CN117278096B - 一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法 - Google Patents

一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，涉及航天通信的技术领域，包括基于通信卫星中统计出的各子系统的相关可靠性数据以及各层级性能状态所对应的性能水平，获得各子系统处于不同性能状态的概率；基于通信卫星的物理连接结构和各子系统处于不同性能状态的概率，获得各子系统的Lz变换函数、各模块的Lz变换函数和单个通信卫星整体系统的Lz变换函数；基于单个通信卫星整体系统的Lz变换函数中各性能水平和目标任务需求性能，获取通信卫星的可靠度；根据通信卫星的物理结构特点，克服利用区间灰数求解时存在的区间扩张问题，有效降低由于卫星状态数目较多带来的维度灾难和通信卫星可靠度求解的复杂度。

Description

一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法
技术领域
本发明属于航天通信的技术领域，具体涉及一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法。
背景技术
通信卫星是国家信息基础设施的重要组成部分，具有重要的经济和军事意义。通信卫星作为通信卫星的重要组成部分，具有技术复杂度高、开发周期长、维修难度大、投资成本高等特点。因而，有必要对其可靠度进行评估。然而，卫星在运行过程中受耗损性故障机理及工作环境的影响，某些子系统的部件失效使该通信卫星以退化的性能水平执行任务是具有多输出性能的多状态系统。常规的可靠性理论是以“两态性假设”为基础的，即系统只有正常工作与完全故障两种状态。两态性假设在求解实际问题时，能极大地简化复杂度，但不能刻画系统由于性能退化引起的多态性特征，多态系统可靠性理论为该问题的解决提供了新的思路。
多状态系统的可靠度理论自提出以来取得了不少研究成果，在电力、交通运输、航空航天等领域得到了广泛应用。在多态系统的可靠性评估方法中，蒙特卡罗仿真需要大量的数据支撑。决策图(BDD)、贝叶斯网和Petri网在求解复杂系统时存在状态空间爆炸的问题。通用生成函数(UGF)是一种离散随机变量组合运算方法，它将离散随机变量以多项式的形式呈现，根据系统的逻辑关系定义UGF算子，并通过多层递归得到系统离散随机变量的多项式，能较好地反映系统的多态性。该概念最早由Ushakov在1986年提出，后经Levitin G和Lisnianski A等人的深入研究与发展，以运算快、复杂度较低等优势，在多态系统的可靠度求解中得到广泛应用。然而，UGF描述的是随机变量的稳态输出性能和稳态概率，忽略了时序性，只适用于概率分布不变的离散随机变量。为此，学者们针对状态离散时间连续的随机过程引入了一种特殊的变换，该变换方法结合了随机过程和UGF，且与描述离散随机变量的z-变换相类似，被称为Lz-变换，Lz-变换具有唯一性。
采用通用生成函数分析通信卫星多态可靠性的基础为各子系统的状态性能及相应的状态概率。然而，通信卫星结构复杂、组件故障发生率较低，很难获得各子系统状态转移率和性能水平的精确值，具有贫信息特征。灰色系统理论是由邓聚龙教授于20世纪80年代创立的，为解决实际工程系统中的不确定性评估问题提供了有效的工具。灰数是灰色系统的基本“单元”，区间灰数作为灰数的一种，在处理多属性不确定性决策问题中得到广泛应用。区间灰数内的值被认为是均等取值机会，在实际情况下，其取值可能性并非均相同，可能满足某种特定的分布规律。此外，多次的区间灰数运算会进一步扩大计算结果的灰度，增大决策误差。针对区间灰数的不足，罗引入了三参数区间灰数，且得到了广泛应用。然而，对于三参数区间灰数的研究仍存在很多不足之处，如Bai在三参数区间灰数优势度的计算是基于几何距离，且权重的选择存在主观意愿。Yan在三参数区间灰数的距离测度和排序方法不能反映三参数区间灰数的分布特征。因而，研究一般意义下，三参数区间灰数取值分布为非均匀、非对称下的多属性决策问题，更加符合实际决策的需要。
因此，针对通信卫星所表现出的性能退化、三参数区间灰数的优势度方法中不能反映其分布特征及通信网络存在的状态空间爆炸等问题，从降低多态通信卫星可靠度求解的复杂度出发，如何构建通信卫星可靠性评估框架，设计一种适用于灰色多状态系统的动态可靠性评估流程，成为亟待解决的技术问题。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，能够根据通信卫星的物理结构特点，克服利用区间灰数求解时存在的区间扩张问题，有效降低由于卫星状态数目较多带来的维度灾难，以及降低了通信卫星可靠度求解的复杂度。
本发明提供了如下的技术方案：
一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，包括：
基于多层级通信卫星中统计出的各子系统的相关可靠性数据以及各层级性能状态所对应的性能水平，构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型，以及获得各子系统处于不同性能状态的概率；
基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统处于不同性能状态的概率，获得各子系统的Lz变换函数；基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统的Lz变换函数，获得各模块的Lz变换函数；基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各模块的Lz变换函数，获得单个通信卫星整体系统的Lz变换函数；
基于获得的单个通信卫星整体系统Lz变换函数，比较单个通信卫星整体系统的各性能水平和目标任务需求性能之间的关系，获取通信卫星的可靠度。
优选地，所述通信卫星的层级包括子系统、模块和整体系统；所述模块包括多个串联或者并联的子系统；所述整体系统包括多个串联和/或并联的模块；所述各子系统的相关可靠性数据包括故障概率、修复概率。
优选地，还包括：基于多层级通信卫星的物理连接结构，构建可靠性结构框图，并对通信卫星各层级的多态性能进行表征；
表征所述通信卫星各层级的多态性能包括：
设各子系统有ki+1种性能状态，在t时刻，第i个子系统处于ji性能状态时的性能水平在t时刻时第mj模块的性能水平为/>单个通信卫星整体系统的性能水平为/>
优选地，所述构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型包括搭建各子系统的具有灰色转移概率的G-Markov链；
搭建所述各子系统的G-Markov链包括：将t时刻子系统i的性能水平用灰色马尔可夫模型的离散状态来表示，其中ki为子系统的最优性能状态，0为最差性能状态。
优选地，在t时刻，子系统i处于各性能状态的概率通过Kolmogorov微分方程组计算获得；所述Kolmogorov微分方程组为：
其中，为子系统i在t时刻处于性能状态ki的概率；/>为子系统i从性能水平ki转移到j的故障概率；/>为子系统i从性能状态j到ki的修复概率；
设定随机过程从最优状态ki开始，该状态的性能水平为且满足公式(2)的初始条件，
将公式(2)代入公式(1)，并采用Laplace-Stieltjes变换公式(1)为：
其中，且L[·]为Laplace-Stieltje算子；
基于公式(3)计算求得通过逆Laplace变换得到子系统i处于性能状态ji的概率/>
其中，L-1[·]为反Laplace-Stieltje算子,为灰变量与/>的函数。
优选地，在t时刻子系统i的Lz变换函数为：
其中，i＝1,2,…,n表示第i个子系统；ki表示子系统i的最优性能水平；表示子系统i处于性能状态ji的性能水平；/>为子系统i在给定初始概率/>情况下处于性能状态ji的概率；z用于区别性能值与相应概率值。
优选地，模块mj的Lz变换函数为：
其中,为通用组合算子；/>为结构函数；模块mj有n个子系统；为t时刻子系统i的Lz变换函数；/>为子系统i在给定初始概率/>情况下处于性能状态ji的概率；
当模块与子系统的连接结构为串联时，所述结构函数是串联结构函数φs，所述串联结构函数φs为：
其中，表示子系统n的性能水平；
当模块与子系统的连接结构为并联时，所述结构函数是并联结构函数φp，所述并联结构函数φp为：
其中，表示子系统i的性能水平。
优选地，当N个模块串联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数为：
其中，kj表示模块mj的最优性能水平；为模块mj的第ij个性能水平；/>为模块mj在ij性能状态下的概率；/>为通用组合算子；/>为结构函数；/>为模块mj的Lz变换函数；
当N个模块并联构成通信卫星的整体系统时，模块与通信卫星之间的映射关系为：
其中，任意模块mj有Kj+1个性能状态，用排序集表示；是模块mj在性能状态ij时的性能水平，模块mj在t时刻的性能水平/> 为模块mj的状态空间，/>为通信卫星的性能水平集；
当N个模块并联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数为：
其中，为通信卫星的总性能水平数，/>是t时刻通信卫星在a性能状态下性能水平为/>所对应的概率。
优选地，所述通信卫星的可靠度为：
其中，目标任务需求性能为t时刻通信卫星整体系统的性能水平为 为整体系统在t时刻处于性能状态a的概率，/>为整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率。
优选地，所述整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率通过如下方式计算：
设定 表示/>的可能性，/>为ra的可能度函数；整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率/>为：
其中，可能性函数采用三参数区间灰数的适中测度可能度函数为f(x)；三参数区间灰数/>的取值可能性由重心点a*向上界au及下界al递减，a*为三参数区间灰数的重心点，设定为1；
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
根据通信卫星的物理连接结构，在融合灰色通用生产函数与灰色马尔科夫过程的基础上，以三参数区间灰数的可能度函数为桥梁，将大于需求性能的可能度融入卫星可靠度求解算法中，克服了利用区间灰数求解时存在的区间扩张问题；构建的基于三参数区间灰数Lz变换的多态通信卫星动态可靠度评估框架，分析了系统的瞬时状态，有效降低了由于卫星状态数目较多带来的维度灾难与通信卫星可靠度求解的复杂度。
附图说明
图1是本发明实施例中一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法的流程示意图；
图2是本发明实施例1中给出的一种通信卫星的可靠性结构框图；
图3是本发明实施例中多态子系统i性能状态G-Markov状态转移图；
图4是本发明实施例中三参数区间灰数取值可能性示意图；
图5a是本发明实施例中当目标任务需求性能为时，通信卫星性能水平与目标任务需求性能之间的关系图；
图5b是本发明实施例中当目标任务需求性能为时，通信卫星性能水平与目标任务需求性能之间的关系图；
图5c是本发明实施例中当目标任务需求性能为时，通信卫星性能水平与目标任务需求性能之间的关系图；
图5d是本发明实施例中当目标任务需求性能为时，通信卫星性能水平与目标任务需求性能之间的关系图；
图6是本发明实施例2中通信卫星的结构框图；
图7是本发明实施例2中通信卫星多态结构及G-Markov状态转移图；
图8是本发明实施例2中目标任务需求性能和时间的变动对通信卫星可靠度的影响图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
实施例1
如图1所示，一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，包括：
S1:基于多层级通信卫星中统计出的各子系统的相关可靠性数据以及各层级性能状态所对应的性能水平，构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型，以及获得各子系统处于不同性能状态的概率。
具体地，所述通信卫星的层级包括子系统、模块、整体系统；所述模块包括多个串联或者并联的子系统；所述整体系统包括多个串联和/或并联的模块，即包括多个串联或者多个并联或者串联和并联混合；当然，多层级通信卫星的层级也可以只包括子系统和整体系统，在此种情况下，整体系统包括多个串联或者并联的子系统；本申请中所涉及的整体系统针对的均是单个通信卫星；多层级通信卫星的层级是根据通信卫星的物理连接结构划分的，可以根据实际需要进行调整。
具体地，所述各子系统的相关可靠性数据包括故障概率、修复概率，故障概率和修复概率根据实验统计的，性能水平是根据历史/经验数据统计出的，本申请中修复概率、故障概率和性能水平均作为已知数据；另外，所述各层级的性能状态，是作为已知条件获取的。
S101：如图4所示，所述构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型包括搭建各子系统的具有灰色转移概率的G-Markov链，搭建所述各子系统的G-Markov链包括：将t时刻子系统i的性能水平用灰色马尔可夫模型的离散状态来表示，其中ki为子系统的最优性能状态，0为最差性能状态。
在一些其他的实施例中，灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法还包括基于多层级通信卫星的物理连接结构，构建可靠性结构框图，并对通信卫星各层级的多态性能进行表征，表征所述通信卫星各层级的多态性能包括：表征各子系统有ki+1种性能状态，在t时刻，第i个子系统处于ji性能状态时的性能水平在t时刻时第mj模块的性能水平为/>通信卫星整体系统的性能水平为/>
本发明给出一种关于通信卫星的示例，如图2所示，一个通信卫星主要由电源系统、通信系统、控制系统、遥测指令系统和天线系统组成。其中，对于关键子系统为增加其可靠性，往往采用备份策略，如卫星转发器中接收机和高功率放大器往往采用冷储备；本发明将子系统备份视为并联结构，也即一个子系统失效不会导致整个分系统失效；通信卫星系统在服役期间受辐射、温度交变、真空服役环境的影响，使得系统的随机故障可能发生在局部子系统的组件上，此时系统无需全部退出运行状态，其输出性能处于“降额运行”状态；
具体地，设电源子系统通信子系统/>控制子系统遥测指令子系统/>天线子系统/>
S102：在t时刻，子系统i处于各性能状态的概率通过Kolmogorov微分方程组计算获得；所述Kolmogorov微分方程组为：
其中，为子系统i在t时刻处于性能状态ki的概率；/>为子系统i从性能水平ki转移到j的故障概率；/>为子系统i从性能状态j到ki的修复概率；
设定随机过程从最优状态ki开始，该状态的性能水平为将公式(2)代入公式(1)并采用Laplace-Stieltjes变换公式(1)为公式(3)：
其中，且L[·]为Laplace-Stieltje算子；
基于公式(3)计算求得通过逆Laplace变换得到子系统i处于性能状态ji的概率/>
其中，L-1[·]为反Laplace-Stieltje算子，为灰变量与/>的函数；采用Laplace-Stieltjes变换能够降低计算的复杂度。
S2:基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统处于不同性能状态的概率，获得各子系统的Lz变换函数，基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统的Lz变换函数，获得各模块的Lz变换函数，基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各模块的Lz变换函数，获得单个通信卫星整体系统的Lz变换函数；单个通信卫星整体系统指的是单个通信卫星的整体，并不是指代多个通信卫星构成的通信卫星网络。
S201：在t时刻子系统i的Lz变换函数为：
其中，i＝1,2,…,n表示第i个子系统；ki表示子系统i的最优性能水平；表示子系统i处于状态ji的性能水平；/>为系统i在给定初始概率情况下处于状态ji的概率；z用于区别性能值与相应概率值，无实际意义，无取值，仅作为一个符号而存在；在给定的条件下，有且仅有一个Lz变换。
S202：模块mj的Lz变换函数为：
其中，为通用组合算子；/>为结构函数；模块mj有n个子系统；为t时刻子系统i的Lz变换函数；/>为子系统i在给定初始概率/>情况下处于性能状态ji的概率。
具体地，根据模块与子系统的串联连接结构或者并联连接结构，所述结构函数包括串联结构函数φs或者并联结构函数φp，即当模块包括多个串联的子系统时，各模块的性能水平取决于性能水平最弱的子系统，所述结构函数为串联结构函数；当模块包括多个并联的子系统时，各模块的性能水平为各子系统共同决定，所述结构函数为并联结构函数。
所述串联结构函数φs为：
其中，表示子系统n的性能水平；
所述并联结构函数φp为：
其中，表示子系统i的性能水平。
在一个实施例中，S203：当N个模块串联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数变换函数为：
其中，Kj表示模块mj的最优性能水平；为模块mj(1≤mj≤N)的第ij个性能水平；/>为模块mj在ij性能状态下的概率；/>为通用组合算子；为结构函数；/>为模块mj的Lz变换函数。
在另一个实施例中，S203：对于由N个相互独立模块构成的多状态系统，任意模块mj(1≤mj≤N)有Kj+1个性能水平，用排序集表示；/>是模块mj在性能状态ij时的性能水平，模块mj在t(t≥0)时刻的性能水平/>是一个随机变量；通信卫星的状态空间为各模块所有性能水平的广义笛卡尔积，且模块与通信卫星间存在如下映射关系：
其中，为模块mj的状态空间，{g1,g2,…,gKa}为通信卫星的性能水平集。
当N个模块并联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数为：
其中，为通信卫星的总性能水平数，/>是t时刻通信卫星在a性能状态下性能水平为/>所对应的概率，a＝1,2,…,Ka,Ka是整体系统的最优性能。
S3：基于获得的单个通信卫星整体系统Lz变换函数，比较单个通信卫星整体系统中的各性能水平和目标任务需求性能，获取通信卫星的可靠度。
所述通信卫星的可靠度为：
其中，目标任务需求性能为t时刻通信卫星整体系统的性能水平为 为整体系统在t时刻处于性能状态a的概率，/>为整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率；可以利用计算机编程求解单个通信卫星的状态概率及动态可靠度的数值，从而降低可靠度计算的复杂度；目标任务需求性能是基于单个通信卫星在正常工作状态的需求进行确定的。
三参数区间灰数实际上可以理解为一个连续型随机变量X的取值范围，而随机变量X在取重心值时概率最大；如图3所示，通常，三参数区间灰数的取值可能性由重心点a*向上界au及下界al递减，满足其取值偏爱程度的函数有很多类型，本发明采用适中测度的可能度函数作为三参数区间灰数的近似分布；令三参数区间灰数的重心点取值a*的可能度函数值为1，则三参数区间灰数的适中测度可能度函数为：
如图5a-5d所示，分析通信卫星性能与目标任务需求性能间的各种大小关系，当性能需求为时，通信卫星不可靠，即/>当性能需求为/>时，通信卫星可靠，即当用户需求为/>或/>时，通信卫星可靠与否存在不确定性，即因而，需要分析该性能状态以多大概率满足任务需求。
设定 表示/>的可能性，/>为ra的可能度函数；整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率/>为：
实施例2
提供一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，其物理连接结构如图6所示；通信卫星整体系统包括五个模块，且包含6个性能退化子系统；各子系统的性能水平和状态转移率用三参数区间灰数表示，具体数据见表1。
表1各子系统的性能参数
/>
本实施例通信卫星的子系统2的状态转移率及性能水平与子系统3完全一致.
已知通信卫星的目标任务需求性能求t＝1年时，该通信卫星的可靠度。
S1:如图6所示，基于通信卫星的物理连接结构，构建可靠性结构框图；基于多层级通信卫星中设定的各层级性能状态，以及表1出的各子系统的相关可靠性数据和各层级性能状态所对应的性能水平，构建如图7所示的灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型，以及获得各子系统处于不同性能状态的概率，如表2所示。
表2各子系统处于各性能水平的概率
/>
S2：基于表1中的性能参数和表2中各子系统处于不同性能状态的概率，根据公式(5)获得各子系统的Lz变换函数；基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统的Lz变换函数，获得各模块的Lz变换函数。
具体地，在求得子系统的Lz变换函数的基础上，分析各子系统的连接结构，结合通用组合算子，得到各模块的Lz变换函数；如图7所示，子系统1的性能水平即为模块1的性能水平，即同理，/>模块2由性能相同的2个子系统并联而成，/>
子系统2与子系统3并联组成分模块2，则模块2的Lz变换函数为：
5个模块串联成整个通信卫星，
模块1到模块5串联形成整个通信卫星，其整个系统的Lz变换函数为：
通信卫星共有Ka＝3*10*4*3*3＝1080种性能水平，其整体系统的Lz变换函数为：
S3：基于获得的通信卫星整体系统Lz变换函数中各性能水平和目标任务需求性能，获取通信卫星的可靠度。
具体地，比较通信卫星各性能水平与任务需求性能/>的关系，利用计算机编程求得该通信卫星在t＝1，/>时的可靠度。
多次计算当时间变动和目标任务需求性能改变后实施例2所示的通信卫星的可靠度，建立目标任务需求性能与时间的变动对通信卫星可靠度的影响模型图，如图8所示。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的；应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种灰色多状态通信卫星动态可靠性评估方法，其特征在于，包括：
基于多层级通信卫星中统计出的各子系统的相关可靠性数据以及各层级性能状态所对应的性能水平，构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型，以及获得各子系统处于不同性能状态的概率；
基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统处于不同性能状态的概率，获得各子系统的Lz变换函数；基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各子系统的Lz变换函数，获得各模块的Lz变换函数；基于多层级通信卫星的物理连接结构和获得的各模块的Lz变换函数，获得单个通信卫星整体系统的Lz变换函数；
基于获得的单个通信卫星整体系统Lz变换函数，比较单个通信卫星整体系统的各性能水平和目标任务需求性能之间的关系，获取通信卫星的可靠度；
所述通信卫星的层级包括子系统、模块和整体系统；所述模块包括多个串联或者并联的子系统；所述整体系统包括多个串联和/或并联的模块；所述各子系统的相关可靠性数据包括故障概率、修复概率；
所述方法还包括：基于多层级通信卫星的物理连接结构，构建可靠性结构框图，并对通信卫星各层级的多态性能进行表征；
表征所述通信卫星各层级的多态性能包括：
设各子系统有ki+1种性能状态，在t时刻，第i个子系统处于ji性能状态时的性能水平在t时刻时第mj模块的性能水平为/>单个通信卫星整体系统的性能水平为/>
所述构建灰色多状态可修子系统G-Markov状态转移模型包括搭建各子系统的具有灰色转移概率的G-Markov链；
搭建所述各子系统的G-Markov链包括：将t时刻子系统i的性能水平用灰色马尔可夫模型的离散状态来表示，其中ki为子系统的最优性能状态，0为最差性能状态；
在t时刻，子系统i处于各性能状态的概率通过Kolmogorov微分方程组计算获得；所述Kolmogorov微分方程组为：
其中，为子系统i在t时刻处于性能状态ki的概率；/>为子系统i从性能水平ki转移到j的故障概率；/>为子系统i从性能状态j到ki的修复概率；
设定随机过程从最优状态ki开始，该状态的性能水平为且满足公式(2)的初始条件，
将公式(2)代入公式(1)，并采用Laplace-Stieltjes变换公式(1)为：
其中，且L[·]为Laplace-Stieltje算子；
基于公式(3)计算求得通过逆Laplace变换得到子系统i处于性能状态ji的概率
其中，L-1[·]为反Laplace-Stieltje算子,为灰变量/>与/>的函数；
在t时刻子系统i的Lz变换函数为：
其中，i＝1,2,…,n表示第i个子系统；ki表示子系统i的最优性能水平；表示子系统i处于性能状态ji的性能水平；/>为子系统i在给定初始概率/>情况下处于性能状态ji的概率；z用于区别性能值与相应概率值；
模块mj的Lz变换函数为：
其中,为通用组合算子；/>为结构函数；模块mj有n个子系统；为t时刻子系统i的Lz变换函数；/>为子系统i在给定初始概率/>情况下处于性能状态ji的概率；
当模块与子系统的连接结构为串联时，所述结构函数是串联结构函数φs，所述串联结构函数φs为：
其中，表示子系统n的性能水平；
当模块与子系统的连接结构为并联时，所述结构函数是并联结构函数φp，所述并联结构函数φp为：
其中，表示子系统i的性能水平；
当N个模块串联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数为：
其中，Kj表示模块mj的最优性能水平；为模块mj的第ij个性能水平；/>为模块mj在ij性能状态下的概率；/>为通用组合算子；/>为结构函数；/>为模块mj的Lz变换函数；
当N个模块并联构成通信卫星的整体系统时，模块与通信卫星之间的映射关系为：
其中，任意模块mj有Kj+1个性能状态，用排序集表示；/>是模块mj在性能状态ij时的性能水平，模块mj在t时刻的性能水平/> 为模块mj的状态空间，/>为通信卫星的性能水平集；
当N个模块并联构成通信卫星的整体系统时，所述通信卫星整体系统的Lz变换函数为：
其中，为通信卫星的总性能水平数，/>是t时刻通信卫星在a性能状态下性能水平为/>所对应的概率；
所述通信卫星的可靠度为：
其中，目标任务需求性能为t时刻通信卫星整体系统的性能水平为/> 为整体系统在t时刻处于性能状态a的概率，/>为整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率；
所述整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率通过如下方式计算：
设定 表示/>的可能性，/>为ra的可能度函数；整体系统在t时刻性能水平满足任务需求的概率/>为：
其中，可能性函数采用三参数区间灰数的适中测度可能度函数为f(x)；三参数区间灰数/>的取值可能性由重心点a*向上界au及下界al递减，a*为三参数区间灰数的重心点，设定为1；
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