen Netzwerkes lassen sich aufeinander abbilden, wenn man die Strecken des Verkehrswegenetzes unter Beibehaltung der Numerierung mit den Neuronen n_i des RANN identifiziert. Die über die Knoten k_j realisierten Verbindungen der Strecken s_i, d. h. die erlaubten Fahrbeziehungen sind dann folgerichtig die Verbindungen zwischen den Neuronen n_i. Die Gewichte w_ij dieser Verbindungen korrespondieren mit den Verkehrsflußaufteilungen an den Knoten k_i.
Das damit definierte Netzwerk ist ein rekurrentes neuronales Netzwerk RANN, in dem prinzipiell jedes Neuron mit jedem anderen verbunden sein kann. Im vorliegenden Anwendungsfall sind aber als Besonderheit dieses Netzwerks die Neuronen n_i sehr spärlich gekoppelt. Denn in einem Straßennetz besitzt eine Strecke s_i in der Regel nur zwei bis drei, höchstens fünf andere Strecken als Nachfolger. Wie noch zu zeigen sein wird, besitzt das Simulations-Netzwerk SIM auch einen inneren Zustand, ist also eigentlich ein endlicher Automat. Daher kommt pro Neuron noch eine fixe, selbstbezügliche Verbindung hinzu. Zu beachten ist ferner, daß es in diesem Falle zwischen zwei Neuronen keine Verbindungen in beiden Richtungen geben kann. Bei entsprechender Numerierung der Neuronen n_i läßt sich daher die Verbindungsmatrix als obere Dreiecksmatrix darstellen.
Fahrzeuge x_i(t), die sich zu einem Zeitpunkt t auf einer Strecke s_i aufhalten, entsprechen damit dem Aktivitätszustand x_i(t) des i-ten Neurons. Die Propagierung der Verkehrsmengen im Straßennetz, also die eigentliche Dynamik, wird im neuronalen Netz nun mit Hilfe spezieller Aktivierungsfunktionen und den Verbindungsgewichten w_ik realisiert. Diese von dem Zustand des Neurons n_i bzw. den Verkehrsmengen der Strecken s_i abhängigen Funktionen werden als maximal möglicher Streckenabfluß bzw. als Zuflußrestriktion interpretiert. Sie bestimmen, wie sich die neuronalen Zustände pro Zeitschritt ändern.
In der Sprache des Verkehrsgeschehens bedeutet dies, wie viele Fahrzeuge in einem Zeitschritt eine Strecke verlassen und zur nächsten weiterfahren. Den Gewichten w_ik kommt dabei die Rolle zu, die Verkehrsflüsse an den Knoten k_i aufzugliedern. Ein Gewicht w_ik = 0.5 besagt, daß genau die Hälfte der die Strecke s_i verlassenden Fahrzeuge zur Strecke s_k weiterfährt. Die möglichen Fahrbeziehungen einer Strecke i ∈ Ɛ_ω(i) zu den Strecken j_ν ∈ A_ω(i) sind im Simulations-Netzwerk SIM also genau die Verbindungen
des Neurons i mit den Neuronen j_ν ∈ A_ω(i). Der Anteil
∈ [0; 1] des Verkehrsflusses auf Strecke i, der zur Strecke j_ν weiter fließt, entspricht dann dem Verbindungsgewicht
des Neurons i mit den Neuronen j_ν. Dabei ist
≡ 0, falls ω(i) ≠ α(j_ν).
Für die Gewichte des RANN müssen weiterhin aus Gründen der Verkehrserhaltung die Bedingungen gemäß Gleichung (1) gelten:
Die Normierung der Gewichte zieht, wie noch ausgeführt wird, spezielle Modifikationen des Lernverfahrens nach sich. Die selbstbezüglichen Verbindungen der Neuronen werden nicht über die Gewichte des Netzwerks definiert, sondern später in die dynamischen Gleichung des Simulations-Netzwerks SIM explizit eingebaut. Die Gewichte beziehen sich also nur auf die Kopplung zu anderen Neuronen; es sei daher: w_ii ≡ 0, ∀i ∈ S.
Es sei hier noch einmal herausgestellt, daß die weitgehende Nachbildung von Topologie und Dynamik des Verkehrssystems in Form künstlicher neuronaler Netzwerke große Vorteile bringt. Einerseits wird damit Vorwissen über das zu abzubildende System einbezogen und ausgenutzt. Dies wirkt sich besonders positiv auf die erforderliche Größe des RANN und seine Konvergenzgeschwindigkeit aus. Andererseits entsprechen Bestandteile bzw. Größen des simulierten Verkehrsgeschehens direkt und unmittelbar denen des RANN. Dies bedeutet, den Größen und Zuständen des RANN kommt eine direkte verkehrstechnische Bedeutung zu. Eine Rückübersetzung der internen Zustände des RANN in die Welt des Verkehrsgeschehens ist somit nicht erforderlich, um die Ergebnisse der Simulation auszudrücken.
Nachfolgende Tabelle 1 zeigt im zusammenfassenden Überblick, wie sich Verkehrssystem und das RANN entsprechen. Die Zuordnung der Größen ist durch übereinstimmende Formelzeichen unterstrichen.
Tabelle 1
Wie Tabelle 1 zeigt, haben die Bestandteile bzw. Zustände des RANN also eine direkte verkehrstechnische Bedeutung. Der Zustand des Verkehrssystems ist gegeben durch die Verkehrsmengen x_k, das ist die Anzahl der Fahrzeuge auf den einzelnen Strecken. Aus ihm können bei Bedarf Verkehrsflüsse, Geschwindigkeiten und Reisezeiten berechnet werden. Die Verteilung der Verkehrsflüsse im Netzwerk ergibt sich aus den Abbiegebeziehungen, denen im RANN die Gewichte entsprechen. Ihnen kommt eine Schlüsselrolle zu, da sie als freie Parameter von außen eingestellt werden können. Die in 2 künstlich hinzugefügten „Zufluß-Warte-schlangen-Neuronen" n_Q1, n_Q2 und "Erdungs-Neuronen" n_Z1, n_Z2 bleiben hier außer Betracht, da sie für das Verständnis nicht unbedingt nötig sind.
Anhand von 3 wird im folgenden die Dynamik des RANN dargelegt. Dabei wird zugrundegelegt: Die Simulation des Verkehrsgeschehens ist zeitdiskret, wobei sich die Entwicklung des Systems sich in äquidistanten Zeitschritten der Länge τ_x vollzieht. Die aktuelle Verkehrsmenge, d.h. die Anzahl der Fahrzeuge, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt auf einer Strecke befindet, ergibt sich aus derjenigen Verkehrsmenge, die sich im vorangegangenen Zeitschritt dort befand und den Fahrzeugen, die zwischenzeitlich in die Strecke eingefahren sind bzw. die Strecke verlassen haben. Die zeitdiskrete dynamische Gleichung des RANN ist in Gleichung (2) auszudrücken: x(t + τ×) = x(t) + u(x(t)) – h(x(t)) + τ×q, t = 0, τx, 2τx (2)
Darin ist x(t) der Systemstatus zum Zeitpunkt t, der durch die Verkehrsmengen der einzelnen Strecken gegeben ist. Der Vektor τ_xq enthält die konstanten streckenbezogenen Verkehrsmengen, die im Zeitintervall τ_x über die Quellstrecken in das Netz einfließen. Der konstante streckenbezogene Netzabfluß z wird als Meßstelle mit Meßwerten x ^_k := s –1 / k(z_k) interpretiert und über die Zielfunktion berücksichtigt, wie noch zu zeigen sein wird. Die Funktionen u : R^M → R^M und h : R^M → R^M liefern den realen Streckenzufluß bzw. realen Streckenabfluß; sie sind abhängig von den Verkehrsmengen der Strecken und den Verkehrsflußaufteilungen w_ij an den Knoten.
Der reale Streckenzufluß einer Strecke k zum Zeitpunkt t ist wie folgt in Gleichung (3) definiert, man beachte dabei, daß w_ik = 0, ∀i
Ɛ_α(k):
Hier ist das streng monoton steigende s_i(x_i(t)) der von der Verkehrsmenge abhängige, maximal mögliche Abfluß der Strecke i im Zeitintervall [t; t + τ_x] und das streng monoton fallende r_k(x_k(t)) die Zuflußbeschränkung der Strecke i, die ebenfalls von der Verkehrsmenge dieser Strecke abhängt. Der Term w_iks_i(x_i(t)) bestimmt den Anteil des maximal möglichen Abflusses von der Strecke i, der über den verbindenden Knoten α(k) in die Strecke k abbiegt. Ferner ist der reale Streckenzufluß u_k der Strecke k gerade die Summe der in die Strecke k einbiegenden, maximal möglichen Abflüsse der anderen Strecken. Allerdings können, je nach Belastungsgrad der Strecke k, nur Teile der möglichen Abflüsse in die Strecke k einfließen. Diese Zuflußbeschränkung wird durch Multiplikation mit r_k ∈ (0; 1] realisiert.
Der reale Streckenabfluß der Strecke k zum Zeitpunkt t wird in Gleichung (4) „spiegelbildlich" zum realen Streckenzufluß definiert:
Auch hier ist im rechten Term hervorgehoben, daß die Summe eigentlich nur über die Indizes i ∈ A_ω( _k) erstreckt zu werden braucht, da alle übrigen Gewichte w_ki = 0 sind. Gleichung (4) kann folgendermaßen interpretiert werden: Der reale Streckenabfluß von der Strecke k ist der Anteil des möglichen Abflusses von dieser Strecke, der von den weiterführenden Strecken i ∈ Ɛ_ω(k) aufgenommen werden kann.
Die Definition der realen Zu- und Abflüsse muß so angelegt sein, daß auf den Knoten weder Fahrzeuge verschwinden noch neu entstehen. Dies drückt sich für jeden Knoten j des Netzes als der wichtige Erhaltungssatz nach Gleichung (5) aus:
Der maximal mögliche Abfluß s_i definiert die Verkehrsmenge der Strecke i, die während eines Zeitintervalls τ_x abfließen könnte, wenn alle weiterführenden Strecken in der Lage wären, die ankommenden Fahrzeuge in diesem Zeitintervall aufzunehmen.
Entscheidend ist nun, daß die Definition von s_i eng mit der Reisezeitfunktion zusammenhängt, die dem Verkehrssystem zugrunde liegen soll. Die natürliche Reisezeitfunktion des Simulations-Netzwerks SIM ist durch Gleichung (6) zu definieren:
Dies bedeutet, ein gerade in eine Strecke einfahrendes Fahrzeug verbleibt solange auf dieser Strecke, bis alle bereits dort befindlichen Fahrzeuge diese Strecke verlassen haben. Eine vorgegebene Reisezeitfunktion π * / i definiert also wegen Gleichung (7):
indirekt die Funktion s_i, wobei für städtische Transportsysteme die rechte Seite der Gleichung als streng monoton steigend vorausgesetzt werden darf. Typische Reisezeitfunktionen π * / i sind z.B. solche, die sich aus einer konstanten Reisezeit
für die ungehinderte Fortbewegung entlang der Strecke und einer flußabhängigen mittleren Wartezeit w _i vor der Lichtsignalanlage am Knoten zusammensetzen. Bekannte Beziehungen für die Wartezeitbestimmung sind immer stetig, differenzierbar und streng monoton steigend, was auch die Existenz und Eindeutigkeit von s_i(x_i) prinzipiell garantiert. Man hat also nach Gleichung (8):
Als Beispiel für die Konstruktion von s_i sei angenommen, daß sich die Reisezeitfunktion π * / i aus zwei Komponenten π * / i = π * / 1i + π * / 2i zusammensetzt, wobei π * / 1i = konst. als Reisezeit auf der freien Strecke und π * / 2i als Wartezeit vor dem Knoten mit Lichtsignalanlage definiert seien. Damit erhält die Reisezeitfunktion π * / i nach Gleichung (9) die Form:
Darin ist m eine Konstante, die von der Kapazität der Strecke und dem geschalteten Signalprogramm abhängt. Man entwickelt durch Umformung die Gleichungen (10), (11) bzw. (12):
Die Umkehrfunktionen s_i von s –1 / i können oft nicht in geschlossener Form hergeleitet werden, da die Ausdrücke für die Wartezeiten w _i in π * / i meist ziemlich komplex sind. In solchen Fällen kann s_i aber z.B. als Interpolierende vorgegebener Wertepaare konstruiert werden. Man kann auch versuchen, den geforderten Zusammenhang mit einem Ausdruck einer Exponentialfunktion zu approximieren. Das hat den großen Vorteil, daß sich auch die Ableitungen von s_i, die bei der Definition des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR eine wichtige Rolle spielen, besonders einfach darstellen lassen. Als Beispiel diene hier die Funktion nach Gleichung (13):
dabei ist c_i die Kapazität der Strecke i und σ_i eine sigmoide Funktion der Form gemäß Gleichung (14):
Der freie Parameter α_i > 0 legt die Gestalt der Funktion fest; er wird so eingestellt, daß der Ausdruck τ_x(s –1 / i(s_i)/s_i) die vorgegebene Reisezeitfunktion näherungsweise wiedergibt. Die Umkehrfunktion von s_i(x_i) lautet entsprechend Gleichung (15):
man findet weiter nach Beziehung (16):
d.h. die Ableitung von s_i läßt sich als Ausdruck der s_i darstellen.
Für die typischen Reisezeitfunktionen ergibt sich s_i als nichtnegativ, streng monoton steigend und konvex mit einer asymptotischen Näherung an die durch das Signalprogramm bestimmte Kapazität der Strecke. s_i besitzt die in Beziehung (17) definierten Eigenschaften:
Die Zuflußbeschränkung r_k der Strecke i, hängt von der Verkehrsbelastung x_k auf dieser Strecke ab. r_k ist nichtnegativ, streng monoton fallend, nach oben und unten beschränkt und differenzierbar. Mathematisch gesehen, wird mit den Zuflußbeschränkungen eine Kompaktifizierung des Zustandsraumes bewirkt (x ∈ [0; c₁)x ... x[0; c_M) ⊂ [0; c₁]x ... x[0; c_M] ⊂ R^M). Aus der Sicht des Verkehrssystems hat die Funktion die Aufgabe, die Verkehrsmengen der Strecken nach oben zu begrenzen, indem sie die Streckenzuflüsse beschränkt. Die Beschränkung eines Streckenzuflusses hat für die vorgelagerten Strecken zur Folge, daß unter Umständen nicht alle Fahrzeuge, die möglicherweise abfließen könnten, auch tatsächlich vollständig abfließen. Auf diese Weise werden verbundene, d. h. benachbarte Streckenpaare miteinander korreliert. So können sich Staueffekte fluß aufwärts im Netz fortpflanzen. r_k bildet den reellen Zahlenraum R auf die offene Menge (0; 1) entsprechend Gleichung (18) ab ("squashing function"):
Die freien Parameter b_i und c_i legen die Gestalt der Funktion fest. Sie werden so gewählt, daß die Funktion r_k den verkehrstechnischen Zusammenhang möglichst gut approximiert. Unter der Voraussetzung sinnvoll gewählter Parameter b_i und c_i besitzt die Funktion die Eigenschaften der Beziehung (19):
Die Eigenschaften 1) aus obiger Beziehung können wie folgt interpretiert werden: Ist die Strecke verkehrsfrei, so ist der Zufluß unbeschränkt (r_k(0) ≈ 1), wogegen im Falle maximaler Verkehrsbelastung keine Fahrzeuge mehr einfahren können (r_k(x_max,k) ≈ 0).
Die Ableitung r ' / i = dr_i/dx läßt sich in geschlossener Form gemäß Gleichung (20) ausdrücken: r'i (x) = (ci/xmax,i)ri(x)(1 – ri(x), ∀ ∈ S (20)
Ebenso wie im Falle des maximal möglichen Abflusses s_i gilt auch hier, daß die genaue mathematische Realisierung von r_i für das RANN unbedeutend ist, solange die oben beschriebenen Eigenschaften (nichtnegativ, streng monoton fallend, sigmoid) eingehalten werden und der verkehrstechnische Zusammenhang approximiert wird. Die dynamische Gleichung (20) gestattet auch eine komponentenweise Notation, wenn man die Größen u und h einsetzt. Man erhält so Gleichung (21):
Die Faktoren r_k und s_k in Gleichung (21) können in die Summen hineingezogen werden. Die daraus entstehenden Produkte lassen sich dann rein formal als äußeres Vektorprodukt von r und s entsprechend Gleichung (22) zusammenfassen. Es sei also A := s·rT ∈ RM×M (22)oder in Komponentenschreibweise mit Gleichung (23): 0 ≤ αik(x) := si(xi)rk(xk) ∈ R, ∀i, k ∈ S. (23)
A kann als Korrelationsmatrix der maximal möglichen Streckenabflüsse und der Streckenzuflußbeschränkungen interpretiert werden. Offensichtlich gilt im allgemeinen α_i _k ≠ α_ki, d.h. die Matrix A ist nicht symmetrisch. Die dynamische Gleichung (21) kann mit Hilfe von A umformuliert werden in Gleichung (24):
Diese Form verdeutlicht, daß die Dynamik des Netzes durch gewichtete Summen von Korrelationstermen bestimmt ist.
Das vorstehend beschriebene Simulations-Netzwerk SIM ist wohl kein rekurrentes neuronales Netzwerk im klassischen Sinne. Denn die Dynamik ist nicht einfach durch sigmoide Funktionen gewichteter Summen von Aktivitätszuständen x_k definiert. Vielmehr wird ein komplexerer Ausdruck verwendet, der zwei verschiedenartige sigmoide Funktionen (s_k und r_k) in Produkten und gewichteten Summen verwendet.
Wie 3 zeigt, zerfällt das Simulations-Netzwerk SIM in seinem funktionalen Aufbau damit in einzelne Blöcke, die jeweils elementaren Operationen entsprechen. Da zu diesen Operationen auch die Multiplikation zählt, wird das Netzwerk als strukturiertes Σ-Π-RANN oder einfach als Σ-Π-RANN bezeichnet. Das Σ-Π-RANN besitzt folgenden, in Tabelle 2 zusammenfassend beschriebenen funktionalen Ablauf: Tabelle 2
Der entscheidende Punkt ist nun, daß sich das bekannte und äußerst effektive Lernverfahren der sogenannten „rekurrenten Backpropagation (RBP)" auf den Fall des strukturierten Σ-Π-Netzwerks übertragen läßt. Konkret heißt das: Es ist möglich, dem Σ-Π-RANN ein transponiertes (lineares) Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR zur Seite zu stellen, welches die Gewichte des Σ-Π-RANN entsprechend der vorgegebenen Zielfunktion justiert. Diese benötigten Gewichtskorrekturen werden mit Hilfe des Gradientenabstiegverfahrens berechnet. Die erweiterte Version dieses Lernverfahrens, die hier eingesetzt wird, ermöglicht eine besonders schnelle Gradientenberechnung.
Für die Konstruktion des in 4 unter anderem dargestellten Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR wird von folgenden Randbedingungen ausgegangen: Die Umlegung der anliegenden Verkehrsflüsse auf das Straßennetz ist indirekt durch den Gleichgewichtszustand des Simulations-Netzwerks SIM gegeben. Dabei können die Verkehrsflußmuster h des Simulations-Netzwerks SIM stets eindeutig aus den Verkehrsmengen x hergeleitet werden. Die Verkehrsmengen wiederum sind, zumindest im Gleichgewichtszustand des Netzwerks, eindeutig von den Gewichten W abhängig. Die konkrete Optimierungsvorstellung (Sy stemoptimum, Benutzeroptimum, wie noch erläutert wird), die dem Umlegungsverfahren zugrunde liegt, drückt sich damit letztlich in der Wahl der Gewichte W aus. Jedoch entsteht für einen beliebig gewählten Satz von Gewichten mit großer Wahrscheinlichkeit noch keine sinnvolle Umlegung der Verkehrsflüsse. Um die Gewichte des Simulations-Netzwerks SIM geeignet einzustellen, bedient man sich der Zielfunktion, welche die gewünschte Optimierungsvorstellung formalisiert bzw. quantifiziert.
Die Zielfunktion E definiert eine Potentialfläche über den Gleichgewichtszuständen des Simulations-Netzwerks SIM, entlang der die Gewichte, z.B. mit Hilfe einer linearen Approximation durch Gradientenberechnung, justiert bzw. korrigiert werden können. Dabei ist die Zielfunktion E so angelegt, daß möglichst kleine Funktionswerte dem vorgegebene Ziel am besten entsprechen. Gesucht wird also das Minimum der Größe E in Abhängigkeit von den Gewichten W. Auf diese Weise wird die Bestimmung der passenden Gewichte zum Optimierungsproblem.
Die zu minimierende Zielfunktion besitzt die in Gleichung (25) ausgedrückte allgemeine Form:
wobei die streckenbezogenen E_i(x_i) in der Regel Ausdrücke der mittleren Reisezeit π_i auf den Strecken sind, wie nachfolgend erläutert wird.
Im Kontext von Verfahren zur Verkehrsumlegung spielen zwei Zielfunktionen eine herausragende Rolle, ein Systemoptimum und ein Benutzeroptimum. Das Systemoptimum spiegelt die Interessen des Betreibers wider. Dessen Intention ist es, den Gesamtverkehr des Transportsystems durch geeignete Steuerungsmaßnahmen so zu beeinflussen, daß insgesamt, d.h. in der Summe, möglichst geringe Fahrzeiten resultieren, selbst wenn dies zu Ungunsten einzelner Verkehrsteilnehmer gehen sollte. Das Systemoptimum ist für das hier beschriebene Verfahren durch Gleichung (26) gegeben:
Hier berücksichtigt der Term β_k(x_k – x ^_k)² die Meßstellen, wobei x_k die gemessene Verkehrsmenge der Strecke k ist. Die Konstante β_k ≥ 0 legt den Einfluß einer durch die Meßstelle gegebenen Nebenbedingung fest. Für Strecken ohne Meßstelle sei β_k = 0.
Der Reisezeitfunktion des Simulations-Netzwerks SIM nach Gleichung (27):
liegt zugrunde, daß ein gerade einfahrendes Fahrzeug solange auf der Strecke k verbleibt, bis alle auf dieser Strecke befindlichen Fahrzeuge abgeflossen sind. Diese Beziehung führt mit f_k = h_k auf einen besonders einfachen Ausdruck für die Zielfunktion E. Gleichung (26) vereinfacht sich somit zu Gleichung (28):
Für dieses spezielle Optimierungskriterium, d.h. die Reisezeitminimierung läuft das Systemoptimum also auf eine Minimierung der Gesamtzahl der Fahrzeuge im Straßennetz hinaus.
Im Gegensatz zu dem Idealbild des Systemoptimums will das Benutzeroptimum die tatsächlichen Verkehrsverhältnisse so darstellen, wie sie mit großer Wahrscheinlichkeit in der Realität anzutreffen sind. Die Zielfunktion drückt hier die zugrundeliegende Annahme aus, daß jeder einzelne Verkehrsteil nehmer sein Reiseziel in möglichst kurzer Zeit erreichen möchte. Ein bekannter Ansatz dafür ist mit Gleichung (29) gegeben:
Er bezieht sich auf die Verkehrsflüsse der Strecken, wobei π_k = π_k(f) eine monoton steigende Reisezeitfunktion in Abhängigkeit vom Verkehrsfluß ist. Im Fall des Simulations-Netzwerks SIM werden die Verkehrsmengen x als Zustandsvariable verwendet und zumindest im Gleichgewichtszustand gilt f_k= h_k(x). Es ergibt sich als Zielfunktion für das Benutzeroptimum Gleichung (30):
Man darf im Falle der statischen Verkehrsumlegung davon ausgehen, daß das Verkehrssystem die Verkehrsnachfrage bewältigen kann, sonst würde sich aufgrund der Konstanz der Netzzuflüsse ein anomaler Zustand einstellen, der kein Gleichgewichtszustand mehr wäre. Aus diesem Grunde darf man annehmen, daß f_k = s_k(x_k) ist. Mit der Reisezeitfunktion des Simulations-Netzwerks SIM nach Gleichung (31)
führt dies zur verkehrsmengenabhängigen Zielfunktion für das Benutzeroptimum gemäß Gleichung (32)
oder mit der Substitution ds_k = s ' / kdx_k zu Gleichung (33)
Wie aus den Formeln (26) und (28) ersichtlich ist, sorgen die Zielfunktionen auch für die Kongruenz der Verkehrsflußmuster mit den gemessenen Verkehrsbelastungen einzelner Strecken (β_k(x_k – x ^_k)²). In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, daß der Netzabfluß z entsprechend Gleichung (34) ebenfalls als Meßstelle mit Meßwerten
interpretiert wird. Zur Berechnung der Verkehrsmenge x ^_k reicht die Umkehrfunktion s –1 / k(·) des streng monoton steigenden, maximal möglichen Abflusses aus, da die nachgelagerten "Erdungsneuronen" keine Zuflußrestriktionen besitzen.
Die Steuerungsparameter des Simulations-Netzwerks SIM sind die Gewichte W des RANN bzw. aus der Sicht des verkehrstechnischen Systems, die Abbiegebeziehungen W. Diese Gewichte sollen so eingestellt werden, daß die vorgegebene Zielfunktion E minimiert wird. Dazu werden die Gewichte unter Verwendung eines Gradientabstiegverfahrens schrittweise solange korrigiert, bis sich der Minimalwert der vom Systemstatus x abhängigen Zielfunktion E einstellt. Ist diese konkav, so ist auch die Eindeutigkeit der Lösung gesichert, da dann nur ein globales Extremum existiert.
Um für die Korrekturen von W den W-Gradienten der Zielfunktion E(x) nutzen zu können, wird ein funktionaler Zusammenhang x = x(W) zwischen den Gewichten W und dem Systemzustand x benötigt. Dieser Zusammenhang ist für die Fixpunkte des Systems gegeben, da der Gleichgewichtszustand x^* des relaxierten Netzwerks die Fixpunktgleichungen (35)
erfüllt. Diese Fixpunktgleichungen definieren indirekt die gesuchte Beziehung x^* = r^*(W^*). Zumindest für die Fixpunkte gilt deshalb E(x^*) = E(x^*(W)). Die vorstehend definierten Zielfunktionen sind von der allgemeinen Form E(x) = Σ_iE_i(x_i). Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich in beiden Fällen, Systemoptimum und Benutzeroptimum, für die Gewichtskorrekturen gemäß Beziehung (36):
Die Größen G_k in Gleichung (36) können direkt anhand der vorgegebenen Zielfunktionen berechnet werden. Im Falle des über die Gleichung (28) definierten Systemoptimums ergibt sich Gleichung (37): Gk = 1 + 2βk(xk – x ^k) (37)
Für das Benutzeroptimum nach Gleichung (32) erhält man mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung die Beziehung (38):
Unbekannt in Gleichung (36) sind jedoch die partiellen Ableitungen ∂x_k/∂w_pq, die aber über die Differentiation der Fixpunktgleichung (35) bestimmt werden können. Dies führt zu Beziehung (39):
sowie zu Beziehung (40):
Ein Umsortieren und Zusammenfassen von Termen ergibt die Beziehung (41):
sowie Beziehung (42)
Offenbar ist die Beziehung (41) ein System von linearen Gleichungen in den Variablen ∂x_i/∂w_pq. Prinzipiell könnte dieses lineare Gleichungssystem mit einem Standardverfahren – etwa der Gauß'schen Methode – gelöst werden, doch ist hier ein Iterationsverfahren wegen des sehr viel geringeren Rechenaufwandes vorzuziehen.
Eine Invertierung des Gleichungssystems (41) führt zur Gleichung (43):
Mit der Definition von neuen Variablen gemäß Beziehung (44):
und neuen Gewichten entsprechend der Beziehung (45):
ergibt sich Gleichung (46):
bzw. Gleichung (47):
dabei ist α_k gemäß Beziehung (48)
Die Gleichung (47) wird jetzt als Definition des Fehlerpropagierungs-Netzwerkes ERR interpretiert, das die Zustandvariable y besitzt und offenbar linear ist. Seine zeitdiskrete Evolutionsgleichung (49) lautet
wobei für die Gewichte wegen der Gleichungen (45) und (48) 0 ≤ ν_ik ≤ 1 gilt. Der Gleichgewichtszustand bzw. Fixpunkt des Systems (49) entspricht der Lösung des linearen Gleichungssystems (47). Nach der Relaxation des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR und Einsetzen der Beziehungen (43) und (44) in Gleichung (36) ergibt sich schließlich für die Gewichtskorrekturen die Gleichung (50):
Diese Gleichung zeigt, daß sich alle Gewichtskorrekturen Δw_pq über eine besonders einfache Beziehung aus dem Fixpunkt y^* des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR berechnen lassen.
Bisher blieb – aus Gründen der Übersichtlichkeit – unberücksichtigt, daß die Gewichte wegen Σ_iw_ki = 1, ∀k voneinander abhängen. Nun soll jetzt gezeigt werden, wie sich diese Abhängigkeiten durch die Wahl neuer Parameter einfach integrieren lassen. Die Korrekturen der Gewichte ΔW werden mit Hilfe des Gradientenabstiegverfahrens bestimmt (Δw_pq= –ε(∂E/∂w_pq)). Hier muß nun berücksichtigt werden, daß die einzelnen Gewichte wegen ∥w_i∥_∞ = Σ_jw_ij = 1, ∀i, (w_i = (w_i1, w_i ₂, ..., w_in)^T) voneinander nicht unabhängig sind. Für die folgenden Betrachtungen sei eine Strecke q ∈ S fest gewählt mit Endknoten r = w(q). Zunächst sei noch einmal darauf hingewiesen, daß w_kq ≥ 0 gilt, falls k ∈ A, ist, andernfalls ist w_kq ≡ 0. Im weiteren sollen nur die nicht konstanten w_kq betrachtet werden, da nur für diese eine Korrektur Δw_pq berechnet werden muß. Es sei A_r = {k₁, k₂, ..., k_α}. Der Vektor w ~_p := (
,
, ...,
)^– liegt wegen ∥w ~_p∥_∞ = Σ_i
= 1 auf der positiven Einheitskugelfläche S_α := {x ∈ R^α; ∥x∥_∞ = 1 und x_i ≥ 0, i = 1, .., α} ⊂ R^α. Die Optimierungsfunktion E muß deshalb über S_α (als Mannigfaltigkeit des R^α) differenziert werden, was auch heißt, daß der Gradientenvektor Δw ~_P im Tangentialraum
w ~_p) von w ~_P an S_α liegt.
Funktionen werden üblicherweise über differenzierbare Mannigfaltigkeiten abgeleitet, indem man für die Mannigfaltigkeit eine Parameterdarstellung konstruiert. Eine solche Parameterdarstellung für w ~_p ist z.B. durch Gleichung (51) gegeben.
ξ₁, ξ₂, ..., ξ_α–1 ∈[0; 1] sind dabei die unabhängigen Parameter. Statt der Gewichtskorrekturen Δw ~ werden nun die Parameterkorrekturen Δξ bestimmt. Mit der Kettenregel ergibt sich Gleichung (52):
Die dynamische Gleichung für das Fehler-Propagierungs-Netzwerk ERR ist analog zu den entsprechenden Beziehungen für das Simulationsnetzwerk SIM abzuleiten. Der Term in der eckigen Klammer von Gleichung (52) entspricht in der Form dem Term auf der rechten Seite der Gleichung (36). Somit ergibt sich entsprechend mit Gleichung (50) für die Berechnung der Δξ_k die Beziehung (53):
Aus den Δξ gewinnt man schließlich wieder die benötigten Gewichtskorrekturen Δw ~ über die einfache Beziehung (54):
mit der „Clipping"-Funktion gemäß Gleichung (55)
In 4 ist ferner das vorstehend erläuterte Fehlerpropagierungsnetzwerk ERR in Verbindung mit dem Simulations-Netzwerk SIM dargestellt. Im folgenden wird das Zusammenspiel beider Netzwerke beschrieben. In der Praxis sind zwei verschiedene Betriebsmodi für derartige Netzwerke bekannt. Der eine, als Fixpunktbetrieb bezeichnet, entspricht der exakten formalen Herleitung des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR. Der andere, als Parallelbetrieb bezeichnet, ist in der Realisierung anzustreben, da er den Vorteil der geringeren Rechenzeit bietet.
Zum Fixpunktbetrieb ist auszuführen: Die Konstruktion des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR basiert auf den partiellen Ableitungen der Fixpunktgleichungen (35) und der Lösung des linearen Gleichungssystems (47) durch die Fixpunkte der Beziehung (49). Jedes der beiden RANN arbeitet also mit den Fixpunkten des jeweils anderen. Aus diesem Grunde müssen die beiden RANN wechselweise relaxiert werden. Das Zusammenspiel kann in folgenden Schritten zusammengefaßt werden, die in Tabelle 3 dargestellt sind.
Tabelle 3
Der gesamte Prozeß ist zu beschleunigen, wenn man die beiden Netzwerke SIM und ERR parallel arbeiten läßt. Dabei benutzen beide permanent ihre aktuellen Systemstati dazu, um die Gewichte des jeweils anderen Netzwerks zu korrigieren. Im Unterschied zum oben beschriebenen Fixpunktbetrieb arbeiten die beiden Netzwerke nun nicht mehr wechselweise auf den Gleichgewichtszuständen des jeweils anderen. Vielmehr tauschen sie ihre Systemzustände bereits nach einigen wenigen Zeittakten, unter Umständen sogar nach jedem Zeittakt aus, d. h. noch bevor sie einen Gleichgewichtszustand erreicht haben. Dies eröffnet die Möglichkeit, den gesamten Prozeß noch weiter zu parallel ablaufen zu lassen, indem man z.B. die beiden RANN auf verschiedenen Prozessoren simultan rechnet. Von weiterem Vorteil ist dabei, daß die Konvergenzgeschwindigkeit bezüglich des Systemoptimums durch den Parallelbetrieb deutlich zunimmt, wie numerische Experimente belegt haben.
Die in diesem ersten Ausführungsbeispiel beschriebene Basisversion des Verfahrens zur Verkehrsumlegung berücksichtigt noch keine Quelle-Ziel-Matrizen (Verkehrsstrom-Matrizen). Ohne diese Matrizen kann aber das Verkehrsgeschehen in der Regel noch nicht sinnvoll beschrieben werden. Im folgenden wird daher das RANN befähigt, solche Quelle-Ziel-Informationen exakt zu berücksichtigen. Dies geschieht im wesentlichen durch eine Strukturierung des Simulations-Netzwerks SIM in einzelne Schichten. Jede Schicht simuliert dabei die Verkehrsflüsse beliebiger Quellen, aber gleichen Ziels. Unter dieser Voraussetzung entspricht die Anzahl der Schichten des Simulations-Netzwerks SIM der Anzahl der Ziele. Das Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR wird der neuen Struktur des erweiterten Simulations-Netzwerks SIM angepaßt.
Das erweiterte System eröffnet neben der Berücksichtigung der Quelle-Ziel-Matrix weitere Möglichkeiten, wie z.B. die gleichzeitige Simulation verschiedener Fahrzeugtypen mit unterschiedlichen Charakteristiken und Zielfunktionen. Für diese Erweiterung werden folgende Definitionen eingeführt:

– Eine Quelle-Ziel-Matrix N beschreibt die Verkehrsnachfrage bzw. die Reisewünsche der Verkehrsteilnehmer. Die Quelle-Ziel-Matrix N wird im Falle der statischen Umlegung als zeitlich konstant vorausgesetzt. Besitzt das Straßennetz Q Quellen und Z Ziele, so ist die Quelle-Ziel-Matrix N von der Dimension Q × Z. Der Eintrag n_ij ist dabei genau der Verkehrsfluß, der von der Quelle i ausgeht und zum Ziel j führt. Da die Quelle-Ziel-Matrix N Verkehrsflußwerte enthält, ist sie auch als Verkehrsflußmatrix zu bezeichnen.
– Jeder Quelle ist im Simulations-Netzwerk SIM eindeutig eine Quellstrecke zugeordnet, in die die zufließenden Verkehrsmengen eingespeist werden; entsprechend gibt es zu jedem Ziel eine Zielstrecke, über die Verkehrsmengen aus dem Netz abfließen. Aus der Quelle-Ziel-Matrix lassen sich die im Zeitintervall τ_x zu- und abfließenden Verkehrsmengen q_i bzw. z_i des Netzwerks bestimmen. Es gilt für alle Quellstrecken i ∈ O die Beziehung (56):
für alle Zielstrecken i ∈
die Beziehung (57):
wobei die Funktion Ψ_q(·) und Ψ_z(·) für jede Quell- bzw. Zielstrecke den zugehörigen Matrixindex der Quelle bzw. des Ziels liefert.

Quelle-Ziel-Matrizen stellen allerdings oft nur sehr grobe Mittelwerte dar, da die Erhebung exakter Daten, z.B. durch Umfragen, schwierig und aufwendig ist und deshalb von Kommunen und anderen Betreibern von Verkehrsnetzen nur in größeren Zeitabständen durchgeführt wird. Genauigkeit und Aktualität der Matrizen lassen sich aber verbessern, indem man sie mit aktuellen Messungen der Netzzuflüsse und Netzabflüsse abgleicht, worauf hier aber nicht näher eingegangen wird.
In 5 ist schematisch für zwei Ziele dargestellt, wie Quelle-Ziel-Matrizen im wesentlichen über eine Erweiterung des Simulations-Netzwerkes SIM in das Verfahren einbezogen werden. Dazu wird das Simulationsnetzwerk SIM in einzelne Schichten aufgeteilt, von denen jede einzelne eine Kopie der originalen Netztopologie besitzt. Jede Schicht soll dabei diejenigen Teilflüsse abbilden, die von beliebigen Quellen ausgehend zu genau einem einzigen Ziel führen. Die Anzahl der Schichten des derart erweiterten Simulations-Netzwerks SIM ist also identisch mit der Anzahl Z der Reiseziele. Die Quellflüsse einer jeden Schicht lassen sich mit Hilfe der vorgegebenen Quelle-Ziel-Matrix aus den totalen Netzzuflüssen berechnen. Die einfließenden Verkehrsmengen werden prinzipiell auf die gleiche Art, nach den gleichen dynamischen Gesetzen durch die Schichten des erweiterten Netzwerks propagiert wie in der vorstehend beschriebenen Basisversion des Verfahrens zur automatischen Verkehrsumlegung. Da für jede einzelne Schicht damit auch das erwähnte Erhaltungsgesetz des Verkehrs gilt, werden die Quelle-Ziel-Bedingungen automatisch eingehalten.
Die erweiterte Struktur des Simulations-Netzwerkes SIM kann aber nicht als bloße Z-fache Vervielfältigung der Basisversion angesehen werden. Es existieren einige gravierende Unterschiede:

– Jede Schicht enthält einen eigenen Satz von Abbiegebeziehungen, das heißt insbesondere auch, daß Z-mal so viele Steuerungsparameter mit Hilfe des Fehlerpropagierungs-Netzwerkes ERR einzustellen sind.
– Die Teilflußmuster der Schichten überschneiden sich. Die Gesamtbelastung, mit anderen Worten die totale Verkehrsbelastung einer Strecke, wird sich also in der Regel aus mehreren Teilflüssen unterschiedlicher Schichten zusammensetzen.
– Die in einer Schicht wirksame Zuflußrestriktion einer Strecke hängt von der totalen Verkehrsbelastung dieser Strekke und nicht etwa nur von dem Teilfluß innerhalb der Schicht ab.
– Der maximal mögliche Abfluß innerhalb einer Schicht für eine Strecke hängt ebenfalls von der totalen Verkehrsbelastung der Strecke ab.
– Und als Konsequenz der vorstehenden Punkte: Die einzelnen Schichten sind nicht unabhängig voneinander. Die dynamischen Gleichungen der einzelnen Schichten enthalten Funktionen, deren Argumente Werte der jeweils anderen Schichten sind.

Die M·Z dynamischen Gleichungen (58) und (59) des Systems werden wie folgt definiert:
Hier und nachfolgend bezeichnen der Top-Index „d" immer die Nummer der Schicht und die Terme w d / ik die Abbiegebeziehungen der Schicht d (Σ_kw d / ik = 1, ∀i, ∀d). Die Terme q d / k sind die Netzzuflüsse der Schicht d, die den Bedingungen gemäß Beziehung (60) genügen:
Die „Korrelationsterme" α d / ik(·) müssen nun allerdings abgeändert werden, da sowohl die Zuflußrestriktionen als auch der maximal mögliche Abfluß nicht nur von den Teilflüssen der aktuellen Schicht, sondern von der totalen Verkehrsbelastung der Strecken abhängen. Die Beschreibung der Terme α d / ik(·) benötigt weitere Definitionen. Es sei mit der Beziehung (61) xi := (x1i , x2i , ..., xZi )T, ∀i ∈ S (61)der Vektor aller Verkehrsmengen der Schichten 1 bis Z auf der Strecke i und x := (x1, x2, ..., xM)T (62).
Die totale Verkehrsmenge der Strecke i ist dann durch Gleichung (63) definiert:
Mit diesen Festlegungen ergibt sich Beziehung (64)
wobei entsprechend der Beziehung (65)
der maximal mögliche Abfluß der Schicht d für die Strecke i und r_k(·) bzw. s_k(·) die bereits definierte Zuflußrestriktion bzw. der totale maximal mögliche Abfluß der Strecke k sind. Offenbar gilt Beziehung (66):
d.h. der von der totalen Verkehrsmenge |x_i| der Strecke i abhängige maximal mögliche Abfluß ist gerade die Summe der maximal möglichen Abflüsse aller Schichten.
Die Zielfunktionen beziehen sich auf die totalen Verkehrsmengen. Mit Gleichung (26) ergibt sich als allgemeine Form für das Systemoptimum die Beziehung (67):
bzw. die Beziehung (68):
für die spezielle Reisezeitfunktion π_k := τ_x(|x_k|/h_k) und f_k = h_k. Für das Benutzeroptimum folgt in direkter Analogie zu Gleichung (32) Beziehung (69):
Die Korrekturen der Gewichte, die den Abbiegebeziehungen entsprechen, werden wieder mit Hilfe der Gradientenabstiegsmethode berechnet. Es ergibt sich mit Gleichung (70) die Doppelsumme:
deren Terme L_k sich einfach berechnen lassen.
Für das weiter oben definierte Systemoptimum gilt Gleichung (71):
und für das Benutzeroptimums gilt entsprechend Gleichung (72):
Die partiellen Ableitungen ∂x e / k/∂w d / pq jedoch sind unbekannt. Deren Berechnung soll wieder auf die iterative Lösung eines linearen Gleichungssystems zurückgeführt werden. Hierzu werden die dynamischen Gleichungen (58) bzw. (59) partiell differenziert. Es ergibt sich somit Gleichung (73):
sowie Gleichung (74):
(mit
und
. Hieraus erhält man durch Einsetzen und Umsortieren die Beziehungen (75), (76) und (77):
Mit der Definition von neuen Variablen nach den Gleichungen (78) bzw. (79)
ergibt sich die dynamische Gleichung (80):
mit b_ke := L_k/α_ke, ferner entsprechend Gleichung (81)
und nach Gleichung (82) mit αke := Σjwekj Gkj. (82)
Das Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR, das durch Gleichung (80) definiert ist, besteht aus M·Z linearen Neuronen. Es hat keine Schichtenstruktur, da die Gewichte ν_il,ke Verbindungen zwischen allen Neuronen des RANN definieren.
Nun ist aber die durch die Matrix V = (ν_il,ke) definierte Abbildung nicht kontrahierend. Die Matrix V besitzt zwar die in Gleichung (83)
bezeichnete Eigenschaft, es sind aber nicht alle ν_il,ke ≥ 0. Für den Spektralradius von V gilt: ρ(V) > 1, was sich direkt über die Abschätzung der Maximumsnorm zeigen läßt. Man findet Gleichung (84)
wegen w l / kiF l / ki – w l / kiH l / ki ≤ 0 und w e / kiG_ki ≥ 0, ∀k, i.
Damit ist das normale Iterationsverfahren zur Lösung des Gleichungssystems nicht anwendbar, da die Iterationsfolge nicht für beliebige Startwerte konvergiert. Trotzdem läßt sich, wie nachfolgend gezeigt werden soll, das Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR konstruieren. Die Lösung des Problems ergibt sich aus der natürlichen, aus der Schichteneinteilung des Simulations-Netzwerks SIM abzuleitenden Blockstruktur der Matrix V gemäß Beziehung (85):
wobei die Matrizen der Form von Beziehung (86)
quadratische, spärlich besetzte Matrizen sind, denn die Anzahl der von 0 verschiedenen Einträge in der Zeile i ist ≤ |
| + |A_i|. Man kann sich leicht klarmachen, daß die Matrix V_le gerade die Abhängigkeiten der partiellen Ableitungen ∂x l / k/∂w d / pq von Schicht 1 zu denen der Schicht e enthält. Für das weitere wird die Matrix V als Summe zweier Matrizen gemäß Gleichung (87) dargestellt V = VD + VLR, (87)mit der Diagonal-Block-Matrix entsprechend Beziehung (88)
und dem Rest entsprechend der Beziehung (89)
Wegen 0 ≤ ν_ie,ke ∈ V_ee, ∀i, k gilt für die Blockmatrizen V_ee aus V_D die Gleichung (90)
Zudem sind die Diagonalmatrizen V_ee dominant; damit gilt die Beziehung (91)
Das Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichung (80) geht letztlich auf das bekannte Block-Jacobi-Verfahren zurück. Es basiert auf der Beziehung (92): VDy = b – VLRy (92)wobei
Die Komponentendarstellung der vorstehenden Beziehung ist mit Gleichung (93) zu beschreiben:
Die Gleichungen (92) bzw. (93) lassen sich jeweils als zwei miteinander kooperierende Fehlerpropagierungs-Netzwerke ERR1 bzw. ERR2 interpretieren. Die linke Seite der jeweiligen Gleichung definiert das erste Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR1 mit einer Gewichte-Matrix V_D. Seine Aufgabe ist es, das lineare Gleichungssystem V_Dy = b – V_LRy iterativ zu lösen. Dabei wird die rechte Seite b – V_LRy der Beziehung permanent vom zweiten Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR2 korrigiert, das die Gewichte-Matrix V_LR besitzt. Damit ist die dynamische Gleichung (94) des ersten linearen Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR1 also
während das zweite Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR2 die lineare Operation nach Gleichung (95) realisiert:
Das Wechselspiel der beiden Netzwerke wird solange fortgeführt, bis sich b – V_LRy und y nicht weiter ändern. Das dann gefundene y ist dann wegen der Beziehung (92) auch der Fixpunkt y^* nach Gleichung (80). Die gesuchten Gradienten Δw d / pq können nun mit Hilfe des Fixpunktes y^* aufgrund der Beziehung (96) berechnet werden ∆wdpq = ε(y*dq – y*dp )αdpq (96)
Mit dem Fixpunkt y^* sind sämtliche Korrekturen Δw d / pq(∀p, q, d) der Gewichte des Simulations-Netzwerks SIM zu berechnen.
In 6 ist dieses erweiterte Modell in seiner Gesamtstruktur dargestellt. Die Schritte, die mit diesem erweiterten Verfahren ausgeführt werden, sind im Überblick zusammengefaßt in Tabelle 4 aufgeführt.
Tabelle 4
Wie 6 zeigt, stützt sich das erweiterte Verfahren zur Verkehrsumlegung auf drei miteinander kooperierende RANN, das nichtlineare Simulations-Netzwerk SIM in Form des geschichteten Σ Π-RANN zur Simulation des Verkehrsgeschehens und die beiden linearen Fehlerpropagierungs-Netzwerke ERR1 und ERR2. Letztere liefern in Zusammenarbeit die Korrekturen für die Gewichte des Simulations-Netzwerks SIM, für das eine Reihe von Schichten schematisch dargestellt ist. Da sich jede dieser Schichten nur auf die Verkehrsflüsse einer einzelnen Quelle-Ziel-Beziehung bezieht, ist es möglich, die Topologie für diese Schicht zu reduzieren. Es können daraus alle die Strecken entfernt werden, die von den in Frage kommenden Verkehrsflüssen sicher nicht genutzt werden. Dazu gehören insbesondere alle Strecken, von denen aus nicht zum aktiven Ziel der Schicht weitergefahren werden kann.
In 7 sind in einem rekursiven Flußdiagramm die einzelnen Schritte dargestellt, mit denen sich die für eine bestimmte Schicht irrelevanten Zielstrecken, d.h. diejenigen Strecken entfernen lassen, die nicht zu dem dieser Schicht zugeordneten Ziel führen. Eine derart reduzierte Topologie wirkt sich positiv auf den Rechenaufwand und das Relaxationsverhalten des Simulations-Netzwerks SIM aus.
Die vorstehend beschriebene Vorgehensweise, jeder Schicht des Simulations-Netzwerkes SIM genau die zu einem Ziel gehörenden Verkehrsflüsse zuzuordnen, ist nicht zwingend. Einer Schicht sind prinzipiell an sich beliebige Kombinationen von Quelle-Ziel-Paaren zuzuordnen. So kann z.B. eine Schicht auch genau die Verkehrsflüsse enthalten, die zu einem Quelle-Ziel-Paar gehören. In diesem Fall ist dann die Anzahl der Schichten gleich der Anzahl der Quelle-Ziel-Paare des Netzwerks. Ebenso ist es möglich, die Topologie eines Netzes auf einige wenige, ausgewählte Routen zu reduzieren und diese gesondert zu un tersuchen. Ein Beispiel dafür ist eine ein Stadtnetz querende Transitstrecke, die auch bei großer Verkehrsbelastung vom ortsunkundigen Transitverkehr sicher nicht verlassen wird. Ein anderes Beispiel ist der öffentliche Personen-Nahverkehr mit seinen festen Routen. Die beschriebene Schichtenstruktur das Simulations-Netzwerks SIM erlaubt es ferner ohne weiteres, das normale Verkehrsgeschehen mit zusätzlichem Verkehr zu überlagern, der z.B. auf Einzelereignisse, wie etwa eine Großveranstaltung zurückzuführen ist. Um diesen Einfluß zu berücksichtigen, genügt es, für die Darstellung dieses zusätzlichen Verkehrs eine eigene, individuelle Schicht zu definieren.
Schließlich kann man die einzelnen Schichten so definieren, daß damit verschiedene Zielfunktionen verfolgt werden. Dies ermöglicht es, unterschiedliche Fahrzeugtypen, z.B. Busse des öffentlichen Personen-Nahverkehrs oder Einsatzfahrzeuge mit unterschiedlichen Charakteristiken und Prioritäten auf dem gleichen Wegenetz zu berücksichtigen. Für den öffentlichen Personen-Nahverkehr können daraus z.B. Steuerungsstrategien abgeleitet werden, die dessen fahrplanmäßigen Verkehr garantieren. Die aufgeführten Beispiele zeigen, daß die Zerlegung des Simulations-Netzwerks SIM in eine Mehrzahl von Schichten Möglichkeiten eröffnet, die weit über die bloße Berücksichtigung von Quelle-Ziel-Matrizen hinausgehen.
Die vorstehend beschriebenen Ausführungsbeispiele für ein Verfahren zur automatischen Verkehrsumlegung lassen erkennen, daß damit ein nicht unerheblicher Rechenaufwand verbunden ist. Im allgemeinen ist der Berechnungsaufwand bei einem RANN selbst für sequentielle Rechner bemerkenswert. Für den Fall eines vollständig verbundenen Netzwerks mit M Neuronen entspricht die Korrektur der Gewichte einer Berechnung von M² Gradienten. Eine direkte numerische Differentiation würde einen Aufwand erfordern, der mit M⁴ skaliert. Denn für jeden der M² Parameter muß das Simulations-Netzwerk SIM einmal re laxiert werden, was jeweils einen Aufwand M² bedeutet. Würde man anstelle des Iterationsverfahrens, d.h. der Relaxation bei der Herleitung des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR, für das dort auftauchende lineare Problem eine Matrixinversion mit Standardmethoden durchführen, so erfordert dies immer noch einen Aufwand der Ordnung M³. Im Vergleich dazu benötigt die Relaxierung des Fehlerpropagierungs-Netzwerks ERR mittels des Iterationsverfahrens lediglich eine Zeit proportional zu M².
Im hier interessierenden Fall des Verfahrens zur automatischen Verkehrsumlegung mittels RANN liegen die Verhältnisse noch etwas günstiger. Der Unterschied zum allgemeinen RANN liegt insbesondere in dem wesentlich spärlicheren Verbindungsgrad der Neuronen. So sind im Falle der Schichtenstruktur des Simulations-Netzwerks SIM maximal 5·M·Z Gewichte einzustellen. Denn im Falle eines Verkehrswegenetzes existieren maximal 5 Strecken, die von einem Knoten ausgehen bzw. an einem Knoten enden. Im zugehörigen Fehlerpropagierungs-Netzwerk sind dann bei der Integration der dynamischen Gleichung pro Zeitschritt maximal (2·5·Z)(M·Z) = 10·M·Z² elementare Operationen durchzuführen.
Die folgende Tabelle 5 gibt einen Vergleich mit alternativen Verfahren, dabei ist M = Anzahl der Strecken und Z = Anzahl der Ziele.
Tabelle 5
Wenn man nun davon ausgeht, daß ein stabiler Gleichgewichtspunkt existiert und die Relaxation des Simulations-Netzwerks SIM einen Aufwand der Ordnung (2·5·M)·Z = 10·M·Z erfordert, so skaliert der Gesamtberechnungsaufwand zur Bestimmung eines statischen Nutzer- bzw. Systemgleichgewichts etwa mit M·Z², d.h. nur linear mit der Anzahl der Strecken, also der Netzgröße und quadratisch mit der Anzahl der Ziele.
Zusammenfassend sei darauf hingewiesen, daß das Simulations-Netzwerk SIM nicht mit Beispieldaten trainiert werden muß, um die Dynamik des realen Verkehrsgeschehens zu erlernen. Durch die spezielle Struktur des Netzwerks und die besondere Wahl der Funktionen s_i und r_i ist die Dynamik des Netzwerks, abgesehen von den Steuerparametern, bereits vollständig definiert. Sollten aber Testdaten, die die realen Abläufe hinreichend exakt widerspiegeln, in ausreichender Menge zur Verfügung stehen, so wäre es durchaus möglich, etwa die Funktionen s_i und r_i von freien, einstellbaren Parametern abhängig zu machen. Diese Parameter könnten dann von einem auf dem quadratischen Fehlermaß basierenden Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR eingestellt werden.
Weiter ist besonders beachtenswert, daß in der beschriebenen Verfahrensstruktur die Begriffe „Route" bzw. „Pfad" gar nicht mehr auftauchen. Das Verfahren ist rein streckenorientiert, auch die Zielfunktionen hängen nur von streckenbezogenen Größen ab. Die Definition der optimalen Routen erfolgt indirekt durch das Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR, das durch das Auflösen der linearen Abhängigkeiten der Fehlersignale die Abbiegebeziehungen des Simulations-Netzwerks SIM sinnvoll einstellt. Dabei ist dessen Schichtenstruktur sehr flexibel. So kann man prinzipiell beliebige Untermengen der Verkehrsflüsse in einer Schicht separieren und nach grundsätzlich verschiedenen dynamischen Gesetzmäßigkeiten simulieren.
Das Simulations-Netzwerk SIM ist ferner in der Lage, Rückstaueffekte realistisch nachzubilden. Bei einer aus der vorstehenden Beschreibung ableitbaren dynamischen Verkehrsumlegung ist dies von besonderer Bedeutung, da es in dynamischen Szenarios durchaus zu zeitlich und räumlich begrenzten Überlastungen des Verkehrssystems kommen kann.
Das Fehlerpropagierungs-Netzwerk ERR ist ein Subsystem, das die benötigten Gradienten, verglichen mit bekannten Alternativen, z.B. durch die Lösung linearer Gleichungssysteme oder eine numerische Differentiation, in extrem kurzer Zeit berechnen kann. Zudem ist das gesamte Verfahren hochgradig parallel auszulegen. Die Berechnungen der verwendeten RANN können damit besonders leicht auf massiv paralleler Hardware implementiert, d.h. auf eine entsprechende Anzahl dann besonders einfacher, damit schneller Prozessoren aufgeteilt werden. Damit ist, besonders für große Netze, eine erhebliche Leistungssteigerung zu erreichen, die unter Umständen für den Fall dynamischer Verkehrsumlegung sogar einen „real time"-Einsatz erlaubt. Schließlich besteht die Möglichkeit, andere Steuerungsparameter zu wählen, um aus dem beschriebenen Verfahren zur Verkehrsumlegung ein netzweites Verkehrssteuerungssystem zu entwickeln.

Claims

Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen, die Verkehrsströme in einem vorgegebenen Verkehrsnetz hinreichend definieren, mittels einer datenverarbeitenden Anlage, wobei die Topologie des Verkehrsnetzes in Form eines gerichteten Graphen mit Quellen (Q) und Zielen (Z), die untereinander über Knoten (k) und zwischen diesen verlaufenden Strecken (s) verbunden sind sowie Zu- und Abflüsse an den Quellen bzw. Zielen, charakteristische Eigenschaften der einzelnen Strecken, wie insbesondere Kapazitäten und Reisezeitfunktionen und ferner für einzelne Strecken auch Meßwerte zu der Verkehrsbelastung bekannt sind, gekennzeichnet durch folgende Schritte: – das Verkehrsnetz wird in der datenverarbeitenden Anlage auf ein rekurrentes neuronales Netzwerk (SIM) abgebildet, indem jeder Strecke (s_i) des Verkehrsnetzes ein bestimmtes Neuron (n_i) und einer Fahrzeugmenge auf der jeweiligen Strecke ein Aktivitätszustand (x_i) des entsprechenden Neurons zugeordnet wird sowie Gewichte (w_ij) von Koppelverbindungen zwischen den Neuronen (n_i bzw. n_j) entsprechend der Aufteilung des Verkehrsflusses am zugeordneten Knoten (k_i) des Verkehrsnetzes bestimmt werden, – dieses Netzwerk wird relaxiert, indem in zeitdiskreten Schritten (τ_x) jeweils sein Systemstatus (x(t + τ_x)) bzw. in Analogie dazu der des Verkehrsnetzes bei fortgesetzter Anpassung der Gewichte der Koppelverbindungen durch die Propagierung der Zustände im neuronalen Netzwerk entsprechend der Beziehung x(t + τx) = x(t) + u(x(t)) – h(x(t)) + τxq, t = 0, τx, 2τx,...ermittelt wird, wobei r_x q die streckenbezogenen, über die Quellstrecken einfließenden Verkehrsmengen, sowie u(x(t)) und h(x(t)) Strecknzuflüsse bzw. Streckenabflüsse an den Knoten des Verkehrsnetzes bezeichnen, wobei der Systemstatus für einen Zeitpunkt
aufgrund der Beziehung
ermittelt wird, wobei w _ik die Gewichte der Koppelverbindungen zwischen Neuronenpaaren (n_i und n_j) bzw. die Verkehrsflußaufteilungen an den entsprechenden Knoten des Verkehrsnetzes und a _ik bzw. a _ki Komponenten eines äußeren Vektorprodukts A gemäß der Beziehung A := s·rT ∈ RMxM bezeichnen, dessen Vektoren s die maximal möglichen Abflüsse aus den Strecken bzw. r Zuflußbeschränkungen zu den Strecken des Verkehrsnetzes unter Berücksichtigung von Reisezeiten und/oder auftretenden Verkehrsbeschränkungen ausdrücken, wobei für die Zustandsänderung des Netzwerks (SIM) zu einem Zeitpunkt (t + 1) von dessen Systemstatus (x(t)), insbesondere gegeben durch die Aktivitätszustände (x_i) der Neuronen (n_i) bzw. den Verkehrsmengen auf den Strecken (s_i) zum Zeitpunkt t, ausgegangen wird, daß aus diesen aufgrund von Reisezeitfunktionen einerseits und Zuflußbeschränkungen andererseits definierte sigmoide Abbildungen s und r gebildet werden, daß deren äußeres Produkt A gemäß der Beziehung A := s·r ermittelt wird, daß daraus die gewichteten Summen u und h gebildet werden, die dem Streckenzufluß bzw. Streckenabfluß entsprechen, die beide von den Verkehrsmengen der Strecken und den Verkehrsflußaufteilungen an den Knoten abhängen und daß der Systemstatus (x(t + 1)) zum Zeitpunkt (t + 1) aus der Summe des Systemstatus (x(t)) zum vorangegangenen Zeitpunkt t und den gewichteten Summen u und h gebildet wird, und wobei Korrekturen der Gewichte (w_ij) der Koppelverbindungen der Neuronen (n_i) zur Relaxation des neuronalen Netzwerkes (SIM) mittels eines weiteren neuronalen Netzwerks, dem Fehlerpropagierungs-Netzwerk (ERR) ermittelt werden, dem eine vorbestimmte Zielfunktion zugrundegelegt ist, und – diese Entwicklung wird solange fortgesetzt, bis der Systemstatus einen Fixpunkt (x^*) erreicht, in dem die Änderung der Gewichte minimal wird.
Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die dem Fehlerpropagierungs-Netzwerk (ERR) zugrundeliegende Zielfunktion als eine von den mittleren Reisezeiten auf den Strecken abhängige Funktion ausgebildet ist.
Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß neue Gewichte (ν_ik) des Simulations-Netzwerkes (SIM) aus dessen Fixpunkt (x^*) aufgrund der Beziehung
ermittelt werden, wobei
ist, daß mit diesen Gewichten das Fehlerpropagierungs-Netzwerk (ERR) aufgrund der Beziehung
bis zum Erreichen seines Fixpunktes (y^*) relaxiert wird, wobei
eine aus der vorbestimmten Zielfunktion abgeleitete Größe ist und daß die Gewichte des Simulations-Netzwerkes gemäß der Beziehung
aktualisiert werden.
Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die beiden neuronalen Netzwerke, das Simulations-Netzwerk (SIM) und das Fehlerpropagierungs-Netzwerk (ERR) mittels individueller Rechenwerke zueinander parallel laufend betrieben werden und bereits vor Erreichen ihrer Fixpunkte (x^* bzw. y^*) in vorbestimmten Zeitabständen ihren jeweils aktuellen Systemstatus (x(t) bzw. y(t) miteinander austauschen.
Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß in der Nachbildung des Verkehrsnetzes mit einer Mehrzahl von Quellen (Q), aus denen Fahrzeuge in das Verkehrsnetz einfließen bzw. einer Anzahl d von Zielen (Z), an denen Fahrzeuge aus dem Verkehrsnetz abfließen in dem Simulations-Netzwerk (SIM) jeder der Verkehrsflüsse, deren Anteile aus beliebigen Quellen stammend jeweils zu einem bestimmten Ziel führen, in einer von d individuellen Schichten abgebildet und daß die Zustandsentwicklungen für diese in den Schichten abgebildeten Verkehrsflüsse parallel ermittelt werden.
Verfahren zum Ermitteln von Verkehrsinformationen nach Anspruch 5, gekennzeichnet durch folgende Schritte a) Relaxieren des Simulations-Netzwerkes (SIM) bzw. seiner individuellen Schichten entsprechend der Beziehung
mit den Abbiegebeziehungen w d / ik bzw. den Netzzuflüssen q d / k der Schicht d, b) Ermitteln von Gewichten v _D bzw. v _LR im Fixpunkt (x^*) des Simulations-Netzwerks entsprechend der Beziehung
und Eingeben dieser Gewichte in jeweils eines von zwei Fehlerpropagierungs-Netzwerken (ERR1 bzw. ERR2), c) Entwickeln des ersten Fehlerpropagierungs-Netzwerkes (ERR1) über mindestens einen Zeitschritt entsprechend der Beziechung
aus den Gewichten V _D, d) Ermitteln einer Korrektur z für das erste Fehler-Propagierungs-Netzwerk mit dem zweiten Fehler-Propagierungs-Netzwerk (ERR2) entsprechend der Beziehung
aus den Gewichten V _LR, e) Wiederholen der Schritte c) und d), bis sich die Werte für b _ke nicht mehr signifikant erniedrigen, f) Aktualisieren der Gewichte W des Simulations-Netzwerks aufgrund der Beziehung
und g) Wiederholen der vorstehenden Schritte a) bis f), bis sich die Werte der gegebenen Zielfunktion nicht mehr signifikant erniedrigen.