CN116663246A - 基于snsga-ii求解多目标双层优化问题的方法 - Google Patents

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CN116663246A CN202310490788.8A CN202310490788A CN116663246A CN 116663246 A CN116663246 A CN 116663246A CN 202310490788 A CN202310490788 A CN 202310490788A CN 116663246 A CN116663246 A CN 116663246A
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Abstract

本发明涉及多目标双层优化问题技术领域，涉及一种基于SNSGA‑II求解多目标双层优化问题的方法，其包括以下步骤：一、在NSGA‑II的多项式杂交产生子代过程中引入一个随机值并运用交叉分布指数，得到SNSGA‑II；二、建立多目标双层优化问题模型；三、利用SNSGA‑II对模型进行求解，生成帕累托最优边界。本方法在求解多目标优化问题时具有较佳地优化效果和全局收敛性。

Description

基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法
技术领域
本发明涉及多目标双层优化问题技术领域，具体地说，涉及一种基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法。
背景技术
生活中有很多重要的决策问题往往需要在不同约束条件下同时处理若干相互冲突的目标。这类需要同时对多个相互约束或冲突的目标进行优化的问题就是多目标优化问题。多目标优化问题(MOOP)具有多个目标函数，各目标涉及相同的一组决策变量，并相互制约。通常情况下，多目标优化问题与单目标问题不同，它的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，集合中的元素称为Pareto最优解或者非劣解(non-dominated)。Pareto最优解一直是大量学者研究的焦点。近些年来，博弈论在多目标优化问题中的应用已经越来越广泛。由于博弈论的本质就是研究解决、调和冲突的科学，那么博弈论与多目标优化的本质原理是一致的，即各个冲突之间互相权衡、竞争使多个目标都达到最优状态。其中多目标博弈与多目标优化问题具有许多相似之处。因此我们可以使用多目标进化算法去解决多目标博弈模型。例如Sinha等人提出的政府与矿业公司之间的Stackelberg博弈。Stackelberg博弈是指有多个同时优化的冲突目标，但这类问题不同于常见的优化问题。因为它们在外部问题的约束内包含嵌套的优化任务，其中一个优化问题嵌套在另一个优化任务中。Stackelberg博弈也称双层优化问题，其中，主要优化任务通常被称为上层问题，嵌套优化任务称为下层问题。由于其问题的分层结构，只有当这个解也是下层问题的最优解时，上层问题的解才是可行解。
由于一个问题具有多个目标公式的主要原因是不可能有一个同时优化所有目标的单一解决方案。因此，一个提供大量位于或接近帕累托最优前沿的备选解的算法具有很大的实用价值。针对MOOP，有学者提出了多种多目标进化算法。因为MOEA能够在一次运行中找到多个帕累托最优解。按进化机制的不同，MOEA可分为三类，即基于分解的MOEA，基于支配关系的MOEA和基于指标的MOEAOWei等人使用改进的NSGA-II解决在建筑设计中优化能效和热舒适性之间的关系。Gaurav等人针对多目标问题，对海鸥优化算法(SOA)中引入动态归档，得到多目标海鸥优化算法(MOSOA)。其中，非支配排序遗传算法(NSGA)是基于遗传算法(GA)求解MOP的重要工具之一。它是Srinivas在1995年提出的基于支配的进化算法。然而，它具有缺乏精英主义，需要为多样性保护定义共享参数以及高计算复杂性的局限性。
Deb等人于2000年提出NSGA-II。NSGA-II算法的搜索效率较高且解集保持着良好的分布性，除此之外还特别适用于低维的优化问题。NSGA-II的基本思想是构建染色体群体的个体非支配集，不同级别的非支配集根据个体的拥挤距离进行排序。非支配集水平越低，拥挤距离越大的个体对下一级别的优先级越高。整个群体中的个体将经历多次迭代停止或进化，直至满足算法的终止条件。最终获得的群体中的个体是对应于问题的最优解。但NSGA-II算法的分布不均匀，在运行过程中容易陷入局部最优，收敛性仍然需要提高。
发明内容
本发明的内容是提供一种基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其具有较佳的优化效果和全局收敛性。
根据本发明的一种基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其包括以下步骤：
一、在NSGA-II的多项式杂交产生子代过程中引入一个随机值并运用交叉分布指数，得到SNSGA-II；
二、建立多目标双层优化问题模型；
三、利用SNSGA-II对模型进行求解，生成帕累托最优边界。
作为优选，设x1,x2作为杂交个体，表示两个个体的第j个基因；那么杂交产生的后代为/>就表示子代的第j个基因；SNSGA-II产生子代的步骤如下：
Step1:随机产生一个随机数，r(j)∈(0.1)
Step2:计算β(j)值：
β(j)为二进制交叉算子；
Step3:计算的值：
rand()为随机值；
Step4:判断是否越界，若越界，则取边界值；
其中ηc是一个非负实数，称为交叉分布指数，ηc的取值越大，产生的个体越接近父代个体，搜索范围越小。
作为优选，根据政府试图通过对矿山征税和尽可能多地征收税收来最大限度地提高整体福利，同时尽量减少矿山产生的污染这两目标，多目标双层优化问题模型如下：
maxF(x,y)＝(f1-f2)
其中，
F(x,y)：政府的目标函数
f1：税收，f1＝xy
f2：矿山对环境造成的破坏，f2＝ky
y：矿山从矿石中提取的金属量
x：政府对矿山征收的单位税
k：矿山开采矿石对环境的污染系数
g(y)：矿山的利润
p(y)：黄金的价格函数
c(y)：矿石开采的成本
设价格函数是斜率很小的线性函数，开采成本是二次方的，上式重新表述为：
其中，α,β,δ,γ,φ为常数，φ表示设置操作的固定成本，通过应用一阶导数方法对跟随者的利润函数进行求导，找到一个点，使得跟随者的利润最大化，化简得到提取量关于税收变量x的最佳表达式：
针对政府的目标函数，使用加权和方法，将其多目标函数转化成单目标函数，即用(ω,1-ω)表示每个目标的权重；应用到政府的目标函数中得到以下结果：
继续进行一阶求导，且设置为0，求解得到关于政府偏好参数ω的最优税率x*(ω)：
同理，根据模型的参数，得到关于政府偏好权重的矿山最佳开采量y*(ω)：
本方法在求解多目标优化问题时具有较佳地优化效果和全局收敛性。
附图说明
图1为实施例中一种基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法的流程图；
图2(a)为实施例中通过SNSGA-II方法在模型上获得的近似帕累托最优边界的示意图；
图2(b)为实施例中通过NSGA-II方法在模型上获得的近似帕累托最优边界的示意图；
图3(a)为实施例中通过SNSGA-II方法获得的政府收入和矿山利润的示意图；
图3(b)为实施例中通过NSGA-II方法获得的政府收入和矿山利润的示意图；
图4(a)为实施例中通过观察ZDT1的NSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图4(b)为实施例中通过观察ZDT1的SPEA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图4(c)为实施例中通过观察ZDT1的SNSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图5(a)为实施例中通过观察ZDT2的NSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图5(b)为实施例中通过观察ZDT2的SPEA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图5(c)为实施例中通过观察ZDT2的SNSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图6(a)为实施例中通过观察ZDT3的NSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图6(b)为实施例中通过观察ZDT3的SPEA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图6(c)为实施例中通过观察ZDT3的SNSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图7(a)为实施例中通过观察ZDT4的NSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图7(b)为实施例中通过观察ZDT4的SPEA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图7(c)为实施例中通过观察ZDT4的SNSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图8(a)为实施例中通过观察ZDT6的NSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图8(b)为实施例中通过观察ZDT6的SPEA-II算法的Pareto最优前沿仿真图；
图8(c)为实施例中通过观察ZDT6的SNSGA-II算法的Pareto最优前沿仿真图。
具体实施方式
为进一步了解本发明的内容，结合附图和实施例对本发明作详细描述。应当理解的是，实施例仅仅是对本发明进行解释而并非限定。
实施例
如图1所示，本实施例提供了一种基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其包括以下步骤：
一、在NSGA-II的多项式杂交产生子代过程中引入一个随机值并运用交叉分布指数，得到SNSGA-II；
二、建立多目标双层优化问题模型；
三、利用SNSGA-II对模型进行求解，生成帕累托最优边界。
多目标优化问题
假设有k个优化目标，且这k个优化目标是相互冲突的，则多目标优化问题描述为：
其中，x＝(x1,x2,…,xn)是X∈Rn中的n维决策变量，R是实数集，y是Rk中的k维目标向量，gi是第i个不等式约束条件函数所组成的集合，hi是第j个等式约束条件函数所组成的集合。
Pareto最优
设x1，x2是多目标极大化问题的两个可行解，若满足以下条件，则称x1支配x2：
其中，至少存在一个j满足条件，k是目标函数的个数，fj(x)是决策向量x的目标函数的第j个值。此时，x1支配x2,用x1＞x2表示，＞称为支配算子。
当解x不受其他可行解支配时，x称为Pareto最优解，所有Pareto最优解的集合称为Pareto集合，与Pareto集合相对应的目标向量被定义为Pareto边界。
NSGA-II
NSGA-II具有以下特点：
1)快速非支配排序
快速非支配排序是根据Pareto支配的概念对种群进行分层，它是一个循环的适应值分级过程:首先将第一非支配层分配给初始种群的非支配成员，记为第一非支配层Rank1，并从初始种群中除去；然后继续对余下群体成员进行非支配排序过程，记为第二非支配层Rank2；照此进行下去，直至整个种群被分层,同一分层内的个体具有相同的非支配序；通过这种方式，我们得到所有的非支配层；当比较不同的结果时，我们更喜欢排名较低的解；
2)拥挤距离
NSGA-II通过计算拥挤距离来维持算法的种群多样性，拥挤距离定义为种群中给定个体的周围个体的密度；对于个体i拥挤距离为该个体所在的非支配层中两个相邻的个体i-1和i+1在所有目标函数维度上的距离之和。如果是第i个个体的第j个目标函数值，且/>和/>分别是所有个体的第j个目标函数值的最大值和最小值；
令d1＝∞,dk＝∞，则个体的拥挤距离计算方法为：
3)精英保留策略
精英策略是保留父代种群中优良个体，并将这些优良个体和子代全部个体重新组合为新的种群；在新的种群中进行快速非支配排序和拥挤距离计算后，逐个选取获胜的个体，直至个体数目达到种群规模，形成新的种群；
4)进化操作
NSGA-II的进化操作中，父代个体选择采用锦标赛选择方法，将模拟二进制交叉(SBX)算子和多项式变异用于实数编码遗传算法；
a.锦标赛选择
锦标赛选择是一种基于局部竞争的选择方式。从种群中随机选择m个个体进行比较选择适应值最大的个体进入父代种群。此过程重复N次，直到父代种群达到相应的规模这种选择方式可让适应值较大的个体被选为父代种群。
b.多项式杂交
采用模拟二进制交叉方式(SBX)，假设x1,x2作为杂交个体，表示两个个体的第j个基因；那么杂交产生的后代为/>就表示子代的第j个基因；产生子代的步骤如下：
Step1:随机产生一个随机数，r(j)∈(0.1)
Step2:计算β(j)值：
Step3:计算的值：
Step4:判断是否越界，若越界，则取边界值；
其中ηc是一个自行定义的非负实数，称为交叉分布指数，ηc的取值越大，产生的个体越接近父代个体，搜索范围越小。
c.多项式变异
设个体xi(j)表示个体xi的第j个基因，分别为xi的上下界，则得到变异个体yi(j)的过程如下：
Stepl:随机产生一个随机数，r(j)∈(0.1)
Step2:计算β(j):
Step3:计算个体yi(j)的值：
Step4:判断yi(j)是否越界，若越界，则取边界值。
其中ηm是一个自行定义的非负实数,称为变异分布指数；ηm的大小影响变异的程度；ηm越大，变异的值与原值相差就越小。
SNSGA-II
由于NSGA-II在交叉和突变方面是随机的，因此有些个体没有交叉和突变。且在NSGA-II进化过程中，可能产生重复相同的子代，这些子代由于边界条件而进入归档集，随后产生重复的相同后代进入存档集。同时，当进化过程产生比这些个体更多的优秀后代时，它们将被删除。上述过程有时会交替和循环发生，导致算法的非收敛性或局部收敛性。因此，NSGA-II在有限时间内的每次操作都接近PF，但无法保证解的帕累托最优性和均匀性。因此本实施例针对NSGA-II，在杂交产生子代的过程中进行改进，引入一个随机值与交叉分布指数。使得算法在杂交时随机产生新的个体，防止种群陷入局部最优，提高其全局收敛性。
设x1,x2作为杂交个体，表示两个个体的第j个基因；那么杂交产生的后代为就表示子代的第j个基因；SNSGA-II产生子代的步骤如下：
Step1:随机产生一个随机数，r(j)∈(0.1)
Step2:计算β(j)值：
β(j)为二进制交叉算子；
Step3:计算的值：
rand()为随机值；
Step4:判断是否越界，若越界，则取边界值；
其中ηc是一个非负实数，称为交叉分布指数，ηc的取值越大，产生的个体越接近父代个体，搜索范围越小。
问题介绍
本实施例考虑Sinha等人提出的政府和矿业之间的Stackelberg模型.在环境经济学领域中由于监管机构(政府)的目标是通过税收获得收益,并监管矿业公司造成的环境损害.矿业公司根据政府的决策做出理性反应,以实现自身利润的最大化.因此该问题是一个多目标Stackelberg博弈,在该博弈上,政府是领导者,矿业公司是跟随者.该模型中,领导者有两个目标,第一个目标是通过征税使得收入最大化,第二个目标是通过污染最小化来保护环境；追随者有一个目标,即在政府设定的限制条件下实现利润最大化.由于该博弈的主从结构,只有当领导者的解也是跟随者的最优解时,领导者的解才可能可行.
显然,对于领导者来说,这两个目标之间存在平衡,政府作为决策者需要选择一种合适的均衡解.政府意识到,矿业公司的唯一目标是在政府设定的限制条件下实现利润最大化.在这种情况下,政府希望有一个税制结构,这样除了能够限制矿业公司对环境造成巨大污染外,还能够最大限度地增加自身收入.由于领导者有2个目标,因此该问题的解会形成一个Pareto最优边界.
模型建立
根据政府试图通过对矿山征税和尽可能多地征收税收来最大限度地提高整体福利，同时尽量减少矿山产生的污染这两目标，多目标双层优化问题模型如下：
其中，
F(x,y)：政府的目标函数
f1：税收，f1＝xy
f2：矿山对环境造成的破坏，f2＝ky
y：矿山从矿石中提取的金属量
x：政府对矿山征收的单位税
k：矿山开采矿石对环境的污染系数
g(y)：矿山的利润
p(y)：黄金的价格函数
c(y)：矿石开采的成本
由于矿山可以同时开采大量矿石和黄金,这可能会对黄金价格产生轻微影响.因此，设价格函数是斜率很小的线性函数，开采成本是二次方的，因为开采地下更深的矿石往往变得越来越昂贵，上式重新表述为：
其中，α,β,δ,γ,φ为常数，φ表示设置操作的固定成本，令α＝100，β＝1,δ＝1,γ＝1,φ＝0，通过应用一阶导数方法对跟随者的利润函数进行求导，可以找到一个点，使得跟随者的利润最大化，化简得到提取量关于税收变量x的最佳表达式：
针对政府的目标函数，使用加权和方法，将其多目标函数转化成单目标函数，即用(ω,1-ω)表示每个目标的权重；应用到政府的目标函数中得到以下结果：
继续进行一阶求导，且设置为0，求解得到关于政府偏好参数ω的最优税率x*(ω)：
同理，根据模型的参数，得到关于政府偏好权重的矿山最佳开采量y*(ω)：
模型求解
如果政府掌握有关矿山成本的信息，则可以根据其对税收和环境保护的偏好来影响矿山的开采率。通过改变政府的偏好权重，可以为多目标双层问题生成整个帕累托最优边界。本实施例设置污染系数k＝2，分别采用SNSGA-II和NSGA-II算法求解分析模型。
图2(a)和图2(b)显示了通过SNSGA-II和NSGA-II方法在模型上获得的近似帕累托最优边界。从图的分布来看，SNSGA-II的优化效果是理想的。虽然两种算法都可以获得政府税收与环境污染之间的帕累托边界，但NSGA-II分布不均匀，在运行过程中容易陷入局部最优。与两种算法的帕累托最优边界相比，NSGA-II没有比改进算法更好的收敛性。在这个博弈中，政府通过向矿业公司征税来赚取收入，矿业公司根据政府的决定做出理性反应，实现自身利润最大化。图3(a)和图3(b)显示了政府收入和矿山利润。从图中可以看出，随着矿山开采和环境破坏的加剧，政府的收入在不断增加。
仿真分析
为方便测试算法对MOP的求解性能，本实施例对NSGA-II、SPEA-II和SNSGA-II进行仿真分析，选取相同的测试函数来控制变量，验证算法的求解效果，见表1。设置每个算法迭代到T＝500代终止且种群规模N＝100。
表1参数设置
Zitzler等研究人员共同在文章中提出了用于面向各种不同测试情况的ZDT系列测试函数集合，并一度在该领域产生了巨大的影响力。由于ZDT系列测试问题的相关用途和特点是各不相同的，因此下面将选取ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6对NSGA-II和SPEA-II以及SNSGA-II进行测试实验。为了清晰直观地比较算法的前沿分布情况，分别绘制三种算法求解得到的Pareto前沿和问题所对应的最优Pareto前沿，通过所得到的仿真图对这三种算法进行对比分析。将ZDT1、ZDT2、ZDT3的决策变量数量设定为25，ZDT4、ZDT6的决策变量数量设定为10。
ZDT1是一个凸前言的优化问题(MOP)。见图4(a)、图4(b)和图4(c)，通过观察ZDT1的Pareto最优前沿仿真图像可知，NSGA-II，SPEA-II和SNSGA-II这三种算法都能收敛到最优Pareto前沿，但NSGA-II的解集分布性和收敛性明显劣于后两种算法，SNSGA-II求解得到的Pareto前沿更贴近理论Pareto前沿。
接下来，我们展示了问题ZDT2的非支配解。如图5(a)、图5(b)和图5(c)，该问题有一个非凸的Pareto最优前沿。尽管这三种算法都能收敛，但NSGA-II在求解ZDT2函数时，只能部分收敛，SNSGA-II在整个Pareto区域中都找到了比其他两种算法更好的拓展和更多的解。ZDT3的Pareto最优前言是几个分段。通过仿真求解得到如图6(a)、图6(b)和图6(c)所示的帕累托最优前沿图像，在运行过程中发现，SNSGA-II能快速收敛到Pareto最优前沿，其次是SPEA-II。说明我们改进的算法在收敛速率和收敛性都有好的表现。
ZDT4是一个可以检验算法寻找全局最优能力的多目标优化问题，它有很多局部最优解。见图7(a)、图7(b)和图7(c)，NSGA-II和SPEA-II这两种算法都不能收敛到理论Pareto前沿上，而且从图中显示它们易陷入局部最优中。SNSGA-II非常接近真实Pareto最优前沿的收敛性，并且具有更好的分布。显然，我们改进的算法其解集分布性和收敛性明显优于前两种算法，尤其是全局收敛性。并在多次试验的前提下，SNSGA-II算法的稳定性也优于前两种算法。
ZDT6是一个可以检验算法寻优多样性能力的多目标优化问题，它的特点在于帕累托最优前沿解的密度不同。见图8(a)、图8(b)和图8(c)，改进的算法在解集的均匀性上明显优于前两种算法，因此SNSGA-II具有更好的分布性与收敛性。
为了更全面地测试算法在多目标优化中的性能，我们采用世代距离指标(GD)和空间指标(SP)作为评估标准。这是能评估Pareto前沿和解集分布性的评估指标。利用NSGA-II和SNSGA-II分别对ZDT系列测试函数进行求解，实验中，NSGA-II和SNSGA-II都运行了10次。表2和表3显示了NSGA-II和SNSGA-II获得的世代距离和空间指标的平均值和标准差。
表2NSGA-II仿真结果
表3SNSGA-II仿真结果
从表3可以看出，SNSGA-II能够在ZDT系列函数中更好地收敛，它在试验中的GD的均值和标准差都小于原始算法。尽管SNSGA-II在求解ZDT3测试函数时，其SP的标准差为0。508088，比NSGA-II求解的值大，但是其解集分布性比原始算法好。总体而言，SNSGA-II的优化性能是这两种算法中最理想的。
综上所述，对于以上几个测试函数来说，在大多数情况下，改进的新算法与SPEA-II、NSGA-II这两种经典多目标优化算法相比，无论是在帕累托前沿分布的均匀程度，还是与测试问题的真实帕累托前沿的重合度，即算法的收敛性，都有更好的表现，同时在大多数情况下，改进后的算法在算法稳定性上也好于其他两种算法，从而充分证实了SNSGA-II算法的有效性和正确性。因此，SNSGA-II能够很好的解决双目标优化问题，具有很大的实际应用前景。
以上示意性的对本发明及其实施方式进行了描述，该描述没有限制性，附图中所示的也只是本发明的实施方式之一，实际的结构并不局限于此。所以，如果本领域的普通技术人员受其启示，在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造性的设计出与该技术方案相似的结构方式及实施例，均应属于本发明的保护范围。

Claims (3)

1.基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其特征在于：包括以下步骤：
一、在NSGA-II的多项式杂交产生子代过程中引入一个随机值并运用交叉分布指数，得到SNSGA-II；
二、建立多目标双层优化问题模型；
三、利用SNSGA-II对模型进行求解，生成帕累托最优边界。
2.根据权利要求1所述的基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其特征在于：设x1,x2作为杂交个体，表示两个个体的第j个基因；那么杂交产生的后代为y1,y2,就表示子代的第j个基因；SNSGA-II产生子代的步骤如下：
Step1:随机产生一个随机数，r(j)∈(0.1)
Step2:计算β(j)值：
β(j)为二进制交叉算子；
Step3:计算的值：
rand()为随机值；
Step4:判断是否越界，若越界，则取边界值；
其中ηc是一个非负实数，称为交叉分布指数，ηc的取值越大，产生的个体越接近父代个体，搜索范围越小。
3.根据权利要求2所述的基于SNSGA-II求解多目标双层优化问题的方法，其特征在于：根据政府试图通过对矿山征税和尽可能多地征收税收来最大限度地提高整体福利，同时尽量减少矿山产生的污染这两目标，多目标双层优化问题模型如下：
x≥0,y≥0
其中，
F(x,y)：政府的目标函数
f1：税收，f1＝xy
f2：矿山对环境造成的破坏，f2＝ky
y：矿山从矿石中提取的金属量
x：政府对矿山征收的单位税
k：矿山开采矿石对环境的污染系数
g(y)：矿山的利润
p(y)：黄金的价格函数
c(y)：矿石开采的成本
设价格函数是斜率很小的线性函数，开采成本是二次方的，上式重新表述为：
x≥0,y≥0
其中，α,β,δ,γ,φ为常数，φ表示设置操作的固定成本，通过应用一阶导数方法对跟随者的利润函数进行求导，找到一个点，使得跟随者的利润最大化，化简得到提取量关于税收变量x的最佳表达式：
针对政府的目标函数，使用加权和方法，将其多目标函数转化成单目标函数，即用(ω,1-ω)表示每个目标的权重；应用到政府的目标函数中得到以下结果：
继续进行一阶求导，且设置为0，求解得到关于政府偏好参数ω的最优税率x*(ω)：
同理，根据模型的参数，得到关于政府偏好权重的矿山最佳开采量y*(ω)：
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