TWI421703B - 模擬技術（一） - Google Patents

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TWI421703B
TWI421703B TW097143684A TW97143684A TWI421703B TW I421703 B TWI421703 B TW I421703B TW 097143684 A TW097143684 A TW 097143684A TW 97143684 A TW97143684 A TW 97143684A TW I421703 B TWI421703 B TW I421703B
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Description

模擬技術(一)
本發明是關於一種用於需被模擬的一系統之數值逼近之電腦實施技術，且特別是關於使用此等技術分析電磁場。本發明發現了使用有限查分時域(FDTD)技術分析電磁場之特別但不是唯一應用以解馬克氏斯威方程式，從而模擬且預測一給定環境及條件之電磁波傳播之動態性。
 發明背景
模擬且考慮各種環境中產生的各種波現象(例如，電磁波傳播)之影響的需求不斷地增加。為了能夠模擬(例如)流體傳播之動態性，熱傳輸或電磁輻射在許多工業中是非常有利的。特別地，電磁場模擬在電子產品之設計及發展中扮演非常重要的角色。在此快速變化的技術中，將一產品引入市場所花的時間對於維持商業優勢是關鍵的。有關此方面，電磁模擬為著力於加速一裝置之發展的設計工程師提高了一高效有利的工具。其可被用以(例如)近似在複雜電子物體中產生的表面電流及內場。電磁模擬也被用以分析電子設備(特別是行動通訊設備)發射的電磁輻射，以評估該等設備之健康及安全問題。此外，電磁散射之研究在許多複雜結構(例如，航行器)之設計扮演一中心角色，以最佳化一結構表面之設計及形狀。對流熱傳輸之模擬有利於幫助用於電子設備中的通風(冷卻及/或加熱)系統之分析及發展。其也提供一種適用於尋求考慮在電子工業及其他工業中產生的可能的火宅危險之火災模擬方法之工具。
一般而言，任何建模流程中包含的主要步驟是：
1)在一結構網格上界定一被考量的系統(即，結構或環境)之形狀，考慮對有限網格施加邊界條件以及物質特性(例如，對於電磁建模，磁介電常數ε、導磁率μ、以及導電性σ應被定義)；
2)計算一給定時刻的該柵格內的每個節點上被考量的的物理現象之數值解；以及
3)提供用於視覺化且可能操作計算之每個時步所獲得的解之方法。
一種用於此等建模方法之解決方案是FDTD方案。此解決方案首先由Yee在1966年提出且被用於一些用於分析一維、二維或三維域的電磁傳播之行為的計算模擬工具。廣泛而言，該解決方案使用一有限差分及有限時域方法以將馬克氏威方程式之差分形式離散化。藉此方法，馬克氏威方程式所需的電場及磁場變數之導數由空間有限差值逼近，且該計算接著以一系列時步繼續。
依據FDTD技術，執行模擬的計算域或“空間”由一笛卡爾網格表示，在時間及空間內都是離散的，在一維、二維或三維中包含許多單元。第3圖顯示了一三維單元，該單元之每個點由一組整數(i,j,k)表示，其中i,j及k分別是x-軸、y-軸以及z軸方向的網格座標數值。每個單元包含一給定時刻的電場及磁場之解點或節點。在此示意圖中，電場分量在單元表面上被定義且磁場分量在單元邊緣被定義。依據FDTD原則，電場與磁場在空間及時間上交錯。
如同利用任何明確的數值建模技術(對計算域使用一網格結構)，存在相對於單元大小的時步Δt之限制以確保穩定性。在FDTD解決方案內，其由以下給出：
其中v是自由空間中的光速。
穩定性條件(被稱為Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)條件)對時步Δt之大小施加與網格之單元維度有關的限制。
在許多情況下，需被建模的目標或環境表現所謂的不一致性，例如複雜或小比例幾何形狀或曲線邊界。為了精確地模擬且考慮此等不一致性之影響，計算域應較佳地允許數值解程序擷取系統內的不同階層之細節。利用一無法適當地解決複雜或小規模結構之網格分析電磁場導致一不精確的模擬，這在許多應用中可能具有嚴重後果。獲得無足夠精確度的模型在研究人類安全性的應用中特別不可被接受，例如分析來自行動通訊設備之電磁輻射對人體之影響。此外，在複雜多維情形中，例如當試著模擬且預測一複雜物體(例如，一膝上型電腦)之電磁動態性時，需要能夠解且精確地表示以元件等級的膝上型電腦內產生的電磁影響。
因此，用於模擬之任何基於網格域的網格維度(Δx、Δy、Δz)必須足夠小以精確地表示該模型內最小的特徵。自然地，細幾何形狀特徵化需要細網格單元以精確表示，因此在一網格被用於其三維度為Δx=Δy=Δz之域的情況下，用以解決細節所需的任何空間細化導致計算網格維度之一全域細化。類似地，以一高頻率變化的任何波現象之模擬需要細網格單元以精確地表示波隨著時間之傳播。若被考慮的目標或其一部分是一小規模或複雜幾何形狀結構(例如，一導線)，則很明顯地，當一電流通過導線時，一細網格被需要用以精確地對導線附近的電場精確地建模。類似地，當對曲線表面建模時產生的錯誤(由於它們“階梯式”匹配笛卡爾網格之方式)可藉使用一較高位準的網格細化而被消除。
因此，為了達成精確度，細網格單元是大量的。在一致計算網格中使用細網格單元之需求的明顯結果是該模型內的單元(從而解點)之數目增加。因此就記憶體及計算時間而言，這產生一較高的計算成本。在FDTD解決方案之例子中，該問題進一步與CFL穩定性條件(相對於網格大小限制了時步Δt)混合，這相對於網格大小限制時步，使得網格單元越細，時步Δt越小，因此進一步增加了計算工作量。因此被發展用以分析三維、高複雜、高頻率模型之軟體工具需要以一大的記憶體及高處理電源中央處理單元之形式的大量計算資源以進行需要大量時間執行的模擬。
並行處理(網格在可用於達成該解決方案之累積計算的處理元件之間被分割)提供一種數值逼近之計算時間可被減少之方法。然而，該方法一般不是划算的，特別是在複雜情況下，因為計算時間之減少所獲得的任何優點可由於增加額外的處理元件之大量成本而被抵消。
不是將整個計算域分成多個細單元之一網格，已知在該域上使用一粗網格且施加一或多個細網格，而是每個細網格在它們被需要的區域具有多個細-網格單元。包含一粗網格且具有一被嵌入的細網格之域在第1A及1B圖中被顯示。因此，該技術(被稱為次網格)可藉在一粗網格模型內智慧地在需要細網格的區域嵌入細網格而減少計算資源要求以解析小規模結構或改良曲線邊界之建模。記憶體及計算時間之節省可能是大量的，而且該技術實質上支持一細網格模型所達成的解決方案精確度。
儘管可以該技術達成大量的計算優點(包含在整個計算域使用一非常小的時步之需求)，但是次網格方法一般未被應用，至少在FDTD內未被應用，主要是由於在以延遲不穩定性之形式的粗網格與細網格之間的一介面上產生的數值不穩定性。此不穩定性還未被完全明白，因此無法被預先預測。這是次網格方法之一嚴重的缺點。該數值不穩定性由於粗網格與細網格之間的界面上的解點之數目的不連續性而產生。特別地，在兩個網格之間的界面上傳遞資訊所需的時間及空間內插引入錯誤。
 發明概要
本發明已提出一種具有改良次網格方法之穩定性的機會。
依據一第一層面，已提供一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之方法，該方法包含：
界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元及一第一-網格時步的第一網格、一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元及一第二-網格時步的第二網格，以及一具有多個大小等於該等第一-網格單元之中間-網格單元且具有該第二-網格時步的中間網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；
執行一第一更新程序以獲得表示在一該第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元之至少一解點；
利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及
利用該第二網格之周邊上的該等值執行一第二更新程序以獲得表示在一該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元之至少一解點；
其中該耦合程序包含：
藉使用來自該第一網格的值執行時間耦合以獲得該中間網格之一周邊上的值；
執行一中間更新程序以獲得表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一中間-網格單元之至少一解點；以及
藉使用來自該中間網格的值執行空間耦合以獲得
被用於該第二更新程序的該第二網格之周邊上的值；
其中界定該計算域包含界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
這樣，多網格方案之穩定性可被改良。數值試驗之結果在之後給出以描述該改良。
該時間耦合可包含利用對應該中間網格之周邊上的值之位置的該第一網格內的位置上的值，藉由時間內插而獲得該中間網格之周邊上的值，該等被內插的值表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該實體系統之物理量。
該空間耦合可包含利用來自該中間網格的值，藉空間內插而獲得該第二網格之周邊上的值。
界定該計算域可包含界定該等第一、第二及中間網格之每個為一維，且界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該一維內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少三倍。
界定該計算域可包含界定該等第一、第二及中間網格之每個為至少二維，且界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少兩倍。
該方法可包含利用來自該第二網格的值更新該第一網格內的值，從而改良該第一網格之精確度。
該實體系統可包含兩個可彼此導出的物理量。該方法可包含利用該兩物理量之其中一者執行時間耦合，且利用該兩物理量之其中另一者執行空間耦合。
一物理量可以是電場強度與磁場強度之其中一者，且另一物理量可以是電場強度與磁場強度之其中另一者。
該方法可包含在除了該第二網格之周邊在該計算域之一邊界之指定距離內的區域之外，界定該中間網格之周邊在該第二網格之所有側面上比該第二網格之周邊寬指定距離。
依據一第二層面，已提供一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置，該裝置包含：
域電路，被配置成可界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元及一第一-網格時步的第一網格、一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元及一第二-網格時步的第二網格，以及一具有多個大小等於該等第一-網格單元之中間-網格單元且具有該第二-網格時步的中間網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；
第一更新電路，被配置成可執行一第一更新程序以獲得表示在一該第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元之至少一解點；
耦合電路，被配置成可利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及
第二更新電路，被配置成可利用該第二網格之周邊上的該等值執行一第二更新程序以獲得表示在一該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元之至少一解點；
其中該耦合電路包含：
時間耦合電路，被配置成可藉使用來自該第一網格的值執行時間耦合以獲得該中間網格之一周邊上的值；
中間更新電路，被配置成可執行一中間更新程序以獲得表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一中間-網格單元之至少一解點；以及
空間耦合電路，被配置成可藉使用來自該中間網格的值執行空間耦合以獲得被用於該第二更新程序的該第二網格之周邊上的值；
其中該域電路被配置成可界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
該時間耦合電路可被配置成可利用對應該中間網格之周邊上的值之位置的該第一網格內的位置上的值，藉由時間內插而獲得該中間網格之周邊上的值，該等被內插的值表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該實體系統之物理量。
該空間耦合電路可被配置成可執行空間耦合以利用來自該中間網格的值，藉空間內插而獲得該第二網格之周邊上的值。
該域電路可被配置成可界定該等第一、第二及中間網格之每個為一維，且界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該一維內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少三倍。
該域電路可被配置成可界定該等第一、第二及中間網格之每個為至少二維，且界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少兩倍。
該裝置可包含被配置成可利用來自該第二網格的值更新該第一網格內的值之回饋電路，從而改良該第一網格之精確度。
該實體系統可包含兩個可彼此導出的物理量。該時間耦合電路可被配置成可利用該兩物理量之其中一者執行時間耦合，且該空間耦合電路可被配置成利用該兩物理量之其中另一者執行空間耦合。
該域電路可被配置成可在除了該第二網格之周邊在該計算域之一邊界之指定距離內的區域之外，界定該中間網格之周邊在該第二網格之所有側面上比該第二網格之周邊寬指定距離。
依據一第三層面，已提供一種電腦程式，當該電腦程式在電腦上執行時使該電腦執行該第一層面之方法。
依據一第四層面，已提供一種電腦程式，當該電腦程式被載入一電腦時，使該電腦成為該第二層面之裝置。
依據一第五層面，已提供一種第三或第四層面之電腦程式，由一攜載媒體攜載。
依據一第六層面，已提供一種第五層面之電腦程式，其中該攜載媒體是一記錄媒體。
依據一第七層面，已提供一種第五層面之電腦程式，其中該攜載媒體是一傳輸媒體。
依據一第八層面，已提供一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之電腦程式，當該電腦程式在一電腦上執行時使該電腦執行包含以下的方法：
界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元及一第一-網格時步的第一網格、一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元及一第二-網格時步的第二網格，以及一具有多個大小等於該等第一-網格單元之中間-網格單元且具有該第二-網格時步的中間網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；
執行一第一更新程序以獲得表示在一該第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元之至少一解點；
利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及
利用該第二網格之周邊上的該等值執行一第二更新程序以獲得表示在一該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元之至少一解點；
其中該耦合程序包含：
藉使用來自該第一網格的值執行時間耦合以獲得該中間網格之一周邊上的值；
執行一中間更新程序以獲得表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一中間-網格單元之至少一解點；以及
藉使用來自該中間網格的值執行空間耦合以獲得被用於該第二更新程序的該第二網格之周邊上的值；
其中界定該計算域包含界定該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
藉“該維度”可表示分隔第二網格與中間網格之周邊的任何維度之計算域。
在任何層面中，該中間網格之周邊在該第二網格之至少一側上可比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該等第一網格單元之其中一者之大小的至少兩倍。藉”大小”可表示適合的寬度、長度或高度。
在任何層面中，該中間網格之周邊在任何維度內可比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於該維度內的該等第一網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
應瞭解的是，具有幾種細化位準之域被設想，其中具有一較高細化位準之一細網格可被嵌入具有一較低細化位準的一細網格內。例如，一主-位準細網格可具有至少一個被嵌入該等主-位準細-網格單元之其中一者或多者內的次-位準細網格。因此，在粗網格之大量細化被需要以解決不同類之一特定特徵或來源之情形中，所需的細化位準可以一系列細化步驟達成。這樣，粗網格與所需的細化位準之最終網格之間的不連續性被逐漸引入，因此對計算程序帶來較大等級的穩定性。
計算域可透過在一電腦上執行的一電腦程式產生。表示系統形狀及物質特性的輸入資料可由一使用者輸入。此外，該(等)更新程序可透過被安裝在一電腦上且在該電腦上執行的一電腦程式執行。
以上層面可被用於基於一有限-差分時域(FDTD)方法的一電磁場之數值逼近。在此方法中，每個單元維持電磁場之解點之一排列，其中電場()之解點相對於磁場()之解點正交地交錯。該更新程序可被執行以利用FDTD更新方程序獲得電場及磁場之解，該FDTD更新方程式定義了一給定時刻以及空間中的一給定點上的一第一-場分量(其中第一-場分量是E或H之其中一者)之一新的值，與一第二-場分量(其中第二-場分量是E及H之其中另一者)在該第一-場分量之空間中的一給定點的一梯度項有關。該梯度項可藉由該第一-場分量之空間內的給定點之一側上的第二-場分量之值與該第一-場分量分之空間內的給定點之一相反側上的該第二-場分量之值之間的差值逼近。
在更新程序被執行以更新一場在一給定時刻的解之期間，最粗的網格之全部可被更新，即使在一或多個較細的網格退出之區域內。這是由於FDTD方案之明確的本質，FDTD方案取決於在具有一特定細化位準之一矩形網格內的所有點上可獲得的值，以全部完成該網格之更新且逼近整個域內的電磁傳播。例如，若最粗的網格之解在一細網格退出之區域內是不連續的，則在最粗的網格內將有效地具有一“洞”。在較細網格附近的解點上更新最粗的網格可能是不可能的，因為該最粗網格在該附近所需的值將缺失。
計算域可包含一笛卡爾-類型網格。
在該(等)更新程序期間，解可透過空間及時間內插在一網格之周邊被決定。
該第二網格可位在該計算域內以映射在需被模擬的實體系統中產生的不同類性。
該等第一、第二及中間網格之其中任何或多者之形狀可以是非一般的。
計算域可透過在一電腦上執行的一電腦程式產生。
更新程序可透過在一電腦上執行的一電腦程式執行。
依據一第九層面，已提供一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之方法，該方法包含：
界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元的第一網格以及一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元之第二網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；
利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值，其中該耦合程序含執行時間耦合及空間耦合，其中執行時間耦合的一位置在該第二網格之至少一側上與執行空間耦合的一位置隔開一距離，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
該方法可包括，可取捨地在該耦合程序之前，執行一第一更新程序以獲得表示在一第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元之至少一解點；
該方法可包括，可取捨地在該耦合程序之後，利用該第二網格之周邊上的值執行一第二更新程序，以獲得表示在一第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元之至少一解點；
依據一第十層面，已提供一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置，該裝置包含：
域電路，被配置成可界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元的第一網格以及一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元之第二網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；
耦合電路，被配置成可利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及
其中該耦合電路包含被配置成可執行時間耦合的時間耦合電路以及被配置成可執行空間耦合的空間耦合電路；其中該時間耦合電路及該空間耦合電路被配置成可在該第二網格之至少一側上隔開一距離的位置上執行時間耦合及空間耦合，該距離等於該維內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
該裝置可包括第一更新電路，該第一更新電路被配置成可執行一第一更新程序以獲得表示在一第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元之至少一解點。
該裝置可包括第二更新電路，該第二更新電路被配置成可利用該第二網格之周邊上的值執行一第二更新程序，以獲得表示在一第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元之至少一解點。
第九及第十層面之方法及裝置分別可包括先前層面之任何特徵。
本發明之實施例可發現特別用於使用包含一結構笛卡爾網格之域的數值逼近方法。
本發明包括以獨立或各種組合的一或多個層面、實施例或特徵，無論是否以該組合或單獨特別闡述(包括所主張的)。
以上總結意指僅僅是示範性且非限制性的。
圖式簡單說明
為了較佳理解本發明，且顯示本發明如何實施，現在透過舉例給出附圖之參考，其中：
第1A及1B圖顯示了將一被嵌入的細-網格施加給分別以二維及三維描述的計算域；
第2A圖顯示了一二維笛卡爾-網格域，且第2B圖以一較大比例顯示了第2A圖之域的部分；
第3圖顯示了被用於一有限-差分時域(FDTD)方案的三維單元；
第4圖描述了自一中心原點傳播的一被模擬的電磁波；
第5A至5C圖顯示了一一致FDTD方案、一非一致FDTD方案以及一多網格FDTD方案；
第6圖描述了一維內的一耦合程序；
第7圖描述了一維內的一可選擇的耦合程序；
第8圖描述了二維內的一耦合程序；
第9圖描述了三維內的一耦合程序；
第10圖描述了由於延遲不穩定性而分歧的解；
第11圖描述了一穩定解；
第12A及12B圖描述了一細網格分別遠離一計算域之邊界且在該邊界上的位置；
第13圖是表示一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之方法的流程圖；
第14圖是表示一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置的示意圖；
第15圖是一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之電腦程式的示意圖。
 較佳實施例之詳細說明
第1A圖以二維顯示了一計算域之部分，包含一粗-網格20且具有一被嵌入該粗-網格20內的細-網格21。該細-網格21之周邊P(被嵌入9個粗網格單元之一區域內)在粗-網格與細-網格之間形成分界面。第1B圖以三維顯示了一計算域，該計算域包含一粗-網格22及一被嵌入該粗-網格22內的細-網格23。
第2A圖顯示了一二維域，包含一具有細化整數k=4之細-網格區域2的粗-網格1，該細-網格區域由6個相鄰的細-網格S1 至S6 組成，每個細-網格被嵌入一個單一粗-網格單元內。P定義了細-網格區域之周邊且由粗-網格與細-網格區域之間的外部界面組成。一共同界面i存在該細-網格區域2內的主位準區域之單元的邊緣或表面與粗-網格區域之單元的邊緣或表面重合的每個點上。每個網格點可由一對整數(i,j)表示，其中i及j分別是x軸與y軸方向內的網格座標數值。每個單元包含在一給定時刻解出的數值逼近之一些解點。因此，自該網格上的數學解模擬的圖像表示在一給定時刻n模擬的實體系統。在此示意圖中，解點被提供在每個單元邊緣及單元表面上，如對細-網格S4 所描述的。
為了更新每個解點之值，一明確的時間-步進更新程序在一給定時刻所獲得的多個解中被執行，參考前一時刻的多個值。多個解首先以此方式獲得給粗-網格。
在之前考慮的方法中，為了更新每個細-網格之解點，在細-網格區域2內的每個共同界面上的細網格值在該共同界面上透過空間與時間內插自粗-網格解獲得。因此，為了獲得值a5 ,a6 ,a9 及a10 ，內插可利用A3 及A5 執行。標準線性內插函數可被用於時間及空間內插。特別地，時間內插函數可由以下給出：T (A n ,A n +1 ,j )=A n +j (A n +1 -A n )，其中j是缺少的細-網格時間值。例如，在第2A圖中，位置A3 之缺少的時間值n+1/4由以下給出：。此外，空間內插函數由以下給出：S (A i ,A j ,d )=A i +d (A j -A i )，其中i及j是值A之粗-網格位置之座標，且d是沿著i至j路徑的與i之正規化距離。例如，在第2A圖中，a5 之缺少的空間值是a 5 =S (A 3 ,A 5 ,d 5 )。
第2B圖顯示了在第2A圖中顯示的粗-單元C(i,,j+1 )與細-網格S4 之放大的版本以描述用以獲得在細-網格區域之初始邊界上的值所需的之前考慮的內插程序。利用模擬之適合的數值更新方法，粗-網格解點A1 與A2 之解被獲得。為了開始細-網格解點之更新，解點a1 至a4 之空間值是需要的，必須自共位粗-網格點A2 與至少另一粗-網格值之間的空間與時間內插獲得。如以上討論的標準線性內插函數足夠用以獲得解點a1 至a4 上的細-網格解。因此，位置A2 上缺少的時間值由以下給出：。此外，空間內插函數由以下給出：S (A i ,A j ,d )=A i +d (A j -A i )，其中i及j是值A之粗網格位置的座標，且d是沿著i至j路徑與i的正規化距離。
使用一結構網格之一FDTD方案之一特定例子現在參看第3圖給出。第3圖顯示了一三維單元，其中該單元之每個點由整數(i,j,k)給出，其中i、j及k分別是x軸、y軸及z軸方向的座標數值。每個單元包含電場及磁場在一給定時刻的一些解點或解點。在此示意圖中，電場分量在單元表面上定義，且磁場分量在單元邊緣上定義。依據FDTD原則，電場解點與磁場解點在空間與時間上交錯。這表示在相同時刻或相同的空間位置上沒有解獲得給電場及磁場。而是，電場在一給定時刻解出，例如n=0,1,2...，且磁場在下一時刻解出，例如n=0.5,1.5,2.5...。這在第4圖中以示意圖表示，第4圖顯示了自一中心原點傳播的簡單電磁波，其中在空間中的所有點上的初始場條件為零。
與用於模擬電磁輻射之FDTD方案之以下背景理論被考慮，可用於幫助理解本發明。
任何電磁場完全由馬克氏威方程式描述：
其中E=(Ex,Ey,Ez)是電場(V/m)，H=(Hx,Hy,Hz)是磁場(A/m)、ε是磁介電常數(F/m)、μ是導磁率(H/m)，且σ是導電性(S/m)。
以分量形式書寫方程式(3)及(4)，得到：
從方程式(3)可看出，H場之時間導數取決於E場之旋度(即，空間中的E場之變化)。類似地，從方程式(4)可看出，E場之時間導數取決於空間中的H場之變化。這引導我們產生基本的FDTD運算式，空間中一給定點的E場之新的值EN+1 取決於：i)空間中相同點上的E場之舊值EN ；ii)空間中E場點之一側上的H場之舊值HN+1/2 與空間中的E場點之另一側上的HN+1/2 之值之間的差值。類似地，H場之新的值取決於H場之舊值以及H場點之任一側上的E場之舊值之間的差值。因此，逼近方程式(5)至(10)之空間導數給出電磁場之FDTD中央差值更新過程。
在計算模擬期間，方程式(11)至(16)以一跳躍式方式解出以將E場及H場在時間上逐步增加一時步Δt。
執行一模擬所包含的程序之例子現在參看利用FDTD方案模擬一電磁場之特定例子討論。
需被執行模擬的域一般透過在一電腦上實施的電腦程式產生。需被模擬的系統之幾何形狀與初始場條件(必須為零)之細節以及表示電磁場輻射之至少一來源及物質特性(例如，磁介電常數ε、導磁率μ及導電性σ可被定義)的函數必須由一使用者特別預先處理。此外，為了產生馬克氏威方程式之一精確解，該等結果應表示一無限空間上的一解。然而，電腦電源及記憶體之實際限制需要計算網格之終止。任何此終止方法不必影響有限計算網格內部的計算。因此，此影響之邊界條件在模擬被執行之前施加給計算域邊界。由於FDTD方法之明確性，狄利克雷(固定值)界面邊界條件最適合用於被嵌入的細網格邊界。
在可能改變細化位準的細-網格區域位在該域內以映射(例如)小規模結構或曲線邊界之幾何形狀之情形中，一使用者可指定每個細-網格區域之位置、細化位準以及邊界周長以及其與該域內的其他細-網格區域之連接。
第5A至5C圖顯示了一包括一一致網格30的一致FDTD方案、一包括一不一致網格40之非一致FDTD方案，以及一包括一粗網格50及一被嵌入的網格52之多網格FDTD方案。
本發明可被用以解決一多網格FDTD方案中的延遲不穩定性，且/或增加多網格FDTD方案之穩定性。
第6圖與用於評估一實體系統中產生的波傳播之方法的一維實施態樣相關，藉由達成需被模擬的實體系統之數值逼近。該方法包含一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元62之第一一維網格60、一是該第一-網格60之一細化且具有多個第二-網格單元82的第二一維網格80，以及一具有多個中間-網格單元72之中間一維網格70。該中間網格70在空間中具有第一網格60之細化位準，但是以該第二網格80之時步。該第二網格80之周邊P1在該中間網格70之周邊P2內，且兩周邊P1、P2由等於該第一網格60/中間網格70之兩單元62、72大小的一距離隔開，如之後所解釋的。每個單元62、72、82具有多個解點，可在該等解點上獲得表示需被模擬的實體系統之一物理量的值。如所示，該等單元在該等單元之邊緣具有電場值(E)，且在該等單元之中心具有磁場值(H)。這樣，E值與H值交錯。雖然第6圖顯示了物理量為電場(E)與磁場(H)，但是應明白的是，本發明不限於該等物理量。第6圖中的箭頭指出了該等網格之間的資訊流之方向。自該第一網格60與該中間網格70之周邊相鄰的Hz值被用以獲得周邊上的Ey值，例如藉由使用方程式(9)。在En+1 ，該中間網格70之內部Ey值被獲得且被映射到第一網格60，因此完成了兩個網格60、70之間的全耦合。類似地，該第二網格80上的周邊值Ey利用來自該中間網格70的磁場值Hz計算出，例如藉由使用方程式(9)。在參考第6圖描述的一維方法中，沒有線性或空間內插被需要用以耦合該等網格。
第7圖是關於一種用於評估波傳播之可選擇的一維方法。除了不是使用來自該第一網格60的Hz值計算該中間網格70之周邊上的Ey值，而是時間內插被用以自該第一網格60內對應位置上的Ey值獲得該中間網格70之周邊上的Ey值之外，該方法與參考第6圖描述的方法相同。如以上所闡述的，該中間網格70之間隔與該第一網格60之間隔相同，但是該中間網格70具有第二網格80之時間增量。該中間網格70之周邊的Ey之任何缺少的時間值藉由線性內插計算出：
E n + α =E n +α(E n +1 -E n )　where
一維中不需要沒有空間內插，因為沒有缺少Hz之值。
第8圖與一種用於評估波傳播之二維方法相關。白點表示已知的Hz值，且黑點表示用以Ex及Ey計算所需的缺少的Hz值。第8圖描述了空間內插：假設該等第一與第二網格60、70之間已經發生時間內插。如黑色箭頭所指出的，線性空間內插被執行以自最近的已知Hz值獲得缺少的Hz值。白色箭頭表示Ex與Ey值之計算。被用以計算Ex及Ey之二維E場方程式可以是：
在計算網格界面上的Ex時，y方向的Hz之梯度是需要的。類似地，對於Ey，x方向的Hz之梯度是需要的。
第9圖是關於一種評估波傳播之三維方法。黑點表示藉由內插建立的Hz值，如以上參看二維情形所描述的。白點表示缺少的Hz值。中色的點表示已知的Hz值。缺少的Hz值藉由加權分裂自最近的已知Hz值計算出。缺少的Hz值被用以計算該第二網格80之周邊的Ex、Ey值，例如使用方程式(8)及(9)。例如，Ez值可利用方程式(10)計算出。
對於一具有任何數目的維度之FDTD方案，第二網格80之周邊P1在中間網格70之周邊P2內，且該中間網格70之周邊P2在任何給定維度內比第二網格80之周邊P1寬一距離，該距離等於該維度內的第一-網格單元62之其中一者的大小至少兩倍。該距離可被稱為粗單元之數目，或NCC。
以下的表1、表2及表3包括分別對一維、二維以及三維多網格FDTD方案進行的數值實驗之結果。該等表相對於細化位準比較粗單元(NCC)之數目。按照粗單元(第一網格60之單元62)之數目，NCC可被認為是空間耦合或內插位置(第二網格80之周邊P1)與時間耦合或內插位置(中間網格70之周邊P2)之間的距離。在第6圖之情形中，例如，NCC值是2。
1000萬的時步被施加給數值實驗。最大的絕對磁場值在一萬個(100k)時步、一百萬個(1M)時步以及一千萬個(10M)時步之後輸出。最大絕對磁場之解值在所有波退出該域之後為零；這應是在1000個時步之後的情形。若具有任何延遲不穩定性，則磁場值自零移動。第10及11圖分別突出了不穩定情形與穩定情形之間的差異。
表1、表2及表3內的結果清楚地顯示了延遲不穩定性，具有一1之NCC值，以及在一維情形中具有一2之NCC值。一具有三或更多之NCC值在任何數目的維度內提供一非常穩定的多網格-FDTD方法。在二維或多維中，一二或更多之NCC值提供一穩定解。
在所有維度內一直具有所需的NCC值是不可能的。例如，第12B圖描述了一二維方案中的情形，其中該第二網格80之周邊P1與域邊界相鄰。在此情形中，該第二網格80與域邊界相鄰的一側上的NCC值為零。然而，由於物理量之值在邊界上是已知的，而不是計算出的(如同遠離邊界的值之情形)，該方案之穩定性沒有受到以下事實的影響：NCC值低於與該網格邊界相鄰的該側上規定的最小值(即，2)。實際上，可能具有以下情形：該第二網格80之三側都在邊界上，使得NCC值只存在該第二網格80之一側上的第二網格80與中間網格70之間。這足以獲得以上所描述之增加的穩定性之利益。第12A圖描述了當第二網格80遠離域邊界時的情形。在任何此情形中，較佳的是NCC值在該第二網格80之所有側面上滿足以上所描述的準則。
第13圖描述了一種評估在一實體系統中產生的波傳播之方法，藉由獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近。該方法包含界定一計算域之步驟(S1)，該計算域S1包含一具有多個第一-網格單元62及一第一-網格時步之第一網格60、一是該第一-網格60之細化且具有多個第二-網格單元80及一第二-網格時步的第二網格80，以及一具有多個等於該等第一-網格單元62之大小的中間-網格單元72且具有第二-網格時步之中間網格70。每個單元62、72、82具有一或多個解點，在該等解點上可獲得表示需被模擬的實體系統之一物理量的值。
該方法進一步包含執行一第一更新程序(S2)以獲得表示在一該第一網格時步之後的物理量之值，該等值被獲得給至少一第一-網格單元62之至少一解點，自來自該第一網格60之值執行一耦合程序(S3)以獲得在該第二網格80之一周邊P1上的值，且利用該第二網格80之周邊P1上的值執行一第二更新程序(S4)以獲得表示在一該第二-網格時步之後的物理量之值，該等值被獲得給至少一第二-網格單元82之至少一解點。
該耦合程序(S3)包含藉使用來自該第一網格60的值執行時間耦合(S3A)以獲得該中間網格70之一周邊P2上的值、執行一中間更新程序(S3B)以獲得表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的物理量之值(該等值被獲得給至少一中間-網格72之至少一解點)，且藉來自該中間網格70的值執行空間耦合(S3C)以獲得被用於第二更新程序的該第二網格80之周邊P1上的值。
依據本發明，界定計算域(S1)包含：界定該中間網格70之周邊P2在該第二網格80之至少一側上比該第二網格80之周邊P1寬一距離，該距離等於該維度內的該等第一-網格單元62之其中一者之大小的至少兩倍。
該方法進一步包含重複(S6)步驟S2至S4，直到模擬完成。在一版本中，可能是第二更新程序在第一更新程序重複之前被重複之情形，如第13圖中的虛線箭頭所示。
在一實施例中，時間耦合(S3A)包含利用對應該中間網格70之周邊P2上的值之位置的該第一網格60內的位置上的值，藉由時間內插獲得該中間網格70之周邊P2上的值。該等被內插的值表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的實體系統之物理量。
在一實施例中，空間耦合(S3C)包含利用來自該中間網格70的值藉由空間內插獲得該第二網格80之周邊P1上的值。
在一實施例中，該方法包含利用來自該第二網格80的值以更新該第一網格60內的值(S5)，從而改良該第一網格60之精確度。
該實體系統包含兩個可自彼此導出的物理量。在一實施例中，該方法包含利用兩物理量之其中一者執行時間耦合(S3A)，且利用兩物理量之其中另一者執行空間耦合(S3A)。在一實施例中，一物理量是電場強度與磁場強度之其中一者，且另一物理量是電場強度與磁場強度之其中另一者。然而，需明白的是，本發明不限於該等物理量。
第14圖顯示了一種用於藉獲得需被模擬的實體系統之數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置100。該裝置100包含域電路102，域電路102被配置成可界定包含第一網格60、第二網格82及中間網格70的計算域；第一更新電路104，被配置成可執行第一更新程序；第二更新電路106，被配置成可執行第二更新程序；以及耦合電路108，被配置成可執行耦合程序。該耦合電路108包含時間耦合電路110，被配置成可執行時間耦合；中間更新電路112，被配置成可執行中間更新程序；以及空間耦合電路114，被配置成可執行空間耦合。依據本發明，該域電路102被配置成可界定該中間網格70之周邊P2在該第二網格80之至少一側上比該第二網格80之周邊P1寬一距離，該距離等於該維度內的該等第一-網格單元62之其中一者之大小的至少兩倍。在一實施例中，該裝置100包含被配置成可使用來自該第二網格80的值更新該第一網格60內的值之回饋電路116，從而改良該第一網格60之精確度。該裝置100可以是一電腦，該電腦當被載入一電腦程式時成為裝置100。
第15圖顯示了一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之電腦程式200。該程式200包含一域組件202，該域組件202被配置成可界定包含第一網格60、第二網格82及中間網格70之計算域；一第一更新組件204，被配置成可執行第一更新程序；一第二更新組件206，被配置成可執行第二更新程序；以及一耦合組件208，被配置成可執行耦合程序。該耦合組件208包含一被配置成可執行時間耦合的時間耦合組件210；以及一被配置成可執行中間更新程序的中間更新組件212；以及一被配置成可執行空間耦合的空間耦合組件214。依據本發明，該域組件202被配置成可界定該中間網格70之周邊P2在該第二網格80之至少一側上比該第二網格80之周邊P1寬一距離，該距離等於該維度內的該等第一-網格單元62之其中一者之大小的至少兩倍。在一實施例中，該程式200包含一回饋組件216，該回饋組件216被配置成可使用來自該第二網格80的值更新該第一網格60內的值，從而改良該第一網格60之精確度。
應瞭解的是，本發明之各個層面可在一個單一實施例中獨立或組合使用。
1．．．粗-網格
2．．．細-網格
20．．．粗-網格
21．．．細-網格
22．．．粗-網格
23．．．細-網格
30．．．一致網格
40．．．不一致網格
50．．．粗網格
52．．．網格
60．．．第一網格
62．．．第一-網格單元
70．．．中間網格
72．．．中間-網格單元
80．．．第二網格
82．．．第二-網格單元
100．．．裝置
102．．．域電路
104．．．第一更新電路
106．．．第二更新電路
108．．．耦合電路
110．．．時間耦合電路
112．．．中間更新電路
114．．．空間耦合電路
116．．．回饋電路
200．．．電腦程式
202．．．域組件
204．．．第一更新組件
206．．．第二更新組件
208．．．耦合組件
210．．．時間耦合組件
212．．．中間更新組件
214．．．空間耦合組件
216．．．回饋組件
P．．．周邊
P1．．．周邊
P2．．．周邊
a1 ~a10 ．．．解點
A1~A5．．．解點
S1 ~S6 ．．．細-網格
S1~S6．．．步驟
第1A及1B圖顯示了將一被嵌入的細-網格施加給分別以二維及三維描述的計算域；
第2A圖顯示了一二維笛卡爾-網格域，且第2B圖以一較大比例顯示了第2A圖之域的部分；
第3圖顯示了被用於一有限-差分時域(FDTD)方案的三維單元；
第4圖描述了自一中心原點傳播的一被模擬的電磁波；
第5A至5C圖顯示了一一致FDTD方案、一非一致FDTD方案以及一多網格FDTD方案；
第6圖描述了一維內的一耦合程序；
第7圖描述了一維內的一可選擇的耦合程序；
第8圖描述了二維內的一耦合程序；
第9圖描述了三維內的一耦合程序；
第10圖描述了由於延遲不穩定性而分歧的解；
第11圖描述了一穩定解；
第12A及12B圖描述了一細網格分別遠離一計算域之邊界且在該邊界上的位置；
第13圖是表示一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之方法的流程圖；
第14圖是表示一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置的示意圖；
第15圖是一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之電腦程式的示意圖。
60．．．第一網格
62．．．第一-網格單元
70．．．中間網格
72．．．中間-網格單元
80．．．第二網格
82．．．第二-網格單元
P1．．．周邊
P2．．．周邊

Claims (20)

  1. 一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之方法，該方法包含：界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元及一第一-網格時步的第一網格、一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單元及一第二-網格時步的第二網格，以及一具有多個大小等於該等第一-網格單元之中間-網格單元且具有該第二-網格時步的中間網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；執行一第一更新程序以獲得表示在一該第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一第一-網格單元之至少一解點而被獲得；利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及利用該第二網格之周邊上的該等值執行一第二更新程序以獲得表示在一該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一第二-網格單元之至少一解點而被獲得；其中該耦合程序包含：藉使用來自該第一網格的值執行時間耦合以獲得該中間網格之一周邊上的值；執行一中間更新程序以獲得表示在該第二更 新程序之該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一中間-網格單元之至少一解點而被獲得；以及藉使用來自該中間網格的值執行空間耦合以獲得被用於該第二更新程序的該第二網格之周邊上的值；其中界定該計算域包含界定該中間網格之周邊比在該第二網格之至少一側上的該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在一維度內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
  2. 如申請專利範圍第1項所述之方法，其中該時間耦合包含利用對應該中間網格之周邊上的值之位置的該第一網格內的位置上的值，藉由時間內插而獲得該中間網格之周邊上的值，且該等被內插的值表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該實體系統之物理量。
  3. 如前述申請專利範圍任一項所述之方法，其中該空間耦合包含利用來自該中間網格的值，藉空間內插而獲得該第二網格之周邊上的值。
  4. 如申請專利範圍第1項所述之方法，其中界定該計算域包含界定該等第一、第二及中間網格之每個為一維的，且界定該中間網格之周邊比該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在該一維度內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少三倍。
  5. 如申請專利範圍第1項所述之方法，其中界定該計算域 包含界定該等第一、第二及中間網格之每個為至少二維的，且界定該中間網格之周邊比在該第二網格之至少一側上的該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在該一維度內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少兩倍。
  6. 如申請專利範圍第1項所述之方法，包含利用來自該第二網格的值更新該第一網格內的值，從而改良該第一網格之精確度。
  7. 如申請專利範圍第1項所述之方法，其中該實體系統包含兩個可彼此導出的物理量，該方法包含利用該兩物理量之其中一者執行時間耦合，且利用該兩物理量之其中另一者執行空間耦合。
  8. 如申請專利範圍第7項所述之方法，其中一物理量是電場強度與磁場強度之其中一者，且另一物理量是電場強度與磁場強度之其中另一者。
  9. 如申請專利範圍第1項所述之方法，包含在除了該第二網格之周邊在該計算域之一邊界之指定距離內的區域之外，界定該中間網格之周邊在該第二網格之所有側上比該第二網格之周邊寬該指定距離。
  10. 一種藉獲得需被模擬的實體系統之一數值逼近而評估一實體系統中產生的波傳播之裝置，該裝置包含：域電路，被配置成可界定一計算域，該計算域包含一具有多個第一-網格單元及一第一-網格時步的第一網格、一是該第一網格之一細化且具有多個第二-網格單 元及一第二-網格時步的第二網格，以及一具有多個大小等於該等第一-網格單元之中間-網格單元且具有該第二-網格時步的中間網格，其中每個單元具有一或多個解點，在該一或多個解點上可獲得表示需被模擬的該實體系統之一物理量的值；第一更新電路，被配置成可執行一第一更新程序以獲得表示在一該第一-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一第一-網格單元之至少一解點而被獲得；耦合電路，被配置成可利用來自該第一網格的值執行一耦合程序以獲得該第二網格之一周邊上的值；以及第二更新電路，被配置成可利用該第二網格之周邊上的該等值執行一第二更新程序以獲得表示在一該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一第二-網格單元之至少一解點而被獲得；其中該耦合電路包含：時間耦合電路，被配置成可藉使用來自該第一網格的值執行時間耦合，以獲得該中間網格之一周邊上的值；中間更新電路，被配置成可執行一中間更新程序以獲得表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該物理量之值，該等值係針對至少一中間-網格單元之至少一解點而被獲得；以及空間耦合電路，被配置成可藉使用來自該中間 網格的值執行空間耦合，以獲得被用於該第二更新程序的該第二網格之周邊上的值；其中該域電路被配置成可界定該中間網格之周邊比在該第二網格之至少一側上的該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在一維度內的該等第一-網格單元之其中一者的大小之至少兩倍。
  11. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，其中該時間耦合電路被配置成可利用對應該中間網格之周邊上的值之位置的該第一網格內的位置上的值，藉由時間內插而獲得該中間網格之周邊上的值，且該等被內插的值表示在該第二更新程序之該第二-網格時步之後的該實體系統之物理量。
  12. 如申請專利範圍第10或11項所述之裝置，其中該空間耦合電路被配置成可執行空間耦合，以利用來自該中間網格的值藉空間內插而獲得該第二網格之周邊上的值。
  13. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，其中該域電路被配置成可界定該等第一、第二及中間網格之每個為一維的，且界定該中間網格之周邊比在該第二網格之至少一側上的該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在該一維度內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少三倍。
  14. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，其中該域電路被配置成可界定該等第一、第二及中間網格之每個為至少二維的，且界定該中間網格之周邊比在該第二網格之至少一側 上的該第二網格之周邊寬一距離，該距離等於在該一維度內的該等第一-網格單元之其中一者之大小的至少兩倍。
  15. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，包含被配置成可利用來自該第二網格的值更新該第一網格內的值之回饋電路，從而改良該第一網格之精確度。
  16. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，其中該實體系統包含兩個可彼此導出的物理量，且其中該時間耦合電路被配置成可利用該兩物理量之其中一者執行時間耦合，並且其中該空間耦合電路被配置成利用該兩物理量之其中另一者執行空間耦合。
  17. 如申請專利範圍第16項所述之裝置，其中一物理量是電場強度與磁場強度之其中一者，且另一物理量是電場強度與磁場強度之其中另一者。
  18. 如申請專利範圍第10項所述之裝置，其中該域電路被配置成可在除了該第二網格之周邊在該計算域之一邊界之指定距離內的區域之外，界定該中間網格之周邊在該第二網格之所有側上比該第二網格之周邊寬該指定距離。
  19. 一種電腦程式產品，當該電腦程式在電腦上執行時，使該電腦執行如申請專利範圍第1項所述之方法。
  20. 一種非暫態電腦可讀媒體，其包含有指令，當該等指令被載入至電腦且藉由電腦來執行時使該電腦執行如申請專利範圍第1項所述之方法。
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