CN117910078A - 变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统及方法 - Google Patents
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Abstract
本申请提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统及方法，涉及建筑结构计算分析技术领域，能够计算Pasternak地基上的非线性变截面轴向功能梯度Timoshenko梁的内力与位移，上述方法包括：通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程；通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程；获取Timoshenko梁的挠度控制方程；基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解，得到挠度的表达式；利用初参数法得到矩阵形式，将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段。本申请实施例提供的一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，只需获取梁参数，地基参数与边界条件，即可得到弹性地基梁的位移与内力曲线。
Description
技术领域
本申请涉及建筑结构计算分析技术领域，具体涉及一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统及方法。
背景技术
基坑卸荷必然会造成周围土壤扰动，使既有隧道产生不均匀沉降或上抬变形。当变形过大时，围岩极易因失去支撑而导致失稳，脱落，对既有隧道的安全运营带来巨大威胁。
两阶段分析法是用来预测既有隧道位移的理论分析方法之一。在第一阶段中，基坑开挖可以看成一个卸荷过程，该卸荷过程会对周围土体造成附加应力场，坑底卸荷产生的竖直向上应力场使既有隧道隆起，而坑壁的附荷使其沉降，既有隧道的竖向位移是两者复合作用的结果。在第二阶段中，采用弹性地基梁理论，将既有隧道简化为某一地基模型上的梁模型。地基模型包括Winkler弹性地基模型，双参数地基(如Pasternak地基，Valsov地基等)。梁模型包括Bernoulli-Euler梁，考虑梁自身剪切效应的Timoshenko梁等。既有隧道包括常截面均匀梁和变截面轴向功能梯度梁。
对于变截面功能梯度梁，大多利用二维弹性力学理论，假设梁的上下表面服从某一函数分布，将该函数按傅里叶级数展开，利用分离变量法和Laplace变换代入位移与应力平衡方程中，导出变截面功能梯度梁的控制方程。但该方法仅对没有突变截面的变截面梁应用有效，且无法考虑梁刚度与材料密度沿梁轴向变化时的情况，而且计算理论较为复杂，对使用者理论要求较高，不能广泛应用。
发明内容
本发明的目的在于提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统及方法，能够有效计算Pasternak地基上的非线性变截面轴向功能梯度Timoshenko梁的内力与位移。
本实施例具体技术方案如下：
一方面，本申请实施例提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，包括以下步骤：
通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程；
通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程；
获取Timoshenko梁的挠度控制方程；
基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解，得到挠度的表达式；
利用初参数法得到矩阵形式；
将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段，由任意截面的位移边界条件，得到位移与内力方程的荷载修正项；
代入整体的Timoshenko梁的边界条件，基于传递矩阵法，得到任意截面的位移与内力。
在其中一些实施例中，通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程为：
其中：D＝EI，C＝klGlA，E和Gl分别表示材料的弹性模量和剪切模量，kl为剪切系数，ψ为截面转角，I和A分别为惯性矩和横截面面积；q和m分别为作用在梁上的集中力与均布荷载；K为Winkler地基的弹性层刚度，Gc为剪切层剪切刚度；
其中：
其中，b为地基梁宽度，kd为地基系数，H为土层厚度，υ为泊松比。
在其中一些实施例中，通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程为：
在其中一些实施例中，获取Timoshenko梁的挠度控制方程包括以下步骤：Pasternak地基假设地基弹簧的压缩量计算步骤为：
其中，P(x)为地基反力，kd为地基反力，ω(x)为梁的竖向位移；
将公式(4)代入公式(3)中，得到Timoshenko梁的挠度控制方程：
在其中一些实施例中，基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解为：
其中，
将转角，弯矩，剪力的偏微分形式用挠度表示如下：
在其中一些实施例中，利用初参数法得到矩阵形式包括以下步骤：
假定ω0，θ0，M0，Q0为边界处的挠度，转角，弯矩与剪力；公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)转换为矩阵形式如下：
其中，
在其中一些实施例中，将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段，由任意截面的位移边界条件，得到位移与内力方程的荷载修正项包括以下步骤：
变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段中每一段dx皆可采用公式(10)进行计算，在x＝a处建立坐标系，则由任意微段边界条件可得荷载修正项如下所示：
整理后的位移与内力方程的矩阵表达形式如下：
δ(x)＝A(x)δ(0)+P(x)(11)
在任意微段xi处公式11可表示为如下所示
其中：Ai(x-xi)是在位置处建立局部坐标系的梁传递矩阵，/>为第i段常截面均匀Timoshenko短梁左端初始值，Pi(x-xi-1)为第i段梁位移与内力修正项；其中，由xi-1位置处边界条件可知如下迭代关系为：
其中，分别为xi-1位置左右截面位移与内力矩阵，Qi-1为xi-1位置承受荷载；其中：
Qi-1＝[0,0,-Fi-1,mi-1]T (14)
基于式(12)、(13)、(14)，得到梁整体位移与内力迭代公式：
另一方面，本申请实施例提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统，采用上述实施例中任一项的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法。
与现有技术相比，本申请实施例具有以下有益效果：
本申请实施例提供的一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，只需获取梁参数，地基参数与边界条件，即可得到弹性地基梁的位移与内力曲线，可用于计算Pasternak地基上的非线性变截面轴向功能梯度Timoshenko梁的内力与位移。
附图说明
为了更清楚地说明本申请实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请的一些实施例，对于本领域技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本申请一些实施例提供的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法的示意图；
图2是本申请另一些实施例提供的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法的示意图；
图3是本申请一些实施例提供的Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁示意图；
图4是本申请一些实施例提供的Pasternak地基上任意变截面轴向功能梯度梁示意图；
图5是本申请一些实施例提供的任意荷载下常截面Timoshenko梁示意图；
图6至图11是本申请一些实施例提供的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法的效果展示图。
具体实施方式
下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。
在本申请的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“长度”、“宽度”、“厚度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本申请和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本申请的限制。此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个所述特征。在本申请的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。
“A和/或B”，包括以下三种组合：仅A，仅B，及A和B的组合。
本申请中“适用于”或“被配置为”的使用意味着开放和包容性的语言，其不排除适用于或被配置为执行额外任务或步骤的设备。另外，“基于”的使用意味着开放和包容性，因为“基于”一个或多个所述条件或值的过程、步骤、计算或其他动作在实践中可以基于额外条件或超出所述的值。
在本申请中，“示例性”一词用来表示“用作例子、例证或说明”。本申请中被描述为“示例性”的任何实施例不一定被解释为比其它实施例更优选或更具优势。为了使本领域任何技术人员能够实现和使用本申请，给出了以下描述。在以下描述中，为了解释的目的而列出了细节。应当明白的是，本领域普通技术人员可以认识到，在不使用这些特定细节的情况下也可以实现本申请。在其它实例中，不会对公知的结构和过程进行详细阐述，以避免不必要的细节使本申请的描述变得晦涩。因此，本申请并非旨在限于所示的实施例，而是与符合本申请所公开的原理和特征的最广范围相一致。
一方面，本申请实施例提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，包括以下步骤：
S10、通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程。
S20、通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程。
S30、获取Timoshenko梁的挠度控制方程。在S30步骤中，可通过代入Pasternak地基假设条件，得到Timoshenko梁的挠度控制方程。
S40、基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解，得到挠度的表达式。在S40中，可通过求得四阶微分方程通解，得到挠度的表达式，可将转角，弯矩和剪力用挠度表示。
S50、利用初参数法得到矩阵形式。
S60、将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段，则每一段皆可视为常截面均匀梁，由任意截面的位移边界条件，即可得到位移与内力方程的荷载修正项。
S70、代入整体的Timoshenko梁的边界条件，基于传递矩阵法，得到任意截面的位移与内力。在具体示例中，可通过Matlab编程即可绘制出整体梁的曲线。
在其中一些实施例中，在S10中，通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程为：
其中：D＝EI，C＝klGlA，E和Gl分别表示材料的弹性模量和剪切模量，kl为剪切系数，ψ为截面转角，I和A分别为惯性矩和横截面面积；q和m分别为作用在梁上的集中力与均布荷载；K为Winkler地基的弹性层刚度，Gc为剪切层剪切刚度，其计算公式如下：
其中，b为地基梁宽度，kd为地基系数，H为土层厚度，υ为泊松比
在其中一些实施例中，S20步骤中，通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程如下：
在其中一些实施例中，获取Timoshenko梁的挠度控制方程包括以下步骤：
Pasternak地基假设地基弹簧的压缩量计算步骤为：
其中，P(x)为地基反力，kd为地基反力，ω(x)为梁的竖向位移；
将公式(4)代入公式(3)中，可以得到步骤S30中常截面均匀Timoshenko梁的挠度方程：
在上述实施例中，求得公式(5)，即可得到步骤S40中提到的通解，如公式(6)所示：
其中：
在其中一些实施例中，根据Timoshenko梁的定义，挠度与转角，弯矩，剪力之间存在关系式，如公式(7)、(8)、(9)所示：
在其中一些实施例中，S50步骤中，利用初参数法，得到矩阵形式假定ω0，θ0，M0，Q0为边界处的挠度，转角，弯矩与剪力，则可将公式(5)、(7)、(8)、(9)表示为步骤S50提到的矩阵形式，如下所示：
其中，
2、将任意荷载作用下的变截面功能在其中一些实施例中，S60步骤中，
梯度Timoshenko梁分为n段，由任意截面的位移边界条件，得到位移与内力方程的荷载修正项包括以下步骤：
变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段中每一段dx皆可采用公式(10)进行计算，在x＝a处建立坐标系，则由任意微段边界条件可得荷载修正项如下所示：
整理后的位移与内力方程的矩阵表达形式如下：
δ(x)＝A(x)δ(0)+P(x)(11)
在任意微段xi处公式11可表示为如下所示
其中：Ai(x-xi)是在位置处建立局部坐标系的梁传递矩阵，/>为第i段常截面均匀Timoshenko短梁左端初始值，Pi(x-xi-1)为第i段梁位移与内力修正项；其中，由xi-1位置处边界条件可知如下迭代关系为：
其中，分别为xi-1位置左右截面位移与内力矩阵，Qi-1为xi-1位置承受荷载；其中：
Qi-1＝[0,0,-Fi-1,mi-1]T (14)
基于式(12)、(13)、(14)，得到梁整体位移与内力迭代公式：
另一方面，本申请实施例提供一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统，采用上述实施例中任一项的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法。
本申请实施例还提供一种计算机存储介质，其上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器进行加载，以执行上述实施例中任一项的截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法中的步骤。
基于上述实施例中提供的截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法中的步骤，做成的软件界面，与求得的内力图，请参阅图6至图11。
以上对本申请实施例所提供的一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统及方法、计算机存储介质进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本申请的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本申请的方法及其核心思想；同时，对于本领域的技术人员，依据本申请的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上，本说明书内容不应理解为对本申请的限制。
Claims (8)
1.一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程；
通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程；
获取Timoshenko梁的挠度控制方程；
基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解，得到挠度的表达式；
利用初参数法得到矩阵形式；
将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段，由任意截面的位移边界条件，得到位移与内力方程的荷载修正项；
代入整体的Timoshenko梁的边界条件，基于传递矩阵法，得到任意截面的位移与内力。
2.根据权利要求1所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，通过能量法得到Pasternak地基上常截面均匀Timoshenko梁的总能量方程为：
其中：D＝EI，C＝klGlA，E和Gl分别表示材料的弹性模量和剪切模量，kl为剪切系数，ψ为截面转角，I和A分别为惯性矩和横截面面积；q和m分别为作用在梁上的集中力与均布荷载；K为Winkler地基的弹性层刚度，Gc为剪切层剪切刚度；
其中：
其中，b为地基梁宽度，kd为地基系数，H为土层厚度，υ为泊松比。
3.根据权利要求1所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，通过变分法得到Timoshenko梁的平衡微分方程为：
4.根据权利要求3所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，获取Timoshenko梁的挠度控制方程包括以下步骤：
Pasternak地基假设地基弹簧的压缩量计算步骤为：
其中，P(x)为地基反力，kd为地基反力，ω(x)为梁的竖向位移；
将公式(4)代入公式(3)中，得到Timoshenko梁的挠度控制方程：
5.根据权利要求4所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，基于Timoshenko梁的挠度控制方程，获得四阶微分方程通解为：
其中，
将转角，弯矩，剪力的偏微分形式用挠度表示如下：
6.根据权利要求5所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，利用初参数法得到矩阵形式包括以下步骤：
假定ω0，θ0，M0，Q0为边界处的挠度，转角，弯矩与剪力；公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)转换为矩阵形式如下：
其中，
7.根据权利要求6所述的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法，其特征在于，将任意荷载作用下的变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段，由任意截面的位移边界条件，得到位移与内力方程的荷载修正项包括以下步骤：
变截面功能梯度Timoshenko梁分为n段中每一段dx皆可采用公式(10)进行计算，在x＝a处建立坐标系，则由任意微段边界条件可得荷载修正项如下所示：
整理后的位移与内力方程的矩阵表达形式如下：
δ(x)＝A(x)δ(0)+P(x)(11)
在任意微段xi处公式11可表示为如下所示
其中：Ai(x-xi)是在位置处建立局部坐标系的梁传递矩阵，/>为第i段常截面均匀Timoshenko短梁左端初始值，Pi(x-xi-1)为第i段梁位移与内力修正项；其中，由xi-1位置处边界条件可知如下迭代关系为：
其中，分别为xi-1位置左右截面位移与内力矩阵，Qi-1为xi-1位置承受荷载；其中：
Qi-1＝[0,0,-Fi-1,mi-1]T (14)
基于式(12)、(13)、(14)，得到梁整体位移与内力迭代公式：
8.一种变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测系统，其特征在于，采用权利要求1至7任一项的变截面轴向功能梯度梁的内力与位移预测方法。
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Legal Events
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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