DE102012204971A1 - Verfahren und Schaltung zur Approximation von Logarithmuswerten - Google Patents

Abstract

Die Erfindung betrifft eine Schaltungsanordnung (1) und ein Verfahren zur Bestimmung eines Näherungswertes YN für den binären Logarithmus log2(x) einer positiven reellen Zahl x. Die Schaltungsanordnung umfasst eine Normierungseinheit (10), die eingerichtet ist, eine Zahl Y1 Є Z derart zu bestimmen, dass fürDie Schaltungsanordnung umfasst ferner mindestens eine Recheneinheit, die eingerichtet ist, die Zahl YN zu berechnen, wobei N Є N und YN das N-te Folgenglied derjenigen reellen Zahlenfolge (Yn)nЄN ist, die zusammen mit der reellen Zahlenfolge (Ln)nЄN rekursiv gegeben ist durch Ln+1 := Ln(1 + 2–n) und Yn+1 := Yn -log2(1 + 2–n) falls Ln(1 + 2–n) < 1 und Ln+1 := Ln und Yn+1 := Yn sonst. Die Erfindung betrifft weiterhin ein Computerprogramm mit Programmcodemitteln, die das Verfahren implementieren, und ein maschinenlesbares Speichermedium, das derartige Programmcodemittel aufweist.

Description

• Die vorliegende Erfindung betrifft betrifft eine Schaltungsanordnung, ein Verfahren und ein Computerprogramm zur schnellen und einfachen Approximation von Funktionswerten der Logarithmusfunktion sowie ein maschinenlesbares Speichermedium mit Programmcodemitteln, die eine Recheneinheit zu einer derartigen Approximation veranlassen.
• Stand der Technik
• Mit Hilfe der Logarithmusfunktion können ganzzahlige wie allgemeine Potenzen (z.B. Wurzeln) von Zahlen bestimmt werden. Neben einer Vielzahl von weiteren Anwendungen treten solche Potenzfunktionen beispielsweise bei der Temperaturkompensation von Sensoren auf. Zudem können Logarithmen dazu dienen, Multiplizierer, Dividierer oder Wurzelberechner im Betrieb auf korrekte Funktion zu überprüfen, was in sicherheitskritischen Anwendungen relevant ist. Eine kostengünstige Berechnung von Logarithmenwerten in der Festkommaarithmetik ist daher von großer Bedeutung.
• Die Berechnung von Funktionswerten der Logarithmusfunktion ist seit etwa 1990 in vielen Fließkommaprozessoren als eingebaute Hardwarefunktion verfügbar. Zumeist wird sie durch einen integrierten Gleitkomma-Coprozessor erledigt. Alternativ erfolgt die Logarithmenberechnung durch Software (sogenannte „Gleitkomma-Emulation“), was naturgemäß deutlich langsamer geschieht. In der Regel werden zur näherungsweisen Berechnung des Logarithmus Potenzreihen oder Kettenbrüche herangezogen. Dazu sind jeweils mehrere Multiplikationen, Divisionen und Additionen durchzuführen, was einen hohen Rechen- und Zwischenspeicheraufwand bedeutet.
• Alternativ lassen sich Logarithmen iterativ berechnen (siehe z.B. J.-C. Bajard, S. Kla und J.-M. Muller: „BKM: A new hardware algorithm for complex elementary functions" in: IEEE transactions on computers, vol. 43, no. 8, August 1994). Die Anwendung dieses Verfahrens auf Logarithmen reeller Zahlen beruht im Kern auf einem Algorithmus, der im Wesentlichen bereits 1624 von Henry Briggs in dessen Buch „Arithmetica Logarithmica“ veröffentlicht wurde.
• Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist die Bereitstellung eines Verfahrens und einer Schaltungsanordnung zur schnellen und einfachen Berechnung von Näherungen von Funktionswerten der Logarithmusfunktion zur Basis zwei.
• Offenbarung der Erfindung
• Erfindungsgemäß wird eine Schaltungsanordnung, ein Verfahren, ein Computerprogramm und ein maschinenlesbares Speichermedium gemäß den unabhängigen Patentansprüchen vorgeschlagen. Bevorzugte Ausführungsformen sind in den Unteransprüchen offenbart.
• Die erfindungsgemäße Schaltungsanordnung dient der Bestimmung eines Näherungswertes Y_N für den binären Logarithmus log₂(x) einer (beliebig) gewählten positiven reellen Zahl x. Die positive Zahl x kann der Schaltungsanordnung beispielsweise vom Nutzer oder automatisch von einer anderen Einheit zugeführt werden. Analog kann der Wert N von einem Anwender oder von einem Prozess in einem Rechnersystem, in dem die Schaltungsanordnung eingebunden ist, vorgegeben werden oder worden sein.
• Die Schaltungsanordnung umfasst eine Normierungseinheit, die eingerichtet ist, eine Zahl k Є Z derart zu bestimmen, dass für x‘ := 2^–kx gilt ½ ≤ x‘ < 1. (Hier und im Folgenden seien N := {1, 2, 3, ....} die Menge der natürlichen Zahlen und Z die Menge der ganzen Zahlen.)
• Für die als Binärzahl dargestellte Zahl x entspricht die Normierung von x auf den Wert x‘ Є [1/2, 1] einer Verschiebung um k Stellen, und zwar nach rechts, falls k positiv ist und nach links, wenn k ≤ 0 ist. Die Verschiebung erfolgt so, dass die erste Nachkommastelle der Zahl x‘, wenn diese als (nichtperiodische) Binärzahl dargestellt ist, eine Eins ist und alle Vorkommastellen null sind.
• Verfahren zur Bestimmung von k sind beispielsweise auch aus der kombinatorischen Logik bekannt. Eine solche kombinatorische Lösung (d.h. eine logische Beschreibung mit AND, OR und NOT) lässt sich in Gatter umsetzen und kostet nur die Gatterlaufzeit (keine Taktung).
• Die erfindungsgemäße Schaltungsanordnung umfasst weiterhin eine Recheneinheit, die eingerichtet ist, die Zahl Y_N als Näherungswert für log₂(x) zu berechnen. Y_N ist als N-tes Folgenglied der Folge (Y_n)_nЄN definiert, die zusammen mit der reellen Zahlenfolge (L_n)_nЄN gegeben ist durch
  L₁ := x‘ und Y₁ := k
  sowie rekursiv
  L_n+1 := L_n(1 + 2^–n) und Y_n+1 := Y_n -log₂(1 + 2^–n) falls L_n(1 + 2^–n) < 1
  und
  L_n+1 := L_n und Y_n+1 := Y_n sonst.
• Es versteht sich, dass hier und im Folgenden die Zahlen log₂(1 + 2^–n) gegebenenfalls durch geeignete Näherungen zu ersetzen sind, wie es für die konkrete Arithmetik mit endlich vielen Stellen erforderlich ist. Beispielsweise werden die Werte nur auf 8 oder 16 Nachkommastellen genau bestimmt. Die Bezeichnung log₂(1 + 2^–n) wird für diese Näherungswerte beibehalten.
• Nach Definition von x‘ ist log₂ x = k + log₂ x‘ = Y₁ + log₂ L₁. Damit ist log₂L₁ = log₂x – Y₁.
• Induktiv ergibt sich (unter Verwendung des Logarithmengesetzes log₂(ab) = log₂a + log₂b für a, b >0) weiter log₂L_n = log₂x – Y_n für alle n Є N
• Wie unten gezeigt wird, konvergiert die Folge (L_n)_nЄN gegen eins. Aufgrund der Stetigkeit der Logarithmusfunktion folgt daraus, dass

  

  also

  

  Somit ist Y_N in der Tat ein Näherungswert für log₂x.
• Analog kann das erfindungsgemäße Verfahren zur automatischen Bestimmung eines Näherungswertes für einen Logarithmus die genannten und nachfolgend beschriebenen Schritte umfassen.
• Das erfindungsgemäße Verfahren erlaubt eine besonders einfache Umsetzbarkeit in digitale Hardware; entsprechend ist die erfindungsgemäße Schaltungsanordnung besonders einfach. Anders als bei der oben erwähnten Methode von Briggs sind nämlich keinerlei Divisionen notwendig. Im Gegensatz zur oben genannten BKM-Methode, bei der jeweils zwei komplette Datenworte miteinander verglichen werden, muss erfindungsgemäß während der Iteration immer nur ein einziges Bit geprüft werden. Außerdem bestehen einige Unterschiede in der Initialisierung und in der Steuerung der Iterationen.
• Die durchzuführenden Berechnungen sind einfach zu realisieren, weil nur bedingte Additionen und Verschiebungen von Datenwörtern („shifts“) durchzuführen sind. Die bedingten Additionen werden jeweils nur durch ein einziges Bit gesteuert.
• Beispielsweise lassen sich die Zahlen L_n+1 wegen L_n+1 = L_n(1 + 2^–n) = L_n + L_n2^–n aus L_n durch eine einfache Addition und eine Stellenverschiebung um n Stellen nach rechts realisieren.
• Je höher die Ordnung N, desto höher ist die Genauigkeit des Ergebnisses. Mittelt man bei der Berechnung des Logarithmus in N Schritten den Fehler über alle möglichen Werte für x‘, so halbiert beispielsweise eine Erhöhung von N um 1 diesen mittleren Fehler.
• Die Erfindung erlaubt eine schnelle (näherungsweise) Logarithmusberechnung schon bei beschränkten Systemkapazitäten, wie sie beispielsweise in einem Kraftfahrzeug vorliegen. Sie bietet die Möglichkeit, in ASICS (anwendungsspezifische integrierte Schaltung) die Berechnung von Potenzfunktionen über Logarithmen kostengünstig umzusetzen.
• Wie oben erwähnt wurde, ist L₁ = x‘ so gewählt, dass seine erste binäre Nachkommastelle eins ist. Aus den Ausführungen weiter unten ergibt sich weiterhin, dass die Länge der mit der ersten Nachkommastelle beginnenden, nicht von einer Null unterbrochenen Einserketten nach Konstruktion der L_n monoton mit n wächst. Im Grenzübergang erhält man dabei die Binärzahl 0, 1 _bin = 1. Dies erklärt die verwendete, oben angegebene Beziehung

  

  die auch durch Simulation nachgewiesen werden kann.
• Mathematisch-analytisch lässt sich

  

  Beispiel folgendermaßen beweisen: Zunächst wird eine äquivalente Definition der Folge (L_n)_nЄN verwendet, bei der eine Folge (d_n)_nЄN eingeführt wird: Es ist L₁ = x‘ und rekursiv für n ≥ 1: L_n+1 = L_n+1(1 + d_n2^–n) = x‘(1 + d₁2^–1)(1 + d₂2^–2)...(1 + d_n2^–n), wobei jeweils d_j := 1 falls L_j(1 + 2^–j) < 1 und d_j := 0 sonst.
• Behauptung: Die Folge (L_n)_n konvergiert gegen 1.
• Beweis: Zunächst ist die Folge (L_n)_n monoton wachsend und durch 1 beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert

  
• Annahme: a < 1. Dann existiert ein m Є N derart, dass a(1 + 2^–m) < 1; dabei kann man m ≥ 3 annehmen. Wegen 0 < L_m ≤ a und 0 < L_m+1 ≤ a gilt damit auch L_m(1 + 2^–m) < 1 und L_m+1(1 + 2^–m) < 1.
• Die erste dieser Ungleichungen liefert d_m = 1 und also L_m+1 = L_m (1 + 2^–m) nach Definition der Folge. Damit folgt aus der zweiten Ungleichung L_m(1 + 2^–m) = L_m+1(1 + 2^–m) < 1 (1).
• Zwischenbehauptung: Für alle j = 1, ..., m – 1 ist d_m-j = 1 und L_m-j(1 + 2^–(m–j))² < 1.
• Damit folgt dann insbesondere d₁ = d₂ = d₃ = 1 und daher a ≥ L₄ = x‘ (1 + 2^–1)(1 + 2^–2)(1 + 2^–3) = x‘·3/2·5/4·9/8 ≥ 1/2·135/64 ≥ 1 im Widerspruch zur Annahme a < 1.
• Beweis der Zwischenbehauptung:
• Zunächst ist 1 + 2^–(m–1) ≤ 1 + 2^–(m–1) + 2^–2m = (1 + 2^–m)² (2).
• Wegen 0 < L_m–1 ≤ L_m folgt L_m-1(1 + 2^–(m–1)) ≤ L_m(1 + 2^–(m–1)) ≤ L_m(1 + 2^–m)² < 1; bei der letzten Ungleichung wurde dabei die Ungleichung (1) verwendet. Nach Definition ergibt sich d_m-1 = 1 und daher L_m = L_m-1(1 + 2^–(m–1)). Erneute Verwendung von (2) liefert dann mit (1) L_m-1(1 + 2^–(m–1))² = L_m(1 + 2^–(m–1)) ≤ L_m(1 + 2^–m) < 1.
• Sukzessive ergibt sich mit m – 1 (bzw. m – 2, ..., 2) in den Ungleichung (1) und (2) anstelle von m die Zwischenbehauptung. Das beendet den Beweis.
• In einer bevorzugten Ausführungsform umfasst die Schaltungsanordnung der Erfindung eine Speichereinheit, in der für verschiedene Werte von n Є N die Werte -log₂(1 + 2^–n) abgelegt sind. Diese Werte hängen nicht von der Zahl x ab und können daher im Voraus berechnet und bei der Berechnung eines Approximationswertes einer beliebigen positiven Zahl x herangezogen werden. Die Berechnung des Näherungswertes wird dadurch beschleunigt.
• Vorzugsweise sind mindestens für n = 1, 2, ... N – 1 die Werte -log₂(1 + 2^–n) abrufbar. Damit stehen alle für eine Bestimmung von Y_n, n = 2, 3, ... N erforderlichen Faktoren bereits vorab zur Verfügung.
• Vorteilhaft ist es, wenn die Werte in Form einer Tabelle gespeichert sind, in der jeder gespeicherte Wert -log₂(1 + 2^–n) mit dem zugehörigen n assoziiert ist. Auf diese Weise können die Werte bei Kenntnis von n besonders leicht abgerufen werden. Alternativ können die Werte in einer vorbestimmten Reihenfolge beispielsweise in einer Liste gespeichert werden. In dieser Reihenfolge werden die Werte dann vorzugsweise abgerufen bzw. (im Falle L_n(1 + 2^–n) < 1) verworfen.
• Geeignet als Speichereinheit sind beispielsweise Permanentspeichermedien wie eine ROM(read only memory)- eine PROM(programable read only memory)- oder eine EPROM(erasable programmable read-only memory)-Einheit. Die Verwendung einer anderen Speichereinheit ist jedoch ebenfalls möglich.
• Es ist möglich, anhand der binären Darstellung der Zahl L_n auf die kleinste Zahl j Є N₀ := N ∪ {0} zu schließen, für die L_n(1 + 2^–(n+j))<1 ist. Sind nämlich beispielsweise mit v ≥ 1 die ersten n + v binären Nachkommastellen von L_n gleich 1, so folgt

  

  und daher

  

  für alle m mit 0 ≤ m < v.
• Also ist L_n = L_n+1 = ... = L_n+v-1 = L_n+v und entsprechend Y_n = Y_n+1 = ... = Y_n+v-1 = Y_n+v.
• Ist umgekehrt für k ≤ n die k-te binäre Nachkommastelle von L_n gleich null, so folgt

  

  und damit L_n(1 + 2^–n)<1.
• Auf diese Weise lassen sich Rechenschritte durch eine Betrachtung der binären Nachkommastellen vermeiden. Beispielsweise kann der Index im ersteren Fall direkt von n auf n + ν hochgesetzt werden, ohne dass für m = 1, ... v – 1 die Zahlen

  

  ausgerechnet werden.
• In einer alternativen bevorzugten Ausführungsform bestimmt die Recheneinheit den Wert Y_N, indem iterativ für jedes n = 2, 3, ..., N – 1 der Wert L_n(1 + 2^–n) bestimmt wird. Der zugehörige Index n wird vorzugsweise von einer Ablaufsteuerung bereitgestellt. Diese kann getaktet sein und dadurch den zeitlichen Ablauf des Verfahrens steuern.
• Jeder Iterationsschritt kann dann eine Vergleichsoperation umfassen, in der die Gültigkeit der Ungleichung L_n(1 + 2^–n) < 1 geprüft wird. Vorteilhafterweise wird dabei lediglich die erste binäre Vorkommastelle des Produkts L_n(1 + 2^–n) betrachtet, also dasjenige Bit, das der Stelle 2⁰ entspricht: Da das Produkt jedenfalls kleiner ist als zwei, ist die Ungleichung genau dann nicht erfüllt, wenn seine erste binäre Vorkommastelle gleich eins ist. Durch die Betrachtung nur der ersten Vorkommastelle kann also die Operation beschleunigt und vereinfacht werden.
• In einer bevorzugten Ausführungsform werden die Werte L_n und/oder Y_n in einem jeweils eigenen oder auch in einem gemeinsamen Speicherbereich gespeichert, beispielsweise in einem jeweiligen Register. Dies erlaubt einen unmittelbaren und schnellen Zugriff auf die Werte. Die Register können getaktet sein, beispielsweise synchronisiert mit der oben erwähnten Ablaufsteuerung.
• Wenn ein höherer Index n einen geänderten Wert für L_n und/oder Y_n ergibt, werden die jeweiligen Werte vorteilhafterweise überschrieben. Durch das Überschreiben kann Speicherplatz gespart werden, da beispielsweise für alle L_n ein einziges Register verwendet werden kann.
• Die Schaltungsanordnung der vorliegenden Erfindung kann in eine Schaltungseinrichtung zur punktweisen Approximation des Logarithmus zu einer beliebig gewählten Basis a > 0, a ≠ 1 eingebunden sein. Dabei kann die Schaltungseinrichtung Mittel umfassen, mit denen ein Anwender oder ein anderes System die Basis a festlegen kann. Bekanntlich gilt

  

  Um einen Näherungswert von log_ax zu berechnen, können die Logarithmenwerte auf der rechten Seite dieser Gleichung jeweils durch Näherungswerte ersetzt werden, die durch eine Schaltungsanordnung der oben beschriebenen Ausführungsformen bestimmt werden oder wurden. Soll log_ax für verschiedene Zahlen x näherungsweise berechnet werden, umfasst die Schaltungseinrichtung vorzugsweise eine Speichereinheit, in der ein geeigneter Näherungswert für log₂a abgelegt ist. Damit muss der genannte approximierte Wert für log₂a für mehrere x-Werte nur einmal berechnet werden.
• Gegenstand der Erfindung ist weiterhin das bereits oben erwähnte entsprechende Verfahren zur automatischen Bestimmung eines Näherungswertes für log₂x.
• Zu Ausgestaltungen dieses Verfahren sei ausdrücklich auf die obigen Ausführungen verwiesen.
• Die oben beschriebenen Möglichkeiten der Berechnung eines Näherungswertes Y_N für einen Logarithmuswert können in Programmcodemitteln festgelegt sein, die auf einem oder mehreren computerlesbaren Datenträger(n) gespeichert sind.
• Weitere Vorteile und Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus der Beschreibung und der beiliegenden Zeichnung.
• Es versteht sich, dass die vorstehend genannten und die nachfolgend noch zu erläuternden Merkmale nicht nur in der jeweils angegebenen Kombination, sondern auch in anderen Kombinationen oder in Alleinstellung verwendbar sind, ohne den Rahmen der vorliegenden Erfindung zu verlassen.
• Die Erfindung ist anhand von Ausführungsbeispielen in den Zeichnungen schematisch dargestellt und wird im Folgenden unter Bezugnahme auf die Zeichnungen ausführlich beschrieben.
• Kurze Beschreibung der Zeichnungen
• 1 stellt eine beispielhafte Schaltungsanordnung gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung schematisch dar.
• 2 zeigt ein Ablaufdiagramm für eine Logarithmusapproximation gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung.
• Ausführungsform(en) der Erfindung
• In der in 1 gezeigten Schaltungsanordnung 1 steuert eine getaktete Ablaufsteuerung 111 den zeitlichen Ablauf des Näherungsverfahrens. Ebenso werden die dargestellten Register 12 und 14 getaktet.
• Eine mit einem Eingabemittel 101 bereitgestellte Zahl x>0 wird einer Normierungseinheit 10 zugeführt. Dort wird aus x der normierte Wert x‘ gewonnen und die dazu erforderliche Anzahl k von Verschiebungen bestimmt.
• Die Ablaufsteuerung 111 sorgt zunächst dafür, dass der links dargestellte Multiplexer 11 in der Position B steht, bei der er den Wert x‘ an das links dargestellte Register 12 weiterleitet, in dem x‘ gespeichert wird. Gleichzeitig steht der rechts dargestellte Multiplexer 13 in der Stellung D, wobei der Verschiebewert k an das nachfolgende Register 14 weitergeleitet und dort gespeichert wird.
• In den nachfolgenden N – 1 Ablaufschritten (wobei z.B. N = 17 ist) steht der Multiplexer 13 stets in der Stellung E. Der links dargestellte Addierer 15 berechnet bei der j-ten Iteration jeweils das (1 + 2^j)-fache des Inhalts des Registers 12. Hierbei wird der jeweilige Wert j von der Ablaufsteuerung 100 geliefert. Ist das Ergebnis kleiner als 1, so wird dies vom Vergleicher 16 erkannt. Der Vergleich ist sehr einfach zu realisieren, indem beim Ergebnis des Addierers das Bit mit der Wertigkeit 2⁰ = 1 betrachtet wird.
• Ist das Ergebnis des Addierers kleiner als eins, so wird der Multiplexer 11 so gesteuert, dass er den Eingang A (d.h. das Ergebnis) an das Register 12 weiterleitet, wo das Ergebnis gespeichert wird. Ist das Ergebnis hingegen größer oder gleich 1, so wird stattdessen der Eingang C des Multiplexers 11 zum Register 12 durchgeschaltet, so dass der Registerinhalt unverändert bleibt.
• Gleichzeitig wird unter Verwendung des von der Ablaufsteuerung 111 gelieferten Wertes j eine Tabelle 17 (z.B. in einem ROM) adressiert, in der die Werte log₂(1 + 2^–j) mindestens für j = 1, ... N – 1 abgelegt sind.
• Der entsprechende Wert wird ausgelesen und über eine bitweise AND-Verknüpfung dem rechts dargestellten Addierer 18 zugeführt. War das Ergebnis des Addierers 15 kleiner als eins, so werden die AND-Gatter 19 aktiviert und bewirken eine Addition des Tabellenwertes zum vorherigen Inhalt des Registers 14, andernfalls wird die Zahl Null addiert.
• Nach N – 1 Schritten steht am Ausgang der gesuchte Approximationswert Y_N für log₂x zur Verfügung.
• Das in 2 schematisch dargestellte Verfahren dient der automatischen Bestimmung eines Näherungswertes für log₂x, wobei x > 0 ist.
• In Schritt 20 wird zunächst der Wert x normiert. Dies umfasst ein Bestimmen eines k Є Z derart, dass für x‘ := 2^–kx gilt ½ ≤ x‘ < 1. Der Wert x‘ wird vorzugsweise gespeichert, beispielsweise in einem Register.
• In Schritt 21 wird n = 1 gesetzt. Mit L₁ := x‘ und Y₁ := k wird dann eine Iteration begonnen. Darin wird für jedes n = 1, 2, ... N zunächst im Schritt 22 der Wert L_n(1 + 2^–n) berechnet, beispielsweise durch Addition von L_n und der Zahl, die sich aus L_n durch Verschiebung des Kommas um n Stellen nach links ergibt. Im Schritt 23 wird geprüft, ob das so bestimmte Produkt kleiner ist als eins. Ist dies der Fall, wird in Schritt 24 der Wert L_n+1 := L_n(1 + 2^–n) bestimmt. Analog wird in Schritt 24 der Wert Y_n+1 := Y_n -log₂(1 + 2^–n) berechnet.
• Ergibt die Prüfung in Schritt 23, dass L_n(1 + 2^–n) ≥ 1 ist, so wird in Schritt 25 L_n+1 := L_n und Y_n+1 := Y_n gesetzt. In beiden Fällen wird das Verfahren mit Schritt 26 fortgesetzt, in dem der Index durch die Zuordnung n → n + 1 um eins erhöht wird. In Schritt 27 wird geprüft, ob das neu erhaltene n noch kleiner ist als N. Ist dies der Fall, wird die Iteration 2 fortgesetzt, indem in Schritt 22 für das nun aktuelle n durchgeführt wird.
• Ist hingegen n = N, so ist der aktuelle Wert Y_n = Y_N der gesuchte Näherungswert für log₂x und wird in Schritt 28 vorzugsweise ausgegeben oder in einem weiteren Rechenschritt verwendet.
• Wie oben erläutert wurde, kann anstelle der Schritte 22 und 23 die Anzahl der unmittelbar aufeinanderfolgenden ersten binären Nachkommastellen (Bits) von L_n bestimmt werden, die gleich eins sind. Der Index n kann dann unmittelbar um die jeweilige Anzahl heraufgesetzt werden, ohne dass die zugehörigen Produkte L_n(1 + 2^–n) berechnet werden müssen.
• ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
• Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
• Zitierte Nicht-Patentliteratur
• J.-C. Bajard, S. Kla und J.-M. Muller: „BKM: A new hardware algorithm for complex elementary functions“ in: IEEE transactions on computers, vol. 43, no. 8, August 1994 [0004]

Claims (15)

1. Schaltungsanordnung (1) zur Bestimmung eines Näherungswertes Y_N für den binären Logarithmus log₂(x) einer positiven reellen Zahl x, wobei die Schaltungsanordnung die folgenden Komponenten umfasst: eine Normierungseinheit (10), die eingerichtet ist, eine Zahl k Є Z derart zu bestimmen, dass für x‘ := 2^–kx gilt ½ ≤ x‘ < 1; und mindestens eine Recheneinheit (100), die eingerichtet ist, die Zahl Y_N zu berechnen, wobei N Є N ist und Y_N das N-te Folgenglied derjenigen reellen Zahlenfolge (Y_n)_nЄN ist, die zusammen mit der reellen Zahlenfolge (L_n)_nЄN gegeben ist durch L₁ := x‘ und Y₁ := k sowie rekursiv L_n+1 := L_n(1 + 2^–n) und Y_n+1 := Y_n -log₂(1 + 2^–n) falls L_n(1 + 2^–n) < 1 und L_n+1 := L_n und Y_n+1 := Y_n sonst.
2. Schaltungsanordnung gemäß Anspruch 1, wobei die Recheneinheit den Wert Y_N bestimmt, indem nacheinander für jedes n Є {1, 2, ..., N – 1} ein Iterationsschritt (2) ausgeführt wird, wobei ein zum Iterationsschritt jeweils zugehöriger Wert n Є {1, 2, ..., N – 1} vorzugsweise von einer Ablaufsteuerung (111) bereitgestellt wird, die von der Schaltungsanordnung umfasst wird.
3. Schaltungsanordnung gemäß Anspruch 2, wobei jeder Iterationsschritt eine Vergleichsoperation (23) umfasst, mit der geprüft wird, ob L_n(1 + 2^–n) < 1 ist, wobei vorzugsweise die Vergleichoperation durch Betrachtung lediglich desjenigen Bits erfolgt, das der Stelle 2⁰ entspricht.
4. Schaltungsanordnung gemäß Anspruch 2 oder 3, die ein Register (12) für L_j-Werte umfasst, das den Wert von L_n für n Є {1, 2, ..., N – 1} mindestens für die Zeit eines Iterationsschritts speichert, wobei vorzugsweise der im Iterationsschritt aktuelle Wert in dem Register für L_j-Werte in einem nachfolgenden Iterationsschritt mit dem Wert für L_n+1 überschrieben wird, wenn L_n(1 + 2^–n) < 1 ist.
5. Schaltungsanordnung gemäß Anspruch 4, die einen Addierer (15) für L_j-Werte umfasst, der für n Є {1, 2, ..., N – 1} im n-ten Iterationsschritt den aktuellen Inhalt des Registers (12) für L_j-Werte mit (1 + 2^–n) multipliziert.
6. Schaltungsanordnung gemäß einem der Ansprüche 2 bis 5, die ein Register (14) für Y_j-Werte umfasst, das den Wert Y_n für n Є {1, 2, ..., N – 1} mindestens für die Zeit eines Iterationsschritts speichert, wobei vorzugsweise der jeweils aktuelle Wert im Register (14) für Y_j-Werte in einem nachfolgenden Iterationsschritt mit dem Wert für Y_n+1 überschrieben wird, wenn L_n(1 + 2^–n) < 1 ist.
7. Schaltungsanordnung gemäß Anspruch 6, die einen Addierer (18) umfasst, der für n Є {1, 2, ..., N – 1} im n-ten Iterationsschritt den aktuellen Inhalt des Registers (14) für Y_j-Werte zum Wert (–1)∙log₂(1 + 2^–n) addiert, falls L_n(1 + 2^–n) < 1 ist, wobei der Wert -log₂(1 + 2^–n) vorzugsweise aus einer Speichereinheit (17) ausgelesen wird.
8. Schaltungsanordnung gemäß einem der vorstehenden Ansprüche, die eine Speichereinheit (17), vorzugsweise ein ROM, umfasst, in der mindestens für n Є {1, 2, ..., N – 1} die Werte -log₂(1 + 2^–n) abrufbar gespeichert sind, und/oder die Mittel (101) zum Bereitstellen der positiven Zahl x und/oder der Zahl N Є N durch einen Anwender oder durch einen maschinellen Prozess aufweist.
9. Schaltungseinrichtung zur Bestimmung eines Näherungswertes X_N für den Logarithmus log_a(x) einer positiven reellen Zahl x zur Basis a > 0, a ≠ 1, wobei die Schaltungseinrichtung eine Schaltungsanordnung zur Bestimmung eines Näherungswertes Y_N für den binären Logarithmus log₂(x) der Zahl x gemäß einem der vorstehenden Ansprüche umfasst und eingerichtet ist, den Wert X_N := Y_N·(log₂a)^–1 zu berechnen.
10. Verfahren zur automatischen Bestimmung eines Näherungswertes Y_N für den binären Logarithmus log₂(x) einer positiven reellen Zahl x, wobei N Є N ist und das Verfahren die folgenden Schritte umfasst: Bestimmen (20) einer Zahl Y₁ Є Z derart, dass für L₁ := 2^Y1x gilt ½ ≤ L₁ < 1; und Durchführen einer Iteration, die für jedes n = 1, 2, 3, ... N – 1 die folgenden Schritte umfasst: Bestimmen (23), ob L_n(1 + 2^–n) < 1; falls L_n(1 + 2^–n) < 1, Berechnen (24) von Y_n+1 := Y_n -log₂(1 + 2^–n) und Fortfahren mit L_n+1 := L_n(1 + 2^–n) < 1 falls L_n(1 + 2^–n) ≥ 1, Fortfahren mit n+1, wobei L_n+1 := L_n und Y_n+1 := Y_n.
11. Verfahren gemäß Anspruch 10, wobei jeder Iterationsschritt zudem ein Berechnen der Zahl L_n(1 + 2^–n) umfasst, wobei vorzugsweise für jedes n = 1, 2, 3, ... N das Berechnen der Zahl L_n(1 + 2^–n) durch binäre Addition von L_n und der um n Stellen nach rechts verschobenen Binärdarstellung von L_n erfolgt.
12. Verfahren gemäß Anspruch 10, wobei das Bestimmen (23), ob L_n(1 + 2^–n) < 1 ist, durch automatisches Abzählen einer Anzahl von von Null verschiedenen binären Nachkommastellen von L_n erfolgt.
13. Verfahren gemäß einem der Ansprüche 10 bis 12, wobei das Berechnen von Y_n -log₂(1 + 2^–n) erfolgt, indem ein vorberechneter Wert für -log₂(1 + 2^–n) aus einer Speichereinheit herausgelesen wird.
14. Computerprogramm mit Programmcodemitteln, die einen Computer oder eine entsprechenden Recheneinheit veranlassen, ein Verfahren nach einem der Ansprüche 10 bis 13 durchzuführen, wenn sie auf dem Computer bzw. der entsprechenden Recheneinheit ausgeführt werden.
15. Maschinenlesbares Speichermedium mit einem darauf gespeicherten Computerprogramm, welches Programmcodemittel aufweist, die einen Computer oder eine entsprechenden Recheneinheit veranlassen, ein Verfahren nach einem der Ansprüche 10 bis 13 durchzuführen, wenn sie auf dem Computer bzw. der entsprechenden Recheneinheit ausgeführt werden.

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