DE102009000783A1

DE102009000783A1 - Verfahren und Vorrichtung zur Simulation dynamischer Systeme

Info

Publication number: DE102009000783A1
Application number: DE102009000783A
Authority: DE
Inventors: Uwe Loew
Original assignee: Robert Bosch GmbH
Current assignee: Robert Bosch GmbH
Priority date: 2008-08-27
Filing date: 2009-02-11
Publication date: 2010-03-04

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems, wobei das dynamische System Systemkomponenten (V1, D, V2) aufweist, die gemäß einem zugeordneten Komponentenmodell beschreibbar sind, wobei die Komponentenmodelle jeweils eine Beziehung zwischen mehreren Größen beschreiben, mit folgenden Schritten: - Festlegen eines ersten Arbeitspunktes (A1.1) für eine erste Systemkomponente (V1) gemäß einem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell; - Berechnen (S1) einer Angabe eines ersten Gradienten $I1 der durch das erste Komponentenmodell bestimmten Beziehung von zwei der mehreren Größen zueinander an dem ersten Arbeitspunkt (A1.1); - Bestimmen (S2) eines zweiten Arbeitspunktes (A2.1) für eine zweite, mit der ersten Systemkomponente (V1) gekoppelte Systemkomponente (D) gemäß einem der zweiten Systemkomponente (D) zugeordneten zweiten Komponentenmodell abhängig von dem ersten Arbeitspunkt (A1.1) und dem ersten Gradienten $I2; - Berechnen (S3) einer Angabe eines zweiten Gradienten $I3 der durch das zweite Komponentenmodell bestimmten Beziehung der zwei Größen zueinander an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); - Bestimmen (S4) eines nächsten ersten Arbeitspunktes (A1.2) für die erste Systemkomponente (V1) gemäß dem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell abhängig von dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1) und dem zweiten Gradienten $I4 an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); und - ...

Description

Technisches Gebiet
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Durchführung einer numerischen Simulation von dynamischen Systemen, insbesondere pneumatischer Systeme, unter anderem in Echtzeit, sowie eine Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens.
Stand der Technik
Zum Test von Steuergeräten können Hardware-in-the-Loop-Simulatoren verwendet werden, die das Verhalten eines physikalischen Systems, in dem das Steuergerät eingesetzt werden soll, simulieren und somit einen virtuellen Betrieb des Steuergeräts im Gesamtsystem im Labor ermöglichen. Zentraler Bestandteil dieser Hardware-in-the-Loop-Systeme ist ein Simulationsmodell, in dem das Verhalten des physikalischen Systems simuliert wird. Bei einer solchen Simulation wird das physikalische System in einzelne Systemkomponenten zerlegt, die unter anderem mithilfe von Systemen linearer und nichtlinearer Differenzialgleichungen beschrieben werden.
Beispielsweise können zum Test von Motorsteuergeräten, die für die Steuerung von Verbrennungsmotoren in Kraftfahrzeugen eingesetzt werden, derartige Hardware-in-the-Loop-Simulatoren verwendet werden. So kann beispielsweise das Luftsystem, das möglicherweise die Komponententypen Volumina, Drosseln, Verdichter, Turbinen, Katalysatoren, Rußpartikelfilter und dgl. aufweist, als pneumatisches System simuliert werden, indem die einzelnen Systemkomponenten jeweils durch ein eigenes Komponentenmodell beschrieben und definierte Größen an ihren Schnittstellen zu den jeweils daran angeschlossenen bzw. damit gekoppelten Systemkomponen ten kommuniziert werden. Im Falle eines pneumatischen Systems entsprechen diese Größen an der jeweiligen Schnittstelle mindestens dem Druck, der Temperatur und dem Gasmassenstrom oder vergleichbaren Größen, wie z. B. dem Enthalpiestrom.
Pneumatische Systeme bestehen üblicherweise aus verschiedenen Systemkomponenten, die sich größtenteils in zwei Gruppen einteilen lassen:
Volumina, verbundene Röhren oder Kopplungen entsprechen Systemkomponenten vom ersten Typ und zeichnen sich dadurch aus, dass im Rahmen der Simulation in der gesamten Komponente überall der gleiche Druck herrscht, der in Standardsimulationsverfahren durch Integration der Summe der Enthalpieströme berechnet werden kann. Zum einfacheren Verständnis und zur einfacheren Darstellung werden diese Enthalpieströme nachfolgend jeweils als Massenströme mit einer gewissen Temperatur bezeichnet.
Drosseln, Klappen, Turbinen, Verdichter und Katalysatoren entsprechen Systemkomponenten vom zweiten Typ und zeichnen sich dadurch aus, dass sie jeweils zwei pneumatische Schnittstellen zu anderen Komponenten haben, deren Massenströme in Summe Null ergeben, d. h. die im Rahmen der Modellierung keinerlei Gasspeicherung haben. An den beiden Schnittstellen herrschen üblicherweise unterschiedliche Drücke und der Massenstrom hängt von diesen beiden Drücken und anderen momentanen Größen (z. B. effektive Querschnittsfläche bzw. Turboladerdrehzahl) ab. Diese Komponenten haben bei der üblicherweise vereinfachten Simulation mit vernachlässigtem Komponentenvolumen in Bezug auf den Gasmassenstrom keine Zustandsvariablen mit speicherndem Charakter, und damit ist die numerische Rechnung des Gasmassenstroms und der Drücke vom Simulationstakt dT unabhängig. Je nach Komponententyp und Komponentenzustand wird im Rahmen der Simulation die Temperatur des Gases bei der Durchströmung erhöht (z. B. Katalysatoren), bleibt identisch (z. B. Drosseln) oder wird verringert (z. B. Turbinen).
Die oben beschriebene Vorgehensweise ist in aller Regel unproblematisch, wenn es sich um große Volumina und bei Komponenten vom zweiten Typ um solche mit kleinen effektiven Öffnungsflächen handelt. Bei kleinen Volumina und bei großen effektiven Öffnungsflächen führt dieses Verfahren aufgrund einer resultierenden kleinen Zeitkonstante der Kopplung eines Volumens mit einer Komponente vom zweiten Typ zu numerischer Instabilität. Aus diesem Grund wird dann üblicherweise das simulierte Volumen auf Null gesetzt, so dass nur noch das Aufteilen bzw. Zusammenfassen von Gasströmen simuliert wird. Eine der angeschlossenen Komponenten muss dann die übliche Berechnungsrichtung umkehren und den Druck dieses vernachlässigten Volumens berechnen. Da sich die Drosselquerschnitte im Betrieb ändern, aber eine kontinuierliche Berechnungsrichtungsänderung nicht sinnvoll ist, gleichzeitig aber die Anzahl der Luftsystemkomponenten steigt und die Größe der Volumina zwischen den Komponenten immer kleiner wird, führen die bisherigen Ansätze zusehends zu numerischen Stabilitätsproblemen.
In der Standardsimulation werden in den Komponenten vom ersten Typ (z. B. Volumen) der Druck und die Temperatur des Gases berechnet, indem die ein- und ausströmenden Gasmengen und Enthalpieströme aufsummiert und über die Zeit (Simulationstakt) integriert werden. In den Komponenten des zweiten Typs (z. B. Drosseln) wird aus den Drücken der benachbarten Komponenten der Massenstrom berechnet und die Temperatur des hereinströmenden Gases zur Berechnung der Temperatur des hinausströmenden Gases genutzt. Dieses Vorgehen ist unkritisch, solange die Volumina relativ groß sind, d. h. die Druckänderung durch die Enthalpieströme relativ gering ist und die effektiven Querschnittsflächen der Komponenten vom zweiten Typ relativ klein sind, d. h. die Änderung des Massenstroms bei gegebener Druckänderung relativ klein ist. Sofern die sich aus den Volumina und effektiven Querschnittsflächen ergebende Zeitkonstante größer ist als ca. fünf Simulationstakte, ist die Simulation üblicherweise numerisch stabil.
Dies ist beispielsweise in den Diagrammen der 1 und 2 schematisch und rein qualitativ dargestellt. Beide Figuren stellen den Massenstrom über dem Druck für eine Drossel bzw. für ein Volumen als Kennlinien dar. Die Kennlinien K1 und K2 stellen jeweils den Gasmassenstrom vom Volumen in die Drossel dar. Die Drossel (K2) verhält sich so, dass je größer der Druck ist, desto größer ist der Massenstrom aus dem Volumen in die Drossel. Das Volumen (K1) zeigt das umgekehrte Verhalten, dass bei größerem drosselseitigem Gegendruck dieser Massenstrom kleiner wird. Aufgabe der Simulation ist es, die Werte der betrachteten Größen so weit wie möglich dem stabilen Punkt anzunähern, an dem beide Partner mit identischem Druck und identischem Massenstrom ihre internen Gleichungen (bestimmt durch das jeweilige der Systemkomponente zugeordnete Komponentenmodell) erfüllen können. In dem Diagramm der 1 und 2 entspricht dieser stabile Punkt dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien K1 und K2.
Die Pfeile in 1 veranschaulichen den Ablauf einer herkömmlichen Simulation. In der Standardsimulation wird jeweils in den Volumina der Druck berechnet und dieser an die Komponenten mit effektiver Querschnittsfläche kommuniziert. Dies wird durch senkrechte Pfeile von der Kennlinie K1 des Volumens zur Kennlinie K2 der Drossel dargestellt. In diesen Komponenten mit effektiver Querschnittsfläche werden dann die Massenströme berechnet und diese an die Volumina kommuniziert. Dies wird durch waagrechte Pfeile von der Kennlinie K2 der Drossel zur Kennlinie K1 des Volumens dargestellt. Diese Berechnung konvergiert, wenn die Kennlinie K2 der Drossel betragsmäßig eine geringere Steigung hat als die Kennlinie K1 des Volumens. Dadurch können die Werte an dieser Schnittstelle numerisch stabil berechnet werden.
Sofern, wie in dem Fall der 2 dargestellt ist, die Kennlinie K1 des Volumens betragsmäßig eine kleinere Steigung aufweist als die Kennlinie K2 der Drossel, divergiert die Berechnung und die Werte an dieser Schnittstelle können nicht numerisch stabil berechnet werden, d. h. die Simulation nach dem Standardansatz ist numerisch instabil.
Aufgrund der Verwendung realer Steuergeräte müssen die Berechnungen in Echtzeit erfolgen. Aufgrund der Begrenztheit der Simulationsrechnerkapazitäten kann dann zum Lösen der Probleme der Simulationstakt nicht beliebig erhöht, d. h. die Zykluszeit nicht beliebig verringert werden, was über die Formeln der Volumina in den dargestellten Diagrammen zu einer höheren Steigung der Kennlinie und damit numerischer Stabilität führen würde. Auch andere Integrationsverfahren sind aufgrund der höheren Rechneranforderungen und der teilweise sehr schnellen Drosselsteuerung und der damit verbundenen Querschnittsflächenänderung nicht zur Lösung dieser numerischen Probleme geeignet.
Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren zum Durchführen einer Simulation von dynamischen Systemen, auch in Echtzeit, zur Verfügung zu stellen, das das Verhalten von beliebig dynamischen Systemen errechnen kann, wobei die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Instabilitäten verringert ist.
Offenbarung der Erfindung
Diese Aufgabe wird durch das Verfahren zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems gemäß Anspruch 1 sowie durch die Vorrichtung gemäß dem nebengeordneten Anspruch gelöst.
Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den abhängigen Ansprüchen angegeben.
Gemäß einem ersten Aspekt ist ein Verfahren zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems vorgesehen. Das dynamische System weist Systemkomponenten auf, die gemäß einem zugeordneten Komponentenmodell beschreibbar sind, wobei die Komponentenmodelle jeweils eine Beziehung zwischen mehrerer Größen in Form eines Systems linearer und/oder nichtlinearer Differenzialgleichungen beschreiben. Mindestens zwei der Größen können durch ihre Abhängigkeit voneinander zu numerischer Instabilität führen. Das Verfahren umfasst die folgenden Schritte:

a) Festlegen eines ersten Arbeitspunktes für eine erste Systemkomponente gemäß einem der ersten Systemkomponente zugeordneten ersten Komponentenmodell;
b) Berechnen einer Angabe eines ersten Gradienten der durch das erste Komponentenmodell bestimmten Beziehung von zwei der mehreren Größen zueinander an dem ersten Arbeitspunkt;
c) Bestimmen eines zweiten Arbeitspunktes für eine zweite, mit der ersten Systemkomponente gekoppelten Systemkomponente gemäß einem der zweiten Systemkomponente zugeordneten zweiten Komponentenmodell abhängig von dem ersten Arbeitspunkt und dem ersten Gradienten;
d) Berechnen einer Angabe eines zweiten Gradienten der durch das zweite Komponentenmodell bestimmten Beziehung der zwei Größen zueinander an dem zweiten Arbeitspunkt;
e) Bestimmen eines nächsten ersten Arbeitspunktes für die erste Systemkomponente gemäß dem der ersten Systemkomponente zugeordneten ersten Komponentenmodell abhängig von dem zweiten Arbeitspunkt und dem zweiten Gradienten an dem zweiten Arbeitspunkt; und
f) Wiederholen der Schritte b) bis e).

Während bei der herkömmlichen Simulation jede Größe alternativ in die eine oder andere Richtung zwischen den einzelnen betrachteten Komponentenmodellen (die den jeweiligen Komponenten zugeordnet sind) überfragen wird, wird bei dem oben vorgeschlagenen Verfahren vorgesehen, die beiden hier betrachteten Größen in beide Richtungen zwischen den kommunizierenden Komponentenmodellen zu übertragen und zusätzlich dazu einen Gradienten an einem gewählten Arbeitspunkt zwischen den einzelnen Komponentenmodellen der Komponenten zu übertragen. Der Gradient beschreibt die Steigung der Beziehung (Abhängigkeit) zwischen den beiden hier betrachteten, für die numerische Stabilität verantwortlichen Größen, an dem gewählten Arbeitspunkt. Dazu werden beispielsweise in einem Schritt die Werte dieser beiden Größen als ein Arbeitspunkt und der Gradient als Steigung der entsprechenden Beziehung an dem Arbeitspunkt an eine weitere Berechnung bezüglich einer weiteren Komponente übergeben.
Es kann insbesondere ein jeweiliger Arbeitspunkt für eine entsprechende Systemkomponente gemäß dem der entsprechenden Systemkomponente zugehörigen Komponentenmodell als ein Schnittpunkt der durch das entsprechende Komponentenmodell bestimmten Abhängigkeit mit einer Geraden bestimmt werden, wobei die Gerade durch den von einer mit der entsprechenden Systemkomponente gekoppelten Komponente ermittelten Arbeitspunkt und Gradienten bestimmt ist.
Die Berechnung bezüglich der weiteren Komponente setzt die aus Arbeitspunkt und Gradient resultierende Geradengleichung in das eigene Komponentenmodell ein und berechnet einen neuen Arbeitspunkt als gemeinsame Lösung dieser Geradengleichung und ihres eigenen internen Gleichungssystems. Der daraus resultierende Arbeitspunkt einschließlich des Gradienten der weiteren Komponente sendet die weitere Komponente an das Komponentenmodell der ersten Komponente, das die sich daraus ergebende Geradengleichung in sein eigenes internes Gleichungssystem einsetzt. Den sich hieraus ergebenden Arbeitspunkt einschließlich Gradient an diesem Arbeitspunkt sendet die erste Komponente dann wiederum an das Komponentenmodell der zweiten Komponente usw. Auf diese Weise wird auf iterative Weise der Arbeitspunkt an den tatsächlichen Arbeitspunkt angenähert, an dem die Gleichungssysteme beider Komponentenmodelle erfüllt werden.
Ein solches Verfahren ist selbst bei beliebiger Kombination verschiedener Komponenten numerisch stabil, da sämtliche Komponentenmodelle im Normalbetrieb ein monotones Verhalten zwischen den beiden zu betrachtenden Größen haben. Zu dem hat das vorgeschlagene Verfahren den Vorteil, dass keine strenge Monotonie erforderlich ist, sondern dass eine einfache Monotonie ausreichend ist. Auch wird der gemeinsame Arbeitspunkt von zwei miteinander gekoppelten Komponenten in einer geringeren Anzahl von Berechnungsschritten erreicht.
Gemäß einer Ausführungsform können die Verfahrensschritte b) bis e) so lange wiederholt werden, bis ein Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgend berechneten ersten und zweiten Arbeitspunkten einen vorgegebenen Schwellwert unterschreitet oder Null beträgt.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform können die Verfahrensschritte b) bis e) in jedem Simulationstakt nur einmal ausgeführt werden, wobei jeweils der im Schritt e) eines Simulationstaktes bestimmte Arbeitspunkt als Ausgangspunkt für den Schritt b) des darauffolgenden Simulationstaktes genutzt wird. Hierbei nähern sich die ersten und zweiten Arbeitspunkte automatisch dem Schnittpunkt der beiden Charakteristiken an, und die Simulation reagiert auch auf eine Verschiebung des Schnittpunkts, z. B. durch eine anderweitig gesteuerte Querschnittsflächenänderung, korrekt.
Weiterhin kann das dynamische System einem beliebigen pneumatischen System, zum Beispiel einem Luftsystem für einen Verbrennungsmotor, entsprechen, wobei die beiden zu betrachtenden Größen einem Druck und einem Massenstrom oder Enthalpiestrom oder vergleichbaren anderen Größen entsprechen können.
Als eine weitere Größe kann zum Beispiel eine Temperatur berücksichtigt werden.
Alternativ kann das dynamische System einem mechanischen System, insbesondere einem translatorischen System, entsprechen, wobei die beiden zu betrachtenden Größen einer Kraft und einer Geschwindigkeit entsprechen können.
Als weitere Alternative kann das dynamische System einem mechanischen System, insbesondere einem rotierenden System, entsprechen, wobei die beiden zu betrachtenden Größen einem Drehmoment und einer Rotationsgeschwindigkeit entsprechen können.
Als weitere Alternative kann das dynamische System einem elektrischen System entsprechen, wobei die beiden zu betrachtenden Größen einem elektrischen Spannungspotential und einem elektrischen Strom entsprechen können.
Als weitere Alternative kann das dynamische System einem hydraulischen System entsprechen, wobei die beiden zu betrachtenden Größen einem Druck und einem Massenstrom entsprechen können.
Als weitere Alternative kann das dynamische System einem beliebigen simulierbaren System entsprechen, wobei als die beiden zu betrachtenden Größen diejenigen Systemgrößen zu wählen sind, welche über ihre Dynamik und Beziehung zueinander die numerische Stabilität der Simulation entscheiden.
Gemäß einem weiteren Aspekt ist eine Vorrichtung zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems vorgesehen, wobei das dynamische System Systemkomponenten aufweist, die gemäß einem zugeordneten Komponentenmodell beschreibbar sind, wobei die Komponentenmodelle jeweils eine Beziehung zwischen mehreren Größen in Form eines linearen oder nichtlinearen Differenzialgleichungssystems beschreiben, wobei die Vorrichtung ausgebildet ist, um folgende Schritte durchzuführen:

a) Festlegen eines ersten Arbeitspunktes, bestehend aus konkreten Werten für die zwei hier betrachteten Größen, für eine erste Systemkomponente gemäß einem der ersten Systemkomponente zugehörigen ersten Komponentenmodell;
b) Berechnen einer Angabe eines ersten Gradienten entsprechend der Beziehung zwischen diesen beiden Größen, die sich aus dem das erste Komponentenmodell bestimmenden Gleichungssystem an dem ersten Arbeitspunkt ergibt;
c) Bestimmen eines zweiten Arbeitspunktes für eine zweite Systemkomponente gemäß einem der zweiten Systemkomponente zugehörigen zweiten Komponentenmodell abhängig von dem ersten Arbeitspunkt und dem ersten Gradienten;
d) Berechnen einer Angabe eines zweiten Gradienten entsprechend der Beziehung zwischen diesen beiden Größen, die sich aus dem das zweite Komponentenmodell bestimmenden Gleichungssystem an dem zweiten Arbeitspunkt ergibt;
e) Bestimmen eines nächsten ersten Arbeitspunktes für die erste Systemkomponente gemäß dem der ersten Systemkomponente zugehörigen ersten Kom ponentenmodell abhängig von dem zweiten Arbeitspunkt und dem zweiten Gradienten an dem zweiten Arbeitspunkt;
f) Wiederholen der Schritte b) bis e).

Gemäß einem weiteren Aspekt ist ein Testsystem vorgesehen. Das Testsystem umfasst:

– ein zu testendes Steuergerät;
– die obige Vorrichtung,

Gemäß einem weiteren Aspekt ist ein Computerprogramm vorgesehen, das einen Programmcode enthält, der, wenn er auf einer Datenverarbeitungseinheit ausgeführt wird, das obige Verfahren ausführt.
Kurze Beschreibung der Zeichnungen
Im Folgenden werden bevorzugte Ausführungsformen anhand der beigefügten Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:
1 eine schematische Darstellung des iterativen Berechnungsablaufs einer Schnittstelle in einem pneumatischen System zwischen einem Volumen und einer Drossel gemäß dem Stand der Technik;
2 eine schematische Darstellung des iterativen Berechnungsablaufs einer Schnittstelle in einem pneumatischen System zwischen einem Volumen und einer Drossel gemäß dem Stand der Technik, wobei die Simulation instabil ist;
3 eine schematische Darstellung eines vereinfachten pneumatischen Systems mit zwei Volumina und einer dazwischen angeordneten Drossel;
4 eine schematische Darstellung der sich aus den Gleichungssystemen der beiden Komponentenmodelle ergebenden Beziehungen eines Volumens und einer Drossel in einem pneumatischen System sowie eine bildliche Darstellung der Berechnungsschritte gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Simulation;
5 ein Flussdiagramm zur Veranschaulichung der Schnittstelle zwischen einem Volumen und einer Drossel in einem pneumatischen System zur Veranschaulichung des erfindungsgemäßen Verfahrens.
Beschreibung von Ausführungsformen
Nachfolgend wird eine erste Ausführungsform anhand eines pneumatischen Systems beschrieben. Zur Veranschaulichung des Verfahrens zur Simulation eines dynamischen Systems wird ein einfaches pneumatisches System angenommen, wie es in 3 gezeigt ist.
3 zeigt zwei Volumenkomponenten V1 und V2, die miteinander über eine Drosselkomponente D verbunden sind. Die Volumenkomponenten V1, V2 sowie die Drosselkomponente D sind jeweils durch ein Komponentenmodell beschrieben. Die dargestellten Systemkomponenten können beispielsweise Teil eines zu simulierenden pneumatischen Systems, wie z. B. des Luftsystems eines Verbrennungsmotors sein.
In 4 sind die sich aus den Komponentenmodellen ergebenden charakteristischen Beziehungen für eine Volumenkomponente sowie die Drosselkomponente in einem ṁ-p-Diagramm für die Schnittstelle zwischen Volumen und Drossel dargestellt. Es ist der Fall gezeigt, dass Gas vom Volumen in die Drossel fließt. D. h., es wird die Schnittstelle zwischen dem ersten Volumen V1 und der Drosselkomponente dargestellt. Die Drosselkomponente D verhält sich so, dass je größer der Druck p ist, umso größer der Massenstrom ṁ aus dem Volumen in die Drossel ist. Dies wird durch das Drossel-Komponentenmodell beschrieben. Die Volumenkomponente V1, die durch ein Volumen-Komponentenmodell beschrieben ist, hat genau das umgekehrte Verhalten, dass bei größerem drosselseitigem Gegendruck dieser Massenstrom kleiner wird. Aufgabe der Simulation ist es, den stabilen Punkt für die Schnittstelle zwischen der Volumenkomponente und der Drosselkomponente zu finden, an dem beide Komponenten (Partner) mit identischem Druck p und identischem Massenstrom ṁ ihre internen Gleichungen des jeweiligen Komponentenmodells erfüllen können. Dieser stabile Punkt entspricht dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien, die sich jeweils aus den Gleichungssystemen der beiden Komponenten und den Werten der hier nicht näher betrachteten Größen ergeben.
5 zeigt den Ablauf des Verfahrens zur Simulation des pneumatischen Systems an der Schnittstelle zwischen der Volumenkomponente V1 und der Drosselkomponente D. In dem ṁ-p-Diagramm der 4 ist dargestellt, dass in einem ersten Schritt S1 eine erste Berechnung durchgeführt wird, die die Volumenkomponente V1 (linke Seite) betrifft. Als Ergebnis der ersten Berechnung wird ein erster Arbeitspunkt A1.1 als Wertepaar aus dem Massenstrom ṁ₁ und dem zugehörigen Druck p₁ (bezüglich der sich aus dem Komponentenmodell des Volumens ergebenden Beziehung VK) bereitgestellt und eine Angabe über den Gradienten dṁ / dp der Beziehung VK des zugehörigen Volumen-Komponentenmodells ermittelt. Diese Angaben werden für eine zweite Berechnung betreffend die Drosselkomponente D bereitgestellt (Schritt S2). Der anfängliche Arbeitspunkt kann im Wesentlichen willkürlich ausgewählt sein. Üblicherweise entspricht der gewählte Arbeitspunkt dem in einem vorangehenden Simulationsschritt berechneten Arbeitspunkt.
In einem Schritt S3 werden die obigen Angaben (Massenstrom ṁ₁, Druck p₁ und Gradient dṁ / dp der Beziehung VK, die die Gerade G1 ergeben) für eine zweite Berechnung für die Drosselkomponente D übernommen.
Nun wird in einem Schritt S4 die zweite Berechnung bezüglich der Drosselkomponente D durchgeführt. Die zweite Berechnung benutzt die erste Geradengleichung (Linie G1), die sich aus dem durch die erste Berechnung ermittelten Arbeitspunkt A1.1 (Druck p₁ und Massenstrom ṁ₁) und dem Gradienten dp / dṁ der Volumencharakteristik VK in diesem Arbeitspunkt A1.1 ergibt. Die erste Geradengleichung wird in die interne Gleichung des Drossel-Komponentenmodells, das das physikalische Verhalten der Drosselkomponente D beschreibt, eingesetzt. Daraus wird ein zweiter Arbeitspunkt A2.1 als Schnittpunkt der durch die erste Geradengleichung definierten Geraden G1 mit der internen Kurve des Drossel-Komponentenmodells berechnet. Zusätzlich wird an dem so ermittelten zweiten Arbeitspunkt A2.1 (Druck p₂ und Massenstrom ṁ₂) der Gradient dp / dṁ der durch das Drosselkomponentenmodell definierten Drosselcharakteristik DK ermittelt.
In einem weiteren Schritt S5 werden der in der zweiten Berechnung für die Drosselkomponente ermittelte zweite Arbeitspunkt A2.1 für das Drosselkomponentenmodell und der ermittelte Gradient dp / dṁ der Drosselcharakteristik DK des Drosselkomponentenmodells, die die Gerade G2 darstellen, für eine Übernahme durch das Volumen-Komponentenmodell bereitgestellt. Es wird erneut eine Berechnung für die Volumenkomponente durchgeführt und in Schritt S6 die bereitgestellten Angaben über den zweiten Arbeitspunkt A2.1 und den zugehörigen Gradienten der Drosselkennlinie des Drosselkomponentenmodells zur Berechnung in das Gleichungssystem des Volumen-Komponentenmodells übernommen, welches durch die Linie VK dargestellt wird.
Im nächsten Iterationsschritt oder Simulationstakt wird die sich aus dem zweiten Arbeitspunkt A2.1 und dem in diesem Arbeitspunkt A2.1 berechneten Gradienten dp / dṁ der Drosselcharakteristik ergebende Geradengleichung der Geraden G2 in das Gleichungssystem des Volumen-Komponentenmodells, dargestellt durch die Line VK, eingesetzt, um den neuen Arbeitspunkt A1.2 zu erhalten. Daraufhin wird wiederum Schritt S1 durchgeführt, um dort in entsprechender, zuvor erläuterter Weise aus der sich aus dem dritten Arbeitspunkt A1.2 und dem zugehörigen Gradienten der durch das Volumen-Komponentenmodell bestimmten Volumen-Charakteristik VK eine dritte Geradengleichung (Linie G3) zu ermitteln, in erneuten Schritten S2 und S3 an das Drossel-Komponentenmodell zu übertragen und diese neuen Werte in einem erneuten Schritt S4 in die interne Gleichung des Drossel-Komponentenmodells einzusetzen. Die Verfahrensschritte S1 bis S6 bilden somit ein iteratives Verfahren zur Bestimmung des Schnittpunktes der beiden Charakteristiken VK und DK.
In den Schritten S1 und S4 kann weiterhin überprüft werden, ob die jeweils ermittelten Arbeitspunkte dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien exakt entsprechen. Alternativ kann es als Abbruchbedingung der rekursiven Berechnung der Schritte S1 bis S6 ausreichend sein, wenn der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgend ermittelten Arbeitspunkten als Wertepaar des Massenstroms ṁ und des Drucks p kleiner ist als ein vorbestimmter Schwellwert.
Solange bei dem Schwellwertvergleich nicht festgestellt wird, dass der Arbeitspunkt ausreichend nahe an dem Schnittpunkt der beiden Kennlinien liegt, kann das oben beschriebene Verfahren der Schritte S1 bis S6 wiederholt werden, bis der Schnittpunkt der beiden Kennlinien hinreichend genau bestimmt worden ist, d. h. der Schwellwert unterschritten worden ist.
Eine weitere Möglichkeit ist, dass in jedem Simulationstakt diese Schritte jeweils nur einmal ausgeführt werden und der in einem Durchlauf berechnete Arbeitspunkt als Ausgangswert für die Durchführung dieser Schritte im nächsten Simulationstakt verwendet wird. Die in 5 angegebene Klammer kennzeichnet die Dauer eines Simulationstaktes für den Fall, dass die Schritte in jedem Simulationstakt nur einmal durchgeführt werden.
Das oben beschriebene Verfahren ist bei beliebiger Kombination pneumatischer Komponenten numerisch stabil, da sämtliche Komponenten im Normalbetrieb ein monotones (fallendes oder steigendes) Verhalten zwischen Druck p und Massenstrom ṁ haben. Eine Ausnahme sind z. B. Verdichter im Pumpbetrieb, der aber auch in der Realität zu Instabilitäten führen kann. Aus diesem Grund wird üblicherweise in der vereinfachten Simulation das Verdichterverhalten im Pumpbetrieb durch Modelle mit Kennlinien, die monotones Verhalten aufweisen, ersetzt. Für diese wiederum lässt sich durch das hier dargestellte Verfahren numerische Stabilität erreichen.
Im Folgenden werden ausgewählte einzelne Systemkomponenten des betrachteten pneumatischen Systems detaillierter betrachtet.
Das Volumen
Die in der Standardsimulation eines Behälters mit konstantem Volumen verwendeten Gleichungen lauten:
Hierbei bedeuten:

p: Druck im Volumen V
R: Gaskonstante (bei Luft ca. 287,058 J / kg·K)
V: Volumen
c_v: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (bei Luft ca. 718 J / kg·K)
Q .: Wärmefluss über die Oberfläche
H ._i: Enthalpiestrom an der Schnittstelle i
κ: Isentropenexponent bzw. Adiabatenexponent (bei Luft ca. 1,4)
K: Wärmeübergangskoeffizient zur Umgebung bzw. zum Kühlmittel
A: Fläche des Wärmeübergangs
T_Coolant: Temperatur der Umgebung bzw. des Kühlmittels
T: Temperatur des Gases im Volumen
ṁ_i: Massenstrom des an der Schnittstelle i hereinströmenden Gases. Per Definition ist der Massenstrom ṁ_i bei herausströmendem Gas negativ.
T_i: Temperatur des an der Schnittstelle i strömenden Gases. Wenn ṁ_i > 0 ist, dann die vom Partner an der Schnittstelle i übermittelte Temperatur, ansonsten die Temperatur T = p·V / m·R des Gases im Volumen.
m₀, p₀, T₀: Anfangswerte bei Initialisierung

Für die numerisch stabile Echtzeitsimulation sind die Massenströme an den einzelnen Schnittstellen durch die linearen Gleichungen der an den Schnittstellen gekoppelten Komponenten (Partner) zu ersetzen. Die entsprechende Transformationsgleichung für die Schnittstellen zu den Partnern lautet: ṁi_eff = ṁi + (pi – p)·(dṁdp )i (8)
Hierbei sind ṁ_i, p_i, und ( dṁ / dp)_i die vom Partner i an der jeweiligen Schnittstelle übertragenen Größen. ṁ_i ist der beim Druck p_i vom Partner in das Volumen einströmende Massenstrom und bildet zusammen mit diesem den vom Partner i ange nommenen Arbeitspunkt. ( dṁ / dp)_i ist der vom Partner i übertragene Gradient, der die partner-interne Abhängigkeit zwischen ṁ_i und p_i angibt. Das Volumen berechnet aus allen Partnergleichungen und dem eigenen Verhalten den neuen Druck p, bei dem dann laut linearer Gleichung des Partners i der Massenstrom ṁ_{i_eff} vom Partner i in das Volumen fließt.
Da bei dem neuen Modellierungsverfahren keine Ableitung des Drucks über der Zeit berechnet wird, andererseits aber die speichernde Eigenschaft des Volumens in den Gleichungen berücksichtigt werden muss, wird die Ableitung des Drucks über die Zeit entsprechend dem Euler-Integrationsverfahren aufgelöst, d. h. ṗ durch
mit folgenden Bedeutungen ersetzt:

p_neu: Druck nach dem aktuellen Simulationstakt
p_alt: Druck vor dem aktuellen Simulationstakt
dt: Dauer eines Simulationstakts

(9) und (3) eingesetzt in (1) ergibt:
Einsetzen von (8) in (10) unter Berücksichtigung von p = p_neu ergibt:
Aus dem berechneten Druck p_neu können mit Hilfe der Gleichung (8) die Massenströme für die Partner berechnet werden, die an diese Partner als Arbeitspunkt des Volumens übertragen werden. Hierbei ist das Vorzeichen zu invertieren, da die Kommunikationsrichtung hier im Vergleich zu den bisherigen Betrachtungen umgekehrt ist. ṁi_neu = (pneu – pi)·(dṁdp )i – ṁi (12)
Die Änderung der Masse im Volumen erhält man durch Integration der Summe der hier berechneten Massenströme über der Zeit:
Hieraus kann die Temperatur des Gases über
berechnet werden.
Für die Berechnung der zu kommunizierenden Gradienten ( dṁ / dp)_{i_neu} ist zuerst der Volumen-interne Gradient mit (dṁdp ) = VT·R·dT (15)zu berechnen. Da sich die von einer angeschlossenen Komponente verursachte Massenstromänderung auf das Volumen und die anderen Komponenten verteilt, bzw. eine Druckänderung bei allen Komponenten zu einer Massenstromänderung führt, welche zu Ihrer Gesamtwirkung addiert werden können, ergibt sich als Gesamtgradient:
und als individuell zu kommunizierender Gradient (dṁdp )i_neu = (dṁdp )gesamt – (dṁdp )i (17)
Wird im Modell an den Schnittstellen dp / dṁ genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Neben dem Standardvolumen (Behälter mit gemeinsamem Druck und gemeinsamer Temperatur) sind noch folgende Varianten zu betrachten:

Variante 1: Verbundene Röhren mit gemeinsamem Druck, aber individueller Temperatur

Die Berechnung des Drucks erfolgt ähnlich wie beim oben beschriebenen Standardvolumen. Da allerdings das Gas in den einzelnen Röhren V_i individuelle Temperaturen T_{i_V} aufweisen kann und diese Röhren V_i auch unterschiedliche Wärmeübergänge zu unterschiedlichen Kühlmedientemperaturen T_{Coolant_i} haben können, ist in diesem Fall der Summand K·A·(T_Coolant – T) in entsprechende Summanden K_i·A_i·(T_{Coolant_i} – T_{i_V}) zu zerlegen. Das Volumen ist die Summe der Teilvolumina V_i. Hieraus ergibt sich
Hierbei ist T_i die Temperatur des an der Schnittstelle i fließenden Gases, d. h. je nach Fließrichtung des Gases, ausgedrückt durch das Vorzeichen von ṁ_{i_eff}, entweder T_{i_V} oder die vom Partner an der Schnittstelle i übermittelte Temperatur T_i. Für alle Teilvolumina V_i ist ein Koeffizient
zu berechnen. Ein negativer Wert koeff_{i_Koppl} bedeutet, dass Gas aus dem Teilvolumen in die Koppelstelle fließt. Der negative Wert für den Gasmassenstrom ṁ_{i_Koppl} aus der Koppelstelle der Teilvolumina in das Teilvolumen V_i kann per
berechnet werden.
Die Summierung dieser negativen ṁ_{i_Koppl} ergibt den insgesamt in die Koppelstelle fließenden Massenstrom mit der Temperatur T_{i_V} des jeweiligen Teilvolumens, der in Summe in die anderen Teilvolumina fließt.
Aus dem insgesamt in die Koppelstelle fließenden Gasmassenstrom ṁ_Koppl und der insgesamt in die Koppelstelle fließenden Enthalpie kann die Temperatur T_Koppl des aus der Koppelstelle in diese anderen Teilvolumina fließenden Gasmassenstroms berechnet werden.
Der in die Teilvolumina V_i mit positivem koeff_{i_Koppl} individuell fließende Massenstrom ṁ_{i_Koppl} ergibt sich zu
Durch Integration der Summe der beiden Gasmassenströme m_i = ∫ṁ_{i_eff} + ṁ_{i_Koppl} dt kann der individuelle Masseninhalt und hieraus die neue individuelle Temperatur berechnet werden. mi_neu = mi_alt + dt·(ṁi_eff + ṁi_Koppl)
Die Berechnung der zu kommunizierenden Gradienten ( dṁ / dp)_{i_neu} erfolgt wie beim Standardvolumen mit Hilfe der Gleichungen (15), (16), (17).

Variante 2: Reine Kopplung mit vernachlässigbarem Volumen, d. h. V≈ 0.

Ist das Volumen V ≈ 0, so kann die Summe aus einströmenden Gasmassenströmen als identisch der Summe aus ausströmenden Gasmassenströmen angenommen werden.
Aus dem berechneten Druck p_neu können mit Hilfe der Gleichung (8) die Massenströme für die Partner berechnet werden, die an diese Partner als Arbeitspunkt des Volumens übertragen werden. Hierbei ist das Vorzeichen zu invertieren, da die Kommunikationsrichtung hier im Vergleich zu den bisherigen Betrachtungen umgekehrt ist. ṁi_neu = (pneu – pi)·(dṁdp )i – ṁi (12)
Ist das Volumen V ≈ 0, so ist die Summe der einströmenden Enthalpien gleich der Summe der ausströmenden Enthalpien. Für die einströmenden Gasströme ist zur Berechnung des jeweiligen Enthalpiestroms die vom Partner kommunizierte Temperatur zu nutzen. Aus der entsprechenden Enthalpiestromsumme kann dann die gemeinsame Temperatur der ausströmenden Gase berechnet werden.
Die Berechnung der zu kommunizierenden Gradienten ( dṁ / dp)_{i_neu} erfolgt wie beim Standardvolumen mit Hilfe der Gleichungen (15), (16), (17).
Die Drossel
Die in der Standardsimulation einer Öffnung mit der effektiven Fläche A_eff zur Berechnung des Massenstroms von der angeschlossenen Komponente höheren Drucks p_up zur Komponente niedrigeren Drucks p_dn verwendeten Gleichungen lauten je nach Betriebszustand:
bzw.
mit
Da sich die Gleichung (18) nicht direkt für eine Konvertierung in die numerisch stabile Form entsprechend dem hier dargestellten Verfahren eignet, wird eine vereinfachte Näherungsgleichung und ein Korrekturfaktor korr genutzt.
mit
Hierbei ist T_up die Temperatur des von der Komponente höheren Drucks fließenden Gases und wird beiden angeschlossenen Komponenten (Partner) per port₁out.T = port_upin.T und port₂out.T = port_upin.T mitgeteilt.
Für die numerisch stabile Echtzeitsimulation sind die Drücke an den beiden Schnittstellen (Ports) durch die linearen Gleichungen der an den Schnittstellen gekoppelten Komponenten (Partner) zu ersetzen. Die entsprechenden Transformationsgleichungen für die Schnittstellen zu den Partner lauten: portdnout.p = portdnin.p + ((portdnin.ṁ + ṁ)·portdnin.dpdṁ ) (21a) portupout.p = portupin.p + ((portupin.ṁ – ṁ)·portupin.dpdṁ ) (21b)
Hierbei sind port_xin.ṁ, port_xin.p und port_xin. dp / dṁ die vom Partner x an der jeweiligen Schnittstelle x übertragenen Größen. port_xin.ṁ ist der beim Druck port_xin.p vom Partner x in das Volumen einströmende Massenstrom und bildet zusammen mit diesem den vom Partner x angenommenen Arbeitspunkt. port_xin. dp / dṁ ist der vom Partner x übertragene Gradient, der die partner-interne Abhängigkeit zwischen port_xin.p und port_xin.ṁ angibt. Die Drossel berechnet aus den beiden Partnergleichungen und dem eigenen Gleichungssystem den neuen Gasmassenstrom ṁ, bei dem dann laut linearer Gleichung des Partners x an der Schnittstelle zum Partner x der Druck port_xout.p anliegt.
Zur Unterscheidung, ob Gleichung (18/20) bzw. (19) zu nutzen ist, werden folgende Hilfsdrücke berechnet: pup.Zero = portupin.p + (portupin.ṁ·portupin.(dpdṁ ) pdn.Zero = portdnin.p + (portdnin.ṁ·portdnin.(dpdṁ )
Für p_upCr ≥ p_dnCr·Π_Cr sind die aus (19) abgeleiteten Formeln zu verwenden. Für p_upCr < p_dnCr·Π_Cr sind die aus (20) abgeleiteten Formeln zu verwenden.
Für Π < Π_cr, d. h. p_upCr < p_dnCr·Π_Cr ergibt sich aus Gleichung (20) durch Einsetzen der Transformationsformeln (21) und Äquivalenzumformungen
wobei
Aus dem so berechneten Massenstrom können über die Transformationsformeln (21) die Drücke für die beiden Ports berechnet werden.
Für
gilt Gleichung (19). Durch Einsetzen der Transformationsformel (21b) ergibt sich:
woraus über die Transformationsformeln (21) die Drücke für die beiden Ports berechnet werden können.
Zur Berechnung des bereitzustellenden Gradienten port_dnout. dp / dṁ bzw. port_dnout. dṁ / dp müssen die Gleichungen (19) bzw. (20) in die Form p_dn = f(ṁ, p_up) gebracht werden, da nur so die Auswirkung der Massenstromänderung auf p_up mit berücksichtigt werden kann.
Ist
so rechnet das Drosselmodell den Massenstrom unabhängig von p_dn und es ist port_dnout. dṁ / dp := 0 zu setzen.
Für
olgt aus (20)
und
Zur Berechnung des bereitzustellenden Gradienten port_upout. dp / dṁ bzw. port_upout. dṁ / dp müssen die Gleichungen (19) bzw. (20) in die Form p_up = f(ṁ, p_dn) gebracht werden, da nur so die Auswirkung der Massenstromänderung auf p_dn mit berücksichtigt werden kann.
Ist
so folgt aus (19)
Für
folgt aus (20)
Wird im Modell an den Schnittstellen dṁ / dp genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Die Turbine
Turbinen verhalten sich abgesehen von der Verringerung der Temperatur des durchströmenden Gases an ihren pneumatischen Schnittstellen vergleichbar den Drosseln. Daher kann für die Beziehung zwischen Drücken und Massenstrom bei Turbinen aus den anderen Größen eine effektive Querschnittsfläche berechnet werden und diese in den Gleichungen, die bereits für die Drossel hergeleitet wurden, benutzt werden. Die Simulation der Verringerung der Temperatur des durchströmenden Gases kann auf konventionelle Art erfolgen, da hierbei keine numerischen Instabilitäten auftreten.
An der mechanischen Schnittstelle zum Laufzeug bzw. dem Verdichter kann bei Bedarf, d. h. wenn hier numerische Instabilitäten auftreten, die entsprechende Strategie für rotierende Systeme genutzt werden.
Luftfilter, Katalysator und Rußpartikelfilter
Diese Komponenten werden üblicherweise auch als Verengungen mit einer effektiven Querschnittsfläche simuliert. Diese effektive Querschnittsfläche kann z. B. bei Filtern von der Beladung abhängen und diese in den Gleichungen, die bereits für die Drossel hergeleitet wurden, benutzt werden. Abhängig vom Aufbau der Komponenten und gewissen Randbedingungen kann innerhalb der Komponenten eine Temperatur-Verringerung bzw. Temperatur-Erhöhung des durchströmenden Gases sowie eine Änderung der Gaszusammensetzung erfolgen, welche bei der Simulation berücksichtigt werden kann. Da es sich hierbei üblicherweise um im Vergleich zum Simulationstakt langsame Vorgänge handelt, können diese in konventioneller Weise simuliert werden. Soll eine Komponente dieses Typs aufgrund ihrer Länge durch zwei oder mehr hintereinander angeordnete Querschnittsverengungen simuliert werden, so ist dies mit Hilfe des hier dargestellten Verfahrens einfacher möglich als in der konventionellen Simulation, weil hier alle pneumatischen Schnittstellen an allen Komponententypen identisch und zueinander passend ausgebildet werden können.
Der Verdichter
Die von der Verdichterdrehzahl abhängige Beziehung zwischen Druckverhältnis und Massenstrom wird üblicherweise durch ein Kennfeld mit drehzahlspezifischen Kennlinien Π = KL_PI(ṁ_korr) charakterisiert. Da für die Transformation in die numerisch stabile Form nach dem hier dargestellten Verfahren Kennlinien weniger geeignet sind, ist eine Approximation durch einen abschnittsweise definierten Zusammenhang per mathematischer Funktion zu bevorzugen. Für diese Approximation sind zur Parametrierung der jeweiligen Kennlinienapproximationen folgende drehzahlabhängige Parameter so zu wählen, dass die sich hieraus für die jeweilige Verdichterdrehzahl ergebende Funktion so weit wie möglich der zu approximierenden Verdichterkennlinie entspricht.
ṁ_Stopf(n_korr) ist der korrigierte Massenstrom im Stopfbetrieb, der weitgehend unabhängig vom Druckverhältnis ist und damit im Verdichterkennfeld als senkrechter Abschnitt der Verdichterkennlinie am rechten Kennlinienrand dargestellt ist.
Π_S(n_korr) ist das Druckverhältnis an der Grenze zwischen Stopfen ṁ_korr = ṁ_Stopf(n_korr) und dem Bereich der Verdichterkennlinie, in dem das Verhalten des Verdichters durch ein Ellipsenviertel approximiert werden kann.
Π_Pump(n_korr) ist das maximale Druckverhältnis des Verdichters. Da die Modellierung monotones Verhalten erfordert, wird das Druckverhältnis im Pumpbetrieb als ein konstantes simuliert. Wenn die Verdichterkennlinie kein Maximum hat, d. h. dieses bei Extrapolation der Verdichterkennlinie im Pumpbereich liegen würde, so ist die Verdichterkennlinie durch einen Ellipsenabschnitt zu approximieren und das sich dann ergebende maximale Druckverhältnis zu verwenden.
ṁ_P(n_korr) ist der korrigierte Massenstrom am Übergang zwischen Ellipsenapproximation und Pumpen. Es kann entweder der Massenstrom am Punkt des maximalen Druckverhältnisses genutzt werden, oder der Massenstrom, bei dem sich bei der genannten Extrapolation das maximale Druckverhältnis ergeben würde.
Die Bereiche, in die sich eine drehzahlspezifische Verdichterkennlinie damit aufteilen lässt, und die im Folgenden detaillierter beschrieben werden, sind:

I) Stopfen: ṁkorr = ṁStopf(nkorr) Π ≤ ΠS(nkorr) (29)
II) Kennfeldapproximation durch Ellipsenviertel
III) Pumpen 0.0 ≤ ṁkorr ≤ ṁp(nkorr) Π = ΠPump(nkorr) (32)

Hierbei gelten zwischen den tatsächlichen Werten und den korrigierten Werten folgende Zusammenhänge:
Durch Einsetzen der Transformationsformeln (21) ergeben sich für den numerisch stabilen Betrieb gemäß dieser Erfindung folgende Berechnungsvorschriften:
Erste Hilfsgröße p_in.Zero berechnet aus den Eingangswerten am Gaseintritt: pin.Zero = portinin.p + (portinin.ṁ·portinin.dpdṁ )
Zweite Hilfsgröße p_out.Zero berechnet aus den Eingangswerten am Gasaustritt: pout.Zero = portoutin.p + (portoutin.ṁ·portoutin.dpdṁ )

I) Stopfen:
II) Kennfeldapproximation
III) Pumpen

Die Drücke port_outout.p und port_inout.p können jeweils mit Hilfe der Transformationsformeln (21) aus dem Massenstrom ṁ berechnet werden.
Je nachdem, ob im Modell dṁ / dp oder dp / dṁ genutzt wird, ist bei Bedarf eine KehrWertberechnung erforderlich.
Lässt sich die Verdichterkennlinie der aktuellen korrigierten Verdichterdrehzahl n_korr nicht hinreichend genau durch ein Ellipsenviertel approximieren, so kann nach dem im Folgenden beschriebenen Ansatz diese Kennlinie um den Arbeitspunkt durch eine Gerade approximiert werden, die dann mit Hilfe der Transformationsformeln zur Bestimmung dieses Arbeitspunktes genutzt werden kann. Hierzu muss das Verdichterkennfeld sowohl in der üblichen Form Π = KF_PI(n_korr, ṁ_korr) als auch in der Form
ṁ_korr= KF_m(n_korr, Π) vorliegen, welches außerhalb des Pumpbereichs automatisch aus Π = KF_PI(n_korr, ṁ_korr) generiert werden kann.
Es sind aus den beiden von den Partnern übermittelten Arbeitspunkten folgende drei Punkte auf der Verdichterkennlinie der aktuellen korrigierten Verdichterdrehzahl n_korr, zu berechnen:
Der gesuchte Arbeitspunkt
iegt innerhalb des durch die 3 Punkte P_i(ṁ_{korr_i}|Π_i), P_x(ṁ_{korr_x}|Π_x) und P_o(ṁ_{korr_o}|Π_o) begrenzten Kennlinienabschnitts.
Die drei Punkte P_i(ṁ_{korr_i}|Π_i) P_x(ṁ_{korr_x}|Π_x) P_o(ṁ_{korr_o}|Π_o) sind nach ihrer Reihenfolge zu sortieren. Im Bereich dieser drei Punkte kann die Verdichterkennlinie durch eine Gerade approximiert werden, deren Steigung dem Differenzenquotienten der äußeren beiden Punkte entspricht und die durch den mittleren dieser drei Punkte geht. Hierfür werden die drei Punkte im Folgenden nummeriert bezeichnet:
Als weiteres Anwendungsbeispiel wird nachfolgend ein rotierendes System betrachtet. Die Systemkomponenten eines rotierenden Systems können unter anderem Trägheiten mit Drehbeschleunigung entsprechend der Momentensumme, Drehfedern mit Momentenbildung entsprechend der Drehwinkeldifferenz, Drehdämpfer mit Momentenbildung entsprechend der Drehzahldifferenz, Lagerreibungen mit konstanten, drehzahlproportionalen und anderweitig drehzahlabhängigen Bremsmomenten sowie Getriebe sein. Bei rotierenden Systemen sind die beiden hier betrachteten Größen das Moment M und die Drehgeschwindigkeit ω (als Winkelgeschwindigkeit).
Die Umsetzung der Standardformeln dieser und weiterer Komponententypen erfolgt analog zu den im Folgenden dargestellten Transformationen.
Die Standardformeln für die hier betrachteten Komponenten lauten:

Rotierende Masse: ω = 1.0J ·∫Σ iMidt (38)
Drehfeder: M = crot·∫ω1 – ω2dt (39)
Drehdämpfer: M = drot·(ω1 – ω2) (40)
Lagerreibung mit konstantem Bremsmoment: M = MGleit·sign(ω) (41)mit besonderer Berücksichtigung der Haftung.
Lagerreibung mit drehzahlproportionalem Bremsmoment: M = drot·ω (42)
Lagerreibung mit drehzahlquadratischem Bremsmoment: M = drot2·ω2·sign(ω) (43)
Lagerreibung mit drehzahlabhängigem Bremsmoment: M = drot3·ω3 (44)
Getriebe: M2 = 1i ·M1 ω2 = i·ω1 (45)wobei M einem Drehmoment, ω einer Rotationsgeschwindigkeit, J einem Trägheitsmoment, c_rot einer Federkonstanten und d_rot einer Dämpfungskonstanten entsprechen.

In der Standardsimulation werden Drehmoment M und Rotationsgeschwindigkeit ω zwischen den Systemkomponenten in entgegengesetzte Richtungen kommuniziert. Bei der Simulation nach diesem Ansatz werden beide Größen in beide Richtungen kommuniziert und noch zusätzlich die Ableitung dieser beiden Größen zueinander, d. h. der Gradient des Drehmoments bezüglich der Rotationsgeschwindigkeit oder der Kehrwert, d. h. der Gradient der Rotationsgeschwindigkeit bezüglich des Drehmoments. Entsprechend wie bei den pneumatischen Systemen werden als Transformationsformeln verwendet: Meff = Min + (ωin – ωeff)·(dMdω ) Mnew = –Meff = –Min – (ωin – ωeff)·(dMdω ) (46)bzw. ωeff = ωin + (Min – Meff)·(dωdM ) (47)
Hierbei ist

M_in: das beschleunigend wirkende Moment, welches vom Partner kommuniziert wird;
M_eff: das tatsächlich in der betrachteten Komponente beschleunigend wirkende Moment;
M_new: das an den Partner kommunizierte Moment;
ω_in: die vom Partner kommunizierte Rotationsgeschwindigkeit;
ω_eff: die in der Komponente berechnete Rotationsgeschwindigkeit an dieser Schnittstelle; und
( dM / dω) bzw. ( dω / dM): die Ableitung, die im Standardbetrieb immer positiv ist.

Für eine Trägheit (träge rotierende Masse J) ergibt sich: ω = 1.0J ·∫Σ iMidt (48)
Auflösen der Integration: ωneu = ωalt + 1.0J ·dt·Σ iMi (49)
Durch Einsetzen der Transformationsformel (46) ergibt sich:
Durch Einsetzen dieser Rotationsgeschwindigkeit in die von den Partnern kommunizierten Geradengleichungen erhält man das an den jeweiligen Partner zu kommunizierende Drehmoment.
Trägheitsinterner Gradient: ( dM / dω) = J / dt
Gesamtgradient:
Individuell zu kommunizierende Gradienten: ( dM / dω)_{i_neu} = ( dM / dω)_gesamt – ( dM / dω)_i
Wird im Modell an den Schnittstellen dω / dM genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für eine Drehfeder ergibt sich: M1 = crot·∫ω2 – ω1dt M2 = crot·∫ω1 – ω2dt (51)
Auflösender Integration: M1neu = M1alt + crot·dt·(ω2 – ω1) M2neu = M2alt + crot·dt·(ω1 – ω2) (52)mit M_1alt + M_2alt = 0 bzw. M_1neu + M_2neu = 0
Einsetzen der Transformationsformel (47) für beide Seiten ergibt ω1_eff = ω1_in + (M1_in – M1_eff)·(dωdM )1 (53) ω2_eff = ω2_in + (M2_in – M2_eff)·(dωdM )2 (54)
Drehfeder-interner Gradient:
Hieraus ergeben sich die beiden zu berechnenden Gradienten
Wird im Modell an den Schnittstellen dM / dω genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für einen Drehdämpfer ergibt sich: M = drot·(ω1 – ω2)
Durch Einsetzen der Transformationsformeln (53) und (54) ergibt sich:
Drehdämpfer-interner Gradient:
Hieraus ergeben sich die beiden zu berechnenden Gradienten
Wird im Modell an den Schnittstellen dM / dω genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für eine Reibung ergibt sich: M = MGleit·sign(ω) + drot1·ω + drot2·ω2·sign(ω) + drot3·ω3 (59) (dMdω ) = 0 + drot1 + 2·drot2·|ω| + 3·drot3·ω2 (60)
Für ein Getriebe ergibt sich:
Getriebe für rein rotierende Systeme unter Vernachlässigung der Reibung und eines eventuell vorhandenen Spiels lassen sich üblicherweise durch eine Kombination aus

– einem Trägheitsmoment J₁ der Seite 1
– einem Trägheitsmoment J₂ der Seite 2
– der reinen Übersetzung i mit
darstellen.

Hierbei gilt:
Auflösen der Integration:
Durch Einsetzen der Transformationsformeln (46) ergibt sich:
Durch Einsetzen dieser Rotationsgeschwindigkeiten in die von den Partner kommunizierten Geradengleichungen erhält man das an den jeweiligen Partner zu kommunizierende Drehmoment.
Getriebeinterner Gradient
Individuell zu kommunizierende Gradienten
Wird im Modell an den Schnittstellen dω / dM genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Gemäß einem weiteren Ausführungsbeispiel wird als dynamisches System ein elektrisches System angenommen. Die hier betrachteten Systemkomponenten eines elektrischen Systems umfassen Widerstände, Induktivitäten, Kapazitäten sowie Knoten. Bei elektrischen Systemen sind die beiden hier betrachteten Größen das elektrische Spannungspotenzial φ und die elektrische Stromstärke I.
Die Umsetzung der Standardformeln weiterer Komponententypen erfolgt analog zu den im Folgenden dargestellten Transformationen.
Die Standardformeln für die hier betrachteten Komponenten lauten:
Widerstand:
Induktivität:I = 1L ∫(φ1 – φ2)dt (68)
Kapazität:φ1 – φ2 = 1C ∫Idt (69)
Knoten bzw. Netz:Σ iIi = 0 (70)
Hierbei entspricht φ einem Potential, I einem Strom, R einem elektrischen Widerstand, L einer Induktivität und C einer Kapazität.
In der Standardsimulation werden das Potential φ und der Strom I zwischen den einzelnen Systemkomponenten in entgegengesetzte Richtungen kommuniziert. Bei der Simulation nach diesem Ansatz werden beide Größen in beide Richtungen kommuniziert und noch zusätzlich die Ableitung dieser beiden Größen zueinander, d. h. ein Gradient des Stromes I bezüglich des Potentials φ, oder der Kehrwert, d. h. ein Gradient des Potentials φ bezüglich des Stromes I. Entsprechend wie bei den pneumatischen Systemen werden als Transformationsformeln verwendet:
Hierbei ist

I_In: der in die betrachtete Komponente fließende Strom, welcher von der gekoppelten Systemkomponente (Partner) kommuniziert wird.
I_eff: der tatsächlich in die betrachtete Komponente hineinfließende Strom.
I_new: der an den Partner kommunizierte Strom.
φ_in: das vom Partner kommunizierte Potential.
φ_eff: das in der Komponente berechnete Potential an dieser Schnittstelle
( dI / dφ) bzw. ( dφ / dI): die Ableitung, die im Standardbetrieb immer positiv ist.

Für einen Widerstand R ergibt sich:
Nach Einsetzen der Transformationsformel (72) erhält man:
Widerstandsinterner Gradient ( dφ / dI) = R
Wird im Modell an den Schnittstellen dI / dφ genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für eine Induktivität L ergibt sich: I1→2 = 1L ∫(φ1 – φ2)dt (75)
Durch Auflösen der Integration: I1→2_neu = I1→2_alt + dtL ·(φ1 – φ2) (76)
Nach Einsetzen der Transformationsformel (72) erhält man:
Induktivitäts-interner Gradient ( dφ / dI) = L / dt
Wird im Modell an den Schnittstellen dI / dφ genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für eine Kapazität C ergibt sich: φ1 – φ2 = 1C ∫I1→2dt (78)
Durch Auflösen der Integration: φ1_neu – φ2_neu = φ1_alt – φ2_alt + dtC ·I1→2 (79)
Nach Einsetzen der Transformationsformel (72) erhält man:
Kapazitäts-interner Gradien ( dφ / dI) = dt / C
Wird im Modell an den Schnittstellen dI / dφ genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Für einen Knoten bzw. ein Netz ergibt sich: Σ iIi = 0
Nach Einsetzen der Transformationsformel (71) erhält man:
Gesamtgradient des Knoten bzw. Netzes: ( dI / dφ)_gesamt = Σ i( dI / dφ)_i
Individuell zu kommunizierende Gradienten ( dI / dφ)_{i_neu} = ( dI / dφ)_gesamt – ( dI / dφ)_i
Wird im Modell an den Schnittstellen dφ / dI genutzt, so ist jeweils eine entsprechende Kehrwertberechnung erforderlich.
Das hier dargestellte Transformationsverfahren lässt sich auf alle Arten von simulierbaren Systemen anwenden. Die Hauptanwendung stellt die Echtzeitsimulation steifer Systeme dar, bei denen unter Verwendung der konventionellen Simulationsgleichungen numerische Instabilitäten auftreten können.

Claims

Verfahren zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems, wobei das dynamische System Systemkomponenten (V1, D, V2) aufweist, die gemäß einem zugeordneten Komponentenmodell beschreibbar sind, wobei die Komponentenmodelle jeweils eine Beziehung zwischen mehreren Größen beschreiben, mit folgenden Schritten: – Festlegen eines ersten Arbeitspunktes (A1.1) für eine erste Systemkomponente (V1) gemäß einem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell; – Berechnen (S1) einer Angabe eines ersten Gradienten ( dṁ / dp) der durch das erste Komponentenmodell bestimmten Beziehung von zwei der mehreren Größen zueinander an dem ersten Arbeitspunkt (A1.1); – Bestimmen (S2) eines zweiten Arbeitspunktes (A2.1) für eine zweite, mit der ersten Systemkomponente (V1) gekoppelte Systemkomponente (D) gemäß einem der zweiten Systemkomponente (D) zugeordneten zweiten Komponentenmodell abhängig von dem ersten Arbeitspunkt (A1.1) und dem ersten Gradienten ( dṁ / dp); – Berechnen (S3) einer Angabe eines zweiten Gradienten ( dṁ / dp) der durch das zweite Komponentenmodell bestimmten Beziehung der zwei Größen zueinander an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); – Bestimmen (S4) eines nächsten ersten Arbeitspunktes (A1.2) für die erste Systemkomponente (V1) gemäß dem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell abhängig von dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1) und dem zweiten Gradienten ( dṁ / dp) an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); und – Wiederholen der Schritte b) bis e).
Verfahren nach Anspruch 1, wobei zur Berechnung eines Gradienten ( dṁ / dp) die von den anderen angeschlossenen Komponentenmodellen übermittelten Gradienten ( dṁ / dp) berücksichtigt werden.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, wobei die Verfahrensschritte b) bis e) in jedem Simulationstakt einmal oder mehrmals so lange durchgeführt werden, bis ein Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgend berechneten ersten und zweiten Arbeitspunkten (A1.1, A1.2) einen vorgegebenen Schwellwert unterschreitet oder Null beträgt.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, wobei ein jeweiliger Arbeitspunkt (A1.1, A2.1, A1.2) für eine entsprechende Systemkomponente (V1, D, V2) gemäß dem der entsprechenden Systemkomponente zugehörigen Komponentenmodell als ein Schnittpunkt der durch das entsprechende Komponentenmodell bestimmten Abhängigkeit mit einer Geraden bestimmt wird, wobei die Gerade durch den vorangehend ermittelten Arbeitspunkt (A1.1, A2.1, A1.2) und den vorangehend ermittelten Gradienten ( dṁ / dp) der mit der entsprechenden Systemkomponente (V1, D, V2) gekoppelten Systemkomponente (V1, D, V2) bestimmt ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das dynamische System einem pneumatischen System, insbesondere einem Luftsystem für einen Verbrennungsmotor, entspricht, wobei die beiden betrachteten Größen einem Druck und einem Massenstrom oder einem Enthalpiestrom entsprechen.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei als weitere Zustandsgröße eine Temperatur berücksichtigt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das dynamische System einem mechanischen System, insbesondere einem translatorischen System, entspricht, wobei die beiden betrachteten Größen einer Kraft und einer Geschwindigkeit entsprechen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das dynamische System einem mechanischen System, insbesondere einem rotierenden System, entspricht, wobei die beiden betrachteten Größen einem Drehmoment und einer Rotationsgeschwindigkeit oder Drehzahl entsprechen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das dynamische System einem elektrischen System entspricht, wobei die beiden betrachteten Größen einem elektrischen Spannungspotential und einem elektrischen Strom entsprechen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das dynamische System einem hydraulischen System entspricht, wobei die beiden betrachteten Größen einem Druck und einem Massenstrom entsprechen.
Vorrichtung zum Durchführen einer Simulation eines dynamischen Systems, wobei das dynamische System Systemkomponenten (V1, D, V2) aufweist, die gemäß einem zugeordneten Komponentenmodell beschreibbar sind, wobei die Komponentenmodelle jeweils eine Beziehung zwischen mehreren Größen in Form eines linearen oder nichtlinearen Differenzialgleichungssystem beschreiben, wobei die Vorrichtung ausgebildet ist, um folgende Schritte durchzuführen: – Festlegen eines ersten Arbeitspunktes (A1.1) für eine erste Systemkomponente (V1) gemäß einem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell; – Berechnen einer Angabe eines ersten Gradienten ( dṁ / dp) der durch das erste Komponentenmodell bestimmten Beziehung von zwei der mehreren Größen zueinander an dem ersten Arbeitspunkt (A1.1); – Bestimmen eines zweiten Arbeitspunktes (A2.1) für eine zweite, mit der ersten Systemkomponente (V1) gekoppelte Systemkomponente (D) gemäß einem der zweiten Systemkomponente (D) zugeordneten zweiten Komponentenmodell abhängig von dem ersten Arbeitspunkt A1.1 und dem ersten Gradienten ( dṁ / dp); – Berechnen einer Angabe eines zweiten Gradienten ( dṁ / dp) der durch das zweite Komponentenmodell bestimmten Beziehung der zwei Größen zueinander an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); – Bestimmen eines nächsten ersten Arbeitspunktes (A1.1) für die erste Systemkomponente (V1) gemäß dem der ersten Systemkomponente (V1) zugeordneten ersten Komponentenmodell abhängig von dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1) und dem zweiten Gradienten ( dṁ / dp) an dem zweiten Arbeitspunkt (A2.1); und – Wiederholen der Schritte b) bis e).
Vorrichtung nach Anspruch 11, wobei zur Berechnung eines Gradienten ( dṁ / dp) die von den anderen angeschlossenen Komponentenmodellen übermittelten Gradienten ( dṁ / dp) mit berücksichtigt werden.
Testsystem umfassend: – ein zu testendes Steuergerät; – die Vorrichtung gemäß Anspruch 11 oder 12, wobei die Vorrichtung mit dem Steuergerät verbunden ist, so dass die Vorrichtung von dem Steuergerät Stellgrößen erhält und wobei die Vorrichtung dem Steuergerät Systemgrößen bereitstellt.
Computerprogramm, das einen Programmcode enthält, der, wenn er auf einer Datenverarbeitungseinheit ausgeführt wird, ein Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 10 ausführt.