DE102021121264A1

DE102021121264A1 - System zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils

Info

Publication number: DE102021121264A1
Application number: DE102021121264.2A
Authority: DE
Inventors: Marcus Stoffel; Saurabh Balkrishna Tandale
Original assignee: Rheinisch Westlische Technische Hochschuke RWTH
Current assignee: Rheinisch Westlische Technische Hochschuke RWTH
Priority date: 2021-08-16
Filing date: 2021-08-16
Publication date: 2023-02-16
Also published as: EP4320542A1; WO2023021022A1

Abstract

Die Erfindung betrifft ein System zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte. Das System weist die folgenden Komponenten auf:- eine Eingabe-Schnittstelle, die ausgebildet ist, Geometriedaten zu empfangen, die das Bauteil repräsentieren,- einen finite Elemente-Präprozessor, der ausgebildet ist, das Bauteil in finite Elemente zu unterteilen, und wenigsten einem Element wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung zuzuweisen,- einen finite Elemente-Gleichungslöser, der ausgebildet ist, eine globale Steifigkeitsmatrix für das Bauteil aufzustellen, die angibt, wie sich die Elemente des Bauteils aufgrund der zugewiesenen Materialeigenschaft und/oder Randbedingung verformen, und in dem Bauteil solche Bereiche zu identifizieren, in denen sich das Bauteil verformt und andere Bereiche zu identifizieren, in denen eine Geometrie des Bauteils trotz Einwirken äußerer Kräfte im Wesentlichen unverändert bleibt, und- einen finite Elemente-Postprozessor, der ausgebildet ist, den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte darzustellen.Das System umfasst weiterhin wenigstens ein trainiertes neuronales Netz. Das trainierte neuronale Netz ist trainiert, Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem finiten Element des Bauteils zu bestimmen, wobei sich das finite Element vorzugsweise in demjenigen Bereich des Bauteils befindet, in dem sich das Bauteil beim Einwirken äußerer Kräfte verformt und somit seine Geometrie ändert. Der finite Elemente-Gleichungslöser ist weiterhin ausgebildet, die von dem trainierten neuronalen Netz für das verformte Element bestimmte Elementsteifigkeitsmatrix zum Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix zu verwenden und den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix zu bestimmen.

Description

Die Erfindung betrifft ein System sowie ein Verfahren zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte.
Mechanische Bauteile sollen im Einsatz nicht versagen. Daher werden Bauteile z.B. getestet und infolge einwirkender Kräfte auftretende Verformungen werden mit Dehnmessstreifen erfasst. Welche Spannungen im Inneren eines Bauteils wirken, kann jedoch nicht - zumindest nicht ohne weiteres - gemessen werden. Daher ist es zum Beispiel bekannt, Plexiglasmodelle mechanischer Bauteile einer äußeren Kraft auszusetzen und Spannungen im Plexiglas unter polarisiertem Licht zu beobachten. Auch dieses Verfahren hat sehr enge Grenzen, vor allem, weil die tatsächlichen Bauteile in der Regel nicht aus Plexiglas bestehen. Auch können mechanische Bauteile komplexe Geometrien aufweisen und vielfältigen, teils hohen und sich überlagernden Kräften ausgesetzt sein. Zum Beispiel ist eine Antriebswelle bei der Drehmomentübertragung regelmäßig Quer- und Längskräften, sowie Lagerkräften ausgesetzt. Für den Betrieb muss eine Antriebswelle entsprechend so ausgelegt werden, dass sie den einwirkenden Kräften auf Dauer standhält und nicht bricht.
Die inneren Belastungszustände, wie z.B. innere Spannungen, innere Dehnungen und daraus resultierende Verformungen des Bauteils, sind in der Regel nicht einfach zugänglich und somit nicht einfach darstellbar. Sie hängen unter anderem von dem Betrag und der Richtung der von außen einwirkenden Kräfte, der tatsächlich vorliegenden Geometrie des Bauteils als auch von dessen Werkstoffeigenschaften ab. Insbesondere die Werkstoffeigenschaften können aufgrund des Herstellungsprozesses des Bauteils auch räumlich innerhalb des Bauteils variieren.
Um die inneren Belastungszustände zu ermitteln und darzustellen werden regelmäßig Untersuchungen eines Bauteils an einem Prüfstand durchgeführt, die durch Simulationswerkzeuge ergänzt werden.
Eine Methode, die es ermöglicht innere Belastungszustände eines mechanischen Bauteils unter Einwirkung äußerer Kräfte darzustellen, ist die Finite Elemente Methode, kurz FEM.
Der Grundgedanke der FEM ist es, beispielsweise ein mechanisches Bauteil als aus einer Vielzahl kleiner Elemente bestehend zu betrachten, die sich aufgrund der Einwirkung benachbarter Elemente bei auf das Bauteil einwirkenden äußeren Kräften verformen und verschieben sowie inneren mechanischen Spannungen ausgesetzt sind. Die resultierenden Verschiebungen der Elemente - und damit die Verformung des Bauteils - sowie die dabei in bzw. zwischen den (finiten) Elementen herrschenden inneren Spannungen können dann graphisch dargestellt werden.
Zum Durchführen der FEM werden in der Regel ein finite Elemente (FE)-Präprozessor, ein FE-Gleichungslöser und ein FE-Postprozessor eingesetzt. Ein FE-Präprozessor unterteilt das Bauteil in finite Elemente, denen Materialeigenschaften und Randbedingungen zugewiesen werden können. Ein FE-Gleichungslöser stellt für das Bauteil ein Gleichungssystem auf, das beschreibt, wie sich die finiten Elemente unter Krafteinwirkung verformen und verschieben und welche inneren Kräfte dabei zwischen den Elementen auftreten. Dieses finite Elemente Modell kann der FE-Gleichungslöser iterativ lösen und so die im Inneren des Bauteils bei äußerer Krafteinwirkung auftretenden Spannungen und Verformungen bestimmen. Der FE-Postprozessor kann dann eine graphische Darstellung generieren, die die inneren Belastungszustände, insbesondere die inneren mechanischen Spannungen, repräsentiert und somit den gewünschten Blick in das Innere des Bauteiles erlaubt.
Eine technische Herausforderung stellt die Tatsache dar, dass der FE-Gleichungslöser die auftretenden Verschiebungen, Spannungen und Kräfte nur iterativ löst, was zu einem erheblichen Ressourcenaufwand sowohl hinsichtlich Rechen- und Speicherkapazität als auch hinsichtlich der Zeit führt.
Daher besteht neben dem Wunsch, innere Zustände eines mechanischen Bauteils anzuzeigen auch der Wunsch, dies mit möglichst geringen Ressourcenaufwand in möglichst kurzer Zeit zu bewerkstelligen.
Die finiten Elemente haben im Vergleich zu dem Bauteil, das durch die Vielzahl der finiten Elemente repräsentiert wird, typischerweise eine vergleichsweise einfache Geometrie, z.B. die Form eines Hexaeders oder eines Tetraeders, so dass sich das mechanische Verhalten der einzelnen finiten Elemente deutlich leichter bestimmen lässt, als dasjenige das kompletten Bauteils.
Finite Elemente werden durch Knoten in einer Art Gittermodell repräsentiert. Den Knoten werden Materialeigenschaften, wie z.B. bei einer linearen Beziehung zwischen Spannung und Dehnung ein Elastizitätsmodul und eine Poissonzahl, sowie Randbedingungen zugewiesen. Die Randbedingungen können z.B. eine äußere Kraft umfassen und wirken an den Knoten des FEM-Modells.
Weiterhin wird für jedes finite Element eine Anzahl Ansatzfunktionen definiert. Die Ansatzfunktionen beschreiben die Verschiebung der Knoten und dazwischenliegender Punkte. Die Ansatzfunktionen sind so definiert, dass die Übergänge zwischen den finiten Elementen stetig sind. Eine einfache Ansatzfunktion, für einen Zugstab kann wie folgt definiert werden $u (x) = (1 - x/L) * u_{I} + (x/L) * u_{J} .$
Sie enthält die Verschiebungen u_I und u_J an den Knoten I und J als Unbekannte. Hierbei bezeichnet x den Ort zwischen den beiden Knoten I und J und L den Abstand zwischen den Knoten. Bei x=0 entspricht die Verschiebung der Verschiebung u_I des Knotens I und bei x=L entspricht die Verschiebung der Verschiebung u_J des Knotens J.
Im allgemeinen Fall umfassen die Ansatzfunktionen in der Regel Polynome ersten zweiten, dritten oder höheren Grades und beschreiben dabei mathematisch wie ein finites Element auf äußere Einflüsse, wie z.B. eine von außen auf das Bauteil ausgeübte mechanische Kraft, reagiert. Als Ansatzfunktion wird regelmäßig ein lokaler Ritz-Ansatz gewählt. Die Ansatzfunktionen müssen bei dem Übergang von einem finiten Element zu einem benachbarten finiten Element Stetigkeitsbedingungen erfüllen und enthalten die Knoten des finiten Elements als Parameter.
Mittels der Ansatzfunktionen eines finiten Elements kann für jedes finite Element ein Gleichungssystem aufgestellt werden, das eine Elementsteifigkeitsmatrix umfasst, die die Knoten als Unbekannte enthält.
Die Dimension der Elementsteifigkeitsmatrix entspricht dabei der Anzahl der Freiheitsgrade der Knoten, im dreidimensionalen Fall also sechs Freiheitsgraden. In der FEM wird für jedes einzelne finite Element eine Elementsteifigkeitsmatrix aufgestellt.
Die Summe aller Elementsteifigkeitsmatrizen ergibt eine globale Steifigkeitsmatrix die das Bauteil beschreibt und deren Besetzung von der Geometrie des Bauteils abhängt. Alle Elementsteifigkeitsmatrizen haben dieselbe Dimension wie die globale Steifigkeitsmatrix.
Wenn die Elementsteifigkeitsmatrizen der einzelnen finiten Elemente zu der globalen Steifigkeitsmatrix des Bauteils zusammengefasst werden, kann ein lineares Gleichungssystem der Form $K * X = F$
aufgestellt werden, wobei K die globale Steifigkeitsmatrix, X die Verschiebungsmatrix und F die Kraftmatrix ist. Die globale Steifigkeitsmatrix bildet die Verschiebungen an den Knoten auf die an den Knoten wirkenden Kräfte ab. Die Komponenten einer Steifigkeitsmatrix heißen Steifigkeitskomponenten.
Durch eine äußere Kraft, die auf das Bauteil wirkt, kann sich das Bauteil verformen. Die Verformung des Bauteils führt dazu, dass sich in dem finite-Element des Bauteils die Knotenpositionen relativ zueinander ändern. Mit der FEM wird die Verschiebung an den Knoten ausgewertet und die Verschiebung an Raumpunkten, an denen sich kein Knoten befindet, zwischen den nächstliegenden Knoten interpoliert. Die Verschiebung der finiten Elemente impliziert die Verformung des Bauteiles und führt dazu, dass sich auch die Komponenten der Elementsteifigkeitsmatrizen - also die Steifigkeitskomponenten - verändern.
Bei der Ermittlung des mechanischen Verhaltes eines einzelnen finiten Elements des Bauteils werden Randbedingungen sowie die Auswirkung des mechanischen Verhaltens der benachbarten finiten Elemente berücksichtigt. Es wird berücksichtigt, wie sich Kräfte und weitere Randbedingungen auf die einzelnen finiten Elemente auswirken, in dem Bauteil fortpflanzen und auf benachbarte finite Elemente auswirken.
Mit einem FE-Gleichungslöser wird das Gleichungssystem K*X=F in der Regel iterativ gelöst, um so Verformungen des Bauteils auf Basis der Verschiebungen der finiten Elemente sowie die dabei auftretenden inneren mechanischen Spannungen zu bestimmen.
Dabei geht ein FE-Gleichungslöser typischerweise so vor, dass dieser in mehreren Inkrementen und für jedes Inkrement iterativ das Gleichungssystem K*X=F löst. Jedes Inkrement repräsentiert dabei einen bestimmten Belastungszustand, man spricht auch von einem Belastungsinkrement. Es werden nacheinander verschiedene Belastungszustände bestimmt, die jeweils von dem vorherigen Belastungszustand ausgehen und sich einem finalen Belastungszustand im Kräftegleichgewicht annähern. Wenn der Belastungszustand im Kräftegleichgewicht ermittelt wurde, ist die Lösung für das mechanische Verhalten eines Bauteils unter Einwirken äußerer Kräfte gefunden.
Zum iterativen Lösen des Gleichungssystems K*X=F in einem jeweiligen Inkrement umfasst der FE-Gleichungslöser in der Regel einen Newton-Raphson-Gleichungslöser.
Das Lösen des Gleichungssystems erfolgt iterativ, weil die auftretenden Verformungen dazu führen, dass sich auch die Steifigkeitskomponenten in den Elementsteifigkeitsmatrizen und damit in der globalen Steifigkeitsmatrix ändern. Dabei sollte mit jeder Iteration die Abweichung der gefundenen Lösung von der vorherigen Lösung geringer werden, so dass die Näherung konvergiert und sich der tatsächlichen Lösung für das jeweilige Inkrement annähert. Das iterative Bestimmen der neuen Steifigkeitskomponente kann unter Umständen viel Zeit beanspruchen. Dieser Schritt auf dem Weg zur Darstellung innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils allein kann daher zu einer signifikanten Verlängerung führen und entsprechend über längere Zeit Rechenkapazitäten binden.
Aus dem mechanischen Verhalten der einzelnen finiten Elemente kann so auf das mechanische Verhalten des gesamten Bauteils geschlossen werden.
Je nach Komplexität des Bauteils und der Anzahl der Knoten kann das iterative Lösen des Gleichungssystems K*X=F mit dem FE-Gleichungslöserje nach verfügbarer Rechenkapazität mehrere Stunden oder sogar Tage beanspruchen. Zudem ist nicht sichergestellt, dass sich die iterativ gefundenen Lösungen der tatsächlichen Lösung überhaupt annähern, das heißt, ob die iterativ gefundenen Lösungen konvergieren. Es kann sein, dass die Berechnung solange wiederholt wird, bis ein Abbruchkriterium erfüllt wird, falls ein solches Abbruchkriterium überhaupt definiert ist.
Um die zum iterativen Lösen des Gleichungssystems K*X=F benötigte Zeit zu verkürzen wurde vorgeschlagen, einzelne, der Simulation zugrundeliegende Materialgesetze durch ein trainiertes neuronales Netz (NN) zu ersetzen.
Beispielsweise wurde in dem Artikel „Artificial neural networks and intelligent finite elements in non-linear structural mechanics“ von M. Stoffel et al. erschienen in Thin-Walled Structures 131 (2018) 102-106, vorgeschlagen, einzelne Materialgesetze wie, z.B. dasjenige der Viskoplastizität in den Auswertepunkten der Gauß-Quadratur, durch ein trainiertes neuronales Netz zu ersetzen. Dadurch sind Beziehungen zwischen Zustandsvariablen, z.B. zwischen Spannung und Dehnung, bereits bekannt bevor die eigentliche FEM-Simulation gestartet wird und müssen nicht iterativ durch den FE-Gleichungslöser bestimmt werden.
In der Doktorarbeit „Smart Finite Elements: An Application of Machine Learning to reducedorder Modeling of Multi-Scale Problems“ von German Capuano, Georgia Tech Theses and Dissertations [22684], wird vorgeschlagen eine FEM-Simulation durch Verwenden sogenannter „smarter“ finiter Elemente zu beschleunigen. Ein „smartes“ finite Elemente approximiert die inneren Kräfte eines herkömmlichen finiten Elements und wird durch ein trainiertes neuronales Netz repräsentiert.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein System und ein Verfahren anzugeben, das ein Darstellen innerer Belastungszustände eines Bauteils im Falle des Einwirkens äußerer Kräfte mit möglichst geringen Ressourcen- und Zeitaufwand ermöglicht.
Gemäß der Erfindung wird zur Lösung der Aufgabe ein System vorgeschlagen, das eine Eingabe-Schnittstelle, einen finite Elemente-Präprozessor, einen finite Elemente-Gleichungslöser, und einen finite Elemente-Postprozessor aufweist.
Die Eingabe-Schnittstelle ist ausgebildet, Geometriedaten zu empfangen, die das Bauteil repräsentieren.
Der finite Elemente-Präprozessor ist ausgebildet, das Bauteil in finite Elemente zu unterteilen, und wenigsten einem Element wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung zuzuweisen.
Der finite Elemente-Gleichungslöser ist ausgebildet, eine globale Steifigkeitsmatrix für das Bauteil aufzustellen, die angibt, wie sich die Elemente des Bauteils aufgrund der zugewiesenen Materialeigenschaft und/oder Randbedingung verformen, und in dem Bauteil solche Bereiche zu identifizieren, in denen sich das Bauteil verformt und andere Bereiche zu identifizieren, in denen eine Geometrie des Bauteils trotz Einwirken äußerer Kräfte im Wesentlichen unverändert bleibt.
Der finite Elemente-Postprozessor ist ausgebildet, den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte bildlich darzustellen.
Das System umfasst weiterhin wenigstens ein trainiertes neuronales Netz. Das neuronale Netz ist trainiert, Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem finiten Element des Bauteils zu bestimmen, und zwar vorzugsweise für ein finites Element, das sich in demjenigen Bereich des Bauteils befindet, in dem sich das Bauteil beim Einwirken äußerer Kräfte verformt und somit seine Geometrie ändert.
Der finite Elemente-Gleichungslöser ist weiterhin ausgebildet, die von dem trainierten neuronalen Netz für das verformte Element bestimmte Elementsteifigkeitsmatrix zum Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix zu verwenden und den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix zu bestimmen.
Der FE-Gleichungslöser ist insbesondere dazu ausgebildet, die sich für ein jeweiliges Inkrement ändernden Steifigkeitskomponenten der Elementsteifigkeitsmatrizen mittels eines trainierten neuronalen Netzes zu bestimmen. Dies erfolgt insbesondere dadurch, dass das trainierte neuronale Netz in jedem Inkrement aufgerufen wird und mit dem trainierten neuronalen Netz direkt konvergierte Steifigkeitskomponenten für ein jeweiliges finites Element bestimmt werden. Da das trainierte neuronale Netz bereits konvergierte Steifigkeitskomponenten bestimmt, sind in dem jeweiligen Inkrement keine weiteren Iterationen nötig, um konvergierte Steifigkeitskomponenten zu bestimmen. Das ist möglich, weil das neuronale Netz so trainiert ist, dass es bereits konvergierte Steifigkeitskomponenten bestimmen kann.
Im Gegensatz zu einem Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils mit der bekannten FEM, ist es mit dem erfindungsgemäßen System nicht notwendig, das Gleichungssystem K*X=F in jedem Inkrement iterativ zu lösen. Stattdessen kann in jedem Inkrement das Gleichungssystem K*X=F direkt unter Verwendung der von dem trainierten neuronalen Netz bestimmten konvergierten Steifigkeitskomponenten gelöst werden.
Bei dem System werden insbesondere die in jedem Inkrement auftretenden Verschiebungen für ein mechanisches Bauteil wie bei einer herkömmlichen FEM bestimmt. Jedoch können die Verschiebungen für jedes Inkrement schneller bestimmt werden, da die inneren Belastungszustände eines Bauteils in jedem Inkrement direkt mittels der von dem neuronalen Netz bestimmten konvergierten Steifigkeitskomponenten bestimmt werden können.
Die Erfindung beruht auf den Überlegungen, dass es im Fall von Materialgesetzen möglich ist, Evolutionsgleichungen, die die Entwicklung von Zustandsvariablen für inelastisches Materialverhalten beschreiben, durch künstliche neuronale Netze mathematisch zu approximieren. Möchte man einen Schritt weitergehen und auch lokale Steifigkeitskomponenten durch neuronale Netze ersetzen, kann man die Komponenten der Gleichgewichtsbedingung K*X=F in der Form $A (\sum_{i = 1}^{n} w_{i j} u_{i}) = F_{i}$
ausdrücken. Hierbei befinden sich auf der rechten Seite der letzteren Gleichung die generalisierten Kraftkomponenten, die durch eine Aktivierungsfunktion A ausgedrückt werden. Die Aktiierungsfunktion wird bei geometrisch und/oder physikalisch nichtlinearen mechanischen Verformungen typischerweise ebenso nichtlinear sein und hängt von den generalisierten Verschiebungen u_i und den Gewichten w_ij ab. Die Gewichte können während eines Trainings optimiert werden und stellen physikalisch eine alternative Beschreibung der Steifigkeitskomponenten dar, sodass man auf diese Weise Steifigkeitskomponenten durch neuronale Netze ersetzen kann.
Der Erfindung liegt nun die Erkenntnis zugrunde, dass ein wie vorstehend beschriebenes Ersetzen der Steifigkeitskomponenten durch neuronale Netze zu einem mathematischen Problem bei der Lösung des der FEM zugrunde liegenden Gleichungssystems K*X=F führen kann, in dem man nun die Steifigkeitskomponenten durch die Gewichtungen w_jj ausdrücken und nach dem Verschiebungsvektor X auflösen muss. Dieses sonst in der FEM übliche Vorgehen wird in diesem Fall durch die Verwendung nichtlinearer Aktivierungsfunktionen, die für geometrisch und/oder physikalisch nichtlineares Struktur- und Materialverhalten notwendig sind, erschwert bzw. verhindert. Dieses Problem kann weiter verkompliziert werden, wenn zusätzliche verborgene Schichten in einem Netzwerk vorhanden sind. In diesem Fall würden sich innerhalb der Aktivierungsfunktion weitere verschachtelte nichtlineare Funktionen befinden, die ein Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den gesuchten Verschiebungen verkomplizieren oder unmöglich machen können. Dieses Problem wird bei dem erfindungsgemäßen System dadurch umgangen, dass das neuronale Netz so trainiert ist, dass mit diesem direkt konvergierte Steifigkeitskomponenten für ein finites Element bestimmt werden können. Mit auf diese Weise aktualisierten Elementsteifigkeitsmatrizen kann die globale Steifigkeitsmatrix aktualisiert und mit dieser die globale Verschiebungsmatrix bestimmt werden.
Der Erfindung liegt die weitere Erkenntnis zugrunde, dass insbesondere die Bestimmung von Steifigkeitskomponenten solcher finiter Elemente besonders viel Zeit beanspruchen kann, die sich in einem Bereich des Bauteils befinden, das einer Verformung unterzogen wird. Hingegen können die Steifigkeitskomponenten von Elementen in Bereichen die sich nicht oder nur unwesentlich verformen deutlich schneller bestimmt werden. Die vielen Iterationsschritte in einem jeweiligen Inkrement sind insbesondere deshalb nötig, weil die Steifigkeitskomponenten der finiten Elemente aus den sich verformenden Bereichen des Bauteils neu bestimmt werden müssen. Dies ist notwendig, weil sich die Geometrie des Bauteils insbesondere in den sich verformenden Bereichen ändert. Die Änderung der Geometrie führt dazu, dass die Besetzung der Steifigkeitsmatrix, d.h. die Steifigkeitskomponenten die diesen Verformungen zugerechnet werden, neu bestimmt werden müssen.
Mit dem trainierten neuronalen Netz werden daher gerade diejenigen Steifigkeitskomponenten neu bestimmt, die in einem ersten Durchlauf der FEM einem Bereich zugeordnet wurden, in dem sich das Bauteil verformt.
Es ist ein Vorteil des Systems, dass infolge der durch das trainierte neuronale Netz bestimmten konvergierten Steifigkeitskomponenten durch den FE-Gleichungslöser jedem generalisierten Lastvektor direkt ein Verschiebungsvektor zugeordnet werden kann. Auf diese Weise werden zeitaufwändige Iterationen in den jeweiligen Inkrementen umgangen. Die inneren Belastungszustände eines Bauteils sind damit vergleichsweise schneller verfügbar.
Die Erfindung betrifft auch ein Verfahren zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte. Das Verfahren kann mit dem vorstehend beschriebenen System ausgeführt werden.
Das Verfahren umfasst die Schritte:

- Empfangen von Geometriedaten, die das Bauteil repräsentieren,
- Unterteilen des Bauteils in finite Elemente und Zuweisen von wenigstens einer Materialeigenschaft und/oder wenigstens einer Randbedingung zu wenigstens einem der Elemente, und
- Aufstellen einer globalen Steifigkeitsmatrix für das Bauteil, die angibt, wie sich die Elemente des Bauteils aufgrund der zugewiesenen Materialeigenschaft und/oder Randbedingung verformen.

Anschließend werden für ein erstes Inkrement

- solche Bereiche in dem Bauteil identifiziert, in denen sich das Bauteil verformt und vorzugsweise andere Bereiche identifiziert, in denen eine Geometrie des Bauteils trotz Einwirken äußerer Kräfte im Wesentlichen unverändert bleibt.

Daraufhin erfolgt für ein oder mehrere weitere Inkremente ein

- Bestimmen von Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem finiten Element des Bauteils mittels eines trainierten neuronalen Netzes, und zwar vorzugsweise für jedes finite Element, das sich in demjenigen Bereich des Bauteils befindet, in dem sich das Bauteil beim Einwirken äußerer Kräfte verformt und somit seine Geometrie ändert, und ein
- Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix mit der von dem trainierten neuronalen Netz für das verformte Element bestimmten Elementsteifigkeitsmatrix und ein
- Bestimmen des inneren Belastungszustands des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix.

Wenn nach einem oder mehreren Inkrementen der finale innere Belastungszustand des mechanischen Bauteils im Kräftegleichgewicht gefunden wurde erfolgt schließlich ein

- Darstellen des inneren Belastungszustands des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte.

Zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte wird das trainierte neuronale Netz dazu verwendet, die konvergierten Steifigkeitskomponenten für diejenigen Elemente des Bauteils zu bestimmen, die sich durch Einwirken äußerer Kräfte verformen. Es werden bevorzugt nicht alle Steifigkeitskomponenten einer globalen Steifigkeitsmatrix durch das neuronale Netz aktualisiert, sondern nur bestimmte Steifigkeitskomponenten. Die übrigen Steifigkeitskomponenten der globalen Steifigkeitsmatrix, die zu Elementen des Bauteils gehören, in denen sich das Bauteil nicht oder nur unwesentlich verformt, werden vorzugsweise nicht erneut von dem neuronalen Netz bestimmt. Die globale Steifigkeitsmatrix wird dann an die neue Geometrie des Bauteils angepasst, die dadurch verursacht wird, dass äußere Kräfte auf das Bauteil einwirken und dieses verformen. In den Teilen des Bauteils, die nicht verformt werden, ändert sich die Geometrie des Bauteils nicht oder nur unwesentlich und entsprechend auch nicht oder nur unwesentlich die Besetzung der Steifigkeitsmatrix durch die entsprechenden Steifigkeitskomponenten.
Das Anpassen der Steifigkeitskomponenten der globalen Steifigkeitsmatrix erfolgt insbesondere durch Aufrufen des trainierten neuronalen Netzes für jedes finite Element in einem oder in mehreren Inkrementen. Dem trainierten neuronalen Netz werden als Eingangsmatrix z.B. die Komponenten der Verschiebungsmatrix oder des Spannungstensors des jeweiligen finiten Elements zugeführt. Das trainierte neuronale Netz liefert als Ausgangsmatrix die Komponenten der Kräftematrix, falls eine Verschiebungsmatrix als Eingangsmatrix gewählt wurde, oder direkt die Steifigkeitskomponenten, falls der Dehnungs- oder Spannungstensor als Eingangsmatrix gewählt wurde.
Bevorzugt wurde das neuronale Netz trainiert, indem zunächst ein untrainiertes neuronales Netz bereitgestellt wird, das eine Topologie mit einer Eingangsschicht, einer Ausgangschicht und einer oder mehreren Zwischenschichten aufweist, die jeweils eine Vielzahl von Neuronen und diesen zugeordnete Gewichte aufweisen. Die Neuronen einer nachfolgenden Schicht sind jeweils vorzugsweise mit sämtlichen Neuronen einer vorangehenden Schicht verknüpft (fully connected).
Das neuronale Netz wird mit einem Trainingsdatensatz trainiert, der Eingangsvektoren und zugehörige Ausgangsvektoren umfasst. Die Eingangsvektoren können beispielsweise Verschiebungskomponenten oder Dehnungskomponenten umfassen. Die zugehörigen Ausgangsvektoren können beispielweise Kräfte oder Steifigkeitskomponenten umfassen.
Das neuronale Netz wird vorzugsweise durch Anpassen der Gewichte derart trainiert, dass eine durch eine Fehlerfunktion ermittelte Abweichung minimiert wird, die durch eine Differenz zwischen vorgegebenen Werten der Jacobi Matrix Komponenten δf/δu und einem durch das neuronale Netz vorhergesagten Wert der Jacobi Matrix Komponenten δf/δu definiert ist.
Die Trainingsdaten werden vorzugsweise erzeugt, indem zunächst ein einzelnes finites Element bereitgestellt wird, dem wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung, die ein Einwirken einer äußeren Kraft repräsentiert, zugewiesen ist.
Mit einem FE-Gleichungslöser wird vorzugsweise bestimmt, wie sich das einzelne finite Element aufgrund der zugewiesenen wenigstens einen Materialeigenschaft unter Einwirken einer äußeren Kraft verformt, und entsprechende Eingangsvektoren und zugehörige Ausgangsvektoren bestimmt.
1. Aufbau/Topoloqie des neuronalen Netzes
Ein geeignetes neuronales Netz weist eine Eingangsschicht mit einer Anzahl Eingangs-Neuronen und eine Ausgangsschicht mit einer Anzahl Ausgangs-Neuronen auf. Die Anzahl der Eingangs-Neuronen kann beispielsweise der Anzahl der Freiheitsgrade eines Knotens multipliziert mit der Anzahl der Knoten eines finiten Elements entsprechen.
Ein Neuron einer Schicht ist typischerweise mit mehreren Neuronen vorangegangener oder nachfolgenden Schichten verbunden. Ausgangswerte der Neuronen vorangegangener Schichten - oder im Fall der Eingangsschicht: die Elemente eines Eingangsvektors - werden von einem Neuron zu einem Ausgangswert verarbeitet, der an Neuronen einer nachfolgenden Schicht weitergegeben wird und für die dortigen Neuronen jeweils einen Eingangswert bildet. In einem Neuron werden die Eingangswerte - also die Ausgangswerte der Neuronen der vorangehenden Schicht - zunächst gewichtet aufsummiert. Ein Neuron kann weiterhin einen Bias beinhalten, der das durchschnittliche Aktivierungsniveau des Neurons steuert. Der Bias kann auch Teil der gewichteten Summe sein. Die so gewonnene gewichtete Summe wird einer Aktivierungsfunktion zugeführt und von der Aktivierungsfunktion zu dem Ausgangswert verarbeitet.
Das neuronale Netz kann beispielsweise ein Feed-Forward neuronales Netz sein. Alternativ kann das neuronale Netz auch ein Radiale-Basisfunktionen neuronales Netz oder ein recurrent neural network sein.
Das neuronale Netz kann ein, zwei, drei oder mehr als drei Zwischenschichten (engl. hidden layers) aufweisen. Alternativ oder zusätzlich kann das neuronale Netz eine oder mehrere convolutional layers und pooling layers aufweisen.
Für den Fall, dass das trainierte neuronale Netz das Gleichungssystems K*X=F ersetzt, sind der Eingangsvektor X und der Ausgangsvektor F (in Voigt Notation) entsprechend als $X^{T} = [\begin{matrix} u_{1}^{n} & u_{2}^{n} & u_{3}^{n} & \dots & u_{s}^{n} \end{matrix}], F^{T} = [\begin{matrix} f_{1}^{n} & f_{2}^{n} & f_{3}^{n} & \dots & f_{s}^{n} \end{matrix}]$
definiert, mit $s = i \cdot m,$
wobei i die Anzahl der Freiheitsgrade eines Elementknotens und m die Anzahl Knoten pro Element bezeichnen, und kann das neuronale Netz auf dem Level einzelner finiter Elemente durch die Gleichung $F = f_{nn} (X, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{i}, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A'_{j}^{i})$
beschrieben werden. Hierbei ist X ein auf die Eingangsschicht gegebener Eingangsvektor, der generalisierte Verschiebungen u repräsentiert und F der durch das neuronale Netz aus dem Eingangsvektor gebildete Ausgangsvektor, der generalisierte Kräfte repräsentiert. Das neuronale Netz umfasst eine Anzahl von Zwischenschichten, wobei die erste Zwischenschicht mit L und die letzte Zwischenschicht mit L' bezeichnet ist. Die Anzahl der vorhandenen Zwischenschichten ist mit k bezeichnet, wobei k ≥ 2 gilt. Das neuronale Netz ist weiterhin durch Aktivierungsfunktionen Aⁱ _j und deren Ableitungen A^'i _j mit Bezug auf die gewichtete Summe definiert. Wenn der Eingangsvektor X generalisierte Verschiebungen u repräsentiert und das neuronale Netz mit Trainingsdaten trainiert ist, bei denen der Ausgangsvektor F generalisierte Kräfte abbildet, bildet das trainierte neuronale Netz die generalisierten Verschiebungen X auf die generalisierten Kräfte F ab. Anhand der generalisierten Kräfte F können Steifigkeitskomponenten eines finiten Elements bestimmt werden. Das neuronale Netz, das generalisierte Verschiebungen X auf die generalisierte Kräfte F abbildet liefert zunächst generalisierte Kräfte F, die in Steifigkeitskomponenten umgerechnet werden.
Alternativ kann das neuronale Netz so trainiert sein, dass der Eingangsvektor, dessen Komponenten an die Neuronen der Eingangsschicht übergeben werden, die normierten Dehnungs- oder Spannungstensorkomponenten, den internen Zustand eines finiten Elements, repräsentieren $ξ = [\begin{matrix} ε_{11}^{n} & ε_{22}^{n} & ε_{33}^{n} & ε_{23}^{n} & ε_{13}^{n} & ε_{12}^{n} \end{matrix}] .$
In der Ausgangsschicht können die Ausgangs-Neuronen konvergierte Steifigkeitskomponenten repräsentieren, so dass mit dem neuronalen Netz $K = f_{nn} (ξ, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{i})$
normierte Dehnungstensorkomponenten direkt auf konvergierte Steifigkeitskomponenten abgebildet werden. Hierbei bezeichnet ξ den Eingangsvektor und K den Ausgangsvektor.
Die Anzahl der Ausgangs-Neuronen kann der Anzahl der Eingangs-Neuronen entsprechen. Die Anzahl der Eingangs-Neuronen entspricht vorzugsweise der Anzahl der Freiheitsgrade eines Knotens. Die Anzahl von Neuronen in einer Zwischenschicht kann sich von der Anzahl der Eingangs-Neuronen unterscheiden und übersteigt diese vorzugsweise. Falls mehrere Zwischenschichten vorhanden sind, können diese jeweils eine unterschiedliche Anzahl an Neuronen im Vergleich zu einer Anzahl von Neuronen in einer der übrigen Zwischenschichten aufweisen.
Das neuronale Netz kann optional in der Eingangsschicht weitere Eingangs-Neuronen für Eingangswerte umfassen, die Geometrie-Parameter repräsentieren. Dies ist jedoch nicht notwendig, da bereits alle geometrischen Eigenschaften in neuronalen Netz enthalten sind. Durch weitere Eingangs-Neuronen, die Geometrie-Parameter repräsentieren, kann jedoch der Trainingserfolg des neuronalen Netzes verbessert werden.
Das neuronale Netz umfasst den Neuronen des neuronalen Netzes zugeordnete Aktivierungsfunktionen, die beispielsweise eine Hyperbeltangens-Aktivierungsfunktion oder eine sigmoidale-Aktivierungsfunktion oder Radiale Basisfunktion sein können.
2. Training des neuronalen Netzes
Das im Rahmen der FEM eingesetzte neuronale Netz ist trainiert. Dazu werden Trainingsdaten genutzt, die zu verschiedenen Eingangsvektoren zugehörige Ausgangsvektoren enthalten. Ziel des Trainings ist es, die Gewichte des neuronalen Netzes so anzupassen, dass der von dem neuronalen Netz aus einem Eingangsvektor gebildete Ausgangsvektor entsprechenden Trainingsdaten möglichnahe kommt.
Für den Einsatz im Rahmen der FEM wird das neuronale Netz mit Trainingsdaten trainiert, die sich derart zusammensetzen, dass der Ausgangsvektor des trainierten neuronalen Netzes dazu beiträgt,
2.1 Erzeugen von Trainingsdaten
Damit mit dem System innere Belastungszustände eines mechanischen Bauteils dargestellt werden können, wird das neuronale Netz mit Trainingsdaten entsprechend trainiert. Die Trainingsdaten sollten so generiert werden, dass diese in den Wertebereich der zu erwartenden Größenordnungen von Zustandsvariablen passen, z.B. zu den Spannungen und Dehnungen, sowie zu den Schnittgrößen. Mit anderen Worten, die Trainingsdaten sollten einen Wertebereich umschließen, der für die Darstellung innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils zu erwarten ist.
Innerhalb der Trainingsdaten wird bevorzugt eine Unterteilung gewählt, die geeignet ist, dass das neuronale Netz bei dem Bestimmen der Steifigkeitskomponenten mit ausreichender Genauigkeit zwischen diesen Werten interpolieren kann.
Trainingsdaten werden bevorzugt an einem einzelnen finiten Element erzeugt, indem für verschiedene Kombinationen aus generalisierten Kraft- und Verschiebungsvektoren FEM-Simulationen durchgeführt werden. Auf diese Weise erhält man zu jeder dieser Kombinationen lokale Steifigkeitsmatrizen des finiten Elementes. Diese Trainingsdaten werden mittels klassischer FEM und dem Newton-Raphson-Gleichungslöser gewonnen.
Hierbei hat das einzelne finite Element vorzugsweise die Geometrie eines Hexaeders oder eines Tetraeders. An seinen Ecken weist das einzelne finite Element Knoten auf, denen Materialeigenschaften wie ein Elastizitätsmodul und eine Poissonzahl sowie Randbedingungen zugewiesen sind. Beispielsweise kann für das Training ein elastisch-plastisches Materialverhalten angenommen werden, das eine nichtlineare isotrope Verhärtung umfassen kann.
Mit Hilfe der FEM Analyse dieses einzelnen finiten Elements werden Trainingsdaten gewonnen, indem für jeweils unterschiedliche Materialeigenschaften und Randbedingungen, z.B. unterschiedliche Kräfte auf bekannte Weise vollständige FEM-Simulationen durchlaufen werden und auf diese Weise mittels FEM für ein finites Element viele Paare von Eingangs- und Ausgangsvektoren berechnet und für das Training des neuronalen Netzes in Form von Trainingsdatensätzen zur Verfügung gestellt werden. Alternativ können die Materialeigenschaften desjenigen Bauteils angenommen werden, dessen mechanisches Verhalten dargestellt werden soll.
Durch die FEM Analyse eines einzelnen finiten Elements können Paare von Eingangsvektoren, die z.B. die Komponenten der Verschiebungsmatrix oder des Dehnungstensors des jeweiligen finiten Elements repräsentieren und zugehörigen Ausgangsvektoren, die die aus dem Eingangsvektor resultierenden Komponenten der Kräftematrix, falls eine Verschiebungsmatrix als Eingangsmatrix gewählt wurde, oder direkt die Steifigkeitskomponenten repräsentieren, falls der Dehnungstensor als Eingangsmatrix gewählt wurde.
Die so erzeugten Trainingsdaten umfassen Eingangsvektoren und diesen zugeordnete Ausgangsvektoren. Die Trainingsdaten können Geometrieparameter des für das Training verwendeten einzelnen finiten Elements enthalten.
Eventuell kann es erforderlich sein, dass ein im Rahmen der FEM verwendetes, trainiertes neuronales Netz nachtrainiert werden muss. Solange die FEM ergibt, dass sich das Bauteil im linear elastischen Bereich verformt, muss das Training des neuronalen Netzes jedoch auch dann nicht wiederholt werden, wenn sich die Geometrie des Bauteils ändert. Nur wenn sich die Verformung des Bauteils im geometrisch nichtlinearen Bereich abspielt kann es notwendig sein, dass das Training zu wiederholen. Selbst im physikalisch nichtlinearen Bereich ist es nicht notwendig, dass das Training des neuronalen Netzes wiederholt wird, wenn sich die Geometrie eines Bauteils ändert, wenn bei dem Training des neuronalen Netzes normierte Größen verwendet werden. Zwischen physikalischen und normierten Trainingsdaten befinden sich Skalierungsparameter. Ändert sich eine Bauteilgeometrie, dann können durch Anpassen von Skalierungsvariablen dieselben normierten Trainingsdaten erzeugt werden, wie bei bereits vorhandenen Trainingsdaten.
Vorzugsweise werden ungefähr 15000 Datenpunkte für das Training des untrainierten neuronalen Netzes erzeugt.
Mit den Trainingsdaten wird das zunächst untrainierte neuronale Netz trainiert, um dieses dann dazu zu verwenden in einer FEM-Simulation auf dem Level einzelner Elemente die Steifigkeitskomponenten der Elementsteifigkeitsmatrix zu bestimmen.
2.2 Training des neuronalen Netzes
Das Training des neuronalen Netzes erfolgt iterativ mit Hilfe eines Trainingsdatensatzes, der Eingangsvektoren und zugehörige Ausgangsvektoren enthält. Das Training des neuronalen Netzes erfolgt iterativ, wobei in jedem Iterationsschritt die Gewichte der Neuronen so verändert werden, dass die Prädiktion, also der Ausgangsvektor des neuronalen Netzes von dem zugehörigen Ausgangsvektor aus dem Trainingsdatensatz möglichst wenig abweicht.
Für das Training können beispielsweise Trainingsdaten verwendet werden, die 15000 Datenpunkte umfassen. Die Trainingsdaten können Geometrieparameter des für das Training verwendeten einzelnen finiten Elements enthalten.
Das Training des neuronalen Netzes erfolgt dadurch, dass mit einer Fehlerfunktion eine Abweichung eines von dem neuronalen Netz vorhergesagten Ausgangsvektors von einem Ausgangsvektor des Trainingsdatensatzes bestimmt und diese Abweichung durch Anpassen der Gewichte des neuronalen Netzes iterativ minimiert wird.
Die Komponenten der Eingangsvektoren aus den Trainingsdaten werden als Eingangsdaten an die Eingangs-Neuronen des neuronalen Netzes übergeben. Zu jedem Eingangsvektor bildet das neuronale Netz einen Ausgangsvektor, der sich aus den Ausgangswerten der Ausgangsschicht zusammensetzt. Es wird vorzugsweise ein Sobolev-Training angewendet, d.h., für das Training werden sowohl die Ausgangsvektoren der Ausgangs-Neuronen als auch deren Ableitungen betrachtet. Durch das Sobolev-Training werden Jacobi-Matrix Komponenten δf/δu approximiert. Ein derart trainiertes neuronales Netz liefert als Prädiktion zuverlässige Werte für die Steifigkeitskomponenten. Dies erlaubt die gewünschte Verwendung des neuronalen Netzes zum Bestimmen aktualisierter Steifigkeitskomponenten in der FEM.
Dies wird dadurch ermöglicht, dass die Jacobi-Matrix Komponenten δf/δu von jedem Neuron des neuronalen Netzes in der Fehlerfunktion selbst berücksichtigt werden. Die Berücksichtigung der Jacobi-Matrix Komponenten δf/δu in der Fehlerfunktion basiert auf den folgenden Überlegungen.
Ausgegangen wird von der Jacobi Matrix der herkömmlichen FEM $J = \frac{\partial Δ σ^{n}}{\partial Δ ε^{n}}$
wobei Δσⁿ das normierte Inkrement des Spannungstensors und Δεⁿ das normierte Inkrement des Dehnungstensors bezeichnet.
Darauf aufbauend wird eine Fehlerfunktion $E_{m 2}^{*} = \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} {[({(σ_{i j}^{n})}_{l}^{a} - {(σ_{i j}^{n})}_{l}^{P})]}^{2} + \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{p = 1}^{3} {\sum_{q = 1}^{3} [{(\frac{\partial Δ σ_{i j}^{n}}{\partial Δ ε_{p q}^{n}})}_{l}^{n} - {(\frac{\partial Δ σ_{i j}^{n}}{\partial Δ ε_{p q}^{n}})}_{l}^{p}]}^{2} .$
definiert. Der letzte Term der Gleichung 13 gibt die von dem neuronalen Netz vorhergesagten Materialsteifigkeiten an und kann mittels automatischen Differenzierens erhalten werden.
Wenn man jedoch Gleichung 13 für das Training des neuronalen Netzes verwenden würde, müssten zusätzliche, die Materialsteifigkeiten repräsentierende Ausgangs-Neuronen in der Ausgangsschicht vorgesehen sein. Das neuronale Netz muss entsprechend trainiert und die Topologie des neuronalen Netzes entsprechend angepasst werden.
Die Erfindung schließt die Erkenntnis ein, dass dies nicht nötig ist, wenn für das Training des neuronalen Netzes eine andere Fehlerfunktion verwendet wird, bei der bereits in der Fehlerfunktion die Materialsteifigkeiten durch die strukturellen Steifigkeiten δf/δu ersetzt werden, d.h. durch die Jacobi Matrix Komponenten des neuronalen Netzes. Diese brauchen nicht in Form von (weiteren) Trainingsdaten vorgegeben zu werden, sondern können während des Trainings durch Ableiten der Ausgangswerte des neuronalen Netzes bestimmt werden.
Das so trainierte neuronale Netz kann dazu verwendet werden, im Rahmen der FEM direkt die Steifigkeitskomponenten eines finiten Elements zu bestimmen.
Das trainierte neuronale Netz kann zum Darstellen innerer Belastungszustände für Bauteile mit sehr unterschiedlichen Geometrien verwendet werden, ohne dass die Topologie des neuronalen Netzes angepasst oder dieses erneut trainiert werden müsste.
Für das Training des neuronalen Netzes unter Verwendung der strukturellen Steifigkeiten δf/δu werden drei unterschiedliche Ansätze vorgeschlagen, das numerische Differenzieren, das automatische Differenzieren und die Evolution konvergierter Steifigkeiten.
Im dem Falle, dass für das Training der Ansatz des numerischen Differenzierens oder des automatischen Differenzierens angewendet wird, wird für das Training vorzugsweise die Fehlerfunktion $E_{s 1} = \frac{1}{d} {\sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{m} [{(ƒ_{i}^{n})}_{a}^{l} - {(ƒ_{i}^{n})}_{l}^{p}]}^{2} + \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{p}]}^{2} .$
verwendet. Hierbei repräsentiert d die Anzahl der für das Training verwendeten Datenpunkte, also z.B. 15000. Weiterhin repräsentieren i und j entsprechend die Komponenten der Eingangs- bzw. Ausgangsvektoren und können maximal den Wert der maximalen Anzahl an Freiheitsgraden der Knoten annehmen. Die Komponenten des normierten Ausgangsvektors werden mit fⁿi bezeichnet. Die Indizes a und p entsprechen dem tatsächlichen Ausgangsvektor bzw. dem durch das neuronale Netz vorhergesagten Ausgangsvektor.
Die Fehlerfunktion enthält einen ersten Term, der den Fehler der durch das neuronale Netz vorhergesagten generalisierten Kräfte f repräsentiert. Zusätzlichen enthält die Fehlerfunktion einen zweiten Term, der die von neuronalen Netz vorhergesagte Materialsteifigkeit angibt. Dieser Term enthält Steifigkeitskomponenten δf/δu. Die Gewichte der Neuronen werden im Rahmen des Trainings z.B. mittels eines Gradientenabstiegverfahrens so verändert, dass die Fehlerfunktion minimiert wird. Im Falle der in Gleichung 24 angegebenen Fehlerfunktion führt dies dazu, dass sowohl der Fehler der durch das neuronale Netz vorhergesagten generalisierten Kräfte f, als auch der Fehler der Jacobi Matrix Komponenten δf/δu des Materials des Bauteils minimiert werden. In diesem Fall ist es nicht notwendig in der Ausgangsschicht weitere Ausgangs-Neuronen vorzusehen, die Steifigkeitskomponenten δf/δu repräsentieren, da diese bereits als Teil des Trainings bestimmt werden.
Mit dem Sobolev-Training wird zusätzlich der Fehler des zusätzlichen Terms minimiert, der die Steifigkeitskomponenten δf/δu enthält.
Optional kann in dem Training des neuronalen Netzes mit der Fehlerfunktion $E_{s 1} = \frac{1}{d} {\sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{m} [{(ƒ_{i}^{n})}_{a}^{l} - {(ƒ_{i}^{n})}_{l}^{p}]}^{2} + \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{p}]}^{2} .$
ein Backpropagation-Algorithmus ausgeführt werden, d.h., ein Ausgangsvektor des neuronalen Netzes wird mit einem Ausgangsvektor, der aus einer herkömmlichen FEM-Simulation bekannt ist, verglichen. Die Abweichung zwischen dem Ausgangsvektor des neuronalen Netzes und dem Ausgangsvektor der FEM wird als Fehler durch das neuronale Netz zurück propagiert, um Gewichte der Neuronen des neuronalen Netzes so anzupassen, dass die Abweichung kleiner wird.
Der Backpropagation-Algorithmus kann beispielsweise die Verwendung des Levenberg-Marquardt-Algorithmus umfassen, um eine Konvergenz des Ausgangsvektors des neuronalen Netzes an den per FEM gewonnene Ausgangsvektor aus dem Trainingsdatensatz zu verbessern. Der Levenberg-Marquardt-Algorithmus umfasst die Berücksichtigung einer Jacobi-Matrix der Ableitungen der Fehler an den Neuronen des neuronalen Netzes.
Für den Fall, dass für das Training mittels eines dritten Ansatzes, der Evolution konvergierter Steifigkeiten, erfolgt, wird vorzugsweise eine andere Fehlerfunktion verwendet, die wie folgt definiert ist: $\sum_{s 2} = \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{k}^{p}]}^{2} .$
Nachdem das neuronale Netz vor der Lösung eines Randwertproblems trainiert wurde, sind dem neuronalen Netz nur die Steifigkeitskomponenten für beliebige Verformungen bekannt, die im Trainingsverlauf mit der FEM an einem einzelnen finiten Element mit den Kraft- und Verschiebungsvektoren in Korrelation gebracht wurden.
Es kann daher sein, dass das trainierte neuronale Netz zwischen Wertepaaren von Kraft- und Verschiebungsvektoren interpolieren muss, um aktualisierte Steifigkeitskomponenten für ein finites Element zu bestimmen. Ein daraus resultierender möglicher Fehler kann durch ein entsprechendes vorangegangenes Training minimiert werden.
3. Funktion des trainierten neuronalen Netzes im Rahmen der FEM
Wie die Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix für ein finites Element eines verformten Bauteils aktualisiert werden hängt insbesondere davon ab, nach welchem der drei unterschiedlichen Ansätze, dem numerischen Differenzieren, dem automatischen Differenzieren oder der Evolution konvergierter Steifigkeiten, trainiert wurde.
Zunächst wird beschrieben, wie die Steifigkeitskomponenten bestimmt werden können, wenn das neuronale Netz nach dem ersten Ansatz des numerischen Differenzierens trainiert wurde.
Wenn ein Elementknoten s Freiheitsgrade hat und eine Anzahl m generalisierter Verschiebungen und Kräfte einzigartig sind, müssen nur eine Anzahl m einzigartiger Steifigkeitsinformationen für das Training berücksichtigt werden.
Bei dem numerischen Differenzieren liefert das neuronale Netz einen Ausgangsvektor, der generalisierte Kräfte repräsentiert, die wiederum unter Verwendung der Gleichung $\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{m}^{n}} = \frac{ƒ_{n n}^{i} (u_{m}^{n} + ε_{m}) - ƒ_{n n}^{i} (u_{m}^{n})}{ε_{m}} .$
in normierten Steifigkeitskomponenten des i-ten Elements umgerechnet werden können, wobei fⁱ _nn eine Komponente des Ausgangsvektors des trainierten neuronalen Netzes, uⁿm die m-te Komponente der generalisierten Verschiebungsmatrix, ε_m einen in das neuronale Netz eingeführten Störwert (engl. disturbance value) und δfⁿ _i/δuⁿ _m die normierte Steifigkeitskomponente repräsentieren.
Hierbei wird angenommen, dass die Gewichte und Bias der Neuronen des neuronalen Netzes in den Komponenten des Ausgangsvektors des trainierten neuronalen Netzes fⁱ _nn enthalten sind.
Die normierten Steifigkeitskomponenten lassen sich durch Lösen der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
nach x in physikalische Größen überführen, mit denen dann die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
des sich verformenden finiten Elements aktualisiert werden kann.
Wenn das neuronale Netz nach dem Ansatz des automatischen Differenzierens trainiert wurde, können die Steifigkeitskomponenten mittels der Gleichung $\frac{\partial f_{l}^{n}}{\partial u_{m}^{n}} = \frac{\partial f_{s}^{n}}{\partial A_{s}^{n}} \cdot \frac{\partial A_{s}^{n}}{\partial z_{s}^{n}} \sum_{t = 1}^{L'} (\frac{\partial z_{s}^{n}}{\partial A_{1}^{k}} \cdot \frac{\partial A_{1}^{k}}{\partial z_{1}^{k}} \dots \sum_{p = 1}^{L} \frac{\partial A_{p}^{l}}{\partial z_{p}^{l}} \cdot \frac{\partial z_{p}^{l}}{\partial u_{m}^{n}}) .$
bestimmt werden. Im Unterschied zu Gleichung 27 gehen in Gleichung 37 die gewichtete Summe und die Ausgangsvektoren ein, die wiederum von den Gewichten und den Bias der Neuronen des neuronalen Netzes abhängen. Bei dem Ansatz des automatischen Differenzierens wird kein Störwert benötigt, um die normierten Steifigkeitskomponenten zu bestimmen.
Die normierten Steifigkeitskomponenten lassen sich durch Lösen der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
nach x in physikalische Größen überführen, mit denen dann die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
des sich verformenden finiten Elements aktualisiert werden kann.
Wenn das neuronale Netz gemäß dem Ansatz der Evolution konvergierter Steifigkeiten trainiert wurde, können die Steifigkeitskomponenten mittels der Gleichung $f_{n n}^{1} (ε_{l j}) = \frac{\partial f_{l}^{n}}{\partial u_{m}^{n}}$
bestimmt werden. Sobald die Steifigkeitskomponenten bestimmt wurden, werden diese vorzugsweise unter Verwendung der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
in physikalische Größen überführt. Anschließend werden die konvergierten Steifigkeitskomponenten in die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
eingesetzt, um die Elementsteifigkeitsmatrix zu aktualisieren.
Das trainierte neuronale Netz kann in einen herkömmlichen FE-Gleichungslöser intergiert oder an diesen zum Datenaustausch angebunden werden.
Zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte führt ein FE-Gleichungslöser und das trainierte neuronale Netz bevorzugt die folgenden Schritte aus:

1) Bereitstellen der Beziehung zwischen Knoten und Elementen, d.h. Strukturinformation und Randbedingungen für das Bauteil.
2) Bestimmen der Elementsteifigkeitsmatrizen für die finiten Elemente. Die berechneten Elementsteifigkeitsmatrizen können zu einer globalen Steifigkeitsmatrix zusammengefasst werden, die die Steifigkeitskomponenten der Elementsteifigkeitsmatrizen umfasst.
3) Bestimmen der globalen Verschiebungsmatrix der Verschiebungsvektoren aller finiten Elemente mit dem Newton-Raphson-Gleichungslöser unter Verwendung der globalen Steifigkeitsmatrix.

Für ein erstes Inkrement:

4) Ermitteln für welche Elemente die Verschiebungsvektoren kleiner als ein vorgegebenes Maß sind, um solche finite Elemente zu identifizieren, die sich in Bereichen des Bauteils befinden, in denen sich das Bauteil verformt.

Für ein oder mehrere weitere Inkremente:
Für diejenigen Bereiche in denen das Bauteil einer Verformung unterzogen wird:

5) Aktualisieren der Elementsteifigkeitsmatrizen derjenigen finiten Elemente, die einer Verformung unterzogen werden, durch das trainierte neuronale Netz.
6) Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix durch die Steifigkeitskomponenten der aktualisierten Elementsteifigkeitsmatrizen der entsprechenden finiten Elemente.
7) Bestimmen des globalen Verschiebungsvektors unter Verwendung der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix. Dabei können die in einem Inkrement bestimmten Verschiebungen wiederum als Eingangsvektor für ein neuronales Netz verwendet werden, das in einem nachfolgenden Inkrement dazu verwendet wird, Steifigkeitskomponenten eines finiten Elements in dem nachfolgenden Inkrement zu bestimmen. Hierbei ist kein Newton-Raphson-Gleichungslöser mehr erforderlich, da bereits konvergierte Elementsteifigkeiten aus dem trainierten neuronalen Netz verwendet werden.

Nachdem der innere Belastungszustand im Kräftegleichgewicht bestimmt wurde, abschließend:

8) Darstellen des inneren Belastungszustands des mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte.

Das vorstehend beschriebene Vorgehen zum Lösen eines Randwertproblems ist inkrementell, wie in der klassischen FEM, aber es werden keine Iterationen innerhalb eines Inkrementes mehr benötigt und damit auch nicht mehr der Newton-Raphson-Gleichungslöser. Die Steifigkeitskomponenten sind dem neuronalen Netz in jedem Iterationsschritt aus dem Training bekannt. Das heißt, man verwendet bei dem Bestimmen einer mechanischen Verformung eines Bauteils bereits bekannte Steifigkeitskomponenten aus dem Training und ordnet sie den sich einstellenden generalisierten Kraft- und Verschiebungsvektoren zu. Dadurch umgeht man die Iteration in einem Inkrement.
Es wird daher der Grundsatz des inkrementellen Vorgehens mittels FEM beibehalten, die Iterationen in jedem Inkrement werden aber beseitigt. Sobald man ein einzelnes Element, wie vorstehend beschrieben, trainiert hat, kann man es auf eine beliebig komplizierte Struktur eines Bauteils, die aus diesen einzelnen Elementen zusammengesetzt ist, anwenden, um komplexe Strukturdeformationen zu berechnen. Dies macht das Vorgehen effizient hinsichtlich Rechenzeit und Konvergenz.
Die Erfindung soll nun anhand von Ausführungsbeispielen mit Bezug auf die Figuren näher erläutert werden. Von den Figuren zeigt:

1 :schematisch ein System zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils beim Einwirken äußerer Kräfte;
2:ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Trainieren eines neuronalen Netzes zur Verwendung in einem wie mit Bezug auf 1 beschriebenen Systems;
3:ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Generieren von Trainingsdaten zum Trainieren eines neuronalen Netzes zur Verwendung in einem wie mit Bezug auf 1 beschriebenen Systems;
4:ein schematisch dargestelltes neuronales Netz mit Feed-forward Topologie, das ausgebildet ist, Verschiebungen auf Kräfte abzubilden;
5:einen Ausschnitt eines schematisch dargestellten neuronalen Netzes 500 mit Feed-forward Topologie zum Ermitteln von Jacobi-Matrix Komponenten, das unter Verwendung eines Backpropagation-Algorithmus trainiert wird;
6:ein schematisch dargestelltes neuronales Netz mit Feed-forward Topologie, das ausgebildet ist, Zustandsvariablen auf normierte Steifigkeitskomponenten abzubilden;
7:ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Aktualisieren der Steifigkeitskomponenten einer globalen Steifigkeitsmatrix, wobei die Steifigkeitskomponenten auf drei unterschiedliche Weisen bestimmt werden können;
8:ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren, in dem die FEM dazu verwendet wird ein mechanisches Verhalten eines Bauteils zu simulieren, wobei in dem Verfahren ein trainiertes neuronales Netz Steifigkeitskomponenten für ein finites Element bestimmt, das einer Verformung unterzogen wird;
9:drei auf Basis unterschiedlicher Annahmen erzeugte Kurven, die das Steifigkeitsverhalten eines Balkens darstellen und mit dem durch die FEM vorhergesagten Steifigkeitsverhalten verglichen werden.

1 zeigt schematisch ein System 100 zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils 102 beim Einwirken äußerer Kräfte 104. Beispielhaft wird hier als Bauteil 102 eine Hohlwelle angenommen, die an zwei Punkten 106, 108 gelagert ist.
Auf diese Hohlwelle 102 wirkt mittig eine äußere Kraft 104. Aufgrund der Lagerung 106, 108 der Hohlwelle 102 ist davon auszugehen, dass sich die Hohlwelle 102 insbesondere in dem Bereich 110 zwischen den Lagerpunkten 106, 108 aufgrund der Einwirkung der äußeren Kraft 104 verformt.
Geometriedaten 112, die die Geometrie der Hohlwelle 102 repräsentieren, werden über eine Eingabe-Schnittstelle an einen FE-Präprozessor 114 übergeben. Der FE-Präprozessor 114 ist Bestandteil eines Computers 115, der weiterhin einen FE-Gleichungslöser116, ein trainiertes neuronales Netz 118 und einen FE-Postprozessor 120 umfasst.
Der FE-Präprozessor 114 unterteilt die Hohlwelle 102 in eine Anzahl finiter Elemente und weist den Elementen Materialeigenschaften und Randbedingungen zu. Die Randbedingungen umfassen insbesondere die Richtung und den Betrag der von außen einwirkenden Kraft 104.
Für die Hohlwelle 102 wird von dem FE-Präprozessor 114 eine globale Steifigkeitsmatrix aufgestellt, die auf der ursprünglichen Geometrie der Hohlwelle 102, ohne Berücksichtigung von von äußeren Kräften induzierten Verformungen, beruht.
Aufgrund der Verformung der Hohlwelle 102 ändert sich deren Geometrie und somit auch die Besetzung der globalen Steifigkeitsmatrix mit Steifigkeitskomponenten.
Die Änderung der Steifigkeitskomponenten der globalen Steifigkeitsmatrix wird zunächst mit einem FE-Gleichungslöser 116 iterativ unter Verwenden des Newton-Raphson-Gleichungslösers bestimmt. Anhand dieser ersten Bestimmung der Steifigkeitskomponenten der globalen Steifigkeitsmatrix durch den FE-Gleichungslöser 116 lassen sich solche Elemente der Hohlwelle 102 identifizieren, in denen sich die Hohlwelle 102 verformt. Die Steifigkeitskomponenten insbesondere dieser Elemente, in denen sich die Hohlwelle 102 verformt, können sich ändern und sollten neu bestimmt werden. Die globale Steifigkeitsmatrix wird vorzugsweise aktualisiert, um die veränderte Geometrie der verformten Hohlwelle 102 zu repräsentieren.
Gemäß einer herkömmlichen Implementierung der FEM wird ein FE-Gleichungslöser dazu verwendet in mehreren Inkrementen und für jedes Inkrement iterativ zum Lösen des Gleichungssystems K*X=F die neuen Steifigkeitskomponenten zu bestimmen. Dabei sollen die iterativ ermittelten Steifigkeitskomponenten sich den tatsächlichen Steifigkeitskomponenten annähern, d.h., die gefundenen Lösungen müssen konvergieren.
Bei dem hier beschriebenen System 100 werden die Steifigkeitskomponenten derjenigen finiten Elemente, in denen sich die Hohlwelle 102 verformt, für jedes Inkrement durch ein trainiertes neuronales Netz 118 bestimmt. Das iterative Lösen des Gleichungssystems K*X=F mittels eines Newton-Raphson-Gleichungslösers entfällt.
Das trainierte neuronale Netz 118 erhält von dem FE-Gleichungslöser 116 für ein entsprechendes Element einen Eingangsvektor, der die für dieses finite Element ermittelten Verschiebungen oder Zustandsvariablen repräsentiert. Das trainierte neuronale Netz liefert daraufhin einen Ausgangsvektor, der normierte Kräfte oder direkt normierte Steifigkeitskomponenten repräsentiert. D.h. das trainierte neuronale Netz bildet die für dieses finite Element ermittelten Verschiebungen oder Zustandsvariablen auf normierte Kräfte oder direkt auf normierte Steifigkeitskomponenten ab.
Falls das trainierte neuronale Netz 118 als Ausgangsvektor normierte Kräfte ausgibt, werden diese in Steifigkeitskomponenten umgerechnet.
Das trainierte neuronale Netz 118 aktualisiert auf diese Weise die Steifigkeitskomponenten für jedes der finiten Elemente, in denen sich die Hohlwelle 102 verformt. Dies erfolgt für jedes finite Element in jedem Inkrement für das das trainierte neuronale Netz 118 aufgerufen wird.
Mit den durch das trainierte neuronale Netz 118 für die jeweiligen finiten Elemente neu bestimmten Steifigkeitskomponenten wird die globale Steifigkeitsmatrix in dem jeweiligen Inkrement aktualisiert. Die durch das trainierte neuronale Netz 118 neu bestimmten Steifigkeitskomponenten sind bereits konvergierte normierte Steifigkeitskomponenten. Die Steifigkeitskomponenten müssen daher nicht erneut iterativ z.B. durch Verwenden eines Newton-Raphson-Gleichungslösers mit dem FE-Gleichungslöser 116 bestimmt werden.
Der FE-Gleichungslöser 116 bestimmt anschließend auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix in einem oder mehreren Inkrementen die mechanische Verformung der Hohlwelle 102. Das iterative Ermitteln der neuen Steifigkeitskomponenten durch den FE-Gleichungslöser 116 fällt somit bei dem hier beschriebenen System 100 weg. Dadurch kann der Bedarf an Arbeitsspeicherkapazitäten reduziert und das Ermitteln der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix beschleunigt werden.
Mit einem FE-Postprozessor 120 kann die verformte Hohlwelle graphisch auf einem Monitor 122 des Computers 115 dargestellt werden. Dabei kann die Verformung auch quantifiziert und z.B. das der Hohlwelle inhärente Dehnungsfeld 124 oder Spannungsfeld dargestellt werden.
2 zeigt ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Trainieren eines neuronalen Netzes zur Verwendung in einem wie mit Bezug auf 1 beschriebenen System.
In dem Verfahren wird zunächst ein neuronales Netz bereitgestellt (Schritt S1). Das neuronale Netz hat eine Eingangsschicht, die eine Anzahl Eingangs-Neuronen aufweist, und eine Ausgangschicht, die eine Anzahl Ausgangs-Neuronen aufweist. Weiterhin weist das neuronale Netz wenigstens eine Zwischenschicht, die eine Anzahl Zwischenschicht-Neuronen umfasst, auf. Das neuronale Netz umfasst weiterhin den Neuronen zugeordnete Gewichte. Das neuronale Netz kann beispielweise das mit Bezug auf 4, 5, oder 6 beschriebene neuronale Netz sein.
Das neuronale Netz wird mit Trainingsdaten trainiert (Schritt S2), wobei die Trainingsdaten ein mechanisches Verhalten (Verschiebung, Dehnung) eines einzelnen finiten Elements unter Einwirkung äußerer Kräfte repräsentieren.
Das neuronale Netz wird unter Verwendung einer Fehlerfunktion trainiert. Für den Fall, dass der Ansatz des numerischen Differenzierens oder des automatischen Differenzierens verfolgt wird, kann die Fehlerfunktion definiert sein als $E_{s 1} = \frac{1}{d} {\sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{m} [{(ƒ_{i}^{n})}_{a}^{l} - {(ƒ_{i}^{n})}_{l}^{p}]}^{2} + \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{p}]}^{2} .$
In dem Verfahren wird dann durch Verwenden der Fehlerfunktion vorzugsweise weiterhin ein Fehler hinsichtlich der von dem neuronalen Netz vorhergesagten generalisierten Kräfte fⁿi minimiert und die Gewichte der Neuronen des neuronalen Netzes entsprechend angepasst (Schritt S3). Zusätzlich kann ein Fehler hinsichtlich der Abweichung minimiert werden, die durch eine Differenz zwischen einem vorgegebenen Wert einer Jacobi Matrix Komponenten δf/δu und einem durch das neuronale Netz vorhergesagten Wert der Jacobi Matrix Komponenten δf/δu definiert ist. Das Training umfasst insbesondere ein Anpassen der Gewichte der Neuronen des neuronalen Netzes.
Zusätzlich kann in dem Verfahren ein Backpropagation-Algorithmus verwendet werden, mit dem eine Abweichung zwischen einem Ausgangsvektor des neuronalen Netzes und einem Ausgangsvektor der Trainingsdaten als Fehler berechnet und durch das neuronale Netz zurück propagiert wird. Die Gewichte der Neuronen des neuronalen Netzes werden dann während des Trainings so angepasst, dass die Abweichung minimiert wird. Ein Backpropagation-Algorithmus wird vorzugsweise zum Trainieren des mit Bezug auf 5 beschrieben neuronalen Netzes verwendet.
Falls jedoch der Ansatz der Evolution konvergierter Steifigkeiten verfolgt wird, ist die Fehlerfunktion vorzugsweise definiert als $\sum_{s 2} = \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{k}^{p}]}^{2} .$
Bevorzugt wird in dem Verfahren ein Sobolev-Training verwendet.
3 zeigt ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Generieren von Trainingsdaten zum Trainieren eines neuronalen Netzes zur Verwendung in einem wie mit Bezug auf 1 beschriebenen System.
In dem Verfahren wird ein einzelnes finites Element bereitgestellt (Schritt T1), dem wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung, die ein Einwirken einer äußeren Kraft repräsentiert, zugewiesen ist.
Mit einem finite Elemente-Gleichungslöserwird bestimmt (Schritt T2), wie sich das einzelne finite Element aufgrund der zugewiesenen wenigstens einen Materialeigenschaft unter Einwirken einer äußeren Kraft verformt.
Die Eingangsvektoren in einem Trainingsdatensatz für das neuronale Netz können beispielweise Verschiebungskomponenten oder Spannungstensor-Komponenten enthalten.
Resultierende Kräfte oder Steifigkeitskomponenten bilden den zum jeweiligen Eingangsvektor zughörigen Ausgangsvektor.
Das Erzeugen der Trainingsdaten mittels eines einzelnen finiten Elements wird mit Kombinationen aus generalisierten Kraft- und Verschiebungsvektoren durchgeführt. Auf diese Weise erhält man zu jeder dieser Kombinationen lokale Steifigkeitsmatrizen des finiten Elementes. Diese Trainingsdaten werden mit klassischer FEM und dem Newton-Raphson-Gleichungslöser gewonnen.
Anschließend werden Trainingsdaten ausgegeben (Schritt T3), die Eingangsvektoren mit beispielweise Verschiebungskomponenten oder Dehnungstensor-Komponenten und einen Ausgangsvektor enthalten, der ein mechanisches Verhalten des einzelnen finiten Elements unter Einwirken der äußeren Kraft repräsentiert.
4 zeigt ein schematisch dargestelltes neuronales Netz 400 mit Feed-forward Topologie, das ausgebildet ist, Verschiebungen u auf Kräfte f abzubilden.
Das neuronale Netz 400 kann beispielweise zum Bestimmen der Steifigkeitskomponenten nach dem ersten Ansatz des numerischen Differenzierens oder dem zweiten Ansatz des automatischen Differenzierens trainiert sein.
Das neuronale Netz 400 repräsentiert bzw. ersetzt die Kräftegleichgewichtsgleichung $F = KX$
mit dem Kraftvektor F und dem Verschiebungsvektor X, definiert als $X^{T} = [\begin{matrix} u_{1}^{n} & u_{2}^{n} & u_{3}^{n} & \dots & u_{s}^{n} \end{matrix}], F^{T} = [\begin{matrix} f_{1}^{n} & f_{2}^{n} & f_{3}^{n} & \dots & f_{s}^{n} \end{matrix}]$
Das neuronale Netz 400 bildet die Verschiebungskomponenten uⁿ _s 406 auf die Kraftkomponenten fⁿ _s 408 ab.
Der Verschiebungsvektor X wird als Eingangsvektor auf die Eingangsschicht 402 gegeben und in Feed-forward Richtung auf die Ausgangsschicht 404 abgebildet, deren Ausgangsvektor den Kraftvektor F repräsentiert.
Das neuronale Netz lässt sich durch $F = f_{nn} (X, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{i}, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A'_{j}^{i})$
beschreiben, mit $s = i \cdot m,$
wobei i die Anzahl der Freiheitsgrade eines Elementknotens und m die Anzahl der Knoten eines Elements repräsentiert. X ist der Eingangsvektor, dessen Komponenten an die Neuronen der Eingangsschicht des neuronalen Netzes übergeben werden, F ist der von dem neuronalen Netz aufgrund des gewichteten Aufsummierens und der Aktivierungsfunktion in den Neuronen aus dem Eingangsvektor gebildete Ausgangsvektor. Das neuronale Netz 400 ist so trainiert, dass es die Kraft-Verschiebungs-Beziehung für ein finites Element approximiert.
Das neuronale Netz 400 umfasst eine Anzahl von Zwischenschichten 410, 412, wobei die erste Zwischenschicht 410 mit L und die letzte Zwischenschicht 412 mit L' bezeichnet ist. Es können weitere Zwischenschichten zwischen der ersten und der letzten Zwischenschicht vorgesehenen sein. Solche weiteren Zwischenschichten sind aber optional. Die Anzahl der vorhandenen Zwischenschichten ist mit k bezeichnet, so dass k ≥ 2 gilt.
Das neuronale Netz 400 ist weiterhin anhand von Aktivierungsfunktionen Aⁱ _j und deren Ableitungen A^'i _j mit Bezug auf die gewichtete Summe definiert.
5 zeigt einen Ausschnitt eines schematisch dargestellten neuronalen Netzes 500 mit Feed-forward Topologie zum Ermitteln von Jacobi-Matrix Komponenten, das unter Verwendung eines Backpropagation-Algorithmus trainiert wird.
Das ausschnittsweise dargestellte neuronalen Netz 500 umfasst eine Eingangsschicht 502 mit einem Eingangs-Neuron 503 und eine Ausgangsschicht 504 mit einem Ausgangs-Neuron 505. Zwischen Eingangsschicht 502 und Ausgangsschicht 505 umfasst das neuronale Netz 500 Zwischenschichten 506, 508 mit jeweils zwei Neuronen.
Die gewichtete Summe des i-ten Neurons in der I-ten Schicht wird mit z^lij bezeichnet und repräsentiert das Argument der Aktivierungsfunktion a^lij desselben Neurons. Die Anzahl der Neuronen in der vorhergehenden Schicht wird mit j bezeichnet.
Die Fehlerfunktion für das Training des neuronalen Netzes, dessen Eingangsvektor X generalisierte Verschiebungen u repräsentiert und dessen Ausgangsvektor F generalisierte Kräfte f repräsentiert berücksichtigt die Ableitungen δf/δu, die strukturellen Steifigkeiten repräsentieren und die durch numerisches oder automatisches Differenzieren gewonnen werden (erster und zweiter Ansatz).
Zur Erläuterung des dritten Ansatzes zeigt 6 ein schematisch dargestelltes neuronales Netz 600 mit Feed-forward Topologie, das durch seine Topologie und sein Training dazu ausgebildet ist, normierte Zustandsvariablen, wie z.B. Dehnung oder Spannung, auf normierte Steifigkeitskomponenten δf/δu abzubilden. Das neuronale Netz kann im trainierten Zustand zum Bestimmen der Steifigkeitskomponenten nach dem dritten Ansatz, der Evolution konvergierter Steifigkeiten, verwendet werden.
Für das Training gemäß dem dritten Ansatz (Evolution konvergierter Steifigkeiten) werden dem neuronalen Netz nicht Eingangsvektoren X zugeführt, die generalisierte Verschiebungen repräsentieren, sondern Eingangsvektoren ξ, deren Komponenten die normierten Komponenten des Dehnungstensors oder des Spannungstensors des finiten Elements repräsentieren.
Das neuronale Netz 600 lässt sich wie folgt beschreiben: $K = f_{nn} (ξ, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{i})$
wobei f_nn eine Vektorfunktion, k die Anzahl der Zwischenschichten 606, 608 und L die Anzahl der Neuronen in den jeweiligen Zwischenschichten 606, 608 repräsentiert. Aⁱ _j repräsentiert die Aktivierungsfunktion eines jeweiligen Neurons. K ist der Ausgangsvektor (Voigt-Notation), der normierte strukturelle Steifigkeitskomponenten eines finiten Elements repräsentiert und ξ ist der Eingangsvektor, dessen Komponenten die normierten Komponenten des Dehnungstensors oder des Spannungstensors des finiten Elements repräsentieren.
Das neuronale Netz 600 weist eine Eingangsschicht 602 und eine Ausgangsschicht 604 auf. Auf die Eingangs-Neuronen 603 der Eingangsschicht 602 kann ein Eingangsvektor ξ gegeben werden, dessen Komponenten die normierten Komponenten des Dehnungstensors des n-ten finiten Elements repräsentieren. In Voigt-Notation kann die Eingangsmatrix für die Eingangsschicht als $ξ = [\begin{matrix} ε_{11}^{n} & ε_{22}^{n} & ε_{33}^{n} & ε_{23}^{n} & ε_{13}^{n} & ε_{12}^{n} \end{matrix}] .$
dargestellt werden.
Alternativ können auf die Eingangs-Neuronen 603 auch die Komponenten eines Eingangsvektors ξ gegeben werden, dessen Komponenten die normierten Komponenten des Spannungstensors des n-ten finiten Elements repräsentieren.
Die Ausgangsschicht 604 umfasst Ausgangs-Neuronen 605, deren Ausgabewerte die Komponenten eines Ausgangvektors K bilden, die normierte strukturelle Steifigkeitskomponenten des n-ten finiten Elements repräsentieren.
Die normierten Zustandsvariablen und die normierten strukturellen Steifigkeiten können in physikalische Größen überführt werden, in dem die Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
nach x gelöst wird.
Zwischen der Eingangsschicht 602 und der Ausgangsschicht 604 umfasst das neuronale Netz 600 mehrere Zwischenschichten (engl. hidden layers) 606, 608.
7 zeigt ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zum Aktualisieren der Steifigkeitskomponenten einer globalen Steifigkeitsmatrix.
Zunächst werden die Strukturinformationen, d.h., die Geometrie des Bauteils und dessen Materialeigenschaften sowie die von außen wirkenden Kräfte bereitgestellt (Schritt t1).
Auf Basis der Strukturinformationen wird die globale Steifigkeitsmatrix K für das Bauteil aufgestellt (Schrittt2). Durch einen FE-Gleichungslöserwerden diejenigen finiten Elemente ermittelt, die zu einem Bereich des Bauteils gehören, der sich unter Einwirkung der äußeren Kräfte verformt. Das Bauteil wird in sich verformende Bereiche und in sich nicht oder nur unwesentlich verformende Bereiche unterteilt. Hier kann ein Maß definiert werden, das angibt wann ein Element dem sich verformenden Bereich zuzurechnen ist, und wann nicht.
Die Steifigkeitskomponenten derjenigen finiten Elemente, die zu einem sich verformenden Bereich des Bauteils gehören, werden in einem jeweiligen Inkrement mit einem trainierten neuronalen Netz bestimmt (Schritt t3). Es werden nur die Steifigkeitskomponenten derjenigen finiten Elemente, die zu einem sich verformenden Bereich des Bauteils gehören, bestimmt, weil sich hier die Geometrie des Bauteils und entsprechend die Besetzung der Steifigkeitsmatrix mit Steifigkeitskomponenten ändert. In denjenigen Bereichen, in denen keine Verformung und somit keine Änderung der Geometrie des Bauteils stattfindet, brauchen die Steifigkeitskomponenten nicht erneut bestimmt werden.
Zum Bestimmen der Steifigkeitskomponenten der finiten Elemente mittels eines neuronalen Netzes können je nachdem, wie das neuronale Netz trainiert wurde, unterschiedliche Ansätze verfolgt werden.
Wenn das neuronale Netz nach dem ersten oder dem zweiten Ansatz trainiert wurde, kann ein wie mit Bezug auf 4 beschriebenes neuronales Netz verwendet werden und wenn das neuronale Netz nach dem dritten Ansatz trainiert wurde, kann ein wie mit Bezug auf 5 beschriebenes neuronales Netz verwendet werden.
Auf den ersten Ansatz, dem numerischen Differenzieren, aufbauend, bestimmt das neuronale Netz für das i-te finite Element zunächst die Funktion $f_{n n} (Δ u_{l} + ε_{l})$
wobei Δu die Verschiebung des finiten Elements und ε einen Störwert des neuronalen Netzes repräsentiert (Schritt t4). Als Eingangsmatrix erhält das neuronale Netz dafür die dem i-ten Element zugeordneten Verschiebungen, wie vorstehend mit Bezug auf 4 beschrieben.
Anschließend berechnet das neuronale Netz die Funktion $f_{n n} (Δ u_{l})$
also hier ohne Störwert (Schritt t5).
Auf Basis dieser Berechnungen lassen sich die normierten Steifigkeitskomponenten des i-ten Elements bestimmen (Schritt t6) gemäß $\frac{\partial f_{i}^{n}}{\partial u_{m}^{n}} = \frac{f_{n n}^{i} (u_{m}^{n} + ε_{m}) - f_{n n}^{i} (u_{m}^{n})}{ε_{m}} .$
Hierbei wird angenommen, dass die Gewichte und Bias des neuronalen Netzes in den Funktionen f_nn enthalten sind.
Die normierten Steifigkeitskomponenten lassen sich mittels der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
in physikalische Größen überführen, mit denen dann die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
des sich verformenden finiten Elements aktualisiert werden kann (Schritt t7).
Mit der aktualisierten Elementsteifigkeitsmatrix K_el wird dann die globale Steifigkeitsmatrix K des Bauteils aktualisiert (Schritt t8) und die globale Verschiebungsmatrix X für ein jeweiliges Inkrement mit dem FE-Gleichungslöser berechnet (Schritt t9). Dieses Vorgehen wird für eine Anzahl Inkremente wiederholt, bis ein finaler Belastungszustand im Kräftegleichgewicht erreicht wird. In jedem Inkrement kann das trainierte neuronale Netz aufgerufen werden, um in dem entsprechenden Inkrement konvergierte Steifigkeitskomponenten für eines oder mehrere finite Elemente zu bestimmen.
Das mechanische Verhalten, d.h. die inneren Belastungszustände, des Bauteils kann dann auf Basis des gelösten Gleichungssystems für das Bauteil dargestellt werden, z.B. auf einem Bildschirm visualisiert werden.
Auf das Training gemäß dem zweiten Ansatz, dem automatischen Differenzieren, folgend, werden in Vorwärts-Richtung durch das trainierte neuronale Netz von der Eingangsschicht zu der Ausgangsschicht des neuronalen Netzes die internen Kräfte des Bauteils bestimmt (Schritt t11) und in Rückwärts-Richtung die Jacobi-Matrix-Komponenten des Materials des Bauteils bestimmt (Schritt t12). Mittels der Gleichung $\frac{\partial f_{i}^{n}}{\partial u_{m}^{n}} = \frac{\partial f_{a}^{n}}{\partial A_{s}^{n}} \cdot \frac{\partial A_{s}^{n}}{\partial z_{s}^{n}} \sum_{i = 1}^{L'} (\frac{\partial z_{s}^{n}}{\partial A_{i}^{k}} \cdot \frac{\partial A_{i}^{k}}{\partial z_{i}^{k}} \dots \sum_{p = 1}^{L} \frac{\partial A_{p}^{1}}{\partial z_{p}^{1}} \cdot \frac{\partial z_{p}^{1}}{\partial u_{m}^{n}}) .$
werden die konvergierten Steifigkeiten bestimmt und mittels der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
werden diese in physikalische Größen überführt. Die so bestimmten Steifigkeitskomponenten werden dazu verwendet, die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
des sich verformenden Elements zu aktualisieren (Schritt t13).
Wenn das neuronale Netz nach dem dritten Ansatz, der Evolution konvergierter Steifigkeiten, trainiert wurde, werden Zustandsvariablen direkt auf normierte konvergierte Steifigkeitskomponenten abgebildet (Schritt t14). Die so erhaltenen konvergierten Steifigkeitskomponenten können in Form einer Komponente der Funktion des trainierten neuronalen Netzes $K = f_{nn} (ξ, \sum_{i = 1}^{L} \sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{i})$
nämlich als $f_{n n}^{1} (ε_{i j}) = \frac{\partial f_{l}^{n}}{\partial u_{m}^{n}}$
definiert werden, wobei fⁿ _i und uⁿ _m entsprechend die normierten generalisierten Kräfte (fⁿi) und Verschiebungen (uⁿ _m) repräsentieren. Die konvergierten Steifigkeiten können durch Lösen der Gleichung $x_{n o r m} = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}}$
nach x in physikalische Größen überführt und dann in die Elementsteifigkeitsmatrix $K_{el} (f_{nn}) = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \dots \\ \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} \end{matrix}]$
des sich verformenden Elements eingesetzt werden (Schritt t15).
8 zeigt ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren, in dem ein mechanisches Verhalten eines Bauteils dargestellt wird, wobei in dem Verfahren ein trainiertes neuronales Netz Steifigkeitskomponenten für wenigstens ein finites Element liefert, das einer Verformung unerzogen wird.
Das nachfolgend beschriebene Verfahren kann beispielsweise mit einem wie mit Bezug auf 1 beschriebenen System ausgeführt werden.
In dem Verfahren werden zunächst Geometriedaten bereitgestellt, die eine Geometrie eines Bauteils repräsentieren (Schritt s1). Die Geometriedaten können das Bauteil beispielsweise als CAD (engl. computer-aided design)-Modell repräsentieren.
Die Geometriedaten werden an eine Eingabe-Schnittstelle übergeben und von einem FE-Präprozessor verarbeitet. Der FE-Präprozessor unterteilt das Bauteil in finite Elemente und weist den finiten Elementen Materialeigenschaften und Randbedingungen zu (Schritt s2).
Anschließend wird für das Bauteil ein Gleichungssystem aufgestellt, das das mechanische Verhalten des Bauteils beschreibt und mittels einer globalen Steifigkeitsmatrix an den Knoten wirkende Verschiebungen auf an den Knoten wirkende Kräfte abbildet (Schritt s3).
Die Komponenten der globalen Steifigkeitsmatrix, also die Steifigkeitskomponenten, werden von einem FE-Gleichungslöser, insbesondere durch Lösen des Gleichungssystems K*X=F mit einem Newton-Raphson-Gleichungslöser, ermittelt (Schritt s4). Zunächst werden die Steifigkeitskomponenten in einem ersten Durchlauf für ein erstes Inkrement iterativ bestimmt, so dass diese nur eine erste Näherung an die tatsächlichen Steifigkeitskomponenten des verformten Bauteils mit entsprechend der Verformung veränderter Geometrie darstellen.
Anschließend werden vorzugsweise die Bereiche des Bauteils identifiziert, die sich unter Krafteinfluss über ein vorgegebenes Maß hinaus verformen (Schritt s5). Dabei wird darin ermittelt, ob ein finites Element zu einem Bereich des Bauteils gehört, in dem das Bauteil einer Verformung unterzogen wird, oder ob ein finites Element zu einem Bereich des Bauteils gehört, in dem sich das Bauteil nicht oder nur unwesentlich verformt, d.h., in dem das Bauteil seine Geometrie nicht ändert. Auf dieser Basis wird das Bauteil in unterschiedliche Bereiche unterteilt, für die das mechanische Verhalten des Bauteils auf unterschiedliche Weisen bestimmt wird.
Für finite Elemente in Bereichen, in denen sich das Bauteil nicht oder nur kaum verformt, bestimmt der FE-Gleichungslöser die tatsächlichen Steifigkeitskomponenten (Schritt s6). Für das Bestimmen dieser Steifigkeitskomponenten von Bereichen, in denen die Geometrie des Bauteils unverändert bleibt, sind in der Regel nur wenige Iterationen nötig, so dass der rechenaufwand gering bleibt.
Falls jedoch ein finites Element zu einem Bereich des Bauteils gehört, der einer Verformung unterzogen wird, wird nicht der Newton-Raphson-Gleichungslöser dazu verwendet die tatsächlichen Steifigkeitskomponenten dersich infolge der Verformung verschiebenden finiten Elemente zu bestimmen, sondern ein trainiertes neuronales Netz. Die Steifigkeitskomponenten der übrigen sich nicht oder nur kaum verschiebenden finiten Elemente werden von dem neuronalen Netz nicht erneut berechnet, sondern verbleiben unverändert als Komponenten der globalen Steifigkeitsmatrix.
Nur diejenigen Steifigkeitskomponenten der sich aufgrund der Verformung des Bauteils verschiebenden finiten Elemente werden in einem oder in mehreren Inkrementen erneut durch das trainierte neuronale Netz bestimmt. Dafür erhält das trainierte neuronale Netz als Eingangsvektor von dem FE-Gleichungslöser ermittelte Zustandsvariablen des vorherigen Inkrements, wie z.B. einen Dehnungstensor oder einen Spannungstensor.
Das trainierte neuronale Netz liefert für ein jeweiliges Inkrement als Ausgangsvektor bereits konvergierte Steifigkeitskomponenten desjenigen oder derjenigen finiten Elemente, die in einem Bereich des Bauteils liegen, der einer Verformung unterliegt (Schritt s7). Dadurch müssen Steifigkeitskomponenten der sich verformenden finiten Elemente nicht aufwendig in mehreren Iterationen durch den Newton-Raphson-Gleichungslöser bestimmt werden. Somit kann sowohl die benötigte Rechenzeit zum Bestimmen der konvergierten Steifigkeitskomponenten als auch Arbeitsspeicherkapazitäten eingespart werden.
Die Elementsteifigkeitsmatrizen der sich verformenden finiten Elemente werden anschließend mit den von dem trainierten neuronalen Netz bestimmten, bereits konvergierten Steifigkeitskomponenten aktualisiert. Da bereits konvergierte Steifigkeitskomponenten von dem trainierten neuronalen Netz ermittelt werden, sind für diesen Schritt keine weiteren Iterationen notwendig. Die konvergierten Steifigkeitskomponenten können von dem trainierten neuronalen Netz für ein jeweiliges Inkrement in nur einem Schritt ermittelt werden.
Die konvergierten Steifigkeitskomponenten derjenigen finiten Elemente, die in einem Bereich des Bauteils liegen, der sich unter der Last der einwirkenden Kraft verformt, werden in die globale Steifigkeitsmatrix eingesetzt (Schritt s8) und das neu aufgestellte komplette Gleichungssystem (Schritt s9) dann von dem FE-Gleichungslöser gelöst (Schritt s10), d.h. die die tatsächlichen Steifigkeitskomponenten werden bestimmt. Dies erfolgt für eines oder für mehrere Inkremente bis der innere Belastungszustand des Bauteils im Kräftegleichgewicht gefunden wurde. Anschließend wird auf Basis des gelösten Gleichungssystems das mechanische Verhalten des Bauteils im Kräftegleichgewicht ermittelt und dieses repräsentierende Ausgabedaten bereitgestellt und auf einem Monitor visualisiert (Schritt s11).
9 zeigt drei Kurven, die das Steifigkeitsverhalten eines Balkens darstellen und mit dem durch die FEM vorhergesagten Steifigkeitsverhalten verglichen werden.
Der Vergleich der Kurven zeigt den Effekt, den das Einbeziehen der Jacobi Matrix Komponenten des neuronalen Netzes in die jeweilige Fehlerfunktion im Rahmen des Sobolev-Trainings hat.
Ausgegangen wird von einem Balken mit dem Elastizitätsmodul E, der Querschnittsfläche A und der Länge L.
In diesem Fall kann die Elementsteifigkeitsmatrix in der Form $K_{e l} = [\begin{matrix} \frac{E A}{L} & - \frac{E A}{L} \\ - \frac{E A}{L} & \frac{E A}{L} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{2}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial u_{2}} \end{matrix}]$
aufgestellt werden.
Die erste Kurve 900 repräsentiert das Steifigkeitsverhalten des Balkens wie es von der FEM vorhergesagt wird. Diese Kurve 900 dient als Referenz.
Die Kurve 902 wurde auf Basis des Ausgangsvektors eines neuronalen Netzes erzeugt, das nach dem Ansatz der Evolution konvergierter Steifigkeiten trainiert wurde, d.h. mit der Fehlerfunktion $\sum_{s 2} = \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{k}^{p}]}^{2} .$
Diese Fehlerfunktion enthält die Jacobi Matrix Komponenten des neuronalen Netzes.
Die Kurve 904 wurde auf Basis des Ausgangsvektors eines neuronalen Netzes erzeugt, das nach dem Ansatz des automatischen Differenzierens trainiert wurde, d.h. mit der Fehlerfunktion $E_{s 1} = \frac{1}{d} {\sum_{l = 1}^{d} \sum_{i = 1}^{m} [{(ƒ_{i}^{n})}_{a}^{l} - {(ƒ_{i}^{n})}_{l}^{p}]}^{2} + \frac{1}{d} \sum_{l = 1}^{d} \sum_{j = 1}^{m} {\sum_{i = 1}^{m} [{(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{a} - {(\frac{\partial ƒ_{i}^{n}}{\partial u_{j}^{n}})}_{l}^{p}]}^{2} .$
Auch diese Fehlerfunktion enthält die Jacobi Matrix Komponenten des neuronalen Netzes.
Die Kurve 906 wurde auf Basis eines neuronalen Netzes erzeugt, dass nicht nach dem Sobolev-Training trainiert wurde und bei dessen Training entsprechend nicht die Jacobi Matrix Komponenten des neuronalen Netzes berücksichtigt wurden.
9 zeigt, dass die Kurven 902 und 904 sehr gut mit der Referenzkurve 900 übereinstimmen. Wenn jedoch kein Sobolev-Training angewendet wird, unterscheidet sich das durch das neuronale Netz vorhergesagte Steifigkeitsverhalten sehr deutlich von dem von der FEM vorhergesagten Steifigkeitsverhalten, wie es anhand der Kurve 906 deutlich erkennbar ist.
Ein neuronales Netz, dass mittels des hier beschriebenen Sobolev-Trainings oder mittels des Ansatzes der Steifigkeits-Evolution trainiert wurde, erlaubt im Rahmen der FEM ein ressourcensparendes Aktualisieren der Steifigkeitskomponenten derjenigen finiten Elemente, die einem sich unter Krafteinwirkung verformenden Bereich eines Bauteils zuzuordnen sind. Damit ermöglicht das hier beschrieben System und das hier beschriebene Verfahren eine effiziente Darstellung innerer Zustände eines Bauteils.

Claims

System (100) zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104), wobei das System (100) die folgenden Komponenten aufweist: - eine Eingabe-Schnittstelle, die ausgebildet ist, Geometriedaten zu empfangen, die das Bauteil (102) repräsentieren, - einen finite Elemente-Präprozessor (114), der ausgebildet ist, das Bauteil (102) in finite Elemente zu unterteilen, und wenigsten einem Element wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung zuzuweisen, - einen finite Elemente-Gleichungslöser (116), der ausgebildet ist, eine globale Steifigkeitsmatrix für das Bauteil (102) aufzustellen, die angibt, wie sich die Elemente des Bauteils (102) aufgrund der zugewiesenen Materialeigenschaft und/oder Randbedingung verformen, und in dem Bauteil (102) solche Bereiche zu identifizieren, in denen sich das Bauteil (102) verformt und andere Bereiche zu identifizieren, in denen eine Geometrie des Bauteils (102) trotz Einwirken äußerer Kräfte (104) im Wesentlichen unverändert bleibt, und - einen finite Elemente-Postprozessor (120), der ausgebildet ist, den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104) darzustellen, wobei das System (100) weiterhin wenigstens ein trainiertes neuronales Netz (118) umfasst, und - das trainierte neuronale Netz (118) trainiert ist, Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem finiten Element des Bauteils (102) zu bestimmen, und zwar vorzugsweise für ein finites Element, das sich in demjenigen Bereich des Bauteils (102) befindet, in dem sich das Bauteil (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104) verformt und somit seine Geometrie ändert, und - der finite Elemente-Gleichungslöser (116) weiterhin ausgebildet ist, die von dem trainierten neuronalen Netz (118) für das verformte Element bestimmte Elementsteifigkeitsmatrix zum Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix zu verwenden und den inneren Belastungszustand des mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104) auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix zu bestimmen.
System (100) nach Anspruch 1, wobei das das trainierte neuronale Netz (118) in einer Eingangsschicht eine Anzahl Eingangs-Neuronen umfasst, die einen Vektor von generalisierten Verschiebungen repräsentieren und in einer Ausgangsschicht eine Anzahl Ausgangs-Neuronen umfasst, die einen Vektor von generalisierten Kräfte repräsentieren, und wobei das neuronale Netz (118) trainiert ist, für das Bestimmen der Steifigkeitskomponenten die generalisierten Verschiebungen auf die generalisierten Kräfte abzubilden.
System (100) nach Anspruch 1 oder 2, wobei das neuronale Netz (118) trainiert ist, aus generalisierten Kräfte konvergierte normierte Steifigkeitskomponenten von wenigstens einem Element des Bauteils (102) unter Verwendung eines Störwertes zu bestimmen.
System (100) nach Anspruch 1 oder 2, wobei das neuronale Netz (118) trainiert ist, für das Bestimmen der Steifigkeitskomponenten von wenigstens einem finiten Element des Modells, wenigstens eine Aktivierungsfunktion, wenigstens ein Gewicht und wenigstens einen Bias eines Neurons zu verwenden.
System (100) nach Anspruch 1, wobei das trainierte neuronale Netz (118) in einer Eingangsschicht eine Anzahl Eingangs-Neuronen umfasst, die wenigstens eine interne Zustandsvariable eines finiten Elements repräsentieren und in einer Ausgangsschicht eine Anzahl Ausgangs-Neuronen umfasst, die konvergierte normierte Steifigkeitskomponenten repräsentieren, und wobei das neuronale Netz (118) trainiert ist, die wenigstens eine interne Zustandsvariable auf konvergierte normierte Steifigkeitskomponenten abzubilden.
System (100) nach Anspruch 3 oder 5, das ausgebildet ist, die konvergierten normierten Steifigkeiten in physikalische Größen zu überführen und mit den in physikalische Größen überführten Steifigkeitskomponenten die Elementsteifigkeitsmatrix des Elements des Bauteils (102) in dem sich verformenden Bereich zu aktualisieren.
System (100) nach einem der vorstehenden Ansprüche, wobei das neuronale Netz (118) trainiert ist, Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem Element des Bauteils (102) zu bestimmen, das aufgrund der dem Element zugewiesenen wenigstens einen Materialeigenschaft und/oder wenigstens einen Randbedingung während des Betriebs des Systems (100) einer Verformung unterzogen wird.
System (100) nach einem der vorstehenden Ansprüche, wobei das trainierte neuronale Netz (118) eine Eingangsschicht mit einer Anzahl Eingangs-Neuronen aufweist, wobei die Anzahl der Eingangs-Neuronen einer Anzahl Freiheitsgrade eines Knotens eines finiten Elements des Modells multipliziert mit der Anzahl der Knoten des finiten Elements entspricht.
System (100) nach einem der vorstehenden Ansprüche, wobei das trainierte neuronale Netz (118) eine Eingangsschicht mit einer Anzahl Eingangs-Neuronen umfasst, wobei wenigstens ein Eingangs-Neuron einen Geometrie-Parameter umfasst, der eine Geometrie des Bauteils (102) repräsentiert.
System (100) nach einem der vorstehenden Ansprüche, wobei das trainierte neuronale Netz (118) eine einem Neuron des trainierten neuronalen Netzes (118) zugeordnete Aktivierungsfunktion umfasst, die eine Hyperbeltangens-Aktivierungsfunktion, eine sigmoidale-Aktivierungsfunktion oder Radiale Basisfunktion ist.
Verfahren zum Trainieren eines neuronalen Netzes (118) zur Verwendung in einem System (100) gemäß einem der vorstehenden Ansprüche, wobei das Verfahren die Schritte aufweist: - Bereitstellen eines neuronalen Netzes (S1) mit einer Eingangsschicht, die eine Anzahl Eingangs-Neuronen aufweist, und mit einer Ausgangschicht, die eine Anzahl Ausgangs-Neuronen aufweist, eine wenigstens einer Zwischenschicht, die eine Anzahl Zwischenschicht-Neuronen umfasst, wobei das neuronale Netz (118) weiterhin den Neuronen zugeordnete Gewichte umfasst, - Trainieren des neuronalen Netzes (S2) mit Trainingsdaten, wobei die Trainingsdaten ein mechanisches Verhalten eines einzelnen finiten Elements unter Einwirkung äußerer Kräfte (104) repräsentieren, und - Anpassen der Gewichte des neuronalen Netzes (118) derart, dass eine durch eine Fehlerfunktion ermittelte Abweichung minimiert wird, die durch eine Differenz zwischen einem vorgegebenen Wert einer Jacobi Matrix Komponenten δf/δu und einem durch das neuronale Netz (118) vorhergesagten Wert der Jacobi Matrix Komponenten δf/δu definiert ist (S3).
Verfahren nach Anspruch 11, wobei die Gewichte weiterhin so angepasst werden, dass eine mit der Fehlerfunktion berechnete Abweichung hinsichtlich der von dem neuronalen Netz (118) vorhergesagten generalisierten Kräfte und vorgegebener generalisierten Kräfte minimiert wird.
Verfahren nach Anspruch 11 oder 12, in dem ein Backpropagation-Algorithmus verwendet wird, mit dem eine Abweichung zwischen einem Ausgangsvektor des neuronalen Netzes (118) und einem Ausgangsvektor eines Trainingsdatensatzes als Fehler berechnet und durch das neuronale Netz (118) zurück propagiert wird, um Gewichte des neuronalen Netzes (118) so anzupassen, dass die Abweichung minimiert wird.
Verfahren nach wenigstens einem der Ansprüche 11 bis 13, in dem ein Sobolev-Training verwendet wird.
Verfahren zum Generieren von Trainingsdaten zum Trainieren eines neuronalen Netzes (118) zur Verwendung in einem System (100) gemäß wenigstens einem der Ansprüche 1 bis 10, wobei das Verfahren die Schritte umfasst: - Bereitstellen eines einzelnen finiten Elements (T1), dem wenigstens eine Materialeigenschaft und/oder wenigstens eine Randbedingung, die ein Einwirken einer äußeren Kraft repräsentiert, zugewiesen ist, - Bestimmen mit einem finite Elemente-Gleichungslöser(116), wie sich das einzelne finite Element aufgrund der zugewiesenen wenigstens einen Materialeigenschaft unter Einwirken einer äußeren Kraft verformt (T2), und - Ausgeben der Trainingsdaten (T3), die ein mechanisches Verhalten des einzelnen finiten Elements unter Einwirken der äußeren Kraft repräsentieren.
Verfahren zum Darstellen innerer Belastungszustände eines mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104), wobei das Verfahren die Schritte umfasst: - Bereitstellen und Empfangen von Geometriedaten (s1), die das Bauteil (102) repräsentieren, - Unterteilen des Bauteils (102) in finite Elemente und Zuweisen von wenigstens einer Materialeigenschaft und/oder wenigstens einer Randbedingung zu wenigstens einem der Elemente (s2), - Aufzustellen einer globalen Steifigkeitsmatrix für das Bauteil (102), die angibt, wie sich die Elemente des Bauteils (102) aufgrund der zugewiesenen Materialeigenschaft und/oder Randbedingung verformen (s3), - Identifizieren von solchen Bereichen in dem Bauteil (102), in denen sich das Bauteil (102) verformt (s5), - Bestimmen von Steifigkeitskomponenten einer Elementsteifigkeitsmatrix von wenigstens einem finiten Element des Bauteils (102) mit einem trainierten neuronalen Netz (s7), und zwar vorzugsweise für ein finites Element, das sich in demjenigen Bereich des Bauteils (102) befindet, in dem sich das Bauteil (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104) verformt und somit seine Geometrie ändert, - Aktualisieren der globalen Steifigkeitsmatrix mit der von dem trainierten neuronalen Netz (118) für das verformte Element bestimmten Elementsteifigkeitsmatrix (s8), - Bestimmen des inneren Belastungszustands des mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (104) auf Basis der aktualisierten globalen Steifigkeitsmatrix (s10), und - Darstellen des inneren Belastungszustands des mechanischen Bauteils (102) beim Einwirken äußerer Kräfte (s11).