CN1163788C - 量子计算的光学方法 - Google Patents

Abstract

一种利用非线性效应构建量子门的量子计算的光学方法。其中成对原子交换两个光子的非局域相互作用产生大的非线性相移。这些非线性相移被用于构建量子逻辑门，诸如受控“非”门。

Description

量子计算的光学方法

                 对相关申请的相互参考

本申请要求了1998年4月24日提出的序列号为：No.60/082,983的美国临时申请的优先权。

                      政府权益的声明

本发明是在由海军部、国家保密局和陆军部分别授予的合同号为NO0014-91-J-1485、MDA904-95-G-0363/5007和DAAG55-98-1-0368的合同下，由政府支持进行的。

                 与本发明有关的背景技术

本发明涉及量子计算，更具体地说，本发明涉及一种用于构建量子计算机的新颖光学方法。

由于完成计算所需要的时间，所以许多种数字问题靠使用普通计算机不能解决。例如，普遍认为N位整数的阶乘所要求的计算时间以N的指数增长。利用当前可用的、最快的超级计算机计算一个150位数的阶乘所需的时间估计比宇宙的年龄还长。很明显，进一步提高普通计算机的速度也不足以解决此类问题，而此类问题常常具有相当重要的实际意义。例如，对大数进行阶乘的困难构成了密码术的最常用方法的基础。

很明显，量子原理计算机可以使用非传统逻辑运算以提供解决此类特定问题(包括阶乘大数)的有效方法。作为非传统逻辑函数的一个例子，研究传统的“非”运算，“非”运算可以简单地将单一位由0变换为1或由1变换为0。除了通常的“非”运算之外，量子计算机还可以实现一种通称为“非”平方根的新型逻辑运算。当进行两次此运算(被平方)时，就产生通常的“非”，但是如果只进行一次此运算，它给出一种具有非传统意义的逻辑运算。

除了执行非传统逻辑运算之外，量子计算机还可以在单个处理器上同时完成大量不同的计算，这对于传统计算机显然是不可能的。量子平行性是量子计算机具有高性能的主要原因。

单独的量子逻辑门运算已得到证明，但尚未建成可运算的量子计算机。与当前的半导体技术类似，最终目标是在单一基底上生产大量量子逻辑门，量子逻辑门会使实用化的量子计算机得到发展。

量子计算机将使用二进制表示数字，这与传统计算机相同。通常被称为库比特(qubits)的独立的量子位，实际上由量子系统的状态表示。例如，可以用某个原子的基态代表数值0，而同一个原子的激发态代表数值1。在本发明对量子计算的光学方法中，在给定路径中的一个单光子代表0，同一个光子在不同的路径中代表1。

虽然传统的位具有意义明确的数值，但是库比特(qubits)常常具有处于代表0和1两种状态中任一状态的某种几率。习惯上由|ψ>表示量子系统的一般状态，并且我们让|0>和|1>分别代表对应于数值0和数值1的状态。量子力学允许这两种状态进行叠加，由下式给出：

|ψ>＝α|0>+β|1>其中α和β为复数。发现系统处于|0>状态的几率为α²，系统处于|1>状态的几率为β²。

量子力学的这种叠加本质上是不同于经典几率的，因为在任一给定时刻均不能认为此系统仅处于某一种状态。例如，如图1所示，研究一个通过干涉仪的单光子，在两条路径中分别插入相移φ₁和相移φ₂。分束器给出了光子在上部路径传输或下部路径传输的50％的几率。如果为确定此光子所处的位置而进行测量，将在两条路径的仅一条路径中找到此光子。但是如果不进行这种测量，则由于所观察到的干涉图依赖于两个相位的差，所以单个光子能以某种方式同时测量相移φ₁和相移φ₂。如果进行测量不是为了确定光子的位置，这表明在某种意义上一个光子必须同时位于两条路径上。在具有多条路径的更复杂的干涉仪中，即使一个单光子可能仅在一条路径中被检测到，一个单光子也可以同时测量所有路径中的各相移的线性组合。

量子计算机同时进行多个计算的能力与刚才描述的单光子干涉仪的特性相类似。即使为了准确确定量子计算机正在做什么而进行的测量显示出量子计算机仅被编程以完成某个特定的计算，量子计算机也可以提供根据已完成的大量计算而获得的结果。为了对此例示说明，研究编程的计算机以便根据N位二进制输入的数值完成特定计算，并假设其结果可以由N位二进制输出描述，如图2所示。存在2^N个不同组合的二进制输入，其每个对应于一个由|input_j>表示的特定输入状态，其中j代表由1到2^N的所有值。同等个数的二进制输出的特定组合由|output_k>表示。每个输入状态可以产生可能输出状态的叠加，

$|{\mathrm{input}}_j\⟩\→\underset{k=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{jk}}|{\mathrm{output}}_k\⟩$

其中复系数β_jk表示所执行的计算。此外，输入状态可以是对量子计算机的所有可能输入的叠加：

$|\mathrm{input}\⟩=\underset{j=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j|{\mathrm{input}}_j\⟩.$ P_u＝|∑|²

那么，量子力学的线性给出输出状态的形式为：

$|\mathrm{output}\⟩=\underset{j=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{\mathrm{jk}}|{\mathrm{output}}_k\⟩.$

然后，通过对前面等式中其系数进行平方给出所得到的特定输出状态k的几率P_k：

$P_k=u\underset{j=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{b}_{\mathrm{jk}}{u}^2$

可以看到，获得特定输出的几率依赖于所有系数β_jk，它代表量子计算机上所有可能的计算结果。该结果还依赖于所有可能的输入之间的干涉，如果所有的输入状态相互之间为同相位，则P_k为大数。反之，如果所有初始状态的位相贡献互相抵消，则P_k为小数。量子计算的目标是对计算机进行编程，使得所要求的结果能以高几率出现，而不正确的结果以可忽略的几率出现。

为了阐明此种叠加态的有用性，假定我们要计算数Q

$Q=\underset{j=1}{\overset{2^N}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{\mathrm{ij}}f\left(j\right)$

其中f(j)是j的高阶非线性函数。数量Q对应于函数f对计算机的所有可能输入的加权平均值，这是一种傅立叶变换。通过对计算机本身进行编程来计算f(j)并通过叠加与所要求的加权平均值对应的输入状态，可以在量子计算机上实现此种计算。

已经显示出量子计算机可以用于有效阶乘大数，这正是当前量子计算非常令人感兴趣的原因。这种算法包括使用干涉作用以保证具有高几率的计算机输出对应于所要求的系数之一。

实现量子计算机的任何实用功能将可能要求使用模块方法，在模块中许多分立的逻辑门可以使用传统计算机线路的等效物进行连接。在量子状态中纠正错误产生的能力，被称为去相干，也是属基本问题。利用势阱中离子的核自旋已对独立量子门进行了实验说明。然而，这种方法不属于模块方法，并且信息从一个离子传递到另一个离子的过程很复杂。

量子计算的光学方法似乎提供了许多实用的优点。所有的量子计算机均固有地依赖于干涉效应并必须保持适当相位。在当前的许多应用中均广泛使用了光干涉仪，这是因为它们的相位相对稳定并可以利用反馈技术进行控制。基于带电粒子(如：电子)的光干涉仪确实存在，但是它对杂散电磁场很敏感。此外，当需要进行要求的逻辑运算时，光导纤维或波导管可以被很好地用于连接光量子门。为了这样或那样的原因，构建量子计算机的最现实方法或许是基于光学器件的使用。

这种光学方法的主要困难在于这种方法的非线性效应通常要求高强度电场，而与一个单光子相关的电场通常很弱。然而，一个单光子产生的电场与它所占用的体积的平方根成反比，因此将光子限制在足够小的体积内就能够产生高达10,000V/m的电场。已对这种方法在双光子能级的非线性相移进行了实验说明，但是该方法涉及使用极高质量的反射镜、原子束以及接近介质中原子共振频率的运算，它们对于构建实用的量子计算机均不现实。

                     本发明概述

如图3所示，最近已证明通过对受控的“非”(XOR)门进行足够次数的组合，利用容易实现的、附加的单一位运算，就可以完成任何逻辑运算和数值计算。受控的“非”门有两个输入位：A和B。输入A总是无改变地被转换为输出，而当且仅当输入A＝1，则输入B被倒置(反转)。因此，输入A可以控制输入B的变化。开发实用的受控“非”门是构建量子计算机的第一步。

使用如图4所示的光学装置可以实现受控“非”门。此处，如果在虚线表示的路径中只一个单光子，则二进制位A的值为1，而如果该光子在实线表示的路径中则二进制位A的值为0。可以用同样的方法利用第二个光子来表示输入B。这两个光子具有不同的频率ω1和ω2，可以对它们进行区分。光子B的两条路径由分束器进行合并以形成干涉仪，干涉仪的一条臂通过非线性介质。光子B经受的相移依赖于介质的折射率，反过来折射率依赖于该位置的电场强度(克尔效应)。如果此时光子A同时通过介质，则其电场会引入附加的π相移，此π相移会改变光子B必须通过的输出路径。结果是光子A可以控制光子B的路径。

本发明方法基于一种将大大提高这些种类的非线性相移的新物理效应。早期的非线性机制涉及独立原子的两个光子的相互作用，此相互作用产生的相移与介质中的原子数N_A成正比。新的机制涉及成对原子的两个光子的相互作用，因为N_A ²是介质中的原子对的数目，此相互作用产生相移与N_A ²成正比。如图5所示，所提出的机制包括由原子A吸收光子1并发射光子2，随后由原子B吸收光子2并发射光子1。(量子力学系统的能量对于短时间间隔是不确定的，并且在此过程的中间步骤不需要被保存)。在系统的能量中，由一对原子进行的光子交换不产生净效应而是导致相移，由此产生所要求的相移。

对于大数值的N_A，此新机制会在两个光子能级上产生更大的相移。这反过来降低了对其它设计的要求，诸如对高质量反射镜或原子束的要求。因此，该方法最终希望能够在一个单基底上构建大量量子门，采用光波导管以实现必要的逻辑连接。

本发明超过其它技术的主要优点为：

·独立的逻辑门；

·利用光纤或光波导管，能够在独立的逻辑门之间进行连接；

·由于能够在大的频率失调下进行运算，所以误码率低(去相干)；

·与半导体技术类似，具有利用光波导管和微制造技术在单一基底上制造大量逻辑装置的潜在能力；

·由于信息以光速进行传播，所以逻辑运算速度高；以及

·对色散效应的补偿。

这些优点的结果是，预期本发明方法将提供按比例放大为实用的量子计算机的实际可行的方法。进而，在此披露的该方法还可以被应用于传统光学数据处理，即上述光学方法可以被用于建立标准计算机以提高速度并减少各部件的发热量。

                    附图的简要说明

图1示出一个单光子通过干涉仪。即使总是仅在一条路径中找到该光子，此光子仍可以同时测量两条路径中的相移。

图2示出具有N位输入和N位输出的通用量子计算机。不同输入态和输出态的叠加使量子计算机能有效同时执行不同计算。

图3示出可以形成量子计算机的基本逻辑单元的受控“非”(XOR)门，当且仅当二进制位A为1时，二进制位B反转。

图4示出根据干涉仪一条臂中的非线性折射率，从光学上实现受控“非”门；

图5示出在双光子能级提高非线性相移的预期机理。在交换相互作用中，原子A吸收光子1同时从其基态跃迁到其激发态，此后它再发出光子2。原子B以相反的顺序吸收和发出这两个光子。两个光子的这种交换作用产生非线性相移。由于不要求这两个光子与同一原子相互作用，所以预期这种机理使得单光子强度方面会相对较强。

图6示出产生非线性相移的传统机理(克尔效应)，其中如果存在一个ω₁频率的光子产生从能级|1>到能级|2>的有效跃迁，原子能级|2>和能级|3>之间的有效跃迁将对ω₂频率的光子产生相移。与单光子能级的情况不同，此种机理要求两个光子与同一原子相互作用。

图7包括图7(a)和图7(b)，分别示出了两个光子通过一种诸如原子蒸汽单元的光学介质的情况和相同的两个光子通过两种分离介质的情况。非线性相移等于两种情况的相位差，交换相互作用对该相位差的影响很大。

图8示出激发的原子A和原子B所处的有效态，并且此有效态可以由两种方法产生：光子1激发原子A之后，光子2激发原子B，或者光子1激发原子B之后，光子2激发原子A。在这两个几率振幅之间的相长干涉可以使两个受激原子的几率提高一个为2的系数。

图9包括图9(a)和图9(b)，它们分别示出原子介质，其密度ρ为位置z的缓变函数并且足够薄(δkδz＜＜π/2，其中δz为厚度)；以及周期介质，满足条件δkΔz＜＜2pπ，其中Δz为周期，p为整数。在其任一情况下，在图8所示的几率振幅之间存在相长干涉。

图10示出从能级2和能级3之间的跃迁解调的激光脉冲的应用情况，它可用于在能级2上产生斯塔克(Stark)偏移以及该态的相应相移。

图11示出激光诱导激发过程，其中光子1或光子2与能级3非共振，但是应用激光脉冲使得它们共振跃迁进入能级2。

图12示出产生非线性相移π的五个脉冲序列。(a)脉冲1产生从初始态|γ₁，γ₂>到只存在光子1的态|γ₁>的跃迁。(b)当光子位于两种不同的介质时，脉冲2无净效应；但是当两个光子位于同一介质时，脉冲2引起态|γ₁>和态|0>叠加。(c)当两个光子位于同一介质时，脉冲3引起状态|γ₁>中的相移。(d)脉冲4使系统返回状态|γ₁>。(e)最后一个脉冲使系统返回其与相对相移π无关的初始状态。

图13包括图13(a)和图13(b)，它们示出两个光子在同一个介质中传播时，作为时间函数的态|0>的几率振幅的实部R的曲线图；该曲线图说明了五个脉冲序列的作用。图13(a)示出脉冲2的作用，它引起状态状态|γ₁>和状态|0>叠加，图13(b)示出脉冲4的作用，脉冲4的作用与脉冲2相反，并使系统返回与受脉冲3控制的相移无关的状态|γ₁>。

图14示出两个光子在同一介质传播时，作为脉冲3的结果的、态|γ₁>几率振幅的实部和虚部。虚线圆半径代表脉冲发出之前态|γ₁>几率振幅的幅值，而向量代表当脉冲部分地将态|γ₁>耦合到态|0>后几率振幅的单独作用。向量b代表部分地被脉冲耦合到态|γ₁>的态|0>的初始几率振幅的作用。可以对脉冲的相位和失谐进行调整使得合成向量位于虚线圆上的任何位置，这就产生了随机相移。

图15包括图15(a)和15(b)，它们分别示出两种传统系统S₁和系统S₂，通过一系列可以包括一个或多个标注为A的辅助系统的物理相互作用将系统S₁和系统S₂连接，并且通过一系列物理相互作用使传统系统S₁和系统S₂不连接。在后一种情况不存在信息流动的路径并且不能进行传统的控制过程。

图16示出提供传统相移的受控“非”门的实现过程。

图17示出两个光子借助它们在薄晶体中的重叠消失区域在光导纤维中相互作用的情况。此机理可以被用于产生控制量子逻辑门所要求的非线性相移。

图18示出作用于两个具有相同频率的光子A和B的受控“非”门。使用不同频率的随机库比特(qubits)并将该库比特(qubits)返回其初始态0。

图19示出两位的加法器电路。

图20示出含有两个具有光电开关的光导纤维回路的存储器装置。

图21示出采用反馈来最小化相位误差的作用。

                本发明详细说明

非线性光学效应通常要求含有许多光子的高强度光束。大体上讲，这是因为与单光子有关的电场很弱，使得该光子与另一个粒子之间的物理相互作用相应较小。解决此困难的一个方法是将两个光子限制在一个具有高Q因数的小空腔内，这样就提高了电场的场强并增加了相互作用时间。尽管以此方法说明了双光子能级上的非线性相移，但是要求高Q空腔和原子势阱的复杂性限制了这种技术在构建含有大量库比特(qubits)的实用量子计算机时的实际价值。

即使在两个全同的粒子之间不存在相互作用，波函数在其交换作用下为对称的或反对称的要求也可以使粒子之间产生相斥或相吸的明显趋势，最简单的实例是光子聚束的情况。此时，由于在两个粒子之间不存在实际作用力，所以不存在真实的相吸或相斥，但是在许多情况下，净效应与存在相吸和相斥时的效应相同。交换相互作用在许多系统中具有主要影响，在这些系统中会要求相对强的物理作用力以产生等效效应，在中子星中就是这样。

大量的交换相互作用表明，有可能这样构建光量子逻辑门，使所要求的非线性相互作用由交换相互作用产生而不是由比较弱的光子的物理相互作用产生。如下所述，与光子聚束类似，当两个非共振的光子通过同一介质传播时在介质中存在两个有效激发的原子的几率比这两个光子通过两个分立介质时在介质中存在两个有效激发的原子的几率高两倍。通过施加序列激光脉冲，可以利用原子激发态的粒子集居数的这种差别在原子的激发态产生相移。由于激光脉冲的作用依赖于激发态的粒子集居数，所以当两个光子位于同一个介质时获得的相移与它们在两种分立的介质中传播获得的相移不同，这对应于非线性作用。如同附录之一所述，我们还研究了其它几种似乎比较低效的方法，包括早期提出的利用与缓冲气体碰撞而非利用激光脉冲的建议。

研究通过诸如原子蒸气包此类介质的非共振光子与该介质内原子的相互作用几率，就能理解利用传统方法在双光子能级获得非线性相互作用的困难。通过在介质内增加原子数，可以使此几率接近1，但是两个光子与此介质中同一个原子相互作用的几率通常很低。例如，如果该介质含有10¹⁰个原子并且相互作用的总几率为1数量级，则两个光子与同一个原子相互作用的几率为10^-10数量级。因此，任何一种要求两个光子与同一个原子相互作用的非线性光学处理过程应该被忽略。相反，此处感兴趣的交换相互作用包含成对原子，并且不要求两个光子与同一个原子相互作用。

作为实例，图6例示说明了产生非线性相移的传统过程(克耳效应)。具有频率ω₁和频率ω₂的两个光子与三个能级的原子相互作用。光子2的频率比较接近于原子在能级2与能级3之间的跃迁频率，因此吸收光子2的有效跃迁以及随后的再发射会使此频率的光子产生相移。只有光子1先被原子吸收，此类有效跃迁才能发生，因为不这样原子在室温下将处于基态而非能级2。其净结果是光子1的存在或缺少可以控制光子2的相移。这就要求光子1和光子2与同一个原子相互作用，这在单光子强度时是不可能的，其结果是这种传统机理通常对于单光子强度没有意义。就我们所知，以低光强产生非线性相移的所有现有技术均要求两个光子与同一原子相互作用。基于信息流的传统争议暗示情况必定总是这样的，以下将作更详细的讨论。

我们关心两个光子与介质中两个不同的原子(如图5中A和B所标注的)相互作用的过程。在此有效过程中，原子A吸收光子1并发出光子2，而原子B吸收光子2并发出光子1。例如，两个光子的这种交换将产生可以利用微扰理论计算的能量转移，这反过来又将使系统的综合相位产生相移。如果在介质中的原子数目N以足够大使得各光子被原子吸收的几率接近1，那么可以预期这种过程的几率幅也为1数量级。由于原子对的数目成正于N²，所以预期的非线性相移在弱耦合的限制下也将与N²成正比，而两个光子与同一个原子相互作用的传统机理给出的非线性相移与N成正比。然而，前面我们已经说明，除非以某种方式微扰系统，诸如用缓冲气碰撞，否则由这种方法的费因曼图(Feynman diagram)得出的各种贡献相互抵消并且不产生净效应。更详细的计算接着表明，将缓冲蒸气用于此目的强烈依赖于碰撞过程的性质以及碰撞的随机性不会导致不良相位噪声。

利用激光脉冲微扰原子激发态可以解决与碰撞的应用有关的困难，并且本专利的剩余部分将集中说明此方法。如图7(a)所示，或许理解此机理的最简单方法是研究几率P₂，即当两个非共振的光子通过同一个介质时两个原子同时处于有效激发态的几率。如图7(b)所示，以下我们说明，两个光子通过相同的介质时的P₂比两个光子通过两个分立的但在其它方面却完全相同的介质时的P₂高两倍。如图8所示，增加几率是由于原子A可以被光子1激发而原子B可以被光子2激发，或者原子A可以被光子2激发而原子B由光子1激发。这两种过程的几率幅将相长干涉的条件为：

$\mathrm{\&delta;k}\&CenterDot;\mathrm{\&delta;r}<<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-------\left(1\right)$

其中δk为两个光子的k向量的差值，δr为两个原子的位置的差值。这与观察Hanbury-Brown效应和Twiss效应(光子聚束)所要求的条件相同，并且如果原子A和原子B被视为置于精确准直的光源之前的两个“探头”，图8类似于该效应。

通过应用激光脉冲获得P₂的两倍差值将在介质中的原子激发态产生相移。如上所述，激光脉冲的作用将依赖于被激发的原子的数量并且当两个光子一起通过同一介质时所产生相移会与这两个光子通过两种不同的介质传播时产生的相移不同。这与非线性相移一致，非线性相移的起始相位最终由图8所示的交换相互作用获得。由于适当的激光脉冲序列可以产生π的非线性相移，所以它可以应用于干涉仪配置中以产生受控“非”量子逻辑门。

我们首先对所关心的系统进行定义并对相应的态向量和哈密顿函数进行说明。通过忽略相对于大的光子失谐均显小的散射和色散，并进行绝热近似，整个系统的量子态可以利用作为有效6维态向量的向量元的一个6个复数组成的数集进行说明。通过解决6维本征值问题就可以确定光子通过介质的传播以及它们与激光脉冲的相互作用。研究单激光脉冲的最简单情况之后，说明如何选择最优脉冲序列。我们由对这些结果的非经典性质的讨论以及它们与诸如信息流和决定论的经典概念的区别进行推断。

尽管基本结果应该同样良好地应用于固体材料，但是为简便起见，假设光学介质为原子蒸气包。如果入射的两个光子的频率差远小于它们的平均频率，并且它们在同一个介质中传播，则等式(1)适用于具有中等厚度L的介质。例如，在典型实验中，ω₁-ω₂可以为几GHz的量级，这将允许原子气包的厚度为1cm量级。如图(9a)所示，为了使介质表面的反射最小，就可以假设介质中原子密度与光子波长相比是缓变的。假设介质中的原子总数N为大数值(～10¹⁰)。

假设光子在z方向传播，尽管利用如图(9b)所示的原子周期密度的原子介质仍然满足等式(1)，原子介质的厚度可以大大提高。在此图(9a)所示的薄型结构以Δz的间隔重复，对于Δz存在等式：Δzδk＝2pπ，其中p为整数。该方法有些类似于通常使用的准周相匹配技术，并且即使对于比较大的两个光子的频率差值仍允许L为中等数值。为简便起见，假设本专利说明书全篇使用图(9a)所示的几何图形，但是其结果可以轻易地推广到周期情况。

如图(5)所示，令人感兴趣的作用涉及二能级原子，但是有必要通过对系统施加额外电场以时间依赖的方式来改变原子上能级的能量。这可以用各种方法实现，但是具体地说，我们假设使用激光束将第二原子能级耦合到没有其它用途的第三原子态，如图(10)所示。此处光子1和光子2与能级1和能级2之间原子跃迁稍有些非共振，而激光束与能级2和能级3之间的原子跃迁完全不共振，因为转入能级3的粒子集居数不够多。既然这样，激光束的净效应为，由可用微扰理论或其它方法(交流斯塔克(Stark)偏移)计算的量来传递能级2的能量。因为缺少位于能级3的原子，所以允许我们使用原子的二能级模型，其中能级2的能量e_A是时间函数。

假设入射的光子沿z方向传播，并用相应于高斯波包的多模福克(Fock)态(不仅仅是弱相干态)表示。假设波包的瞬间宽度τ_p远大于通过介质的传输时间L/c，以致光子电场的振幅在介质内基本上是均匀的。此令人感兴趣的效应要求进行多模分析，由于非线性相移依赖于两个光子强度乘积的期望值，对于自由空间的平面波单光子它们为0。入射光子可以由两个单光子产生算符表示，a₁ ^↑和a₂ ^↑被定义为：

$a_1^{\&UpArrow;}=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{f}_1\left(k\right)a_k^{\&UpArrow;}$

$a_2^{\&UpArrow;}=\underset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}{f}_2\left(k\right)a_k^{\&UpArrow;}-----\left(2\right)$

在此，算符a₁ ^↑产生波矢量为k的平面波光子，并且f₁(k)和f₂(k)为缺少时间为t₀的高斯波包的傅立叶系数。以能由下式获得反傅立叶变换的方式选取这两个系数：

$G_1\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\&Integral;e^{\mathrm{ik}\&CenterDot;r}{f}_1\left(k\right)d^{3}k={\mathrm{ge}}^{i{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{1}z}{e}^{-{(z-z_0)}^2/{2c}^2{\mathrm{\&tau;}}_p^2}$

$G_2\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\&Integral;e^{\mathrm{ik}\&CenterDot;r}{f}_2\left(k\right)d^{3}k={\mathrm{ge}}^{i{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{2}z}{e}^{-{(z-z_0)}^2/{2c}^2{\mathrm{\&tau;}}_p^2}-----\left(3\right)$

其中g为常数，z₀为波包中心的初始位置，该初始位置被置于远离原子的位置以致没有初始相互作用。两个波包具有相同的振幅和宽度，但是它们有不同的中心k向量： k₁和 k₂， k₁和 k₂与其傅立叶频谱的中心频率的关系表示为： ω₁＝c k₁和 ω₂＝c k₂。假设介质和光子波包在横向均没有明显的空间变化，因此等式(3)的右侧仅包括z轴。本专利的主要结论仅依赖于假设G₁(z)和G₂(z)的模是z的缓变函数，并且波包的准确波形并不重要。

电场的初始态由下式得出：

$|{\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_2\&rang;=a_1^{\&UpArrow;}{a}_2^{\&UpArrow;}|0\&rang;-----\left(4\right)$

其中|0>为真空态。我们还将研究由下式定义的单光子态：

$|{\mathrm{\&gamma;}}_1\&rang;{=a}_1^{\&UpArrow;}|0\&rang;$

$|{\mathrm{\&gamma;}}_2\&rang;=a_2^{\&UpArrow;}|0\&rang;$

以及含有两个全同光子的下列态：

$|{\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_1\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}{\left(a_1^{\&UpArrow;}\right)}^2|0\&rang;$

$|{\mathrm{\&gamma;}}_2,{\mathrm{\&gamma;}}_2\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}{\left(a_2^{\&UpArrow;}\right)}^2|0\&rang;-------\left(6\right)$

假设所有的原子最初均位于其基态，因此下式给出系统的初始量子态：

$|\mathrm{\&psi;}\left(t_0\right)\&rang;=|{\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_2\&rang;\underset{i}{\mathrm{\&Pi;}}|{\mathrm{\&psi;}}_{1i}\&rang;-----\left(7\right)$

其中|ψ_1i>表示原子i处于其基态。

可以方便地将哈密顿量H书写为两部分的和：

H＝H_o+H_int                              (8)

其中H_o代表电场的能量和无相互作用时原子的能量，它通常由下式给出：

$H_o=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}(a_k^{\&UpArrow;}{a}_k+1/2)h{\mathrm{\&omega;}}_k+\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}1/2e_A{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{zi}}------\left(9\right)$

其中用i标注原子，e_A为在基态之上的原子激发态(能级2)的能量，σ_zi是含有原子i的基态和激发态的二维希尔伯特(Hilbert)空间中的一种泡利(Pauli)自旋矩阵。(这并不意谓着存在任何自旋相互作用)。在库仑(Coulomb)仪中和在标准偶极子中的相互作用哈密顿算符H_int的近似值由下式给出：

$H_{\mathrm{int}}=-q\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{r}_i\&CenterDot;E\left(R_i\right)------\left(10\right)$

式中q为电子电量，r_i为电子在原子i中的相对坐标，此处假设原子i为类氢原子态的原子。E(R_i)为在原子i的质心位置R_i处的二次量子化电场算符，它在薛定鄂(Schrodinger)图象中以及米千克秒(MKSA)单位制求出：

其中ε₀为自由空间的介电常数，V是用于周期边界条件的体积，λ_j代表光子的两个正交偏振态。在附录A除了涉及对称性研究的讨论之外，还假设两个光子具有同样的偏振并且偏振率将下降，因为正交偏振的两个光子不能根据偶极子跃迁进行如图(5)和(8)所示的交换相互作用。

光子波包不处于H₀的本征态，并且在无任何相互作用时它们将以光速传播。因此，在相互作用图象下工作非常方便，其中无任何相互作用时光子的态矢保持不变并且电场算符变成随时间变化。因此，薛定鄂方程仅包括相互作用哈密顿量H’(t)：

其中通常

通过适当的幺正变换，会发现H’(t)为时间的缓变函数，它将允许进行绝热近似以用于将求解薛定鄂方程简化为本征值问题。可以用数值法或分析法计算本征向量，但是在其任一种情况下我们均需要以适当的基矢表示的H’(t)的矩阵元。

量子力学的基本原理允许我们在希尔伯特(Hilbert)空间(对于光子为福克(Fork)空间)中选择任何一组正交基矢。感兴趣的非线性相移与光子以与进入介质时相同的态在介质外传播的相干过程对应，而与相位因数无关。因此，可以方便地在福克空间(Fork)选择一组基矢，福克(Fork)空间包括初始态|γ₁，γ₂>以及态|γ₁>和态|γ₂>，光子在介质中被有效吸收就产生态|γ₁>和态|γ₂>。由于我们需要一组完备正交基矢，我们定义了一组修正的平面波产生算符b_k ^↑，构造平面波产生算符b_k ^↑使得产生的态与由a₁ ^↑和a₂ ^↑产生的态正交：

$b_k^{\&UpArrow;}=c_n[a_k^{\&UpArrow;}-f_1^{*}\left(k\right)a_1^{\&UpArrow;}-f_2^{*}\left(k\right)a_2^{\&UpArrow;}]$

其中c_n为归一化常数，而最后两项提供所要求的正交。当|ω₁-ω₂|远大于高斯波包的扩展频谱时，[a₁，a₂ ^↑]和<γ₁|γ₂>均按指数律变小，这就是我们要假设的情况，并且在此限制中算符组a₁ ^↑、a₂ ^↑以及b_k ^↑遵循通常的对易关系。这允许我们选择一组包括所有由a₁ ^↑、a₂ ^↑以及b_k ^↑在初始时刻t₀产生的态的基矢。由定义，这些基矢在相互作用图象下与时间无关，在薛定鄂图象中，它们与不包括相互作用效应的自由传播的波包对应。

相关矩阵元现在可以由此基矢计算。例如，我们将需要电场算符的矩阵元 和

它们被定义为：

利用等式(2)、等式(5)以及等式(11)允许将

写为：

此处，我们对于窄带光子将

项近似为常数，这允许从求和中去除

项。对易关系消去了除k＝ρ的项之外的所有项，剩余的求和可以表示为一个与光子态的密度ρ(k₁)成正比的积分式，并当将本征态施加到右侧时，

简化为ω₁＝ck₁。等式(15)简化为：

与等式(3)的比较表明，暂不考虑常数，可以看出此表达式等于高斯函数G₁(Z₁-c(t-t₀)。为简便起见，由于已假设介质足够薄以致在此距离内的电场的模量基本上是均匀的，我们将z＝0取为介质中心并估计那里的矩阵元。我们也可以选择z₀和t₀使得在t＝0时光子波包集中在介质上。此时，这些矩阵元被简化为

其中g’为常数，

为与原子所在位置的高斯波包缓变包络对应的实函数。应注意波包的频谱扩展也反映在的时间依赖性中，但不出现在研究顺序幺正变换的作用时起重要作用的指数相位因子中。

可以以同样的方式、多次使用如下结果对涉及修正的平面波状态的矩阵元进行计算

<0|E(0，t)|k>|<<|<0|E(0，t)|γ₁>|                     (18)

此时波包覆盖介质所在位置。此处， $|k\&rang;=b_k^{\&UpArrow;}|0\&rang;$ 为修正的平面波的一个基态、这反映出光子1和光子2的电场集中在此区域的事实，而平面波状态不是定域的。因此，我们大致可以认为涉及平面波状态的矩阵元可以被忽略并且不耦合到这些模式中。这相应于忽略散射和色散，认为受到大的失谐的限制散射和色散将会较小，并且它也忽略诸如兰姆(Lamb)移位的弱辐照校正。以下将讨论使用序列激光脉冲时近似的有效性。

假设定义为

和

的光子失谐的振幅比 ω₁和 ω₂的振幅小得多。旋波近似(能量守恒)确保吸收光子时一定伴随着发生原子激发。由于已忽略了任何对平面波状态的耦合，如图7(a)所示，当两个光子在同一个介质中传播时，可以产生的最合适的场状态为态|γ₁，γ₂>、|γ₁>、|γ₂>、|0>、|γ₁，γ₁>和|γ₂，γ₂>的各种线性组合。这六个基矢覆盖了此系统所占的福克(Fock)空间的区域，并且可以以基矢的几率幅来表征场的状态，这六个基矢构成六维态矢的元。

例如，如果光子沿x方向线偏振，则相关矩阵元的原子部分由下式给出：

其中d₀为这两个状态之间的偶极矩幅值。对于简并的氢类原子态的情况，|_2i>对应于吸收一个线偏振光子的激发状态的线性组合。

由于只有两个入射光子，所以最多只能有两个被激发的原子，这两个原子由满足i＞j的i和j标识，以避免对相同的状态作两次计数。因此，原子状态的总数为N²量级。电磁场与原子的组合系统的基矢包括各原子态与上述六个场态的张量积。在此基矢中，将c(γ₁，γ₂)定义为包含原光子和未激发原子的几率幅。具有剩余光子1的待激发原子i的几率幅将由c(γ₁，i)表示，同时c(γ₂，i)将代表具有剩余光子2待激发的原子i的几率幅。无剩余光子的待激发原子i和j将被表示为c(0，i，j)，并且i＞j。具有两个全同光子而无被激发原子的几率幅将由c(γ₁，γ₁)和c(γ₂，γ₂)表示。

可以从薛定鄂方程即等式(12)中发现这些几率幅的时间依赖性，并且H’(t)的相应矩阵元为：

其中M为由下式定义的基本矩阵元的简明记号：

并且适当选择两个原子态之间的相对位相可以使其为实数。受激发射到含有两个光子的态或从这些态吸收，是在这些等式中出现系数

的原因。

由于这两个原子受到相同场的作用，所以对于所有i、i’、j和j’值，下列几率幅均相等：

c(γ₁，i)＝c(γ₁，i’)

c(γ₂，i)＝c(γ₂，i’)                               (22)

c(0，i，j)＝c(0，i’，j’)

通过引入如下一组新变量可以使等式(20)简化：

$c\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&equiv;\sqrt{N}c({\mathrm{\&gamma;}}_1,i)$

$c\left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\&equiv;\sqrt{N}c({\mathrm{\&gamma;}}_2,i)$

$c\left(0\right)\&equiv;\sqrt{N(N-1)/2}c(0,i,j)$

选择这些新变量，使得无论激发哪一个原子c(γ₁)模的平方均给出光子1存在而光子2被吸收时的总几率，对c(γ₂)也具有同样的作用。c(0)模的平方同样给出存在两个激发的原子而无光子时的总几率。随着这些变量的变化，等式(20)变成

等式(24)总共包括六个复变量。

查看等式(24)之后发现，它等同于六维向量的薛定鄂方程，六维向量的向量元被取为

${|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_{\mathrm{eff}}\&equiv;\left[\begin{array}{c}c({\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_2)\\ c\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\\ c\left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ c\left(0\right)\\ c({\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_1)\\ c({\mathrm{\&gamma;}}_2,{\mathrm{\&gamma;}}_2)\end{array}\right]--------\left(25\right)$

倘若哈密顿量选为

$H_{\mathrm{eff}}=M\left[\begin{array}{cccccc}0& \sqrt{N}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}& \sqrt{N}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& 0& 0& 0\\ \sqrt{N}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}& 0& 0& \sqrt{2(N-1)}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& \sqrt{2N}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& 0\\ \sqrt{N}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& 0& 0& \sqrt{2(N-1)}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}& 0& \sqrt{2N}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}\\ 0& \sqrt{2(N-1)}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& \sqrt{2(N-1)}{e}^{-i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}& 0& 0& 0\\ 0& \sqrt{2N}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{1}t}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2N}{e}^{i{\mathrm{\&delta;}}_{2}t}& 0& 0& 0\end{array}\right]----\left(6\right)$

此处，为了使此表示更为紧凑，省略了

由于|ψ>_eff的六个向量元完全确定了系统的状态，并且其模平方给出各种光子状态的总几率，我们称|ψ>_eff为系统的有效态矢。

有效态矢的物理意义可以通过研究对应于其各矩阵元的全系统状态加以理解。例如，|ψ>_eff的第二个向量元对应于状态：

$|\mathrm{\&psi;}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\&rang;=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}|{\mathrm{\&gamma;}}_1,i\&rang;------\left(27\right)$

其中待激发的原子具有相同的几率幅。尽管存在态|γ₁，i>的其它线性组合～N，但是哈密顿量将初始态与等式(27)所示的唯一特定的线性组合联系起米，而所有其它线性组合未激发或是“暗”的并可以被忽略。可以对|ψ>_eff的其它向量元作同样的解释，它们与初始状态在哈密顿量作用下所产生的状态的唯一线性组合的几率幅相对应。可以通过任意定义这六个态矢并表明此哈密顿量不将它们耦合到任何其它态，就可以获得等式(26)所示的哈密顿量，此后，通过查验可以写下等式(26)中的矩阵元。

等式(26)中的指数因子为时间的迅变函数。通过进行由下式给出的幺正变换可以消去此时间函数变量。

$|{\mathrm{\&psi;}}^{\&prime;}{\&rang;}_{\mathrm{eff}}=e^{-i{h}_{0}t}|{\mathrm{\&psi;}\&rang;}_{\mathrm{eff}}------\left(28\right)$

其中矩阵h₀取为

$h_0=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -{\mathrm{\&delta;}}_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -{\mathrm{\&delta;}}_1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -({\mathrm{\&delta;}}_1+{\mathrm{\&delta;}}_2)& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& ({\mathrm{\&delta;}}_1-{\mathrm{\&delta;}}_2)& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& ({\mathrm{\&delta;}}_2-{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right]-------\left(29\right)$

经此变换后，有效态矢遵循等式

$\mathrm{ih}\frac{d}{\mathrm{dt}}|{\mathrm{\&psi;}}^{\&prime;}{\&rang;}_{\mathrm{eff}}={H^{\&prime;}}_{\mathrm{eff}}|{\mathrm{\&psi;}}^{\&prime;}{\&rang;}_{\mathrm{eff}}--------\left(30\right)$

其中有效哈密顿量的形式为

${H^{\&prime;}}_{\mathrm{eff}}=\left[\begin{array}{cccccc}0& \sqrt{N}M& \sqrt{N}M& 0& 0& 0\\ \sqrt{N}M& -{\mathrm{\&delta;}}_2& 0& \sqrt{2(N-1)}M& \sqrt{2N}M& 0\\ \sqrt{N}M& 0& -{\mathrm{\&delta;}}_1& \sqrt{2(N-1)}M& 0& \sqrt{2N}M\\ 0& \sqrt{2(N-1)}M& \sqrt{2(N-1)}M& -({\mathrm{\&delta;}}_1+{\mathrm{\&delta;}}_2)& 0& 0\\ 0& \sqrt{2N}M& 0& 0& ({\mathrm{\&delta;}}_1-{\mathrm{\&delta;}}_2)& 0\\ 0& 0& \sqrt{2N}M& 0& 0& ({\mathrm{\&delta;}}_2-{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right]-----\left(31\right)$

等式(30)和等式(31)决定了当如图7(a)所示的两个光子在同一介质中传播时系统的时间演变，并且它们将成为多数遗留分析的基础。为简便起见，下面忽略等式(30)和等式(31)中的质元素。

为了进行比较，如图7(b)所示，当各光子在独立的介质中传播时，还需要计算系统的参数。如果这样，就存在两个可以独立计算其时间演变的独立系统，那么整个系统的态矢将等于两个独立态矢的张量乘积。对于只有光子1入射到介质的情况，与上述分析过程相同的分析过程给出了具有下列向量元的有效态矢

${|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;}_{\mathrm{eff}}\&equiv;\left[\begin{array}{c}{c}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\\ c^{\&prime;}\left(0\right)\\ c^{\&prime;}\left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\end{array}\right]-------\left(32\right)$

其中c′(γ₁)为光子1存在而无被激发的原子时的总几率幅，c′(0)代表入射光子被吸收并且存在一个被激发的原子时的几率幅，c′(γ₂)代表光子1已被吸收并且另一个 ω₂频率的光子已再被发射时的几率幅。此系统的有效哈密顿量为

$H_{1\mathrm{eff}}=\left[\begin{array}{ccc}0& \sqrt{N}M& 0\\ \sqrt{N}M& -{\mathrm{\&delta;}}_1& \sqrt{N}M\\ 0& \sqrt{N}M& ({\mathrm{\&delta;}}_2-{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right]-----\left(33\right)$

对于只有光子2入射到介质的情况，相应的各参数为：

${{|\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;}_{\mathrm{eff}}\&equiv;\left[\begin{array}{c}{c}^{\&prime;\&prime;}\left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ c^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)\\ c^{\&prime;\&prime;}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\end{array}\right]-------\left(34\right)$

$H_{2\mathrm{eff}}=\left[\begin{array}{ccc}0& \sqrt{N}M& 0\\ \sqrt{N}M& -{\mathrm{\&delta;}}_2& \sqrt{N}M\\ 0& \sqrt{N}M& ({\mathrm{\&delta;}}_1-{\mathrm{\&delta;}}_2)\end{array}\right]---------\left(35\right)$

假设初始时刻t₀时光子波包远离介质，使得此时它们与原子之间的相互作用按指数变小。随后，初始态矢|ψ₀>以上述基矢给出

${|\mathrm{\&psi;}}_0\&rang;=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]------\left(36\right)$

|ψ₀>是具有M(t)＝0的H_eff的本征态。假设高斯型波包足够宽以致

随着由H_eff的对角项设定的时间比例缓变。此时，绝热近似有效并且态矢将缓慢变成H_eff的相应瞬时本征态。如果不对介质施以激光脉冲，则由于忽略散射和色散，当波包从介质中传播出去时，态矢将变回到|ψ₀>。

我们主要对能够产生与|ψ₀>有本质区别的微扰态矢|ψ(t)>的足够大的

值感兴趣，但

的值也不能太大，否则就会接近非绝热的平面交叉。在散射和吸收均相对小时，在原子蒸气包中可以容易地获得此振幅的数值

此强微扰微扰本征态可以被认为是双光子调制状态。

由于通常可以忽略两个单独光子之间的非线性相互作用，所以可以预料两个光子会单独通过介质，并且此双光子调制状态就是两个单独光子调制状态的张量乘积。这不同于由图(5)和图(8)所示的那种交换相互作用产生的情况。具体地说，图(8)假定当两个光子在同一个介质中传播时存在两个有效激发的原子的几率比两个光子在两个分立的介质中传播时存在两个有效激发的原子的几率增加了两倍。为了定量研究此几率，如图7(a)所示，将P_1s定义为当两个光子在同一个介质中传播时在介质中恰好存在一个被激发的原子的几率，如图7(b)所示，将P_2s定义为同样条件下存在两个被激发的原子的几率。我们还将P_1D和P_2D定义为当两个光子在不同的介质传播时的对应的几率，如图7(b)所示。根据上述定义的有效几率幅，这些几率由在图(8)所示的两个过程之间的相长干涉给出如下

P_1s＝|c(γ₁)|²+|c(γ₂)|²                                     (37)

P_2s＝|c(0|²                                                      (39)

P_1D＝|c′(0)²(1-|c″(0)|²)+|c″(0)²(1-|c′(0)|²)             (38)

P_2D＝|c′(0)|²|c″(0)²                                         (40)

而且指出下式

$\frac{P_{2S}}{P_{2D}}=2------\left(41\right)$

至少对于低阶微扰理论应该成立。

根据绝热近似，通过计算与初始态矢的微扰形式对应的H_eff、H_1eff和H_2eff的瞬时本征矢可以得到这些几率幅。对于中等数值的

各种情况下适当的本征矢为其能量最接近数值0的本征矢。对于其中δ₁＝-2、δ₂＝3以及 $\sqrt{N}M=1/2$ 的情况，大数N范围内的相关本征矢的数值计算结果被列于表(1)中(我们规定时间单位为毫微秒，能量的单位为

除以1毫微秒，据此各种图表和数值结果将以此类典型实验的标尺标度)。表(1)的结果由数值计算得到，其精度为40位有效数字，但在此表中仅列出了前20位。不是通过在哈密顿量中用

取代 来简单地取N的极限，而是利用N的特征大值和相应的M小值来进行数值计算。利用N＝10¹²和M＝0.5×10^-6获得表1所示的特定结果，但是对于这些参数的其它值也可以获得等效结果。该方法的优点是它包括非线性光学的常规机理，即两个光子与同一个原子相互作用。可以看出，其振幅比此处令人感兴趣的交换相互作用的振幅小1/N倍。

从表1中看到，P_2S/P_2D＝2，如期望的那样，达到的精度为12位有效数字。在小数点后面第12位的误差近似等于1/N，这反映出两个光子与同一个原子相互作用的常规效应的贡献。例如，吸收光子1将减少某个原子的基态的粒子集居数。相反，这又将妨碍此原子有效吸收光子2、随后再发射光子2、并因此给出传统非线性相移(克尔效应)。此处，并不对这些效应感兴趣，但是它们例示说明了在独立光子之间的传统非线性相互作用的振幅相对较小。对本征值的计算也说明，正如所希望的那样，在弱耦合极限情况 $(\sqrt{N}M/\mathrm{\&delta;}<<1)$ P_2S与N²成正比。

由于图(8)所示的几率幅干涉仅与最低阶费因曼图(Feynman diagram)对应并且由此预期了等式(41)仅对于最低阶微扰理论成立，故而达到如此高精度的P_2S/P_2D＝2的事实有些令人震惊。我们的数值结果指出，等式(41)在大数N的范围内对于所有的 值准确成立，至少达到第一平面交叉。P_2S≠P_2D的事实说明在两个光子之间存在有效相互作用并且它们不单独在介质中传播。

对表1研究之后发现，无论两个光子是在同一个介质中传播还是在两种不同的介质中传播，系统的某些特性均相同。设E_S为两个光子在同一个介质中传播时产生两个光子解调状态的能级，设E₁和E₂为各光子在不同介质中传播时产生的单光子解调状态的能级。数值本征值计算表明在1/N精度范围内关系式E_S＝E₁+E₂成立，这表明在大数N范围内，两种情况下的整个系统的本征值具有相同的能级。如果不是这样，即使没有激光脉冲或其它微扰仍存在非线性相移。在两种情况下，更高能级的本征态(不对应于|ψ₀>本征态)也具有相同的能级，这是对称分析所不能允许的。

如果定义<N_e>_S和<N_e>_D为两个光子分别在同一个介质中或在不同的介质中传播时受激原子的平均数，可得到类似的情形：

<N_e>_S≡P_1S+2P_2S

                                                     (42)

<N_e>_D≡P_1D+2P_2D

表1的数值结果说明：

<N_e>_S＝<N_e>_D                                    (43)在大数N的范围内，这表明在两种情况下受激原子的平均数相同；这同样要求对称分析。可以将等式(41)至等式(43)合并，以获得只含有一个受激原子的几率差：

P_1S-P_1D＝-P_2S                                     (44)这说明当两个光子通过同一介质传播时单个受激原子状态的几率变小。此结果可以由产生两个受激原子状态必须以耗尽一个受激原子态的几率幅为代价的事实来理解(在微扰理论的上下文中)。

尽管在大数N范围内的数值计算对P_2S/P_2D＝2的结果几乎给出怀疑，但是我们已经利用数学方法得到了对本征矢以及相关几率的分析解。其最终表达式太复杂太长，以致几乎不具有实用性，故在此也不予以说明。在大数N的范围内，这些分析解符合等式(41)和等式(43)，至少在某种程度上当任何一组参数的数值插入到分析表达式时就可以获得这些结果；我们还没有成功地简化这些分析表达式以直接获得等式(41)和等式(43)。对于同等失谐(δ₁＝δ₂)的情况可以容易地导出因子2。

可以以各种方法使存在两个有效激发的原子的几率增加两倍以产生非线性相移。本部分描述的单激光脉冲的作用是最简单的方法，而下一部分研究使用序列激光脉冲产生小损耗的随机振幅的非线性相移。并且还描述了几种低效方法，它们包括与缓冲气碰撞、Brry几何相移、以及避免水平交叉。

现在假设当光子波包集中在介质上时，将单光子脉冲施加到该介质。如图10所示，当转移到能级3的粒子集居数微不足道时，激光脉冲的电场将通过直流斯塔克(Stark)偏移在任何受激原子的能级2中产生变化。假设激光的持续时间远短于相关时间量程，在此期间系统量子状态的粒子集居数可以根据薛定鄂(Schrodinger)方程和H_eff改变。此时，激光脉冲的净效应将会在原子的激发状态产生脉冲相移Δ_e：

其中ΔE(t)为由施加电场产生的激发态的能量变化。激光的持续时间和强度可以被调整以给出任何所需的Δ_e值，现在选择Δ_e值为π/2。

如果在施加激光脉冲之前，态矢|ψ>直接具有等式(25)所示的形式，那么当施加激光脉冲时，系统会立即处于新状态|ψ′>，可以由下式计算：

$|{\mathrm{\&psi;}}^{\&prime;}\&rang;=\left[\begin{array}{c}c({\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_2)\\ e^{\mathrm{i\&pi;}/2}c\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\right)\\ e^{\mathrm{i\&pi;}/2}c\left({\mathrm{\&gamma;}}_2\right)\\ e^{\mathrm{i\&pi;}}c\left(0\right)\\ c({\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_1)\\ c({\mathrm{\&gamma;}}_1,{\mathrm{\&gamma;}}_2)\end{array}\right]------\left(46\right)$

态矢的第二个和第三个向量元与单个受激原子对应并经受π/2的相移，而第四个向量元与两个受激原子对应并经受π的总相移。

可以方便地将新态矢|ψ′>表示为初始态矢和另一个与|ψ>正交的向量|ψ_⊥>的线性组合：

|ψ′>＝re^i|ψ>+|ψ_⊥>                                              (47)

其中r和均为实数。|ψ>的系数由|ψ′>对|ψ>投影获得：

re^i＝<ψ|ψ′>＝r′+i(|c(γ₁)|²+|c(r₂)|²)                       (48)

此处

r′＝|c(γ₁，γ₂)|²-|c(0)|²+|c(γ₁，γ₁)|²+|c(γ₂，γ₂)|²  (49)r’为实数，该实数包括不受激光作用的项的贡献以及两个受激原子态的贡献。为简便起见，我们将研究弱偶合限制，其中r’接近等于1，相比之下，包括在内的其它项非常小。等式(48)的左侧展开成为的第一阶，然后给出

＝|c(γ₁)|²+|c(γ₂)|²＝P₁                                       (50)将等式(50)应用于两个光子在同一个介质中传播的情况，同时相同样的结果应用于光子在两个不同的介质中传播的情况，因此

_S＝P_1S

_D＝P_1D                                                              (51)

其中_S和_D为两种情况的总相移。非线性相移Δ_non等于两者之差：

Δ_non＝P_1S-P_1D                          (52)

在弱极限偶合范围内，等式(44)给出：

Δ_non＝-P_2S                             (53)

等式(53)说明非线性相移直接正比于两个原子被同时有效激发的几率，由于图8所示的交换相互作用，当两个光子在同一个介质中传播时非线性相移增大两倍。根据上述前面部分对本征值的计算，可以预期在弱偶合限制情况下非线性相移与N²成正比，这使得此相移比图6所示的传统机理产生的非线性相移大得多。非线性依赖于两个受激原子态经受π相移的事实，π相移等同于负号，因此它对r’产生贡献而不对相移产生贡献。在弱激光脉冲(Δ_e＜＜1)情况下，如果两个受激原子态对的贡献为单个受激原子的贡献的两倍，则不产生非线性相移；净相移仅依赖于受激原子的平均数，从等式(43)可以看出两种情况的净相移相同。对两个受激原子态的总相位的依赖性可被看作系统的非局域特性，以下将作更深入的讨论。

量子逻辑门的构建将要求π非线性相移，由等式(53)可以看出，单个激光脉冲产生不了π非线性相移。在等式(47)中产生正交状态|ψ_⊥>的几率也必须最小化，因为它与损耗机理相对应，而损耗机理会使系统跃迁离开代表量子计算机中库比特(qubits)的基态。对于单光子脉冲，这种跃迁的几率接近P₁同时大于Δ_non。利用设计为产生具有|ψ_⊥>＝0的π相移的、合适的激光脉冲序列就可以避免这些困难。这种脉冲序列的最优设计是一个尚在研究中的非线性优化问题。在此，我们将说明两种不同的方法，一种是基于如上所述的短激光脉冲序列，另一种更有效的方法是使用具有窄带宽的长激光脉冲序列。

在第一种方法中，在时间t_j施加一列具有振幅a_j的短激光脉冲序列n_p。假设与τ_p比较脉冲之间的时间间隔足小以致整个脉冲序列过程 近似为常数。将n_p的值选择为足够大的值(～10)以致具有足以删除|ψ_⊥>的所有向量元的自由度。在所使用的蒙特卡罗(Monte Carlo)法中，随机选择t_j和a_j的一组初始值作为数值算法的起始点，该数值算法改变t_j和a_j的值以便最小化被净非线性相移除的损耗率(|ψ_⊥>的平方系数)，其中对薛定鄂方程的时间演变进行了数值计算。一组随机初始值仅可能导致局域最小化，但是该过程可以重复多次直至获得最优解。大多数随机选择的起始点导致具有|ψ_⊥>＝0的解，但是Δ_non的相应值变化很大。

在激光脉冲期间，系统将受激进入原子处于能级3并且一个或两个光子被吸收的有效态，如图(10)所示。此有效态的失谐对于态|γ₁>和|γ₂>是不同的，这导致对|γ₂>产生的相移为对|γ₁>产生的相移的f倍，通过调节激光脉冲的频率可以对f进行控制。我们通过选取由下式给出的相移进行分析得到此概率。

₁＝Δ_e

₂＝fΔ_e                                    (54)

₀＝(1+f)Δ_e等式(54)是等式(45)的推广。其中₁、₂和₀为|γ₁>、|γ₂>和|0>状态的相移，_e的值依赖于激光脉冲的振幅(假设所有脉冲之间具有相同的间隔)。

对10个激光脉冲的序列获得的最佳的结果可以归纳为表2中f的函数，在此对于所有情况激光脉冲过后的|ψ_⊥>的模平方为0。当f接近1时，可以设法将非线性相移的最佳值减小，并且对于f＝1的情况，找不到具有|ψ_⊥>＝0的解。可以认为，为了获得无损耗的非线性相移，要求光子1的作用和光子2的作用之间具有不对称。(对于与使用缓冲气代替激光脉冲进行碰撞的情况要求具有同样的不对称，如附录B所述)在各种情况下，由短激光脉冲产生的Δ_non的振幅比较小，该方法简单易懂但可能限制了实际使用价值。

因此，我们研究了一种更复杂但更有效的五脉冲方法，此方法使用窄带长激光脉冲以在系统的特定态之间产生跃迁。在此方法中，假设两个入射光子更接近于与能级3而不是能级2的共振，如图(11)所示，但是失谐仍是足够大以致能级3的粒子集居数比较少。激光脉冲的频率可以被调至能产生进入能级2的共振跃迁，在此某个频率会产生对光子1的共振吸收并且另一个频率会产生对光子2的共振吸收。由于能级3为虚能级，可以将净效应表示为吸收进入能级2的光子的有效矩阵元。

选择第一个激光脉冲的振幅和频率以产生对光子2的共振吸收(一个π拉比(Rabi)振荡)，如图12所示，系统完成从状态|γ₁，γ₂>到状态|γ₁>的跃迁。将等式(31)中H_eff的矩阵元与等式(35)中H_2eff的矩阵元进行比较后发现，无论这两个光子是在同一个介质中传播还是在两个不同的介质中传播，对于此跃迁的Rabi频率相同，因此在两种情况下均发生跃迁。

然后选择第二个激光脉冲的频率以对光子1跃迁产生共振并调节其振幅使得当两个光子处于分立介质中时产生回到初始状态|γ₁>的完全(2π)Rabi振荡。将H_eff与H_1eff进行比较后发现，由于图8所示的量子干涉使得此相关矩阵元比两个光子在同一个介质情况的相关矩阵元大 倍。因此，状态|0>振荡的几率幅经0振荡并且在后一种情况下系统保留在|γ₁>和|0>的重叠态，如图13(a)所示。对于30ns宽度(标准间隔)的激光脉冲，这些结果可以通过对薛定鄂方程的数值积分获得。

当且仅当两个光子在同一个介质中传播时，系统为叠加态的事实允许第三个脉冲在此情况下产生随机相移。脉冲3的频率选择为与光子1的跃迁略微失谐，并再次选择其振幅使得两个光子在不同的介质中传播的情况下系统返回到状态|γ₁>(另一个2πRabi振荡)。两个光子在同一个介质中传播时，从图(14)中可以看出此脉冲对态|γ₁>的几率幅的作用，这里虚线园的半径等于恰脉冲到来前此状态的几率幅的模。图中标记为a的向量代表此脉冲到来前|γ₁>状态的几率幅的贡献，在脉冲期间由于与|0>状态偶合此几率幅会减小。标为b的向量代表此脉冲之到来前态|0>的几率幅的贡献，在脉冲期间此几率幅偶合到状态|γ₁>。可以通过脉冲的失谐变化来调整向量b的振幅，同时可以利用脉冲的相位来确保两个向量之和位于虚线园上。当通过将合成向量移到虚线园上的随机点来产生随机相移时，这就允许态|γ₁>幅值的模保持其初始值。

在脉冲3期间保持|γ₁>的模的理由在于它允许与脉冲2的作用相反的第四个脉冲，因为除了相移之外，系统的状态与第二个脉冲过后的状态相同。因此，将脉冲4的振幅和频率选择为与脉冲2的相同，两个光子处于分立介质中时，此脉冲施加2π的Rabi振荡并保持系统再次处于状态|γ₁>。如图13(b)所示，与此同时，可以调整此脉冲的相位以消除|0>的向量元，并在两个光子在同一个介质中时使系统完全处于状态|γ₁>。

第五个脉冲与第一个脉冲相同，施加第五个脉冲以产生π的Rabi振荡并使系统回到初始状态|γ₁，γ₂>，而不考虑脉冲3期间所产生的相移。无论这光子是在同一个介质中传播还是在不同的介质中传播，它们的矩阵元和Rabi频率对于此跃迁再次相同。

采用数值算法对上述的五个脉冲序列确定合适参数。最终脉冲序列的净效应是为了使两个光子在同一个介质中传播相对于它们在两个不同的介质中传播产生π相移。或者说，可以通过对脉冲3选择不同的频率、振幅以及相位来产生随机非线性相移。在上述的近似范围内，该方法不会产生任何损失(正交态矢|ψ_⊥>的形式)。

上述分析再次假设只有电磁场的相关状态是由a₁ ^↑和a₂ ^↑产生的。可以预期通过使用厚介质以及与条件相应的合适相位可以在实验上达到此状态，其中，能量守恒和动量守恒可以在很大程度上抑制光子发射进入其它状态。所设想的更详细的数值计算包括计算散射和色散效应。

自然会提出这样一个问题，即是否这些非线性相移能从经典上理解，或是否它们本质上为量子力学所固有。在本部分，我们研究将光子作为经典的粒子或作为经典波来描述的可能性，并且得出没有一种描述能够与所观察到的效应相一致的结论。然后，我们说明此类非线性相移不可能由介质的局域极化性产生，并指出唯一正确的解释必须包括在两个远离的局域中介质极化变化之间的非局域相关。

任何相容的经典解释一定包括光的粒子性，并且至少从原理上可以进行测量以确定哪个光子与哪个原子相互作用。如上所述，如果假设光子为经典粒子，那么对于典型介质两个光子与同一个原子相互作用的率可以忽略。这就成为在任何经典理论中关于一个光子控制另一个光子的状态的能力的基本局限，总之，由于如果存在某种联系两个系统的物理相互作用(作用力)，一个经典系统被另一个所控制就有可能，或者直接控制或者通过一种如图15(a)所示的相互作用系统链实现控制。如果各系统仅在两个未连接的系统内相互作用，那么就不可能实现控制，如图15(b)所示。连接图15(a)中的两个系统的物理相互作用序列为信息从一个系统流向另一系统提供了路径，并且与各种效应均有其特定原因的假设相一致(决定论)。相反，图8所示的量子力学的交换相互作用具有与图15(b)所示的两个未连接的系统具有相同的形式，即使不存在连接两个粒子的物理相互作用序列，也表明一个光子可以控制另一个光子的态。

尽管图8所示的交换相互作用与图15(b)所示的两个未相连的系统具有相同的形式，但是我们不知道哪个光子将与哪个原子相互作用。根据经典理论，不确定性即不相关：无论哪个光子与哪个原子相互作用，如果这些光子从未与同一个原子相互作用，就不存在信息流路径。在量子力学中，这些几率幅的干涉为我们提供了实现控制过程的可能，即使不存在经典的两个光子之间的相互作用。在图(5)所示的量子力学交换相互作用中，原子A吸收光子1随后再发射光子2，同时原子B吸收光子2随后再发射光子1，这表明根据某种意义的量子力学描述两个光子必定都与同个原子相互作用了。由于光子对于同一个原子没有因果作用并且不可能因此确定经典信息流的路径，这再次表现了与经典观点的无关性。

如果我们简单地忽略光的粒子性并用经典波表示粒子，光束的强度如此之太低以致可以忽略它们对原子特性的影响并且它们不能使介质折射率产生显著变化。例如，假设为了将它们的强度减小f_a倍，在吸收滤光片放置于两条入射光之前。在非线性作用与产生的光强成正比的经典理论中，非线性相移会减小f_a倍。相反，如果我们只接受这样一个事实，即两个光子传输中经过了衰减器并被实际检测到，那么此处研究的非线性相移不受这种衰减过程的影响。在任意低光强下存在非线性效应是非经典性的标志。

更普遍地，可以简单证明预期的相移与任何经典理论均不相容，因为在经典理论中介质对所施加的场产生局域响应。为了表明这点，我们通常假设可以由一系列非线性磁化率系数来描述介质的非线性响应。由于此处存在四个电场(两个输入电场和两个输出电场)，所以在位置r和时间t感应的相关偶极矩P(r，t)可以由下式给出：

  P(r，t)＝x⁽³⁾·E(r，t)³                                  (55)其中E(r，t)代表经典场，x⁽³⁾三阶磁化率系数。在前进方向电场产生的变化δE(r’，t’)可以通过对介质的体积进行积分获得：

 δE(r′，t′)＝∫G(r′，t′；r，t)P(r，t)d³rdt             (56)其中G(r’，t’，r；t)为适当的格林函数。在弱电场范围内，可以用入射场E₀(r，t)取代等式(55)中的E(r，t)，这给出

 δE(r′，t′)＝∫G(r′，t′；r，t)x⁽³⁾·E₀(r，t)³d³rdt  (57)所有体积元在前进方向具有相同的位相，此时，等式(57)的积分与介质的体积成正比。由于感应相移与δE成正比，这给出了非线性相移与N成正比，而不是与N²成正比，这说明感应偶极矩的局域性质使我们不能根据非线性磁化率对这些效应进行描述。

等式(57)表明非线性相移不可能由介质的局域极化产生，这表明正确的解释必定涉及介质中的两个不同位置感应的极化之间的非局域相关。这与存在两个受激的原子的概率增加2倍的情况一致，各受激的原子均具有偶极矩。由于与单光子有关经典相移完全是随机的，所以这些感应的偶极矩具有0平均值，同时2倍表示两种情况的非局域相干性。

这些非线性相移是由量子力学几率幅的干涉产生的，这反映出这样一个事实，即我们不知道哪个光子与哪个原子相互作用。这种对量子干涉依赖性提供了量子力学中的一个有趣的对偶性实例：原理上，可以通过测量来确定哪个光子与哪个原子相互作用，并且这类测量总是表明可以忽略两个光子与同一个原子相互作用的概率。另一方面，任何这类测量均会破坏产生非线性相移的量子干涉。此时，我们是否可以说相移的产生是由于光子从未与同一个原子相互作用呢？我们所能说的是，在两个光子之间不存在如图15(b)所示的经典相互作用，并且此作用也不是由于量子力学哈密顿量中的一系列经典相互作用项产生的，恰如通常的交换相互作用的情况。

量子理论的随机性明显地与认为各种效应一定具有特定原因的经典假设不相容(决定论)。在对远距离的成对粒子测量的随机结果之间的非局域相关方面，这是尤其正确的，这与信息不能快于光速传播的任何确定性解释均不相容。我们的结果表明量子力学与经典决定论之间的不相容性并不局限于随机事件；即使根据经典的观点，这种量子控制过程具有确定的结果，它不可能为信息流确定路径或指定过程结果的原因。

最后，从等式(46)可以看出，这些效应固有地依赖于两个光子态的合成相位，这就是系统的非局域性。因此，在此效应和双光子干涉仪之间存在某些类似，这并不违背贝尔(Bell)不等式。尽管该系统并不违贝尔不等式并且这两个光子在重叠光束中具有不确定的位置，这些效应本质上具有非局域性及非经典性。

表1双光子调制状态的本征矢的数值计算结果，其中δ₁＝-2，δ₂＝3，N＝10¹²，并且 $\sqrt{N}M=1/2.$

c(γ₁，γ₂)                   0.95914116322018693959

c(γ₁)                         0.15429285511676713553

c(γ₂)                         -0.22765778457263702994

c(0)                            -0.05393977193922215801

c(γ₁，γ₁)                   0.02198849533784590576

c(γ₂，γ₂)                   0.03195127659840339429

E_S                             -0.03824511566658084533

c’(γ₁)                       0.97183799230232851277

c’(0)                          -0.23453458268542568906

c’(γ₂)                       0.02290079130406822703

E₁                             -0.12066547333151823461

c”(γ₂)                       0.98655823942131181962

c”(0)                          0.16262496590079642855

c”(γ₁)                       0.01599877169305143880

E₂                             0.08242035766494018794

P_1S                            0.07563435201660490531

P_1D                            0.07854385101312782591

P_2S                            0.00290949899653165949

P_2D                            0.00145474949826707732

P_2S/P_2D                       1.99999999999828481699

<n_e>_S                         0.08145335000966822429

<n_e>_D                         0.08145335000966198056

E₁+E₂                         -0.03824511566657804711

表2作为参数f的函数的、由10个短激光脉冲的序列产生的最优结果。在所有情况均满足条件|ψ_⊥>＝0

f                                      Δ_non

2.0                                    0.318

1.1                                    0.125

1.01                                   0.022

1.00                                   无解

利用图4所示的干涉仪(Fredkin门)的设置实现受控“非”门。由位于两条路径中之一的单光子表示输入二进制位A，并根据如图所示光子的位置来指定数值0或1。目前，可以将这两条路径看作两条光纤。由位于两条路径之一的另一个光子代表输入二进制位B。光子B进入干涉仪，干涉仪的一个臂通过一种介质。当且仅当光子1位于通过介质的、代表位0的路径时，就产生相移。通过改变介质中原子的密度来调节相移量，并且常相移就可以根据需要加入两条路径的任一条中。根据由光子A建立的相移，光子B或者出现在它所进入的路径或者出现在另一路径中。如果二进制位A的值为1，则净结果为二进制位B反转。

图4所示的干涉仪使光子以要求的路径退出门，但是各种输出状态的相对相位并不与传统定义的受控“非”门的状态对应。可以使用图16所示的电路来施加要求的相位。此处，在单路径中的方框代表此种能用一块玻璃实现的传统单光子相移，同时与两条路径相连的方框代表只有光子分别出现在两条路径中时才产生的非线性相移。可以通过改变介质中的原子密度或诸如外部磁场等其它参数再次获得所要求的非线性相移量。除了激光脉冲之外，能够增加交换相互作用的另一种方法是加入可以增加碰撞率的诸如氩气等缓冲气。

众所周知，由普通单二进制位操作(相移)组合的受控“非”门足以构建一般量子计算机。尤其是可以通过调整图16，实现可以方便地用于某些用途的受控均方根“非”门。

非线性相移的物理实现依赖于光子路径的性质。基本的路径选择包括光束在自由空间传播、在光纤中传播以及在基底表面上的波导管中传播。这几种情况的基本实现方法相同。

如图17所示，可以实现光纤路径的非线性相移。可以用晶体材料代替原子气包，因为晶体材料的优点在于具有很高的原子密度。通过磨光光纤或磨蚀光纤产生的瞬逝场，两个光子形成的电场将与介质相互作用并互相相互作用。(此类瞬逝场通常被用于产生光纤中的定向偶合器。)光纤光栅能用于将两个具有不同频率的输出光子限制于所要求的路径组A或B。(通常利用光刻技术，在光纤中制成光纤光栅。)可以将图17看作是在如图4和图16那样的电路图中替换了非线性相移方框，干涉仪包括传统的光纤干涉仪。图17也可以利用某种光纤和某种晶体通过使两个光子在同一条光纤中传播来实现。

可以用标准具代替分束镜在物理上实现光子束在自由空间的传播，此标准具应该调节为当ω₂频率的光子反射时ω₁频率的光子被发射。这就允许两个光子通过原子蒸气包汇合进入常规路径，并且不存在普通(频率无关)光束分束器的50％损失。然后利用第二个标准具产生的透射和反射，使这两个光子分开进入两条不同的路径。

图17所示的相移实现方法可以被并入图16所示的电路图，以提供对受控“非”逻辑门的特定描述。

上述讨论的非线性相移机理要求两个光子具有不同的频率。在构建量子计算机的过程中，有必要对由相同频率的光子表示的两个二进制位进行逻辑运算。利用频率ω₂处的擦除位，图18所示的电路实现了对ω₁频率的两个光子的受控“非”运算。擦除位的初始状态对应于0并在计算结束时返回到状态0，使得“垃圾”位不堆积。在实践中，擦除位可以更有效地选择某些库比特(qubits)，使得当其它光子具有ω₂频率时具有ω₁频率，这样可以使对这种电路的需要减到最小。

受控“非”门以及图17所示的非线性相移可以被用于实现受控受控“非”门，它可以被用于图19所示的二位加法器电路中。

用光学方法实现量子计算的一个主要挑战是，需要产生含有一个且仅含有一个光子的初始态以代表各个库比特(qubits)。对于此问题的最实际的解决方法似乎类似于用于获得单光子态的后选择过程，以下对此进行说明。

受控“非”门电路可以被用于确定在“0”输入路径(图4中的实线)内是否存在表示二进制位A的光子，而无需改变此路径中的光子数量，这样就可以实现量子非破坏性测量。这可以通过将一系列光子注入输入端B的路径之一并检验在相对的路径中是否出现光子来完成。通过用一组不同的非线性相移进行重复测量，可以确保一个且仅有一个具有指数小误差的光子A出现。

所给出的光源将使用大量光纤的每个光纤中的弱相干态脉冲进行初始化，在各光纤中的平均光子数等于1；这种状态可以容易地由单激光脉冲和一组定向偶合器产生。然后，无需改变光子数就可以测量各光纤中的光子数目。利用传统的光纤开关可以将含有一个且仅含有一个光子的这些光纤转换到量子计算机的输入端。例如，此过程应比使用自发参数的下转换更有效，自发参数下转换给出同时产生N个光子的指数小概率。

正如图17所示的那样，能够利用光纤技术构建量子逻辑门，使得以合理成本构建大量逻辑门具有可行性。这样，就可以完成相对复杂的运算，诸如整个寄存器的加或乘，而无需任何中间内存存储装置。例如，可以按所示的那样实现图19所示的二位加法器。可以通过光纤并行网络接近光速进行计算。在任何给定的计算步骤均未处理的库比特(qubits)，可以通过一段光纤简单地传播直到需要它们时为止。

此并行处理能力具有许多潜在的优点。有一个明显的优点是并行处理可以从实质上减少所需要的总计算时间，这对于量子计算非常有用，因为在去相干变成严重问题之前要求完成计算。

其它优点包括简化设计，这里不需要任何开关或分离的存储装置。如图17所示，由于可以通过把这些光纤密集在一起并使它们通过它们之间的瞬逝场相互作用而形成逻辑门，所以不同光纤之间的连接可以减到最少或被取消。由于认为与连接器相关的损耗是特有去相干的主要原因，所以这可能是一个重要优点。

量子计算机的运算以及量子信息技术的大多数其它应用均需要适当的量子内存装置。量子内存装置必需能够存储信息的量子比特(库比特(qubits))值，同时在比较长的时间周期内避免去相干效应。可以对图12所示的用于进行量子逻辑运算的激光脉冲序列进行调整以存储信息库比特(qubits)。这样，脉冲1可以被用于吸收任何一个光子，并将其信息(光子存在或不存在，或光子的偏振)以受激原子态叠加的形式存储在合适的固体材料中，如：各种晶体。信息将被存储在晶体中直到施加了另一个脉冲为止；这与图12中所示的第五个脉冲等效，第五个脉冲的作用是使晶体以与初始具有的相同方向和相同频率再发射光子。因此，在这种量子内存装置中，只使用了两个脉冲，一个脉冲用于存储信息而另一个脉冲用于按要求再产生初始库比特(qubits)。用这种方式可以使相干内存器的存储时间足以完成约一百万量子逻辑运算的。这就有足够的时间来使用量子误差校正方法，可以无限期扩展相干存储时间。

要求量子计算机上的有效计算达到10¹²次运算。不使用内存装置，即使考虑了高度并行性，完成此数量的计算似乎仍是不可能的。然而，这种并行处理仍可以被用于完成计算机内相对复杂的数学运算。

例如，如果图17所示的非线性相移装置具有1cm的长度，那么进行逻辑运算所要求的时间量Δt_op将为33微微秒级，这是以光速传输的时间。市售光纤的最小衰减系数为0.16dB/km，这意谓着光子在其达到50％的吸收几率之前约可以传输20km。光纤中进行的量子密码术实验以及双光子干涉仪实验均表明，在相当于约130微秒的传输时间的距离内可以保持量子力学库比特(qubits)相干性。基于这些数据，光子可以存储在足以完成约4×10⁶个逻辑运算长度的光纤回路内。

如果要求10¹²个逻辑运算，那么光子在光纤回路中的存储时间明显不够。另一方面，内部存储时间远长于Δt_op的事实意谓着，可以施加各种误差校正技术以将有效存储时间Δt_store扩展很多。由所提议的示于图20的内存装置进行说明，此内存装置含有两个光纤回路，一个用于代表逻辑值0而另一个代表逻辑值1。传统的光纤开关可以被用于将光子置于存储回路中并且在所需要时恢复它。(市售的此类开关含有具有光电控制相移的光纤干涉仪。)

利用冗余位的误差校正技术可用于使信息“避免”任何单去相干事件。即使在足够短的时间内对位进行监视，有效存储时间仍被大大减少。由于可以对大多数常规误差源(吸收)进行校验而不改变库比特(qubits)的数值，故此可以充分利用上述量子非破坏性测量；量子非破坏性测量可以测量两个回路中的光子总数而无需确定光子位于哪个回路。这允许频繁校验以确保出现的差错不多于一个，此时误差校正技术还可以被用于恢复正确的库比特(qubits)。这就可以假设这些装置的有效存储时间仅受到基本量子门性能的限制。

这种装置中产生的大多数误差可能是由于开关而非由于光纤回路。可以通过使一定容量的存储寄存器具有不同长度的光纤回路来使此问题最小化。由于我们已知库比特(qubits)需要被经常检索，在检索时，库比特(qubits)可以被存储在具有正确长度的存储装置中以致只有少数需要通过开关传送。

使用此类内存存储装置或普通光学方法的另一个问题是色散偶然会改变光波包的形状，并使得它们在略微不同的时间到达逻辑门。通过使用包含在图20所示的两个回路中的同步装置可以使色散作用最小。这些均是在计算机时钟周期严格定义的时间被接通的非线性装置(经典的)。各同步装置均含有其折射率可以由触发器控制并具有随空间变换的折射率的光电材料。装置左侧的折射率较高，因此在标称位置之前的光子将被减速。装置右侧的折射率较低，因此在其标称位置之后的光子将被加速。

可以相信，这些装置的运算会限制色散作用并达到不发生波群的进一步色散的平衡状况。此状况有些类似于安德森(Anderson)定位，它限制了某些同体系统中的色散。用于控制色散的其它方法将利用量子逻辑门自身的非线性性质，这可以对已发生的色散进行“反转”；这是类似于通常用于非线性光学和脉冲激光器的窄脉冲技术。也可能需要组合使用这些方法。

计算结束时，有必要测量一个或多个库比特(qubits)寄存器中的内容。为此需要高效光子检测器。

当前使用的一台单光子检测器的测量效率为74％。大多数无效部分是由于光子从检测器的表面反射。将被反射的光子聚焦到第二台检测器以及之后的第三台检测器，获得约99％的检测效率。尽管需要进一步改进此技术，这表明在常规基础上传统方法最终也给出99％的单光子检测效率。

再次使用图4所示的受控“非”门电路可被用作光子数的量子非破坏性测量可以获得更高的检测效率。由于此过程可以被重复多次，所以未检测到光子的概率以指数律变小。因此最终的单光子检测效率将依赖于上述基本量子逻辑门的性能。

根据以下理论计算，已确认了许多内在的或物质的去相干性源，这些源包括：

·线性吸收

·非线性吸收

·反冲动量

·碰撞

·原子密度的涨落

不存在其它光子时，线性吸收对应于通过介质的光束的常规衰减。由于被原子吸收的能量通常以另一个光子的形式被再发射，所以多数这类“吸收”对应于光子散射。众所周知，通过使光子失谐远离原子的谐振频率可以将此类散射减小到可以忽略的程度，此处折射率的实部变得比虚部大得多。这就是玻璃可以透明的原因，同样的效应适用与本发明的逻辑门。

如上所述，非线性吸收是当两个或多个光子同时出现在介质中时的另一种散射。这种散射形式对于大的失谐也变得可以忽略，并且这种情况类似于诸如碘酸锂等常用非线性晶体的透明性。

对于介质中的大量原子，去相干性的反冲动量作用变得可以忽略。这是因为非相干事件率与介质中的原子数成正比，而感兴趣的相干位移与原子数的平方成正比。由于与缓冲气(如果被使用)发生碰撞，预期相同的情况可以适用于去相干。

原子密度涨落引起由介质产生的非线性相移的变化。当介质中的原子数增加时，这些涨落也可以忽略。

由于上述原因，对于足够多的原子数，与足够大失谐的特有去相干性比较，预期所有已知的内部去相干源可以被忽略。如果假设每个逻辑运算的特有去相干性为10^-3量级，那么，根据此理论，这要求失谐大于10^-3谱线宽度并且原子数应大于10⁶。这两种情况似乎均可行。

下列特殊去相干源已被标识：

·在光纤中或在波导管中吸收和散射

·光纤开关的损耗

·色散

·不正确的非线性相移量

·光纤连接器中的损耗

在当前使用的波导管结构中吸收明显太大了以致不能使本发明技术应用于纯表面结构。本领域的进一步发展可以采用混合装置，即采用波导管结构实现某些功能，而在内存装置采用光纤回路。

如上所述，由于市售光纤中的散射产生的吸收将光子库比特(qubits)的内部存储时间限制在约4×10⁶个逻辑运算，这与每次运算的存储误差率10^-6相对应。这低于其它预期特有去相干源，并预期误差校正技术可以对它进行补偿。

光纤开关中的损耗主要是由于这些光纤干涉仪中的相位误差。在光纤干涉仪中通常达到优于99％的可见性，并且利用下面将说明的反馈技术将这种相位误差减小到小于10^-3似乎是可能的。再一次，可以抑制波导管结构中的损耗，并且有必要使用与图17类似的全光纤装置但是使用经典光电介质。

色散可能成为一个严重问题，并且需要对它进行某些形式的补偿。如上所述，已确认有几种机理可用于此目的，但是没有一个被深入分析。原则上，没有理由不能将色散减小到不明显的程度，但是为了对可能由色散引起的误差提供定量评估需要进行详细的计算和实验。

在任何给定的量子逻辑门中施加的非线性相移量将受到诸如装置几何结构变化、失谐量变化、介质中原子密度变化的影响。可以利用系统中采用的用于量子密码术的反馈技术将这种误差减小到很小程度，反馈技术对类似的相位误差敏感。如图21所示，不属于实际计算一部分的实验光子通过逻辑门被周期性地发送并测量了结果。然后，通过改变外部磁场可以对相移施加适当校正。根据过去的经验，此方法应该可以将这种几何误差减小到10^-3的程度。可以预期这种反馈对于每个门均是必需部分。

在两条光纤的连接中必然发生某些损耗。市售的光纤连接系统通常可以实现的每次连接的损耗系数为0.003。通过采用前面已讨论的并行处理算法可以在某种程度上使这些损耗最小。有理由预期，连接系统的进一步发展会将这些损耗降到低于10^-3量级。

可能除了色散之外，所有特殊去相干源最终均可以根据改进的、或多或少标准的光学技术被减到对于每次运算低于10^-3。光学测量常规上具有这种精度。

最近估计，当考虑了误差校正所要求的额外库比特(qubits)时，完成诸如阶乘大整数的实用计算所要求的库比特(qubits)数将达到10⁶量级。难于想象某些其它建议的量子计算机的实施方案能够按比例达到此库比特(qubits)数。例如，空腔-QED法会要求一百万个空腔和势阱，而在离子势阱中含有一百万个离子绝对不可能。如果对建立实用的量子计算机的可能性非常感兴趣，那么就必需了解是否存在可以按比例达到必需的比特数的可能方法。

本发明方法的一个主要优点在于各量子逻辑门互相之间均是实际分立的，与离子势阱的情况不同。如果可以构建一个运行良好的量子逻辑门，那么可以需要多少就构建多少，而不考虑成本。本发明方法的主要优点在于小要求复杂结构，诸如极高-Q的空腔、原子束、原子势阱等。因此，基于图17所示的结构的量子逻辑门最终会以制造实用计算机的足够低的成本进行大批量生产。

上述对单光子源、内存存储装置以及高效光子检测器的讨论表明，所有这些功能均依赖于基本逻辑门的性能。这些装置的最佳性能主要受门质量的限制。

上述讨论表明，对各逻辑运算的误差将受到特有去相干的限制，而非受到物理去相干的限制，并且有理由认为可能除了色散之外，这些误差均可以被降到低于10^-3。所进行的普通光学测量也具有此精度。

量子计算有希望成为一种最终提供完成传统计算机不可能完成的数值计算的能力的新技术。这些强大的能力是使用非经典逻辑单元以及量子计算机在单处理器上可以并行计算的能力获得的。量子计算机的发明将是计算机科学和信息理论的一场革命。本发明的量子计算的光学方法比其它方法具有许多优点，包括构建与光纤和波导管相连的独立逻辑门的能力、利用大的解调使去相干性最小化的能力，以及无需要求高-Q空腔、原子束或势阱。

Claims (4)

1.一种用于产生包含非共振光子的非线性相移的方法，其特征在于，该方法包括：

通过含有多个原子对的第一介质传播两个非共振的光子，以便在两个光子与一对原子之间产生交换相互作用，因此原子被置于具有递增几率的激发态；

通过第一介质传播非共振光子之一，而另一个非共振光子通过第二介质传播，第一介质和第二介质均含有多个原子，因此当光子处于不同的介质中时，原子被置于不存在交换相互作用的、具有递减几率的激发态；以及

微扰原子的激发态以在原子激发态产生相移，当两个光子位于同一个介质中时的相移大于两个光子位于分离的介质中时的相移，因此产生非线性相移。

2.根据权利要求1所述的产生非线性相移的方法，所述的微扰步骤包括对第一介质和第二介质施加激光脉冲，以微扰原子的激发状态的步骤。

3.根据权利要求1所述的产生非线性相移的方法，所述的微扰步骤包括对第一介质和第二介质施加多个激光脉冲，以微扰原子的激发态的步骤。

4.根据权利要求1所述的产生非线性相移的方法，微扰步骤包括对介质加入缓冲气体以增加光子与原子之间的碰撞次数、进而增加交换相互作用的次数、增加了非线性相移的大小。

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