DE102006049193A1

DE102006049193A1 - System und Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterteilen in Brust CT Volumina

Info

Publication number: DE102006049193A1
Application number: DE102006049193A
Authority: DE
Inventors: Shuping Quing; Hong Shen
Original assignee: Siemens Medical Solutions USA Inc
Current assignee: Siemens Medical Solutions USA Inc
Priority date: 2005-10-19
Filing date: 2006-10-18
Publication date: 2007-11-08
Also published as: US20070223795A1; US7949171B2

Abstract

Ein Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterseiten enthält das Vorsehen einer unvollständigen Rippenverfolgung, die eine digitalisierte 3-dimensionale Darstellung einer Rippe und ein digitales Bild, von dem die Rippenverfolgung extrahiert wurde, enthält, Initialisieren (81) einer Verfolgungsrichtung für einen Rest der Rippe, Erfassen (82) einer Mehrzahl von Kantenpunkten in einem Untervolumen des digitalen Bilds um die anfängliche Verfolgungsrichtung und Deformieren (83) einer geschlossenen Kurve in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung, bis eine Rippenrandkontur erhalten ist, wobei die Kantenpunkte als Begrenzungen verwendet werden.

Description

Diese Erfindung ist auf die 3D-Visualisierung von Rippenstrukturen in medizinischen computergestützten Diagnosesystemen (CAD) gerichtet.
Die Fortschritte in medizinischen Bildgebungsgeräten haben Effizienz mit sich gebracht, und Bildgebungsmodalitäten mit hoher Fähigkeit, wie zum Beispiel multi-slice CT-Scanner, erzeugen eine große Menge von digitalen Daten, die schwierig und langwierig zum Interpretieren nur durch Ärzte sind. Computergestützte Diagnosesysteme (CAD) werden daher eine kritische Rolle spielen, insbesondere bei der Visualisierung, Segmentierung, Erfassung, Registrierung und dem Berichten von medizinischen Pathologien. Aufgrund des großen Datenvolumens, das damit einhergeht, und der Echtzeitanforderung von medizinischen Anwendungen sind merkmalsbasierte Algorithmen eines der am häufigsten angewendeten Verfahren zum Erzielen dieser Aufgaben in effektiver und effizienter Weise.
Aus einem Systemgesichtspunkt sind die Rippenstrukturen als Referenz und für die Registrierung von anderen Anatomien und Pathologien nützlich. Die Rippen haben wertvolle Eigenschaften, die Knochengeweben eigen ist: Sie sind steif und stabil in ihrer Form und bilden sich auf hervortretende Intensitäten in CT-Daten ab. Ferner umschließen die Rippenstrukturen das vollständige Brustgebiet und einen Teil des Bauches, und sie sind verhältnismäßig wenig durch Lungenchirurgie beeinflusst. Zusätzlich sind diese Rippen in hohem Maß geordnet und sind symmetrisch, und man hat beobachtet, dass jedes Paar von Rippen ungefähr eine Ebene bildet, insbesondere eine geneigte Ebene, die einen merklichen Winkel zu der Axialebene bildet. Aufgrund dieser Eigenschaften kann die Rippenmerkmalsgruppe zu einer zuverlässigen Registrierung und als Referenz verwendet werden. Sicherlich sollten die Rippen einzeln extrahiert und bezeichnet werden, um vollen Nutzen von dem Strukturvorteil der Rippen zu ziehen.
Dreidimensionale Visualisierung und ein Bezeichnen von Rippenstrukturen in einem CAD-System sieht eine wichtige Information für Radiologen vor, da diagnostische Information, die von der Untersuchung der Rippen erhalten werden kann, ihnen helfen kann, Pathologien zu analysieren und zu beobachten, die zu den Rippen gehören. Abnormalitäten, die in den Rippen erfasst werden, können die ersten Anzeichen von bestimmten Krankheiten sein. Die Rippen können wichtige diagnostische Information von Patienten mit erblich bedingten Knochenfehlbildungen, erlangten metabolischen Krankheiten, Traumata, Infektionen und Neoplasmen tragen. Auch kann die Rippenmerkmalsgruppe für eine zuverlässige Registrierung und als Referenz verwendet werden. Um vollständigen Nutzen von den strukturellen Vorteilen der Rippen zu ziehen, sollten sie individuell extrahiert und bezeichnet werden. Es gibt 12 Paare von Rippenstrukturen in einem menschlichen Körper, wobei 8 bis 10 Paare in einem Computertomografie-(CT)-Volumendatensatz einer Brust sichtbar sind. Diese sind an einem Ende mit der Wirbelsäule verbunden und die oberen Paare sind auch mit dem Sternum verbunden.
Es ist eine Herausforderung, gute Ergebnisse aus einer Rippensegmentierung zu erhalten. Wenngleich eine Mehrzahl von Knochenvoxeln höhere Intensitäten aufweist (> 1200) als die umgebenden Gewebe (700–1100), liegen die Niveaus der niedrigsten Knochenintensität und der höchsten Gewebeintensität ziemlich nahe beieinander. Durch Rauschen und Teilvolumeneffekte wird diese enge Pufferzone häufig überquert und es besteht somit zwischen dem Knochen und anderen Geweben kein klar geschnittener Intensitätsschwellenwert. Das Verfolgen von Rippenhinterseiten ist aufgrund der Tatsache herausfordernd, dass Rippen und Wirbel an den hinteren Verbindungen so nahe sind, dass die Spalten zwischen ihnen vage und schwierig zu lokalisieren sind. Randerfasser haben Schwierigkeiten, Rippenränder in dem hinteren Abschnitt zu lokalisieren und die Ergebnisse sind gewöhnlich nicht genau. Dies liegt daran, dass das Verbindungsgebiet (in dem Rippe und Wirbel sehr nahe beieinander sind oder verbunden sind) eine Mischung von Linien, Rändern und anderen konturähnlichen Strukturen enthält, und ein linearer Randerfasser nicht geeignet auf die verschiedenen Konturstrukturen ansprechen kann. Seit den 70er Jahren wurden viele Verfahren zum Erfassen und Bezeichnen von Rippen automatisch in 2D-Brustradiographen entwickelt, wobei es jedoch wenig Arbeit bei der 3D-Extraktion von einzelnen Rippenstrukturen gibt. Ein Segmentierverfahren zum Segmentieren von Wirbeln und Rippen aus 3D CT-Bildern könnte Wirbel und Rippen zur besseren Visualisierung von Organen von Interesse entfernen. Der Schwerpunkt dieses Verfahrens ist, ein Leck bei der Fortpflanzung zu erfassen und zu verhindern. Die Wirbel und Rippen werden als eine Gesamtheit entfernt. Andere Ansätze beinhalten das Eliminieren der Rippen und anderer verbundener Knochenstrukturen von den Daten, wobei auf Gebieten basierende Ansätze verwendet werden. Wengleich die Intensität des Rippenknochens deutlich größer als die des umgebenden Gewebes ist, versagen diese Gebietswachstumsverfahren, zufriedenstellende Ergebnisse vorherzusagen.
Shen et al in „Tracing Based Segmentation for the Labeling of Individual Rib Structures in Chest CT Volume Data" ("Auf Verfolgung basierte Segmentierung für das Bezeichnen von einzelnen Rippenstrukturen in Brust CT-Volumen-Daten"), International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention (MICCAI) 2004, dessen Inhalt hier durch Bezugnahme eingeschlossen ist, entwickelten einen auf Verfolgung basierenden Algorithmus zum Extrahieren von einzelnen Rippenmittellinien und -grenzen, von dem ein Testergebnis in 1 gezeigt ist. Dieser Algorithmus führt eine 2D-Randerfassung zu jedem Zeitschritt durch. Die erfassten Randpunkte auf bestimmten Richtungen werden als Konturpunkte auf diese Ebene gehalten. Eine Hauptkomponentenanalyse (PCA) wird auf diese Punkte angewendet zum Vorhersagen einer nächsten Verfolgungsrichtung. Zum nächsten Zeitschritt wird eine neue Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung gebildet, und ein neues Zentrum wird berechnet und basierend auf dem vorhergehenden Zentrum validiert. Die Verfolgung endet, wenn ein Anhaltekriterium erfüllt ist. Der Algorithmus extrahiert etwa 20 Testpunkte bei jedem Verfolgungsschritt, welche die lokale Kontur und äußere Oberflächengestalt darstellen. Die Testpunkte aus allen Schritten bilden die globale Kontur und äußere Oberfläche. Aus diesen Testpunkten kann eine angenäherte äußere Rippenoberfläche unter Verwendung eines Oberflächenkonstruktionsalgorithmus erhalten werden. Dieses Verfahren arbeitet gut beim Bezeichnen von jeder Rippe, außer an hinteren Verbindungen mit den Wirbeln. Wie es jedoch in 1 durch die Pfeile, die auf die nicht verfolgten Rippenhinterseiten weisen, gezeigt ist, stoppt jede Verfolgungsroutine an einem bestimmten Punkt im hinteren Abschnitt aufgrund eines Fehlens von genau erfassten Rippenrandpunkten, und daher gilt der Energieterm, der als ein Kriterium zum Verifizieren eines korrekten Verfolgungswegs verwendet wird, nicht länger. Da Rippen so nahe oder sogar verbunden mir den Wirbeln an der Hinterseite sind, ist das Verfahren zum Lokalisieren von Rippenrandpunkten auf den 20 Richtungen nicht länger anwendbar.
Ein genaues Verfolgen von Rippenhinterseiten ist wünschenswert, da (1) es das Ziel des Segmentierens jeder einzelnen Rippe erzielt, (2) es Referenzpunkte für Wirbelsegmentierung vorsehen kann, und (3) es die wahre Position des Rippenendes liefert und daher nützlich ist, wenn ein Brustatlas aufgebaut wird.
Exemplarische Ausführungsformen der Erfindung wie sie hier beschrieben werden, enthalten im Allgemeinen Verfahren und Systeme für eine schnelle und robuste Verfolgung von Rippenhinterseiten, die nach einem Rippenrandort unter Verwendung der Kante als Bedingung suchen. Als Folgeaktivität zu einem randbasierenden Rippenverfolgungsverfahren von einzelnen Rippen in einem CT-Volumen schließt ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung das Verfolgen ab, indem in die Rippenhinterseitensegmente verfolgt wird und vor den Wirbeln gestoppt wird. Ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung verwendet einen 2D-Kantenerfasser zusammen mit einem deformierbaren Modell zum Lokalisieren von Rippenrändern. Das Verfolgen stoppt am Ende der Rippenhinterseiten. Ein Brust-CT-Volumen wird als Eingabe verwendet. Ausgehend von einem Keimpunkt, der durch ein Keimsuchverfahren gefunden wird, sollte zuerst eine randbasierte Verfolgung durchgeführt werden. Die randbasierte Verfolgung wird an einem bestimmten Punkt stoppen, an dem eine andere knochenartige Struktur in der Rippenquerschnittsebene vorliegt, die nahe an dem Rippenknochen ist. Dann übernimmt ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung und setzt das Verfolgen der hinteren Segmente fort, bis die Rippe endet. Da eine Konturdeformation gemäß einer Ausführungsform der Erfindung mit einem kleinen Satz an Testpunkten durchgeführt wird, ist die Mathematik einfach und führt zu einer raschen Berechung. Die Ergebnisse können bei der Rippenbezeichung (Labeling) oder 3D-Visualisierung in einem Diagnosesystem verwendet werden. Ferner können die Ergebnisse mit anderen Anwendungen kombiniert werden, wie zum Beispiel einem 3D-Atlas des Thoraxkäfigs, um als eine effiziente Hilfe für Ärzte bei der Diagnose von verschiedenen Knochenkrankheiten zu dienen.
Gemäß einem Aspekt der Erfindung wird ein Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterseiten vorgesehen, einschließlich des Vorsehens einer unvollständigen Rippenverfolgung, die eine digitalisierte dreidimensionale Darstellung einer Rippe und ein digitales Bild enthält, aus dem die Rippenverfolgung extrahiert wurde, wobei das Bild eine Mehrzahl von Intensitäten enthält, die einem Gebiet von Punkten auf einem dreidimensionalen Gitter entsprechen, des Initialisierens einer Verfolgungsrichtung für einen Rest der Rippe, des Erfassens einer Mehrzahl von Randpunkten in einem Untervolumen des digitalen Bilds über die anfängliche Verfolgungsrichtung, und des Deformierens einer geschlossenen Kurve in eine Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung, bis eine Rippenrandkontur erhalten wird, wobei die Kantenpunkte als Begrenzungen verwendet werden.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung enthält das Verfahren das Berechnen eines Zentrumspunkts eines Querschnitts, der durch die Rippenrandkontur umschlossen ist, das Reinitialisieren der Verfolgungsrichtung von dem Zentrumspunkt und das Wiederholen der Schritte des Erfassens einer Mehrzahl von Kantenpunkten und Deformieren einer geschlossenen Kurve, bis ein Rippenende erreicht ist.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung wird die Verfolgungsrichtung aus einer Mehrzahl von vorhergehenden Verfolgungsrichtungen aus dem unvollständigen Rippenverfolgen initialisiert, wobei eine doppelexponentielle Glättung verwendet wird.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung verwendet eine doppelt exponentielle Glättung Gleichungen, die S_t = αy_t + (1 – α)(S_t-1 + b_t-1), und b_t = γ(S_t – S_t-1) + (1 – γ)b_t-1 entsprechen, über eine vorbestimmte Anzahl von vorhergehenden Iterationen des unvollständigen Rippenverfolgens, wobei S_t eine abgeschätzte Verfolgungsrichtung zu einer Iterationszeit t ist, b_t ein Glättungsterm ist, α und γ jeweils 0[α[1 und 0[γ[1 entsprechen und γ_t ein Rippenquerschnittszentrumspunkt zur Iterationszeit t ist.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung enthält das Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkten das Anwenden eines lenkbaren Filters auf ein Untergebiet des Bilds über die Verfolgungsrichtung, dessen Ausgabe eine Punktliste in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung ist, unter unterschiedlichen Richtungsausrichtungen bezüglich der Verfolgungsrichtung.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung enthält das Deformieren einer geschlossenen Kurve das Minimieren einer Energiefunktion einer Mehrzahl von Punkten, welche die geschlossene Kurve repräsentieren, wobei das Minimieren durch die Kantenpunkte begrenzt ist.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung enthält die Energiefunktion einen ersten Term, der eine Funktion des Abstands zwischen einem Punkt auf der geschlossenen Kurve und einem entsprechendem Kantenpunkt ist, einen zweiten Term, der eine Kraft darstellt, die bewirkt, dass die geschlossene Kurve nach außen expandiert, und einen dritten Term, der bewirkt, dass die Kurve sich zusammenzieht, wenn ein Kurvenpunkt über die Kantenpunkte hinaus vorangeschritten ist, und hilft, dass die Kurve expandiert, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung wird der erste Term durch ein Form dargestellt, die äquivalent ist zu
wobei α eine vorbestimmte Konstante ist,
Punkt auf der Kurve ist, die deformiert wird, ν_j+1 und ν_j-1 Kantenpunkte sind und l(V) die Länge der Kurve ist.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung stellt der zweite Term eine konstante auswärtsgerichtete Kraft dar.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung hat der dritte Term einen negativen Wert, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist, und sonst einen positiven Wert.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung wird eine Programmspeichereinrichtung vorgesehen, die durch einen Computer lesbar ist, die ein Programm von Anweisungen greifbar ausführt, das durch den Computer ausführbar ist, um die Verfahrensschritte zum Verfolgen von Rippenhinterseiten durchzuführen.
1 stellt Ergebnisse eines auf Verfolgung basierenden Algorithmus zum Extrahieren von individuellen Rippenzentrumslinien und -grenzen dar.
2 bildet Beispiele eines Spalts zwischen zwei Knochenstrukturen ab, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
3 stellt die Verfolgungsrichtungsberechnung zum Verfolgen einer Rippenhinterseite dar, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
4 stellt ein Beispiel von Kanten dar, die durch den Kantenerfasser erfasst werden, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
5 stellt eine erfasste Kante dar, die keine geschlossene Kurve ist, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
6(a)–(b) stellen dar, wie eine Rippenranddeformation durch die Kante begrenzt wird, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
7 stellt Verfolgungsergebnisproben eines Rippenverfolgungsverfahrens gemäß einer Ausführungsform der Erfindung dar.
8 ist ein Flussdiagramm eines Rippenhinterseitenverfolgungsalgorithmus gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
9 ist ein Blockdiagramm eines beispielhaften Computersystems zum Implementieren eines Rippenhinterseitenverfolgungsalgorithmus gemäß einer Ausführungsform der Erfindung.
Beispielhafte Ausführungsformen der Erfindung, wie sie hier beschrieben werden, enthalten im Allgemeinen Systeme und Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterseiten unter Verwendung eines kantenbasierten Ansatzes, wobei ausgegangen wird von dem Segmentationsergebnis aus dem Verfahren von Shen, et al. Entsprechend werden, während die Erfindung für verschiedenen Modifikationen und alternative Formen empfänglich ist, spezielle Ausführungsformen von ihr beispielhaft in den Zeichnungen gezeigt und werden hier im Einzelnen beschrieben. Es sollte jedoch verstanden werden, dass es keine Absicht gibt, die Erfindung auf die speziellen offenbarten Formen zu begrenzen, sondern dass im Gegenteil die Erfindung alle Modifikationen, Äquivalente und Alternativen einschließen soll, die in den Rahmen der Erfindung fallen.
Wie er hier verwendet wird, bezieht sich der Ausdruck „Bild" auf multidimensionale Daten, die aus diskreten Bildelementen zusammengesetzt sind (zum Beispiel Pixel für 2D-Bilder und Voxel für 3D-Bilder). Das Bild kann beispielsweise ein medizinisches Bild eines Subjekts sein, das durch Computertomographie erzeugt wird, durch magnetische Resonanzbildgebung, Ultra schall oder jedes andere medizinische Bildgebungssystem, das den Fachleuten bekannt ist. Das Bild kann auch aus nicht-medizinischen Zusammenhängen vorgesehen werden, wie zum Beispiel Fernerfassungssystemen, Elektronenmikroskopie usw. Wenngleich ein Bild als eine Funktion von R³ bis R angesehen werden kann, sind die Verfahren der Erfindung nicht auf solche Bilder eingeschränkt und können auf Bilder von jeder Dimension angewendet werden, wie zum Beispiel ein 2D-Bild oder ein 3D-Volumen. Für ein zwei- oder dreidimensionales Bild ist das Gebiet des Bilds typischerweise ein zwei- oder dreidimensionaler rechteckiger Array, wobei jeder Pixel oder Voxel unter Bezug auf einen Satz von 2 oder 3 wechselweise senkrechten Achsen adressiert werden kann. Die Ausdrücke „digital" und „digitalisiert", wie sie hier verwendet werden, beziehen sich nach Bedarf auf Bilder oder Volumen in einem digitalen oder digitalisierten Format, das über ein digitales Ermittlungssystem erhalten wird oder über Umwandlung von einem analogen Bild.
Das Verfahren von Shen et al basiert auf einer rekursiven Verfolgung. Bei jedem Verfolgungsschritt findet das Verfahren zuerst die Randorte des Rippenquerschnitts in 20 Richtungen innerhalb der Querschnittsebene. Dann wird die Kovarianzmadrix der Randrichtungen gebildet und eine Eigenanalyse wird mit dieser Matrix durchgeführt. Die Verfolgungsrichtung ist der Eigenvektor, der zu dem kleinsten Eigenwert gehört. Wenn in Richtung auf die Hinterseite verfolgt wird, setzt sich diese Routine fort, bis die gewonnenen Randorte nicht mehr eine Formbedingung erfüllen und daher für die Eigenanalyse nicht verwendet werden können. Dies tritt auf, wenn eine andere knochenartigen Struktur in der Ebene vorhanden ist und sie nahe an der verfolgten Rippe ist oder damit verbunden ist. Ein Beispiel ist in 2 gezeigt. Das linke Bild von 2 stellt die Intensität des Verfolgungsorts des Rippenquerschnitts dar, während das rechte Bild die Gradientenkarte darstellt. Wirbel und Rippen sind durch die Pfeile angegeben. In beiden Bildern gibt es einen Spalt zwischen den zwei Knochenstrukturen. Es ist jedoch unmöglich, einen Schwellenwert zum Erfassen eines solchen Spalts zu definieren.
Ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung setzt die Verfolgung von diesem Punkt fort. Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung wird ein 2D-Kantenerfasser statt der Gradientenkarte zum Auffinden der Rippenränder verwendet. Das neue Zentrum des Rippenquerschnitts wird berechnet und die Verfolgung setzt sich von dem neuen Zentrum zur nächs ten Ebenen fort. Die Verfolgung stoppt, wenn der Rippenquerschnitt ausreichend klein ist, was bedeutet, dass das Rippenende erreicht worden ist.
8 ist ein Flussdiagramm eines kantenbasierenden Rippenverfolgungsverfahrens gemäß einer Ausführungsform der Erfindung. Die Eingaben für ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung enthalten das Verfolgungsergebnis des Verfahrens von Shen et al zusammen mit dem Bild, aus dem die Rippenverfolgung extrahiert wurde. In einem ersten Schritt 81 wird die Verfolgungsrichtung berechnet. Anders als bei dem in Shen et al verwendeten Verfolgungsverfahren ist die Verfolgungsrichtung für eine Rippenhinterseite eine Konstante, das heißt sie wird nicht für jede Ebene neu berechnet. Dies liegt daran, dass die Rippenquerschnittsebenen bereits nahe an dem Wirbel sind und es keine merklichen Abweichungen von dem Rippenweg in dieser Richtung gibt. Diese Richtung wird basierend auf den vorhergehenden Verfolgungsrichtungen bestimmt.
Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung werden die vorhergehenden zehn Richtungen mit einer doppelt exponentiellen Glättung zum Initialisieren der neuen Verfolgungsrichtung verwendet. Eine doppelt exponentielle Glättung ist ein Schema zum Erzeugen einer geglätteten Zeitserie. Anders als Bewegungsmittel wird neueren Beobachtungen relativ mehr Gewicht beim Vorhersagen als älteren Beobachtungen gegeben. Die zwei zu der doppelt exponentiellen Glättung gehörigen Gleichungen sind: St = αyt + (1 – α)(St-1 + bt-1) 0 ≤ α ≤ 1, Bt = γ(St – St-1) + (1 – γ)bt-1 0 ≤ γ ≤ 1,wobei y_t für eine neue Beobachtung zum Zeitpunkt t steht, S_t und b_t Schätzwerte sind. Die erste Gleichung aktualisiert den neuen Schätzwert S_t basierend auf den Trend der vorherigen Periode und die zweite Gleichung glättet den Trend (b_t). In einem Verfahren gemäß einer Ausführungsform der Erfindung wird S_t aus zehn vorhergehenden Verfolgungsrichtungen berechnet. 3 stellt die Verfolgungsrichtungsberechnung zum Verfolgen einer Rippenhinterseite dar, wobei das höhere Gewicht, das den neueren Beobachtungen gegeben ist, die Kurve am Ende des vorhergehenden Datensatzes berücksichtigen kann. Die Verfolgungsrichtung für jede Iteration wird durch y₀ angegeben, wobei der abschließende Pfeil die neue Richtung ist.
In einem nächsten Schritt 82 werden Kanten erfasst. Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung wird ein 2D-Kantenerfasser basierend auf einer lokalen Energiemessung verwendet. Eine Kante ist ein Rand hoher Intensität, während ein Rand niedriger Intensität als ein Tal bezeichnet wird. Kanten und Täler werden auf jeder Rippenquerschnittsebene unter Verwendung eines lenkbaren Filters erfasst. Die Idee ist, die Filter von beliebigen Ausrichtungen aus linearen Kombinationen von Basisfiltern zu synthetisieren, was es einem erlaubt, adaptiv einen Filter in jede beliebige Richtung zu lenken.
Jede 2D-Funktion f(x, y), die als eine Fourier-Serie im Winkel, zum Beispiel
oder in einer Polynomexpansion in x und y mal einem radialsymmetrischen Fenster ausgedrückt werden kann, kann als lenkbarer Filter ausgedrückt werden:
Die Interpolationsfunktionen k_j(θ) sind Lösungen von
Wenn f(x, y) = W(r)P_N(x, y), wobei W(r) eine beliebige fenstergebende Funktion ist und P_N(x, y) ein Polynom N^ter-Ordnung ist, dessen Koeffizienten von r abhängen können, dann kann f(x, y) gedreht in einen beliebigen Winkel durch Linearkombinationen von 2N + 1 Basisfunktionen synthetisiert werden. Ableitungen von Gauss-Funktionen von allen Ordnungen sind lenkbar, da jede ein Polynom mal eine radialsymmetrische Fensterfunktion ist. Wenn eine kontinuierliche Funktion lenkbar ist, ist eine abgetastete Version von ihr auf exakt die gleiche Weise lenkbar aufgrund dessen, dass die Ordnung der räumlichen Abtastung und Lenkung austauschbar sind. Die gewichtete Summe eines Satzes von räumlich abgetasteten Basisfunktionen ist äquivalent zu der räumlichen Abtastung der gewichteten Summe von kontinuierlichen Basisfunktionen. Somit kann man einen digitalen lenkbaren Filter durch Abtasten eines kontinuierlichen Filters erhalten.
Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung ist die Eingabe in den lenkbaren Filter ein M%M Untersatz einer Ebene des ursprünglichen Bilds, das senkrecht zur Verfolgungsrichtung ist. Ein beispielhafter, nicht bekränkender Wert für M ist 51. Filterparameter werden berechnet einschließlich Interpolationsfunktionen k_j(θ), Gausschen Ableitungen zweiter Ordnung und Polynomfits für ihre Hilbert-Transformierten G₂ und H₂, und trennbare Basissätze für sowohl G₂ als auch H₂, das heißt G_2a, G_2b, G_2c und H_2a, H_2b H_2c und H_2d. Das Eingabebild ist mit dem Gausschen Ableitungskernel zweiter Ordnung und dem Kernel seiner Hilbert-Transformierten gefaltet, die als ein Bandpassfilter wirken, wonach die Richtung und die Stärke der dominierenden Ausrichtung von jedem Pixel in dem eingegebenen Satz erhalten werden. Bei gegebener Richtung und Stärke jedes Pixels können Ränder, dunkle Linien (die Tälern entsprechen) und helle Linen (die Kanten entsprechen) erfasst werden. Beispielhaft ist ein nicht beschränkender Pseudo-Code zum Durchführen dieser Erfassung für jeden Pixel, der mit (i, j) bezeichnet ist, wie folgt.
Endgültige Kanten und Täler werden erhalten, indem Schwellenwerte auf Light_line und Dark_line angewendet werden. Die Filterausgabe ist eine Liste von Punkten, die als eine Funktion der Ausrichtung dargestellt wird. Es ist anzumerken, dass die Ausgabe des lenkbaren Filters nicht unbedingt ein Rippenrand ist sondern stattdessen eine Angabe dafür, wo der Rippenrand sein könnte.
4 zeigt ein Beispiel von Kanten, die durch den Kantenerfasser erfasst werden. Das linke Bild der Figur zeigt die Verfolgungsebene des Rippenquerschnitts. Das mittlere Bild stellt Kanten dar, die durch den 2D-lenkbaren Filter erfasst werden, und das rechte Bild stellt die Kanten nach dem Filtern dar. Die anfänglich erfassten Kanten werden weiter basierend auf der Kenntnis der ungefähren Rippenposition gefiltert.
Die somit erfassten Kantenränder werden durch eine geschlossene Kurve dargestellt, die bei Schritt 83 deformiert wird. Der Zweck des Erfassens der Kanten ist es, dazu beizutragen, die wahren Rippenränder zu finden. Idealerweise können die Kantenpositionen als das gewünschte Ergebnis genommen werden. In einigen Fällen ist jedoch die erfasste Kante keine geschlossene Kurve, wie es in 5 gezeigt ist. Um sicher zu stellen, dass die Rippenrandpositionen nicht in den Wirbel oder andere benachbarte Knochenstrukturen übergehen und um auch eine gleichmäßige Kontur zu erhalten, wird der Rand aus einer einfachen geschlossenen Kurve bestimmt, der es erlaubt wird, sich von einem kleinen Kreis in Richtung auf die Kante zu defor mieren. Die Kurve ist in einer Ebene senkrecht zur Verfolgungsrichtung definiert und wird durch einen Satz von Punkten dargestellt. Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung gibt es einen Kurvenpunkt für jede Richtung. Die Glattheit des sich bewegenden Rands wird durch einen Glättungsterm in eine Energiefunktion der Deformation kontrolliert.
Die Randorte werden entlang 20 Richtungen gesucht. Der zu lokalisierende Rippenrand wird durch den Satz von Randpunkten V = {ν₀, ..., ν₁₉}, der durch den lenkbaren Filter ausgegeben wird, dargestellt, wobei ν_i = (x_i, y_i), die 2D Koordinaten von jedem Randpunkt, sind. Die Energiefunktion wird definiert als
wobei α, β und γ vorbestimmte Konstanten sind und N die Anzahl von Rändern ist, die entsprechend einer Ausführungsform der Erfindung 20 ist. Der erste Term auf der rechten Seite der Energiegleichung ist eine Kontinuitätsenergie, definiert als:
wobei
ein Punkt auf der Kurve, die deformiert wird, ist, ν_j+1 und ν_j-1 Kantenpunkte sind und l(V) die Länge der Kurve ist. Die Kontinuitätsenergie, die oben definiert ist, drückt die deformierbare Kontur nach außen in einen Kreis. Diese Energiefunktion wird als ein Glättungsterm verwendet. Der nächste Term in der Energie, E_bal, ist eine konstante Ballonkraft, die die Kontur drückt, dass sie expandiert. Der letzte Term in der Energie, E_ext, ist eine externe Energie, die als ein Begrenzungsterm wirkt. Dieser Term drückt die Kurve zur Kontraktion, wenn ein Kurvenpunkt über die Kantenpunkte hinaus vorangeschritten ist, und hilft, dass die Kurve expandiert, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist. Eine beispielhafte, nicht beschränkende externe Energie ist definiert als:
wobei ridge(j) = 0 angibt, dass ein Kurvenpunkt ν_j innerhalb des Gebiets ist, das durch die Kantenpunkte umschlossen ist. Die Definition der externen Energie bedeutet, dass die Konturdeformation durch die auf dieser Ebene erfassten Kante begrenzt wird. Alle drei Energieterme werden durch Normalisieren von jedem Energieterm und Justieren des entsprechenden Gewichts eingestellt.
6(a)–(b) stellen dar, wie eine Rippenranddeformation durch die Kante begrenzt wird, gemäß einer Ausführungsform der Erfindung. Die Kontur wird durch Minimieren der Energiefunktion deformiert, bis ein lokales Energieminimum erreicht ist, wobei das Ergebnis eine Kantenrandkontur ist. Der kleine Kreis 61 in 6(a) ist die anfängliche Front (Rand), wenn die Deformation beginnt, wobei die Kante 62 durch den lenkbaren Filter erfasst worden ist. Es ist anzumerken, dass der kleine in 6(a) dargestellte Kreis beispielhaft ist und jede einfache, geschlossene Kurve in einer Ebene um den Verfolgungsrichtungs-Vektor verwendet werden kann, um die Kontur zu initialisieren. Zu irgendeiner Zeit während der Deformation enthält die Front 20 Punkte 63, d.h. einen Punkt für jede Richtung/Rand. Für eine beliebige Iteration zeigt 6(b) drei Randpositionen ν_i-1, ν_i, ν_i+1 65 der gegenwärtigen deformierbaren Kontur, und die nächste Position 64, die für einen von diesen Punkten ν_i zu ermitteln ist. Zu jeder Iteration bewegt sich jeder Randpunkt auf der Front entweder vorwärts oder rückwärts entlang seiner Richtung, wie es durch 6(b) angegeben ist. Seine Bewegungsrichtung (vorwärts oder rückwärts) wird durch die Evaluation des Energiefunktionals, wie es oben definiert ist, bestimmt. Die Kontur bewegt sich immer in einer Richtung, welche die Energie verringert. Wenn es keine Begrenzungen gibt, bewegt sich die Front nach außen, da der Kreis konstant aufgrund der Ballonkraft wachsen wird. Mit den Begrenzungen, wie zum Beispiel dem Kontinuitätsenergieterm, der die Front glättet, und dem externen Energieterm, sollte der abschließende Rippenrand nahe bei der erfassten Kante sein. Wenn der anfängliche Rand weit entfernt von der Kante ist, sind diese Begrenzungskräfte die Hauptkräfte, welche die Deformation treiben. Nachdem die Kontur deformiert ist, d.h. das Energiefunktional ein Minimum erreicht hat, wird ein Rippenquerschnittszentrum in Schritt 84 aus den 20 Randpositionen berechnet.
Die nächste Querschnittsebene wird bei Schritt 85 aus diesem neuen Zentrum zusammen durch Vorwärtsbewegen einen Schritt in der Verfolgungsrichtung, wie es vorher beschrieben ist, bestimmt. Eine beispielhafte, nicht begrenzende Schrittgröße ist 1 mm. Die Iterationen von Schritten 82 bis 85 werden bei Schritt 86 wiederholt, bis der Rippenquerschnitt ausreichend klein ist, was auftritt, wenn ein Rippenende erreicht ist.
Eine Verfolgungsprozedur gemäß einer Ausführungsform der Erfindung kann Rippenhinterseiten verfolgen. Beispiele für Verfolgungsergebnisse für drei Beispiele sind in 7 gezeigt, wobei neue Randpositionen durch die Pfeile angegeben sind.
Es ist zu verstehen, dass die vorliegende Erfindung in verschiedenen Formen von Hardware, Software, Firmware, Prozessen für spezielle Zwecke oder einer Kombination davon implementiert werden kann. In einer Ausführungsform kann die vorliegende Erfindung in Software als ein Anwendungsprogramm implementiert werden, das fassbar auf einer computerlesbaren Speichereinrichtung ausgeführt wird. Das Anwendungsprogramm kann in eine Maschine geladen werden und durch eine Maschine ausgeführt werden, die eine geeignete Architektur enthält.
9 ist ein Blockdiagramm eines beispielhaften Computersystems zum Implementieren eines Rippenhinterseiten-Verfolgungsverfahrens gemäß einer Ausführungsform der Erfindung. Bezugnehmend nunmehr auf 9 kann ein Computersystem 91 zum Implementieren der vorliegenden Erfindung unter anderem eine Central Processing Unit (CPU) 92, einen Speicher 93 und eine Eingabe/Ausgabeschnittstelle 94 (I/O) enthalten. Das Computersystem 91 ist im Allgemeinen über die I/O-Schnittstelle 94 mit einem Display 95 und verschiedenen Eingabeeinrichtungen 96 verbunden, wie zum Beispiel einer Maus und einer Tastatur. Die Hilfskreise können Kreise, wie zum Beispiel einen Cache, Stromzufuhren, Taktungskreise und einen Kommunikationsbus enthalten. Der Speicher 93 kann einen Random Access Memory (RAM), Read Only Memory (ROM), Disk Drive, Tape Drive usw. oder Kombinationen davon enthalten. Die vorliegende Erfindung kann als eine Routine 97 implementiert werden, die im Speicher 93 gespeichert wird und durch die CPU 92 ausgeführt wird, um das Signal von der Signalquelle 98 zu verarbeiten. Als solches ist das Computersystem 91 ein Computersystem für allgemeine Zwecke, das zu einem Computersystem für spezielle Zwecke wird, wenn die Routine 97 der vorliegenden Erfindung ausgeführt wird.
Das Computersystem 91 enthält auch ein Betriebssystem und Mikroanweisungscode. Die verschiedenen Prozesse und Funktionen, die hier beschrieben werden, können entweder ein Teil des Mikroanweisungscodes oder ein Teil des Anwendungsprogramms sein (oder eine Kombination davon), welches über das Betriebssystem ausgeführt wird. Zusätzlich können verschiedene andere Peripheriegeräte mit der Computerplattform verbunden sein, wie zum Beispiel eine zusätzliche Datenspeichereinrichtung und eine Druckeinrichtung.
Es ist weiter zu verstehen, dass die tatsächlichen Verbindungen zwischen den Systemkomponenten (oder den Verfahrensschritten) in Abhängigkeit von der Art und Weise, in der die vorliegende Erfindung programmiert ist, sich unterscheiden können, da einige der Bauteilsystemkomponenten und Verfahrensschritte, die in den beigefügten Figuren dargestellt sind, als Software implementiert sein können. Mit den Lehren der vorliegenden Erfindung, die hier vorgesehen werden, kann ein Fachmann diese und ähnliche Implementierungen oder Konfigurationen der vorliegenden Erfindung ausführen.
Während die vorliegende Erfindung im Einzelnen unter Bezugnahme auf eine bevorzugte Ausführungsform beschrieben wurde, werden die Fachleute erkennen, das verschiedene Modifikationen und Ersetzungen daran vorgenommen werden können, ohne vom Rahmen der Erfindung abzuweichen, wie er in den beigefügten Ansprüchen dargestellt ist.

Claims

Ein Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterseiten, enthaltend die Schritte: Vorsehen einer unvollständigen Rippenverfolgung, die eine digitalisierte 3-dimensionale Darstellung einer Rippe und ein digitales Bild enthält, von dem die Rippenverfolgung extrahiert wurde, wobei das Bild eine Mehrzahl von Intensitäten enthält, die einem Gebiet von Punkten auf einem 3-dimensionalen Gitter entsprechen; Initialisieren einer Verfolgungsrichtung für einen Rest von der Rippe; Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkten in einem Untervolumen des digitalen Bilds um die anfängliche Verfolgungsrichtung; und Deformieren einer geschlossenen Kurve in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung, bis eine Rippenrandkontur erhalten wird, wobei die Kantenpunkte als Begrenzungen verwendet werden.
Verfahren nach Anspruch 1, weiter enthaltend das Berechnen eines Zentrumspunkts eines Querschnitts, der durch die Rippenrandkontur umschlossen ist, Reinitialisieren der Verfolgungsrichtung von dem Zentrumspunkt und Wiederholen der Schritte des Erfassens einer Mehrzahl von Kantenpunkten und Deformieren einer geschlossenen Kurve, bis ein Rippenende erreicht ist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, wobei die Verfolgungsrichtung aus einer Mehrzahl von vorhergehenden Verfolgungsrichtungen aus der unvollständigen Rippenverfolgung initialisiert wird unter Verwendung von einer doppelt exponentiellen Glättung.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei die doppelte exponentielle Glättung Gleichungen verwendet, die äquivalent sind zu St = αyt + (1 – α)(St-1 + bt-1),und bt = γ(St – St-1) + (1 – γ)bt-1, über eine vorbestimmte Anzahl von vorhergehenden Iterationen der unvollständigen Rippenverfolgung, wobei S_t eine abgeschätzte Verfolgungsrichtung zur Iterationszeit t ist, b_t ein Glättungsterm ist, α und γ0[α[1 und 0[γ[1 jeweils erfüllen und γ_t ein Rippenquerschnittszentrumspunkt zur Iterationszeit t ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei das Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkten das Verwenden eines lenkbaren Filters auf einem Untergebiet des Bilds um die Verfolgungsrichtung enthält, dessen Ausgabe eine Punktliste in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung bei unterschiedlichen Richtungsausrichtungen bezüglich der Verfolgungsrichtung ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, wobei das Deformieren einer geschlossenen Kurve das Minimieren einer Energiefunktion einer Mehrzahl von Punkten enthält, die die geschlossene Kurve darstellen, wobei die Minimierung durch die Kantenpunkte begrenzt ist.
Verfahren nach Anspruch 6, wobei die Energiefunktion einen ersten Term enthält, der eine Funktion des Abstands zwischen einem Punkt auf der geschlossenen Kurve und einem entsprechenden Kantenpunkt ist, einen zweiten Term enthält, der eine Kraft darstellt, die bewirkt, dass die geschlossene Kurve nach außen expandiert, und einen dritten Term enthält, der bewirkt, dass die Kurve kontraktiert, wenn ein Kurvenpunkt über die Kantenpunkte hinaus vorangeschritten ist, und dazu beiträgt, dass die Kurve expandiert, wenn eine Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei der erste Term durch eine Form dargestellt wird, die äquivalent ist zu
wobei α eine vorbestimmte Konstante ist,
ein Punkt auf der Kurve, die deformiert wird, ist, ν_j+1 und ν_j-1 Kantenpunkte sind und l(V) die Länge der Kurve ist.
Verfahren nach Anspruch 7 oder 8, wobei der zweite Term eine konstante Auswärtskraft darstellt.
Verfahren nach Anspruch 7, 8 und 9, wobei der dritte Term einen negativen Wert hat, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist, und sonst einen positiven Wert hat.
Verfahren zum Verfolgen von Rippenhinterseiten, enthaltend die Schritte: Vorsehen eines digitalen Bilds, das eine Mehrzahl von Intensitäten enthält, die in einem Gebiet von Punkten auf einem 3-dimensionalen Gitter entsprechen; Lokalisieren eines Ausgangspunkts für einen hinteren Bereich einer Rippe in dem digitalen Bild; Initialisieren einer Verfolgungsrichtung für den hinteren Bereich der Rippe; Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkten durch Falten eines Untergebiets einer Bildscheibe senkrecht zu der Verfolgungsrichtung mit richtbaren Basisfunktionen zum Erhalten einer Richtung und einer Stärke einer vorherrschenden Ausrichtung für jeden Punkt in dem Untergebiet; und Minimieren einer Energiefunktion einer Mehrzahl von Punkten, die eine geschlossene Kurve darstellen, in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung, bis eine Rippenrandkontur erhalten ist, wobei die Minimierung durch die Kantenpunkte begrenzt ist.
Verfahren nach Anspruch 11, wobei das Lokalisieren eines Ausgangspunkts das Vorsehen einer unvollständigen Rippenverfolgung enthält, die eine digitalisierte 3-dimensionale Darstellung einer Rippe enthält, wobei der Ausgangspunkt dem Endpunkt der unvollständigen Rippenverfolgung entspricht.
Verfahren nach Anspruch 11 oder 12, wobei die richtbaren Basisfunktionen die trennbaren Basisfunktionen einer Gauß'schen Ableitung zweiter Ordnung und ihrer Hilbert Transformierten sind, und weiter enthaltend das Bestimmen eines Winkels für jeden Punkt und das Multiplizieren der Stärke jedes Punkts mit einer Funktion des Winkels, wobei bestimmt wird, ob der Punkt als ein Rand, eine Kante oder ein Tal angesehen werden kann.
Durch einen Computer lesbare Programmspeichereinrichtung, die greifbar ein Programm von Anweisungen ausführt, das durch den Computer ausführbar ist zum Durchführen der Verfahrensschritte zum Verfolgen von Rippenhinterseiten, wobei das Verfahren die Schritte enthält: Vorsehen einer unvollständigen Rippenverfolgung, die eine digitalisierte 3-dimensionale Darstellung einer Rippe und ein digitales Bild, aus dem die Rippenverfolgung extrahiert wurde, enthält, wobei das Bild eine Mehrzahl von Intensitäten enthält, die einem Gebiet von Punkten auf einem 3-dimensionalen Gitter entsprechen; Initialisieren einer Verfolgungsrichtung für einen Rest der Rippe; Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkten in einem Untervolumen des digitalen Bilds um die anfängliche Verfolgungsrichtung; und Deformieren einer geschlossenen Kurve in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung, bis eine Rippenrandkontur erhalten ist, wobei die Rippenkantenpunkte als Begrenzungen verwendet werden.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 14, wobei das Verfahren weiter das Berechnen eines Zentrumspunkts eines Querschnitts enthält, der durch die Rippenrandkontur umschlossen ist, das Reinitialisieren der Verfolgungsrichtung von dem Zentrumspunkt und das Wiederholen der Schritte des Erfassens einer Mehrzahl von Kantenpunkten und Deformieren einer geschlossenen Kurve, bis ein Rippenende erreicht ist.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 14 oder 15, wobei die Verfolgungsrichtung aus einer Mehrzahl von vorhergehenden Verfolgungsrichtungen aus der unvollständigen Rippenverfolgung initialisiert wird, wobei eine doppelte exponentielle Glättung verwendet wird.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 16, wobei die doppelt exponentielle Glättung Gleichungen verwendet, die äquivalent sind zu: St = αyt + (1 – α)(St-1 + bt-1),und bt = γ(St – St-1) + (1 – γ)bt-1, über eine vorbestimmte Anzahl von vorhergehenden Iterationen des unvollständigen Rippenverfolgens, wobei S_t eine abgeschätzte Verfolgungsrichtung zur Iterationszeit t ist, b_t ein Glättungsterm ist, α und γ0[α[1 und 0[γ[1 jeweils genügen und γ_t ein Rippenquerschnittszentrumspunkt zur Iterationszeit t ist.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach einem der Ansprüche 14 bis 17, wobei das Erfassen einer Mehrzahl von Kantenpunkte die Verwendung eines lenkbaren Filters auf einem Untergebiet des Bilds um die Verfolgungsrichtung enthält, dessen Ausgabe eine Liste von Punkten in einer Ebene senkrecht zu der Verfolgungsrichtung bei unterschiedlichen Richtungsausrichtungen bezüglich der Verfolgungsrichtung ist.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach einem der Ansprüche 14 bis 18, wobei das Deformieren einer geschlossenen Kurve das Minimieren einer Energiefunktion einer Mehrzahl von Punkten, die die geschlossene Kurve darstellen, enthält, wobei das Minimieren durch die Kantenpunkte begrenzt wird.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 19, wobei die Energiefunktion einen ersten Term enthält, der eine Funktion des Abstands zwischen einem Punkt auf der geschlossenen Kurve und einem entsprechenden Kantenpunkt ist, einen zweiten Term enthält, der eine Kraft darstellt, die bewirkt, dass die geschlossene Kurve nach außen expandiert, und einen dritten Term enthält, der bewirkt, dass die Kurve kontraktiert, wenn ein Kurvenpunkt über die Kantenpunkte hinaus vorangeschritten ist, und dazu beiträgt, dass die Kurve expandiert, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 20, wobei der erste Term dargestellt wird durch eine Form äquivalent zu
wobei α eine vorbestimmte Konstante ist,
ein Punkt auf der Kurve, die deformiert wird, ist, ν_j+t und ν_j-t Kantenpunkte sind und l(V) die Länge der Kurve ist.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 20 oder 21, wobei der zweite Term eine konstante Auswärtskraft darstellt.
Computerlesbare Programmspeichereinrichtung nach Anspruch 20, 21 oder 22, wobei der dritte Term einen negativen Wert hat, wenn ein Kurvenpunkt innerhalb der Kantenpunkte ist, und sonst einen positiven Wert hat.