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TECHNISCHES GEBIET
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Das Gebiet, das die Offenbarung allgemein betrifft, umfasst Batterieschätzvorrichtungen und Verfahren, um diese herzustellen und zu verwenden.
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HINTERGRUND
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Fahrzeuge, die eine Batterie aufweisen, können eine Batteriezustandsschätzvorrichtung verwenden.
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ZUSAMMENFASSUNG AUSGEWÄHLTER ERKLÄRENDER VARIANTEN
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Eine Anzahl von Varianten umfasst ein Verfahren, das umfassen kann, dass mindestens ein Segment von spannungsbasierten Daten einer Batteriezustandsschätzung verwendet wird und dass eine lineare Regression in Echtzeit verwendet wird, welche ein Verfahren zum Schätzen eines zukünftigen Verhaltens eines Systems auf der Grundlage aktueller und vorheriger Datenpunkte sein kann, um eine robuste und sich schnell anpassende Impedanzantwort-Approximationsvorrichtung bereitzustellen. Die lineare Regression kann durchgeführt werden, indem eine RC-Schaltung gebildet wird, die ”äquivalent” zu Daten einer elektrochemischen Impedanzspektroskopie ist, und die Laufzeitwerte dieser RC-Schaltung unter Verwendung einer beliebigen Anzahl bekannter linearer Regressionsalgorithmen in Echtzeit verarbeitet werden, welche gewichtete rekursive kleinste Quadrate (WRLS von engl.: weighted recursive least squares), ein Kalman-Filter oder andere Mittel umfassen, aber nicht darauf beschränkt sind.
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Eine Anzahl von Varianten kann ein Verfahren umfassen, dass umfasst, dass eine Ladezustands-Schätzvorrichtung verwendet wird, die eine RC-Schaltung enthält, die auf der Grundlage von Daten einer elektrochemischen Impedanzspektroskopie von einer Energiespeichervorrichtung, etwa einer Batterie, einem Superkondensator oder einer anderen elektrochemischen Vorrichtung, modelliert wird, und dass die Laufzeitwerte dieser RC-Schaltung unter Verwendung einer beliebigen Anzahl bekannter linearer Regressionsalgorithmen in Echtzeit verarbeitet werden, welche gewichtete rekursive kleinste Quadrate (WRLS), ein Kalman-Filter oder andere Mittel umfassen, aber nicht darauf beschränkt sind. Das Verfahren kann außerdem einen Controller umfassen, der aufgebaut und angeordnet ist, um eine Eingabe von der Ladezustands-Schätzvorrichtung zu empfangen, um die Eingabe von der Schätzvorrichtung mit vorbestimmten Werten zu vergleichen, und um eine Maßnahme zu ergreifen, etwa das Senden eines Signals, das den Ladezustand repräsentiert, oder das Ergreifen einer anderen Maßnahme, wenn die Eingabe von der Schätzvorrichtung innerhalb eines vorbestimmten Bereichs um die vorbestimmten Werte liegt. Bei einer Anzahl von Varianten kann der Controller aufgebaut und angeordnet sein, um zu verhindern, dass eine Kraftmaschine eines Fahrzeugs, die Kraftstoff verbrennt, welches die Energiespeichervorrichtung enthält, ausgeschaltet wird, wenn die Eingabe von der Schätzvorrichtung [engl.: estimate] innerhalb vorbestimmter Werte liegt.
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Andere erklärende Varianten in Umfang der Erfindung werden sich aus der hier nachstehend bereitgestellten genauen Beschreibung ergeben. Es versteht sich, dass die genaue Beschreibung und spezielle Beispiele, obwohl sie Varianten im Umfang der Erfindung offenbaren, nur zur Veranschaulichung gedacht sind, und den Umfang der Erfindung nicht einschränken sollen.
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KURZBESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
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Ausgewählte Beispiele von Varianten im Umfang der Erfindung werden anhand der genauen Beschreibung und der beiliegenden Zeichnungen vollständiger verstanden werden, wobei:
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1A eine Schaltung veranschaulicht, die einen Widerstand in Reihe mit N R||C-Paaren in Übereinstimmung mit einer Anzahl von Varianten enthält.
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1B einen Schaltplan einer Schaltung zeigt, die verwendet werden kann, um eine Übertragungsleitung zu approximieren.
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1C eine R||N(R + C)-Schaltung in Übereinstimmung mit einer Anzahl von Varianten veranschaulicht.
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2 eine schematische Veranschaulichung der elektrischen Verbindungen zwischen dem Frequenzantwort-Analysegerät (FRA), dem ”Cycler” und der elektrochemischen Zelle in Übereinstimmung mit einer Anzahl von Varianten ist, die verwendet werden, um Daten zu erhalten.
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3 eine Nyquist-Aufzeichnung (40 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3.
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4 eine Nyquist-Aufzeichnung (25 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3.
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5 eine Nyquist-Aufzeichnung (10 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3.
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6A eine Nyquist-Aufzeichnung (0 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3.
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6B eine Nyquist-Aufzeichnung (0 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3, 2 und 1.
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7 eine Nyquist-Aufzeichnung (–10 Grad C) mit der Schaltung von 1A ist, wobei N = 3.
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GENAUE BESCHREIBUNG ERKLÄRENDER VARIANTEN
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Die folgende Beschreibung der Varianten dient zur Veranschaulichung und ist keinesfalls dazu gedacht, den Umfang der Erfindung, ihre Anwendung oder Verwendungsmöglichkeiten einzuschränken.
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Eine Anzahl von Varianten kann ein Verfahren umfassen, das umfasst, dass Daten mit einer elektrochemischen Impedanzspektroskopie für Zellen, die verwendet werden sollen, über einen interessierenden Ladezustand-(SOC-) und Temperaturbereich hinweg aufgenommen werden, und die Daten der elektrochemischen Impedanzspektroskopie über den Temperatur- und SOC-Bereich mit einer Ersatzschaltung angeglichen werden. Bei einer Anzahl von Varianten kann die Ersatzschaltung die geringste Anzahl an Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten aufweisen. Bei einer Anzahl von Varianten kann das Verfahren umfassen, dass eine lineare Regression in Echtzeit verwendet wird, welche ein Verfahren zum Schätzen eines zukünftigen Verhaltens eines Systems auf der Grundlage von aktuellen und vorherigen Datenpunkten sein kann, um eine robuste und sich schnell anpassende Impedanzantwort-Approximationsvorrichtung/Schätzvorrichtung bereitzustellen. Die lineare Regression kann durchgeführt werden, indem eine RC-Schaltung gebildet wird, die ”äquivalent” zu bzw. eine Ersatzschaltung für Daten der elektrochemischen Impedanzspektroskopie ist, und die Laufzeitwerte dieser RC-Schaltung unter Verwendung einer beliebigen Anzahl bekannter Algorithmen mit linearer Regression in Echtzeit verarbeitet werden, welche gewichtete rekursive kleinste Quadrate (WRLS), ein Kalman-Filter oder andere Mittel umfassen, aber nicht darauf beschränkt sind.
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Bei einer beispielhaften Anwendung werden experimentelle Impedanzdaten an einer Zelle einer Antriebsbatterie über einen weiten Bereich von Temperaturen, Ladezuständen und Frequenzen hinweg verwendet, um zu ermitteln, welcher Typ von Ersatzschaltung gut geeignet ist, um die Batterieimpedanz zu repräsentieren. Es wurde herausgefunden, dass die in 1A gezeigte Schaltung für aktuelle Lithium-Ionen-Batterien gut funktioniert. Die allgemeine Form der Ersatzschaltung ist ein Widerstand in Reihe mit parallelen Kombinationen aus Widerständen und Kondensatoren. Eine allgemeine Formel für die Impedanz einer Ersatzschaltung für eine willkürliche Anzahl von parallelen Kombinationen aus Widerständen/Kondensatoren ist angegeben. Diese Schaltungen werden hier als R + N(R||C)-Schaltungen bezeichnet, wobei N die Anzahl der parallelen Kombinationen aus Widerständen/Kondensatoren ist. Diese Klasse von Schaltungen stellt einen einfachen Startpunkt für genaue Simulationen von Transienten mit kleiner Amplitude in Lithium-Ionen-Batterien bereit. Außerdem weist eine beliebige Schaltung, die aus Widerständen und Kondensatoren besteht, die auf willkürliche Weise miteinander verbunden sind, die gleiche Impedanz wie eine geeignet ausgewählte R + N(R||C)-Schaltung auf. Dies bedeutet, dass, wenn man die Möglichkeit induktiver Effekte ausschließt, es ausreicht, die Aufmerksamkeit auf Schaltungen dieses Typs zu begrenzen, um lineare Schaltungselemente an Batteriedaten anzupassen. Die R + N(R||C)-Schaltung weist ein Gegenstück auf, die R||N(R + C)-Schaltung (die in 1C gezeigt ist), bei der alle seriellen und parallelen Verbindungen vertauscht sind. Die Admittanz bzw. der Scheinleitwert der Schaltung 1a weist eine Form auf, die der Impedanz der Schaltung 1c ähnelt, und umgekehrt.
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Schließlich werden analytische Leistungsausdrücke für R + N(R||C)-Schaltungen hergeleitet. Her trifft das beschriebene Verfahren wiederum auf allgemeinere Schaltungen zu, die eine beliebige Anzahl von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten enthalten. Die Impedanz derartiger Schaltungen kann immer als Quotient von zwei Polynomen im Frequenzbereich ausgedrückt werden, und die Nullstellen dieser Polynome werden verwendet, um die analytischen Leistungsausdrücke herzuleiten.
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Auch wenn R + N(R||C)-Schaltungen ausreichen, um Modelle an Daten anzupassen, ist es manchmal wünschenswert, andere Klassen von Schaltungen zu berücksichtigen, weil diese eine bequeme physikalische Interpretation von bekannten Batterieeffekten bereitstellen. Es wird ein Verfahren beschrieben, das auf den Kirchhoffschen Gesetzen beruht, um die Impedanz für eine beliebige derartige Ersatzschaltung analytisch auszudrücken, welche aus linearen Schaltungselementen besteht (z. B. einer willkürlichen Anzahl und Konfiguration aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten).
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Experiment
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Geräte und Zellen.
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Die experimentellen Impedanzdaten, die in der beispielhaften Anwendung verwendet werden, wurden unter Verwendung einer Zelle einer Lithium-Ionen-Antriebsbatterie mit einer Nennspannung von 3,6 V und einer Nennkapazität von 20 Ah des Typs LG P1.5A (Chevrolet Volt, GM-Teilenummer 22836139) erzeugt. Die positive Elektrode besteht aus NixMnyCozO2 (70% Gewichtsanteil, x + y + z = 1) und LiMn2O4 (30% Gewichtsanteil); die negative Elektrode besteht aus Graphit mit modifizierter Oberfläche und weichem Kohlenstoff. Die primäre Ausrüstung, die zum Durchführen der Messungen verwendet wurde, ist das Frequenzantwortanalysegerät (FRA) Solartron 1280C, welches einen eingebauten Potentiostat zum Steuern von Strom und Spannung aufweist. Dieses Gerät ist in der Lage, eine Spannung zwischen –14,5 und 14,5 Volt zu messen, einen Strom von zwischen –2 und 2 A zu liefern, und um sinusförmige Wellenformen zu erzeugen, um Einzelfrequenz-Impedanzdurchläufe von 1 mHz bis 20 kHz durchzuführen. Die Verbindung zwischen dem FRA und der gemessenen Zelle ist eine Standardverbindung mit vier Anschlüssen: zwei der Anschlüsse werden als positive und negative Zuführung verwendet, während die anderen zwei zur Erfassung verwendet werden. Indem die Erfassungsleitungen mit hoher Impedanz direkt an den Anschlüssen des Geräts, das gemessen wird, platziert werden, wird sichergestellt, dass es keine signifikante Spannungsveränderung aufgrund der Impedanz der Erfassungskabel gibt. Zusätzlich zu dem FRA wird eine Umweltkammer verwendet, um die Batterietemperatur manuell auf den gewünschten Wert einzustellen. Ein ”Battery Cycler” von Arbin, der programmiert werden kann, um einen gesteuerten Strom oder ein gesteuertes Potential oder gesteuerte Wellenformen bereitzustellen, wird verwendet, um den Ladezustand der Batterie auf gewünschte Werte einzustellen. Ein Schaltplan des Aufbaus ist in 2 gezeigt.
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Die Impedanz der Zelle bei verschiedenen Ladezuständen und Temperaturen wurde beschafft. Der Ladezustandsbereich wurde so gewählt, dass er zwischen 10% und 90% liegt, während der Temperaturbereich so gewählt wurde, dass er zwischen –10 und 45°C liegt; beide Bereiche sind für Kraftfahrzeuganwendungen von Interesse. Bei jedem Test wurden die Umweltkammer und der ”Battery Cycler” verwendet, um die Zelle auf die gewünschte Kombination aus Ladezustand und Temperatur einzustellen. Zum Ausgleichen wurde die Batterie dann ruhen gelassen (typischerweise 3 Stunden). Dann wurde das FRA verwendet, um die Impedanzdaten von 20 kHz bis hinunter auf 2 mHz aufzunehmen.
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Daten- und Impedanzanalyse.
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Aufzeichnungen der Impedanzmessungen sind in 3 bis 7 gegeben. Bei 3–7 sind die Symbole experimentelle Daten und die durchgezogenen Linien stammen vom Angleichen der R + N(R||C)-Schaltungsparameter an die Daten, wobei N = 3. In jeder Figur sind die relevanten experimentellen Bedingungen (einschließlich Ladezustand und Temperatur) gezeigt. Für Antriebsanwendungen besteht das größte Interesse an Frequenzen im Bereich von 5 mHz bis 10 Hz. Frequenzen höher als 10 Hz treiben in unnötiger Weise die Kosten für die Datensammlung und die Ausführungszeiten für die Batteriezustandsschätzung; aktuelle Fahrzeuge liefern üblicherweise synchrone Strom-Spannungs-Daten alle 0,1 Sekunden, was impliziert, dass das Aufbauen einer Ersatzschaltung mit der Absicht, elektrochemische Phänomene zu erfassen, die mit Frequenzen verbunden sind, die höher als 1/(0,1 s) = 10 Hz sind, von begrenztem Nutzen ist. Frequenzen unter 5 mHz würden elektrochemische Phänomene reflektieren, die mit Zeitdauern verbunden sind, die größer als 1/(0,005 Hz) = 200 s sind; viele Veränderungen einschließlich von Temperaturänderungen treten über derart lange Zeitdauern auf, sodass nicht versucht wird, sie mit einer BSE zu reproduzieren. Daher wurde für 3 bis 7 die Schaltung verwendet, die in 1a dargestellt ist, wobei N = 3, und Parameter der Schaltung wurden über den Frequenzbereich von 5 mHz bis 8,43 Hz angeglichen. In den Aufzeichnungen sind auch Daten bei höheren Frequenzen gezeigt, aber sie wurden bei der Analyse nicht verwendet. Es wurde herausgefunden, dass die in 1a dargestellte Schaltung mit N = 3 alle gemessenen Impedanzspektren mit für Batteriezustandsschätzzwecke geeigneter Genauigkeit reproduzieren kann. Im Prinzip kann man fortfahren, weitere RC-Paare hinzuzufügen, um eine progressiv höhere Genauigkeit hinsichtlich des Angleichens der Daten zu erhalten, und die nachstehend hergeleiteten mathematischen Verfahren können verwendet werden, um eine beliebige Anzahl von RC-Paaren anzusprechen.
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Ein Widerstand und ein Kondensator, die parallel geschaltet sind, werden hier als RC-Paar bezeichnet. Die Impedanz eines RC-Paars ist gegeben als Z(ω) = R / 1 + jωRC (1)
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Es interessiert eine Schaltung, die aus einem einzigen Widerstand und zwei RC-Paaren besteht, die alle in Reihe geschaltet sind. Die entsprechende Impedanz wird zu
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Im Vorstehenden ist Ṽ die Fourier-Transformation der Spannung V(t), Ĩ ist die Fourier-Transformation des Stroms I(t) und die fünf Koeffizienten Ai sind gegeben als A1 = R + R1 + R2
A2 = R[R1C1 + R2C2] + R1R2[C1 + C2]
A3 = RR1R2C1C2
A4 = R1C1 + R2C2
A5 = R1R2C1C2 (3)
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Dies kann umgeschrieben werden zu Ṽ(1 + jωA4 + (jω)2A5) = Ĩ(A1+ jωA2 + (jω)2A3) (4)
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Es wird angemerkt, dass (jω)
nṼ die Fourier-Transformation von d
nV/dt
n ist, wobei ein ähnlicher Ausdruck für den Strom gilt. Daher kann die Fourier-Transformationsgleichung (4) invertiert werden zu
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Bei der vorstehenden Gleichung wurde angenommen, dass V
1 = V – V
0, wobei V
0 die OCV (Leerlaufspannung) ist. Gleichung 5 kann umformuliert werden zu
wobei nun angenommen wird, dass alle zeitlichen Ableitungen von V
0 verschwinden. Zusätzlich wird angenommen, dass zum Zeitpunkt Null der Strom Null ist (obwohl es die Spannung nicht sein muss), wobei die Ableitungen von sowohl dem Strom als auch der Spannung zum Zeitpunkt Null alle verschwinden. Nun soll Gleichung 6 zweimal integriert werden, um alle Ableitungen zu beseitigen, und alle Anfangsbedingungen müssen sorgfältig berücksichtigt werden, speziell für die Spannung. Das erste Integral wird zu
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Es wird angemerkt, dass zwischen V
0, welche die OCV bzw. Leerlaufspannung ist, und V(0) unterschieden wird, welche die Spannung zum Zeitpunkt Null ist. Das zweite Integral wird zu
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Dies ist die Beziehung zwischen Spannung und Strom, die optimiert werden soll. Bevor dies durchgeführt wird, muss diese Gleichung zuerst diskretisiert werden, und dann gezeigt werden, wie sie rekursiv ausgewertet werden kann. Für eine beliebige Funktion f(t) wird definiert
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Zur Diskretisierung wird ein Zeitschritt Δt gewählt und die Integrale unter Verwendung der Trapezregel ausgewertet, was wie folgt rekursiv erledigt werden kann S(f)(nΔt) = S(f)([n – 1]Δt) + Δt / 2(f(nΔt) + f([n – 1]Δt))
S2(f)(nΔt) = S2(f)([n – 1]Δt) + Δt / 2(S(f)(nΔt) + S(f)([n – 1]Δt)) (10)
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Dann wird die diskretisierte Formulierung von Gleichung (6) zu
S2(V)(nΔt) – V0S2(1)(nΔt) + A4S(V – V(0))(nΔt) + A5(V – V(0))(nΔt) = A1S2(I)(nΔt) + A2S(I)(nΔt) + A3I(nΔt) (11) was unter Verwendung der Gleichungen (8) rekursiv ausgewertet werden kann. Die Optimierung findet unter Verwendung der gemessenen Werte von sowohl der Spannung als auch dem Strom statt. Wenn gewünscht kann auch ein ”Vergessensfaktor” λ verwendet werden. Dann sollen die Koeffizienten A
1, ..., A
5 so gewählt werden, dass der Fehler minimiert wird
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Dieses Problem ist bei den Unbekannten Ai und V0 linear und die Standardverfahren der kleinsten Quadrate können verwendet werden, um es rekursiv zu lösen. Sobald A1, ..., A5 bestimmt worden sind, können sie verwendet werden, um nach R, R1, C1, R2, C2 aufzulösen.
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Verallgemeinerung für N RC-Paare
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Der erste Schritt besteht darin, die Werte A
1, ..., A
2N+1 zu optimieren, indem sie an Strom-Spannungs-Daten angepasst werden. Es wird angenommen, dass alle Ableitungen für Spannung und Strom bei Zeitpunkten kleiner als Null verschwinden (Anfangsbedingungen für das Angleichen). Die Prozedur ist analog zu dem, was vorstehend ausgeführt wurde, und das Gegenstück zu Gleichung 8 ist
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Gleichung 9 wird zu
und Gleichung 10 wird zu
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Gleichung 11 wird nun zu SN(V)(nΔt) – V0SN(1) + AN+2SN-1(V – V(0))(nΔt) + ... + A2NS(V – V(0))(nΔt) + A2N+1(V – V(0))(nΔt) = A1SN(I)(nΔt) + ... + ANS(I)(nΔt) + AN+1I(nΔt) (17)
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Das Gegenstück von Gleichung 12 ist
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Sobald die Koeffizienten A
i optimiert worden sind, können allgemein die Werte für R, R
i und C
i gewünscht sein. Um diese aufzufinden, wird darauf hingewiesen, dass der Nenner des Impedanzausdrucks in Gleichung 11
ist. Daher werden die Nullstellen dieses Polynoms
die Werte –1/R
iC
i sein. Daher wird es notwendig sind, die N Nullstellen für die Gleichung 18 aufzufinden. Sobald diese Nullstellen gefunden wurden, ist es möglich, Z(ω) auf Teilbrüche zu erweitern, wie in der vorstehenden Gleichung 11 gezeigt ist, und dies wird die individuellen Werte für R
i und C
i und R bestimmen.
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Es wird angemerkt, dass die Möglichkeit besteht, dass einige der Nullstellen für die Gleichung 18 für RiCi sich als entweder negativ oder als komplex herausstellen. Negative Werte würden ein instabiles System anzeigen und komplexe Werte würden eine schwingende Systemantwort anzeigen. Eine Interpretation dafür wäre, dass begonnen wird, Schaltungselemente mit Rauschen im System anzugleichen, und die Lösung dafür ist, zu versuchen, die Anzahl N der RC-Paare zu verringern, bis die optimierten Zeitkonstanten alle positiv sind.
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Eine Anzahl von Varianten umfasst ein Verfahren, das umfassen kann, dass mindestens ein Segment von spannungsbasierten Daten einer Batteriezustandsschätzung verwendet wird und dass eine lineare Regression in Echtzeit verwendet wird, welche ein Verfahren zum Schätzen eines zukünftigen Verhaltens eines Systems auf der Grundlage von aktuellen und vorherigen Datenpunkten sein kann, um eine robuste und sich schnell anpassende Impedanzantwort-Approximationsvorrichtung bereitzustellen. Die lineare Regression kann ausgeführt werden, indem eine RC-Schaltung gebildet wird, die ”äquivalent” zu Daten einer elektrochemischen Impedanzspektroskopie ist, und die Laufzeitwerte dieser RC-Schaltung unter Verwendung einer beliebigen Anzahl bekannter Algorithmen mit linearer Regression in Echtzeit verarbeitet werden, welche gewichtete rekursive kleinste Quadrate (WLRS), ein Kalman-Filter oder andere Mittel umfassen, aber nicht darauf beschränkt sind.
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Eine Anzahl von Varianten kann ein Verfahren umfassen, das umfasst, dass eine Ladezustands-Schätzvorrichtung verwendet wird, die eine RC-Schaltung enthält, die auf der Grundlage von Daten einer elektrochemischen Impedanzspektroskopie von einer Energiespeichervorrichtung modelliert wird, etwa einer Batterie, einem Superkondensator oder einer anderen elektrochemischen Vorrichtung, und dass die Laufzeitwerte dieser RC-Schaltung unter Verwendung einer beliebigen Anzahl bekannter Algorithmen mit linearer Regression in Echtzeit verarbeitet werden, welche gewichtete rekursive kleinste Quadrate (WLRS), ein Kalman-Filter oder andere Mittel umfassen, aber nicht darauf beschränkt sind. Das Verfahren kann außerdem einen Controller umfassen, der so aufgebaut und angeordnet ist, dass er eine Eingabe von der Ladezustands-Schätzvorrichtung empfängt, die Eingabe von der Schätzvorrichtung mit vorbestimmten Werten vergleicht und eine Maßnahme ergreift, etwa das Senden eines Signals, das den Ladezustand repräsentiert, oder eine andere Maßnahme ergreift, wenn die Eingabe von der Schätzvorrichtung innerhalb eines vorbestimmten Bereichs der vorbestimmten Daten liegt. In einer Anzahl von Varianten kann der Controller aufgebaut und angeordnet sein, um zu verhindern, dass eine Kraftstoff verbrennende Kraftmaschine eines Fahrzeugs, das die Energiespeichervorrichtung enthält, ausgeschaltet wird, wenn die Eingabe von der Schätzvorrichtung innerhalb eines vorbestimmten Bereichs von Werten liegt.
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Die vorstehende Beschreibung von ausgewählten Varianten im Umfang der Erfindung ist nur veranschaulichend und folglich dürfen Variationen oder Varianten derselben nicht als eine Abweichung vom Geist und Umfang der Erfindung betrachtet werden.
die Werte –1/RiCi sein. Daher wird es notwendig sind, die N Nullstellen für die Gleichung 18 aufzufinden. Sobald diese Nullstellen gefunden wurden, ist es möglich, Z(ω) auf Teilbrüche zu erweitern, wie in der vorstehenden Gleichung 11 gezeigt ist, und dies wird die individuellen Werte für Ri und Ci und R bestimmen.