CN116776695A - 基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备，涉及计算电磁学和分层电磁传播的领域。采取的一维超高阶有限元技术实现了从线性基函数过渡到更高阶次基函数，成功克服原始有限元技术存在不可避免的先天缺陷，如：繁琐的网格重构、计算效率较低、计算精度低等。通过修正高阶条件下的坐标变换以及对应的形函数，超高阶有限元技术需要更少的网格节点和剖分区域，更加表现出曲线光滑与数值稳定的优势，从而应用在一维电磁计算方法上，可获得更精准的数值解。对于更高维度的电磁问题，采用一维超高阶有限元技术的类似求法将有更广阔的应用意义。
Description
技术领域
本发明涉及计算电磁学领域，特别是涉及一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备，属于一种获取电磁传播的场分析方法，通过高阶有限元算法去实现一维情形。
背景技术
计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。对于静电问题，在给定的边界条件下求解麦克斯韦方程组获取精确解。然而，随着电磁问题的复杂度的上升，麦克斯韦方程组的精确解难以获取，此时人们逐渐发展出了矩量法、时域有限差分法、有限元法等数值方法。相比于解析法和时域有限差分法，有限元法可以处理的问题形状和边界更加灵活，并且对于实际复杂结构的问题具有更大的优势。
有限元方法随着高性能计算机的出现得到了飞速发展，基本原理是将连续的电磁场计算域划分为离散的子域，在子域中将待解场量表示为基函数的线性组合，从而将连续问题的解转化为有限数目的离散区域内未知系数的近似表达，将连续的无限计算域问题过渡到离散的有限计算域问题。有限元算法的计算过程包括采用伽辽金法将偏微分方程转换为弱形式，偏微分方程最终转换为矩阵方程，运用稀疏矩阵的三元组储存格式存放矩阵方程的数据，采用同时消元回代法求解矩阵方程得到待解场量的数值解。
在处理一维电磁问题时，原始有限元面临的主要问题包括如何构造基函数、提高其收敛速度和数值解精度，原始有限元采用的是低阶基函数，因此它们无法准确捕捉复杂几何形状和物理现象的细节，原始有限元的节点仅能粗略地逼近原始几何形状，这可能导致在模拟过程中出现失真的解，这些解可能对计算结果和可视化造成干扰，并可能不符合实际情况，在某些情况下，低阶基函数可能无法准确地捕捉材料性质之间的转换或斜率的改变，从而导致解的不稳定或不合理。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备，可采用超高阶基函数可以很好处理原始有限元面临的计算精度不高的问题，具有一定的实用价值。
为实现上述目的，本发明提供了如下方案：
一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法，所述方法包括：
根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的；
确定每一单元网格的基函数表达式；
将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式；
选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值；
根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解；
获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值；
若是，则输出最终的所述数值解，即得到待求解计算域的电磁数据；
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
可选的，确定每一单元网格的基函数表达式，具体包括：
将所述单元网格中的未知函数分别使用基函数和多项式进行表示，得到基函数形式的未知函数和多项式形式的未知函数；
将所述单元网格中每一节点的坐标分别带入到所述基函数形式的未知函数和所述多项式形式的未知函数中，分别得到第一表达式和第二表达式；
将所述第一表达式和所述第二表达式分别表示成矩阵形式，得到第一矩阵表达式和第二矩阵表达式；
将第二表达式写成行向量与列向量乘积的形式，得到乘积形式表达式；
将所述乘积形式表达式带入到所述第一矩阵表达式中，得到组合表达式；
将所述组合表达式带入到所述第二矩阵表达式中得出所述基函数表达式。
可选的，所述基函数表达式为：
其中，ne单元网格节点数目，表示未知函数ue(ξ)在网格节点处的值，Ni(ξ)表示第i个基函数表达式,ξi表示单元网格中的节点坐标，ξ表示主域变量；
可选的，将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表示，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式，具体包括：
将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式；
根据所述单元网格中的节点数目选取对应阶数的基函数，将所述试探函数和所述未知函数利用选取的基函数表示，将表示后的试探函数和表示后的位置函数带入到所述弱形式中；
将带入到所述弱形式后得到的表达式中的系数进行合并以及进行表达式形式变换，得到单元网格的所述网格矩阵表达式和所述已知向量表达式。
可选的，带入到所述弱形式后得到的表达式为：
其中，we(x)表示试探函数；fe(x)为源函数；表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第1个节点；pe(x)与qe(x)都是偏微分方程中的材料参数；/>为基函数；ge等于/>
可选的，所述网格矩阵表达式为：
所述已知向量表达式为：
可选的，所述全局矩阵的表达式为：
其中，i,j表示单元网格矩阵的位置编号；ig，jg表示全局矩阵的位置编号。
本发明还提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算系统，所述系统包括：
构建网格模块，用于根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的；
第一表达式确定模块，用于确定每一单元网格的基函数表达式；
第二表达式确定模块，用于将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式；
分量确定模块，用于选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值；
求解模块，用于根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解；
迭代终止判断模块，用于获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值；
若是，则输出最终的所述数值解，即得到待求解计算域的电磁数据；
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回构建网格模块执行步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回第一表达式确定模块执行步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
本发明提供一种电子设备，包括存储器及处理器，存储器用于存储计算机程序，处理器运行计算机程序以使电子设备执行所述的基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法。
根据本发明提供的具体实施例，本发明公开了以下技术效果：
本发明提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备，涉及计算电磁学和分层电磁传播的领域。采取的一维超高阶有限元技术实现了从线性基函数过渡到更高阶次基函数，成功克服原始有限元技术存在不可避免的先天缺陷，如：繁琐的网格重构、计算效率较低、计算精度低等。本发明是采用坐标映射将计算域整合至同一个区间，减少网格重构的复杂度，计算效率低的问题在文中是采用高斯积分与稀疏解决的，仅使用有限个点可获得较高的精度，通过修正高阶条件下的坐标变换以及对应的形函数，超高阶有限元技术需要更少的网格节点和剖分区域，更加表现出曲线光滑与数值稳定的优势，从而应用在一维电磁计算方法上，可获得更精准的数值解。对于更高维度的电磁问题，采用一维超高阶有限元技术的类似求法将有更广阔的应用意义。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明的一维超高阶有限元算法的流程图；
图2是本发明的网格及其节点图；
图3是本发明的原始有限元静电问题数值解；
图4是本发明的超高阶3节点有限元静电问题数值解；
图5是本发明的超高阶4节点有限元静电问题数值解；
图6是本发明的超高阶5节点有限元静电问题数值解；
图7是本发明的原始有限元电磁散射问题数值解；
图8是本发明的超高阶3节点有限元电磁散射问题数值解；
图9是本发明的超高阶4节点有限元电磁散射问题数值解；
图10是本发明的超高阶5节点有限元电磁散射问题数值解。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
参数说明：以下是所有本文中所有i的含义整合：
(1)基函数中的i，表示单元网格中第i个基函数的表达式
(2)表示单元网格中第i个节点对应的未知函数的值
(3)弱形式中的积分中的基函数下标i与j是为了区分试探函数与未知函数，
(4)ξi对应是指单元网格中第i个节点的坐标。
本发明的目的是提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备，可采用超高阶基函数可以很好处理原始有限元面临的计算精度不高的问题，具有一定的实用价值。
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
实施例一
如图1所示，本实施例提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法，所述方法包括：
S1：根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的。
1)获取整个计算域的长度，根据数值解的精度设定一个初始网格尺寸，在计算域边界与介质中可以采用更密集的网格尺寸，确定计算域网格数目之后需要根据单元网格节点数目确定节点总数，在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目，将计算域从原始坐标映射至主域中。
确定整个区域的大小，将其划分为空气域、介质域、边界，在散射问题中施加边界的目的是截断计算域，其大小为5至10个波长，计算域包括空气域、介质域、边界，当介质域的材料为理想导体时，介质域不包括在计算域中。
对仿真环境的各媒质参数与网格尺寸进行预设置，确定初始模型的网格数目以及节点数目，确定初始区域的位置，构建仿真的初始模型，图2展示本发明中划分的网格与节点图像。图2(a)对应传统有限元网格节点示例；图2(b)对应本发明的超高阶有限元网格节点示例，节点可根据需求设定。
S2：确定每一单元网格的基函数表达式。
步骤S2具体包括：
S21：将所述单元网格中的未知函数分别使用基函数和多项式进行表示，得到基函数形式的未知函数(公式(1))和多项式形式的未知函数(公式(2))。未知函数在本文中与需要求解的场量是一致的，实际意义是表征待求解场量在节点处的值。
2)将单元网格中的待求解场量ue(ξ)分别使用基函数与多项式进行表示；
其中，e表示网格编号，ne单元网格节点数目，表示未知函数ue(ξ)在网格节点处的值，ξ表示主域变量，/>表示基函数，/>表示多项式系数。
S22：将所述单元网格中每一节点的坐标分别带入到所述基函数形式的未知函数和所述多项式形式的未知函数中，分别得到第一表达式和第二表达式。
S23：将所述第一表达式和所述第二表达式分别表示成矩阵形式，得到第一矩阵表达式(公式(3))和第二矩阵表达式(公式(4))。
3)将单元网格中的每个节点的坐标代入(2)式与(1)式，并且将所得表达式表示成矩阵形式，同时将(2)式写成行向量与列向量的乘积，得：
S24：将第二表达式写成行向量与列向量乘积的形式，得到乘积形式表达式。
其中ξi表示单元网格中编号为i的节点。
S25：将所述乘积形式表达式带入到所述第一矩阵表达式中，得到组合表达式。
4)将(5)式代入(3)式中，获取ue(x)与基函数和/>的表达式。
S26：将所述组合表达式带入到所述第二矩阵表达式中得出所述基函数表达式。
将获取ue(x)与基函数和/>的表达式代入(4)式获取基函数Ni(ξ)表达式，根据Ni(ξ)的向量表达式与矩阵运算得到具体一个分量的表达式；
根据单元网格的节点数目确定基函数的阶数，由于主域中节点对应的坐标代入未知函数得到方程组，将未知函数的基函数表达式与多项式表达形式代入到获取的方程组中，使用克莱姆法则获取基函数的表达式。
基函数的阶数与网格节点一一对应，基函数表达式根据坐标映射与克莱姆法则获取，由于超高阶有限元计算方法采用的是高阶多项式基函数，计算机易于处理多项式基函数。
S3：将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式。
步骤S3具体包括：
S31：将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式。
5)在有限元法的弱形式中，需要引入一个测试函数(试探函数)we(x)，它是一种可微函数，用于对原始方程进行积分。而原始偏微分方程则需要经过乘以测试函数并积分的操作，从而得到离散后的形式。这样，在离散化后，原本是微分方程的形式就转化为了代数方程组的形式；
S32：根据所述单元网格中的节点数目选取对应阶数的基函数，将所述试探函数和所述未知函数利用选取的基函数表示，将表示后的试探函数和表示后的位置函数带入到所述弱形式中。
6)根据单元网格节点数目，选取对应阶数的基函数Ne(x)，基函数阶数与单元网格节点数一致。令代入方程得：
其中，ge等于整体是在/>中，表示在单元网格中左右节点处的对应表达式的值。
S33：将带入到所述弱形式后得到的表达式中的系数进行合并以及进行表达式形式变换，得到单元网格的所述网格矩阵表达式和所述已知向量表达式。
7)将(9)式中第一个积分与第二个积分对应的系数合并，并将其余项移至等式右边，将/>的系数提取出来，获取单元网格矩阵与已知向量表达式，在每一个单元网格中的表达式都是一致的；
其中，为单元网格矩阵分量，/>为已知向量分量；其中，we(x)表示试探函数；fe(x)为源函数；/>表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第1个节点；pe(x)与qe(x)都是偏微分方程中的材料参数；/>为基函数；
8)矩阵方程的具体形式可表示为：
其中和/>利用边界条件消去。
9)将原始坐标x映射到主域ξ，即区间，这种做法主要是为了减小由于网格形状和大小的不同，导致的计算误差，提高计算精度，更新/>的表达式，将其表示成矩阵方程的形式：
Aeue＝be#(13)
Ae表示单元网格矩阵，ue表示未知函数节点值，be为已知向量，Ni为基函数；
S4：选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值。
10)选取高斯积分点，高斯点的数目并不是越多越好，通常选择与网格内部节点数目保存一致即可，根据高斯求积法则，获取对应高斯点的权重值。
11)计算对应高斯点处的数据，计算表达式中节点处的表达式值与权重，表达式值乘权求和替代积分，获取网格矩阵与已知向量。
在(13)式与(14)式中代入选取的高斯点，获取函数值与对应权重的乘积的合，得Ae与be具体表达式；
求取网格矩阵与已知向量中各项在选取的高斯点处的值，根据高斯求积法则得到对应点的权重，与高斯点与权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值。
S5：根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解。
12)将所有网格矩阵与已知向量进行组装全局矩阵。
将获取的Ae、be组装至全局稀疏矩阵，装配得到的全部网格矩阵获取全局矩阵，按照如下公式进行组装；
其中i,j表示单元网格矩阵的位置编号，ig，jg表示全局矩阵的位置编号。
13)添加边界条件，边界条件是作用在矩阵A与向量b上，当为第二类边界条件时，还需要计算如边界条件为第一类边界条件时，如u＝u0，在x＝xa时，xa表示网格初始坐标，矩阵A与向量b变化如下：
当为混合边界条件时，即在x＝xa时，矩阵A与向量b变化如下：
其中，n为总节点数目。
第一类、第二类边界条件添加都是对矩阵A，向量b进行调整；求解获取的矩阵方程可以得到一维超高阶有限元计算方法的数值解。
14)由于A是稀疏矩阵，本算法采用的稀疏矩阵使用是三元组表示法，即只储存A中非零元的行下表、列下标与对应行列处的值，由于在稀疏矩阵种存在大量的零元，所以在求解矩阵方程时可以极大的减少计算量。
Au＝b#(20)
将所有网格矩阵与已知向量按照一定规则组装到构建的全局稀疏矩阵中，确认边界条件的形式，将边界条件整合至获取的全局稀疏矩阵中，采用迭代法求解获取的矩阵方程。
S6：获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值。
15)计算解析解，求解均方误差，若解析值难以求解，使用传统有限元获取数值解进行对比。
其中为数值解，/>为解析解或传统有限元数值解。
若是，则输出最终的所述数值解，得到待求解场量在网格中节点处的值，即获取待求解计算域的电磁数据；
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
16)对比15)获取的均方误差与要求精度，如果不满足精度要求，则通过调整网格尺寸重复1)～16)，但是网格尺寸的增加会导致计算量迅速增长，所以也可以通过增加基函数的阶数，也就是增加网格节点数目来提高数值解的精度，重复6)～16)重新获取结果，直至满足精度要求。
表1静电问题的电场均方误差
表1是一维超高阶有限元算法应用于静电问题的所得数值解与解析解的均方误差，边界条件不同，电势的解析解的表达式也会变化，当为第一类边界条件时，电势解析解可表达为：
其中ε为相对介电参数，ρv为电荷密度，代入边界条件，能获取电势V的精确值，表1表示单元网格节点数目与均方误差的变化趋势，选取的网格数目M等于2，计算域长度为L等于0.04m，相对介电常数为2，电荷密度ρv(x)＝ρ0x/L，静电问题解析解表达式为三阶，即使在单元网格节点较少时数值解也很好表示电场分布，图3、图4、图5选取的网格数目较少，单元网格节点数目依次增加，可以很好的验证超高阶有限元数值方法的优势，随着单元网格节点数目的增加，计算精也大大增长。
图3采用的是原始有限元，图4采用的是单元网格节点数目为3，图5采用的单元网格节点数目为4，图6采用的单元网格节点数目为5。
表2电磁散射问题透射系数与反射系数误差
表2是一维超高阶有限元算法应用于电磁散射问题的反射系数与透射系数百分比误差图像，参数为频率等于300MHz，计算域L长度为2，介质板长度为0.25，相对介电常数为2.7，相对磁导率为1，选取的网格数目M等于2，图7是原始有限元电磁散射问题数值解；图8采用的是单元网格节点数目为3，图9采用的单元网格节点数目为4，图10采用的单元网格节点数目为5，反射系数与透射系数的解析解表达式为：
其中，Re为反射系数，Te为透射系数，k为波数，d为介质板厚度，r的表达式如下：
其中，η0为真空阻抗，η为介质阻抗。
在静电问题中均方误差即使是在单元网格节点数目较少时也可很准确的表示简单电磁场问题的解，当涉及的问题为相对复杂的电磁散射问题时，采用超高阶网格明显的提高了准确度。
本实施提供一种基于超高阶有限元技术下的一维电磁计算方法，涉及计算电磁学和分层电磁传播的领域。该方法不仅适用于媒质间的静电分析，还应用在多层非均匀媒质的电磁传播分析当中。原始的有限元技术只是简单地将连续的计算区域剖分为单独离散的子域，在各自子域中利用线性基函数的特征进行获取待解场量，从而实现连续问题过渡为有限个数的离散区域的近似表达。本发明采取的一维超高阶有限元技术实现了从线性基函数过渡到更高阶次基函数，成功克服原始有限元技术存在不可避免的先天缺陷，如：繁琐的网格重构、计算效率较低、计算精度低等。通过修正高阶条件下的坐标变换以及对应的形函数，超高阶有限元技术需要更少的网格节点和剖分区域，更加表现出曲线光滑与数值稳定的优势，从而应用在一维电磁计算方法上，可获得更精准的数值解。对于更高维度的电磁问题，采用一维超高阶有限元技术的类似求法将有更广阔的应用意义。
本发明方案具有的优势为：(1)将连续的待求解区域划分为多个小区域，在子域中将待解场量表示为基函数的线性组合，从而将连续问题的解转化为有限数目的离散区域内基函数的近似表达，将连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题。(2)采用弱形式将偏微分方程进行转换，不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在，可以更好的描述电磁场问题的求解过程中存在的大量的微小的变化。
(3)采用坐标映射技术可以将物理区域映射到主域上，并在主域中使用相对应的节点对应的坐标，根据由基函数线性组合与多项式形式获取的两种未知函数表达式与单元网格节点坐标，获取基函数的表达式。(4)通过增加元素节点数的方式，可以获取更高阶的基函数，进一步提高数值解的精度。这种方法在实际应用中显著提高了计算精度，特别是在涉及到高阶多项式基函数的情况下，很容易获得更准确的计算结果度。(5)采用高斯积分来获取网格矩阵与已知向量，按照一定规则选取单元网格的部分点，根据高斯勒让德求积原理计算对应点的权重，通过这部分点的函数值加权求和替代积分，就可以在保证精度的同时极大的减少计算量，但是需要将计算域映射到主域中，保证所有积分区域都一致的，不需要将高斯点映射的任意一个积分区域，减少计算量。
实施例二
本实施例提供一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算系统，所述系统包括：
构建网格模块，用于根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的。
第一表达式确定模块，用于确定每一单元网格的基函数表达式。
第二表达式确定模块，用于将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式。
分量确定模块，用于选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值。
求解模块，用于根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解。
迭代终止判断模块，用于获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值。
若是，则输出最终的所述数值解，即得到待求解计算域的电磁数据。
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
实施例三
本实施例提供一种电子设备，包括存储器及处理器，存储器用于存储计算机程序，处理器运行计算机程序以使电子设备执行实施例一的基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法。
可选地，上述电子设备可以是服务器。
另外，本发明实施例还提供一种计算机可读存储介质，其存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现实施例一的基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法。
本发明的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。对于实施例公开的系统而言，由于其与实施例公开的方法相对应，所以描述的比较简单，相关之处参见方法部分说明即可。
本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。
Claims (9)
1.一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法，其特征在于，所述方法包括：
根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的；
确定每一单元网格的基函数表达式；
将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式；
选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值；
根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解；
获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值；
若是，则输出最终的所述数值解，即得到待求解计算域的电磁数据；
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，确定每一单元网格的基函数表达式，具体包括：
将所述单元网格中的未知函数分别使用基函数和多项式进行表示，得到基函数形式的未知函数和多项式形式的未知函数；
将所述单元网格中每一节点的坐标分别带入到所述基函数形式的未知函数和所述多项式形式的未知函数中，分别得到第一表达式和第二表达式；
将所述第一表达式和所述第二表达式分别表示成矩阵形式，得到第一矩阵表达式和第二矩阵表达式；
将第二表达式写成行向量与列向量乘积的形式，得到乘积形式表达式；
将所述乘积形式表达式带入到所述第一矩阵表达式中，得到组合表达式；
将所述组合表达式带入到所述第二矩阵表达式中得出所述基函数表达式。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述基函数表达式为：
其中，ne单元网格节点数目，表示未知函数ue(ξ)在网格节点处的值，Ni(ξ)表示第i个基函数表达式,ξi表示单元网格中的节点坐标，ξ表示主域变量。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表示，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式，具体包括：
将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式；
根据所述单元网格中的节点数目选取对应阶数的基函数，将所述试探函数和所述未知函数利用选取的基函数表示，将表示后的试探函数和表示后的位置函数带入到所述弱形式中；
将带入到所述弱形式后得到的表达式中的系数进行合并以及进行表达式形式变换，得到单元网格的所述网格矩阵表达式和所述已知向量表达式。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，带入到所述弱形式后得到的表达式为：
其中，we(x)表示试探函数；fe(x)为源函数；表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第ne个节点；/>表示单元网格内部第1个节点；pe(x)与qe(x)都是偏微分方程中的材料参数；/>为基函数表示的试探函数，j的取值范围为{1，2，…，ne}；
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述网格矩阵表达式为：
所述已知向量表达式为：
7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述全局矩阵的表达式为：
其中，i,j表示单元网格矩阵的位置编号；ig，jg表示全局矩阵的位置编号。
8.一种基于超高阶有限元技术的一维电磁计算系统，其特征在于，所述系统包括：
构建网格模块，用于根据待求解计算域的长度以及数值解的精度要求确定有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目，基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络，确定单元网格数量；每一单元网格中的节点数目是在原始有限元的基础上增加单元网格节点数目得到的；
第一表达式确定模块，用于确定每一单元网格的基函数表达式；
第二表达式确定模块，用于将偏微分方程与试探函数乘积转化为弱形式，利用伽辽金法将所述试探函数用基函数表达，将试探函数的表达式代入所述弱形式中，将单元网格中的未知函数表示为基函数的线性组合并代入所述弱形式中，合并未知函数系数，获取网格矩阵表达式与已知向量表达式；
分量确定模块，用于选取高斯积分点，确定所述网格矩阵表达式与已知向量表达式中各项在选取的高斯积分点处的值，根据高斯求积法则得到所述选取的高斯积分点对应的权重，将所述选取的高斯积分点与对应的权重乘积并求和获取网格矩阵与已知向量中各个分量的值；
求解模块，用于根据所有分量确定的网格矩阵和分量确定的已知向量得到单元网络的全局矩阵，确认的边界条件的形式，将边界条件整合至所述全局矩阵中，并采用迭代法求解整合后得到的矩阵方程，得到数值解；
迭代终止判断模块，用于获取所述偏微分方程对应的解析解，并根据所述数值解和所述解析解计算均方误差，判断所述均方误差是否满足预设值；
若是，则输出最终的所述数值解，即得到待求解计算域的电磁数据；
若否，则减小网格尺寸，利用减小后的网格尺寸为所述有限元网格尺寸，并返回构建网格模块执行步骤“基于所述有限元网格尺寸和每一单元网格中的节点数目构建所述待求解计算域有限元网络”，或增加所述基函数的阶数，并返回第一表达式确定模块执行步骤“确定每一单元网格的基函数表达式”。
9.本实施例提供一种电子设备，包括存储器及处理器，存储器用于存储计算机程序，处理器运行计算机程序以使电子设备执行权利要求1至8任一项所述的基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法。
Priority Applications (1)
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| CN202310772046.4A CN116776695A (zh) | 2023-06-28 | 2023-06-28 | 基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备 |
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| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
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| CN202310772046.4A CN116776695A (zh) | 2023-06-28 | 2023-06-28 | 基于超高阶有限元技术的一维电磁计算方法、系统及设备 |
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Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN117669429A (zh) * | 2024-01-31 | 2024-03-08 | 陕西空天信息技术有限公司 | 一种旋转机械的流体仿真方法、装置及计算机存储介质 |
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- 2023-06-28 CN CN202310772046.4A patent/CN116776695A/zh active Pending
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| CN117669429A (zh) * | 2024-01-31 | 2024-03-08 | 陕西空天信息技术有限公司 | 一种旋转机械的流体仿真方法、装置及计算机存储介质 |
| CN117669429B (zh) * | 2024-01-31 | 2024-05-10 | 陕西空天信息技术有限公司 | 一种旋转机械的流体仿真方法、装置及计算机存储介质 |
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