CN116467844A - 一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法，基于等效磁路法进行磁路分析，利用磁路欧姆定律，得到三正交磁轴承的单组磁极电磁力模型，以直角正三棱锥侧棱为基准，按照三组磁极圆周均布的方式对磁轴承进行三组磁极的正交模型磁路构建，通过分析三正交磁轴承几何特征，构建电磁力坐标系和位置坐标系的坐标变换矩阵方向余弦阵，当磁悬浮动子受到外部扰动，根据动子位移变化量，改变流经磁轴承线圈绕组的电流大小，实现对动子的控制。本发明所述三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法可以实现磁轴承所搭载平台的三自由度平动和预设位置悬浮，在新型航天器姿态控制技术领域具有广泛的应用前景。

Description

一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮轴承动力学建模技术领域，特别涉及一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法。

背景技术

常见的磁阻力磁轴承为单轴向与双径向组合，这种组合方式优点是三个自由度平动之间相互独立，存在较少耦合方便控制，但是这种组合方式也有一定的缺点，放置轴向、径向磁轴承会占用较多的空间，而且结构比较固定无法适应不同任务需求。如果采取高集成化的多自由度组合系统，那么系统的各个自由度之间耦合程度较高，控制起来会有一定难度甚至不可控。

本发明所涉及的一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法，可以实现磁轴承所搭载平台的三自由度平动和预设位置悬浮，对进一步简化控制从而提高响应速度和精度有着重要意义。

发明内容

本发明目的在于提供一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法，使其能够准确地建立三正交磁阻力平动磁轴承动力学模型，以解决三正交磁轴承的动子三自由度平动和悬浮的问题，为简化磁悬浮轴承控制以及提高控制精度提供理论支持。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：基于等效磁路法进行磁路分析，利用磁路欧姆定律，得到三正交磁轴承的单组磁极电磁力模型，以直角正三棱锥侧棱为基准，按照三组磁极圆周均布的方式对磁轴承进行三组磁极的正交模型磁路构建，通过分析三正交磁轴承几何特征，构建电磁力坐标系和位置坐标系的坐标变换矩阵方向余弦阵，当磁悬浮动子受到外部扰动，根据动子位移变化量，改变流经磁轴承线圈绕组的电流大小，实现对动子的控制，所述方法的动力学建模具体步骤为：

(1)基于等效磁路法的三正交磁轴承单组磁极电磁力建模

三正交磁阻力平动磁轴承由三组相同的磁极组成，其中单组磁极的磁路主要包括内铁芯和外铁芯和绕组组成的径向内、外磁极和动子及动子与径向内、外磁极间的气隙，内磁极和外磁极所构成的磁通回路都是由线圈绕组N极出发，经过铁芯和动子之间的气隙再经过动子和动子与S极之间的气隙，回到S极构成闭合回路；忽略磁钢漏磁以及线圈自感磁场以及边缘效应的影响，根据等效磁路法建立单个磁轴承等效磁路，由等效磁路可得单组磁极磁路的总磁阻：

其中R₁₁、R₁₂、R₂₁、R₂₂分别代表内、外磁极与动子间气隙磁阻，R₁、R₂分别代表单组磁极两通道磁路的总磁阻；

又单个气隙磁阻表述为：

R＝δ/(μ₀A_i) (2)

其中δ是动子与磁极面的气隙长度，μ₀为真空中磁导率，A_i表示各磁极面积；

由上式可得单组磁极两通道的磁通：

式中I₀为动子处于平衡位置时线圈中的电流，I_s代表控制电流，N代表线圈匝数；

单组磁极两通道中动子所受的力F₁、F₂可表示为：

将式(1)、式(2)、式(3)代入上式可得单组磁极两通道中动子所受电磁吸力：

由上式可得，当动子处于预设平衡位置所受电磁力为：

由上式可以看出动子所受电磁力与线圈绕组中流过的电流平方成正比；

动子处在平衡位置时位置传感器检测的位移量是S，偏移平衡位置的检测量为s，则动子受到单组磁极两端的电磁吸力分别为：

动子受到的单组磁极总的电磁合力为：

对上式进行泰勒展开并舍去高阶项，得到动子单自由度线性化后的电磁吸力公式：

F＝-K_sS+K_iI_s (10)

式中，K_i称为电流刚度K_s称为位移刚度/>

(2)基于直角正三棱锥的三正交磁轴承磁极构型创建

三正交磁阻力平动磁轴承的三组磁极在同一径向平面内沿圆周均匀分布，即两两相邻磁极的夹角为120度，三组磁极同时采用斜装方式，定义各组磁极的轴为其电磁力的方向，三组磁极的轴在空间上构成直角正三棱锥(侧面为等腰直角三角形的正三棱锥)，其底面即为磁极所在的径向平面，根据等体积法和等边三角形性质可得：

以侧面为基准求体积：

以底面等边三角形为条件求体积：

根据V₁＝V₂易知：

由直角正三棱锥的几何特征可得：

由式(13)、式(14)解得：

θ＝35.26° (15)

式中，l为三棱锥的侧棱长度，h为径向平面到三棱锥顶点的高度，θ为三棱锥侧棱与径向平面的夹角；

依据上式可对三组磁极的电磁力在空间上进行分解，三组磁极a、b、c产生的电磁力在径向平面内可分解为两个正交分量F′_x、F′_y和一个过三棱锥顶点且垂直于径向平面的分量F′_z，由公式可得：

每组磁极产生的电磁合力过球心且相互垂直，通过改变流经线圈绕组的电流大小可以实现控制动子径向两自由度平动和轴向一自由度平动；

(3)三正交磁轴承电磁力方向余弦阵构建

以三棱锥的顶点为原点O′建立电磁力坐标系，三个坐标轴沿三棱锥的三条侧棱α、β、γ指向三棱锥底面方向，坐标系满足笛卡尔右手定则；

以三棱锥底面(径向平面)的中心O为原点建立位置坐标系，x轴为α轴在径向平面的投影，z轴沿O O′，y轴位于径向平面内，满足右手定则；

求解电磁力坐标系O′-αβγ与位置坐标系O-xyz之间的转换矩阵P，首先将位置坐标系O-xyz绕y轴旋转θ得到过渡系O-x′yz′，其x′轴与电磁力坐标系O′-αβγ的α轴重合，再将坐标系O-x′yz′绕x′轴旋转ω后，易知此时位置坐标系以旋转至电磁力坐标系；

基于上述分析可得第一、第二次旋转时的初等转换矩阵分别为：

根据方向余弦阵的传递性有：

根据正三棱锥的空间几何关系易求得ω＝135°；

(4)三正交磁轴承三自由度平动解耦磁阻力建模

将位移偏移量所对应的电磁吸力合力F_x、F_y、F_z通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力F_α、F_β、F_γ联系起来得到动子的三自由度平动动力学模型；

依据牛顿第二定律得到：

根据坐标变换将位移偏量所对应的电磁吸力F通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力联系起来得到：

代入θ和ω的值解得：

代入P^-1化简得：

根据动子单自由度线性化后的电磁吸力公式，可得：

结合牛顿第二定律所得到的动子单自由度动力学方程：

对位置坐标系x、y、z三个方向的电磁吸力合力进行线性化后得到动子的三自由度平动动力学模型：

式中，S_x、S_y、S_z是位移传感器实测的位移；I_α、I_β、I_γ是三组磁阻力磁轴承控制电流。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：提供了一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法，能够准确地建立三正交磁阻力平动磁轴承动力学模型，解决了三正交磁轴承所搭载平台的三自由度平动和悬浮的问题，为简化磁悬浮轴承控制以及提高控制精度提供理论支持。

附图说明

图1是一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法流程图。

图2是三正交磁阻力平动磁轴承系统结构图。

图3是磁轴承单组磁极等效磁路图。

图4是电磁力坐标系和位置坐标系相对位置示意图。

图5是第一次坐标系旋转示意图。

图6是第二次坐标系旋转示意图。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。基于等效磁路法进行磁路分析，利用磁路欧姆定律，得到三正交磁轴承的单组磁极电磁力模型，以直角正三棱锥侧棱为基准，按照三组磁极圆周均布的方式对磁轴承进行三组磁极的正交模型磁路构建，通过分析三正交磁轴承几何特征，构建电磁力坐标系和位置坐标系的坐标变换矩阵方向余弦阵，当磁悬浮动子受到外部扰动，根据动子位移变化量，改变流经磁轴承线圈绕组的电流大小，实现对动子的控制，所述方法的动力学建模具体步骤为：

(1)基于等效磁路法的三正交磁轴承单组磁极电磁力建模

三正交磁阻力平动磁轴承由三组相同的磁极组成，其中单组磁极的磁路主要包括内铁芯和外铁芯和绕组组成的径向内、外磁极和动子及动子与径向内、外磁极间的气隙，内磁极和外磁极所构成的磁通回路都是由线圈绕组N极出发，经过铁芯和动子之间的气隙再经过动子和动子与S极之间的气隙，回到S极构成闭合回路；忽略磁钢漏磁以及线圈自感磁场以及边缘效应的影响，根据等效磁路法建立单个磁轴承等效磁路，由等效磁路可得单组磁极磁路的总磁阻：

其中R₁₁、R₁₂、R₂₁、R₂₂分别代表内、外磁极与动子间气隙磁阻，R₁、R₂分别代表单组磁极两通道磁路的总磁阻；

又单个气隙磁阻表述为：

R＝δ/(μ₀A_i) (2)

其中δ是动子与磁极面的气隙长度，μ₀为真空中磁导率，A_i表示各磁极面积；

由上式可得单组磁极两通道的磁通：

式中I₀为动子处于平衡位置时线圈中的电流，I_s代表控制电流，N代表线圈匝数；

单组磁极两通道中动子所受的力F₁、F₂可表示为：

将式(1)、式(2)、式(3)代入上式可得单组磁极两通道中动子所受电磁吸力：

由上式可得，当动子处于预设平衡位置所受电磁力为：

由上式可以看出动子所受电磁力与线圈绕组中流过的电流平方成正比；

动子处在平衡位置时位置传感器检测的位移量是S，偏移平衡位置的检测量为s，则动子受到单组磁极两端的电磁吸力分别为：

动子受到的单组磁极总的电磁合力为：

对上式进行泰勒展开并舍去高阶项，得到动子单自由度线性化后的电磁吸力公式：

F＝-K_sS+K_iI_s (10)

式中，K_i称为电流刚度K_s称为位移刚度/>

(2)基于直角正三棱锥的三正交磁轴承磁极构型创建

三正交磁阻力平动磁轴承的三组磁极在同一径向平面内沿圆周均匀分布，即两两相邻磁极的夹角为120度，三组磁极同时采用斜装方式，定义各组磁极的轴为其电磁力的方向，三组磁极的轴在空间上构成直角正三棱锥(侧面为等腰直角三角形的正三棱锥)，其底面即为磁极所在的径向平面，根据等体积法和等边三角形性质可得：

以侧面为基准求体积：

以底面等边三角形为条件求体积：

根据V₁＝V₂易知：

由直角正三棱锥的几何特征可得：

由式(13)、式(14)解得：

θ＝35.26° (15)

式中，l为三棱锥的侧棱长度，h为径向平面到三棱锥顶点的高度，θ为三棱锥侧棱与径向平面的夹角；

依据上式可对三组磁极的电磁力在空间上进行分解，三组磁极a、b、c产生的电磁力在径向平面内可分解为两个正交分量F_x′、F_y′和一个过三棱锥顶点且垂直于径向平面的分量F_z′，由公式可得：

每组磁极产生的电磁合力过球心且相互垂直，通过改变流经线圈绕组的电流大小可以实现控制动子径向两自由度平动和轴向一自由度平动；

(3)三正交磁轴承电磁力方向余弦阵构建

以三棱锥的顶点为原点O′建立电磁力坐标系，三个坐标轴沿三棱锥的三条侧棱α、β、γ指向三棱锥底面方向，坐标系满足笛卡尔右手定则；

以三棱锥底面(径向平面)的中心O为原点建立位置坐标系，x轴为α轴在径向平面的投影，z轴沿O O′，y轴位于径向平面内，满足右手定则；

求解电磁力坐标系O′-αβγ与位置坐标系O-xyz之间的转换矩阵P，首先将位置坐标系O-xyz绕y轴旋转θ得到过渡系O-x′yz′，其x′轴与电磁力坐标系O′-αβγ的α轴重合，再将坐标系O-x′yz′绕x′轴旋转ω后，易知此时位置坐标系以旋转至电磁力坐标系；

基于上述分析可得第一、第二次旋转时的初等转换矩阵分别为：

根据方向余弦阵的传递性有：

根据正三棱锥的空间几何关系易求得ω＝135°；

(4)三正交磁轴承三自由度平动解耦磁阻力建模

将位移偏移量所对应的电磁吸力合力F_x、F_y、F_z通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力F_α、F_β、F_γ联系起来得到动子的三自由度平动动力学模型；

依据牛顿第二定律得到：

根据坐标变换将位移偏量所对应的电磁吸力F通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力联系起来得到：

代入θ和ω的值解得：

代入P^-1化简得：

根据动子单自由度线性化后的电磁吸力公式，可得：

结合牛顿第二定律所得到的动子单自由度动力学方程：

对位置坐标系x、y、z三个方向的电磁吸力合力进行线性化后得到动子的三自由度平动动力学模型：

式中，S_x、S_y、S_z是位移传感器实测的位移；I_α、I_β、I_γ是三组磁阻力磁轴承控制电流。

本发明的保护范围以权利要求书为准。

Claims (1)

1.一种三正交磁阻力平动磁轴承动力学建模方法，其特征在于：基于等效磁路法进行磁路分析，利用磁路欧姆定律，得到三正交磁轴承的单组磁极电磁力模型，以直角正三棱锥侧棱为基准，按照三组磁极圆周均布的方式对磁轴承进行三组磁极的正交模型磁路构建，通过分析三正交磁轴承几何特征，构建电磁力坐标系和位置坐标系的坐标变换矩阵方向余弦阵，当磁悬浮动子受到外部扰动，根据动子位移变化量，改变流经磁轴承线圈绕组的电流大小，实现对动子的控制，所述方法的动力学建模具体步骤为：

(1)基于等效磁路法的三正交磁轴承单组磁极电磁力建模

三正交磁阻力平动磁轴承由三组相同的磁极组成，其中单组磁极的磁路主要包括内铁芯和外铁芯和绕组组成的径向内、外磁极和动子及动子与径向内、外磁极间的气隙，内磁极和外磁极所构成的磁通回路都是由线圈绕组N极出发，经过铁芯和动子之间的气隙再经过动子和动子与S极之间的气隙，回到S极构成闭合回路；忽略磁钢漏磁以及线圈自感磁场以及边缘效应的影响，根据等效磁路法建立单个磁轴承等效磁路，由等效磁路可得单组磁极磁路的总磁阻：

其中R₁₁、R₁₂、R₂₁、R₂₂分别代表内、外磁极与动子间气隙磁阻，R₁、R₂分别代表单组磁极两通道磁路的总磁阻；

又单个气隙磁阻表述为：

R＝δ/(μ₀A_i) (2)

其中δ是动子与磁极面的气隙长度，μ₀为真空中磁导率，A_i表示各磁极面积；

由上式可得单组磁极两通道的磁通：

式中I₀为动子处于平衡位置时线圈中的电流，I_s代表控制电流，N代表线圈匝数；

单组磁极两通道中动子所受的力F₁、F₂可表示为：

将式(1)、式(2)、式(3)代入上式可得单组磁极两通道中动子所受电磁吸力：

由上式可得，当动子处于预设平衡位置所受电磁力为：

由上式可以看出动子所受电磁力与线圈绕组中流过的电流平方成正比；

动子处在平衡位置时位置传感器检测的位移量是S，偏移平衡位置的检测量为s，则动子受到单组磁极两端的电磁吸力分别为：

动子受到的单组磁极总的电磁合力为：

对上式进行泰勒展开并舍去高阶项，得到动子单自由度线性化后的电磁吸力公式：

F＝-K_sS+K_iI_s(10)

式中，K_i称为电流刚度K_s称为位移刚度/>

(2)基于直角正三棱锥的三正交磁轴承磁极构型创建

三正交磁阻力平动磁轴承的三组磁极在同一径向平面内沿圆周均匀分布，即两两相邻磁极的夹角为120度，三组磁极同时采用斜装方式，定义各组磁极的轴为其电磁力的方向，三组磁极的轴在空间上构成直角正三棱锥(侧面为等腰直角三角形的正三棱锥)，其底面即为磁极所在的径向平面，根据等体积法和等边三角形性质可得：

以侧面为基准求体积：

以底面等边三角形为条件求体积：

根据V₁＝V₂易知：

由直角正三棱锥的几何特征可得：

由式(13)、式(14)解得：

θ＝35.26°(15)

式中，l为三棱锥的侧棱长度，h为径向平面到三棱锥顶点的高度，θ为三棱锥侧棱与径向平面的夹角；

依据上式可对三组磁极的电磁力在空间上进行分解，三组磁极a、b、c产生的电磁力在径向平面内可分解为两个正交分量F_x′、F_y′和一个过三棱锥顶点且垂直于径向平面的分量F_z′，由公式可得：

每组磁极产生的电磁合力过球心且相互垂直，通过改变流经线圈绕组的电流大小可以实现控制动子径向两自由度平动和轴向一自由度平动；

(3)三正交磁轴承电磁力方向余弦阵构建

以三棱锥的顶点为原点O′建立电磁力坐标系，三个坐标轴沿三棱锥的三条侧棱α、β、γ指向三棱锥底面方向，坐标系满足笛卡尔右手定则；

以三棱锥底面(径向平面)的中心O为原点建立位置坐标系，x轴为α轴在径向平面的投影，z轴沿OO′，y轴位于径向平面内，满足右手定则；

求解电磁力坐标系O′-αβγ与位置坐标系O-xyz之间的转换矩阵P，首先将位置坐标系O-xyz绕y轴旋转θ得到过渡系O-x′yz′，其x′轴与电磁力坐标系O′-αβγ的α轴重合，再将坐标系O-x′yz′绕x′轴旋转ω后，易知此时位置坐标系以旋转至电磁力坐标系；

基于上述分析可得第一、第二次旋转时的初等转换矩阵分别为：

根据方向余弦阵的传递性有：

根据正三棱锥的空间几何关系易求得ω＝135°；

(4)三正交磁轴承三自由度平动解耦磁阻力建模

将位移偏移量所对应的电磁吸力合力F_x、F_y、F_z通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力F_α、F_β、F_γ联系起来得到动子的三自由度平动动力学模型；

依据牛顿第二定律得到：

根据坐标变换将位移偏量所对应的电磁吸力F通过转换矩阵P与磁阻力磁轴承所提供的电磁吸力F～联系起来得到：

代入θ和ω的值解得：

代入P^-1化简得：

根据动子单自由度线性化后的电磁吸力公式，可得：

结合牛顿第二定律所得到的动子单自由度动力学方程：

对位置坐标系x、y、z三个方向的电磁吸力合力进行线性化后得到动子的三自由度平动动力学模型：

式中，S_x、S_y、S_z是位移传感器实测的位移；I_α、I_β、I_γ是三组磁阻力磁轴承控制电流。