CN1819575A

CN1819575A - 交织ofdma上行链路系统的载波频偏校正方法

Info

Publication number: CN1819575A
Application number: CN 200610011554
Authority: CN
Inventors: 范达; 曹志刚; 樊平毅
Original assignee: Tsinghua University
Current assignee: Tsinghua University
Priority date: 2006-03-24
Filing date: 2006-03-24
Publication date: 2006-08-16
Anticipated expiration: 2026-03-24
Also published as: CN100484117C

Abstract

本发明属于宽带无线接入领域，其特征在于，接收端在收到OFDM信号后，经过去循环前缀得到r(n)信号，再经过串/并存储转换器对剩余的N点采样信号进行数据重组，从而得到一个OFDM符号块的矩阵表达式Y的形式，然后输入到频偏校正电路，根据频偏估计电路得到的所有用户频偏的估计值{Δf^(m)}

，对每个用户分别进行频偏补偿，得到补偿后的信号_FC，接着，依次经过串/并变换、按照每个子信道上的子载波数作为点数的FFT变换，再经过迫零(ZF)均衡接收器得到每个用户原始符号的估计值^(m)。本发明先对所有用户进行联合频偏补偿，再进一步对每个用户的频偏分别进行补偿，因而对用户频偏值的大小不敏感，在用户较多时，仍有较好的性能。

Description

交织OFDMA上行链路系统的载波频偏校正方法

技术领域

本发明属于宽带无线接入技术领域，特别涉及一种采用交织(Interleaved)子载波分配方法的正交频分复用多址(Orthogonal Frequency Division Multiplexing Access，OFDMA)上行链路系统的载波频偏补偿方法。

背景技术

近年来，在宽带无线通信系统中都采用了OFDM或OFDMA技术。OFDM/OFDMA以其抗多径衰落能力强，频谱利用率高等特点，已经成为下一代移动通信中最具竞争力的传输技术之一。

OFDMA是指在多用户OFDM系统中，通过为每个用户分配不同的子载波，从而得到的一种新的多址方式。在OFDMA系统中，用户占用不同的子载波，因此多个用户可以同时进行数据传输；并且由于各个子载波之间相互交叠，不需要为每个用户加入保护频带，从而提高了频谱利用率；同时子载波的正交性可以防止载波间干扰(inter-carrier interference，ICI)以及用户间干扰(multiuser interference，MUI)。因此，作为一种灵活的多址方式，并且随着WiMAX技术的广泛推广，OFDMA必将成为未来宽带无线移动通信系统中最具竞争力的空中接口标准。

但是OFDMA系统对载波频偏(Carrier Frequency Offset，CFO)很敏感，CFO不仅会导致本用户信号幅度的衰减，而且还会引起本用户子载波间的自干扰(sefl-ICI)，同时还存在由其他用户的频率偏移所引起的用户间干扰。为了获得理想的性能，用户与基站之间的载波必须保持同步，例如：在IEEE 802.16d/e协议中就要求载波频率的偏差应小于子载波间隔的2％。因此载波频率同步是影响OFDMA应用前景的关键问题。

载波频率同步的两个主要内容是：CFO估计和CFO校正。目前，抵消多用户上行链路接收机频率偏差影响的方法主要有两种：补偿法和反馈法。前者是由基站采用信号处理的方法对接收到的信号进行频率偏差的补偿，该方法不需要控制信道的帮助。后者是基站把估计到的频率偏差通过下行链路控制信道反馈给移动用户，由移动端自动调整其发射信号的频率。然而在移动通信中，多普勒频率具有时变性，因此信号在传输过程中的时延会导致用户端接收到的反馈信息失效，而且这样也会导致下行链路的额外负担。所以由基站直接进行频偏补偿的方法是OFDMA系统的研究重点。由于基站需要了解每个用户占用的子载波情况，因此补偿法与子载波的分配方案是紧密联系的。

在OFDMA系统中，主要有两种子载波分配方法：块(Block)方法和交织(Interleaved)方法，如图1所示。前者是将整个频带划分为若干个连续的子频带，每个用户占据一个或几个子频带；而后者分配给每个用户的子载波是交织分布在整个频带内的。块分配方法的频率分集度不高，可能会造成某个用户的子载波完全处于深衰落之中；而且用户之间需要子载波保护间隔，这样就会导致接入用户的个数减少。交织分配方法可以提供最大的频率分集和信道分集，但是由于不同用户的子载波相距较近，因此该方法容易引入用户间干扰。

目前还没有可行的方法解决交织OFDMA上行链路系统的载波频偏校正问题，而通过构造接收机的信号结构，可以实现由基站直接补偿用户频偏的目的。

发明内容

提出本发明的目的是为了解决交织OFDMA上行链路系统的载波频率同步问题，首先分析了交织OFDMA上行链路系统的信号结构，在此基础上提出了一种由基站直接进行频偏补偿的方法，即伪逆法。本发明的特征在于，该方法是在一块接收端集成电路芯片上实现的，依次会有以下的步骤：

步骤1：接收端用一个移位寄存器对接收到的OFDM信号去CP，即去循环前缀，得到一个OFDMA符号，用r(n)表示，

r (n) = Σ_{m = 1}^{M} r^{(m)} (n),

r^(m)(n)表示第m个用户的OFDM符号，n＝0，1，…，N-1表示时域采样序号，N为系统的子载波个数，所述r^(m)(n)用下式表示：

r^{(m)} (n) = Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{j \frac{2 π}{N} (pQ + q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n}

= e^{j \frac{2 π}{N} (q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n} Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{j \frac{2 π}{P} pn}

其中，q^(m)为第m个用户所占用的子信道序号，q^(m)∈{0，1，…，Q-1}；

Q为子信道数，满足M≤Q；

M为用户个数；

P＝N/Q，为每个子信道上的个子载波个数；

ε^(m)∈(-0.5，0.5)为第m个用户的归一化频偏：

ϵ^{(m)} = \frac{{Δf}^{(m)}}{Δf};

Δf^(m)表示用户m的频偏，可以通过频偏估计电路得到，为设定值；

{Δf^(m)}_m＝0 ^M则表示所有用户的频偏；

Δf表示子载波间隔；

H_p ^(m)表示用户m在第(pQ+q^(m))个子载波上的信道频率响应，其表达式为：

H_{p}^{(m)} = Σ_{l = 1}^{L^{(m)}} α_{l}^{(m)} e^{- j 2 π (q^{(m)} + pQ) Δf τ_{l}^{(m)}};

其中，α_l ^(m)和τ_l ^(m)分别为第l条路径的复增益和时间延迟，L^(m)为总的路径数；

S_p ^(m)为第m个用户的第p个调制符号；

步骤2：把步骤1得到的r(n)通过一个串/并存储转换器，对剩余的N点采样信号进行数据重组，得到一个OFDM符号块的矩阵表达式Y，Y＝A+Z＝VS+Z；

其中，Z为Q×P维的加性高斯白噪声矩阵，

在上式中，⊙表示点积运算，S＝U⊙(BF_P)；

U = {[\begin{matrix} u^{(1)} \\ u^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ u^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P} B = {[\begin{matrix} b^{(1)} \\ b^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P}

V＝[v⁽¹⁾，v⁽²⁾，…，v^(M)]为范德蒙矩阵，其结构为：

θ^{(m)} = \frac{(q^{(m)} + ϵ^{(m)})}{Q}

v^(m)、u^(m)、b^(m)分别定义为：

v^{(m)} = {[\begin{matrix} 1 & e^{j 2 π θ^{(m)}} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (Q - 1) θ^{(m)}} \end{matrix}]}^{T}

u^{(m)} = [\begin{matrix} 1 & e^{j 2 π θ^{(m)} / P} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (P - 1) θ^{(m)} / P} \end{matrix}]

b^{(m)} = [\begin{matrix} H_{1}^{(m)} S_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} S_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{m} S_{P}^{(m)} \end{matrix}]

其中，(·)^T表示转置运算；

F_P为P×P维的IFFT矩阵：

步骤3：用一个频偏校正电路依次按以下步骤对每个用户的信号进行频偏补偿：

步骤3.1：用一个奇异值分解伪逆求解电路求矩阵的伪逆其中

为v的估计值；

步骤3.2：用一个乘法器对接收到的信号矩阵Y左乘

得到S的估计值：

\hat{S} = {\hat{V}}^{+} Y;

步骤3.3：为M个用户建立M个复指数运算电路，每一个复指数运算电路的输入为p，Q，

经过运算得到

的共轭矩阵

其中

为U的估计值，(·)^*表示共轭运算；

步骤3.4：用M个乘法器分别对与

中的每一项进行乘法运算，得到频偏补偿之后的信号：

步骤4：对每一个用户的信号分别进行串/并变换，再进行P点的FFT变换就可以得到B的估计值：

\hat{B} = {\hat{S}}_{FC} F_{P}^{H}

其中F_P ^H为户点的FFT矩阵，(·)^H表示共轭转置

步骤5：按下式用一个除法器求出每个用户原始符号的估计值：

{\hat{x}}^{(m)} = {\hat{b}}^{(m)} D_{P}^{- 1} (h^{(m)})

其中^(m)为的第m行，

该D_P(h^(m))为h^(m)的元素所组成的P×P维对角矩阵，

h^{(m)} = {[\begin{matrix} H_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{(m)} \end{matrix}]}^{T} .

本发明提出的伪逆频偏补偿方法在第一步中，伪逆矩阵含有所有用户的频偏信息，因此可以对所有用户的频偏进行联合补偿，同时达到分离用户信号的目的，这样就会减少相邻用户信号之间载波频偏的影响；然后在第二步中再进一步对每个用户的频偏分别进行补偿，因此该方法对用户频偏值的大小不敏感，并且在用户个数较多的情况下仍能得到较好的性能。

为了验证提出的载波频偏补偿方法的有效性，并验证理论推导，我们进行了计算机仿真验证。

在仿真中，系统参数采用IEEE 802.16d/e标准中的定义。上行链路带宽(BW)为20MHz，子载波个数N＝2048，循环前缀(CP)长度为256，调制方式为QPSK，采样频率fs＝BW·8/7，因此子载波间隔Δf为11.16kHz。

下面给出了经频偏补偿后上行链路所有用户平均误比特率性能的计算机仿真结果。分别采用直接法(Direct method)、循环卷积法(CC method)和本发明提出的伪逆法(Pinv method)对用户的频偏进行补偿，并且与没有频偏时的误比特率性能进行对比。在基站接收端，假设信道的状态信息(CSI)已知。

实验一：用户个数较少的情况

仿真参数为：子信道个数(Q)为16，用户个数(M)为4，占用的子信道分别为[0 1 2 3]，归一化频偏分别为[0.1-0.2-0.1 0.2]。

图6为未采用信道编码时的仿真结果。从图中可以看到，在没有采用频率同步时，系统的误比特率为0.03左右；在采用频率同步时，系统的误比特率性能有了很大程度的提高，并且伪逆频偏补偿方法的性能最接近于理想情况(归一化频偏ε^(m)＝0，m＝1，2，…，M)，在误比特率(BER)为10^-4时，伪逆法分别比循环卷积法和直接法在性能上提高了1.8dB和7dB。

图7为采用信道编码时的仿真结果。编码采用码率为1/2的卷积编码，约束长度为5。从图中可以看到，在没有采用频率同步时，系统的误比特率为0.01左右。在误比特率(BER)为10^-4时，伪逆法分别比循环卷积法和直接法在性能上提高了1dB和3.4dB。

实验二：用户个数较多的情况

仿真参数为：子信道个数(Q)为32，用户个数(M)为24，随机选择子信道，所有用户的归一化频偏在区间[-0.50.5]内均匀分布。

图8为未采用信道编码时的仿真结果，图9为采用码率为1/2卷积编码时的仿真结果。从图中可以看到，在多个用户的情况下，循环卷积法和直接法已经失去了作用，而本发明提出的伪逆法仍然可以取得较好的BER性能。并且在得到CFO精确估计值的前提下，该方法不受载波频偏值大小的影响。

在计算机仿真的技术上，本发明在FPGA中得到了实现，实际测试取得了良好的效果。

附图说明

图1为子载波分配方法：a.块方法；b.交织方法。

图2为交织OFDMA上行链路的发射机结构。

图3为伪逆频偏补偿及符号检测方法接收机结构。

图4为串并存储转换电路。

图5为伪逆频偏补偿电路，即频偏校正电路。

图6为未采用编码时的误比特率曲线(Q＝16，M＝4)。

没有频偏校正

直接补偿法

循环卷积法

提出的方法

没有频偏

图7为采用1/2卷积编码时的误比特率曲线(Q＝16，M＝4)。

没有频偏校正

直接补偿法

循环卷积法

提出的方法

没有频偏

图8为未采用编码时的误比特率曲线(Q＝32，M＝24)。

没有频偏校正

直接补偿法

循环卷积法

提出的方法

没有频偏

图9为采用1/2卷积编码时的误比特率曲线(Q＝32，M＝24)。

没有频偏校正

直接补偿法

循环卷积法

提出的方法

没有频偏

具体实施方式

以下将参照附图对本发明的具体实施进行详细的描述。

图2为交织OFDMA上行链路的发射机结构框图，假设系统的子载波个数为N、用户个数为M、子信道数为Q，并且每个用户分配的子载波个数相同，则每个子信道有P＝N/Q个子载波。子信道{q}的子载波序号为{q，Q+q，…，(P-1)Q+q}，q＝0，1，…，Q-1。假设第m个用户所占用的子信道为q^(m)，{S₀ ^(m)，S₁ ^(m)，…，S_P-1 ^(m)}为该用户在一个OFDMA符号块内的P个调制符号。

在第m个用户的发射端，通过子载波映射电路将{S_p ^(m)}_p＝0 ^P-1映射到N个子载波上，得到{X_i ^(m)}_i＝0 ^N-1，i＝0，1，…，N-1表示频率采样序号。其对应关系为：

{X_i ^(m)}_i＝1 ^N-1经过N点IFFT运算转化为时域OFDM信号，然后通过移位寄存器将时域信号后面的N_CP个数据插入沿时间轴排列的OFDM信号之前，从而完成插入循环前缀的操作。并/串变换电路将并行OFDM信号转化为串行OFDM信号x^(m)(n)，数/模变换电路将数字信号转化为模拟信号x^(m)(t)，最后再经过载波调制则可以进行OFDM信号的发射。

在不考虑噪声的情况下，在OFDMA上行链路接收端，经过去循环前缀(CP)之后，N点的OFDMA符号可以表示为：

r (n) = Σ_{m = 1}^{M} r^{(m)} (n) - - - (2)

其中r^(m)(n)表示第m个用户的OFDM符号：

r^{(m)} (n) = Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{j \frac{2 π}{N} (pQ - q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n}

= e^{j \frac{2 π}{N} (q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n} Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{j \frac{2 π}{P} pn} - - - (3)

其中，n＝0，1，…，N-1表示时域采样序号，ε^(m)∈(-0.5，0.5)为第m个用户的归一化频偏，如果{Δf^(m)}_m＝0 ^M表示用户的频偏，而Δf表示子载波间隔，则ε^(m)定义为：

ϵ^{(m)} = \frac{Δ f^{(m)}}{Δf}; - - - (4)

H_p ^(m)表示第m个用户在第(pQ+q^(m))个子载波上的信道频率响应，其表达式为：

H_{p}^{(m)} = Σ_{l = 1}^{L^{(m)}} α_{l}^{(m)} e^{- j 2 π (q^{(m)} + pQ) Δf τ_{l}^{(m)}} - - - (5)

其中L^(m)为总的路径数，α_l ^(m)和τ_l ^(m)分别为第l条路径的复增益和时间延迟。

观察(3)式，我们可以看出r^(m)(n)具有如下的性质：

r^{(m)} (n + vP) = e^{j 2 πv (q^{(m)} + ϵ^{(m)}) / Q} r^{(m)} (n) - - - (6)

v为整数。(6)式表明{r_(m)(n)}_n＝0 ^N-1具有一种特殊的周期结构，周期为P。因此{r(n)}_n＝0 ^N-1可以排列成Q×P的矩阵形式：

在上式中，⊙表示Schur乘积(点积运算)，S＝U⊙(BF_P)，

U = {[\begin{matrix} u^{(1)} \\ u^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ u^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P} B = {[\begin{matrix} b^{(1)} \\ b^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P} - - - (8)

V＝[v⁽¹⁾，v⁽²⁾，…，v^(M)]为范德蒙矩阵，其结构为：

F_P为P×P维的IFFT矩阵：

v^(m)、u^(m)、b^(m)分别定义为：

v^{(m)} = {[\begin{matrix} 1 & e^{j 2 π θ^{(m)}} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (Q - 1) θ^{(m)}} \end{matrix}]}^{T}

u^{(m)} = [\begin{matrix} 1 & e^{j 2 π θ^{(m)} / P} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (P - 1) θ^{(m)} / P} \end{matrix}]

b^{(m)} = [\begin{matrix} H_{1}^{(m)} S_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} S_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{m} S_{P}^{(m)} \end{matrix}]

= s^{(m)} D_{P} (h^{(m)})

其中，(·)^T表示转置运算，

h^{(m)} = {[\begin{matrix} H_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{(m)} \end{matrix}]}^{T}, x^{(m)} = [\begin{matrix} X_{0}^{(m)} & X_{1}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & X_{P - 1}^{(m)} \end{matrix}],

D_P(h^(m))为h^(m)的元素所组成的P×P维对角矩阵，θ^(m)的表达式为：

θ^{(m)} = \frac{(q^{(m)} + ϵ^{(m)})}{Q} . - - - (10)

由于ε^(m)∈(-0.5，0.5)，所以θ^(m)的取值范围为：[(q^(m)-0.5)]Q，(q^(m)+0.5)/Q]。考虑到噪声的因素，一个OFDMA符号块可以表示为矩阵的形式：

Y＝A+Z＝Vs+Z (11)

其中Z为Q×P维的加性高斯白噪声(AWGN)矩阵，其元素为零均值、方差为σ²的高斯随机变量。

综上所述，我们可以构造交织OFDMA上行链路系统的信号结构，并且根据用户频偏的估计值，利用该信号结构则可以实现由基站对多个用户频偏的联合补偿。

根据上述给出的交织OFDMA上行链路的信号结构，本发明提出了一种对

矩阵直接求伪逆(Pseudoinverse：PinV)进行频偏补偿的方法，其中

为V的估计值。

中的元素为

{[\hat{V}]}_{q, m} = e^{j 2 πq {\hat{θ}}^{(m)}},

q＝0，1，…，Q-1，m＝1，2，…，M，其中为θ^(m)的估计值。该方法的结构如图3所示，具体步骤如下：

1)采用移位寄存器去掉OFDM信号的循环前缀，然后通过串/并存储转换器对剩余的N点采样信号进行数据重组，得到矩阵的形式Y；

2)然后利用频偏补偿电路(如图5所示)对每个用户的信号分别进行频偏补偿。其中，频偏补偿电路的具体实现方法为：

a)根据(11)式，对接收到的信号矩阵Y左乘的伪逆，得到S的估计值：

\hat{S} = {\hat{V}}^{+} Y - - - (12)

这一步可以实现对所有用户的频偏进行联合补偿，并同时分离用户信号的目的。其中

表示伪逆运算，可以通过奇异值分解(SVD)伪逆求解电路得到矩阵的伪逆。

b)根据(7)式，与

的共轭矩阵进行点积之后就可以得到频偏补偿之后的信号。

其中

为U的估计值，中的元素为

{[\hat{U}]}_{m, P} = e^{j 2 πP {\hat{θ}}^{(m)} / P}

(m＝1，2，…，M，p＝0，1，…，P-1)，(·)^*表示共轭运算。

在这一步，每个用户的频偏得到了进一步的补偿。

3)对每路信号分别进行串/并变换，然后再进行P点的FFT变换就可以得到B的估计值：

\hat{B} = {\hat{S}}_{FC} F_{P}^{H} - - - (14)

其中F_P ^H为P点的FFT矩阵，(·)^H表示共轭转置。

4)最后采用迫零(zero forcing，ZF)均衡接收器就可以得到每个用户原始符号的估计值：

{\hat{x}}^{(m)} = {\hat{b}}^{(m)} D_{P}^{- 1} (h^{(m)}) - - - (15)

其中b^(m)为

的第m行，

h^{(m)} = {[\begin{matrix} H_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{(m)} \end{matrix}]}^{T},

{\hat{x}}^{(m)} = [\begin{matrix} {\hat{X}}_{0}^{(m)} & {\hat{X}}_{1}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & {\hat{X}}_{P - 1}^{(m)} \end{matrix}],

即，将FFT变换之后的数据分别除以信道的频域冲激响应，则可得到原始符号的估计值。

上面结合附图对本发明的具体实施进行了详细说明，但前述的实施例仅为示例性的但并不应被解释为对本发明的限制。本发明可以推广到其他类型的应用。此外，对本发明实施例的描述是说明性的，而非限制权利要求的范围，很明显本领域的技术人员可以进行各种修改、替换和变动。

Claims

1、交织OFDMA上行链路系统的载波频偏校正方法，其特征在于，该方法是在一块接收端集成电路芯片上实现的，依次会有以下的步骤：

r (n) = Σ_{m = 1}^{M} r^{(m)} (n),

r^{(m)} (n) = Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{i \frac{2 π}{N} (pQ + q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n}

= e^{j \frac{2 π}{N} (q^{(m)} + ϵ^{(m)}) n} Σ_{p = 0}^{P - 1} H_{p}^{(m)} S_{p}^{(m)} e^{j \frac{2 π}{P} pn}

Q为子信道数，满足M≤Q；

M为用户个数；

P＝N/Q，为每个子信道上的个子载波个数；

ε^(m)∈(-0.5，0.5)为第m个用户的归一化频偏：

ϵ^{(m)} = \frac{Δ f^{(m)}}{Δf};

{Δf^(m)}_m＝0 ^M则表示所有用户的频偏；

Δf表示子载波间隔；

H_{p}^{(m)} = Σ_{l = 1}^{L^{(m)}} α_{l}^{(m)} e^{- j 2 π (q^{(m)} + pQ) Δf τ_{l}^{(m)}};

其中，a_l ^(m)和τ_l ^(m)分别为第l条路径的复增益和时间延迟，L^(m)为总的路径数；S_p ^(m)为第m个用户的第p个调制符号；

其中，Z为Q×P维的加性高斯白噪声矩阵，

在上式中，⊙表示点积运算，S＝U⊙(BF_P)；

\begin{matrix} U = {[\begin{matrix} u^{(1)} \\ u^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ u^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P} \end{matrix} B = {[\begin{matrix} b^{(1)} \\ b^{(2)} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ b^{(M)} \end{matrix}]}_{M \times P}

v＝[v⁽¹⁾，v⁽²⁾，…，v^(M)]为范德蒙矩阵，其结构为：

θ^{(m)} = \frac{(q^{(m)} + ϵ^{(m)})}{Q}

v^(m)、u^(m)、b^(m)分别定义为：

v^{(m)} = {[\begin{matrix} 1 & e^{j 2 {πθ}^{(m)}} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (Q - 1) θ^{(m)}} \end{matrix}]}^{T}

u^{(m)} = [\begin{matrix} 1 & e^{j 2 π θ^{(m)} / P} & \cdot \cdot \cdot & e^{j 2 π (P - 1) θ^{(m)} / P} \end{matrix}]

b^{(m)} = [\begin{matrix} H_{1}^{(m)} S_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} S_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{(m)} S_{P}^{(m)} \end{matrix}]

其中，(·)^T表示转置运算；

F_P为P×P维的IFFT矩阵：

步骤3.1：用一个奇异值分解伪逆求解电路求矩阵

的伪逆

其中为v的估计值；

步骤3.2：用一个乘法器对接收到的信号矩阵Y左乘得到S的估计值：

步骤3.3：为M个用户建立M个复指数运算电路，每一个复指数运算电路的输入为p，Q，，经过运算得到的共轭矩阵

，其中

为U的估计值，(·)^*表示共轭运算；

步骤3.4：用M个乘法器分别对与

中的每一项进行乘法运算，得到频偏补偿之后的信号：

\hat{B} = {\hat{S}}_{FC} F_{P}^{H}

其中为P点的FFT矩阵，

表示共轭转置

{\hat{x}}^{(m)} = {\hat{b}}^{(m)} D_{P}^{- 1} (h^{(m)})

其中^(m)为的第m行，

该D_P(h^(m))为h^(m)的元素所组成的P×P维对角矩阵，

h^{(m)} = {[\begin{matrix} H_{1}^{(m)} & H_{2}^{(m)} & \cdot \cdot \cdot & H_{P}^{(m)} \end{matrix}]}^{T} .