CN116381594A - 基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化doa联合估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及极化敏感镜面反射阵列信号处理技术领域，具体的说是一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法，其特征在于，包括以下步骤：获取极化敏感镜面反射阵列接收信号，构建和‑差共阵，计算各偶极子的自协方差矩阵，处理得到各偶极子对应的虚拟阵输出，选取子阵，获得极化敏感虚拟子阵输出，构建极化敏感虚拟阵的协方差矩阵后使用空间平滑恢复秩，进行特征值分解，得到噪声子空间进行极化‑DOA联合估计，本发明所提的极化敏感镜面反射阵列极化‑DOA联合估计方法的空间角估计精度在不同信噪比下均高于拥有相同阵元数的传统非镜面阵列，并且信噪比较高时的估计精度与拥有与虚拟阵相同阵元数的传统阵列估计精度相近。

Description

基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计 方法

技术领域

本发明涉及极化敏感镜面反射阵列信号处理技术领域，具体的说是一种能够有效降低数据处理复杂度的基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法。

背景技术

极化-DOA联合估计致力于获取来波方向和极化信息，进而为辐射源定位、跟踪和识别提供依据，常常应用于通信、雷达、声呐等领域。以多重信号分类和旋转不变子空间为代表的子空间类算法的提出，实现了传统空间谱估计向超分辨测角的飞跃，但电磁环境逐渐复杂、信号形式多样复杂。当阵列间距小于半波长时，多重信号分类和旋转不变子空间等经典算法的性能均会大幅度下降，且当辐射源数量远大于接收阵列的阵元数，多重信号分类和旋转不变子空间等经典算法均会失效。

近十年来，有学者将二元干涉仪与劳氏反射镜干涉相结合，提出了镜像综合孔径技术，相较于传统综合孔径所用阵列，镜像综合孔径通过在传统阵列中加入反射面，形成镜面反射阵列，使每个阵元都可接收直接入射信号和经反射面反射的反射信号。两种信号的获得，使每对阵元都可获得和集合与差集合两种基线所对应的可视度函数，从而等效增加阵列的最大基线长度，使在镜像综合孔径中可使用更少的阵元数，达到与传统综合孔径相同的分辨率。

同时，现有应用于极化敏感镜面反射阵列的超分辨算法基于的是压缩感知技术，其计算复杂度较高，不利于工程实现。因此针对极化敏感镜面反射阵列研究一种复杂度较低的极化-DOA联合估计算法具有非常重要的研究意义。

发明内容：

本发明针对基于压缩感知技术的超分辨算法计算复杂度较高的问题，将空间平滑思想引入极化敏感镜面反射阵列，推导了极化虚拟阵的信号模型，进而提出了一种大大降低了计算复杂度，使得基于极化敏感镜面反射阵列的极化-DOA联合估计工程实现成为可能的基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法。

本发明通过以下措施达到：

一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：获取极化敏感镜面反射阵列接收信号，具体为：

考虑K个远场窄带信号入射到由N个三正交偶极子构成的极化敏感镜面反射阵列，N个三正交偶极子的位置为d＝[d₁,d₂,...,d_N]^T，其中d₁>0，由于存在反射面，每个偶极子将会同时接收直接入射信号和反射信号，则阵列接收信号为：

其中，X^d(t)为直接入射信号，X^r(t)为反射信号，S(t)＝[s₁,s₂,...,s_K]^T为信号矢量，N(t)为加性高斯白噪声，X^p(t)，p＝X,Y,Z为各偶极子的接收信号，A_M＝[a_M(θ₁,γ₁,η₁),...,a_M(θ_K,γ_K,η_K)]为极化敏感镜面反射阵列的阵列流形，a_M(θ_k,γ_k,η_k)为极化敏感镜面反射阵列的导向矢量，其可写为直接入射信号的导向矢量a_D(θ_k,γ_k,η_k)和反射信号的导向矢量a_R(θ_k,γ_k,η_k)之和：

式中，a_S(θ_k)＝[exp(j2π/λd₁sinθ_k),…,exp(j2π/λ·d_Nsinθ_k)],k＝1,…K为阵列空域导向矢量，

表示Kronecker乘，Ξ(θk_k)为三正交偶极子的空间响应矩阵：

化简后的镜面反射阵列导向矢量写为：

式中，ξ_p,p＝X,Y,Z为各偶极子的极化域导向矢量。d^p(θ_k),p＝X,Y,Z为各偶极子化简后的空域导向矢量：

为方便，下文以

代替/>

步骤2：构建和-差共阵，具体包括以下步骤：

步骤2-1：利用和集合{d_i+d_j}和差集合{d_i-d_j}获得和-差集合：

H＝{d_i+d_j}∪{d_i-d_j}

步骤2-2：为方便后续算法，去除和-差集合中的大量冗余元素与负值后即可得到具有Q个元素的和-差共阵，并且其中的元素代表虚拟阵元位置：

H'＝unique(H)

其中，unique(·)为去除元素中的重复元素与负值；

步骤3：计算各偶极子的自协方差矩阵，处理得到各偶极子对应的虚拟阵输出，具体包括以下步骤：

步骤3-1：计算各偶极子的自协方差矩阵

式中，(·)^H表示共轭转置，

表示N×N的附加噪声矩阵，R_ss＝E{S(t)S^H(t)}为信号协方差矩阵，协方差矩阵R^pp的第i行、第j列的元素/>

为：

式中，

为附加的噪声，b_i-b_j和b_i+b_j分别对应差互阵与和互阵，且当p＝X,Z时±取+，否则取-；

步骤3-2：向量化各偶极子的自协方差矩阵：

Z^pp＝vec(R^pp)

根据步骤3-1中协方差元素中差互阵与和互阵对应元素的线性关系，可将各偶极子自协方差矩阵的向量化也分为相同的两部分：

式中，

对应差互阵，/>

对应和互阵；

步骤3-3：由于向量化后的自协方差矩阵也存在差互阵与和互阵之间的线性关系，且差互阵与和互阵必与和-差互阵当中的元素对应，进而可得到各偶极子的虚拟阵输出：

z^p＝pinv(Pa_p)Z^pp,p＝X,Y,Z

式中，Pa_p,p＝X,Y,Z为反映线性关系的转换矩阵。当p≠Y时，Pa_p中任意一行只有|b_i-b_j|和|b_i-b_j|在H'中的位置索引上为1，其余元素均为0；当p＝Y时，任意一行在|b_i-b_j|的位置索引上为-1，在|b_i-b_j|的位置索引上为1，各偶极子的虚拟阵输出z^p可具体写为：

式中，H'(i),i＝1,…Q为H'中的第i个元素，

为虚拟阵阵列流行；

步骤4：选取子阵，获得极化敏感虚拟子阵输出，具体包括以下步骤：步骤4-1：扩展各偶极子的虚拟阵输出：

式中，

为z^pp去掉第一个元素后做上下翻转的数据矩阵；

此时

可当作扩展虚拟阵的输出，扩展虚拟阵为：

步骤4-2：在

中选取Q个重叠子阵，每个子阵有Q个元素。第i个子阵对应/>

中的第Q-i+1行到第2Q-1行，记为/>

然后合并各偶极子子阵，得到第i个极化敏感虚拟子阵的输出：

此时，第1个极化敏感虚拟子阵的导向矢量为：

式中，

为极化敏感虚拟阵的空域导向矢量；

步骤5：构建极化敏感虚拟阵的协方差矩阵后使用空间平滑恢复秩，包括：求得

所对应的协方差矩阵:

将所有子阵的协方差矩阵进行平均：

此时

为满秩的协方差矩阵，即可进行特征值分解，选出噪声子空间：步骤6：进行特征值分解，得到噪声子空间进行极化-DOA联合估计，包括以下步骤：

步骤6-1：对满秩的虚拟阵的协方差矩阵进行特征值分解：

其中，U表示特征空间，Σ表示特征值，U_s表示信号子空间，U_n表示噪声子空间，Σ_s表示信号子空间所对应的特征值Σ_n表示噪声子空间所对应的特征值，利用两个子空间的正交性，构造搜索函数进行极化-DOA联合估计；

步骤6-2：结合秩亏损原理剥离空域参数和极化域参数，构建仅含空域参数的谱函数：

即可通过搜索f_θ(θ)的极大值获得信号的空域参数，其中f_θ(θ)的Q个极大值所对应的θ为信号的来波方向；

得到信号的来波方向

后，将其代入下式再次进行搜索，Q个极大值对应的坐标即为信号的极化辅角：

本发明所提的极化敏感镜面反射阵列极化-DOA联合估计方法的空间角估计精度在不同信噪比下均高于拥有相同阵元数的传统非镜面阵列，并且信噪比较高时的估计精度与拥有与虚拟阵相同阵元数的传统阵列估计精度相近，可以证明本发明所提方法利用镜面反射阵列的特性进行阵列孔径扩展后，达到与传统非镜面阵列相同空间角估计精度的同时使用了更少的阵元数，与现有技术相比，能够降低信号处理复杂度并保证系统精度。

附图说明：

附图1为本发明的流程图。

附图2为阵列间距等于半波长，在极化敏感镜面反射阵列下使用本发明与传统非镜面极化敏感阵列下使用秩亏损降维MUISC算法的谱峰功能对比图，其中2(a)为空间角谱峰图，图2(b)为极化辅角谱峰图。

附图3为阵列间距小于半波长，在极化敏感镜面反射阵列下使用本发明与传统非镜面极化敏感阵列下使用秩亏损降维MUISC算法的谱峰功能对比图，其中图3(a)为空间角谱峰图，图3(b)为极化辅角谱峰图。

附图4为阵列间距等于半波长，在极化敏感镜面反射阵列下使用本发明别和传统非镜面极化敏感阵列下使用秩亏损降维MUISC算法的各参数估计均方根误差(Root MeanSquare Error,RSME)随信噪比变化的性能对比图，其中图4(a)为空间角RSME，图4(b)为极化辅角RSME。

具体实施方式：

下面结合附图和实施例，对本发明做进一步的说明。

如附图1所示，本发明提出了一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化-DOA联合估计方法，具体步骤如下：

第一步，获取极化敏感镜面反射阵列接收信号，所述第一步包括以下步骤：

步骤1-1：考虑K个远场窄带信号入射到由N个三正交偶极子构成的极化敏感镜面反射阵列，N个三正交偶极子的位置为d＝[d₁,d₂,...,d_N]^T，其中d₁>0。由于存在反射面，每个偶极子将会同时接收直接入射信号和反射信号，则阵列接收信号为：

其中，X^d(t)为直接入射信号，X^r(t)为反射信号，S(t)＝[s₁,s₂,...,s_K]^T为信号矢量，N(t)为加性高斯白噪声，X^p(t)，p＝X,Y,Z为各偶极子的接收信号，A_M＝[a_M(θ₁,γ₁,η₁),...,a_M(θ_K,γ_K,η_K)]为极化敏感镜面反射阵列的阵列流形。a_M(θ_k,γ_k,η_k)为极化敏感镜面反射阵列的导向矢量，其可写为直接入射信号的导向矢量a_D(θ_k,γ_k,η_k)和反射信号的导向矢量a_R(θ_k,γ_k,η_k)之和：

式中，a_S(θ_k)＝[exp(j2π/λ·d₁sinθ_k),…,exp(j2π/λd_Nsinθ_k)],k＝1,…K为阵列空域导向矢量，

表示Kronecker乘。Ξ(θ_k)为三正交偶极子的空间响应矩阵：

进而，化简后的镜面反射阵列导向矢量可写为：

式中，ξ_p,p＝X,Y,Z为各偶极子的极化域导向矢量。d^p(θ_k),p＝X,Y,Z为各偶极子化简后的空域导向矢量：

为方便，下文以

代替/>

第二步，构建和-差共阵，所述第二步包括以下步骤：

步骤2-1：利用和集合{d_i+d_j}和差集合{d_i-d_j}获得和-差集合：

H＝{d_i+d_j}∪{d_i-d_j}

步骤2-2：为方便后续算法，去除和-差集合中的大量冗余元素与负值后即可得到具有Q个元素的和-差共阵，并且其中的元素代表虚拟阵元位置：

H'＝unique(H)

其中，unique(·)为去除元素中的重复元素与负值。

第三步，计算各偶极子的自协方差矩阵，处理得到各偶极子对应的虚拟阵输出，所述第三步包括以下步骤：

步骤3-1：计算各偶极子的自协方差矩阵

式中，(·)^H表示共轭转置，

表示N×N的附加噪声矩阵，R_ss＝E{S(t)S^H(t)}为信号协方差矩阵。协方差矩阵R^pp的第i行、第j列的元素/>

为：

式中，

为附加的噪声，b_i-b_j和b_i+b_j分别对应差互阵与和互阵，且当p＝X,Z时±取+，否则取-。

步骤3-2：向量化各偶极子的自协方差矩阵：

Z^pp＝vec(R^pp)

根据步骤3-1中协方差元素中差互阵与和互阵对应元素的线性关系，可将各偶极子自协方差矩阵的向量化也分为相同的两部分：

式中，

对应差互阵，/>

对应和互阵。

步骤3-3：由于向量化后的自协方差矩阵也存在差互阵与和互阵之间的线性关系，且差互阵与和互阵必与和-差互阵当中的元素对应，进而可得到各偶极子的虚拟阵输出：

z^p＝pinv(Pa_p)Z^pp,p＝X,Y,Z

式中，Pa_p,p＝X,Y,Z为反映线性关系的转换矩阵。当p≠Y时，Pa_p中任意一行只有|b_i-b_j|和|b_i-b_j|在H'中的位置索引上为1，其余元素均为0；当p＝Y时，任意一行在|b_i-b_j|的位置索引上为-1，在|b_i-b_j|的位置索引上为1。各偶极子的虚拟阵输出z^p可具体写为：

式中，H'(i),i＝1,…Q为H'中的第i个元素，

为虚拟阵阵列流行。

第四步，选取子阵，获得极化敏感虚拟子阵输出，所述第四步包括以下步骤：

步骤4-1：扩展各偶极子的虚拟阵输出：

式中，

为z^pp去掉第一个元素后做上下翻转的数据矩阵。

此时

可当作扩展虚拟阵的输出，扩展虚拟阵为：

步骤4-2：在

中选取Q个重叠子阵，每个子阵有Q个元素。第i个子阵对应/>

中的第Q-i+1行到第2Q-1行，记为/>

然后合并各偶极子子阵，得到第i个极化敏感虚拟子阵的输出：

此时，第1个极化敏感虚拟子阵的导向矢量为：

式中，

为极化敏感虚拟阵的空域导向矢量。

第五步，构建极化敏感虚拟阵的协方差矩阵后使用空间平滑恢复秩，所述第五步包括以下步骤：

步骤5-1：求得

所对应的协方差矩阵:

将所有子阵的协方差矩阵进行平均：

此时

为满秩的协方差矩阵，即可进行特征值分解，选出噪声子空间：

第六步，进行特征值分解得到噪声子空间进行极化-DOA联合估计，所述第六步包括以下步骤：

步骤6-1：对满秩的虚拟阵的协方差矩阵进行特征值分解：

其中，U表示特征空间，Σ表示特征值，U_s表示信号子空间，U_n表示噪声子空间，Σ_s表示信号子空间所对应的特征值Σ_n表示噪声子空间所对应的特征值。利用两个子空间的正交性，构造搜索函数进行极化-DOA联合估计。

步骤6-2：结合秩亏损原理剥离空域参数和极化域参数，构建仅含空域参数的谱函数：

即可通过搜索f_θ(θ)的极大值获得信号的空域参数，其中f_θ(θ)的Q个极大值所对应的θ为信号的来波方向。

得到信号的来波方向

后，将其代入下式再次进行搜索，Q个极大值对应的坐标即为信号的极化辅角：

实施例：

本发明的性能可通过以下仿真说明：

1.仿真条件：

仿真1：镜面反射阵列由12个双正交偶极子构成，传统阵列分别有12和25个双正交偶极子，布阵形式均为均匀线阵，阵元间距均为6GHZ半波长，即25mm；快拍数为200，信噪比为13dB，两个信号的中心频率均为6GHZ，入射角度分别为40°和41°，极化信息分别为(γ₁,η₁)＝(20°,0°)和(γ₁,η₁)＝(25°,0°)，在镜面反射阵列下使用本发明所提方法，在传统阵列下使用秩亏损降维MUSIC算法，功能仿真结果如图2所示。

仿真2：镜面反射阵列由12个双正交偶极子构成，传统阵列分别有12和25个双正交偶极子，布阵形式均为均匀线阵，阵元间距均为6GHZ半波长，即25mm；快拍数为200，信噪比为13dB，两个信号的中心频率均为2GHZ，入射角度分别为40°和45°，极化信息分别为(γ₁,η₁)＝(20°,0°)和(γ₁,η₁)＝(25°,0°)，在镜面反射阵列下使用本发明所提方法，在传统阵列下使用秩亏损降维MUSIC算法，功能仿真结果如图3所示。

仿真3：镜面反射阵列由12个双正交偶极子构成，传统阵列分别有12和25个双正交偶极子，布阵形式均为均匀线阵，阵元间距均为6GHZ半波长，即25mm；快拍数为200，信噪比以3dB为步长，从0dB变化至21dB，两个信号的中心频率均为6GHZ，入射角度分别为40°和45°，极化信息分别为(γ₁,η₁)＝(20°,0°)和(γ₁,η₁)＝(25°,0°)，在镜面反射阵列下使用本发明所提方法，在传统阵列下使用秩亏损降维MUSIC算法，分别进行500次蒙特卡洛实验，将各参数估计的RSME作为评价指标，仿真结果如图4所示。

2.仿真结果

由图2(a)可看出，当阵元间距等于半波长时，且两个目标间隔为1°，拥有12个阵元和25个阵元的传统阵列均无法分辨两个目标，但在镜面阵列下使用本发明所提方法依然可得到两个谱峰，可证明本发明所提方法可以实现对相近目标的有效分辨，并且效果要优于两倍阵元数的传统非镜面阵列，且由图2(b)可看出本发明也可正确估计出两目标的极化辅角。

由图3(a)可看出，当阵元间距小于半波长时，拥有12个阵元和25个阵元的传统阵列均无法分辨两个角度间隔为5°的目标，但在镜面阵列下使用本发明所提方法依然可得到两个谱峰，可证明本发明所提方法可以实现阵列孔径不足时对目标的有效分辨，同时可正确估计出目标的极化辅角，如图3(b)。

由图4(a)可看出，在不同信噪比下本发明所提的极化敏感镜面反射阵列极化-DOA联合估计方法的空间角估计精度均高于拥有相同阵元数的传统非镜面阵列，并且信噪比较高时的估计精度与拥有与虚拟阵相同阵元数的传统阵列估计精度相近，可以证明本发明所提方法利用镜面反射阵列的特性进行阵列孔径扩展后，达到与传统非镜面阵列相同空间角估计精度的同时使用了更少的阵元数。但如图4(b)所示的极化辅角性能曲线可看出，本发明所提方法的极化参数估计精度要劣于传统非镜面阵列，仅在信噪比较高时与相同阵元数的传统非镜面阵列估计精度相近。

Claims (3)

1.一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：获取极化敏感镜面反射阵列接收信号，具体为：

考虑K个远场窄带信号入射到由N个三正交偶极子构成的极化敏感镜面反射阵列，N个三正交偶极子的位置为d＝[d₁，d₂，...，d_N]^T，其中d₁＞0，由于存在反射面，每个偶极子将会同时接收直接入射信号和反射信号，则阵列接收信号为：

其中，X^d(t)为直接入射信号，X^r(t)为反射信号，S(t)＝[s₁，s₂，...，s_K]^T为信号矢量，N(t)为加性高斯白噪声，X^p(t)，p＝X，Y，Z为各偶极子的接收信号，A_M＝[a_M(θ₁，γ₁，η₁)，...，a_M(θ_K，γ_K，η_K)]为极化敏感镜面反射阵列的阵列流形，a_M(θ_k，γ_k，η_k)为极化敏感镜面反射阵列的导向矢量，其可写为直接入射信号的导向矢量a_D(θ_k，γ_k，η_k)和反射信号的导向矢量a_R(θ_k，γ_k，η_k)之和：

式中，a_S(θ_k)＝[exp(j2π/λ.d₁sinθ_k)，…，exp(j2π/λ.d_Nsinθ_k)]，k＝1，…K为阵列空域导向矢量，

表示Kronecker乘，Ξ(θ_k)为三正交偶极子的空间响应矩阵：

化简后的镜面反射阵列导向矢量写为：

式中，ξ_p，p＝X，Y，Z为各偶极子的极化域导向矢量。d^p(θ_k)，p＝X，Y，Z为各偶极子化简后的空域导向矢量：

为方便，下文以

代替/>

步骤2：构建和一差共阵，具体包括以下步骤：

步骤2-1：利用和集合{d_i+d_j}和差集合{d_i-d_j}获得和-差集合：

H＝{d_i+d_j}∪{d_i-d_j}

步骤2-2：为方便后续算法，去除和-差集合中的大量冗余元素与负值后即可得到具有Q个元素的和-差共阵，并且其中的元素代表虚拟阵元位置：

H′＝unique(H)

其中，unique(·)为去除元素中的重复元素与负值；

步骤3：计算各偶极子的自协方差矩阵，处理得到各偶极子对应的虚拟阵输出，具体包括以下步骤：

步骤3-1：计算各偶极子的自协方差矩阵

式中，(.)^H表示共轭转置，

表示N×N的附加噪声矩阵，R_ss＝E{S(t)S^H(t)}为信号协方差矩阵，协方差矩阵R^pp的第i行、第j列的元素/>

为：

式中，

为附加的噪声，b_i-b_j和b_i+b_j分别对应差互阵与和互阵，且当p＝X，Z时±取+，否则取-；

步骤3-2：向量化各偶极子的自协方差矩阵：

Z^pp＝vec(R^pp)

根据步骤3-1中协方差元素中差互阵与和互阵对应元素的线性关系，可将各偶极子自协方差矩阵的向量化也分为相同的两部分：

式中，

对应差互阵，/>

对应和互阵；

步骤3-3：由于向量化后的自协方差矩阵也存在差互阵与和互阵之间的线性关系，且差互阵与和互阵必与和-差互阵当中的元素对应，进而可得到各偶极子的虚拟阵输出：

z^p＝pinv(Pa_p)Z^pp，p＝X，Y，Z

式中，Pa_p，p＝X，Y，Z为反映线性关系的转换矩阵。当p≠Y时，Pa_p中任意一行只有|b_i-b_j|和|b_i-b_j|在H′中的位置索引上为1，其余元素均为0；当p＝Y时，任意一行在|b_i-b_j|的位置索引上为-1，在|b_i-b_j|的位置索引上为1，各偶极子的虚拟阵输出z^p可具体写为：

式中，H′(i)，i＝1，…Q为H′中的第i个元素，

为虚拟阵阵列流行；

步骤4：选取子阵，获得极化敏感虚拟子阵输出；

步骤5：构建极化敏感虚拟阵的协方差矩阵后使用空间平滑恢复秩，包括：求得

所对应的协方差矩阵：

将所有子阵的协方差矩阵进行平均：

此时

为满秩的协方差矩阵，即可进行特征值分解，选出噪声子空间；

步骤6：进行特征值分解，得到噪声子空间进行极化-DOA联合估计。

2.根据权利要求1所述的一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法，其特征在于，步骤4具体包括以下步骤：

步骤4-1：扩展各偶极子的虚拟阵输出：

式中，

为z^pp去掉第一个元素后做上下翻转的数据矩阵；

此时

可当作扩展虚拟阵的输出，扩展虚拟阵为：

步骤4-2：在

中选取Q个重叠子阵，每个子阵有Q个元素。第i个子阵对应/>

中的第Q-i+1行到第2Q-1行，记为/>

然后合并各偶极子子阵，得到第i个极化敏感虚拟子阵的输出：

此时，第1个极化敏感虚拟子阵的导向矢量为：

式中，

为极化敏感虚拟阵的空域导向矢量。

3.根据权利要求1所述的一种基于空间平滑的极化敏感镜面反射阵列极化DOA联合估计方法，其特征在于，步骤6包括以下步骤：

步骤6-1：对满秩的虚拟阵的协方差矩阵进行特征值分解：

其中，U表示特征空间，Σ表示特征值，U_s表示信号子空间，U_n表示噪声子空间，Σ_s表示信号子空间所对应的特征值Σ_n表示噪声子空间所对应的特征值，利用两个子空间的正交性，构造搜索函数进行极化-DOA联合估计；

步骤6-2：结合秩亏损原理剥离空域参数和极化域参数，构建仅含空域参数的谱函数：

即可通过搜索f_θ(θ)的极大值获得信号的空域参数，其中f_θ(θ)的Q个极大值所对应的θ为信号的来波方向；

得到信号的来波方向

后，将其代入下式再次进行搜索，Q个极大值对应的坐标即为信号的极化辅角：

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