CN1575408A - 使用标准模态分析的科里奥利质量流量计校准 - Google Patents

Abstract

用于一个传感器的校准因子从导管运动的标准模态动态特征确定，该传感器包括一个含有物质的导管和多个运动变送器，该运动变送器操作来产生表示所述导管运动的运动信号。该校准因子可以通过在包括导管运动的多种标准模式的模态域中产生模态微分运动公式的解，并从该解产生所述校准因子来产生。所述标准模态动态特征可以描述导管运动随一个模态科里奥利项而变化的特征，所述模态科里奥利项描述导管响应导管中的质量流量的多个标准模式之间的耦合。该模态科里奥利项可以从一个振型函数确定，该振型函数描述导管的模态运动随导管上位置的变化。本发明可以实现为方法、装置、和计算机程序产品。

Description

使用标准模态分析的科里奥利质量流量计校准

技术领域

本发明涉及传感器和相关的方法以及计算机程序产品，更具体地，涉及质量流量测量方法、装置、计算机程序产品。

背景技术

科里奥利传感器通常通过检测包含流体物质的振动导管的运动来工作。与导管中的物质有关的属性，如质量流量、密度等，可以通过处理来自与所述导管关联的运动变送器的信号来确定，因为充满物质的振动系统的振动模式通常被导管及其中的物质的组合质量、刚度、以及阻尼特性所影响。

典型的科里奥利质量流量计包括一个或多个导管，这些导管在管道或其它传送系统中连接成线，并在系统中输送物质，如液体、浆等。每个导管可以看作是具有一组自然振动模式，包括例如简单的弯曲、扭转、径向和耦合模式。在典型的科里奥利质量流量测量应用中，当物质流过导管时，导管被激励在其一种自然振动模式谐振，在沿导管不同的点测量导管的运动。激励通常是由一个致动器，如以周期方式扰动所述导管的电动机械设备提供的，如音圈型驱动器。质量流速可以通过测量各个变送器位置的运动之间的时间或相位差来确定。示例性的科里奥利质量流量计在美国专利：授予Smith等的4,109,524和授予Smith的Re.31,450中描述。

科里奥利质量流量计的精确度会受到约束导管振动的装置的损害。这些限制的影响可以通过使用被平衡以减小外部振动影响的流量计设计和通过使用频域滤波器如带通滤波器来减小，该带通滤波器被设计为滤除运动信号中远离激励频率的分量。但是，机械滤波方法经常受机械因素限制，如，材料限制、安装约束、重量限制、尺寸限制等，而频域滤波对于去除激励频率附近的有害振动影响效果不佳。

传统的科里奥利质量流量计典型地使用一个“校准因子”将质量流速按比例变换到时间差或相位测量值，以生成质量流量估计。典型地，为了生成校准因子，执行一个校准或“校对”程序，其中在测试固定设备中将物质(如，水)通过质量流量计的振动管，同时由质量流量计的运动变送器产生的信号被处理，以确定时间和相位差。该数据然后被处理，以生成该流量计的估算校准因子。

该方法有几个缺陷。校准程序要花费时间，劳动强度高，且昂贵。此外，因为校准典型地不是现场执行，所以会因测试条件与现场条件不同，包括安装条件的不同，而不精确。

发明内容

根据本发明的实施例，包括配置为包含一种物质和多个运动变送器的导管的参数传感器的校准因子是根据导管运动的标准模态动态特征确定的，所述运动变送器操作产生代表导管运动的运动信号。所述校准因子可以例如将质量流速与由运动变送器产生的运动信号之间的空间-时间关系如时间差或相位关系关联。所述校准因子可以通过例如生成运动的模态域微分公式的解再从该解生成所述校准因子而生成。

根据本发明的一些实施例，标准模态动态特征将导管运动的特征表现为模态科里奥利项的函数，该模态科里奥利项描述导管响应其中的质量流量的多个标准模式间的耦合。在校准因子确定之前，可以先从描述导管在标准模式中随其上位置而变化的运动的振型函数确定所述模态科里奥利项。标准模态特征的模态质量和刚度项可以利用如常规模态分析技术来产生。

例如，在有些实施例中，模态科里奥利项可以从空间科里奥利特征确定，该空间科里奥利特征描述所述导管的多个离散位置在空间域内响应预定质量流量而作的运动。该模态科里奥利项可以从所述空间科里奥利特征(如，空间科里奥利矩阵)中使用将空间域与多个标准模式相关联的变换来确定。与该空间科里奥利特征关联的所述多个离散位置可以包括不同于变送器位置的位置。

将空间域与多个标准模式相关联的变换可以从描述导管在标准模式的运动随其上的位置而变化的振型函数来生成。该振型函数可以从一个预定的特征值和预定的边界条件确定，例如，从关于导管被约束的边界条件的假设确定。

根据本发明的其它实施例，确定导管中预定质量流量的振型函数的正交性，以确定导管运动的标准模态动态特征的模态科里奥利项。类似的正交性确定可以用来产生标准模态特征的模态质量和刚度项。这样的项也可以使用常规模态分析技术产生。

在本发明的其它实施例中，从一个标准模态动态特征产生导管的多个位置的估计空间响应，从该估计空间响应产生校准因子。例如，可以确定在导管的多个位置的运动之间的空间-时间关系，例如，时间差或相位关系，并且可以从该空间-时间关系确定所述校准因子。

在本发明的其它实施例中，可以通过以下步骤来确定导管中的物质的质量流量：从导管运动的标准模态动态特征确定校准因子，产生表示导管在其上多个位置的运动的多个运动信号，并根据确定的校准因子处理该运动信号以产生质量流量估计。例如，如上所述，校准因子可以从运动的模态微分公式表达来确定。所述质量流量估计可以通过以下方式产生：例如确定所述多个运动信号间的空间-时间关系，并将所述校准因子应用于所确定的空间-时间关系以产生质量流量估计。

根据本发明的各方面，上述校准因子可以从描述导管在标准模式的运动随其上的位置而变化的振型函数确定。该振型函数可以基于假设的导管边界条件。导管的运动可以约束为引起近似于所假设的边界条件的边界条件，例如，通过将导管束缚于一个结构或通过根据导管的运动给导管施加一个力，以产生近似于假设的边界条件的边界条件。

在本发明的其它实施例中，提供了一种用于校准参数传感器的装置，该参数传感器包括：配置为包含一种物质的导管；多个运动变送器，其可操作产生表示导管运动的运动信号；以及一个质量流量估计电路，其可以操作来根据校准因子从所述运动信号估计质量流量。该装置包括一个校准因子发生电路，用于从导管运动的标准模态动态特征产生一个校准因子，该校准因子发生电路包括一个接口电路，用于将产生的校准因子传送到所述质量流量估计电路。

在有些实施例中，所述校准因子发生电路包括一个标准模态动态特征描述电路，可以产生导管运动的标准模态动态特征，还包括一个校准因子确定电路，可以从所述标准模态动态特征产生校准因子。该标准模态动态特征可以表示例如模态域中运动的模态微分公式，包括导管运动的多个标准模式，且所述校准因子确定电路可以操作来从运动的模态微分公式的表示产生运动的模态微分公式的解，以及利用例如上述技术从运动的模态微分公式的解产生校准因子。校准因子发生电路可以与质量流量估计电路集成在例如质量流量传感器装置中，或可以分别在例如测试和处理装置中实现。

在本发明的另一实施例中，质量流量传感器包括一个导管，例如基本直线的管子，其配置为包含一种物质。该质量流量传感器进一步包括一个致动器来激励该导管，还包括多个运动变送器，其可以操作来产生表示导管运动的运动信号；以及一个质量流量估计电路，配置为接收所述运动信号，并可操作来利用从呈现导管的预定边界条件的导管运动的标准模态特征导出的校准因子从中产生质量流量估计。提供必要装置来约束导管的运动，以近似预定的边界条件。

约束导管运动的装置可以包括例如将导管束缚在一个结构上的装置，如卡子、焊接、或其它扣紧装置，其将导管的间隔位置束缚到一个刚性结构。约束导管运动的装置还可以包括根据导管的运动向导管施加力的装置，从而产生近似于假设边界条件的边界条件。例如，向导管施加力的装置可以包括至少两个运动变送器，其可以操作来产生表示导管运动的运动信号，还可以包括多个在工作时与所述导管相关联的致动器，以及形状控制电路，其配置为从至少两个运动变送器接收运动信号，并可操作来根据所述运动信号驱动所述多个致动器。

根据本发明的其它实施例，提供了用于表达一个参数传感器的特征的计算机程序产品，该参数传感器包括配置为包含一种物质的导管和多个运动变送器，所述运动变送器可操作来产生表示导管运动的运动信号。该计算机程序产品包括嵌入计算机可读存储介质的计算机可读程序代码，该计算机可读程序代码包括用于从导管运动的标准模态动态特征确定用于处理由多个运动变送器产生的运动信号的校准因子的程序代码。该用于确定校准因子的程序代码可以包括用于在包含导管运动的多个标准模式的模态域中产生运动的模态微分公式的解的程序代码，和用于从产生的运动的模态微分公式的解产生校准因子的程序代码。所述标准模态动态特征可以根据一个模态科里奥利项表达导管运动的特征，所述模态科里奥利项描述导管的多个标准模式之间响应导管中的质量流量而进行的耦合。该计算机可读程序代码可以包括用于从振型函数确定模态科里奥利项的程序代码，所述振型函数描述导管在标准模式的运动随导管上不同位置的变化。

附图说明

图1示出根据本发明实施例的质量流量传感器装置的示意图；

图2示出根据本发明其它实施例的质量流量传感器装置的示意图；

图3示出根据本发明实施例的校准因子发生器电路的示意图；

图4-6为根据本发明实施例确定质量流量传感器的校准因子的典型操作的流程图；

图7-11为根据本发明其它实施例的质量流量传感器装置的示意图；

图12为根据本发明实施例估计质量流量的典型操作的流程图；

图13为说明包含物质的导管状态的自由体图。

具体实施方式

下面参考示出本发明实施例的附图更详细描述本发明。但是，本发明可以以多种不同形式实现，而不是限于此处提出的实施例，提供这些实施例是为了使公开内容全面和完整，并向本领域的技术人员传达本发明的范围。全篇用相似的标号表示相似的元件。本领域的技术人员应当理解，本发明可以实现为系统(装置)、方法、或计算机程序产品。

此处描述的本发明实施例涉及使用单个基本直线的导管的科里奥利流量计，其不要求例如机械调谐的平衡梁。本发明在这样的应用中特别有利。但是，本领域的技术人员应当理解，本发明还可用于其它类型的流量计结构，包括传统的弯曲管结构和包括机械平衡梁的直管结构。

本领域的技术人员应当理解，本发明可以实现为装置和/或方法和/或计算机程序产品。本发明可以实现为硬件或硬件与软件的组合。另外，本发明还可以采取计算机程序的形式，包括计算机可用存储介质和存储在该介质上的计算机可用程序代码。任何合适的计算机可读介质均可使用，包括半导体存储器件(如，RAM、ROM、EEPROM等)、硬盘、CD-ROM、光学存储器件、及磁存储器件。

执行本发明的操作的计算机程序代码可以用面向对象的编程语言编写，如Java^或C++，和/或用过程编程语言，如C。程序代码可以在单个计算机或数据处理设备上执行，如微控制器、微处理器、或数字信号处理器(DSP)，或者可以在多个设备上执行，如在电子电路板、机架或组合体内通过串行或并行数据总线通讯的多个数据处理设备，或者是形成数据通讯网络如局域网(LAN)、广域网(WAN)、或互联网的一部分的设备。

下面参考根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图描述本发明。应当理解，流程图和/或方框图中的块及其组合可以用计算机程序代码(指令)实现。这些计算机程序代码可以提供给一个通用计算机、专用计算机、或其它可编程数据处理设备的处理器以产生一台机器，使得通过计算机或其它可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生实现所述流程图和/或方框图或块中指定的功能的装置。这些计算机程序产品还可以存储在计算机可读存储介质中(如，磁盘或半导体存储器、编码磁存储器等)，其可以引导计算机或其它可编程数据处理装置以特定方式工作，使得存储在计算机可读存储器中的计算机程序产生加工的产品，包括实现所述流程图和/或方框图或块中指定的功能的指令装置。该计算机程序代码还可以装载到计算机或其它可编程数据处理装置上，使得一系列操作步骤在所述计算机或其它可编程装置上执行，以产生计算机执行的处理，使得在计算机或其它可编程装置上执行的代码提供执行在所述流程图和/或方框图或块中指定的功能的步骤。

概述

根据本发明的实施例，科里奥利质量流量传感器可以使用该传感器的含有物质的导管运动的标准模态动态特征进行校准。在本发明的一些实施例中，该标准模态动态特征包括运动的模态微分公式，其包括表示所述流量传感器导管响应质量流量的标准模式之间的耦合的科里奥利项。

根据本发明的一些实施例，所述科里奥利项包括一个模态科里奥利矩阵，该矩阵是从在空间域(如，笛卡儿域)中描述导管受质量流量影响的运动的一个空间(或物理)科里奥利矩阵产生的。该模态科里奥利矩阵可以利用一种变换从所述空间科里奥利矩阵导出，该变换是从描述导管的模态特性随导管上的位置而变化的振型函数导出的。该振型函数可以从由以操作方式与所述传感器导管关联的运动变送器产生的运动信号产生。特别地，来自变送器位置的离散模态响应数据可以用来产生一个连续振型函数，该函数又可以用于计算包含导管上除了实际变送器位置之外的“虚拟”位置的模态-空间变换Φ_virtual，如实际变送器位置之间的位置。

该空间科里奥利矩阵可以表示局部科里奥利矩阵的组合，这些局部科里奥利矩阵对应于由一些节点定义的梁状段，这些节点对应于所述虚拟位置。这些局部科里奥利矩阵表示在预定质量流量条件下(如，预定质量流速)这些段的运动。变换Φ_virtual可以应用于所述空间科里奥利矩阵以确定(向量)模态微分运动公式的模态科里奥利项(矩阵)，其也包括模态质量、模态阻尼和模态刚度项。

可以求解上述模态微分运动公式以根据已知的输入/激励确定预定质量流速的模态响应。该模态响应可以变换到实际变送器位置的空间域响应，然后根据估算的空间域响应和预定的质量流速确定校准因子。该校准因子可以应用于根据未知的质量流量产生的运动信号，以产生该未知质量流量的估计。

根据本发明的其它实施例，可以采用确定模态科里奥利矩阵的更通用的方法。特别地，除了从空间科里奥利矩阵的离散变换确定模态科里奥利矩阵，也可以通过在预定质量流速确定振型函数的正交性来产生模态科里奥利矩阵。这样确定的模态科里奥利矩阵可以用来产生导管的模态微分运动公式的解，从该解可以沿上述线确定校准因子。

本发明的实施例与传统校准技术相比有几个潜在优点。具体地，使用根据本发明实施例的校准技术不需要将物质通过质量流量传感器，而传统的校正方法都需要。这可以提供例如现场校准的能力。

本发明还可以方便直管质量流量传感器的实际实现，如“扣紧”质量流量传感器，例如包含运动变送器、致动器和相关组件的传感器，所述相关组件配置为操作地啮合到一个管道上，使得管道本身充当传感器的一部分。校准这样的扣紧传感器的一个潜在困难是，与传统科里奥利质量流量计不同，传感器的制造商无法得到流量导管。尽管理论上可以将一个校准装置连接到所述管道，并对照主流量计校准扣紧流量传感器，但这样的方法所花费的时间可能叫人无法接受，或由于难于接近传感器、管道环境的恶劣等不实用。根据本发明的实施例，可以通过在安装传感器组件后测量装置的模态参数进行这样的传感器的现场校准。这不需要校准设备或主流量计。

这样的扣紧流量传感器的潜在优点是其可以被移到不同位置使用，例如作为检修故障的临时传感器。由于该传感器组件所附着其上的每个管道可能不同，所以每次重新定位所述传感器可能都需要校准。根据本发明实施例的现场校准可以提供执行这样的校准的实用而经济的方法。

图1示出根据本发明实施例的质量流量传感器装置100。传感器100包括含有物质108的导管103。致动器106用于激励导管103。例如，致动器106可以包括一个惯性或相对致动器，由一个驱动电路(未示出)驱动，使得致动器106以预定频率振动导管103；但是，应当理解，也可以使用使导管103振动的其它机构。运动变送器105(例如，惯性速度变送器、加速计、或其它运动感应器件)沿导管103布置，响应多个力产生表示导管103运动的运动信号107，所述力可以包括例如由致动器106施加的驱动力F_D、来自流动物质108的科里奥利力F_C以及外力F_E。

传感器装置100还包括质量流量确定电路110，其接收由运动变送器105产生的运动信号107。质量流量确定电路110操作，根据由校准因子发生电路150产生的校准因子155处理运动信号107。校准因子发生电路150从导管103运动的标准模态动态特征，如以下详细描述的模态微分运动公式，确定校准因子155。如以下详细描述，标准模态动态特征可以从一个振型函数导出，该振型函数是从离散模态响应数据产生的，如由表示导管运动的运动信号，如由运动变送器105产生的运动信号，产生的响应数据。

图2示出根据本发明其它实施例的质量流量传感器装置200。传感器200包括配置为包含物质208的导管203。相对致动器206附着到一个结构204上(其可以包括，例如，封装该导管203的外壳)，使得它引起导管203相对于结构204的运动。如图所示，相对运动变送器205(例如，速度变送器、加速计、或其它运动检测器件)沿导管203布置，测量导管203相对于结构204的运动。运动变送器205产生表示导管203响应作用于其上的力而运动的运动信号207。应当理解尽管运动变送器205示为相对运动变送器，但绝对或“惯性”运动传感器(如加速计)或相对和绝对运动变送器的组合(如相对速度变送器和加速计的组合)也可以使用。

传感器装置200进一步包括质量流量确定电路210，其接收由运动变送器205产生的运动信号。质量流量确定电路210根据由校准因子发生电路250产生的校准因子255处理该运动信号。校准因子发生电路250从导管203运动的标准模态动态特征确定校准因子。

应当理解，总体上，根据本发明实施例的校准因子发生电路，如图1和2的校准因子发生电路150、250，的功能可以实现为模拟电路、数字电路、和其组合。该电路可以集成为单个器件，如微处理器、微控制器、数字信号处理器(DSP)、专用集成电路、或其它单块集成电路器件，也可以分布在多个器件之间。进一步应当理解，根据本发明实施例的校准因子发生电路可以集成在一个流量传感器装置内，例如使用处理电路，该处理电路还用于实现质量流量确定电路，如图1中的质量流量确定电路110、120；或者可以实现为分立硬件，如测试或维护装置或过程控制计算装置。例如，校准因子发生电路可以实现为测试设备，该测试设备设计为与流量传感器的运动变送器连接，以便从由运动变送器产生的运动信号确定一个校准因子，并将所确定的校准因子下载到流量传感器的质量流量确定电路中。

下面的讨论提供了基本的理论描述，其支持根据本发明实施例的装置、方法和计算机程序产品。应当理解，本发明的范围不限于该理论解释。例如，下面的讨论描述计算操作。尽管这些操作呈现一种具体的顺序和组织以便于理解本发明，但应当理解，该操作可以重新排序、以不同方式组合、或在本发明的范围内修改。因此，进一步应当理解，总体上，本发明不仅包括此处描述的具体计算操作，还包括等价的操作。

单个直线流量计导管，如图1的导管103运动的模态微分公式为：

$\left[\mathrm{mr}\right]\left\{\stackrel{..}{\mathrm{\η}}\right\}+\left[\mathrm{cr}\right]\left\{\stackrel{.}{\mathrm{\η}}\right]+\left[\mathrm{dr}\right]\left\{\stackrel{.}{\mathrm{\η}}\right\}+\left[\mathrm{kr}\right]\left\{\mathrm{\η}\right\}=\left\{N\right\}--\left(1\right)$

其中，{η}、 分别表示包含导管振动的多个标准(即，正交)模式的标准模态域中的位移、速度、和加速度矢量，[mr]是模态质量矩阵，[cr]是模态科里奥利矩阵，其描述导管响应其中的质量流量的多个标准模式之间的耦合，[dr]是模态阻尼矩阵，[kr]是模态刚度矩阵，以及[kr]是作用于导管的模态激励。模态质量矩阵[mr]和模态刚度矩阵[kr]可以使用传统的模态分析技术确定。但是，确定模态科里奥利矩阵[cr]较困难。如以下更详细描述的，流量校准因子(FCF)可以假设对阻尼较敏感，且与模态科里奥利矩阵[cr]紧密相关。

标题为“DETERMINING PROPERTIES OF A FLOW TUBE AND OF A FLUIDFLOWING THROUGH A FLOW TUBE OF ACORIOLIS FLOWMETER”的美国专利申请No.09/941,332描述了从产生表示流量计导管运动的运动信号的运动变送器获得的流量计导管的离散振型信息如何能够用于确定连续振型函数，即根据描述导管在多个标准模式中的运动随其上的位置变化的函数。该申请在此同时提交，并将其全部内容引作参考。从这样的连续振型函数可以综合出“虚拟”采样(pickoff)响应，即不同于变送器位置的位置响应。

上述专利申请No.09/941,332描述以下形式的连续振型函数：

$\mathrm{\Φr}\left(x\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\λ}1}_{r}x}& e^{-{\mathrm{\λ}1}_{r}x}& e^{{\mathrm{j\λ}2}_{r}x}& e^{-j{\mathrm{\λ}2}_{r}x}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{bc}}_1\\ {\mathrm{bc}}_2\\ {\mathrm{bc}}_3\\ {\mathrm{bc}}_4\end{array}\right]}_r--\left(2\right)$

其中，Φ_r是第r个标准模式的振型函数，振型函数Φ_r的特征值λ1_r、λ1_r和边界条件{bc₁，bc₂，bc₃，bc₄}_r可以从模态测量值计算。

这样的振型函数可以用于将空间或“物理”科里奥利矩阵变换为模态科里奥利矩阵。特别地，流量计导管的多个选择位置的模态变换[Φ_virtual]可以使用上述振型函数进行综合。这样的“虚拟”位置的个数最好大于存在运动变送器的位置的个数。然后，可以根据以下公式使用[Φ_virtual]从该多个虚拟位置的空间科里奥利矩阵[C]计算模态科里奥利矩阵[cr]：

[cr]＝[Φ_virtual]^T[C][Φ_virtual]             (3)

空间科里奥利矩阵[C]可以使用传统技术产生。导管的多个虚拟位置可以看作定义多个对应于虚拟位置的具有第一和第二节点的量状段，每个段在预定质量流速

的空间科里奥利矩阵由下式给出：

$\left[C_{\mathrm{local}}\right]=\stackrel{.}{m}\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& 1& -\frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}\\ -\frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& 0& \frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& \frac{-l^4}{360\mathrm{gz}+{30l}^2}\\ -1& -\frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& 0& \frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}\\ \frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& \frac{l^4}{360\mathrm{gz}+{30l}^2}& -\frac{10\mathrm{gzl}+l^2}{60\mathrm{gz}+{5l}^2}& 0\end{array}\right]--\left(4\right)$

其中，“局部”科里奥利矩阵[C_local]的第一行/列对应于一个段的第一节点的物理位移，第二行和列对应于该段的第一节点的角位移，第三行/列对应于该段的第二节点的物理位移，第四行和列对应于该段的第二节点的角位移。在公式(4)中，l是段的长度，gz表示导管的组合物质和几何属性，其可以由下式给出：

$\mathrm{gz}=\frac{{\mathrm{EI}}_t}{\hat{k}{\mathrm{GA}}_t}--\left(5\right)$

其中，E是导管材料的弹性系数，I_t是导管惯性的面积矩，G是导管材料的剪切弹性系数，A_t是导管横截面积， 是随导管横截面积而变化的数值因数。导管的空间科里奥利矩阵[C]可以利用本领域技术人员熟知的技术从局部科里奥利矩阵[C_local]构造。

然后可以产生驱动频率激励，即导管振动的频率，的模态动态刚度矩阵[MDS]，并求逆，以确定一个模态频率响应函数[MDS]-1，其可以用来确定预定质量流量 的模态响应{η}：

{η}＝(-ω_drv ²[mr]+jω_drv[cr]+jω_drv[dr]+[kr]^-1){N}＝[MDS]^-1{N}     (6)

模态响应{η}可以变换为如下的空间域响应向量{y}：

{y}＝[Φ_measured][MDS]^-1[Φ_measured]^T{F}             (7)

变送器位置之间的空间-时间关系，如对应于变送器位置的运动信号之间的时间差(“Δt”)或相位关系，在预定质量流速 可以从估计的空间响应{y}确定。例如，可以采用一种空间积分技术，用于从由多个空间分布的运动变送器提供的空间运动信息产生时间差或相位估计。在美国专利No.6,233,526中描述了一种空间积分技术的例子，该专利在此引作参考。

时间差或相位关系-此处可以总称为Δ-以及预定质量流速 可以用于确定适当单位的流量校准因子FCF(如，质量/秒/秒，或质量/秒/度)：

$\mathrm{FCF}=\stackrel{\·}{m}/\mathrm{\Δ}--\left(8\right)$

响应未知质量流速

产生的时间差或相位关系测量值(通常，Δ_measured)可以与校准因子FCF相乘，以产生未知质量流速

的估计：

${\stackrel{.}{m}}_{\mathrm{unknown}}=\mathrm{FCF}\×({\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{measured}}-{\mathrm{\Δ}}_0)--\left(9\right)$

其中，Δ₀是在基本0流量时变送器信号间的偏移(如，时间或相位)(“0偏移”)。

试验表明，在许多实际应用中，质量流速在质量流速的一定范围内与时间差近似成线性比例，因此，FCF可以假设为常数。但是，如果FCF随流量变化不够恒定，可以在一个假设流速范围内估计来获得，如，一个查找表或其函数表示法。FCF还可以根据其它参数改变，如温度，例如，可以补偿FCF中由于系数(E)随温度变化而发生的变化。

如果假设质量流量传感器的流量管端点被约束，使得导管端子运动的强制响应大约为0，如果进一步假设支持运动变送器的外壳或其它结构足够的硬和结实，使得其象一个刚体，则由传感器的运动变送器产生的运动信号可以作为近似绝对速度信号处理。在这样的条件下，流量管可以被认为在导管激励的频率具有近似恒定的边界条件。因此，该边界条件和特征值至少可以对欧拉梁假设确定。

对于图13所示的自由体图中所示的流量传感器导管1310：

$V^{\′}-{\mathrm{\ρ}}_t{A}_t-d\stackrel{..}{y}+\mathrm{Fc}+\mathrm{\τ}\stackrel{\‾}{c}(\mathrm{\θ}+\mathrm{\α})+F(x,t)=0--\left(10\right)$

M′-Sy′-ρ_tI_t-Mc＝0

其中，V是作用于导管1310上的剪切力，ρ_t是导管1310的材料密度，A_t是导管1310的横截面积，d是阻尼系数。 是导管1310的加速度，Fc是导管1310中包含的物质1320之间耦合的力，τ是导管中的物质1320与导管1310内壁之间的粘滞剪切力，θ是导管1310的角位移，α是导管1310的切向畸变差，F(x，t)是作用于导管1310的驱动力，M是导管1310的弯曲力矩，S是导管1310上的张力，ρ_tI_t是导管1310每单位长度的惯性， c是导管1310的内表面周长，且其中圆点表示时间导数，撇号表示关于长度的空间导数。对于导管1310中包含的物质1320：

$-{\mathrm{\ρ}}_f{A}_f{(\frac{\∂}{\∂t}+v_f\frac{\∂}{\∂x})}^{2}y-\mathrm{Fc}-\mathrm{\τ}\stackrel{\‾}{c}(\mathrm{\θ}+\mathrm{\α})=0--\left(11\right)$

$-{\mathrm{\ρ}}_f{I}_f\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}+\mathrm{Mc}+{\mathrm{PA}}_f{y}^{\′}=0$

其中，ρ_fA_f是导管1310中的物质1320的单位长度质量，y是导管1310的位移，v_f是导管1310中的物质1320的速度，ρ_fI_f是导管1310中的物质1320的单位长度惯性， 是导管1310的角加速度，P是导管1310中的物质1320的压力，A_f是导管1310中的物质1320的横截面积。

去掉耦合力(Fc)、力矩(Mc)和导管“梁”壁上的流体剪切(□)：

$V^{\′}-{\mathrm{\ρ}}_t{A}_t-d\stackrel{..}{y}+{\mathrm{\ρ}}_f{A}_f{(\frac{\∂}{\∂t}+v_f\frac{\∂}{\∂x})}^{2}y+F(x,t)=0--\left(12\right)$

$M^{\′}-S{y}^{\′}+V-({\mathrm{\ρ}}_t{I}_t+{\mathrm{\ρ}}_f{I}_f)\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{PA}}_f{y}^{\′}=0$

根据基本弹性原理：

y′(x，t)＝θ(x，t)+α(x，t) $V(x,t)=\hat{k}G{A}_t\mathrm{\α}(x,t)$ M(x，t)＝EI_tθ′(x，t)          (13)

这可以根据y(x，t)和x，t减少为两个公式：

$\hat{k}G{A}_t(y^{\′\′}-{\mathrm{\θ}}^{\′})-{\mathrm{\ρ}}_t{A}_t\stackrel{..}{y}-d\stackrel{.}{y}-{\mathrm{\ρ}}_f{A}_f{(\frac{\∂}{\∂t}+v_f\frac{\∂}{\∂x})}^{2}y+f(x,t)=0--\left(14\right)$

${\mathrm{EI}}_t{\mathrm{\θ}}^{\′\′}-{\mathrm{Sy}}^{\′}+\hat{k}{\mathrm{GA}}_t(y^{\′}-\mathrm{\θ})-({\mathrm{\ρ}}_t{I}_t+{\mathrm{\ρ}}_f{I}_f)\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{PA}}_f{y}^{\′}=0$

对公式(14)中的基本独立变量无量纲化，其中下划线表示空间或时间的无量纲变量，尖括号表示所述变量的美国习惯单位：

x＝L x        dx＝Ld x

$t=\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_1}\underset{\‾}{t}$ $\mathrm{dt}=\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_1}d\underset{\‾}{t}$ $\underset{\‾}{{\mathrm{\ω}}_r}=\frac{{\mathrm{\ω}}_r}{{\mathrm{\ω}}_1}$ $\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}=\frac{\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}_1}$

${\mathrm{\&eta;}}_r\left(t\right)=e^{\mathrm{j\&omega;t}}={\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=e^{j\frac{\mathrm{\&omega;}}{{\mathrm{\&omega;}}_1}\underset{\&OverBar;}{t}}=e^{j\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;t}}}<\mathrm{in}>$ $\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\frac{1}{L}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<0>$

${\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right)={\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)<0>$

${\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}x}& e^{-{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}x}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}x}& e^{{-\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}x}\end{array}\right]\left\{B{C}_r\right\}<0>$

${\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}\end{array}\right]\left\{{\mathrm{BC}}_r\right\}<0>$

$\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-\mathrm{\&lambda;}{1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-j{\mathrm{\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}\end{array}\right]\left\{{\mathrm{BC}}_r\right\}<0>$

${\mathrm{\&Psi;}}_r\left(x\right)={\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)<1/\mathrm{in}>$

${\mathrm{\&Psi;}}_r\left(x\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}x}& e^{-\mathrm{\&lambda;}{1}_{r}x}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}x}& e^{-j{\mathrm{\&lambda;}2}_{r}x}\end{array}\right]\left[u_r\right]\left\{{\mathrm{BC}}_r\right\}<1/\mathrm{in}>$

${\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-\mathrm{\&lambda;}{1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-j{\mathrm{\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}\end{array}\right]\left[u_r\right]\left\{{\mathrm{BC}}_r\right\}<1/\mathrm{in}>$

$\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-\mathrm{\&lambda;}{1}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{{\mathrm{j\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}& e^{-j{\mathrm{\&lambda;}2}_{r}L\underset{\&OverBar;}{x}}\end{array}\right]\left[\underset{\&OverBar;}{u_r}\right]\left\{{\mathrm{BC}}_r\right\}<0>$

$\left[\underset{\&OverBar;}{u_r}\right]=\stackrel{\&OverBar;}{L}\left[u_r\right]$ (15)

$y(x,t)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right){\mathrm{\&eta;}}_r\left(t\right)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right){\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=y(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t})=<\mathrm{in}>$

$\underset{\&OverBar;}{y}(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t})=\frac{1}{L}\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right){\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<0>$

$\mathrm{\&theta;}(x,t)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Psi;}}_r\left(x\right){\mathrm{\&eta;}}_r\left(t\right)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right){\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\mathrm{\&theta;}(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t})=<0>$

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t})=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)L\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\underset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<0>$

对无量纲化的振型Φ_r、Ψ_r进行微分和积分：

$\frac{\&PartialD;y(x,t)}{\&PartialD;x}=\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<0>$

$\frac{{\&PartialD;}^{2}y(x,t)}{{\&PartialD;x}^2}=\frac{1}{L^2}\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}^2}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<1/\mathrm{in}>$

$\frac{\&PartialD;y(x,t)}{\&PartialD;t}={\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}={\mathrm{\&omega;}}_{1}L{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}<\mathrm{in}/\sec >$

$\frac{{\&PartialD;}^{2}y(x,t)}{{\&PartialD;t}^2}={{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}^2}={{\mathrm{\&omega;}}_1}^{2}L{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}<\mathrm{in}/{\sec }^2>$

$\frac{{\&PartialD;}^{2}y(x,t)}{\&PartialD;x\&PartialD;t}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_1}{L}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}={\mathrm{\&omega;}}_1\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}<1/\sec >$

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}(x,t)}{\&PartialD;x}=\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<1/\mathrm{in}>$

$\frac{{\&PartialD;}^2\mathrm{\&theta;}(x,t)}{{\&PartialD;x}^2}=\frac{1}{L^2}\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)=\frac{1}{L^2}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)<1/{\mathrm{in}}^2>$

$\frac{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}(x,t)}{\&PartialD;t}={\mathrm{\&omega;}}_1{\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}={\mathrm{\&omega;}}_1\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}<1/\sec >--\left(16\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^2\mathrm{\&theta;}(x,t)}{{\&PartialD;t}^2}={{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{t}}^2}={{\mathrm{\&omega;}}_1}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}<1/\sec >$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right)}{\&PartialD;x}=\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}=<1/\mathrm{in}>$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Psi;}}_r\left(x\right)}{\&PartialD;x}=\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Psi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}=<1/{\mathrm{in}}^2>$ (17)

${\&Integral;}_{x_L}^{x_R}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right)\mathrm{dx}=L{\&Integral;}_{x_L/L}^{x_R/L}{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)d\underset{\&OverBar;}{x}=<\mathrm{in}>$

${\&Integral;}_{x_L}^{x_R}{\mathrm{\&Phi;}}_{n1}\left(x\right){\mathrm{\&Phi;}}_n\left(x\right)\mathrm{dx}=L{\&Integral;}_{x_L/L}^{x_R/L}{\mathrm{\&Phi;}}_m\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right){\mathrm{\&Phi;}}_n\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)d\underset{\&OverBar;}{x}=<\mathrm{in}>$

在公式(17)中，积分x_R/L和x_L/L的范围分别为0-1或-1/2-+1/2，取决于坐标系的位置。公式(18)与公式(14)相同，但包含了全部无量纲关系：

$\frac{\hat{k}{\mathrm{GA}}_t}{{\mathrm{EI}}_t}(\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}^2}-\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}})\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)-\frac{\mathrm{\&rho;A}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^{2}L}{{\mathrm{EI}}_t}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{t}}^2}-\frac{d{\mathrm{\&omega;}}_{1}L}{{\mathrm{EI}}_t}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}-...$

$\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v}_f{\mathrm{\&omega;}}_1}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v_f}^2}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}{\mathrm{\&eta;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{1}{{\mathrm{EI}}_t}F(\underset{\&OverBar;}{x_{\mathrm{drv}}},\underset{\&OverBar;}{t})=0$

$\frac{1}{L^2}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{({\mathrm{PA}}_f-S)}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{\hat{k}{\mathrm{GA}}_t}{{\mathrm{EI}}_t}(\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}-\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right))\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)-...$

$\frac{\mathrm{\&rho;I}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2}{{\mathrm{EI}}_t}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{t}}^2}=0$ (18)

对公式(18)的全部分别用L²和L相乘：

$\frac{\hat{k}{\mathrm{GA}}_t{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}(\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}-\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}})\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)-\frac{\mathrm{\&rho;}{{\mathrm{A\&omega;}}_1}^2{L}^4}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{t}}^2}-\frac{d{\mathrm{\&omega;}}_1{L}^4}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}-...$

$\frac{2{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v}_f{\mathrm{\&omega;}}_1{L}^3}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{t}}-\frac{{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v_f}^2{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{L^2}{{\mathrm{EI}}_t}F(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t})=0$

$\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{L}}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{({\mathrm{PA}}_f-S)L^2}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)+\frac{\hat{k}{\mathrm{GA}}_t{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}(\frac{1}{L}\frac{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}-\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right))\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)-...$

$\frac{\mathrm{\&rho;I}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}\frac{1}{L}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&eta;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{t}}^2}=0$ (19)

在公式(19)中，S对张力是正的，因此，当张力为正时，S为负：

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}=\frac{\mathrm{\&rho;A}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{L}^4}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{S}=\frac{({\mathrm{PA}}_f-S)L^2}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}=\frac{\mathrm{\&rho;I}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}$

$\underset{\&OverBar;}{A}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v_f}^2{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{B}=\frac{\hat{k}\mathrm{GA}{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{\stackrel{.}{m}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v_f}^2}{{\mathrm{EI}}_t}--\left(20\right)$

$\underset{\&OverBar;}{f}=\frac{L^3}{{\mathrm{EI}}_t}f(x,t)$ $\underset{\&OverBar;}{F}=\frac{L^2}{{\mathrm{EI}}_t}F(x_{\mathrm{drv}},t)$ $\underset{\&OverBar;}{d_r}=\frac{2{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_r\mathrm{\&rho;A}{\mathrm{\&omega;}}_1{L}^4}{{\mathrm{EI}}_t}$

将公式(19)排列为紧凑的矩阵形式：

注意到振型函数

和 是无量纲的。当计算正交性时，1/L项用来使积分无量纲化。“方框”符号是微分算子的占位符。公式(21)的第一项解决比例阻尼和科里奥利效应。第三项解决梁的刚度、离心力、压力、和张力。刚度矩阵是基本对角的，其中一些项稍微不对称。

为了计算任意两个模式m和r的正交性，或“自共轭性”，微分公式的每一项在梁的整个长度上积分：

(22)

修改积分，使得积分在长度L上被无量纲化：

(23)

长度L抵消，得出无量纲模态质量、阻尼、科里奥利、和刚度矩阵mr、 dr、 cr、 kr：

${\underset{\&OverBar;}{\mathrm{mr}}}_{m,n}={\&Integral;}_{x_L/L}^{x_R/L}{\left[\begin{array}{c}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_m}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\\ \underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_m}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}& 0\\ 0& \underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\\ \underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}\right]d\underset{\&OverBar;}{x}--\left(24\right)$

$\underset{\&OverBar;}{N_m}={\left[\begin{array}{c}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_m}\left(x_{\mathrm{drv}}\right)\\ \underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Psi;}}_m}\left(x_{\mathrm{drv}}\right)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{c}\underset{\&OverBar;}{F}\\ 0\end{array}\right]--\left(27\right)$

流量运动的模态微分公式可以简化为矩阵形式：

$\left[\underset{\&OverBar;}{\mathrm{mr}}\right]\left\{\underset{\&OverBar;}{\overset{..}{\mathrm{\&eta;}}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)\right\}+[\underset{\&OverBar;}{\mathrm{dr}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{cr}}]\left\{\underset{\&OverBar;}{\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)\right\}+\left[\underset{\&OverBar;}{\mathrm{kr}}\right]\left\{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)\right\}=\left\{\underset{\&OverBar;}{N_r}\right\}--\left(28\right)$

模态响应{ η( t)}可以认为是和谐的，从而公式(28)被改为公式(29)(对于固定端部的梁，最好在ω＝ω₁驱动传感器导管)：

(- ω ²[ mr]+j ω[ dr+ cr]+[ kr]){ η( t)}＝{ N}        (29)

左边括号内的量可以认为是类似以上参考公式(6)和(7)描述的“模态动态刚度”。通过对该模态动态刚度(模态频率响应函数)求逆，将其移到右边可以计算无量纲模态响应：

{ η( t)}＝(- ω ²[ mr]+j ω[ dr+ cr]+[ kr])^-1{ N}      (30)

此时，可以简化假设所述梁的作用就像欧拉/伯努利梁，即 ρI≈ A≈ S≈0。对于欧拉/伯努利梁，模态刚度可以表示为：

${\mathrm{kr}}_{m,r}={\mathrm{EI}}_t{\&Integral;}_{x_L}^{x_R}\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&Phi;}}_m\left(x\right)}{{\&PartialD;x}^2}\frac{{\&PartialD;}^2{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(x\right)}{{\&PartialD;x}^2}\mathrm{dx}$ (31)

${\underset{\&OverBar;}{\mathrm{kr}}}_{\underset{\&OverBar;}{m,r}}={\&Integral;}_{x_L/L}^{x_R/L}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_m}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{{\&PartialD;\underset{\&OverBar;}{x}}^2}\frac{{\&PartialD;}^2\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&Phi;}}_r}\left(\underset{\&OverBar;}{x}\right)}{\&PartialD;{\underset{\&OverBar;}{x}}^2}d\underset{\&OverBar;}{x}$

这允许从积分中去除无量纲常数，使得公式(31)简化为公式(32)，其中∧表示由振型的积分产生的常矩阵：

$\left\{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)\right\}={(-{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^2\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}[\underset{\&OverBar;}{\hat{m}r}]+j\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}\left(\underset{\&OverBar;}{d}\right[\underset{\&OverBar;}{\hat{d}r}]+\underset{\&OverBar;}{\stackrel{.}{m}}[\underset{\&OverBar;}{\hat{c}r}\left]\right)+\left[\underset{\&OverBar;}{\hat{k}r}\right])}^{-1}\left\{\underset{\&OverBar;}{N}\right\}--\left(32\right)$

具有基本固定的端部的导管在第一弯曲模式频率可以假设具有近似固定端部的梁的响应。因此，导管的物理响应可以近似为好像固定梁振型和固定梁模态响应的乘积，这意味着振型可以假设为在激励频率实际上被保持为恒定。因此，模态质量、阻尼、科里奥利、和刚度矩阵

和 可以假设为恒定。假设模态激励不变，则公式(32)中变化的变量只有 ρA、 d和

还可以假设 ω＝1，因为第一弯曲模式典型地在直管科里奥利流量计中驱动。理论上，质量流量可以在模态域中测量，因为有流量时{ η( t)}很复杂：

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}=\left(({\mathrm{\&rho;}}_t{A}_t+{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f)L\right){{\mathrm{\&omega;}}_1}^2\frac{L^3}{{\mathrm{EI}}_t}$ (33)

$\underset{\&OverBar;}{\stackrel{.}{m}}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v_f}^2}{{\mathrm{EI}}_t}$

其中，

$({\mathrm{\&rho;}}_t{A}_t+{\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f)L<\frac{\mathrm{lbf}{\sec }^2}{\mathrm{in}}>$

表示流量管和其内部流体的质量，ω₁是驱动频率(第一弯曲模式的假设驱动)，且

$\frac{{\mathrm{EI}}_t}{L^3}<\frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}}>$

与梁的光度成正比。

扩展无量纲参数，并提取公共变量，得到：

$\left\{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right)\right\}=\frac{{\mathrm{EI}}_t}{\left(\left(\mathrm{\&rho;A}\right)L\right)L^3}(-{\mathrm{\&omega;}}^2[\underset{\&OverBar;}{\hat{m}r}]+2\mathrm{j\&zeta;}[\mathrm{\&omega;}_{r\backslash }^{\backslash }]\mathrm{\&omega;}\left[\underset{\&OverBar;}{\hat{d}r}\right]+2j\frac{\left({\mathrm{\&rho;}}_f{A}_f{v}_f\right)}{\left(\left(\mathrm{\&rho;A}\right)L\right)L^3}\left[\underset{\&OverBar;}{\hat{c}r}\right]+\frac{{\mathrm{EI}}_t}{\left(\left(\mathrm{\&rho;A}\right)L\right)L^3}\left[\underset{\&OverBar;}{\hat{k}r}\right]{)}^{-1}\left\{\underset{\&OverBar;}{N}\right\}--\left(34\right)$

如果流体密度在公式(34)中关于每单位长度的总质量保持恒定，则校准偏差与Ei_t/L³成正比。如果该假设成立，则公式34中剩余的变量是EI_t、ρ_fA_fν_f、ω、和ζ，其中，ω是激励频率，ρ_fA_fν_f是质量流速，EI_t是导管的抗弯刚度。在流量传感器应用中，长度通常是已知的，并由设计确定。如果流量传感器导管限制于基本固定的边界条件中，则振型和模态频率也可以已知。因此，模态质量、阻尼、科里奥利、和刚度矩阵

和

可以假设为恒定。因此，物理响应可以变换到任意数量的物理响应点p，其中r是模式个数。只要导管端部基本固定，则用于将模态响应反变换为物理响应的模态矩阵就是已知的：

$\{y(\underset{\&OverBar;}{x},\underset{\&OverBar;}{t}){\}}_p=[{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(\underset{\&OverBar;}{x_p}\right){]}_{p,r}L\{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\left(\underset{\&OverBar;}{t}\right){\}}_r--\left(35\right)$

该物理响应较复杂。如上所述使用时间差或相位测量值可以从物理响应得到质量流量测量。

从公式(34)和(35)，未知的只有质量/单位长度EI_t。如果简化假设，即假设传感器导管是欧拉梁，则可以确定振型的特征值λ_r。因此，如果测量到EI_t，可以较精确地确定校准因子，例如，误差小于1％。对于具有固定/固定边界条件的欧拉/伯努利梁，特征值(λ_r)可能已知。通常至少驱动模式的频率为已知。因此，ρA/EI_t可以从频率和特征值信息如下估算：

${{\mathrm{\&lambda;}}_r}^4={{\mathrm{\&omega;}}_r}^2\frac{\mathrm{\&rho;A}}{{\mathrm{EI}}_t}--\left(36\right)$

对于更精确的传感器，影响流量管频率和边界条件的剪切刚度和旋转惯性可以考虑。张力影响也可考虑。下面示出如何消除公式(20)中的前4个特征值参数。公式(20)提供了如下无量纲关系：

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}=\frac{\mathrm{\&rho;A}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{L}^4}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{S}=\frac{({\mathrm{PA}}_f-S)L^2}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}=\frac{\mathrm{\&rho;I}{{\mathrm{\&omega;}}_1}^2{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}$ $\underset{\&OverBar;}{B}=\frac{\hat{k}\mathrm{GA}{L}^2}{{\mathrm{EI}}_t}--\left(37\right)$

从公式(37)，可以使用实际标准模式假设导出模式的频率公式：

$\det \left|\left[\begin{array}{cc}(\underset{\&OverBar;}{A}-\underset{\&OverBar;}{B})\underset{\&OverBar;}{{{\mathrm{\&lambda;}}_r}^2}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}{\mathrm{\&omega;}}^2& \underset{\&OverBar;}{B}\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&lambda;}}_r}\\ -(\underset{\&OverBar;}{S}+\underset{\&OverBar;}{B})\underset{\&OverBar;}{{\mathrm{\&lambda;}}_r}& \underset{\&OverBar;}{B}-\underset{\&OverBar;}{{{\mathrm{\&lambda;}}_r}^2}-\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}{\mathrm{\&omega;}}^2\end{array}\right]\right|=0--\left(38\right)$

公式(38)可以根据特征值、模态频率、和无量纲特征值重新排列，得到：

${({{\mathrm{\&lambda;}1}_r}^2+{{\mathrm{\&lambda;}2}_r}^2)}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^2& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{(\underset{\&OverBar;}{A}+\underset{\&OverBar;}{S})}^2\\ 2(\underset{\&OverBar;}{A}+\underset{\&OverBar;}{S})(\frac{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}}{\underset{\&OverBar;}{B}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}})-4\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}\\ {(\frac{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}}{\underset{\&OverBar;}{B}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}})}^2-4\frac{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}}{\underset{\&OverBar;}{B}}\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^2& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^4\end{array}\right]\left\{\right\{V1{\}}^2$

${{\mathrm{\&lambda;}1}_r}^2-{{\mathrm{\&lambda;}2}_r}^2=\left[\begin{array}{cc}1& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-(\underset{\&OverBar;}{A}+\underset{\&OverBar;}{S})\\ -(\frac{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}}{\underset{\&OverBar;}{B}}+\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& {{\mathrm{\&omega;}}_r}^2\end{array}\right]\left\{V2\right\}$ (39)

对于固定/固定梁，或具有其它可计量边界条件的梁，公式(39)左边可以是已知的，并对许多模式可以认为是常量。如果测量了至少3个模式的模态频率，则可以求解 ρA、 S、 ρI、和 B：

$\underset{\&OverBar;}{S}=-{V2}_0=-\sqrt{{V1}_0}$

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}=\frac{{V1}_1+{2V2}_0{V2}_1}{4}$

$\underset{\&OverBar;}{B}=-2\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}\frac{{V2}_2}{{{V2}_2}^2-{V1}_3}-2\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}[{\left(\frac{{V2}_2}{{{V2}_2}^2-{V1}_3}\right)}^2-\frac{1}{{{V2}_2}^2-{V1}_3}{]}^{1/2}--\left(40\right)$

$\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;I}}=-{V2}_2-\frac{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;A}}}{\underset{\&OverBar;}{B}}$

使用从频率响应函数(FRF)测量值可以将特征值参数分解为ρA、ρI、EI_t、

和S。测量ρA和ρI的一种方法是测量流量导管的模态质量。一种从有限量的FRF测量值进行循环拟合的方法可以提供模式的特征值的估计值和余数。第r个模式的模态质量m_r可以从余数R_qqr计算，其中qqr指的是第r个模式的驱动点响应：

$R_{\mathrm{qqr}}={{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{qqr}}}^2\frac{-j}{2m_r{\mathrm{\&omega;}}_r}--\left(41\right)$

$m_r={{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{qqr}}}^2\frac{-j}{2R_{\mathrm{qqr}}{\mathrm{\&omega;}}_r}$

然后可以产生ρA和ρI的最小二乘估计：

现在，

和 可以看作近似恒定(但不是对角)矩阵，并可以从公式(42)中消去(pulled)。通过将列向量叠加，并进行伪求逆(pseudo inverse)，可以获得ρA和ρI的最小二乘估计：

通常，ρA和ρI随流体密度的变化而变化。在安装时，流体密度可能不知道。但是，期望的参数EI_t和

通常不随时间变化，尽管E和G随温度有微小变化，I_t和A_t随压力而变化。因此，在安装时，ρA和ρI可以被测量，并用于计算EI_t和

有这些信息在手，就可以进行校准因子的现场估计。如果从相位测量值得出质量流量测量值，则ρA可能改变校准偏差。这样的流体密度对校正偏差的影响可以通过使用时间差测量值代替相位测量值得到减小。

上述技术的一个潜在好处是模态质量的测量通常要求确定驱动点响应，例如，在流量管被驱动的位置的响应。但是，测量流量却不需要这样的驱动点响应。因此，如果在流量传感器工作的过程中测量驱动点响应不方便，则可以在驱动点使用一个运动变送器来安装/校准，然后在正常工作时去除该变送器(或忽略其输出)。

示范校准装置和操作

图3示出根据本发明实施例的校准因子发生电路300的一种典型实现。校准因子发生电路300可以确定一个流量传感器的校准因子。如图所示，校准因子发生电路300包括标准模态动态特征描述电路310，该电路310可以产生导管运动的标准模态动态特征，例如，在包括多个标准模式的模态域中一个微分运动公式的表示。该校准因子发生电路300还包括校准因子确定电路320，其可以从标准模态动态特征315确定校准因子325。例如，校准因子确定电路320可以操作来从标准模态动态特征315产生所述模态微分运动公式的解，以及例如通过从该解产生时间差或相位关系的估计来从该解确定校准因子，并从中确定校准因子325。校准因子发生电路300还包括接口电路330，其可操作来将确定的校准因子325传递到质量流量传感器的质量流量估算器360。如图3所示，标准模态动态特征描述电路310可以利用由振型函数发生电路350产生的振型函数Φ产生标准模态动态特征315。振型函数发生电路350从表示质量流量传感器的导管运动的运动信号301产生所述振型函数Φ，如上述美国专利申请No.09/941,332所述，标准模态动态特征描述电路310还可以利用由模态分析电路340产生的模态质量、阻尼、和刚度项[mr]，[dr]，[kr]，或者可以使用振型函数Φ来产生这样的信息，如以上参考公式(24)、(25)和(27)所述。在执行流量传感器导管的模态分析时，模态分析电路340可以例如产生驱动信号303来激励质量流量传感器导管，并可以利用例如传统技术来处理表示响应该激励的运动的运动信号302。标准模态动态特征描述电路310还可以使用空间科里奥利矩阵[C]来产生标准模态动态特征315的模态科里奥利矩阵项，如参考公式(3)所描述的，或可以直接从振型函数Φ确定这样的科里奥利项。

如图3概念性地所示，校准因子发生电路300可以包括一个单独的单元，或可以与模态分析电路340和/或振型函数发生电路350和/或质量流量估算电路360相结合。例如，校准因子发生电路300的全部或一部分可以与质量流量估算电路360集成在一个公用的数据处理器中，如，构成一个质量流量传感器装置一部分的微控制器、微处理器或数字信号处理器(DSP)，从而使得例如标准模态动态特征描述电路310、校准因子确定电路320、接口电路330、和质量流量估算电路360实现为软件对象、模块等，其配置为在所述公用数据处理器上协调运行。可选地，校准因子发生电路300的全部或一部分可以与振型函数发生电路350和/或模态分析电路340集成在例如用于一件测试或过程控制设备的一个公用数据处理装置中，使得例如这些电路实现为协调运行的对象、模块等。应当理解，普遍而言，校准因子发生电路300可以使用在通用或专用数据处理器上运行的专用硬件、软件或固件或其结合实现。

图4-6为根据本发明各种实施例的示范操作的流程图说明。本领域的技术人员能够理解，这些流程图的操作可以使用计算机指令实现。这些指令可以在计算机或其它数据处理装置上执行，例如，可以用来实现图3的校准因子发生电路300，以产生能够执行所示操作的装置(系统)。这些计算机指令还可以在计算机可读介质例如集成电路存储器、磁盘、磁带等上存储为计算机可读程序代码，该代码可以引导计算机或其它数据处理装置执行所示操作，从而提供执行所示操作的装置。该计算机可读程序代码也可在计算机或其它数据处理装置上执行，使该装置执行计算机实现的处理。相应地，图4-6支持装置(系统)、计算机程序产品和方法，以执行此处所示操作。

本领域的技术人员应当理解，本发明可以根据不同于此处所示实施例的多种其它方式实现。例如，此处所述计算可以实现为单独计算或组合为实现相同结果的一个或多个计算。此处所述功能一般可以使用数字和/或模拟信号处理技术实现。本领域的技术人员还应理解，尽管本发明可以在例如科里奥利质量流量计的装置内实现，或实现为可由这样的装置执行的方法，但本发明也可在配置为与流量计或传感器装置联合操作的装置中实现，例如在过程控制装置中。还应理解，本发明可以实现为计算机可读指令或程序代码形式的产品，该指令或程序代码存储在计算机可读存储介质如磁盘、集成电路存储设备、磁带、磁泡存储器等上。这样的计算机程序代码可以由计算机或其它数据处理器执行，并响应从运动变送器提供的运动信号来执行，这些运动变送器的操作与流量传感器或类似结构关联。

图4示出根据本发明实施例产生一个流量传感器的校准因子的示范操作400。从测量的响应数据，例如从由图1所示的运动变送器产生的运动信号，确定一个振型函数，例如以上参考公式(2)描述的振型函数(块410)。然后从该振型函数产生一个标准模态动态特征(块420)。例如，通过如以上参考公式(3)-(15)所描述的，利用模态分析技术确定模态质量和硬度刚度矩阵，并从一个预定质量流量的离散物理科里奥利矩阵产生一个模态科里奥利矩阵，可以产生包括模态质量项、模态刚度项、模态阻尼项以及模态科里奥利项的模态微分公式，这可以看作是相对于空间科里奥利特征(例如，物理科里奥利矩阵)确定离散振型的正交性。可选地，模态科里奥利矩阵可以通过确定预定质量流速的连续模态函数的正交性(例如，相对于它自己和其它振型函数)来确定，如参考公式(26)所描述，而模态质量和刚度矩阵可以通过类似的标准化，如公式(24)、(25)和(27)，或通过传统的模态分析技术来确定。然后可以从所述标准模态特征确定校准因子(块430)。例如，可以求解包括模态质量、刚度、阻尼、和科里奥利项的模态微分公式，并转换到空间域，来得出估计的空间响应，从该响应可以确定校准因子，如参考公式(3)、(6)-(8)以及(32)-(35)所描述的。

图5示出根据本发明一些实施例确定一个流量传感器校准因子的示范操作500。利用例如传统模态分析技术确定一个模态微分运动公式的模态质量和刚度项，如公式(6)的[mr]和[kr]矩阵(块510)。然后从空间科里奥利特征和振型函数，如公式(3)中描述的物理科里奥利矩阵[C]，确定运动公式的模态科里奥利项，如公式(6)的[cr]矩阵(块520)。然后，从导管运动随模态质量、刚度、和科里奥利项而变化的标准模态动态特征，例如从模态微分运动公式，确定校准因子(块530)。

图6示出根据本发明其它实施例确定一个流量传感器校准因子的示范操作600。利用例如传统模态分析技术或通过如参考公式(24)和(25)所描述的振型函数标准化，确定一个模态微分运动公式的模态质量和刚度项，如公式(34)的

和 矩阵(块610)。然后通过确定一个预定质量流速的振型函数的正交性，如参考公式(26)描述的，确定运动公式的模态科里奥利项，如公式(34)的 矩阵(块620)。然后，从导管随模态质量、刚度、和科里奥利项运动的标准模态动态特征，例如从模态微分运动公式的解，确定校准因子(块630)。

如上所述，如果适当约束导管的运动以提供预定的边界条件，则可以对流量传感器导管的模态特性进行简化假设。例如，通过固定传感器导管的端部，可以获得导管的至少一个模式的基本确定的、近似的边界条件。

例如，如图7所示，流量传感器700可以包括由致动器706驱动(振动)的导管703。当物质708流过导管703时，运动传感器705产生表示导管703的运动状态的运动信号707。质量流量确定电路710利用从传感器700的标准模态动态特征导出的校准因子755从该运动信号707产生质量流量估计715。

具体地，如上所述，可以通过假设导管703的正常模式的一种预定的边界条件，例如假设由致动器706驱动的第一弯曲模式的固定/固定边界条件，可以导出校准因子755。如图7中概念性地所示，该边界条件可以通过将导管703的位置703A、703B固定到基本刚性结构730来近似。应当理解，对位置703A、703B的该固定可以通过多种不同方式实现。例如，导管704的位置703A、703B可以利用卡子、焊接或其它紧固技术来固定到刚性结构。

应当理解，根据本发明的实施例，这样的方式可以便于实现简单的直管科里奥利流量计，这种科里奥利流量计不需要许多传统直管传感器中所用的机械调谐平衡梁。还应当理解，上述技术还使得能够在实践中实现一种“扣紧(clamp-on)”流量传感器，即，由变送器、致动器和与构成一个处理装置的一部分的管子或其它导管的长度关联的电路实现的流量传感器，例如精炼、处理厂或其它设备中的现有管线。

根据本发明实施例的直管流量传感器结构的一个例子示于图8。在图8中，流量传感器800包括一个导管803，其附着于一个外壳804并被该外壳包围。该导管803配置为从例如附着于法兰802的管线(未示出)接收物质或向其发送物质。传感器800进一步包括一个或多个致动器806，其导致导管803和外壳804之间的相对运动。多个运动变送器805产生表示导管803和外壳804之间的相对运动的运动信号807。

传感器接口电路810包括一个质量流量确定电路812，其操作接收所述运动信号807，并根据校准因子855从中产生一个质量流量估计813。该传感器接口电路810还包括驱动器电路814，用于控制所述一个或多个致动器806。

校准因子855由标准模态动态特征化校准电路850产生。该校准电路850从导管803的运动的一个标准模态动态特征导出所述校准因子855。如虚线连接所示，所述校准电路850可以操作接收由变送器805产生的运动信号807和/或产生驱动信号，来驱动一个或多个致动器806。这一能力可以用来确定振型函数和模态微分运动公式的项，以及确定所述校准因子855所需的其它参数。

如上所述，校准因子855可以根据一种假设来导出，即，假设导管803将约束于预定的边界条件，例如导管803的第一弯曲模式的固定端部边界条件。为了近似这样的预定边界条件，对导管803的运动加以限制。例如，如图8概念性所示，通过将导管803约束到刚性结构，可以将靠近法兰802的运动限制于近似固定条件，从而使得靠近法兰802的运动几乎消失。应当理解，这样的固定可以通过多种不同方式实现。例如，可以通过将连接到法兰802的一条管线卡、焊或采取其它方式固定到刚性结构来限制靠近法兰802的运动。也可以通过例如将外壳804固定到刚性结构来实现固定，假设外壳804的刚度足以限制靠近法兰802的运动。

进一步应当理解，传感器接口电路810可以通过多种不同方式实现。例如，传感器接口电路810可以实现为带有外壳804的电子封装。可选地，传感器接口电路810的全部或部分的位置可以与外壳804和其中的组件分离。例如，传感器接口电路810的全部或部分可以包括在连接到所述一个或多个致动器806和/或运动变送器805的远程过程控制装置中。

进一步应当理解，校准电路850可以通过多种不同方式实现。例如，校准电路850的全部或部分可以与传感器接口电路810集成。校准电路850的全部或部分也可以包括在例如设计为与工厂或其它设备中的传感器800接口的远距离过程控制或其它设备。校准电路850的全部或部分也可以在例如测试设备(现场或工厂)中提供，该测试设备配置为连接到传感器800用于校准，但在传感器800正常运行时拆除或使无效。传感器接口电路810还可以与校准电路850共享组件，如处理电路或驱动器电路。

图9示出根据本发明其它实施例的“扣紧”流量传感器构造的一个例子。管线903在第一和第二位置903A、903B通过第一和第二管卡911A、911B卡在刚性结构930上。多个运动变送器905，如惯性或相对变送器，被配置为在各个位置与管线903啮合，并产生表示导管903的运动状态的运动信号907。传感器接口电路910包括一个质量流量确定电路912，其操作来根据从管线903的运动的标准模态动态特征导出的校准因子955处理所述运动信号907。一个或多个致动器906还配置为与管线903啮合，并被传感器接口电路910中包含的驱动器电路914驱动。

校准因子955由标准模态动态特征校准电路950产生。校准电路950从导管903的运动的标准模态动态特征导出校准因子955。如虚线连接所示，校准电路950可以接收由变送器905产生的运动信号907和/或产生驱动信号来驱动所述一个或多个变送器906。这一能力可以用于确定例如振型函数和模态微分运动公式的项，和确定校准因子955所需的其它参数。

校准因子955可以根据一种假设来导出，即，假设导管903将约束于预定的边界条件，例如导管903的第一弯曲模式的固定端部边界条件。为了近似这样的预定边界条件，对导管903的运动加以约束。例如，如图9所示，可以通过将导管903附着于刚性结构930上的卡子911A和911B来约束导管903在相互隔开的第一和第二位置903A和903B的运动。应当理解，这样的固定可以通过其它方式实现。

传感器接口电路910可以通过多种不同方式实现。例如，传感器接口电路910可以实现为被配置靠近变送器905和致动器906的电子封装。可选地，传感器接口电路910的全部或部分的位置可以与变送器905和一个或多个致动器906分离。例如，传感器接口电路910的全部或部分可以包含在通过通讯链接与一个或多个致动器906和/或运动变送器905连接的远程过程控制装置中。

进一步应当理解，校准电路950可以通过多种不同方式实现。例如，校准电路950的全部或部分可以与传感器接口电路910集成。校准电路950的全部或部分也可以包括在过程控制或其它设备中。校准电路950的全部或部分也可以在例如测试设备(现场或工厂)中提供，该测试设备连接到致动器906和变送器905用于校准，但在正常运行时拆除或使无效。传感器接口电路910还可以与校准电路950共享组件，如处理电路或驱动器电路。

图10示出根据本发明实施例的扣紧流量传感器构造的另一个例子。管线1003在第一和第二位置1003A、1003B通过第一和第二管卡1011A、1011B卡在刚性结构1030上。管卡1011A、1011B也附着于刚性结构1004上，如刚性梁。多个相对运动变送器1005被配置为在各个位置与管线1003啮合，并提供表示导管1003相对于结构1004的运动的运动信号1007。传感器接口电路1010包括一个质量流量确定电路1012，其操作来根据从管线1003的运动的标准模态动态特征导出的校准因子1055处理所述运动信号1007。一个或多个致动器1006还配置为与管线1003啮合，并根据传感器接口电路1010中包含的驱动器电路1014驱动导管1003。

校准因子1055是由标准模态动态特征校准电路1050产生的。该校准电路1050从所述导管1003的运动的标准模态动态特征导出校准因子1055。如虚线连接所示，校准电路1050可以操作接收由变送器1005产生的运动信号1007，和/或产生驱动信号来驱动所述一个或多个变送器1006。该能力可以用于例如确定振型函数和模态微分运动公式的项，以及确定校准因子1055所需的其它参数。

校准因子可以根据一种假设来导出，即，假设导管1003将约束于预定的边界条件，例如导管1003的第一弯曲模式的固定端部边界条件。为了近似这样的预定边界条件，对导管1003的运动加以约束。例如，如图10概念性所示，  可以通过附着于刚性结构1030上的卡子1011A和1011B来约束导管1003在相互隔开的第一和第二位置1003A和1003B的运动。应当理解，这样的固定可以通过其它方式实现。

传感器接口电路1010可以通过多种不同方式实现。例如，传感器接口电路1010可以实现为被配置靠近变送器1005和致动器1006的电子封装。可选地，传感器接口电路1010的全部或部分的位置可以与变送器1005和一个或多个致动器1006分离。例如，传感器接口电路1010的全部或部分可以包含在通过通讯链接与一个或多个致动器1006和/或运动变送器1005连接的远程过程控制装置中。

进一步应当理解，校准电路1050可以通过多种不同方式实现。例如，校准电路1050的全部或部分可以与传感器接口电路1010集成。校准电路1050的全部或部分也可以包括在例如过程控制或其它设备中。校准电路1050的全部或部分也可以在例如测试设备(现场或工厂)中提供，该测试设备连接到致动器1006和变送器1005用于校准，但在正常运行时拆除或使无效。传感器接口电路1010还可以与校准电路1050共享组件，如处理电路或驱动器电路。

根据本发明的其它实施例，用于流量传感器导管的预定边界条件也可以通过利用限制质量流量传感器的导管运动的振型控制技术来近似。这样的振型控制技术在例如标题为“Sensor Apparatus，Methodsand Computer Program Products Employing Vibrational ShapeControl”的美国专利申请09/942,189中描述，该申请属于Wheeler，此处共同提交并将全文引作参考。特别地，上述申请描述了与流量传感器导管操作关联的致动器如何可以用于近似导管的至少一种振动模式的固定边界条件，例如，直管型导管传感器的第一弯曲模式。

图11示出利用根据本发明实施例的振型控制的质量流量传感器装置1100。该装置1100包括一个导管1103。多个致动器1106操作来在多个位置上为所述导管施加力。多个运动变送器1105也在操作时与导管1103关联，并响应导管1103的运动而产生运动信号1107。

两个或更多运动信号1107可以被传感器接口电路1110的质量流量确定电路1112处理，以利用根据导管1103的一种模式(例如，第一弯曲模式)的预定边界条件的假设从导管1103运动的标准模态动态特征导出的校准因子产生质量流量估计1113。例如，假设的预定边界条件可以包括在导管1103的位置1103A和1103B几乎没有运动(例如，在一个惯性框架内)。

传感器接口电路1100进一步包括一个振型控制电路1114，该电路操作时接收部分或全部运动信号1107，并响应该信号产生驱动信号1109。例如，振型控制电路1120可以操作来以第一弯曲模式振动导管1103，同时约束导管1103的运动，使得校准因子1155所根据的预定边界条件得到近似。例如，振型控制电路1120可以驱动致动器1106，使得导管1103的第一弯曲模式被驱动，同时在导管位置1103A和1103B保持基本为零的第一弯曲模式的运动。

校准因子1155是由标准模态动态特征校准电路1150产生的。该校准电路1150可以操作来接收由变送器1105产生的运动信号1107和/或产生驱动一个或多个变送器1106的驱动信号(为清楚起见，图11中未示出连接)。这一能力可以用于例如确定振型函数和模态微分运动公式的项，以及确定校准因子1155所需的其它参数。

传感器接口电路1110可以以多种不同的方式实现。例如，传感器接口电路1110可以实现为在变送器1105和致动器1106附近配置的电子装置封装。可选地，全部或部分传感器接口电路1110的位置可以远离变送器1105和一个或多个致动器1106。例如，全部或部分传感器接口电路1110可以包括在通过通讯链路与致动器1006和/或运动变送器1105连接的远程过程控制装置中。

进一步应当理解，校准电路1150可以以多种不同方式实现。例如，校准电路1150的全部或部分可以与传感器接口电路1150集成在一起。校准电路1150的全部或部分可以包括在例如远离导管1103的过程控制或其它装置中。校准电路1150的全部或部分也可以在测试装置(现场或工厂)中提供，该测试装置连接到致动器1106和变送器1105进行校准，但在正常操作时被去除或使无效。校准电路1150的全部或部分也可以与校准电路1150共享诸如信号处理电路和驱动电路这样的组件。

进一步应当理解，类似于以上参考图8-10所描述的配置，参考图11所描述的有源振动控制方法可以用于实现直管流量传感器，包括集成和扣紧结构。

图12示出根据本发明另一方面的示范操作1200。假设一种预定边界条件，例如导管的一个或多个标准模式的固定端部边界条件，从传感器导管的标准模态动态特征确定质量流量传感器的校准因子(块1210)。产生表示导管运动的运动信号，同时通过例如将导管的适当位置附着于固定结构和/或通过使用形态控制，将导管的运动约束为与预定边界条件近似(块1220)。根据校准因子对这样产生的运动信号进行处理，以产生质量流量估计(块1230)。

在附图和说明中，公开了本发明的典型实施例。尽管其中运用的特定的术语，但这只是在一般的和叙述性意义上使用，而不是为了限制的目的。本发明的范围在下面的权利要求中提出。

Claims (26)

1.一种用于确定被配置为含有物质的导管中的质量流量的方法，该方法的特征在于以下步骤：从导管运动的标准模态动态特征确定校准因子；产生表示导管在其上多个位置处的运动的运动信号；和根据所确定的校准因子处理该运动信号，以产生一个质量流量估计。

2.如权利要求1所述的方法，其中确定校准因子包括：在包含导管的多个标准运动模式的模态域中产生模态微分运动公式的解；和根据所产生的模态微分运动公式的解产生校准因子。

3.如权利要求1所述的方法，其中所述校准因子将质量流速与上述的多个运动信号间的空间-时间关系联系起来。

4.如权利要求3所述的方法，其中所述校准因子将质量流速与时间差或相位关系中的一个联系起来。

5.如权利要求1所述的方法，其中所述标准模态动态特征表示导管的运动随模态科里奥利项变化的特征，该科里奥利项描述导管响应其中的质量流量的多个标准模式之间的耦合。

6.如权利要求5所述的方法，其中确定校准因子之前，先从一个振型函数确定所述模态科里奥利项，该振型函数描述导管在标准模式的运动随导管上的位置的变化。

7.如权利要求5所述的方法，其中确定校准因子之前，先从一个空间科里奥利特征确定所述模态科里奥利项，该空间科里奥利特征在空间域中描述导管的多个离散位置响应预定质量流量的运动。

8.如权利要求6所述的方法，其中所述振型函数是一个特征值和边界条件的函数。

9.如权利要求6所述的方法，进一步包括确定所述振型函数。

10.如权利要求9所述的方法，其中确定所述振型函数包括从预定的特征值和预定的边界条件确定所述振型函数。

11.如权利要求6所述的方法，其中确定校准因子之前，先确定导管中含有预定质量流量时一个振型函数的正交性，该振型函数描述导管在标准模式的运动随其上位置不同的变化。

12.如权利要求11所述的方法，进一步包括确定所述振型函数。

13.如权利要求1所述的方法，其中确定校准因子包括：从所述标准模态动态特征产生导管的多个位置的估算空间响应；和从该估算空间响应产生所述校准因子。

14.如权利要求13所述的方法，其中从所述估算空间响应产生所述校准因子包括：确定所述多个位置的运动之间的空间-时间关系；和从所确定的空间-时间关系确定所述校准因子。

15.如权利要求1所述的方法，其中确定校准因子包括从由多个运动变送器产生的运动信号产生所述校准因子。

16.一种质量流量传感器，包括：配置为包含一种物质(108)的导管(103)；多个运动变送器(105)，其操作产生表示导管的运动的运动信号；至少一个致动器(106)，其操作激励所述导管；和质量流量估算电路(360)，其操作根据一个校准因子从所述运动信号估算质量流量，其特征在于：

一个校准因子发生器电路(300)，其操作来从所述导管运动的标准模态动态特征产生校准因子，该校准因子发生器电路包括一个接口电路(330)，其操作将产生的校准因子(325)传送到所述质量流量估算电路。

17.如权利要求16所述的质量流量传感器，其中所述校准因子发生器电路包括一个标准模态动态特征化电路(310)，该电路操作产生导管运动的标准模态动态特征。

18.如权利要求16所述的质量流量传感器，其中所述标准模态动态特征表述导管的运动随一个模态科里奥利项而变化的特征，该模态科里奥利项描述导管响应其中的质量流量的多个标准模式之间的耦合。

19.如权利要求18所述的质量流量传感器，其中所述校准因子发生器电路操作来从一个振型函数确定所述科里奥利项，该振型函数描述导管在标准模式中的运动随其上位置的变化。

20.如权利要求19所述的质量流量传感器，其中所述校准因子发生器电路操作来从一个预定特征值和一个预定边界条件确定所述振型函数。

21.如权利要求16所述的质量流量传感器，其中所述校准因子发生器电路操作来从所述标准模态动态特征产生导管的多个位置的估算空间响应，并从该估算空间响应产生所述校准因子。

22.如权利要求16所述的质量流量传感器，其中所述校准因子发生器电路配置为从参数传感器的多个运动变送器接收运动信号，并操作来从所接收到的运动信号产生所述校准因子。

23.如权利要求16所述的质量流量传感器，其中所述质量流量估算电路配置为接收所述运动信号，并操作来利用从所述导管运动的标准模态特征导出的校准因子，从该运动信号产生一个质量流量估算，所述导管运动的标准模态特征假设导管的一种预定边界条件，并进一步包括用于约束导管的运动使其近似于所述预定边界条件的装置(730A和730B)。

24.如权利要求23所述的质量流量传感器，其中所述质量流量估算电路操作来确定时间差和相位关系，并将所述校准因子应用于所确定的时间差或相位关系二者中的一个，以产生质量流速的估算。

25.如权利要求23所述的质量流量传感器，其中约束导管运动的所述装置包括响应导管的运动向该导管施加力的装置，以引起近似于所述假设的边界条件的边界条件。

26.如权利要求23所述的质量流量传感器，进一步包括形状控制电路，其配置为从至少两个运动变送器接收运动信号，并操作响应该运动信号控制所述至少一个致动器。

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