DE102012208369A1

DE102012208369A1 - Vorrichtung und Verfahren zur Ermittlung einer Lage eines Objektes

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Publication number: DE102012208369A1
Application number: DE201210208369
Authority: DE
Inventors: Wendelin Feiten; Muriel Lang
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 2012-05-18
Filing date: 2012-05-18
Publication date: 2013-12-05

Abstract

Zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems (x, y, z) wird ein Verfahren und eine Vorrichtung bereitgestellt, die dazu vorbereitet ist, eine n-dimensionale Dichteverteilung MPG(p; μ, Σ) zu ermitteln, die mittels Projektion (Π_p) einer n-dimensionalen Normalverteilung (MG(μ, Σ)) auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt. Die Vorrichtung ist auch dazu vorbereitet, eine erweiterte n-dimensionale Dichteverteilung (EMPG(p; μ, Σ)) der Gestalt
EMPG = Λ₀·U + MPG(p; μ, Σ) zu ermitteln, wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit (Sn) umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) gleich 1 beträgt.

Description

Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems, wobei die Vorrichtung dazu vorbereitet ist, eine n-dimensionale Dichteverteilung zu ermitteln, die mittels Projektion einer n-dimensionalen Normalverteilung auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt. Die Lage eines Objekts kann eine Position und/oder Orientierung des Objekts sein. Unter dem Begriff 'Lage eines Objekts' kann hier auch eine Kombination anderer veränderlicher Merkmale des Objekts oder eine Kombination mit weiteren veränderlichen Merkmalen des Objekts verstanden werden.
Außerdem betrifft die Erfindung ein Verfahren zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems.
Moderne Handhabungsmaschinen, beispielsweise Roboter, unterstützen eine Vielzahl von räumlichen Freiheitsgraden zur Positionierung und/oder Verlagerung eines Werkstücks und/oder zur Ermittlung einer Lage eines Werkstücks. Allgemein kann eine räumliche Lage eines starren Werkstücks mittels drei Ortskoordinaten im kartesischen Bezugssystem und drei Lagewinkeln eindeutig beschrieben werden. Daneben gibt es weitere Möglichkeiten, eine räumliche Lage eines starren Objekts eindeutig zu beschreiben. Beispielsweise wird in der EP-Anmeldung 09007563.1 gezeigt, wie (statt der genannten drei Ortskoordinaten und drei Lagewinkel) Quaternionen, insbesondere duale Quaternionen, genutzt werden können. Die Verwendung von Quaternionen hat zum einen den Vorteil, dass ein Singularitätsproblem, welches unter dem Begriff 'gimbal lock' bekannt ist, bei Verwendung von Quaternionen nicht auftritt. Zum anderen haben Quaternionen den Vorteil, dass ein Berechnungsaufwand für räumliche Rotationsoperationen deutlich verringert werden kann.
Zur Ermittlung einer Lage eines Werkstücks ist es häufig erforderlich, mehrere relative Lagen miteinander zu verketten. Beispielsweise kann mittels einer Kamera, die an einem Ende eines Roboterarms befestigt ist, erkannt werden, dass sich ein Objekt aus Sicht der Kamera in einem bestimmten Raumwinkel befindet. Um daraus eine nutzbare Lageinformation abzuleiten, die sich auf ein absolutes Koordinatensystem bezieht, muss der Raumwinkel auf die Lage (d. h. Position und Orientierung) des Endes des Roboterarms bezogen werden.
Die Lage (d. h. Position und Orientierung) des Endes eines Roboterarms kann (wie bei einer Vektoraddition) ermittelt werden, indem die Aneinanderkettung der Glieder des Roboterarms, deren Länge und die Stellung der Gelenke zwischen benachbarten Gliedern des Roboterarms berücksichtigt werden. Diese Verknüpfung wird als Komposition bezeichnet. Die Komposition wird in Anwendungen benötigt, in denen es darum geht, eine bestehende Lage eines Objekts mittels Sensoren zu ermitteln. Außerdem wird die Komposition in Anwendungen benötigt, in denen es darum geht, ein Objekt mittels Aktoren in eine gewünschte Lage zu bewegen.
Außerdem kann ein Gelenk eines Roboterarms von zwei oder mehr Gliedern gelagert sein (etwa so wie das menschliche Handgelenk an Elle und Speiche befestigt ist). In diesem Fall ist die Lage des Gelenks (wie bei einer gewichteten Mittelwertbildung von mehren Vektoren) unter gewichteter Berücksichtigung der Lagen aller an der Positionierung des Gelenks beteiligten Glieder zu ermitteln. Diese Verknüpfung wird als Fusion bezeichnet. Die Fusion wird in Anwendungen benötigt, in denen es darum geht, eine bestehende Lage eines Objekts mittels Sensoren zu ermitteln. Außerdem wird die Fusion in Anwendungen benötigt, in denen es darum geht, ein Objekt mittels Aktoren in eine gewünschte Lage zu bewegen.
Für eine Lagebestimmung ist bei allen Varianten von Lagebeschreibungen nicht nur eine Angabe der wahrscheinlichsten Lage praxisrelevant, sondern auch Informationen darüber, wie stark und mit welcher Wahrscheinlichkeit die tatsächliche Lage von der ermittelten Lage abweicht. In der Regel unterscheiden sich Wahrscheinlichkeitsdichten von Lagen, die nur geringfügig von der der wahrscheinlichsten Lage abweichen, nur geringfügig. Außerdem geht die Wahrscheinlichkeit für Lagen, die weit von der wahrscheinlichsten Lage abweichen, mit zunehmender Entfernung von der wahrscheinlichsten Lage asymptotisch gegen Null. Darüber hinaus ist (abgesehen von Quantisierungseffekten) die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Regel beliebig häufig total differenzierbar. Aus alledem folgt, dass die mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Abweichung von der wahrscheinlichsten Lage in der Regel recht gut mittels einer mehrdimensionalen Normalverteilung beschreibbar ist.
Wenn die Annahme zutrifft, dass zwischen dem statistischen Verhalten der dimensionsspezifischen Abweichungen von der wahrscheinlichsten Lage keine Abhängigkeit besteht, lässt sich die mehrdimensionale Normalverteilung vollständig beschreiben, indem für jede Dimension ein Mittelwert und eine Varianz angegeben werden. In der Praxis gibt es jedoch ausgeprägte Abhängigkeiten zwischen dem statistischen Verhalten der dimensionsspezifischen Abweichungen von der wahrscheinlichsten Lage. Lang, M., www.lsr.ei.tum.de/fileadmin/publications/DiplomarbeitMuriel.pdf, S. 23 erläutert, wie solche Zusammenhänge mittels einer Kovarianzmatrix berücksichtigt werden können. Hierbei repräsentieren die Elemente der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix die dimensionsspezifischen Varianzen der mehrdimensionalen Normalverteilung. In der Praxis kommt es vor, dass auch zwischen Rotationskomponenten und Translationskomponenten Kovarianzen bestehen, die signifikant von Null abweichen, so dass die Kovarianzmatrix dann vollbesetzt ist. Varianzen können zwischen Null und plus Unendlich betragen. Kovarianzen können Werte zwischen minus Unendlich und plus Unendlich annehmen.
Um auch für Lagen, die mittels Fusion und/oder Komposition ermittelt wurden, Informationen zu erhalten, wie stark und mit welcher Wahrscheinlichkeit die tatsächliche Lage von der ermittelten Lage abweicht, wird die Fusion beziehungsweise die Komposition auch auf die mehrdimensionale Normalverteilung angewendet.
Um die Berechnung der Fusion beziehungsweise der Komposition zu vereinfachen, kann die Fusion (anstelle der jeweiligen mehrdimensionalen Normalverteilung) jeweils mit einer Verteilung durchgeführt werden, die mittels einer Projektion der jeweiligen mehrdimensionalen Normalverteilung durch einen Tangentenpunkt auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit induzierbar ist (insbesondere auf eine Hemisphäre der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit induzierbar ist). Durch die Abbildung entstehen unter anderem abgebildete Elemente der Kovarianzmatrix, also eine abgebildete Kovarianzmatrix. Zur Berechnung von Fusionen und Kompositionen (auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit) wird dann die abgebildete Kovarianzmatrix verwendet.
In der Praxis kommt es vor, dass über einen oder mehrere Elemente der Kovarianzmatrix keine Informationen vorliegen. Im bisher bekannten Stand der Technik würde dies dadurch berücksichtigt, dass die Elemente der nicht abgebildeten Kovarianzmatrix auf einen möglichst großen Wert (also näherungsweise auf Unendlich) gesetzt werden. So eine Dichteverteilung würde auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit einer Dichteverteilung entsprechen, deren Dichte (in der betreffenden Dimension) am Tangentenpunkt null beträgt und mit zunehmender Entfernung vom Tangentenpunkt (also vom formalen Erwartungswert) zunimmt. Dieser Sachverhalt führt zu erheblichen Problemen in den folgenden Schritten des bekannten Lageermittlungsverfahrens.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Vorrichtung zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems bereitzustellen, mit dem in praktikabler und korrekter Weise ein Nichtvorliegen von Informationen zu einzelnen Elementen der Kovarianzmatrix berücksichtigt werden kann. Außerdem hat die Erfindung die Aufgabe, ein Verfahren zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems bereitzustellen, mit dem in praktikabler und korrekter Weise ein Nichtvorliegen von Informationen zu einzelnen Elementen der Kovarianzmatrix berücksichtigt werden kann.
Erfindungsgemäß wird diese Aufgabe dadurch gelöst, dass eine Vorrichtung zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems bereitgestellt wird, wobei die Vorrichtung dazu vorbereitet ist, eine n-dimensionale Dichteverteilung MPG zu ermitteln, die mittels Projektion einer n-dimensionalen Normalverteilung auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt, wobei die Vorrichtung auch dazu vorbereitet ist, eine erweiterte n-dimensionale Dichteverteilung der Gestalt EMPG = Λ₀·U + MPG zu ermitteln, wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit gleich 1 beträgt.
In Bezug auf das Verfahren zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems wird die Aufgabe dadurch gelöst, dass das Verfahren folgende Schritte umfasst:

– Ermitteln einer n-dimensionalen Dichteverteilung MPG, die mittels Projektion einer n-dimensionalen Normalverteilung auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt; und
– Ermitteln einer erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung der Gestalt EMPG = Λ₀·U + MPG, wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit gleich 1 beträgt.

Mit dieser Erweiterung der n-dimensionalen Dichteverteilung können in der n-dimensionalen Dichteverteilung MPG solche Komponenten vernachlässigt (fallen gelassen) werden, die ein sehr kleines Gewicht aufweisen. Die entsprechenden Gewichte können dem Gewicht Λ₀ der Einheit U in der n-dimensionalen Dichteverteilung zuschlagen werden. Ebenso kann im Gewicht der Einheit kodiert werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die vorliegende Information nicht dem entsprechenden Phänomen zugeordnet werden kann. Mit der Anzahl der Informationen, die auf eine MPG fusioniert werden, geht das Gewicht Λ₀ der Einheit U exponentiell nach unten, so dass mit diesem Mechanismus ein guter Ausgleich zwischen Präzision und Effizienz erreicht wird.
In einer zweckmäßigen Weiterbildung ist die Vorrichtung dazu vorbereitet, eine Fusion einer ersten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung der Gestalt EMPG₁ = Λ_0,1·U + MPG₁ mit einer zweiten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung der Gestalt EMPG₂ = Λ_0,2·U + MPG₂ zu ermitteln. Hierdurch kann bei der Fusion von Sensor- oder Aktordaten auch berücksichtigt werden, wenn von einzelnen Sensoren beziehungsweise für einzelne Aktoren keine nutzbaren Daten vorliegen.
Unabhängig davon ist in einer ebenfalls zweckmäßigen Weiterbildung die Vorrichtung dazu vorbereitet, eine Komposition einer ersten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung der Gestalt EMPG₁ = Λ_0,1·U + MPG₁ mit einer zweiten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung der Gestalt EMPG₂ = Λ_0,2·U + MPG₂ zu ermitteln. Hierdurch kann bei der Komposition von Sensor- oder Aktordaten auch berücksichtigt werden, wenn von einzelnen Sensoren beziehungsweise für einzelne Aktoren keine nutzbaren Daten vorliegen.
Besonders bevorzugt ist, wenn die Vorrichtung ein Wahrnehmungssystem zur Ermittlung einer früheren, gegenwärtigen und/oder zukünftigen Lage des Objektes in dem Koordinatensystem des Bezugssystems umfasst. Die Vorrichtung kann beispielsweise ein Handhabungssystem, insbesondere ein Roboter, mit eigenen Sensoren zur Erfassung der Lage eines Objekts sein.
In vielen Anwendungen ist es von Vorteil, wenn die Vorrichtung zur Auswertung von Bildinformationen von empfangenem Schall und/oder zur Auswertung von Bildinformationen von empfangenen elektromagnetischen Wellen und/oder zur Auswertung von Bildinformationen einer anderen Strahlung vorgesehen ist. Hierdurch kann die Lage eines Objektes in effizienter Weise mittels berührungsloser Techniken erfasst werden.
Auch kann es zweckmäßig sein, wenn die Vorrichtung Teil einer Positionierungsvorrichtung zur Beeinflussung einer räumlichen Lage des Objekts in dem Koordinatensystem des Bezugssystems ist. Hierdurch kann eine Wirkung von Maßnahmen vorausberechnet werden, die für eine gezielte Lageänderung eines Objektes vorgesehen sind.
Insbesondere kann die Vorrichtung Teil eines Roboters sein. Hierdurch werden die Vorteile des erfinderischen Konzepts in einem Roboter nutzbar.
In vielen Anwendungsfällen ist die Dichteverteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung.
Die Lage kann eine rotatorische, translatorische und/oder zeitliche Lage des Objektes in dem Koordinatensystem des Bezugssystems umfassen.
Die Erfindung ist anhand der beigefügten Zeichnungen näher erläutert, in denen zeigen:
1 schematisch eine erfindungsgemäße Vorrichtung zur Ermittlung einer Lage eines Objektes, das sich in einer Umgebung der Vorrichtung befindet;
2 schematisch eine Zentralprojektion einer zweidimensionalen Normalverteilung, die sich auf einer Tangentenebene befindet, die in einem Punkt an einer Einheitssphäre anliegt; und
3 ein Ablaufdiagramm für ein Verfahren zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems.
Die nachfolgend näher geschilderten Ausführungsbeispiele stellen bevorzugte Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung dar.
Wahrnehmungssysteme 10, insbesondere von Robotern 12, haben die Aufgabe, ein Modell 17 einer Umgebung 16 herzustellen. Dieses Umgebungsmodell 17 enthält neben Begrenzungen des Raumes 18 (wie Wände 161 und Möbel 162) Objektmodelle 21 von typischen Objekten 20 (Gegenständen). Von Objekten 20, die in der Umgebung 16 des Roboters 12 vorhanden sind, soll festgestellt werden, welchen Objektmodellen 21, die in einer Objektdatenbank 22 gespeichert sind, diese Objekte 20 entsprechen (dies ist eine Klassifikationsaufgabe) und wie die Objekte 20 im Raum 18 positioniert und orientiert sind.
Die Position 30 und Orientierung 40 eines Objekts 24 ist gleichbedeutend mit der Bewegung, die das Objekt 24 aus einem Ursprung 50 heraus zurückgelegt hat, also mit einer Translation 31 und einer Rotation 41. Die Menge dieser Bewegungen fester Körper wird Spezielle Euklidische Gruppe genannt und mit SE(3) bezeichnet.
Ein bevorzugtes Ausführungsbeispiel der Erfindung sieht vor, dass die Position 30 und die Orientierung 40 im Raum beziehungsweise im SE(3) durch eine bekannte Parametrierung mittels Dualen Quaternionen Q oder mittels Paaren q_r, q_t von Quaternionen beschrieben wird. Zur besseren Lesbarkeit wird im Folgenden eine kurze Zusammenfassung über Grundlagen zu Quaternionen gegeben.
Quaternionen sind eine Erweiterung der bekannten komplexen Zahlen C = {x + i·y|x, y ∊ R} auf die hyperkomplexen Zahlen H = {a + i·b + j·c + k·d|a, b, c, d ∊ R}, wobei für die imaginären Einheiten gilt i² = j² = k² = –1,i·j = k, j·k = i, k·i = j.
Die Summe von Quaternionen wird komponentenweise gebildet. Das Produkt von Quaternionen q₁ * q₂ ergibt sich zu q₁∙q₂ = (a₁ + i·b₁ + j·c₁ + k·d₁)·(a₂ + i·b₂ + j·c₂ + k·d₂) = (a₁·a₂ – b₁·b₂ – c₁·c₂ – d₁·d₂) + i·(a₁·b₂ + a₂·b₁ + c₁·d₂ – d₁·c₂) + j·(a₁·c₂ + a₂·c₁ + d₁·b₂ – b₁·d₂) + k·(a₁·d₂ + a₂·d₁ + b₁·c₂ – b₂·d₁).
Analog zu den komplexen Zahlen wird das konjugierte Quaternion q^* definiert als q* = a – i·b – j·c – k·d, und der Betrag des Quaternions ist
Wenn ein Punkt in P = (x, y, z)^τ ∊ R³ als rein Imaginäres Quaternion p = i·x + j·y + k·z auf fasst wird, erhält man für den um die Achse (der Länge 1) (x_r, y_r, z_r) ∊ R³ mit dem Winkel φ rotierten Punkt p_r als Quaternionenprodukt mit dem Quaternion vom Betrag 1 q_r = cos(φ/2) + i·sin(φ/2)·x_r + j·sin(φ/2)·y_r + k·sin(φ/2)·z_r und p_r = q_r * p * q_r.
Die Orientierung 40 wird also durch das Einheitsquaternion q_r ausgedrückt. Die Position 30 in R³ beziehungsweise die Translation 31 wird ähnlich wie ein Punkt als rein imaginäres Quaternion q_t ausgedrückt. Damit wird die Kombination aus Orientierung 40 und Position 30 als Duales Quaternion Q = (q_r, 0.5·q_t*q_r) ausgedrückt.
Für Duale Quaternionen Q der Form Q = (q_r, q_d) können ähnliche Rechenregeln aufgestellt werden wie für Quaternionen q. Die Addition erfolgt wieder komponentenweise, und die Multiplikation ist definiert als Q₁ **Q₂ = (q_r,1 * q_r,2, q_r,1 * q_d,2 + q_r,2 * q_d,1).
Auf diesem Hintergrund wird klar, wie Orientierung 40 und Position 30 mittels Parameter aus dem Parameterraum δ₃ × R³ dargestellt werden können.
Über diesen Parameterraum δ₃ × R³ gilt es nun, Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen anzugeben. Denn die Position 30 und Orientierung 40 der Objekte 20 wird aus Sensordaten ermittelt, die mit Unsicherheit behaftet sind. Folglich werden die Positionen 30 und Orientierungen 40 als Zufallsvariablen q_t, q_r modelliert. Darüber hinaus wird mittels Kovarianzen auch eine Korrelation zwischen Orientierung 40 und Position 30 beschrieben, die infolge der Algorithmen zur Erfassung der Umgebung 16 oft sehr ausgeprägt ist.
Die 2 illustriert einen möglichen Ansatz. Hierbei wird an eine Einheitssphäre 60 in einem Punkt p eine Tangentenebene 70 angelegt. Dabei wird von einer Normalverteilung auf dieser Tangentenebene 70 ausgegangen. Ergebnis ist eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung PG auf der Einheitssphäre 60 durch Zentralprojektion.
Für jeden beliebigen Punkt p auf der Einheitssphäre δ₃ ⊂ R⁴ gibt es eine kanonische Basis B = (b₂, b₃, b₄) für den Tangentenraum TS_p an die Sphäre 60 in diesem Punkt p (die Details hierzu sind beschrieben in 0[1]), und es gilt TS_p × R³ ~ R⁶ Nun wird die Projektion Π_P : TS_p × R³ ~ R⁶ → δ₃ × R³ ~ SE(3) als Zentralprojektion des Punktes p im Tangentenraum TS_p gemäß den ersten drei Komponenten auf die Sphäre und Identität für die letzten drei Komponenten definiert. Dann induziert eine Normalverteilung N(μ, Σ) auf dem R⁶ eine Verteilung N(p; μ, Σ) auf δ³ × R³ durch N(p; μ, Σ)(q) := C·N(μ, Σ)(Π –1 / p (q)), wobei Σ (beispielsweise in einer Matrix) Varianzen und Kovarianzen der Normalverteilung beschreibt. Diese Projektion wird symmetrisch fortgesetzt. D. h. auf der Sphäre gegenüberliegende Punkte bekommen den gleichen Funktionswert.
Die Komponenten N(p; μ, Σ) sind unimodal (bis auf die antipodale Symmetrie). Um Phänomene zu erfassen, die im Prozess der robusten Wahrnehmung eines intelligenten Systems auftreten (beispielsweise eine Gleichverteilung von Information oder multimodale Verteilungen), wird die Ausdrucksfähigkeit der Projected Gaussians PG erweitert, indem die Verteilungen auf die Mixtures of Projected Gaussians MPG ausgedehnt werden.
Die günstigen Eigenschaften und etablierten Techniken der Mixtures of Gaussians MG lassen sich auf die Mixtures of Projected Gaussians MPG übertragen.
Die Fusion der Information von zwei Mixtures of Projected Gaussians MPG wird hergeleitet aus der Fusion der Information aus Paaren von Projected Gaussians aus jeweils der einen und der anderen Mixture. Das resultierende Gewicht eines solchen fusionierten Paars besteht aus drei Faktoren.
Der erste Faktor ist das Produkt der ursprünglichen Gewichte. Dies drückt den Gedanken aus, dass die Komponenten für einen Fall der Zufallsvariable stehen, der eintreten kann, dass die verschiedenen Komponenten den Bereich der Zufallsvariablen überdecken. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten zweier Fälle das Produkt des Auftretens jeden einzelnen Falls.
Der zweite Faktor erfasst die Beobachtung, dass zwei Fälle nicht gleichzeitig gelten können, wenn die entsprechenden Tangentenpunkte zu weit voneinander entfernt sind.
Der dritte Faktor erfasst (wie im Falle von konventionellen Mixtures of Gaussians) dass es unwahrscheinlich ist, dass zwei Elemente zum gleichen Fall gehören, wenn ihr Mahalanobis-Abstand zu groß ist.
Mit diesen kombinierten Gewichten erhalten wir eine Mixture of Projected Gaussians MPG mit vielen Komponenten, von denen allerdings auch viele sehr kleine Gewichte haben.
In der Komposition der Mixtures of Projected Gaussians EMPG₁, EMPG₂ (beispielsweise für eine Hintereinanderausführung von Bewegungen) sind diese Kompatibilitätsbetrachtungen nicht erforderlich. Hier wird einfach die Komposition von jedem Paar, gewichtet mit dem Produkt der ursprünglichen Gewichte verwendet. Etliche dieser Gewichte werden wieder sehr klein sein.
Um die Anzahl der Komponenten in der Mixture MPG möglichst gering zu halten, werden Komponenten mit sehr kleinen Gewichten vernachlässigt (zu Null gesetzt). Außerdem werden Informationen von sehr ähnlichen Komponenten in einer Komponente zusammengefasst. Diese Maßnahme wird auch als 'merging' bezeichnet.
Komponenten einfach wegzulassen und dann die Gewichte zu renormalisieren, würde allerdings zu einer zu starken Bewertung der verbleibenden Information und damit zu Fehleinschätzungen führen. Daher, und auch um anfängliche Fehleinschätzungen im Kalkül zu berücksichtigen, wird erfindungsgemäß vorgeschlagen, eine Komponente U in die Mixture einzuführen, die im wesentlichen die Aussage ”keine Information für diesen Fall” beschreibt (codiert). Falls der Bereich der Zufallsvariablen kompakt ist, ist diese Komponente die Gleichverteilung.
In oben erwähnten Fall ist die Translationskomponente nicht kompakt. Daher definieren wir U entsprechend den Eigenschaften der Gleichverteilung auf Kompakta. Daraus erhalten wir die Verknüpfungsregeln für U und eine Projected Gaussian PG für den Fall der Fusionierung von Mixtures of Projected Gaussians PG: U × U = U U × PG = PG PG × U = PG.
Die Regeln der Komposition für U und eine Projected Gaussian PG sind: U o U = U U o PG = U PG o U = U.
Die Fusionierung von Mixtures MPG reduziert das Gewicht der Einheit in der resultierenden Mixture. Die Komposition von Mixtures MPG vergrößert das Gewicht der Einheit. Die in den Dokumenten [1], [2] und [3] beschriebenen Regeln für die Komposition und die Fusionierung von zwei EMPG können in folgender Weise verallgemeinert werden.
Sind
zwei Extended Mixture of Projected Gaussian EMPGI₁, EMPG₂, dann ist die Fusionierung gegeben durch
Wie in den zitierten Druckschriften beschrieben ist, kann die Fusionierung der Projected Gaussian Komponenten wie folgt erfolgen: N(q_i,1; μ_i,1, Σ_i,1) × N(q_j,2; μ_j,2, Σ_j,2) = φ_i,j·N(q_i,j,3; μ_i,j,3, Σ_i,j,3)
Die meisten der zusätzlichen Gewichte φ_i,j werden dabei sehr klein. Die Konstante C gleicht diesen Gewichtsverlust aus:
In einem weiteren beanspruchten Kalkül wird die Summe der Gewichte insgesamt normalisiert. Die Fusionierung ist dann
C ist gegeben durch die Gleichung
Die Komposition wird zu
Die Komposition der Projected Gaussians PG erfolgt so, wie in den zitierten Druckschriften beschrieben.
Mit dieser Konstruktion können Komponenten in der Mixture, die ein sehr kleines Gewicht haben, vernachlässigt werden und die entsprechenden Gewichte dem Gewicht Λ₀ der Einheit U in der Mixture EMPG zuschlagen werden. Ebenso wird im Gewicht Λ₀ der Einheit U kodiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit die vorliegende Information nicht dem entsprechenden Phänomen zugeordnet werden kann. Mit der Anzahl der Informationen, die auf eine MPG fusioniert waren, geht das Gewicht Λ₀ der Einheit U exponentiell nach unten, so dass mit diesem Mechanismus ein guter Ausgleich zwischen Präzision und Effizienz erreicht wird.
Das in 3 gezeigte Verfahren 100 zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems x, y, z umfasst folgende Schritte 110, 120. In einem ersten Schritt 110 wird eine n-dimensionale Dichteverteilung MPG(p; μ, Σ) ermittelt, die mittels Projektion Π_p einer n-dimensionalen Normalverteilung MG(μ, Σ) auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit Sn induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt. In einem zweiten Schritt 120 wird eine erweiterte n-dimensionalen Dichteverteilung EMPG(p; μ, Σ) der Gestalt EMPG = Λ₀·U + MPG(p; μ, Σ) ermittelt, wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit Sn umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit Sn gleich 1 beträgt.
Literatur:

[1] W. Feiten, P. Atwal, R. Eidenberger, and T. Grundmann, "6d pose uncertainty in robotic perception," in Advances in Robotics Research, T. Kröger and F. M. Wahl, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2009, pp. 89–98.
[2] W. Feiten, M. Lang, "MPG – A Framework for Reasoning an 6 DOF Pose", Workshop an Manipulation Under Uncertainty, ICRA 2011
[3] M. Lang, W. Feiten, "MPG – Fast Forward Reasoning an 6 DOF Pose Uncertainty", to appear in 7th German Conference an Robotic, München, 2012.
[4] R. Rudzkis, M. Radavicius, "Statistical Estimation of a Mixture of Gaussian Distributions", Acta Applicandae Mathematicae 38, pp. 37–54, 1995.

ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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Zitierte Patentliteratur

EP 09007563 [0003]

Zitierte Nicht-Patentliteratur

Lage. Lang, M., www.lsr.ei.tum.de/fileadmin/publications/DiplomarbeitMuriel.pdf, S. 23 [0008]
W. Feiten, P. Atwal, R. Eidenberger, and T. Grundmann, ”6d pose uncertainty in robotic perception,” in Advances in Robotics Research, T. Kröger and F. M. Wahl, Eds. Springer Berlin Heidelberg, 2009, pp. 89–98 [0063]
W. Feiten, M. Lang, ”MPG – A Framework for Reasoning an 6 DOF Pose”, Workshop an Manipulation Under Uncertainty, ICRA 2011 [0063]
M. Lang, W. Feiten, ”MPG – Fast Forward Reasoning an 6 DOF Pose Uncertainty”, to appear in 7th German Conference an Robotic, München, 2012 [0063]
R. Rudzkis, M. Radavicius, ”Statistical Estimation of a Mixture of Gaussian Distributions”, Acta Applicandae Mathematicae 38, pp. 37–54, 1995 [0063]

Claims

Vorrichtung zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems (x, y, z), wobei die Vorrichtung dazu vorbereitet ist, eine n-dimensionale Dichteverteilung MPG(p; μ, Σ) zu ermitteln, die mittels Projektion (Π_p) einer n-dimensionalen Normalverteilung (MG(μ, Σ)) auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung auch dazu vorbereitet ist, eine erweiterte n-dimensionale Dichteverteilung (EMPG(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG = Λ₀·U + MPG(p; μ, Σ) zu ermitteln, wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit (Sn) umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) gleich 1 beträgt.
Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung dazu vorbereitet ist, eine Fusion einer ersten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung (EMPG₁(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG₁ = Λ_0,1·U + MPG₁(p; μ, Σ) mit einer zweiten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung (EMPG₂(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG₂ = X_0,2 U + MPG₂(p; μ, Σ) zu ermitteln.
Vorrichtung nach Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung dazu vorbereitet ist, eine Komposition einer ersten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung (EMPG₁(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG₁ = Λ_0,1·U + MPG₁(p; μ, Σ) mit einer zweiten erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung (EMPG₂(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG₂ = Λ_0,2·U + MPG₂(p; μ, Σ) zu ermitteln.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung ein Wahrnehmungssystem zur Ermittlung einer früheren, gegenwärtigen und/oder zukünftigen Lage des Objektes in dem Koordinatensystem des Bezugssystems (x, y, z) umfasst.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung zur Auswertung von Bildinformationen von empfangenem Schall und/oder zur Auswertung von Bildinformationen von empfangenen elektromagnetischen Wellen und/oder zur Auswertung von Bildinformationen einer anderen Strahlung vorgesehen ist.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung Teil einer Positionierungsvorrichtung zur Beeinflussung einer räumlichen Lage des Objekts in dem Koordinatensystem des Bezugssystems (x, y, z) ist.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 4, 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Vorrichtung Teil eines Roboters ist.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Dichteverteilung (MPG(p; μ, Σ)) eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass die Lage eine rotatorische (p_r), translatorische (p_t) und/oder zeitliche Lage des Objektes in dem Koordinatensystem des Bezugssystems umfasst.
Verfahren (100) zur Ermittlung einer Lage eines Objektes in einem Koordinatensystem eines Bezugssystems (x, y, z), dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren (100) folgende Schritte (110, 120) umfasst: – Ermitteln (110) einer n-dimensionalen Dichteverteilung (MPG(p; μ, Σ)), die mittels Projektion (Π_p) einer n-dimensionalen Normalverteilung (MG(μ, Σ)) auf eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) induzierbar ist, wobei n mindestens zwei beträgt; und – Ermitteln (120) einer erweiterten n-dimensionalen Dichteverteilung (EMPG(p; μ, Σ)) der Gestalt EMPG = Λ₀·U + MPG(p; μ, Σ), wobei Λ₀ ein Gewichtsfaktor größer 0 ist, U mindestens eine Gleichverteilung auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit (Sn) umfasst und wobei das Integral von U über die n-dimensionale Mannigfaltigkeit (Sn) gleich 1 beträgt.