CN1702647A - 插值计算的有限单元法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数据分析中的插值计算方法，特别涉及采用有限单元法进行插值计算的方法，采用物理模型处理单纯的数学问题。用有限单元法进行插值计算：一、可以适应非常复杂的研究区域；二、方法的实施简便；三、对不同的问题因其物理模型相符，所以其变化趋势更符合实际，计算精度更有保证。

Description

插值计算的有限单元法

技术领域

本发明涉及数据分析中的插值计算法，特别涉及采用有限单元法进行插值计算的方法，用物理模型处理单纯的数学问题。属于国际专利分类G06T15/00三维图像的加工技术领域

背景技术

在科学试验和工程实践中，往往要根据有限个点的观测数据或函数值来推测任意点的函数值，其数学描述为：

已知m个n维函数的函数值：

Yi＝F(Xi)，i＝1，2，......，m，    Xi＝(x1，x2，，xn)i

求任意点的函数值：

Y＝F(X)，X＝(x1，x2，，xn)

目前，解决此问题一般采用插值法。一维函数的插值计算比较完善。然而，二维或二维以上函数的插值计算还不够完善：首先，对二维和二维以上的问题，往往只能观测到零散点的数据，由零散点数据推测任意点函数值在数学上比较困难；其次，二维或二维以上函数问题的定义域比较复杂，二维函数的定义域往往是封闭的平面曲线，三维函数的定义域往往是封闭的空间曲面。比如煤矿地质中煤层底板等高线的确定问题：由地质钻探工程得到有限个钻孔的煤层埋藏深度，同时发现大量的地质断层，由于长久和剧烈的地质运动，断层两侧煤层的高程产生了落差，这些落差小的几米，大的几十米、几百米甚至上千米；除了断层现象外，由于地质作用，有的区域还产生煤层缺失。要绘制煤层底板等高线图，就要确定任意点的煤层底板高程值。解决此类问题如果仅靠数学手段很难实现，通常需要地质人员丰富的经验，但是它同时又有大量的数据处理工作，所以解决此类问题非常复杂。

发明内容

本发明的目的，在于提供一种插值计算的有限单元法.

在解决煤层底板等高线绘制问题的过程中，因为问题的复杂性，就要分析研究其复杂的原因：对大多数煤层而言，在它产生的年代里，其原始地层是比较平坦的；然而随着地球的变迁，随着地质运动的变化，地层内部产生了升降、扭转、弯曲、剪切等变形，从而产生了断层、高低不平、煤层缺失等现象。而地质运动是由地球内部应力场作用的结果，所以，地质断层、煤层高低不平是由应力作用的结果。把煤层底板高程作为煤层在地球应力场作用下的位移场，应用计算力学的方法计算煤层底板高程更有其合理性。根据煤层赋存的复杂性和计算力学各种方法的特性，采用目前应用最为广泛的力学模型的有限单元法。

由于大千世界的多样性，不同的现象要用不同的模型来模拟，如力学模型、电磁场模型、温度场模型、流体场模型等。所以解决不同问题的插值计算要选用不同模型的有限单元法解决。

一种插值计算的有限单元法，为数据分析中的插值计算法，是采用有限单元法进行插值计算的方法，采用物理模型处理单纯的数学问题。

将要分析问题的定义域划分成有限个单元，双变量平面问题划分成三角形或四边形单元，三变量空间问题划分成四面体、五面体和六面体单元；划分单元时将观测点定义为单元节点，将零散点的观测数据作为边界条件建立平衡方程，求解平衡方程获得所有节点出的函数值，单元内部任意点的函数值用单元节点的函数值依据单元的形函数插值得到。

对不同物理现象的插值计算选不同的有限单元模型解决：与应力应变有关的问题采用计算力学的有限单元法；与电磁场有关的问题采用电磁学的有限单元法；与温度场有关的问题采用温度效应的有限单元法；一般可选用计算力学的有限单元法。

本发明的优点在于：用有限单元法进行插值计算：

一、可以适应非常复杂的研究区域；

二、方法的实施简便；

三、对不同的问题因其物理模型相符，所以其变化趋势更符合实际，计算精度就更有保证

具体实施方式

将需要研究的问题按研究范围(空间)建立物理模型，按有限单元法将物理模型划分成有限个单元(如果是双变量问题就建立平面模型，如果是三变量问题就建立空间模型)，将零散点的观测数据作为有限单元法的边界条件，按不同物理模型建立该模型在边界条件作用下的平衡方程，求解平衡方程即可解决需要研究的插值计算问题

以煤层底板高程为例，因为其应力、位移和双变量特性，将采用计算力学中的平面应力或平面应变模型解决此问题：将研究区域的煤层划分为有限个三角形或四边形单元，对每个单元建立单元刚度矩阵——节点力和节点位移的关系矩阵：

[K]^e{u}^e＝{p}^e

对三角形单元而言

{u}^e＝{u_i v_i u_j v_j u_k v_k}^T

{p}^e＝{p_xi p_yi p_xj p_yj p_xk p_yk}^T

对四边形单元而言

{u}^e＝{u_i v_i u_j v_j u_k v_k u_l v_l}^T

{p}^e＝{p_xi p_yi p_xj p_yj p_xk p_yk p_xl p_yl}^T

将所有单元的单元刚度矩阵按对应关系累加到总刚度矩阵中：

[K]⁰＝∑[K]^e

将边界条件(具有高程的节点的位移就是高程值本身，没有高程的节点的节点力为零)与总刚度矩阵配合，形成总体平衡方程：

[K]{u}＝{p}

求解总体平衡方程得到所有节点的位移，而单元内部任意点的位移用单元节点的位移依据单元的形函数插值得到——该位移就是底板高层。

Claims (3)

1、一种插值计算的有限单元法，为数据分析中的插值计算法，其特征在于：是采用有限单元法进行插值计算的方法，采用物理模型处理单纯的数学问题。

2、根据权利要求1所述的插值计算的有限单元法，其特征在于：将要分析问题的定义域划分成有限个单元，双变量平面问题划分成三角形或四边形单元，三变量空间问题划分成四面体、五面体和六面体单元；划分单元时将观测点定义为单元节点，将零散点的观测数据作为边界条件建立平衡方程，求解平衡方程获得所有节点出的函数值，单元内部任意点的函数值用单元节点的函数值依据单元的形函数插值得到。

3、根据权利要求1所述的插值计算的有限单元法，其特征在于：对不同物理现象的插值计算选不同的有限单元模型解决：与应力应变有关的问题采用计算力学的有限单元法；与电磁场有关的问题采用电磁学的有限单元法；与温度场有关的问题采用温度效应的有限单元法；一般可选用计算力学的有限单元法。