CN117332618A - 一种围岩壳失稳分析方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种围岩壳失稳分析方法，涉及岩土力学技术领域，所述方法包括：建立圆柱形壳体的围岩壳基础模型；根据围岩壳基础模型，得到围岩壳基础模型的能量平衡方程；根据能量平衡方程，得到围岩壳发生轴向失稳的临界条件和围岩壳发生环向失稳的临界条件；根据轴向失稳的临界条件，得到围岩壳基础模型的轴向尺寸与轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱；根据环向失稳的临界条件，得到围岩壳基础模型的壳体的圆心角与环向失稳的临界应力的环向关系图谱；根据轴向关系图谱和环向关系图谱，得到围岩壳失稳的分析结果。本发明的围岩壳失稳分析方法，基于圆柱形壳体的围岩壳基础模型作为力学框架下，剖析改善围岩壳的稳定性，减小岩爆发生概率。

Description

一种围岩壳失稳分析方法
技术领域
本发明涉及岩土力学技术领域，具体而言，涉及一种围岩壳失稳分析方法。
背景技术
目前，由于地质条件的多样性，很多隧道和矿洞需要在具有极高地应力的深地条件下挖掘。隧道开挖前，岩石处应力平衡状态，开挖后，部分岩石的一侧被情况，不再有外力作用，因此平衡状态被打破。当地应力不高或岩体较软时，可通过岩体的变形进行应力重构，达到新的平衡状态。但是当隧道开挖位于极高地应力状态且岩体较硬时，这个变形过程会十分短暂但变形幅度很大，岩体容易失稳，产生岩石破裂并弹射而出，进而发生岩爆，对人员的生命安全和工作设备都危害极大。
在现有技术中，由于岩爆本身的复杂性，对岩爆孕育机制以及防控措施的研究还不够充分，无法对岩体的失稳进行分析和预测。
发明内容
本发明解决的技术问题是如何对岩体失稳进行分析，来减少或避免岩爆的危害。
本发明提供一种围岩壳失稳分析方法，包括：
建立圆柱形壳体的围岩壳基础模型；
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程；
根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱；
根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱；
根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果。
可选地，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系；
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程。
可选地，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的径向坐标；
根据所述径向坐标、所述围岩壳基础模型的中面的应变分量和本征应变分量，得到所述围岩壳基础模型的内部应变；
所述内部应变为：；
其中，为所述中面的所述应变分量，/>为所述本征应变分，/>为所述径向坐标，/>为所述中面的曲率和扭率，/>为所述内部应变；
根据所述内部应变和所述围岩壳基础模型的所述中面的位移，得到所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系；
根据所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系。
可选地，所述根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的内部应力；
根据所述内部应力，得到所述围岩壳基础模型的薄壳的能量，所述围岩壳基础模型的壳体包括无限个所述薄壳；
所述薄壳的能量为：；
其中，为所述围岩壳基础模型受到的外力，/>为所述围岩壳基础模型垂直于所述中面的位移，/>为所述围岩壳基础模型的所述内部应力，/>为所述径向坐标；
根据所述薄壳的能量，得到所述围岩壳基础模型的总能量变分公式；
所述总能量变分公式为：；
根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程。
可选地，所述根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程，包括：
当所述围岩壳基础模型的总能量为极小值时，所述围岩壳基础模型处于平衡状态；
通过所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述围岩壳基础模型处于平衡状态的所述能量平衡方程；
所述能量平衡方程为：；
其中，为所述围岩壳基础模型的膜力分量，/>为二重拉普拉斯算子，/>为所述围岩壳基础模型的内径。
可选地，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，包括：
根据能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生轴向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，代入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合等效刚度与所述围岩壳基础模型的无量纲化的波数的线性关系，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件；
所述轴向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的轴向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的泊松比，/>为所述围岩壳基础模型的轴向应力。
可选地，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，还包括：
根据能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生环向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，代入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合所述围岩壳基础模型的厚度特性，得到所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
所述厚度特性为：
；
其中，所述t为所述围岩壳基础模型的壳体厚度，所述r为所述围岩壳基础模型的所述内径；
所述环向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的环向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的环向应力。
可选地，所述根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱，包括：
根据所述轴向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的轴向失稳周期以及所述轴向失稳周期的轴向尺寸，得到所述轴向失稳的临界应力随所述轴向尺寸变化的图谱；
将所述图谱作为所述轴向关系图谱。
可选地，所述根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱，包括：
根据所述环向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的环向失稳周期以及所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角，得到所述轴向失稳的临界应力随所述圆心角变化的图谱；
将所述图谱作为所述环向关系图谱。
可选地，所述根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果，包括：
根据所述轴向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的轴向尺寸的所述轴向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述轴向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的轴向失稳分析结果；
根据所述环向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的环向尺寸的所述环向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述环向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的环向失稳分析结果。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过将圆柱形壳体作为围岩壳的力学分析模型，考虑到圆柱形壳体在轴向和环向失稳的可能性，在这基础上针对圆柱形壳体的结构进行的分析，得到轴向失稳的临界条件和环向失稳的临界条件，基于上面两个临界条件，得到围岩壳基础模型的轴向尺寸和壳体的圆心角分别与临界应力的关系图谱，通过关系图谱，得到围岩壳的轴向尺寸和环向壳体的应圆心角对临界应力的影响，基于上述内容，分析岩爆发生的影响因素，从而对围岩壳失稳进行分析，在基于圆柱形壳体的力学框架下，剖析改善围岩壳的稳定性，减小岩爆发生概率。
附图说明
图1为本发明一实施例中围岩壳失稳分析方法的流程示意图；
图2为本发明一实施例中围岩壳基础模型的结构示意图；
图3为本发明又一实施例中围岩壳基础模型轴向失稳示意图；
图4为本发明另一实施例中围岩壳基础模型轴向失稳示意图；
图5为本发明另一实施例中围岩壳基础模型环向失稳示意图；
图6为本发明另一实施例中围岩壳基础模型环向失稳示意图；
图7为本发明另一实施例中两种轴向失稳下临界应力随轴向尺寸变化曲线图；
图8为本发明另一实施例中两种环向失稳下临界应力随圆心角变化曲线图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
结合图1所示，本发明提供一种围岩壳失稳分析方法，包括：
S1：建立圆柱形壳体的围岩壳基础模型；
具体地，结合图2所示，圆柱形壳体的围岩壳基础模型可以为半径为r的圆柱壳，并根据圆柱形壳体的轴向、环向和径向建立坐标系，分别为、/>和/>，并根据围岩壳基础模型设置壳体在轴向、环向和径向尺寸分别为/>、/>和/>，并根据上述尺寸以及圆柱形壳体的结构可以得出每个坐标值的范围，即/>、/>和/>；由于针对围岩壳基础模型为一般性描述，因此针对围岩壳进行理想化处理，即假设围岩为各向同性材料，其弹性模量和泊松比分别用/>和/>表示。
S2：根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程；
具体地，开挖前，围岩壳和外部以及即将开挖的岩石为一个整体，可以采用材料力学中截面法，将围岩壳看作独立的结构，则外部岩石和即将开挖的隧道内岩石对壳体的作用可等效为局部荷载，即地应力，荷载方向和壳体表面垂直。开挖瞬间，内部岩石的缺失也使得内部荷载变为零，外部荷载保持不变，用表示，沿/>负方向，由于开挖前后荷载情况的变化，围岩壳在开挖后就会发生位移，此时外部岩石和围岩壳间的相互作用也会随之变化。由于主要发生垂直于中面的位移，结合图2所示，可以将外部岩石对围岩壳的约束等效为均匀排布的弹簧，对围岩壳基础模型的能量进行分析，实现能量的平衡。
S3：根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
具体地，当内部岩石挖掉后，围岩壳为保持平衡，会产生应力重构，即使不发生屈曲，应力水平和开挖前也不再相同，因此需要根据能量平衡方程，获取保持平衡并即将发生轴向失稳时的临界条件，即围岩壳的轴向应力处于临界应力，获取保持平衡并即将发生环向失稳的临界条件，即围岩壳的环向应力处于临界应力。
S4：根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱；
具体地，根据轴向失稳的临界条件，可以得到轴向尺寸对临界条件的临界应力产生的影响，此时两者的关系可以通过临界条件利用图谱的形式进行展示，可以直观的分析出临界应力与轴向尺寸之间的关系。
S5：根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱；
具体地，根据环向失稳的临界条件，可以得到环向尺寸对临界条件的临界应力产生的影响，其中，环向尺寸围岩壳基础模型的壳体的圆心角，此时两者的关系可以通过临界条件利用图谱的形式进行展示，可以直观的分析出临界应力与壳体圆心角之间的关系。
S6：根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果；
当得到代表环向临界应力与壳体圆心角之间的关系图谱以及轴向临界应力与壳体轴向尺寸之间的关系图谱，可以得出相应的比例关系，并借此通过实际围岩壳的尺寸，来预测是否会发生失稳，及时做出应对措施。
本说明书采用自由指标表示向量和张量分量，下标处拉丁字母表示1、2或3，希腊字母则表示1或2，例如：可以表示/>、/>、/>或/>，/>可以表示/>、/>、/>、/>、/>、、/>、/>或/>，其中下标相同代表下标所示坐标轴方向的线应变，下标不同表示平行于两个下标所示坐标轴的垂直线段所夹直角的改变量，即切应变，同时，根据爱因斯坦求和约定采用哑标记法，例如/>以及/>。逗号则表示关于后缀下标的微分。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过将圆柱形壳体作为围岩壳的力学分析模型，考虑到圆柱形壳体在轴向和环向失稳的可能性，在这基础上针对圆柱形壳体的结构进行的分析，得到轴向失稳的临界条件和环向失稳的临界条件，基于上面两个临界条件，得到围岩壳基础模型的轴向尺寸和壳体的圆心角分别与临界应力的关系图谱，通过关系图谱，得到围岩壳的轴向尺寸和环向壳体的应圆心角对临界应力的影响，基于上述内容，分析岩爆发生的影响因素，从而对围岩壳失稳进行分析，在基于圆柱形壳体的力学框架下，剖析改善围岩壳的稳定性，减小岩爆发生概率。
本发明实施例中，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系；
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程。
在本实施例中，首先需要根据围岩壳基础模型对壳体内部的应力与应变进行分析，其中需要对围岩壳自然状态，即无应力情况下，壳体屈曲前存在的地应力以及应力重构在围岩壳内产生的应变进行获取，并结合中面的曲率和扭率得到内部应力与应变的关系；再根据应力与应变的关系计算围岩壳基础模型的能量平衡方程。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过对内部应力进行假设，针对线弹性形变进行分析，得到壳体内部应力与应变的关系，便于后续对围岩壳基础模型发生是问的临界条件进行分析。
本发明实施例中，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的径向坐标；
根据所述径向坐标、所述围岩壳基础模型的中面的应变分量和本征应变分量，得到所述围岩壳基础模型的内部应变；
所述内部应变为：；
其中，为所述中面的所述应变分量，/>为所述本征应变分，/>为所述径向坐标，/>为所述中面的曲率和扭率，/>为所述内部应变；
根据所述内部应变和所述围岩壳基础模型的所述中面的位移，得到所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系；
根据所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系。
在本实施例中，根据围岩壳基础模型，得到围岩壳基础模型的径向坐标，即，根据径向坐标、围岩壳基础模型的中面的应变分量和本征应变分量，得到围岩壳基础模型的内部应变，其中，根据平界面假设，内部应变与径向坐标、围岩壳基础模型的中面的应变分量和本征应变分量的关系表达式为：/>；
其中表示中面应变分量；/>则表示本征应变分量，即相对于无应力的自然状态，壳体屈曲前存在的地应力以及应力重构在围岩壳内产生的应变；/>表示中面的曲率和扭率，其中/>和/>分别表示/>和/>的曲率，/>则表示扭率。
根据内部应变和围岩壳基础模型的中面的位移，得到中面的应变以及曲率与扭率的线性关系，在本发明中，曲率与扭率的线性关系通过表达式来表示，其中，中面的应变和曲率与扭率的表达式可以采用中面的位移来表示：
；
其中，为中面上任意一点沿着/>方向的位移，/>为克罗内克函数符号，有，/>。为了便于分析地应力的影响，参考了中面法线的旋转对中面位移的贡献，即式中的位移非线性项，同时，由于壳体厚度远小于半径，因此只保留到径向坐标/>的一阶项。
由于本发明中的分析仅限于线弹性变形，即应力和应变呈如下线性关系为：
；
其中，这里应力第一个下标表示所在面的法线方向，第二个下标为应力的指向。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过获取应力与应变的关系，从而实现对应力与应变的关系进行分析。
本发明实施例中，所述根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的内部应力；
根据所述内部应力，得到所述围岩壳基础模型的薄壳的能量，所述围岩壳基础模型的壳体包括无限个所述薄壳；
所述薄壳的能量为：；
其中，为所述围岩壳基础模型受到的外力，/>为所述围岩壳基础模型垂直于所述中面的位移，/>为所述围岩壳基础模型的所述内部应力，/>为所述径向坐标；
根据所述薄壳的能量，得到所述围岩壳基础模型的总能量变分公式；
所述总能量变分公式为：；
根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程。
在本实施例中，结合图2所示，可以将外部岩石对围岩壳的约束等效为均匀排布的弹簧，因此增加约束力和沿方向位移/>成正比，假设比例系数为k，则外部岩石对圆柱壳作用力为/>。
薄壳系统的能量为：；
其中，为围岩壳基础模型受到的外力，/>为围岩壳基础模型垂直于所述中面的位移，/>为围岩壳基础模型的内部应力，/>为径向坐标。
因此总能量变分公式为：；根据围岩壳基础模型的总能量变分公式，即可得到能量平衡方程。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过将围岩壳基础模型的厚度结构拆分为具有无限多的薄壳结构，再计算每个薄壳结构的能量，最后再计算得到总能量的变分，便于后续对能量平衡方程进行分析。
本发明实施例中，所述根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程，包括：
当所述围岩壳基础模型的总能量为极小值时，所述围岩壳基础模型处于平衡状态；
通过所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述围岩壳基础模型处于平衡状态的所述能量平衡方程；
所述能量平衡方程为：；
其中，为所述围岩壳基础模型的膜力分量，/>为二重拉普拉斯算子，/>为所述围岩壳基础模型的内径。
在本实施例中，当围岩壳基础模型的总能量为极小值时，围岩壳基础模型处于平衡状态，在本发明的优选实施例中，平衡状态下能量处于极小值点，由此可得上述总能量变分公式变分为零，能量平衡方程为：
；
其中，为二重拉普拉斯算子，即/>，/>，为围岩壳基础模型的壳体的抗弯曲刚度。能量平衡方程还包括：/>；
其中，是膜力分量，为具有相同下标的应力向所在截面单位宽度范围形心简化后的合力矢，即：/>；
其中，，为屈曲前壳体内的应力分量，其中，，由于和地应力水平相关，所以符号规定拉应力为负，压应力为正。
本发明的围岩壳失稳分析方法，获取到能量平衡方程，可以在获取轴向失稳的临界条件以及环向失稳的临界条件中，充当保持平衡所需要的条件。
本发明实施例中，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，包括：
根据能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生轴向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，代入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合等效刚度与所述围岩壳基础模型的无量纲化的波数的线性关系，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件；
所述轴向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的轴向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的泊松比，/>为所述围岩壳基础模型的轴向应力。
在本实施例中，假设发生轴向失稳，三个方向位移形式分别为：
；
其中、/>和/>为三个方向位移的幅值，/>为轴向失稳波数，与相应变形周期/>间满足/>。
将三个方向的位移形式代入能量平衡方程得到：
；
其中，第一个公式代表有初始壳内压力时保持平衡所需要的条件，即内部岩石挖掉后，围岩壳为保持平衡，会产生应力重构.即使不发生屈曲，应力水平和开挖前也不再相同，环向应力应为，/>为所得平衡方程中关于三个幅值的系数，其具体表达式分别为：/>；
系统失稳即有非零解，要求系数行列式等于零。由于薄壳厚度很小，可以有：，对于弹性体上壳体的变形，其等效刚度可用：/>进行估计，由此可得，失稳发生的临界应力为：/>；
其中，为围岩壳基础模型的轴向失稳波数，/>为围岩壳基础模型的厚度，/>为围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为围岩壳基础模型的泊松比，/>为围岩壳基础模型的轴向应力。
，/>分别无量纲化的波数和厚度，临界应力为无量纲波数/>的函数，当实际轴向应力超过上述临界应力，壳体即发生轴向失稳。因此需要找到特定/>，使得临界失稳相应临界失稳应力在可选范围内取最小值。该模数即为实际失稳值，相应临界应力即为屈曲失稳发生的临界条件。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过对轴向失稳的临界条件的确定，方便后续利用该临界条件分析轴向尺寸对临界应力的影响，进而实现对围岩壳稳定性的分析。
本发明实施例中，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，还包括：
根据能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生环向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，带入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合所述围岩壳基础模型的厚度特性，得到所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
所述厚度特性为：
；
其中，所述t为所述围岩壳基础模型的壳体厚度，所述r为所述围岩壳基础模型的所述内径；
所述环向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的环向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的环向应力。
在本实施例中，假设发生环向失稳，此时三个方向位移形式分别为：
；
其中、/>和/>为三个方向位移的幅值，/>为环向变形波数，与相应变形周期/>间满足/>。由于一般情况下，环向尺寸有所限制，即/>，有/>，因此，将三个方向的位移形式代入能量平衡方程得到：/>；
其中第一式代表有初始壳内压力时保持平衡所需要的条件，和轴向失稳特征方程中第一式相同；为所得平衡方程中关于三个幅值的系数，其具体表达式分别为：/>；
系统失稳即有非零解，要求系数行列式等于零。由于薄壳厚度很小，可以有以下假设：。对于弹性体上壳体的变形，其等效刚度可用/>估计。由此可得，失稳发生的临界应力为：/>；
其中，为围岩壳基础模型的环向失稳波数，/>为围岩壳基础模型的厚度，/>为围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为围岩壳基础模型的环向应力。
其中，，当实际环向应力超过上述临界应力，壳体即发生环向失稳，与轴向失稳类似，需要找到特定/>，使得临界失稳相应临界失稳应力在可选范围内取最小值，该模数即为实际失稳值，相应临界应力即为屈曲失稳发生的临界条件。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过对环向失稳的临界条件的确定，方便后续利用该临界条件分析环向尺寸对临界应力的影响，即壳体圆心角对临界应力的影响，进而实现对围岩壳稳定性的分析。
本发明实施例中，所述根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱，包括：
根据所述轴向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的轴向失稳周期以及所述轴向失稳周期的轴向尺寸，得到所述轴向失稳的临界应力随所述轴向尺寸变化的图谱；
将所述图谱作为所述轴向关系图谱。
在本实施例中，结合图3所示，轴向失稳周期为l，即，此时临界失稳应力为：/>；
结合图4所示，轴向失稳周期为2l，即，此时临界失稳应力为：；
结合图7所示，图7给出了当，/>时无量纲应力/>随无量纲轴向长度/>的轴向关系图谱。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过对轴向关系图谱进行分析，可以得到轴向尺寸与临界应力之间的关系，从而根据不同轴向尺寸的临界应力，进行相应的防护措施，防止岩爆的发生。
本发明实施例中，所述根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱，包括：
根据所述环向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的环向失稳周期以及所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角，得到所述轴向失稳的临界应力随所述圆心角变化的图谱；
将所述图谱作为所述环向关系图谱。
在本实施例中，结合图5所示，轴向失稳周期为，即/>，此时临界失稳应力为：/>；
结合图6所示，轴向失稳周期为2，即/>，此时临界失稳应力为：；
结合图8所示，图8给出了当，/>时无量纲应力/>随环向壳体对应圆心角/>的环向关系图谱。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过对环向关系图谱进行分析，可以得到壳体圆心角与临界应力之间的关系，从而根据不同圆心角的临界应力，进行相应的防护措施，防止岩爆的发生。
本发明实施例中，所述根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果，包括：
根据所述轴向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的轴向尺寸的所述轴向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述轴向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的轴向失稳分析结果；
根据所述环向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的环向尺寸的所述环向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述环向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的环向失稳分析结果。
在本实施例中，当所述隧洞的轴向应力等于或大于所述轴向最小临界应力或环向应力等于或大于所述最小临界应力/>时，判定所述隧洞将要失稳。因此，在进行隧洞挖掘之前，可以先获得隧洞周围的地应力，根据弹性力学和仿真分析结合前面环向应力重构获得轴向和环向应力，然后通过比较所得初始应力和相应最小临界屈服应力，提前预测隧道挖掘过程中发生岩爆的可能性，如果预测开挖之后，隧洞失稳，发生岩爆的可能性较大，可以通过提前卸载或制定相应防护措施增加系统稳定性，降低岩爆发生概率。除此之外，由于实际地质条件的复杂性，在隧洞挖掘完成段可以实时监测隧洞围岩地应力，当隧洞的轴向和环向应力接近最小临界失稳应力时，可以发出预警信号，提前采取相应撤离或防护措施，较小甚至避免岩爆的危害。
对于环向和轴向尺寸均足够大的壳体，两个方向的无量纲失稳模数均可取值无穷大，此时临界失稳应力和/>的最小值为相应表达式的极小值，即分别满足/>和。结果发现在/>处，即失稳波长/>，/>，变形模式如图7和图8所示，尽管临界压力值相同，但根据前面的分析，对于圆柱围岩壳，由于应力重构，屈曲前环向应力总是大于轴向应力水平，因此环向屈曲失稳更容易发生。
其中，对于轴向尺寸较小的壳体，当壳体轴向边界均为固支且轴向尺寸时，轴向失稳周期为l，即/>，结合图7可以看到临界应力的变化曲线，此时临界应力随着轴向长度的增大而减小，因此支护位置和开挖进尺需要进行精密的设计。
对于轴向尺寸较小的壳体，当壳体轴向边界均为简支且轴向尺寸时，轴向失稳周期为2l，即/>，结合图7可以看到临界应力的变化曲线，此时临界应力随着轴向长度的增大而减小，同时与两端固支壳体相比，系统更容易失稳，因此除了支护位置和开挖进尺外，支护方式对壳体的稳定性也有着不可忽视的影响。随着壳体长度继续增加，临界失稳应力开始小幅度增加，这是由于失稳模数跨过了前面所求得的极值点。但当时，由于壳体过长，失稳模式则会选择/>，但此时系统稳定性较差，应当避免出现。
对于环向尺寸较小的壳体，当壳体环向边界均为固支且轴向尺寸时，轴向失稳周期为/>，即/>，结合图8可以看到临界应力的变化曲线，可以看到，此时临界应力随着圆心角的增大而减小，因此需要进行合理的分步开挖方式保证结构的稳定性。
对于环向尺寸较小的壳体，当壳体轴向边界均为简支且轴向尺寸时，轴向失稳周期为2/>，即/>，此时临界失稳应力为/>。结合图8可以看到临界应力的变化曲线，此时临界应力随着轴向长度的增大而减小，同时与两端固支壳体相比，系统更容易失稳，因此除了支护位置和开挖进尺外，支护方式对壳体的稳定性也有着不可忽视的影响。与轴向屈曲类似，随着壳体圆心角继续增加，由于失稳模数跨过了极值点，临界失稳应力开始小幅度增加。而当/>时，由于壳体过长，失稳模式则会选择/>，此时系统容易失稳，应当避免出现。
综上所述，不论是环向还是轴向的稳定性，原则是减小壳体尺寸，增加壳体边界处的约束。轴向可通过调整开挖进尺，优化支护位置和支护方式，增加壳体稳定性；环向则可以通过改变开挖方式和支护形式，降低失稳发生风险。
本发明的围岩壳失稳分析方法，通过轴向失稳的临界应力的变化曲线和环向失稳的临界应力的变化曲线比较，得到初始应力和相应最小临界屈服应力，以此实现提前预测隧道挖掘过程中发生岩爆的可能性，同时相对于传统弹性力学分析方法，本发明的方法所得结果更加直观简洁，便于实际工程的应用。
需要说明的是，在本文中，诸如“第一”和“第二”等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。以上所述仅是本发明的具体实施方式，使本领域技术人员能够理解或实现本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所申请的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (10)

1.一种围岩壳失稳分析方法，其特征在于，包括：
建立圆柱形壳体的围岩壳基础模型；
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程；
根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱；
根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱；
根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果。
2.根据权利要求1所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系；
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程。
3.根据权利要求2所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系，包括：
根据所述围岩壳基础模型，得到所述围岩壳基础模型的径向坐标；
根据所述径向坐标、所述围岩壳基础模型的中面的应变分量和本征应变分量，得到所述围岩壳基础模型的内部应变；
所述内部应变为：；
其中，为所述中面的所述应变分量，/>为所述本征应变分，/>为所述径向坐标，为所述中面的曲率和扭率，/>为所述内部应变；
根据所述内部应变和所述围岩壳基础模型的所述中面的位移，得到所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系；
根据所述中面的应变以及所述曲率与所述扭率的线性关系，得到所述围岩壳基础模型的应力与应变的关系。
4.根据权利要求3所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的能量平衡方程，包括：
根据所述应力与应变的关系，得到所述围岩壳基础模型的内部应力；
根据所述内部应力，得到所述围岩壳基础模型的薄壳的能量，所述围岩壳基础模型的壳体包括无限个所述薄壳；
所述薄壳的能量为：；
其中，为所述围岩壳基础模型受到的外力，/>为所述围岩壳基础模型垂直于所述中面的位移，/>为所述围岩壳基础模型的所述内部应力，/>为所述径向坐标；
根据所述薄壳的能量，得到所述围岩壳基础模型的总能量变分公式；
所述总能量变分公式为：；
根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程。
5.根据权利要求4所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述能量平衡方程，包括：
当所述围岩壳基础模型的总能量为极小值时，所述围岩壳基础模型处于平衡状态；
通过所述围岩壳基础模型的总能量变分公式，得到所述围岩壳基础模型处于平衡状态的所述能量平衡方程；
所述能量平衡方程为：；
其中，为所述围岩壳基础模型的膜力分量，/>为二重拉普拉斯算子，/>为所述围岩壳基础模型的内径。
6.根据权利要求5所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，包括：
根据能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生轴向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，代入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合等效刚度与所述围岩壳基础模型的无量纲化的波数的线性关系，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件；
所述轴向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的轴向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的泊松比，/>为所述围岩壳基础模型的轴向应力。
7.根据权利要求5所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳发生轴向失稳的临界条件和所述围岩壳发生环向失稳的临界条件，还包括：
根据所述能量平衡方程，得到所述围岩壳基础模型发生环向失稳时，所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值；
将所述围岩壳基础模型在轴向、径向及环向的位移的幅值，代入所述能量平衡方程，得到所述能量平衡方程中关于所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数；
根据所述轴向、径向及环向的位移的幅值的系数，结合所述围岩壳基础模型的厚度特性，得到所述围岩壳发生环向失稳的临界条件；
所述厚度特性为：
；
其中，所述t为所述围岩壳基础模型的壳体厚度，所述r为所述围岩壳基础模型的所述内径；
所述环向失稳的临界条件为：
；
其中，为所述围岩壳基础模型的环向失稳波数，/>为所述围岩壳基础模型的厚度，/>为所述围岩壳基础模型的平均弹性模量，/>为所述围岩壳基础模型的环向应力。
8.根据权利要求6所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述轴向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的轴向尺寸与所述轴向失稳的临界应力的轴向关系图谱，包括：
根据所述轴向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的轴向失稳周期以及所述轴向失稳周期的轴向尺寸，得到所述轴向失稳的临界应力随所述轴向尺寸变化的图谱；
将所述图谱作为所述轴向关系图谱。
9.根据权利要求7所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述环向失稳的临界条件，得到所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角与所述环向失稳的临界应力的环向关系图谱，包括：
根据所述环向失稳的临界条件、所述围岩壳基础模型的环向失稳周期以及所述围岩壳基础模型的壳体的圆心角，得到所述轴向失稳的临界应力随所述圆心角变化的图谱；
将所述图谱作为所述环向关系图谱。
10.根据权利要求1所述的围岩壳失稳分析方法，其特征在于，所述根据所述轴向关系图谱和所述环向关系图谱，得到所述围岩壳失稳的分析结果，包括：
根据所述轴向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的轴向尺寸的所述轴向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述轴向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的轴向失稳分析结果；
根据所述环向关系图谱，得到所述围岩壳基础模型在不同的环向尺寸的所述环向失稳的临界应力的变化曲线；
根据所述环向失稳的临界应力的变化曲线，得到所述围岩壳的环向失稳分析结果。
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