CN116011181A - 基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，通过试验收集谐波减速器的多元性能退化参数数据，然后通过性能退化参数增量进行维纳过程建模，维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程也是正态过程，因此利用拟合优度图检验性能退化参数增量的参数应满足正态分布应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性；通过的方差分析去考察在试验测试下不同的谐波减速器水平各个退化性能参数有无明显差异，另外应用Copula函数来描述谐波减速器的各个多元性能退化参数的相关性。最后根据可靠性模型对谐波减速器进行多元性能参数可靠性评估。
Description
技术领域
本发明涉及可靠性评估技术领域，特别涉及到一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法。
背景技术
谐波减速器已经被大量的应用在工程机械设备、航空航天等各型机械系统中，成为其中不可或缺的动力传动装置。谐波减速器的构成部分主要为刚轮、柔轮和波发生器，另外还有十字交叉轴承以及上壳体和下壳体共同组成。动力传动的方式主要依靠中间挠性构件的弹性变形来实现。相比于其他减速器，谐波减速器具有体积小、承载能力强、机构紧凑、传动精度高等优点，被广泛应用于驱动机构中。因而对于谐波减速器的可靠性评估显得十分重要。
由于谐波减速器是可靠性、高寿命且内部结构复杂的机械产品，一方面针对传统的这类高可靠性产品，一般的可靠性评估技术需要很长的试验分析周期和较高的经费投入，且在谐波减速器试验测试过程中存在试验样本数量较少、性能退化慢等特点，因而存在有限时间内收集样本性能退化数据信息不足等小样本问题。同时测试的各种谐波减速器之间存在差异性，其多元性能退化过程也存在产生差异，带来了很多的认知不确定性，往往导致的可靠性的评估结果可信度较差。
另一方面现有评估技术对于谐波减速器的可靠性评估手段单一，且通常是将各参数处理成单一性能参数或分开考虑各性能参数的退化过程，但谐波减速器在多工况的使用条件下通常存在多个性能参数同时退化的情况，这种单退化性能参数评估手段往往忽视了性能参数之间的相互耦合关系，各个性能参数的相关性对于谐波减速器的可靠性评估会有较大的影响。因而针对谐波减速器测试小样本性能退化数据分析和单一退化参数评估可靠性问题，迫切需要提出一种预测谐波减速器多性能退化参数可靠性评估方法，本发明充分利用现有退化数据信息，建立谐波减速器多元退化性能参数可靠性评估模型。
发明内容
本发明的目的是为了克服上述缺陷，提出一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法。
本发明采用如下的技术方案：
发明具体给出了通过试验收集谐波减速器的多元性能退化参数数据，然后通过性能退化参数增量进行维纳过程建模，维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程也是正态过程，因此利用拟合优度图检验性能退化参数增量的参数应满足正态分布应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性；
通过的方差分析去考察在试验测试下不同的谐波减速器水平各个退化性能参数有无明显差异，验证在试验测试下不同的谐波减速器水平部分样本数据对于总体数据评估没有影响。保证期望与方差点估计准确的情况下，通过bootstrap方法针对样本少的问题重抽样得到更加准确边缘分布的未知参数估计值，将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数部分中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值。
另外应用Copula函数来描述谐波减速器的各个多元性能退化参数的相关性。计算原始退化量之间的相关系数，与常用Kendall秩的相关系数τ对比最接近进一步筛选适合Copula函数。然后利用欧式距离平方最小选择更接近的Copula函数。最后根据可靠性模型对谐波减速器进行多元性能参数可靠性评估。
一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，包括如下步骤：
1)多元性能退化参数数据分布与统计分析：
1.1)多元性能退化参数建模和拟合优度检验：
在试验收集多元性能退化参数分析时，若每个性能退化参数样本是从总体样本中随机得到的，且得到的性能退化参数在同一时间拟合处理的；通过维纳过程建模后对多元性能退化参数增量的拟合优度进行检验，检验退化性能参数增量所服从的正态分布情况，验证退化过程建模的结果准确性；
1.2)多元性能退化参数方差分析：
若在试验测试下不同的谐波减速器部分样本数据对于总体数据评估没有影响，那么组间方差与组内方差没有显著性差异；用组间方差除以组内方差，得到比值F，比值F的分布服从F分布，所以比值F在F分布上有对应的显著概率P值；在显著水平α下，当查F分布表的值Fα(s-1,n-s)大于比值F或者当P值大于假设检验的显著性水平时，说明组间方差和组内方差没有显著性差异；
2)对谐波减速器多性能退化参数进行极大似然估计确定边缘分布的未知参数估计值，将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；
3)针对谐波减速器多元性能退化参数的数据特点，在保证期望与方差点估计准确的情况下，为更加准确地描述个体样本差异性表征产品总体的特征，通过bootstrap方法重抽样，得到更加准确的边缘分布未知参数估计值，再将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；
4)选择适合的表征多元性能退化参数Copula函数：
4.1)多元性能退化参数相关系数检验法：
先计算原始退化量间的相关系数，然后再将其与常用的Copula函数的相关系数进行比较，常用的Copula函数包括Gaussian、Frank、Clayton及Gumbel；选择相关系数与原始数据最接近的Copula函数；
4.2)欧氏距离平方计算：
利用极大似然估计法得到Copula模型参数值，计算出各常用的Copula函数与经验Copula分布函数间的欧式距离，选择欧式距离平方最小的Copula函数对原始数据的拟合效果将会最好；
5)建立谐波减速器多元性能退化参数数据的可靠性评估模型，预测正常工作状态下的谐波减速器的使用寿命。
进一步的，所述步骤1.1)中采用维纳过程分别对谐波减速器的刚性与齿隙退化的过程建模是指X1＝μ1t+σ1B(t)、X2＝μ2t+σ2B(t)，式子中B(t)为标准布朗运动形式，μ1，σ1分别表示谐波减速器齿隙退化率和齿隙扩散系数；μ2，σ2分别表示谐波减速器刚性退化率和刚性扩散系数，t＝1,2,...,n表示测量时间；
根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，通过维纳过程建模后对多元性能退化参数增量的拟合优度检验，检验退化性能参数增量所服从的正态分布情况，满足正态概率分布退化量增量的参数应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性。
进一步的，所述步骤2)中采用极大似然估计法进行求解未知参数估计值，其过程如下：
二维sklar定理：设H(·)为二维分布函数，F1(x1),F2(x2)为一元分布函数则必然存在Copula函数C(·)满足：
H(x1,x2)＝C(F1(x1),F2(x2))
记C(μ,v,α)为Copula分布函数,μ＝F1(x1；θ1)，v＝μ＝F2(x2；θ2)分别为连续型随机变量X,Y的概率分布函数,f1(x1；θ1),f2(x2；θ2)则分别为对应的概率密度函数，其中θ1，θ2未知；则由sklar定理可知(X,Y)的联合分布函数为:
H(x1,x2,θ1,θ2)＝C(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)
再由sklar定理的公式得到相应的联合密度函数为:
h(x1,x2,θ1,θ2)＝C[(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)]·f1(x1；θ1)·f2(x2；θ2)
则进一步得到(x1i,y2j),j＝1,2,...,n为样本点的似然函数为:
则通过对上述的公式取对数得到似然函数为:
然后分别求取相应的对数似然函数的极大值点，得到θ1和θ2的极大似然估计值：
通过
和
则得到Copula未知函数参数的极大似然估计值：
依据上式的理论详细阐述此过程，根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，其中，Δtij＝ti,j-ti.j-1，i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m,由退化量增量符合正态分布，则求得tij的概率密度函数：
通过概率密度函数进一步得到似然函数：
方程组求解，得到参数μ和σ的极大似然估计为
和
根据Copula的密度函数求解其未知参数估计值：
进一步的，所述步骤4.1)具体过程如下：
假设F(x)和G(y)分别是Xi和Yi(i＝1,2,…)的概率分布函数，C(u，v)表示二元Copula函数，且u＝F(x)和v＝G(y)。下面分别对上述相关行度量进行详细阐述。
4.1.1)Kendall秩相关系数τ：
Kendall秩相关系数τ的定义为：
τ的取值范围在-1到1之间，当τ值越接近1或-1时代表变量间的相关性越强，τ＝1时表示完全正相关，τ＝0时表示没有相关性，τ＝-1时表示完全负相关；
4.1.2)尾部系数相关系数λ：
上下尾部相关系数分定义是：
当λup∈(0,1]时，称为X和Y为上尾部相关，当λlo∈(0,1]时，称为下尾部相关λup＝0，λlo＝0分别表示X和Y上下尾部独立；
基于Copula函数，尾部相关系数表示为：
其中，
Copula函数的相关性度量指标与各Copula函数之间存在一定的转换关系，通过计算Copula函数参数，推导求出相关性度量的值。
进一步的，所述步骤4.2)中：
关于欧式平方的距离的定义为：设(xi,yi)(j＝1,2,...,n)为来源于总体样本数据(X,Y)的样本，当X,Y的经验分布函数分别为H(x)和G(y)转为均匀分布后，其样本的经验Copula函数的定义为：
其中：I(·)为示性函数；u,v∈[0,1],当H(xi)≤u时，
否则
如果Copula联合分布函数值C(ui,vi)用表示，则欧式距离平方可定义为：
进一步的，所述步骤5)具体过程如下：
根据维纳过程性质，退化量增量：ΔX(t)～N(μΔt,σ2Δt)，则对应的累积分布函数为：
设性能退化过程的失效阈值为D，规定性能参数变化量到达失效阈值的时间为寿命T，则T＝inf{t|X(t)＝D,t≥0}，式子中inf{·}表示取一个集合的下确界，通过数学计算得到寿命T的分布函数F(t)为：
计算谐波减速器齿隙退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器齿隙退化率和谐波减速器齿隙扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D1表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器齿隙因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器刚性退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器刚性退化率和谐波减速器刚性扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D2表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器刚性因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器齿隙和刚性两个性能参数在时刻t的性能退化轨迹可以表示为X(t)＝(X1(t),X2(t))，则分别相应的失效阈值表示为D＝(D1,D2)，寿命为T＝min(T1,T2)，则谐波减速器的可靠度表示为：
R(t)＝P(min(T1,T2＞t))＝P(T1＞t,T2＞t)
＝P(X1(t)＜D1,X2(t)＜D2)
若性能退化参数之间相互独立，则谐波减速器的可靠度表示为：
R(t)＝R1(t)×R2(t)
则对应的二元相关可靠度函数可通过Copula函数表示为：
R(t)＝P(X1(t)≤D1,X2(t)≤D2)
＝1-C(F1(t),F2(t))
＝1-F1(t)-F2(t)+Cα(F1(t),F2(t))
＝R1(t)+R2(t)+Cα(F1(t),F2(t))-1
其中C(·)为具有边缘分布函数F1(t)、F2(t)的二元Copula函数，F1(t)为谐波减速器齿隙退化量的失效分布函数，F2(t)为谐波减速器刚性退化量的失效分布函数，
值为谐波减速器齿隙退化量和刚性退化量之间的相关系数估计值。
由以上的方案可知，本发明的优点在于：
1)研究谐波减速器多元性能参数的同时退化，考虑多元性能参数之间的相关性，并引入相应的相关理论Copula函数来描述参数之间的这种相关性关系，使得可靠性的评估结果更加准确。
2)针对谐波减速器这种高寿命、高可靠性的产品，在工作状况复杂情况下各个样本退化参数存在差异性特点，通过对性能退化参数的方差分析，考察在各个不同谐波减速器水平下各个退化性能参数有无明显差异。
3)在保证期望与方差点估计准确的情况下，再通过bootstrap方法针对样本少的问题重抽样得到更加准确的边缘分布未知参数估计值，将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数部分中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；
4)给出了基于Copula函数描述谐波减速器多元性能退化参数过程的可靠性评估模型，并分析了多种Copula函数的选择方式，通过实施例验证了本发明的可行性和实用性，同时提出的方法和模型也可以应用于其他产品中，为其他产品的可靠性评估提供技术支持和工程应用实例。
附图说明
图1是本发明的可靠性评估方法流程图；
图2是本发明实施例谐波减速器的齿隙的退化参数图；
图3是本发明实施例谐波减速器的刚性的退化参数图；
图4是本发明齿隙退化量增量参数正态分布拟合优度检验概图；
图5是本发明刚性退化量增量参数正态分布拟合优度检验概图；
图6是本发明的可靠度曲线图。
具体实施步骤
下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。
本发明是一种基于谐波减速器的多元性能参数的可靠性评估方法，其主要特征包括以下的几个步骤：
步骤一：多元性能退化参数数据分布与统计分析
(1)多元性能退化参数收集和拟合优度检验
假设每个性能退化参数样本是从总体样本中随机抽取的，且得到的性能退化参数是在同一时间或者近似时间拟合处理的，假设m台谐波减速器产品在t时间点测得退化性能参数数据统计如下表所示：
其中，m＝1,2,...,n表示谐波减速器的个数；t＝1,2,...,n表示测量时间；性能1到性能n表示在各个测量时间下各个谐波减速器相对应的性能退化参数数据；
试验具体给出收集谐波减速器的多元性能退化参数数据，此发明采用维纳过程分别对谐波减速器的刚性与齿隙退化的过程建模是指X1＝μ1t+σ1B(t)、X2＝μ2t+σ2B(t)，式子中B(t)为标准布朗运动形式，μ1，σ1分别表示谐波减速器齿隙退化率和齿隙扩散系数；μ2，σ2分别表示谐波减速器刚性退化率和刚性扩散系数；
根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，通过维纳过程建模后对多元性能退化参数增量的拟合优度检验，检验退化性能参数增量所服从的正态分布情况，满足正态概率分布退化量增量的参数应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性。
(2)多元性能退化参数方差分析
如果在不同谐波减速器测试水平下性能退化参数因素的部分样本数据对于数据总体没有影响，那么组间方差与组内方差没有显著性差异。用组间方差除以组内方差，得到比值F，比值F的分布服从F分布，所以比值F在F分布上有对应的显著概率P值。如下所示是方差分析表：
其中ST能反映全部性能参数之间的差异，因此ST称为总偏差；由随机误差引起的样本观察值与样本均值的差异，SE称为误差平方和；由水平的效应的差异与随机误差引起的，水平下的样本均值与数据总平均的差异，SA叫做某因素效应平方和；其中的
SE＝SE/(n-s)分别为SA，SE的均方。
在显著水平α下，当查F分布表的值Fα(s-1,n-s)方差分析大于上表比值F，或者P值大于假设检验的显著性水平α时，说明组间方差和组内方差没有显著性差异，也就是说在在试验测试下不同的谐波减速器水平部分样本数据对于总体数据评估没有影响。
步骤二：对谐波减速器多性能退化参数进行极大似然估计确定边缘分布的未知参数估计值，将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；本发明采用极大似然估计法进行求解未知参数估计值，其过程如下所示：
二维sklar定理：设H(·)为二维分布函数，F1(x1),F2(x2)为一元分布函数则必然存在Copula函数C(·)满足：
H(x1,x2)＝C(F1(x1),F2(x2))
记C(μ,v,α)为Copula分布函数,μ＝F1(x1；θ1)，v＝μ＝F2(x2；θ2)分别为连续型随机变量X,Y的概率分布函数,f1(x1；θ1),f2(x2；θ2)则分别为对应的概率密度函数，其中θ1，θ2未知。则由sklar定理可知(X,Y)的联合分布函数为:
H(x1,x2,θ1,θ2)＝C(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)
再由sklar定理的公式可以得到相应的联合密度函数为:
h(x1,x2,θ1,θ2)＝C[(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)]·f1(x1；θ1)·f2(x2；θ2)
则可以进一步得到(x1i,y2j),j＝1,2,...,n为样本点的似然函数为:
则通过对上述的公式取对数得到似然函数为:
然后分别求取相应的对数似然函数的极大值点，得到θ1和θ2的极大似然估计值：
通过
和
则可以得到Copula未知函数参数的极大似然估计值：
依据上式的理论详细阐述此过程，根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，其中，Δtij＝ti,j-ti.j-1，i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m,由退化量增量符合正态分布，则可以求得tij的概率密度函数：
通过概率密度函数进一步得到似然函数：
然后求取对数的似然函数极大值点，得到下列的方程组：
方程组求解。得到参数μ和σ的极大似然估计为
和
根据Copula的密度函数求解其未知参数估计值：
步骤三：多元性能退化参数Bootstrap方法
针对极大似然对小样本数据获得未知参数不准确的改进，提高可靠性评估的精度。在保证期望与方差点估计准确的情况下，利用Bootstrap方法进一步重新抽样估计获得未知参数估计并保证未知参数估计值在置信区间内。通过经典统计法与Bootstrap方法估计值对比，后通过实施例说明Bootstrap方法估计值更加精确。如下表示意所示为参数估计值的对比：
下表估计的Copula函数未知参数估计值：
将得到Copula函数参数估计值以及利用Bootstrap方法得到的齿隙与刚性的参数估计值带入联合Copula分布函数中。
步骤四：选择适合的表征多元性能退化参数Copula函数(1)先计算原始退化量间的相关系数，然后再将其与常用的几种Copula函数的相关系数进行比，选择更接近的Copula函数。
假设F(x)和G(y)分别是Xi和Yi(i＝1,2,…)的概率分布函数，C(u，v)表示二元Copula函数，且u＝F(x)和v＝G(y)。下面分别对上述相关行度量进行详细阐述。
(1)Kendall秩相关系数τ
Kendall秩相关系数τ的定义为：
τ的取值范围在-1到1之间，当τ值越接近1或-1时代表变量间的相关性越强，τ＝1时表示完全正相关，τ＝0时表示没有相关性，τ＝-1时表示完全负相关。
(2)尾部系数相关系数λ
上下尾部相关系数分定义是：
当λup∈(0,1]时，称为X和Y为上尾部相关，当λlo∈(0,1]时，称为下尾部相关λup＝0，λlo＝0分别表示X和Y上下尾部独立。
基于Copula函数，尾部相关系数可表示为：
其中，
Copula函数的相关性度量指标与各Copula函数之间存在一定的转换关系，通过计算Copula函数参数，可以推导求出相关性度量的值；
转换关系如下表所示：
其中，ρ，α为各Copula函数模型参数；其中D1表示为
Copula函数在相关性分析中的优势比较明显，不仅能准确地表述多元性能参数之间的相依关系，还能推导出相应的相关性度量指标定量地描述各个参数的相关程度，主要包括Kendall秩相关系数τ、尾部相关系数λ和相关系数ρ。
(2)欧氏距离平方计算
利用极大似然估计法得到Copula模型未知参数估计值，计算出各常用Copula函数与经验Copula分布函数间的欧式距离，选择欧式距离平方最小的Copula函数，因为这样的Copula函数对原始性能退化参数的拟合效果会最好；
关于欧式平方的距离的定义为：设(xi,yi)(j＝1,2,...,n)为来源于总体样本数据(X,Y)的样本，当X,Y的经验分布函数分别为H(x)和G(y)转为均匀分布后，其样本的经验Copula函数的定义为：
其中：I(·)为示性函数；u,v∈[0,1],当H(xi)≤u时，
否则
如果Copula联合分布函数值C(ui,vi)用表示，则欧式距离平方可定义为：
步骤五：建立谐波减速器多元性能退化参数的可靠性评估模型；预测正常工作状态下谐波减速器的使用寿命。
根据维纳过程性质，退化量增量：ΔX(t)～N(μΔt,σ2Δt)，则对应的累积分布函数为：
设性能退化过程的失效阈值为D，规定性能参数变化量到达失效阈值的时间为寿命T，则T＝inf{t|X(t)＝D,t≥0}，式子中inf{·}表示取一个集合的下确界，通过数学计算可以得到寿命T的分布函数F(t)为：
计算谐波减速器齿隙退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器齿隙退化率和谐波减速器齿隙扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D1表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器齿隙因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器刚性退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器刚性退化率和谐波减速器刚性扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D2表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器刚性因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器齿隙和刚性两个性能参数在时刻t的性能退化轨迹可以表示为X(t)＝(X1(t),X2(t))，则分别相应的失效阈值可表示为D＝(D1,D2)，寿命为T＝min(T1,T2)，则谐波减速器的可靠度可表示为：
R(t)＝P(min(T1,T2＞t))＝P(T1＞t,T2＞t)
＝P(X1(t)＜D1,X2(t)＜D2)
若性能退化参数之间相互独立，则谐波减速器的可靠度可以表示为：
R(t)＝R1(t)×R2(t)
则对应的二元相关可靠度函数可通过Copula函数表示为：
R(t)＝P(X1(t)≤D1,X2(t)≤D2)
＝1-C(F1(t),F2(t))
＝1-F1(t)-F2(t)+Cα(F1(t),F2(t))
＝R1(t)+R2(t)+Cα(F1(t),F2(t))-1
其中C(·)为具有边缘分布函数F1(t)、F2(t)的二元Copula函数，F1(t)为谐波减速器齿隙退化量的失效分布函数，F2(t)为谐波减速器刚性退化量的失效分布函数，
值为谐波减速器齿隙退化量和刚性退化量之间的相关系数估计值；
实施例：
步骤一：多元性能退化参数数据分布与统计分析
(1)多元性能退化参数收集和拟合优度检验
假设每个性能退化参数样本是从总体样本中随机抽取的，试验得到的性能退化参数在同一时间或者近似时间处理的，两个性能退化参数其中谐波减速器的齿隙退化参数如图2所示，谐波减速器的刚性退化参数如图3所示；
通过维纳过程建模后并通过利用拟合优度图检验，满足正态分布退化量增量的参数应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性。分别对谐波减速器退化量进行拟合优度检验，其中谐波减速器的齿隙和刚性退化量增量正态拟合优度检验概率图分别如图4所示和如图5所示；
(2)多元性能退化参数方差分析
谐波减速器在工作状况复杂情况下各个样本退化参数存在差异性，通过方差分析，考察在各个不同谐波减速器水平下各个退化性能参数有无明显差异。
如下表所示为谐波减速器齿隙方差分析表：
| 方差来源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | 比值F | P值 |
| 因素A | 5.0440e-5 | 5 | 1.0089e-5 | 0.93 | 0.467 |
| 误差 | 7.1550e-4 | 66 | 1.0841e-5 | ||
| 总和 | 7.6594e-4 | 71 |
在显著水平α＝0.05下时，根据所查F分布表的值F0.05(5,66)＝4.33>F＝0.93，或者在P＝0.467>α＝0.050的假设检验的显著性水平，说明组间方差和组内方差没有显著性差异，也就是说在试验测试下不同的谐波减速器水平部分样本数据对于总体数据评估没有影响。
如下表所示为谐波减速器刚性方差分析表：
| 方差来源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | 比值F | P值 |
| 因素B | 5.9280e-3 | 5 | 1.1860e-3 | 2.23 | 0.061 |
| 误差 | 3.5067e-2 | 66 | 5.3100e-4 | ||
| 总和 | 4.0995e-2 | 71 |
在显著水平α＝0.05下时，根据所查F分布表的值F0.05(5,66)＝4.33>F＝2.23，或者P＝0.061>α＝0.050的假设检验的显著性水平，说明组间方差和组内方差没有显著性差异，也就是说在试验测试下不同的谐波减速器水平部分样本数据对于总体数据评估没有影响；
步骤二：多性能退化参数的进行极大似然估计确定边缘分布的未知参数估计值；
下表为性能退化参数的参数估计值：
将得到的边缘分布的未知参数将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数部分中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值。
步骤三：多元性能退化参数Bootstrap方法。
利用Bootstrap方法针对极大似然对多元性能退化参数小样本数据获得未知参数不准确的改进，
如下表所示为参数估计值的对比：
在保证期望与方差点估计准确的情况下，利用Bootstrap方法进一步重新抽样估计获得未知参数估计，并保证未知参数估计值在置信区间内，提高可靠性评估的精度。再重新计算Copula未知参数估计值。
下表为重新估计的Copula函数未知参数估计值：
将得到Copula函数未知参数估计值以及利用Bootstrap方法得到的齿隙与刚性的参数估计值带入联合Copula分布函数中。
步骤四：选择适合的表征多元性能退化参数Copula函数
(1)先计算原始退化量间的相关系数，然后再将其与常用的几种Copula函数的相关系数进行比，选择更接近的Copula函数；
如下表所示为计算的相关系数：
| Copula函数 | Kendallτ | 上尾相关系数λup | 下尾相关系数λlo |
| Gaussian | 0.4201 | 0 | 0 |
| Frank | 0.4656 | 0 | 0 |
| Clayton | 0.4208 | 0 | 0.6206 |
| Gumbe] | 0.4176 | 0.5577 | 0 |
| 原始数据 | 0.4749 | 0.5610 | 0 |
通过表格数据分析发现Frank Copula函数Kendall的秩0.4656与原始数据Kendall的秩0.4749相关系数最接近。
(2)欧氏距离平方计算τ
计算出各常用Copula函数与经验Copula分布函数间的欧式距离；
如下表所示为计算的欧式距离平方：
| 函数类型 | Gaussian | Frank | Clayton | Gumbel |
| 欧氏距离d2 | 0.0170 | 0.0153 | 0.0221 | 0.0261 |
通过表格数据分析发现欧式距离平方最小0.00153的为Frank Copula函数，选择FrankCopula函数对原始性能退化参数的拟合效果最好；
步骤五：建立起谐波减速器多元性能退化参数的可靠性评估模型；预测正常工作状态下的谐波减速器的使用寿命。
计算谐波减速器齿隙退化失效分布函数为：
构建谐波减速器齿隙因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器刚性退化失效分布函数为：
构建谐波减速器刚性因数的可靠性函数模型为：
若性能退化参数之间相互独立，则谐波减速器的可靠度可以表表示为：
R(t)＝R1(t)×R2(t)
基于FrankCopula函数的谐波减速器的齿隙和刚性退化失效联合分布函数为：
谐波减速器可靠度概率函数
的函数曲线如图6所示，根据谐波减速器剩余寿命概率函数
即可完成对谐波减速器可靠性的评估。
根据可靠度曲线图6得到，用单个性能参数的可靠度来表示会高估产品可靠度，假设产品两个性能参数退化量之间相互独立会明显低估产品的可靠度，与FrankCopula函数的多元联合分布函数求得的可靠度存在着一定的偏差。因此有必要为谐波减速器建立多退化联合分布函数。这表明在实际工作过程中，多元性能退化参数模型较之各单退化参数模型而言更符合工程实际。
对于本领域的从事人员而言，这里通过实施例方式是为了帮助读者更好理解本发明的原理，根据本发明的指导而言，本发明的保护范围并不只局限于这里的陈述的和实施例，本领域的其他从事人员在不脱离本发明的原理下，对实施方式所进行的改变、修改、替换和变形，仍落入本发明的保护范围之内。
Claims (6)
1.一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)多元性能退化参数数据分布与统计分析：
1.1)多元性能退化参数建模和拟合优度检验：
在试验收集多元性能退化参数分析时，若每个性能退化参数样本是从总体样本中随机得到的，且得到的性能退化参数在同一时间拟合处理的；通过维纳过程建模后对多元性能退化参数增量的拟合优度进行检验，检验退化性能参数增量所服从的正态分布情况，验证退化过程建模的结果准确性；
1.2)多元性能退化参数方差分析：
若在试验测试下不同的谐波减速器部分样本数据对于总体数据评估没有影响，那么组间方差与组内方差没有显著性差异；用组间方差除以组内方差，得到比值F，比值F的分布服从F分布，所以比值F在F分布上有对应的显著概率P值；在显著水平α下，当查F分布表的值Fα(s-1,n-s)大于比值F或者当P值大于假设检验的显著性水平时，说明组间方差和组内方差没有显著性差异；
2)对谐波减速器多性能退化参数进行极大似然估计确定边缘分布的未知参数估计值，将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；
3)针对谐波减速器多元性能退化参数的数据特点，在保证期望与方差点估计准确的情况下，为更加准确地描述个体样本差异性表征产品总体的特征，通过bootstrap方法重抽样，得到更加准确的边缘分布未知参数估计值，再将得到的边缘分布的未知参数估计值带入Copula密度函数中，进行极大似然估计得到Copula函数的未知参数估计值；
4)选择适合的表征多元性能退化参数Copula函数：
4.1)多元性能退化参数相关系数检验法：
先计算原始退化量间的相关系数，然后再将其与常用的Copula函数的相关系数进行比较，常用的Copula函数包括Gaussian、Frank、Clayton及Gumbel；经过相关计算后选择Copula函数相关系数与原始数据相关系数最接近的Copula函数；
4.2)欧氏距离平方计算：
利用极大似然估计法得到Copula模型参数值，计算出各常用的Copula函数与经验Copula分布函数间的欧式距离，选择欧式距离平方最小的Copula函数对原始数据的拟合效果将会最好；
5)建立谐波减速器多元性能退化参数数据的可靠性评估模型，预测正常工作状态下的谐波减速器的使用寿命。
2.根据权利要求1所述的一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤1.1)中采用维纳过程分别对谐波减速器的刚性与齿隙退化的过程建模是指X1＝μ1t+σ1B(t)、X2＝μ2t+σ2B(t)，式子中B(t)为标准布朗运动形式，μ1，σ1分别表示谐波减速器齿隙退化率和齿隙扩散系数；μ2，σ2分别表示谐波减速器刚性退化率和刚性扩散系数，t＝1,2,...,n表示测量时间；
根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，通过维纳过程建模后对多元性能退化参数增量的拟合优度检验，检验退化性能参数增量所服从的正态分布情况，满足正态概率分布退化量增量的参数应在曲线两侧上分布，验证退化过程建模的结果准确性。
3.根据权利要求1所述的一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤2)中采用极大似然估计法进行求解未知参数估计值，其过程如下：
二维sklar定理：设H(·)为二维分布函数，F1(x1),F2(x2)为一元分布函数则必然存在Copula函数C(·)满足：
H(x1,x2)＝C(F1(x1),F2(x2))
记C(μ,v,α)为Copula分布函数,μ＝F1(x1；θ1)，v＝μ＝F2(x2；θ2)分别为连续型随机变量X,Y的概率分布函数,f1(x1；θ1),f2(x2；θ2)则分别为对应的概率密度函数，其中θ1，θ2未知；则由sklar定理可知(X,Y)的联合分布函数为:
H(x1,x2,θ1,θ2)＝C(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)
再由sklar定理的公式得到相应的联合密度函数为:
h(x1,x2,θ1,θ2)＝C[(F1(x1；θ1),F2(x2；θ2)；α)]·f1(x1；θ1)·f2(x2；θ2)
则进一步得到(x1i,y2j),j＝1,2,...,n为样本点的似然函数为:
则通过对上述的公式取对数得到似然函数为:
然后分别求取相应的对数似然函数的极大值点，得到θ1和θ2的极大似然估计值：
通过
和
则得到Copula未知函数参数的极大似然估计值：
依据上式的理论详细阐述此过程，根据维纳过程性能，退化量增量ΔXij服从正态分布N(μΔtij,σ2Δtij)，其中，Δtij＝ti,j-ti.j-1，i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m,由退化量增量符合正态分布，则求得tij的概率密度函数：
通过概率密度函数进一步得到似然函数：
然后求取对数的似然函数极大值点，得到下列的方程组：
方程组求解，得到参数μ和σ的极大似然估计为
和
根据Copula的密度函数求解其未知参数估计值：
4.根据权利要求1所述的一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤4.1)具体过程如下：
假设F(x)和G(y)分别是Xi和Yi(i＝1,2,…)的概率分布函数，C(u，v)表示二元Copula函数，且u＝F(x)和v＝G(y)。下面分别对上述相关行度量进行详细阐述。
4.1.1)Kendall秩相关系数τ：
Kendall秩相关系数τ的定义为：
τ的取值范围在-1到1之间，当τ值越接近1或-1时代表变量间的相关性越强，τ＝1时表示完全正相关，τ＝0时表示没有相关性，τ＝-1时表示完全负相关；
4.1.2)尾部系数相关系数λ：
上下尾部相关系数分定义是：
当λup∈(0,1]时，称为X和Y为上尾部相关，当λlo∈(0,1]时，称为下尾部相关λup＝0，λlo＝0分别表示X和Y上下尾部独立；
基于Copula函数，尾部相关系数表示为：
其中，
Copula函数的相关性度量指标与各Copula函数之间存在一定的转换关系，通过计算Copula函数参数，推导求出相关性度量的值。
5.根据权利要求1所述的一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤4.2)中：
关于欧式平方的距离的定义为：设(xi,yi)(j＝1,2,...,n)为来源于总体样本数据(X,Y)的样本，当X,Y的经验分布函数分别为H(x)和G(y)转为均匀分布后，其样本的经验Copula函数的定义为：
其中：I(·)为示性函数；u,v∈[0,1],当H(xi)≤u时，
否则
如果Copula联合分布函数值C(ui,vi)用表示，则欧式距离平方可定义为：
6.根据权利要求1所述的一种基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法，其特征在于，所述步骤5)具体过程如下：
根据维纳过程性质，退化量增量：ΔX(t)～N(μΔt,σ2Δt)，则对应的累积分布函数为：
设性能退化过程的失效阈值为D，规定性能参数变化量到达失效阈值的时间为寿命T，则T＝inf{t|X(t)＝D,t≥0}，式子中inf{·}表示取一个集合的下确界，通过数学计算得到寿命T的分布函数F(t)为：
计算谐波减速器齿隙退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器齿隙退化率和谐波减速器齿隙扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D1表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器齿隙因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器刚性退化失效分布函数为：
其中
分别谐波减速器刚性退化率和谐波减速器刚性扩散系数的估计值，Φ(·)为标准正态分布函数，D2表示为谐波减速器退化失效阈值，构建谐波减速器刚性因数的可靠性函数模型为：
谐波减速器齿隙和刚性两个性能参数在时刻t的性能退化轨迹可以表示为X(t)＝(X1(t),X2(t))，则分别相应的失效阈值表示为D＝(D1,D2)，寿命为T＝min(T1,T2)，则谐波减速器的可靠度表示为：
R(t)＝P(min(T1,T2＞t))＝P(T1＞t,T2＞t)
＝P(X1(t)＜D1,X2(t)＜D2)
若性能退化参数之间相互独立，则谐波减速器的可靠度表示为：
R(t)＝R1(t)×R2(t)
则对应的二元相关可靠度函数可通过Copula函数表示为：
R(t)＝P(X1(t)≤D1,X2(t)≤D2)
＝1-C(F1(t),F2(t))
＝1-F1(t)-F2(t)+Cα(F1(t),F2(t))
＝R1(t)+R2(t)+Cα(F1(t),F2(t))-1
其中C(·)为具有边缘分布函数F1(t)、F2(t)的二元Copula函数，F1(t)为谐波减速器齿隙退化量的失效分布函数，F2(t)为谐波减速器刚性退化量的失效分布函数，
值为谐波减速器齿隙退化量和刚性退化量之间的相关系数估计值。
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| CN202211565629.1A CN116011181A (zh) | 2022-12-07 | 2022-12-07 | 基于谐波减速器的多元性能退化参数的可靠性评估方法 |
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|---|---|---|---|---|
| CN117077029A (zh) * | 2023-10-13 | 2023-11-17 | 中国汽车技术研究中心有限公司 | 一种车辆碰撞识别方法、电子设备及存储介质 |
-
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- 2022-12-07 CN CN202211565629.1A patent/CN116011181A/zh active Pending
Cited By (2)
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| CN117077029B (zh) * | 2023-10-13 | 2024-02-23 | 中国汽车技术研究中心有限公司 | 一种车辆碰撞识别方法、电子设备及存储介质 |
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