CN1560593A - 扫描探针显微镜中压电执行器模型参数标定和非线性校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种扫描探针显微镜中的压电执行器参数标定和非线性校正方法。本发明提出的方法是：(1)扫描标准光栅样品，获得其SPM图像；(2)利用压电执行器模型参数标定软件获取压电执行器模型参数，(3)进行非线性在线校正前的数据转换，(4)在线进行非线性校正。本发明基于标准光栅样品SPM图像的压电执行器模型参数标定软件，以获得压电执行器模型参数，进行压电执行器非线性校正，消除SPM图像特征扭曲，并大为降低SPM产品标定的复杂程度。

Description

扫描探针显微镜中压电执行器模型

参数标定和非线性校正方法

技术领域

本发明涉及一种扫描探针显微镜(SPM)中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法。

背景技术

SPM系列产品是利用探针与样品的不同相互作用来探测表面或界面在纳米尺度上表现出的物理性质和化学性质。要控制针尖在样品表面高精度的扫描，用普通机械控制难以达到要求。压电执行器(简称PZT)具有高精度、响应速度快和良好的可控性等优点，从而成为微位移执行器的普遍选择。SPM利用PZT的逆压电效应，将其作为x、y和z方向的压电扫描(执行)器。当所加的电压较小时，PZT的形变量与所加的电压呈线性关系。在x，y方向，按一定顺序施加不同频率的三角波形驱动电压，使得探针在样品表面作光栅运动实现扫描。与此同时，采用闭环控制策略，确保针尖-样品高度恒定，则可以通过加在z向驱动器上的电压值推算出样品表面光栅轨迹点上的相对起伏高度，经计算机重建后就可以在屏幕获得反映样品表面形貌的扫描图像。

但是，由于压电材料、制造工艺、压电电极的极化方向等因素的影响，实际的PZT压电扫描器输入—输出仅在很小范围内可近似为线性，而一般表现为回滞、蠕变等非线性特征。在SPM的应用中，尤其是在大范围扫描模式下，压电扫描器逆压电效应的非线性明显增强。若不能较好地校正其非线性，则必然导致图像特征扭曲。

不少文献通过分析扫描坐标系与空间坐标系之间的关系，对SPM图像数据后处理，即采用离线的处理方式(Offline Process)来实现PZT非线性校正。但是，SPM图像扭曲不仅与PZT输入—输出特性有关，而且与样品特性和x、y轴正交性等诸多因素有关，所以图像后处理变得极为复杂。所以，为了避免这个弊端，使其仅与PZT输入—输出特性有关，而独立于其它因素，通过修改压电扫描器的驱动电压产生机制，调整施加到x、y方向压电驱动器上的电压来补偿其非线性更为方便、合理，即采用在线的处理方式(Online Process)实时地进行非线性校正。

王艳菊等(王艳菊，张大彪。扫描隧道显微镜中的扫描驱动器的特性改善。河北工业大学学报，2001，30(2))利用开环补偿法，通过离线实验获取PZT输入—输出数据，建立非线性补偿方程。将保证PZT线性输出的控制数据编制成表格，单片机查表获取校正控制数据，完成非线性补偿。另外，美国Digital Instruments公司在三角波形的PZT驱动电压的基础上，叠加一个指数衰减的补偿信号，从而获得近似线性的位移输出。而x、y方向压电执行器在高频、高强度周期性电压激励下，驱动探针在被测样品表面作往返运动，此时压电执行器表现出明显的回滞非线性(尤其进行大范围扫描时)。而上述各种方法均没有考虑到这一点，因此线性度难以进一步得到提高。

发明内容

本发明的目的在于提供一种扫描探针显微镜中压电执行器模型参数标定和非线性校正方法，实现扫描探针显微镜中压电执行器非线性校正，消除SPM图像特征扭曲。

为达到上述发明目的，本发明拟基于标准光栅样品SPM图像数据，获取x、y方向压电执行器的输入(即驱动电压)和输出(即形变量)序列，从而建立其模型。由SPM扫描机理可知，当x方向压电执行器从左到右(即驱动电压由低到高)时，采集样品高度信息并传给上位机成像，而相反方向运动时，不采集样品高度信息，仅仅是使得探针归位；y方向压电执行器从上到下(即驱动电压由低到高)和从下到上运动时，均采集样品高度信息并传给上位机成像。因此，从标准样品的SPM图像中，我们仅仅能间接得到x方向压电执行器从左到右、y方向压电执行器从上到下和从下到上运动时的输出位移数据，而不能得到x方向压电执行器从右到左的输出位移数据。因而x、y方向压电执行器在模型结构选取上有所不同，x方向压电执行器采用多项式模型，y方向压电执行器采用基于基本回滞算子线性叠加的回滞非线性模型。针对不同的模型描述，本发明给出了相应的压电执行器非线性校正方法。

本发明采用的技术方案如下：一种扫描探针显微镜中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法，其特征在于，具体实现步骤如下：

a.利用待标定的扫描探针显微镜(SPM)获取一维或二维标准光栅样品的SPM图像；

b.利用压电执行器模型参数标定软件获取压电执行器模型参数，其步骤为：

a).读取一维或二维标准样品的SPM图像文件，获取图像扫描参数，从而推算出扫描过程中x、y方向压电执行器的输入，即驱动电压序列；

b).借助鼠标操作，选择一维标准光栅图像中的行或列或二维标准光栅图像光栅格点；

c).根据用户输入的一维标准光栅相邻两条纹的物理间距或二维标准光栅相邻两网格点物理间距，软件执行运算，获取x、y方向压电执行器的输出，即形变量序列；

d).基于所获得的x、y方向压电执行器的输入，即驱动电压和输出，即形变量序列，及其模型结构，模型结构为：x方向压电执行器采用多项式，y方向压电执行器采用回滞非线性模型，然后分别采用最小二乘法和自适应

范围DNA软计算方法，建立x、y方向压电执行器模型，并将模型参数存储到文件adjust.bin中；

c.基于x、y方向压电执行器模型，实现非线性在线校正前的数据转换，其步骤为：

a).上位机软件读取文件adjust.bin，获取x、y方向压电执行器模型参数；

b).将用户设定的当前扫描范围带入x、y方向压电执行器模型中，计算出x、y方向实际驱动压电输出范围；

c).读取扫描频率f、采样周期ET、采用点数p等参数，分别计算x、y方向实际控制步骤，计算公式如下：Sdspx₊＝1/(2*f*ET)＝106/(32*f)，S_dspx-＝0，Sdspy₊＝Sdspx₊*2*p，S_dspy-＝0；

d).计算DSP输出的x、y方向扫描电压上下限；

e).将三组模型参数进行数制转换，并下传DSP控制器；

在DSP中执行如下三步，在线实现非线性校正，其步骤为：

(a).读取x、y方向上初始扫描电压xscan(0)，yscan(0)，并输出到压电执行机构；

(b).读取模型参数；

(c).根据得到的模型参数分别计算x、y方向下一步的步进驱动电压增量xscan(n)，yscan(n)，然后输出到电压执行机构，驱动探针在样品表面作二维运动。循环执行步骤(b)-(c)，直至完成整个扫描过程。

上述的压电执行器模型标定软件执行运算获取x、y方向压电执行器输出形变量的方法为：

d.行或列的高度信息数据Z进行阈值化处理：

若Z＞H_THRESHOLD，则Z＝Z

否则，Z＝0；

e.设定积分边界：对每一段高度信息连续不为0的点，第一个点的x(或y)坐标为积分下界a(或c)，最后一个点的x(或y)坐标为积分上界b(或d)；

c.特征点平面坐标确定：利用重心法确定特征点平面坐标(x，y)，其中，

$x=\frac{{\∫}_a^{b}x.z(x,y)\mathrm{dx}}{{\∫}_a^{b}z(x,y)\mathrm{dx}},y=\frac{{\∫}_c^{d}y.z(x,y)\mathrm{dy}}{{\∫}_c^{d}z(x,y)\mathrm{dy}}$

d.确定x(或y)方向压电执行器物理位移序列：选择一维标准光栅SPM图像的两行数据，其纵坐标分别为N1、N2，通过前四步获取N1、N2记为L，图像中光栅条纹与水平方向的夹角为α，从而，N2行相邻两特征点间距为L/sin(α)，式中α＝arctg(abs((N1-N2)/(x_2i-x_1i)))。以图像中心为坐标原点，可以得到x方向物理位移序列；类似地，可以获取y方向物理位移序列；

或者为：

a).对二维标准光栅SPM图像的每一个特征点，以其显示在SPM图像右侧的特征点的近似坐标为圆心，作半径为r的圆，其中r满足：

0.25d＜r＜0.5d

式中d为相邻两个特征点(非对角线)的平面距离；

b).确定特征点平面坐标x、y：

$x=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{i}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)},y=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{j}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)}.$

c).获取x、y方向压电执行器物理位移序列：

获取x方向压电执行器物理位移序列：设光栅网格点的平面坐标为

${\left\{(x_k,y_k)\right\}}_{k=1}^K,$

(a).相邻两个网格点(x_k，y_k)，(x_k+1，y_k+1)，拟合一条直线，该直线与x轴交角为α，则α＝arctg(|(y_k+1-y_k)/(x_k+1-x_k)|)；

(b).相邻两个网格点的物理位移已知，记为L，在x轴上的投影距离为L.cos(α)，即x轴上的两个位置点x_k、x_k+1的间距；

(c).重复(a)-(b)，便得到x轴上的一系列相邻位置点的间距；以图像

中心为坐标原点，便可得到x方向压电执行器物理位移序列；

以上述同样步骤和类似方法，获得y方向压电执行器物理位移序列。

本发明与现有技术相比较，具有如下显而易见的突出特点和显著优点：本发明基于标准光栅样品SPM图像的压电执行器模型参数标定软件，以获得压电执行器模型参数，并给出扫描探针显微镜中压电执行器非线性校正方法，消除SPM图像特征扭曲。本发明提供的方法大为降低SPM产品标定的复杂程度。

附图说明

图1扫描探针显微镜结构图。

图2a x、y方向PZT驱动电压波形。

图2b探针在x、y平面作光栅运动。

图3被扭曲的12um二维标准光栅SPM图像。

图4基于一维标准光栅SPM图像的数据测量系统界面。

图5基于二维标准光栅SPM图像的数据测量系统界面。

图6基本回滞算子示意图。

图7回滞逆流程图。

图8y方向压电执行器回滞非线性校正流程图。

图9非线性校正参数传输控制流程图。

图10 DSP控制器在线校正流程图。

具体实施方式：

本发明的一个优选实例是：参见图1，采用扫描探针显微镜中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法的装置，包括抗震台4上方的SPM头部1，SPM头部1由抗震台4上样品5上方的探针6和压电陶瓷管8，以及检测装置7组成，其特征在于检测装置7的输出连接一个控制器2的输入，控制器2的输出连接压电陶瓷管8，控制器2连接一个计算机。

参见图1、图2和图3，压电陶瓷管8驱动探针6在被测样品5表面作三维运动。控制器2中的高速信号处理器DSP产生x、y方向压电扫描器的驱动电压9、10、11、12，用以控制探针在样品表面作x、y方向上作二维运动13。与此同时，检测装置7检测隧道电流或原子力(根据不同SPM产品而定)等物理量，采用闭环控制策略，通过z方向压电执行器驱动，确保针尖-样品高度恒定，这样可以通过加在z方向驱动器上的电压值推算出样品表面光栅轨迹点上的相对起伏高度，经上位计算机3重建，可以在屏幕获得反映样品表面形貌的SPM图像14。

本扫描探针显微镜中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法如下：

一.压电执行器模型参数标定软件

为了获取x、y方向压电执行器模型参数，本专利开发了一套压电执行器模型参数标定软件。该软件基于一维、二维标准光栅样品的SPM图像数据矩阵 ${\left\{(i,j,z(i,j))\right\}}_{i,j=1}^N$ 以及图像扫描参数，获取压电执行器输入—输出数据，从而建立x、y方向压电执行器模型，以用于非线性、非正交误差校正，为SPM精确标定奠定基础。

根据图像扫描参数(扫描范围、压电灵敏度、扫描角度、偏置位移等)，可以推算出驱动电压序列，下面说明如何基于一维、二维标准光栅样品的SPM图像数据，获取x、y压电执行器的物理位移输出。

参见图4，基于一维标准光栅SPM图像的数据测量系统界面。当鼠标在图像显示区域15移动时，鼠标所处的行和列的轮廓会实时地在行轮廓16和列轮廓17显示，以帮助用户选择表征压电执行器的行和列图像数据。用户可以在图像显示区域15通过按“Shift+鼠标左键”和“Shift+鼠标右键”(或“Ctrl+鼠标左键”和“Ctrl+鼠标右键”)选定第一行和第二行(或第一列和第二列)，所选定的行号或列号显示在区域23、25、27和29。区域18-21显示所选定的行或列的轮廓，用户可以通过点鼠标左键设定高度阈值，同时设定的高度阈值显示在区域24、26、28和30中。点击按钮22，软件执行下述算法1，标定x、y压电执行器。

算法1

1.行(或列)的高度信息数据z进行阈值化处理

If z＞H_THRESHOLD，Then z＝z；

Else z＝0.

2.设定积分边界

对每一段高度信息连续不为0的点，第一个点的x(或y)坐标为积分下界a(或c)，最后一个点的x(或y)坐标为积分上界b(或d)。

3.特征点平面坐标确定

利用重心法确定特征点平面坐标(x，y)。其中，

$x=\frac{{\∫}_a^{b}x.z(x,y)\mathrm{dx}}{{\∫}_a^{b}z(x,y)\mathrm{dx}},y=\frac{{\∫}_c^{d}y.z(x,y)\mathrm{dy}}{{\∫}_c^{d}z(x,y)\mathrm{dy}}$

4.确定x(或y)方向压电执行器物理位移序列

选定的两行图像数据，其纵坐标分别为N1，N2。通过前四步获取N1、N2行的特征点坐标点序列(x_1i)、(x_2i)，I＝1，...，N。相邻两条光栅条纹间距已知，记为L。图像中光栅条纹与水平方向的夹角为α。从而，N2行相邻两特征点间距为L/sin(α)，式中α＝arctg(abs((N1-N2)/(x_2i-x_1i)))。以图像中心为坐标原点，可以得到x方向物理位移序列(Si)。类似地，可以获取y方向物理位移序列。

参见图5，基于二维标准光栅SPM图像的数据测量系统界面。通过菜单“文件”32，导入二维标准光栅SPM图像，图像显示在区域31。用户在图像上通过按“Shift+鼠标左键”选择表征x(或y)压电执行器的光栅条纹上的网格点，网格点的x、y坐标显示在区域33、34中。点击按钮36或37，软件执行下述算法2标定x(或y)压电执行器。点击按钮35，清空坐标显示区域33、34，以备选择表征y(或x)压电执行器的光栅条纹上的网格点。

算法2

Step1.对每一个特征点而言，以其显示在33、34的近似坐标为圆心，作半径为r的圆。其中r满足

0.25d＜r＜0.5d

式中d为相邻两个特征点(非对角线)的平面距离。

Step2.确定特征点平面坐标(x，y)

$x=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{i}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)},y=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{j}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)}.$

Step3.获取x(或、y)方向压电执行器物理位移序列以获取x方向压电执行器输入—输出数据为例。设光栅网格点的平面坐标为

${\left\{(x_k,y_k)\right\}}_{k=1}^K.$

I)、相邻两个网格点(x_k，y_k)，(x_k+1，y_k+1)，拟合一条直线，该直线与x轴交角为α，则α＝arctg(|(y_k+1-y_k)/(x_k+1-x_k)|)。

II)、相邻两个网格点的物理位移已知，记为L。则可以得到在x轴上的投影距离为L.cos(α)，亦即x轴上的两个位置点x_k、x_k+1的间距。

III)、重复I)、II)，便得到x轴上的一系列相邻位置点的间距。以图像中心为坐标原点，便可得到x方向压电执行器物理位移序列。类似地，可得到y方向压电执行器物理位移序列。

基于所获得的数据驱动电压—物理位移序列，建立x(或、y)方向压电执行器模型。

x方向压电执行器模型采用分段多项式结构。模型参数通过最小二乘法获取。设模型为S(v)＝F_x(v)，其中v为电压，S为位移。从而得到压电灵敏度S′(v)＝F_x′(v)。

y方向压电执行器模型采用回滞非线性结构。

图6为基本回滞算子的物理模型示意图。图6a中，C为圆柱形的活塞管，其长度为r，P为活塞。二者可以朝一个方向移动，其中活塞是驱动器，活塞管是被驱动装置。活塞的位置由A点的坐标x表征，活塞管的位置由B点的坐标η_r表征，图6b显示了x与η_r之间的回滞分支关系。

记基本的回滞算子为：

η_r(t)＝P_r[x(t)，η_r(t₀)，x(t₀)].

该算子由阈值r所表征，初始状态对(η_r(t₀)，x(t₀))确定输入x(t)对应的输出η_r(t)。为精确建模复杂的回滞非线性，需要叠加多个具有不同阈值r_i的线性操作算子

$y_h\left(t\right)=H\[x\left(t\right)\]={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{q}_i.P_{r_i}\[x\left(t\right),{\mathrm{\η}}_{r_i}\left(t_0\right),x\left(t_0\right)\].$

模型参数通过自适应范围DNA(简称ARDNA)软计算方法(黄自元，刘辉，费敏锐。扫描探针显微镜中压电执行器回滞非线性软计算建模及其实时补偿。电子显微学报，2003，4)获取。

二.压电执行器非线性校正方法

压电执行器非线性校正目的是使得其输出位移为线性的。图7.是回滞逆流程图。模块38采用增量式PID控制算法实现，Hit[.]41为回滞迭代模型，Href[.]42为参考模型。图中ys(k)44为参考位移，x(k)40为压电执行器输出ys(k)44所对应的激励电压，xi(k)39为x(k)40的近似值。当迭代模型Hit[.]41在xi(k)39的激励下的输出ymi(k)43与参考位移ys(k)44之差足够小，迭代程序结束；否则，通过增量式单位反馈PID控制器38消除偏差。在计算x(k)40时，迭代模型中每一回滞算子的状态均发生变化，为确保压电执行器在当前电压x(k)40的激励下，其输出始终跟踪参考位移，需要由参考模型的状态更新迭代模型。

图8.是y压电执行器回滞非线性补偿原理图。回滞逆模型迭代程序由下位机中高速DSP控制器在线实现。DSP通过通讯接口，获取上位机用户设置的扫描范围和每行采样点数，从而计算出步进位移step，步进驱动电压增量由回滞逆模型产生，得到的驱动电压确保y压电执行器的位移输出是线性的。

图9是非线性校正参数传输控制流程图。主要完成参数下载给DSP控制器前的数制转换工作：

Step1.压电执行器模型参数标定完成，将所获得的模型参数写到文件adjust.bin中。上位机软件首先查找这个文件，并将x、y方向压电执行器模型参数读取进来45；

Step2.然后计算最大扫描范围46；

Step3.再根据用户设定的当前扫描条件，计算x、y方向实际驱动电压输出范围；

Step4.读取扫描频率f、采样周期ET、采样点数p等参数，计算x、y方向实际控制步数48。计算公式如下：

S_dspx+＝1/(2*f*ET)＝10⁶/(32*f)，S_dspy-＝0，S_dspy+＝S_dspx+*2*p；S_dspy-＝0

Step5.计算DSP输出的X、Y方向扫描电压上下限49；

Step6.将三组模型参数进行数制转换50，并下传51。

图10是DSP控制器在线校正流程图。DSP中执行如下四步，在线实现非线性校正：

Step1.读取52x、y方向上初始扫描电压xscan(0)，yscan(0)并输出到压电执行机构，定位探针的初始扫描位置；

Step2.读取模型参数53；

Step3.根据得到的模型参数，分别计算x、y方向下一步的步进驱动电压增量xstep(n)55和ystep(n)57；

Step4.分别计算x、y方向压电执行器下一步的驱动电压56、58，xscan(n)＝xscan(n-1)+xstep(n)；yscan(n)＝yscan(n-1)+ystep(n)。然后输出到压电执行机构，驱动探针在样品表面作二维运动。循环执行Step2-Step4，直至完成整个扫描过程。

由于x、y方向压电执行器模型采取不同结构，现分别介绍其计算步进驱动电压xstep和ystep的方法。

x方向压电执行器：设步进位移为step以及当前驱动电压v，则下一个步进电压增量为xstep(n)＝step/F_x′(v)，其中，F_x(v)、F_x′(v)分别为x方向压电执行器多项式模型及其导函数(亦即压电灵敏度方程)。

由于y方向压电执行器回滞模型具有记忆性，其导数亦即压电灵敏度方程难以解析给出，本专利通过设计单位反馈控制器构建其逆模型，而压电执行器与其逆模型串联，由逆模型获取参考位移所对应的步进驱动电压ystep，从而确保压电执行器位移输出是线性的，实现回滞非线性实时补偿(黄自元，刘辉，费敏锐。扫描探针显微镜中压电执行器回滞非线性软计算建模及其实时补偿。电子显微学报，2003，4)。

Claims (2)

1.一种扫描探针显微镜中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法，其特征在于，具体实现步骤如下：

a.利用待标定的扫描探针显微镜(SPM)获取一维或二维标准光栅样品的SPM图像；

b.利用压电执行器模型参数标定软件获取压电执行器模型参数，其步骤为：

a).读取一维或二维标准样品的SPM图像文件，获取图像扫描参数，从而推算出扫描过程中x、y方向压电执行器的输入，即驱动电压序列；

b).借助鼠标操作，选择一维标准光栅图像中的行或列或二维标准光栅图像光栅格点；

c).根据用户输入的一维标准光栅相邻两条纹的物理间距或二维标准光栅相邻两网格点物理间距，软件执行运算，获取x、y方向压电执行器的输出，即形变量序列；

d).基于所获得的x、y方向压电执行器的输入，即驱动电压和输出，即形变量序列，及其模型结构，模型结构为：x方向压电执行器采用多项式，y方向压电执行器采用回滞非线性模型，然后分别采用最小二乘法和自适应范围DNA软计算方法，建立x、y方向压电执行器模型，并将模型参数存储到文件adjust.bin中；

c.基于x、y方向压电执行器模型，实现非线性在线校正前的数据转换，其步骤为：

a).上位机软件读取文件adjust.bin，获取x、y方向压电执行器模型参数；

b).将用户设定的当前扫描范围带入x、y方向压电执行器模型中，计算出x、y方向实际驱动压电输出范围；

c).读取扫描频率f、采样周期ET、采用点数p等参数，分别计算x、y方向实际控制步骤，计算公式如下：S_dspx+＝1/(2*f*ET)＝106/(32*f)，S_dspx-＝0，S_dspy+＝Sdspx₊*2*p，S_dspy-＝0

d).计算DSP输出的x、y方向扫描电压上下限；

e).将三组模型参数进行数制转换，并下传DSP控制器；

在DSP中执行如下三步，在线实现非线性校正，其步骤为：

(a).读取x、y方向上初始扫描电压xscan(0)，yscan(0)，并输出到压电执行机构；

(b).读取模型参数；

(c).根据得到的模型参数分别计算x、y方向下一步的步进驱动电压增量xscan(n)，yscan(n)，然后输出到电压执行机构，驱动探针在样品表面作二维运动。循环执行步骤(b)-(c)，直至完成整个扫描过程。

2.根据权利要求1所述的扫描探针显微镜中的压电执行器模型参数标定和非线性校正方法，其特征在于压电执行器模型标定软件执行运算获取x、y方向压电执行器输出形变量的方法为：

a.行或列的高度信息数据Z进行阈值化处理：

若Z＞H_THRESHOLD，则Z＝Z

否则，Z＝0；

b.设定积分边界：对每一段高度信息连续不为0的点，第一个点的x(或y)坐标为积分下界a(或c)，最后一个点的x(或y)坐标为积分上界b(或d)；

c.特征点平面坐标确定：利用重心法确定特征点平面坐标(x，y)，其中，

$x=\frac{{\∫}_a^{b}x.z(x,y)\mathrm{dx}}{{\∫}_a^{b}z(x,y)\mathrm{dx}},$ $y=\frac{{\∫}_c^{d}y.z(x,y)\mathrm{dy}}{{\∫}_c^{d}z(x,y)\mathrm{dy}}$

d.确定x(或y)方向压电执行器物理位移序列：选择一维标准光栅SPM图像的两行数据，其纵坐标分别为N1、N2，通过前四步获取N1、N2记为L，图像中光栅条纹与水平方向的夹角为α，从而，N2行相邻两特征点间距为L/sin(α)，式中α＝arctg(abs((N1-N2)/(x_2i-x_1i)))。以图像中心为坐标原点，可以得到x方向物理位移序列；类似地，可以获取y方向物理位移序列；

或者为：

a).对二维标准光栅SPM图像的每一个特征点，以其显示在SPM图像右侧的特征点的近似坐标为圆心，作半径为r的圆，其中r满足：

                       0.25d＜r＜0.5d

式中d为相邻两个特征点(非对角线)的平面距离；

b).确定特征点平面坐标x、y：

$x=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{i}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)},$ $y=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^K{j}_k.z(i_k,j_k)}{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{K}z(i_k,j_k)}.$

c).获取x、y方向压电执行器物理位移序列：

获取x方向压电执行器物理位移序列：设光栅网格点的平面坐标为{(x_k，y_k)}_k＝1 ^K，

(a).相邻两个网格点(x_k，y_k)，(x_k+1，y_k+1)，拟合一条直线，该直线与x轴交角为α，则α＝arctg(|(y_k+1-y_k)/(x_k+1-x_k)|)；

(b).相邻两个网格点的物理位移已知，记为L，在x轴上的投影距离为L.cos(α)，即x轴上的两个位置点x_k、x_k+1的间距；

(c).重复(a)-(b)，便得到x轴上的一系列相邻位置点的间距；以图像中心为坐标原点，便可得到x方向压电执行器物理位移序列；

以上述同样步骤和类似方法，获得y方向压电执行器物理位移序列。

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