CN116451156A - 一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法、排序方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于一种孔排序方法，为解决现有的孔类特征识别方法，无法适应涡轮叶片气膜孔中异形孔的识别需求，也无法实现大量孔类结构识别后的特征排序等工作的技术问题，提供一种面向叶片气膜孔的孔类型识别方法、特征排序方法，针对涡轮叶片气膜孔中直圆孔与异形孔的特征识别与重组的需求，从涡轮叶片几何模型的曲率特征出发，通过判断最大最小曲率识别模型中的圆柱面，并利用关联曲线与特征面、叶身表面的连接关系，识别多张曲面构成的直圆孔与异形孔特征，另外，基于涡轮叶片的按行分布特征，设计气膜孔的分布夹角判断准则，实现了大量气膜孔的特征排序需求。

Description

一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法、排序方法

技术领域

本发明属于一种孔类特征识别技术领域，具体涉及一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法、排序方法。

背景技术

随着制造业自动化水平的飞速发展，计算机辅助设计、工艺规划、制造等系统之间数据的快速有效交换显得极为迫切。通过特征识别技术，可实现将计算机辅助设计的大量的几何特征提取，并传递到后续的工艺规划及制造系统中，以满足产品的自动化制造需求。

涡轮叶片作为航空发动机的关键零件，在叶身上设计了上百个气膜孔用于冷却。气膜孔的结构不仅包含大量的圆柱形孔，还包含了各种异形的孔槽结构。因此，如何快速实现这类结构的几何特征识别、提取与排序，有助于加速涡轮叶片加工的自动化进程并提高制造效率。现有的孔类特征识别方法以边界表示法为主，该方法通过收集孔的边界信息，建立预设的特征知识库，以此识别各种完整曲面的圆柱孔、组合圆柱孔、锥形孔等特征，但是，这种方法无法适应涡轮叶片气膜孔中异形孔的识别需求，同时，也无法实现大量孔类特征识别后的排序等工作。

发明内容

本发明为解决现有的孔类特征识别方法，无法适应涡轮叶片气膜孔中异形孔的识别需求，也无法实现大量孔类特征识别后的排序等工作的技术问题，提供一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法、排序方法。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特殊之处在于，包括以下步骤：

S1-1，在零件实体中获取不需要识别孔特征的带孔表面集合{S_j}，并获取需要识别孔特征的带孔表面S_h中包含的所有内边界集合{C_i}；其中，j表示带孔表面序号，i表示内边界序号，j≥0，i≥0；

S1-2，获取带孔表面集合{S_j}中包含内边界集合{C_i}中边界C_i的曲面集合{S_i，k}；其中，k表示曲面的编号，k≥0；

S1-3，在曲面集合{S_i，k}中均匀采样，获取采样点集{P_i，k，l}，并计算采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最大曲率半径和最小曲率半径集合{(r_{min，i，k，l}，r_{max，i，k，l})}，以及曲面法向{n_i，k，l}；其中，l表示采样点的编号，l≥0；

S1-4，根据集合{(r_{min，i，k，l}，r_{max，i，k，l})}判断相应曲面S_i，k是否为平面或非直纹面，若是，则边界C_i对应的孔为非直圆孔，否则，执行步骤S1-5；

S1-5，判断是否恒成立，若是，执行步骤S1-6，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔；其中，r_{min，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中P_i，k，l的最小曲率半径；其中，/>为r_{min，i，k，l}的平均值；

S1-6，判断是否等于r_{min，i，0，0}，若是，边界C_i对应的孔为直圆孔，执行步骤S1-7，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔；其中，{Δd_i，k，l}为{P_i，k，l}-{P_i，0，0}沿曲面法向{n_i，k，l}到O_i，0，0的距离，O_i，0，0为点P_i，0，0对应的最小曲率中心，P_i，0，0为k＝0且l＝0时的采样点；

S1-7，令{S_j}＝{S_j}-{S_i，k}，返回步骤S1-2，直至完成内边界集合{C_i}对应所有孔的识别，再根据孔类型，获取孔参数。

进一步地，还包括步骤S1-8和步骤S1-9：

若经步骤S1-4至步骤S1-6判断边界C_i对应的孔为非直圆孔：

S1-8，令Ψ_i＝{S_i，k}，在{S_j}中检索与Ψ_i使用共同边界的所有曲线集合{C_s，i}，在{S_j}中查找包含边界{C_s，i}的所有面集合{S_i，k}；

S1-9，将面集合{S_i，k}作为步骤S1-3中的曲面集合{S_i，k}，采用步骤S1-3至步骤S1-6的方法判断面集合{S_i，k}中S_i，k构成的特征是否对应为直圆孔，若是，则边界C_i对应的孔为异形孔，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔非异形孔。

进一步地，步骤S1-4具体为，若边界C_i对应的孔为非直圆孔，否则，边界C_i对应的孔为直圆孔，其中，r_{max，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最大曲率半径，r_{min，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最小曲率半径。

进一步地，步骤S1-6中，所述O_i，0，0通过下式计算：

O_i，0，0＝P_i，0，0+r_{min，i，0，0}·n_i，0，0

其中，r_{min，i，0，0}为点P_i，0，0对应曲面上的最小曲率半径，n_i，0，0为点P_i，0，0对应曲面法向；

所述Δd_i，k，l通过下式计算：

Δd_i，k，l＝(O_i，0，0-P_i，k，l)·n_i，k，l。

进一步地，步骤S1-7中，所述根据孔类型获取孔参数具体为：

S1-7-a，若为直圆孔，则孔壁面为{S_i，k}，孔半径r_i＝r_{min，i，0，0}，孔轴向 其中，/>和/>为{n_i，k，l}中任意不平行的两个法线；

若为异形孔，异形部分孔壁为Ψ_i，直圆部分孔壁为{S_i，k}，孔轴向h_i为直圆部分轴向；

若为非直圆孔非异形孔，不需要获取孔参数；

S1-7-b，将带孔表面S_h中的所有内边界删除，获取不带孔的表面S_a，边界C_i对应孔的孔轴向h_i与S_a的交点q_i即为该孔孔位。

本发明还提供了一种面向叶片气膜孔的孔类特征排序方法，其特殊之处在于，包括以下步骤：

S2-1，采用权利要求5所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法获取各孔孔参数中的孔位，得到孔位坐标集合{q_u}；

S2-2，在带孔表面S_h上获取由R_d和C_d确定的起始角点Q，其中，R_d为给定的孔排序行方向，C_d为给定的孔排序列方向；

S2-3，计算{q_u}与Q的距离{d_u}，并将其中的最短距离d_m对应点q_m作为行Ψ_j上的搜索起始点，搜索方向v_r＝R_d；其中，Ψ_t＝{q_u}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}；

S2-4，计算矢量集合{v_m，u|v_m，u＝q_mq_u}与v_r的夹角集合{α_m，u|α_m，u＝cos^-1(v_m，u·v_r/||v_m，u·v_r||)}；其中，{v_m，u|v_m，u＝q_mq_u}为q_m与{q_u}构成的矢量集合；

S2-5，在{α_m，u}中选取α_m，u≤Δα的所有孔，组成集合{q_k}；其中，Δα为相邻两个孔分属不同行的角向偏差；

S2-6，若计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m+作为当前行Ψ_t上q_m的下一个孔，令Ψ_t＝Ψ_t∪{q_m+}，v_r＝q_mq_m+，q_m＝q_m+，{q_u}＝{q_u}-{q_m+}，返回步骤2-4；否则，令v_r＝-R_d，并执行步骤S2-7；

S2-7，重复执行步骤S2-4和步骤S2-5；若计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m-作为当前行Ψ_t上q_m的上一个孔，取Ψ_t＝{q_m-}∪Ψ_t，并令v_r＝q_mq_m-，q_m＝q_m-，{q_u}＝{q_u}-{q_m-}，重复执行步骤2-7，直至/> 否则，执行步骤2-8；

S2-8，若计算{q_u}与Q的距离{d_u}，将最短距离对应点q_m作为行Ψ_t+1上的搜索起始点，取Ψ_t+1＝{q_m}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}，行搜索方向v_r＝R_d，并返回步骤2-4，并用Ψ_t+1代替Ψ_t；否则，执行步骤2-9；

S2-9，取{Ψ_z}中各行的第一个孔，得到孔集合{q_t，0}，并令v_t＝q_t，0Q，其中，z表示总行数；

S2-10，计算沿方向C_d的有向距离{d_t|d_t＝v_t·C_d}，将{d_t}按照由小到大的顺序进行排序，则排序结果对应{Ψ_z}中的行即为列的排序结果。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1.本发明提出一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，针对涡轮叶片气膜孔中直圆孔与异形孔的特征识别与重组的需求，从涡轮叶片几何模型的曲率特征出发，通过判断最大最小曲率识别模型中的圆柱面，并利用关联曲线与特征面、叶身表面的连接关系，识别多张曲面构成的直圆孔与异形孔特征，能够快速实现大量孔类特征的识别，有效提高了识别效率。

2.本发明还提出了一种面向叶片气膜孔的孔类特征排序方法，基于涡轮叶片的按行分布特征，设计气膜孔的分布夹角判断准则，实现了大量气膜孔的排序需求。

附图说明

图1为叶片气膜孔的孔型示意图；其中，(a)为直圆孔，(b)为孔口四边形的异形孔，(c)为孔口椭圆形的异形孔；

图2为涡轮叶片上气膜孔的示意图；

图3为带气膜孔特征的零件示意图；

图4为本发明一种面向叶片气膜孔的孔类特征排序方法实施例中气膜孔行内排序示意图；

图5为本发明一种面向叶片气膜孔的孔类特征排序方法实施例中气膜孔行间排序示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。通常在此处附图中描述和示出的本发明实施例的组件可以以各种不同的配置来布置和设计。

为了解决现有的边界表示法等孔类结构特征识别技术无法实现涡轮叶片气膜孔的快速识别与重组，本发明提供了一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法、排序方法，该方法的具体步骤如下：

一、气膜孔特征定义

如图1和图2所示，叶片气膜孔主要可以分为分类：直圆孔和异形孔。图1中，B1表示圆柱面，B2表示直圆部分，B3表示圆柱部分和异形腔体部分的交线，B4表示异形部分。如图1中的(a)所示，直圆孔指由单个圆柱面或多个圆柱面拼接构成的孔型特征，对于多个圆柱拼接而成的柱面，要求其半径相等且轴线完全重合。如图1中的(b)和(c)所示，异形孔主要指由圆柱部分和异形腔体部分组合形成的孔型特征，且要求二者连接位置处交线在垂直于圆柱部分轴线的平面内。

二、特征识别与参数计算

步骤2-1：如图3所示，在零件实体W_h中获取除S_h外的其它面集合{S_j}，并选择需要识别孔特征的带孔表面S_h，同时，在S_h中检索其中包含的所有内边界集合{C_i}；

步骤2-2：在{S_j}中查找包含内边界集合{C_i}中边界C_i的所有曲面集合{S_i，k}，其中，k为大于等于0的整数，表示曲面的编号；

步骤2-3：在曲面集合{S_i，k}中均匀采样，获取采样点集{P_i，k，l}，其中，l为大于等于0的整数，表示采样点的编号，并计算该点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最大最小曲率半径{(r_{min，i，k，l}，r_{max，i，k，l})}及曲面法向{n_i，k，l}；

步骤2-4：当时，说明该点对应曲面S_i，k为平面或非直纹面，因此可直接判定边界C_i对应孔不为直圆孔，继续执行步骤S2-8；否则，继续执行步骤S2-5；

步骤2-5：判断是否恒成立，其中，/>为r_{min，i，k，l}的平均值，如果不成立，则说明由{S_i，k}构成的特征不为圆柱，即边界C_i对应孔不为直圆孔，转到步骤2-8；否则，转到下一步；

步骤2-6：计算点P_i，0，0对应的最小曲率中心O_i，0，0＝P＝_i，0，0+r_{min，i，0，0}·n_i，0，0，并同时计算{P_i，k，l}-{P_i，0，0}沿其法向{n_i，k，l}到O_i，0，0的距离{Δd_i，k，l}，其中，Δd_i，k，l＝(O_i，0，0-P_i，k，l)·n_i，k，l，当时，说明由{S_i，k}构成的特征不为圆柱，即边界C_i对应孔不为直圆孔，转到步骤2-8；否则，可判定边界C_i对应孔为直圆孔，对应的孔壁面为{S_i，k}，孔半径r_i＝r_{min，i，0，0}，孔轴向/> 并转到下一步；

上述的r_{min，i，0，0}为点P_i，0，0对应曲面上的最小曲率半径，n_i，0，0为点P_i，0，0对应曲面法向，和/>为{n_i，k，l}中任意不平行的两个法线。

步骤2-7：令{S_j}＝{S_j}-{S_i，k}，并转到步骤2-2进行{C_i}中下一个孔特征的判定，在完成所有特征判定后转到步骤2-10；

步骤2-8：令Ψ_i＝{S_i，k}，{S_j}＝{S_j}-Ψ_i，在{S_j}中检索与Ψ_i使用共同边界的所有曲线集合{C_s，i}；

步骤2-9：在{S_j}中查找包含边界{C_s，i}的所有面集合{S_i，k}，利用步骤2-3至步骤2-6的方法判断{S_i，k}构成的特征是否为圆柱，当其为圆柱时，判定边界C_i对应孔为异形孔，其对应的异形部分孔壁为Ψ_i，直圆部分孔壁为{S_i，k}，直圆部分半径r_i，孔轴向为直圆部分轴向h_i，并转到步骤2-7；否则，判定边界C_i对应孔为其它类型孔特征(非直圆孔非异形孔)，不再进行参数计算，并转到步骤2-7；

步骤2-10：将带孔表面S_h中的所有内边界删除，获取不带孔的表面S_a，边界C_i对应孔的轴向h_i与S_a的交点q_i即为该孔孔位，从而完成特征识别与对应孔参数计算。

三、特征排序

步骤3-1：如图4所示，按照给定行方向R_d和列方向C_d进行排序，排序规则采用行优先方式，则在前面特征识别的基础上可以获得所有孔位坐标集合{q_u}；

步骤3-2：在带孔表面S_h上获取由R_d和C_d确定的起始角点Q，计算{q_u}与Q的距离{d_u}，并将最短距离d_m＝{d_i}_min对应点q_m作为行Ψ_t上的搜索起始点，取Ψ_j＝{q_u}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}，行搜索方向v_r＝R_d；

步骤3-3：由q_m与{q_u}构成的矢量集合{v_m，u|v_m，u＝q_mq_u}，计算其与行搜索方向v_r的夹角{α_m，u|α_m，u＝cos^-1(v_m，u·v_r/||v_m，u·v_r||)}；

步骤3-4：假设行上相邻孔间角向偏差超过Δα时，认为这两个孔分属不同行，根据经验可取Δα＝5°，则在{α_m，u}中选取α_m，u≤Δα的所有孔{q_k}；

步骤3-5：当时，计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m+作为当前行Ψ_t上q_m的下一个孔，取Ψ_t＝Ψ_t∪{q_m+}，并令v_r＝q_mq_m+，q_m＝q_m+，{q_i}＝{q_i}-{q_m+}，转到步骤3-3；否则，沿R_d的反方向继续搜索，即令行搜索方向v_r＝-R_d，并转到步骤3-6；

步骤3-6：执行步骤3-3至步骤3-4，当时，计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m-作为当前行Ψ_t上q_m的上一个孔，取Ψ_t＝{q_m-}∪Ψ_t，并令v_r＝q_mq_m-，q_m＝q_m-，{q_u}＝{q_u}-{q_m-}，并重复执行该步骤；否则，转到步骤3-7；

步骤3-7：当时，计算{q_u}与Q的距离{d_u}，将最短距离d_m＝{d_u}_min对应点q_m作为行Ψ_t+1上搜索起始点，取Ψ_t+1＝{q_m}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}，行搜索方向v_r＝R_d，并转到步骤3-3；否则，转到步骤3-8；

步骤3-8：通过上述过程可以将孔按行分组为{Ψ_z}，为将{Ψ_z}按列方向C_d排序，分别取{Ψ_z}中第一个孔，得到孔集合{q_t，0}，并令v_t＝q_t，0Q，如图5所示；其中，z表示总行数；

步骤3-9：计算沿列方向C_d的有向距离{d_t|d_t＝v_t·C_d}，将{d_t}按照由小到大的顺序进行排序，则排序结果对应{Ψ_z}中的行即为特征排序结果。

以上仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1-1，在零件实体中获取不需要识别孔特征的带孔表面集合{S_j}，并获取需要识别孔特征的带孔表面S_h中包含的所有内边界集合{C_i}；其中，j表示带孔表面序号，i表示内边界序号，j≥0，i≥0；

S1-2，获取带孔表面集合{S_j}中包含内边界集合{C_i}中边界C_i的曲面集合{S_i，k}；其中，k表示曲面的编号，k≥0；

S1-3，在曲面集合{S_i，k}中均匀采样，获取采样点集{P_i，k，l}，并计算采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最大曲率半径和最小曲率半径集合{(r_{min，i，k，l}，r_{max，i，k，l})}，以及曲面法向{n_i，k，l}；其中，l表示采样点的编号，l≥0；

S1-4，根据集合{(r_{min，i，k，l}，r_{max，i，k，l})}判断相应曲面S_i，k是否为平面或非直纹面，若是，则边界C_i对应的孔为非直圆孔，否则，执行步骤S1-5；

S1-5，判断是否恒成立，若是，执行步骤S1-6，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔；其中，r_{min，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中P_i，k，l的最小曲率半径；其中，/>为r_{min，i，k，l}的平均值；

S1-6，判断是否等于r_{min，i，0，0}，若是，边界C_i对应的孔为直圆孔，执行步骤S1-7，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔；其中，{Δd_i，k，l}为{P_i，k，l}-{P_i，0，0}沿曲面法向{n_i，k，l}到O_i，0，0的距离，O_i，0，0为点P_i，0，0对应的最小曲率中心，P_i，0，0为k＝0且l＝0时的采样点；

S1-7，令{S_j}＝{S_j}-{S_i，k}，返回步骤S1-2，直至完成内边界集合{C_i}对应所有孔的识别，再根据孔类型，获取孔参数。

2.根据权利要求1所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特征在于：还包括步骤S1-8和步骤S1-9：

若经步骤S1-4至步骤S1-6判断边界C_i对应的孔为非直圆孔：

S1-8，令Ψ_i＝{S_i，k}，在{S_j}中检索与Ψ_i使用共同边界的所有曲线集合{C_s，i}，在{S_j}中查找包含边界{C_s，i}的所有面集合{S_i，k}；

S1-9，将面集合{S_i，k}作为步骤S1-3中的曲面集合{S_i，k}，采用步骤S1-3至步骤S1-6的方法判断面集合{S_i，k}中S_i，k构成的特征是否对应为直圆孔，若是，则边界C_i对应的孔为异形孔，否则，边界C_i对应的孔为非直圆孔非异形孔。

3.根据权利要求2所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特征在于：步骤S1-4具体为，若边界C_i对应的孔为非直圆孔，否则，边界C_i对应的孔为直圆孔，其中，r_{max，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最大曲率半径，r_{min，i，k，l}为采样点集{P_i，k，l}中各点在对应曲面上的最小曲率半径。

4.根据权利要求3所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特征在于：步骤S1-6中，所述O_i，0，0通过下式计算：

O_i，0，0＝P_i，0，0+r_{min，i，0，0}·n_i，0，0

其中，r_{min，i，0，0}为点P_i，0，0对应曲面上的最小曲率半径，n_i，0，0为点P_i，0，0对应曲面法向；

所述Δd_i，k，l通过下式计算：

Δd_i，k，l＝(O_i，0，0-P_i，k，l)·n_i，k，l。

5.根据权利要求4所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法，其特征在于：步骤S1-7中，所述根据孔类型获取孔参数具体为：

S1-7-a，若为直圆孔，则孔壁面为{S_i，k}，孔半径r_i＝r_{min，i，0，0}，孔轴向 其中，/>和/>为{n_i，k，l}中任意不平行的两个法线；

若为异形孔，异形部分孔壁为Ψ_i，直圆部分孔壁为{S_i，k}，孔轴向h_i为直圆部分轴向；

若为非直圆孔非异形孔，不需要获取孔参数；

S1-7-b，将带孔表面S_h中的所有内边界删除，获取不带孔的表面S_a，边界C_i对应孔的孔轴向h_i与S_a的交点q_i即为该孔孔位。

6.一种面向叶片气膜孔的孔类特征排序方法，其特征在于：包括以下步骤：

S2-1，采用权利要求1至5任一所述一种面向叶片气膜孔的孔类特征识别方法获取各孔孔参数中的孔位，得到孔位坐标集合{q_u}；

S2-2，在带孔表面S_h上获取由R_d和C_d确定的起始角点Q，其中，R_d为给定的孔排序行方向，C_d为给定的孔排序列方向；

S2-3，计算{q_u}与Q的距离{d_u}，并将其中的最短距离d_m对应点q_m作为行Ψ_j上的搜索起始点，搜索方向v_r＝R_d；其中，Ψ_t＝{q_u}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}；

S2-4，计算矢量集合{v_m，u|v_m，u＝q_mq_u}与v_r的夹角集合{α_m，u|α_m，u＝cos^-1(v_m，u·v_r/||v_m，u·v_r||)}；其中，{v_m，u|v_m，u＝q_mq_u}为q_m与{q_u}构成的矢量集合；

S2-5，在{α_m，u}中选取α_m，u≤Δα的所有孔，组成集合{q_k}；其中，Δα为相邻两个孔分属不同行的角向偏差；

S2-6，若计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m+作为当前行Ψ_t上q_m的下一个孔，令Ψ_t＝Ψ_t∪{q_m+}，v_r＝q_mq_m+，q_m＝q_m+，{q_u}＝{q_u}-{q_m+}，返回步骤2-4；否则，令v_r＝-R_d，并执行步骤S2-7；

S2-7，重复执行步骤S2-4和步骤S2-5；若计算{q_k}到q_m的距离，选取距离最短的孔q_m-作为当前行Ψ_t上q_m的上一个孔，取Ψ_t＝{q_m-}∪Ψ_t，并令v_r＝q_mq_m-，q_m＝q_m-，{q_u}＝{q_u}-{q_m-}，重复执行步骤2-7，直至/> 否则，执行步骤2-8；

S2-8，若计算{q_u}与Q的距离{d_u}，将最短距离对应点q_m作为行Ψ_t+1上的搜索起始点，取Ψ_t+1＝{q_m}，{q_u}＝{q_u}-{q_m}，行搜索方向v_r＝R_d，并返回步骤2-4，并用Ψ_t+1代替Ψ_t；否则，执行步骤2-9；

S2-9，取{Ψ_z}中各行的第一个孔，得到孔集合{q_t，0}，并令v_t＝q_t，0Q，其中，z表示总行数；

S2-10，计算沿方向C_d的有向距离{d_t|d_t＝v_t·C_d}，将{d_t}按照由小到大的顺序进行排序，则排序结果对应{Ψ_z}中的行即为列的排序结果。