CN116049922A - 应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其包括：构建金属结构部件的应力强度因子概率模型，构建金属结构部件的裂纹传播概率模型，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值概率密度函数，构建考虑应力强度因子门槛值不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，基于考虑应力强度因子门槛值不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，获得金属结构部件允许的最大裂纹尺寸。本发明考虑了与疲劳裂纹扩展速率模型有关的不确定性，将应力强度因子门槛值的概率分布引入确定性K‑T图中，实现疲劳耐久性可靠性的严格建模，可生成不同可靠性约束下的极限状态面而进行定量分析，适用性强。

Description

应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测 方法

技术领域

本发明属于疲劳可靠性技术领域，特别是一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法。

背景技术

在齿轮齿、涡轮叶片和经历高频负载的火车轮等金属结构部件上，疲劳极限是无限疲劳寿命设计的重要参数之一。1860年，

在发现金属疲劳现象的开创性工作中，就提出了寿命曲线和疲劳极限的概念，并一直沿用至今。疲劳极限也称为持久极限，被认为是极限应力，在此应力之下，所施加的循环应力对材料没有不利影响，材料从而获得了所谓的无限疲劳寿命。然而，对于实际工程应用的金属材料，由于冶金技术和杂质作用，材料会不可避免地有宏观或微观的缺陷。如果忽视材料内缺陷引起的裂纹扩展影响，将引发灾难性后果。

在过去20年里，由于材料、制造以及载荷、温度等外部因素的固有不确定性，疲劳可靠性问题得到广泛关注。近年来新能源和数字孪生等新兴领域快速发展，疲劳可靠性问题越来越受到重视。为了对含缺陷材料无限疲劳寿命设计的可靠性进行分析，必须系统地处理两个关键问题。第一，最大允许的应力循环范围不应超过无表面缺陷理想状态下的疲劳极限；同时，当含有制造引起的缺陷时，如微尺度的孔隙、缺口和夹杂物，最大允许循环应力范围不应导致裂纹的扩展。第二，必须以合理的方式考虑固有的不确定性。在线弹性断裂力学的范畴，疲劳裂纹扩展速率(FCGR)受应力强度因子(SIF)的影响。应力强度因子与裂纹的大小、单载荷周期内的应力范围以及裂纹的形状或几何形状成正比。当应力强度因子小于其门槛值(ΔK_th)，裂纹将停止增长或以可忽略的速度增长，零件仍然可以达到无限的疲劳寿命。因此，为了解决这两个关键问题，有必要将疲劳极限与应力强度因子门槛值联系起来，使得最大允许的循环应力范围不超过疲劳极限，防止裂纹扩展。由于影响疲劳裂纹扩展门槛值的确切机制尚未研究透彻，难以精确表述ΔK_th。实际中需根据疲劳裂纹扩展测试数据确定ΔK_th，在不断减少施加的应力强度因子值同时，监测疲劳裂纹扩展速率。当扩展速率小于规定值，施加的应力强度因子被作为ΔK_th。实验证明，许多因素都会影响门槛值ΔK_th，如试验环境大气可能导致门槛值降低，在不同应力比下塑性引起的裂纹闭合可能增加或减少门槛值，材料的微观结构特性如晶粒大小、形状和织构影响材料屈服强度等机械参数影响门槛值。因此，由于这些外在和内在的影响因素，应力强度因子门槛值ΔK_th具有很大的不确定性。使用确定性的方法来确定ΔK_th是不合理的，无法说明材料固有不确定性。另外，通过将门槛值ΔK_th作为一个单独的拟合参数，使用拟合的统计下限来减轻不确定性风险，但由于在门槛值区域附件的渐进性质，很难选择一个合适的拟合模型。尽管有许多研究针对了疲劳可靠性问题，但仍然很少看到合理的应力强度因子门槛值概率模型。因此，为解决上述两个关键问题，寻求一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，以更加系统地进行疲劳耐久性可靠性分析是十分迫切且必要的。

发明内容

本发明针对上述现有技术中的缺陷，提出一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法。该方法包括构建金属结构部件的应力强度因子概率模型，构建金属结构部件的裂纹传播概率模型，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值概率密度函数，构建考虑应力强度因子门槛值不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，基于考虑应力强度因子门槛值不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，获得金属结构部件允许的最大裂纹尺寸。本发明考虑了与疲劳裂纹扩展速率模型有关的不确定性，将应力强度因子门槛值的概率分布引入确定性K-T图中，实现疲劳耐久性可靠性的严格建模，可生成不同可靠性约束下的极限状态面而进行定量分析，适用性强、实用性好。

本发明提供一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其包括以下步骤：

S1、构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型：基于概率理论和疲劳裂纹扩展速率FCGR数据，建立金属结构部件疲劳裂纹扩展速率和应力强度因子之间的确定性数学关系，构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，所述金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型采用经典Paris模型描述疲劳行为：

其中，a表示裂纹尺寸；N表示循环载荷数；ΔK表示单个载荷周期内应力强度因子；C和m分别表示第一材料拟合参数和第二材料拟合参数；d表示微分；

S2、构建金属结构部件的裂纹传播概率模型：基于金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，考虑固有不确定性和建模误差，构建金属结构部件的裂纹传播概率模型；

S3、构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数：分别在确定性测量、不确定性测量和未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S4、构建考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型；

S41、原始K-T图由疲劳极限和ΔK_th的两条直线相交而成，两条直线交点的x轴坐标为：

其中，Δσ_e表示疲劳极限；Y_g表示几何修正银子；a₀表示固有裂纹长度；

S42、由El Haddad实验数据修改K-T图为两条直线在a₀处光滑过渡，门槛值应力Δσ_th为：

其中，F表示几何校正系数；

S43、将式(22)代入到式(23)中得到门槛值应力Δσ_th为：

S44、基于一次二阶矩法FOSM，计算lnΔσ_th的均值

和方差Var(lnΔσ_th)；

S45、根据lnΔσ_th的生存函数，得到考虑ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型：

其中，β表示可靠性指数；r表示可靠度；

S5、基于考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，获得金属结构部件允许的最大裂纹尺寸。

进一步，所述步骤S2具体包括以下步骤：

S21、考虑固有不确定性和建模误差，对所述金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型取对数得：

其中，ε表示第一标准差为σ_ε的高斯随机变量；

S22、所述单个载荷周期内应力强度因子ΔK下裂纹的传播概率POP(ΔK)为：

其中，Pr[·]表示事件概率；

表示疲劳裂纹扩展速率的检测门槛值；

S23、将式(3)代入式(4)得到POP(ΔK)为：

S24、考虑到ε为均值为0的高斯随机变量，根据其对称性质，基于式(5)得到金属结构部件的裂纹传播概率模型：

其中，Φ(·)表示标准正态分布的累积分布函数。

可优选的，所述步骤S3具体包括以下步骤：

S31、令lnΔK和

分别记作x和y，令x、y和ε的实际值分别为X、Y和ε，且满足X∈(x,x+dx)、Y∈(y,y+dy)和ε∈(ε,ε+dε)，其中dx、dy和dε分别表示为x、y和ε的增量；X、Y和ε的概率分布p(Y)、p(X)和p(ε)分别表示为p(Y)＝f_Y(y)、p(X)＝f_X(x)和p(ε)＝f_ε(ε)，其中f_Y(y)，f_X(x)和f_ε(ε)分别表示x、y和ε的概率密度函数；

S32、记疲劳裂纹扩展为事件D，事件D下Y的概率分布p(Y|D)用X、Y和事件D下ε的联合概率分布p(X,Y,ε|D)表示：

p(Y|D)＝∫∫p(Y,X,ε|D)dXdε (7)；

S33、当X和ε相互独立时，式(7)用条件概率表示为：

p(Y|D)＝∫∫p(Y|X,ε,D)p(X|D)p(ε|D)dXdε (8)

其中，p(Y|X,ε,D)表示X条件下Y、ε和事件D的联合概率分布；p(X|D)表示事件D下X的概率分布；p(ε|D)表示事件D下ε的概率分布；

S34、由式(3)得p(Y|X,ε,D)为：

p(Y|X,ε,D)＝δ(y-lnC-mx-ε) (9)

其中，δ(·)表示狄拉克函数；

S35、将式(9)带入到式(7)中，再对ε积分得事件D下Y的概率分布p(Y|D)：

p(Y|D)＝∫f_X(x)f_ε(y-ln C-mx)dx (10)；

S36、确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S37、不确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数：记测量误差变量为e，由随机变量E描述，测量误差变量的概率密度函数为f_E(e)，基于确定性测量下构建的金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数，当测量误差变量是一个第二标准差为σ_e的高斯变量时，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数为：

其中，

表示总误差方差且有

S38、未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S39、计算应力强度因子门槛值ΔK_th的均值

标准差

和分位数

可优选的，所述步骤S36具体包括以下步骤：

S361、对于确定性测量，X空间坍缩成一个点，此时f_X(x)＝δ(x)，式(10)简化为：

p(Y|D)＝f_ε(y-ln C-mx) (11)

其中，f_ε(·)表示第一标准差为σ_ε的高斯概率密度函数；

S362、y-ln C-mx为第一标准差为σ_ε的高斯变量，x为均值为(y-ln C)/m且标准差为σ_ε/m的正态随机变量；将x和y变回lnΔK和

并省略D，得到应力强度因子ΔK概率密度函数p(ΔK)：

其中，φ(·)表示标准正态分布的概率密度函数；

S363、应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数p(ΔK_th)直接从式(12)得到：

所述步骤S38具体包括以下步骤：

S381、当施加的应力强度因子不会导致裂纹扩展，即事件D不发生时，在事件D的对立事件

条件下，应力强度因子门槛值Δk_th概率密度函数

用贝叶斯定理表示为：

其中，

表示当应力强度因子门槛值为ΔK_th时未检测到裂纹增长时的似然函数项；

表示标准化常数且有

π(ΔK_th)表示应力强度因子门槛值ΔK_th的先验概率分布；

表示似然函数项且表示为：

其中，POP(ΔK_th)表示应力强度因子门槛值ΔK_th的裂纹传播概率，基于步骤S24获得；

S382、将式(16)代入到式(15)中，得到

S383、考虑到式(17)中分母是一个常数，则有：

所述步骤S39具体包括以下步骤：

S391、由式(13)得ΔK_th遵循对数正态分布，ΔK_th的平均值

为：

S392、ΔK_th的标准差

为：

S393、ΔK_th的分位数

为：

其中，erf^-1(·)表示逆误差函数；q表示分位点。

可优选的，所述步骤S44中lnΔσ_th的均值

和方差Var(lnΔσ_th)分别为：

其中，Var(lnΔK_th)表示lnΔK_th的方差；Var(lnΔσ_e)表示lnΔσ_e的方差；

表示偏微分；ψ₁、ψ₂和ψ分别表示第一分布参数、第二分布参数和第三分布参数，且有；

其中，

表示lnΔK_th的均值；

表示lnΔσ_e的均值。

可优选的，所述步骤S1中的所述单个载荷周期内应力强度因子ΔK在恒定应力幅值下表示为：

其中，Δσ表示单个载荷周期内应力范围。

可优选的，所述步骤S45中的可靠性指数β与可靠度r满足：

β＝-Φ^-1(1-r) (29)

其中，Φ^-1(·)表示标准正态累积分布函数的逆函数。

与现有技术相比，本发明的技术效果为：

1、本发明提出的一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，利用疲劳裂纹扩展速率模型和测试数据对应力强度因子门槛值附近裂纹扩展行为进行概率建模，通过将应力强度因子门槛值的概率分布引入Kitagawa-Takahashi图(K-T图)中，保证疲劳耐久性可靠性的严格建模，从而实现可靠性分析和优化分析；在风险约束条件下，所提方法提供了一个可靠性设计优化的量化手段，适用性强、实用性好。

2、本发明提出的一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，由于ΔK_th的概率密度函数是基于疲劳裂纹扩展速率模型和疲劳裂纹扩展测试数据得到的，所以与疲劳裂纹扩展速率模型有关的不确定性均被考虑到；通过将ΔK_th的概率密度函数引入确定性K-T图中，得到了概率性的K-T图，并建立了疲劳耐久性可靠性模型，可利用该模型生成不同可靠性约束下的极限状态面而进行定量分析。

附图说明

通过阅读参照以下附图所作的对非限制性实施例所作的详细描述，本申请的其它特征、目的和优点将会变得更明显。

图1是本发明的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法流程图；

图2是本发明的含缺陷材料中无限寿命设计的疲劳极限和应力强度因子门槛值关系的原始K-T图；

图3是本发明的El Haddad修正的K-T图；

图4a是本发明的铸铁在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图4b是本发明的AISI4340不锈钢在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图4c是本发明的2024-T3铝合金在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图4d是本发明的7075-T651铝合金在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图4e是本发明的In718镍基合金在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图4f是本发明的铜合金在不同应力比条件下应力强度因子门槛值的概率密度函数结果图；

图5是本发明的齿轮基本参数和力的分解示意图；

图6是本发明的齿轮的等效可靠性K-T图；

图7是本发明的在不同可靠性约束条件下允许的裂纹尺寸与超速系数关系示意图；

图8a是本发明的冶金控制参数与平均疲劳极限关系曲线图；

图8b是本发明的表面加工控制参数与初始裂纹尺寸关系曲线图；

图9是本发明的可靠性指数为4时疲劳极限、缺陷尺寸和控制参数的关系曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本申请作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释相关发明，而非对该发明的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与有关发明相关的部分。

需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本申请。

图1示出了本发明的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，该方法包括以下步骤：

S1、构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型：基于概率理论和疲劳裂纹扩展速率FCGR数据，建立金属结构部件疲劳裂纹扩展速率和应力强度因子之间的确定性数学关系，构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，所述金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型采用经典Paris模型描述疲劳行为：

其中，a表示裂纹尺寸；N表示循环载荷数；ΔK表示单个载荷周期内应力强度因子；C和m分别表示第一材料拟合参数和第二材料拟合参数；d表示微分。

需要注意的是，所提方法同样适用于其他疲劳裂纹扩展速率模型。

单个载荷周期内应力强度因子ΔK在恒定应力幅值下表示为：

其中，Δσ表示单个载荷周期内应力范围；F表示几何校正系数，且与裂纹实际边界和形状有关。

S2、构建金属结构部件的裂纹传播概率模型：基于金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，考虑固有不确定性和建模误差，构建金属结构部件的裂纹传播概率模型。

S21、考虑固有不确定性和建模误差，对金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型取对数得：

其中，ε表示第一标准差为σ_ε的高斯随机变量。

S22、单个载荷周期内应力强度因子ΔK下裂纹的传播概率POP(ΔK)为：

其中，Pr[·]表示事件概率；

表示疲劳裂纹扩展速率的检测门槛值，可以是测量设备的一个物理极限，也可以是一个规定值。式(4)的意义在于由于物理和或机械的限制，实际设备无法检测到任意小的裂纹尺寸增量。

S23、将式(3)代入式(4)得到POP(ΔK)为：

S24、考虑到ε为均值为0的高斯随机变量，根据其对称性质，基于式(5)得到金属结构部件的裂纹传播概率模型：

其中，Φ(·)表示标准正态分布的累积分布函数。

S3、构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数：分别在确定性测量、不确定性测量和未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数。

S31、使用大写字母表示随机变量，小写字母表示随机变量的实际值。为了简化，令lnΔK和

分别记作x和y，令x、y和ε的实际值分别为X、Y和ε，且满足X∈(x,x+dx)、Y∈(y,y+dy)和ε∈(ε,ε+dε)，其中dx、dy和dε分别表示为x、y和ε的增量；X、Y和ε的概率分布p(Y)、p(X)和p(ε)分别表示为p(Y)＝f_Y(y)、p(X)＝f_X(x)和p(ε)＝f_ε(ε)，其中f_Y(y)，f_X(x)和f_ε(ε)分别表示x、y和ε的概率密度函数。

S32、记疲劳裂纹扩展为事件D，事件D下Y的概率分布p(Y|D)用X、Y和事件D下ε的联合概率分布p(X,Y,ε|D)表示：

p(Y|D)＝∫∫p(Y,X,ε|D)dXdε (7)。

公式7是对整个X和ε的有效联合空间进行积分。

S33、当X和ε相互独立时，式(7)用条件概率表示为：

p(Y|D)＝∫∫p(Y|Y,ε,D)p(X|D)p(ε|D)dXdε (8)

其中，p(Y|X,ε,D)表示X条件下Y、ε和事件D的联合概率分布；p(X|D)表示事件D下X的概率分布；p(ε|D)表示事件D下ε的概率分布。

S34、由式(3)得p(Y|X,ε,D)为：

p(Y|X,ε,D)＝δ(y-lnC-mx-ε) (9)

其中，δ(·)表示狄拉克函数。

S35、将式(9)带入到式(7)中，再对ε积分得事件D下Y的概率分布p(Y|D)：

p(Y|D)＝∫f_X(x)f_ε(y-ln C-mx)dx (10)。

值得注意的是，在式(10)中变量x的概率密度函数f_X(x)仍是未知的。

S36、确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数。

S361、对于确定性测量，X空间坍缩成一个点，此时f_X(x)＝δ(x)，式(10)简化为：

p(Y|D)＝f_ε(y-ln C-mx) (11)

其中，f_ε(·)表示第一标准差为σ_ε的高斯概率密度函数。

S362、y-ln C-mx为第一标准差为σ_ε的高斯变量，x为均值为(y-ln C)/m且标准差为σ_ε/m的正态随机变量；将x和y变回lnΔK和

并省略D，得到应力强度因子ΔK概率密度函数p(ΔK)：

其中，φ(·)表示标准正态分布的概率密度函数。

需要强调的是，式(12)给出的应力强度因子ΔK概率密度函数是在已知

数据条件下的。参数(ln C,m,σ_ε)通过疲劳试验数据和Paris公式拟合得到。

S363、根据定义知道，应力强度因子门槛值ΔK_th是一个门槛值参数，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数p(ΔK_th)直接从式(12)得到：

疲劳裂纹扩展速率的检测门槛值

可以根据测量装置或物理极限值确定。例如，在ASTM标准E647中给出

S37、不确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数。

式(11)假设了误差完全来源于模型。然而，测量的不确定性仍值得需要考虑。记测量误差变量为e，由随机变量E描述，测量误差变量的概率密度函数为f_E(e)。已知两个均值为0的高斯变量的卷积仍等于一个均值为0高斯变量。因此，基于确定性测量下构建的金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数，当测量误差变量是一个第二标准差为σ_e的高斯变量时，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数为：

其中，

表示总误差方差且有

在实际工程应用中，单独考虑测量误差可能是没有必要的。一方面，主要由于测量不确定性很难测量。另一方面，在实际应用中，只要各个误差分量是独立且服从正态分布，可以把误差变量ε作为总误差。在此条件下，估计的σ_ε已经涵盖了各个误差成分的贡献。因此，式(13)是使用疲劳裂纹扩展速率测试数据和Paris方程获得应力强度因子门槛值ΔK_th的概率密度函数的全部条件。

S38、未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数。

S381、在K-递减测试中，只要施加的应力强度因子足够小，或者由于设备限制或低信噪比，监测设备无法检测到裂纹长度的增加。用事件D的对立事件，

描述以上两种情况和其他所有可能的情况。当施加的应力强度因子不会导致裂纹扩展，即事件D不发生时，在事件D的对立事件

条件下，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数

用贝叶斯定理表示为：

其中，

表示当应力强度因子门槛值为ΔK_th时未检测到裂纹增长时的似然函数项；

表示标准化常数且有

π(ΔK_th)表示应力强度因子门槛值ΔK_th的先验概率分布；

表示似然函数项且表示为：

其中，POP(ΔK_th)表示应力强度因子门槛值ΔK_th的裂纹传播概率，基于步骤S24获得。

S382、将式(16)代入到式(15)中，得到

S383、考虑到式(17)中分母是一个常数，则有：

为了评价式(18)，需要指定应力强度因子门槛值ΔK_th的先验概率分布。在没有任何信息的情况下，可以使用非信息性先验或扁平先验。

S39、计算应力强度因子门槛值ΔK_th的均值

标准差

和分位数

S391、由式(13)得ΔK_th遵循对数正态分布，ΔK_th的平均值

为：

S392、ΔK_th的标准差

为：

S393、ΔK_th的分位数

为：

其中，erf^-1(·)表示逆误差函数；q表示分位点。

S4、构建考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型。

从应力振幅与疲劳寿命试验曲线上看，当试样表面无缺口或裂纹，许多金属材料存在水平渐近线。在该水平线下，认为材料具有无限的疲劳寿命。而水平渐进线认为是分割“无限”和“有限”区域的极限，其对应的应力被称为疲劳持久极限或者疲劳极限。但是有一些材料，如铝合金和钛合金，没有表现出类似的水平渐近线，因此也没有所谓的“无限寿命”。本发明针对的是具有疲劳极限特性的金属材料，但整个建模方法也适用于没有疲劳极限特性的金属材料。在实际中，理想的情况是很少见的，一个零件不可能完全没有微裂纹、孔隙或凹槽等缺陷。为了研究这些缺陷对疲劳寿命的影响，将这些缺陷当作尖锐裂纹。对于需要无限疲劳寿命的金属结构部件零件来说，他们在大多数情况下都处于高频载荷状态，相对于服役时间，疲劳裂纹扩展寿命是非常短的。因此，施加的应力强度因子必须低于门槛值，以确保裂纹不在生长。K-T图描述了疲劳极限和应力强度因子关系。

S41、如图2所示，原始K-T图由疲劳极限和ΔK_th的两条直线相交而成，两条直线交点的x轴坐标为：

其中，Δσ_e表示疲劳极限；Y_g表示几何修正银子；a₀表示固有裂纹长度。

S42、如图3所示，由El Haddad实验数据修改K-T图为两条直线在a₀处光滑过渡，门槛值应力Δσ_th为：

S43、将式(22)代入到式(23)中得到门槛值应力Δσ_th为：

S44、根据式(13)，知道ΔK_th服从对数正态分布。通常疲劳极限Δσ_e被视为韦伯分布或对数正态分布变量。这里我们使用对数正态假设，而门槛值应力Δσ_th是一个正变量。为了简化计算，基于一次二阶矩法FOSM，计算lnΔσ_th的均值

和方差Var(lnΔσ_th)。

lnΔσ_th的均值

和方差Var(lnΔσ_th)分别为：

其中，Var(lnΔK_th)表示lnΔK_th的方差；Var(lnΔσ_e)表示lnΔσ_e的方差；

表示偏微分；ψ₁、ψ₂和ψ分别表示第一分布参数、第二分布参数和第三分布参数，且有；

其中，

表示lnΔk_th的均值；

表示lnΔσ_e的均值。

S45、一次二阶矩法FOSM计算结果意味着lnΔσ_th服从正态分布，根据lnΔσ_th的生存函数，可以得到可靠性指数为β的K-T图，即得到考虑ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型：

其中，β表示可靠性指数；r表示可靠度。

可靠性指数β与可靠度r满足：

β＝-Φ^-1(1-r) (29)

其中，Φ^-1(·)表示标准正态累积分布函数的逆函数。

需要说明的是，也可以采用传统采样方法如蒙特卡罗法代替一次二阶矩法来获取式(24)的经验分布。由于一次二阶矩法的计算效率和在分析可靠性指数方面的优势，本发明采用了一次二阶矩法。这两种方法在适当的条件下可以互换使用。

S5、基于考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，获得金属结构部件允许的最大裂纹尺寸。

在一个具体实施例中，为了论证所提方法的有效性，列举了三个工程案例。首先，将提出的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数应用于各种金属材料，利用疲劳裂纹扩展测试数据验证所提方法的适用性。接下来，对一个真实齿轮齿的可靠性设计进行评估，来论证所建立的基于考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型。最后，进一步举例说明可靠性设计优化。

(1)不同金属材料应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数

首先，通过各种金属材料的疲劳裂纹扩展数据，利用最小二乘法求得Paris方程中的模型参数，即(ln C,m,σ_ε)。然后，根据步骤S3的式(13)和疲劳裂纹扩展速率的检测门槛值

得到应力强度因子门槛值ΔK_th的概率密度函数。本发明中的门槛值选择准则为ASTM标准E647中规定的门槛值和实验数据中最小的

值之间较小的一个，即：

其中，S表示疲劳裂纹扩展数据集。

表1 列了材料的类型和所提方法计算得到的结果。

表1

根据式(19)和(20)，分别得到应力强度因子门槛值ΔK_th的均值和标准差。表中最后一列括号内R值为与测试数据相关的应力比。基于表1中不同材料和不同应力比条件，得到相对应的应力强度因子门槛值ΔK_th的概率密度函数(PDF)，分别如图4a～图4f所示。

(2)可靠性设计评估

这里将所提的基于考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型应用于齿轮啮合的可靠性设计评估中。在实际中，金属齿轮通常是根据材料的疲劳极限进行设计的，因为裂纹扩展寿命可能非常短，无法在高速旋转下提供任何实际用途。应该注意的是，尽管齿轮的设计遵循“无限寿命”的设计规则，但由于材料固有的不完善性，在现实中齿轮并没有无限的寿命。齿轮的齿形示意图如图5所示，其中压力角为θ的力W可分解为径向分量W_r和切向分量W_t，图5中的P为节圆。

若传输功率定义为P(单位为W)、转速为ω(单位为rpm，每分钟转数)，则扭矩T为：

T＝P/(2πω/60) (31)。

齿轮模数m_z＝3，齿数n_t＝40，齿根处的弯曲应力S_b为：

其中，p_d表示模距；t表示齿厚；y_L表示Lewis形式系数；V_p表示节线速度，单位为米/分钟；V₀＝365.76m/min。在式(32)中，p_d＝1/m_z，W_t＝2·T/(D_p/1000)，D_p表示节圆直径(单位为mm)且有D_p＝m_z·N_t，V_p＝ωπD_p/1000。将所有设计变量代入式(32)中，弯曲应力重新表示为：

对于压力角θ＝20°、齿数N_t＝40的全齿轮，Lewis形式系数y_L≈0.39。当一旦给定了传动功率P和转速ω，就可用公式(33)来评估齿根处的弯曲应力。

对于设计评估，需要疲劳耐久可靠性模型中的参数(ln C,m,σ_ε)。考虑到齿轮的材料为结构钢，所以利用表1中与AISI 4340不锈钢相关的疲劳裂纹扩展试验数据和S-N测试数据作为建模数据。对于一般的齿轮条件，如表1所示，应力比R＝0，AISI不锈钢的ΔK_th平均和标准偏差分别为

和

假设Δσ_e平均为200MPa，变异系数(COV)为0.1。两个变量都遵循对数正态分布。几何校正系数F取1。由式(27)可得到，

当齿轮名义参数分别为，传输功率P＝10kW，转速ω＝3600RPM，齿厚t＝20mm，齿数N_t＝40n/a，齿轮模数m_z＝3，压力角θ＝20°，Lewis形式系数y_L≈0.39时，齿根最大弯曲应力由式(33)计算为S_b＝89MPa。

使用式(25)、式(26)、式(28)与式(34)中的数值可以得到等效可靠性K-T图，结果如图6所示。从图中可以知道，当名义最大弯曲应力S_b＝89MPa的情况时，若使可靠性达到0.999(相当于β＝3)，最大表面缺陷尺寸不能超过3μm；若齿轮用在高可靠性要求的系统时，如，故障概率为10^-9(β＝6)，此时最大允许的表面缺陷尺寸不能超过1.5μm。对于一般的可靠性要求，如β＝2，允许的表面缺陷尺寸增加到5μm。

对于大多数金属结构部件来说，超速系数是衡量短时间内提升的名义转速能力的重要指标。在齿轮齿的设计评估中，超速系数根据可靠性要求进行合理的量化。在扭矩不变的前提下，最大弯曲应力通过扭矩重新表示为：

其中，α表示超速系数且有α＝ω₀/ω，ω₀表示超速转速。当最大弯曲应力为S_b(α)和裂纹尺寸a时，根据式(28)，可靠性指数进一步表示为：

在指定可靠性指数下，对于不同的超速系数，允许的裂纹尺寸可以用式(36)进行数值求解。图7描述了在有效超速系数范围内允许的裂纹尺寸的结果。一般来说，表面微裂纹与表面加工能力有关。例如，如果在制造过程中能达到最高的表面质量，消除1μm尖锐裂纹的任何微缺口，在可靠性要求β＝5的情况下，最大的超速系数是1.4。此时，最大传输功率可以增加到14kW。

需要注意的是，与传统的确定性K-T图不同，由于ΔK_th的概率模型，所提方法可以产生与任意可靠性指数相关的K-T图。所举例子表明，初始裂纹尺寸、疲劳载荷振幅和对应的可靠性指数通过等效概率K-T图紧密关联起来。式(34)中的分布参数，如ψ₁和Var(lnΔK_th)，对等效概率K-T图有着显著影响。因此，可靠性指数自然包含了疲劳裂纹生长行为和过程中固有的不确定性。

(3)可靠性约束下的制造因素控制最小化

所提方法的优势可以进一步用于多因素背景下的效益分析。为了证明这一点，研究了整个制造过程中的冶金加工和表面处理加工两个主要部分。而且冶金加工决定了疲劳极限，例如，钢铁材料的疲劳极限Δσ_e与碳化物和夹杂物等微观缺陷以及晶粒大小和形状等微观结构相关联。表面处理加工决定了表面缺陷，这些缺陷通常被视为初始缺陷。因此，疲劳耐久性可靠性可以通过疲劳极限Δσ_e和初始表面缺陷尺寸a与整体制造控制参数相关联。假设在给定的控制参数下，冶金加工的疲劳极限Δσ_e的均值是一个凹形的归一化控制参数函数，为：

其中，h₁、σ₁和σ₀均为常数且h₁＝10⁴，σ₁＝400，σ₀＝100。当Δσ_e均值为200MPa时，控制参数函数取最小值1。此外，对于表面精加工，其归一化控制参数函数为：

C_s(a)＝g₀+g₁ exp(-h₂·a) (38)

其中，g₀、g₁和h₂均为常数且g₀＝0.1，g₁＝0.95，h₂＝-50。根据式(37)和(38)，图8a给出了冶金控制参数与平均疲劳极限的关系曲线，图8b给出了表面加工控制参数与初始裂纹尺寸的关系曲线。

根据式(28)，可靠性指数可以表示为：

其中，通过中间变量ψ₂＝lnΔσ_e将Δσ_e包含在公式中。式(39)是关于Δσ_e与a的隐函数。将最大弯曲应力为S_b＝89MPa代入，可以得到当β(Δσ_e,a)＝4时的(Δσ_e,a)控制参数曲线，如图9所示。其中最小的控制参数为1.85。在最小控制参数下，疲劳极限和初始缺陷尺寸分别为Δσ_e＝247MPa和a＝2μm。

此外，以上的控制参数优化分析可以实现初步的敏感性分析。例如，使用与上述相同的计算方法，可以评估不同风险要求下的可靠性指数的最佳组合(Δσ_e,a)。结果总结在表2中。

表2

可以看出，可靠性指数对初始缺陷尺寸a更敏感，而这与表面加工控制参数有关。例如，将可靠性指数从2提高到6需要四倍的表面质量改进。需要强调的是，在实际中，结果可能因冶金和表面处理的实际控制参数各不相同。

本发明设计的一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，利用疲劳裂纹扩展速率模型和测试数据对应力强度因子门槛值附近裂纹扩展行为进行概率建模，通过将应力强度因子门槛值的概率分布引入Kitagawa-Takahashi图(K-T图)中，保证疲劳耐久性可靠性的严格建模，从而实现可靠性分析和优化分析；在风险约束条件下，所提方法提供了一个可靠性设计优化的量化手段，适用性强、实用性好；由于ΔK_th的概率密度函数是基于疲劳裂纹扩展速率模型和疲劳裂纹扩展测试数据得到的，所以与疲劳裂纹扩展速率模型有关的不确定性均被考虑到；通过将ΔK_th的概率密度函数引入确定性K-T图中，得到了概率性的K-T图，并建立了疲劳耐久性可靠性模型，可利用该模型生成不同可靠性约束下的极限状态面而进行定量分析。

最后所应说明的是：以上实施例仅以说明而非限制本发明的技术方案，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明进行修改或者等同替换，而不脱离本发明的精神和范围的任何修改或局部替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (7)

1.一种应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，其包括以下步骤：

S1、构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型：基于概率理论和疲劳裂纹扩展速率FCGR数据，建立金属结构部件疲劳裂纹扩展速率和应力强度因子之间的确定性数学关系，构建金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，所述金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型采用经典Paris模型描述疲劳行为：

其中，a表示裂纹尺寸；N表示循环载荷数；ΔK表示单个载荷周期内应力强度因子；C和m分别表示第一材料拟合参数和第二材料拟合参数；d表示微分；

S2、构建金属结构部件的裂纹传播概率模型：基于金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型，考虑固有不确定性和建模误差，构建金属结构部件的裂纹传播概率模型；

S3、构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数：分别在确定性测量、不确定性测量和未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S4、构建考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型；

S41、原始K-T图由疲劳极限和ΔK_th的两条直线相交而成，两条直线交点的x轴坐标为：

其中，Δσ_e表示疲劳极限；Y_g表示几何修正银子；a₀表示固有裂纹长度；

S42、由El Haddad实验数据修改K-T图为两条直线在a₀处光滑过渡，门槛值应力Δσ_th为：

其中，F表示几何校正系数；

S43、将式(22)代入到式(23)中得到门槛值应力Δσ_th为：

S44、基于一次二阶矩法FOSM，计算lnΔσ_th的均值

和方差Var(lnΔσ_th)；

S45、根据lnΔσ_th的生存函数，得到考虑Δk_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型：

其中，β表示可靠性指数；r表示可靠度；

S5、基于考虑应力强度因子门槛值ΔK_th不确定性的金属结构部件疲劳耐久性可靠性模型，获得金属结构部件允许的最大裂纹尺寸。

2.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S2具体包括以下步骤：

S21、考虑固有不确定性和建模误差，对所述金属结构部件的疲劳裂纹扩展速率模型取对数得：

其中，ε表示第一标准差为σ_ε的高斯随机变量；

S22、所述单个载荷周期内应力强度因子ΔK下裂纹的传播概率POP(ΔK)为：

其中，Pr[·]表示事件概率；

表示疲劳裂纹扩展速率的检测门槛值；

S23、将式(3)代入式(4)得到POP(ΔK)为：

S24、考虑到ε为均值为0的高斯随机变量，根据其对称性质，基于式(5)得到金属结构部件的裂纹传播概率模型：

其中，Φ(·)表示标准正态分布的累积分布函数。

3.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S3具体包括以下步骤：

S31、令InΔK和

分别记作x和y，令x、y和ε的实际值分别为X、Y和ε，且满足X∈(x，x+dx)、Y∈(y，y+dy)和ε∈(ε，ε+dε)，其中dx、dy和dε分别表示为x、y和ε的增量；X、Y和ε的概率分布p(Y)、p(X)和p(ε)分别表示为p(Y)＝f_Y(y)、p(X)＝f_X(x)和p(ε)＝f_ε(ε)，其中f_Y(y)，f_X(x)和f_ε(ε)分别表示x、y和ε的概率密度函数；

S32、记疲劳裂纹扩展为事件D，事件D下Y的概率分布p(Y|D)用X、Y和事件D下ε的联合概率分布p(X，Y，ε|D)表示：

p(Y|D)＝∫∫p(Y，X，ε|D)dXdε (7)；

S33、当x和ε相互独立时，式(7)用条件概率表示为：

p(Y|D)＝∫∫p(Y|x，ε，D)p(x|D)p(ε|D)dXdε (8)

其中，p(Y|X，ε，D)表示X条件下Y、ε和事件D的联合概率分布；p(X|D)表示事件D下X的概率分布；p(ε|D)表示事件D下ε的概率分布；

S34、由式(3)得p(Y|X，ε，D)为：

p(Y|X，ε，D)＝δ(y-ln C-mx-ε) (9)

其中，δ(·)表示狄拉克函数；

S35、将式(9)带入到式(7)中，再对ε积分得事件D下Y的概率分布p(Y|D)：

p(Y|D)＝∫f_X(x)f_ε(y-In C-mx)dx (10)；

S36、确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S37、不确定性测量下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数：记测量误差变量为e，由随机变量E描述，测量误差变量的概率密度函数为f_E(e)，基于确定性测量下构建的金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数，当测量误差变量是一个第二标准差为σ_e的高斯变量时，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数为：

其中，

表示总误差方差且有

S38、未检测到裂纹扩展下，构建金属结构部件的应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数；

S39、计算应力强度因子门槛值ΔK_th的均值

标准差

和分位数

4.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S36具体包括以下步骤：

S361、对于确定性测量，X空间坍缩成一个点，此时f_X(x)＝δ(x)，式(10)简化为：

p(Y|D)＝f_ε(y-ln C-mx) (11)

其中，f_ε(·)表示第一标准差为σ_ε的高斯概率密度函数；

S362、y-ln C-mx为第一标准差为σ_ε的高斯变量，x为均值为(y-ln C)/m且标准差为σ_ε/m的正态随机变量；将x和y变回lnΔK和

并省略D，得到应力强度因子ΔK概率密度函数p(ΔK)：

其中，φ(·)表示标准正态分布的概率密度函数；

S363、应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数p(ΔK_th)直接从式(12)得到：

所述步骤S38具体包括以下步骤：

S381、当施加的应力强度因子不会导致裂纹扩展，即事件D不发生时，在事件D的对立事件

条件下，应力强度因子门槛值ΔK_th概率密度函数

用贝叶斯定理表示为：

其中，

表示当应力强度因子门槛值为ΔK_th时未检测到裂纹增长时的似然函数项；

表示标准化常数且有

表示应力强度因子门槛值ΔK_th的先验概率分布；

表示似然函数项且表示为：

其中，POP(ΔK_th)表示应力强度因子门槛值ΔK_th的裂纹传播概率，基于步骤S24获得；

S382、将式(16)代入到式(15)中，得到

S383、考虑到式(17)中分母是一个常数，则有：

所述步骤S39具体包括以下步骤：

S391、由式(13)得ΔK_th遵循对数正态分布，ΔK_th的平均值

为：

S392、ΔK_th的标准差

为：

S393、ΔK_th的分位数

为：

其中，erf^-1(·)表示逆误差函数；q表示分位点。

5.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S44中lnΔσ_th的均值

和方差Var(InΔσ_th)分别为：

其中，Var(InΔK_th)表示lnΔK_th的方差；Var(InΔσ_e)表示lnΔσ_e的方差；

表示偏微分；ψ₁、ψ₂和ψ分别表示第一分布参数、第二分布参数和第三分布参数，且有；

其中，

表示InΔK_th的均值；

表示lnΔσ_e的均值。

6.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S1中的所述单个载荷周期内应力强度因子ΔK在恒定应力幅值下表示为：

其中，Δσ表示单个载荷周期内应力范围。

7.根据权利要求1所述的应力强度因子门槛值概率建模的金属结构疲劳可靠性预测方法，其特征在于，所述步骤S45中的可靠性指数β与可靠度r满足：

β＝-Φ^-1(1-r) (29)

其中，Φ^-1(·)表示标准正态累积分布函数的逆函数。

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