CN115984120A - 叠层成像中物体片层透射函数的恢复方法、装置和存储介质 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种叠层成像中物体片层透射函数的恢复方法、装置和存储介质，方法包括：获得被测物体不同扫描位置的多张实验衍射像；通过迭代操作由实验衍射像恢复物体各片层的透射函数，各迭代操作包括：在当前迭代中确定各片层待修正透射函数的振幅和相位，并估计入射波函数；基于实验衍射像、传播函数以及各片层的透射函数的振幅和相位，利用成像公式获得被测物体在不同扫描位置的模拟衍射像；基于模拟衍射像和实验衍射像的差值，计算衍射像的误差函数；基于误差函数分别对各片层透射函数的振幅与相位求梯度公式，计算各片层的透射函数的振幅和相位的修正量；基于修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位，获得当前迭代后的模拟衍射像。

Description

叠层成像中物体片层透射函数的恢复方法、装置和存储介质

技术领域

本发明电子显微镜成像技术领域，尤其涉及一种叠层成像中物体片层透射函数和入射波的恢复方法、装置和存储介质。

背景技术

叠层成像(Ptychography)是一种迭代相位恢复算法，用于X射线及电子显微像的透射成像技术中，可以通过算法，恢复待测物的波函数以及入射光的函数形式。

在量子力学中，量子系统的量子态可以用波函数(wave function)来描述，波函数是一种复数函数。入射电子波函数、物体的透射函数、出射波函数，都是这样的复数函数。其中，入射电子波函数可写作：

Φ(R)＝∫Aper(k)exp[-iχ(k)]exp(-ikR)dk；

其中，Aper(k)为光阑函数；k表示频率域空间的矢量，R是空间域的矢量，二者可通过傅里叶变换相互转换；χ(k)代表聚光镜的像差函数，包括焦距及像散等各种成像因素。近平行的入射束透过光阑后，经过聚光镜会照射到样品表面，入射时的光斑通常形成较小的光斑，与焦距、聚光镜的像散有关。

叠层成像技术是通过对待测样品以小于入射光直径的步长进行扫描，采集穿透过样品后的衍射像，利用迭代计算可以重建出照明光和样品波函数分布，是一种理论分辨率为衍射极限、利用算法恢复物体透过函数的无透镜相位成像技术。近些年随着相关研究的蓬勃发展，人们对叠层成像算法的不断优化，在可见光、X射线和电子束等领域已被广泛应用于相位成像、波前恢复和光学计量。

基于叠层成像的针对物体的透射函数和入射波的恢复算法，包括有：仅考虑了一个待测对象的PIE(Ptychographic Iterative Engine，层叠衍射迭代引擎)、ePIE(extending Ptychographic Iterative Engine，扩展的层叠衍射迭代引擎)、DM(Difference Map，差异图)、WDD(wigner distribution deconvolution，Wigner分布反卷积)和LSQ-ML叠层成像(Linear least-square maximum-likelihood phychography，线性最小二乘最大似然叠层成像)等算法，以及考虑了物体为三维多片层结构的3ePIE、3DM(3DDifference Map)和3ML(3D maximum likelihood，三维最大似然)算法。这些算法都是从记录的衍射像(或称衍射图)来恢复物体透射函数及入射波的方法。最早期的PIE算法，不能对入射波进行修正，并且无法对多层物体的透射函数进行恢复；而早期的WDD算法是以去卷积方式进行恢复。

PIE、ePIE、DM、LSQ-MAL、3ePIE、3DM以及3ML算法在恢复目标函数的时候，都是使用迭代恢复算法。其中，PIE算法仅考虑了一个待测对象，ePIE和3ePIE算法，从已求得(或简单估计)的物体透射函数和入射波函数出发计算像面上的波函数，并以实验衍射像的振幅的开方替换该像面上的波函数的振幅部分，再逆向向物体和入射光方向传播，从而修正之前求得的物体和入射光的波函数。ePIE和3ePIE算法需要的迭代次数多，收敛慢导致计算速度慢。相比于ePIE算法，虽然3ePIE算法可以对多层物体的透射函数进行恢复，但由于需要迭代的次数仍然过多，使得整个算法运行速度依然较慢，导致在应用上受到一定限制。

用于物体透射函数和入射波恢复的DM、3DM、3ML以及LSQ-MAL算法是以模拟衍射像与实验衍射像的偏差来更新迭代物体与入射波函数的方法。图1为基于模拟衍射像与实验衍射像之间偏差的迭代恢复方法的示意性原理图，如图1所示，这些恢复方法中，首先对物体的目标函数O(R)(或O(k))和入射光的目标函数P(R)(或P(k))在空间域R(或频率域k)空间设置个猜测的初值，之后利用已知的成像公式，得到每个扫描点对应的衍射像I(k)(或也可以表示为图像空间的衍射像I(R))，与获得并输入的实验衍射像进行比较，从而得到模拟衍射像和实验衍射像两者的差ΔI(R)或ΔI(q)(此处，q表示频率域)，再基于该差值计算物体波函数修正量ΔO(R)和入射波修正量ΔP(R)。

在现有技术中，DM和3DM算法是使用Fienup的混合输入输出算法(Fienup’shybrid input-output algorithm)计算物体透射函数的修正。

LSQ-MAL算法中，其目标函数是梯度形式的最大化概率密度函数，相当于是取衍射像的开根号的差为最小化的目标函数，且该算法中只考虑了样品只有一个物体波函数的推导，因此LSQ-MAL算法的目标函数恢复效率和效果都不够理想。

3ML算法是对3ePIE算法的延伸，其将多层切片技术用于解释样品内的传播效应，使成像超越景深限制。多层切片技术允许重建多个目标切片和入射光照，以及未知物体厚度的检索。数值研究表明，较小的扫描步长会显著增加景深，使用多层切片方法可进一步扩展景深。3ML算法中，最小化的目标函数相当于是取实验衍射像与模拟衍射像的开根号的差之和；优化的目标是每层波函数，是复数形式，包括了实部和虚部两个部分。现有的3ML算法虽然已经可以对三维物体进行恢复，但是该算法在推导过程中是对O(物体)和P(照明光)来求偏导，仍需要较多的迭代次数，其第一次的恢复结果无法产生正确的波函数相位，从而影响图像恢复的速度。

如何提供一种能够进一步降低迭代次数从而能够对三维物体的透射函数进行快速恢复的方法，是一个有待解决的问题。

发明内容

鉴于此，本发明实施例提供了一种叠层成像中物体片层透射函数和入射波的恢复方法和装置，以消除或改善现有技术中存在的一个或更多个缺陷，实现对三维物体的透射函数的快速恢复，同时可以实现对入射波的快速恢复。

本发明的一个方面提供了一种叠层成像中物体波和入射波的恢复方法，该方法包括以下步骤：

获得被测物体不同扫描位置的多张实验衍射像；

通过多次迭代操作由实验衍射像恢复物体各片层的透射函数，各次迭代操作包括如下步骤：

在当前迭代中确定被测物体各片层待修正透射函数的振幅和相位，并估计入射波函数；

基于实验衍射像、传播函数以及被测物体各片层的透射函数的振幅和相位，利用成像公式获得被测物体在不同扫描位置的模拟衍射像；

基于模拟衍射像和实验衍射像的差值，计算衍射像的误差函数；

基于衍射像的误差函数分别对各片层透射函数的振幅与相位求梯度公式，利用求得的梯度公式计算各片层的透射函数的振幅和相位的修正量；以及

基于获得的修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位，从而获得当前迭代优化后的模拟衍射像。

在本发明的一些实施例中，在初次迭代中估计的入射波函数表示为：

Φ₀(R)＝∫A_aper(k)exp[-iχ(k)]exp(-ikR)dk；

其中，A_aper为聚光镜的光阑函数，χ为聚光镜的像差函数，k表示频率域空间的矢量，R是空间域空间的矢量；

利用成像公式得出的不同扫描位置的模拟衍射像，模拟衍射像表示为I_N(k)或I_N(R)：

I_N(k)＝φ_N(k)[φ_N(k)]^*；

其中，I_N(k)是频率域的模拟衍射像，为实数形式的矩阵；φ_N(k)为频率域的第N个片层的出射波函数；I_N(R)为空间域的模拟衍射像，其为通过反傅里叶变换从I_N(k)计算得到的复数形式的矩阵；Φ_N(R)和

为空间域的第N片层的出射波函数及其共轭形式；R和R′均为空间域的位置矢量；Φ_N(R)与φ_N(k)是傅里叶变换关系。

Φ_N(R)表示为：

其中，P_n(R)表示第n层的真空传播函数；t_n(R)表示第n层的透射函数，n＝1，2，3，...，N；第n层透射函数t_n(R)为复数矩阵。

在本发明的一些实施例中，所述透射函数符合如下公式：t_n(R)＝A_n(R)exp[iV_n(R)]；其中，A_n(R)为第n片层透射函数的振幅部分，V_n(R)为第n片层透射函数的相位部分。

在本发明的一些实施例中，所述方法还包括：基于衍射像的误差函数对入射波函数求梯度公式，利用求得的梯度公式计算入射波函数的修正量，并基于计算的入射波函数的修正量来修正估计的入射波函数。

在本发明的一些实施例中，所述基于获得的修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位包括：所述基于获得的修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位包括：基于如下公式修正各片层透射函数的振幅和相位：

所述基于计算的入射波函数的修正量来修正估计的入射波函数包括：基于如下公式来修正估计的入射波函数：

其中，

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的相位部分；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的相位修正量；

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的振幅部分；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的振幅修正量；

和

分别表示第j+1次和第j次迭代中的入射波函数；

表示第j次迭代的入射波函数的修正量；

以及

分别为第j次迭代中透射函数的相位、振幅以及入射波函数的常数修正项，为常数。

在本发明的一些实施例中，第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量分别满足以下公式：

ΔV_N-n+1(R)＝4Im{t_N-n+1(R)Φ_N-n(R)W_n(R)}；

ΔA_N-n+1(R)＝-4Re{exp[iV_N-n+1(R)]Φ_N-n(R)W_n(R)}；

所述入射波函数的修正量满足以下公式：

ΔΦ₀(R)＝-2W_N(R)t₁(R)；

其中，

其中，ΔV_N-n+1(R)和ΔA_N-n+1(R)分别表示第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量，n＝1，2，...，N；ΔΦ₀(R)表示入射波函数的修正量；W_n(R)表示与第n片层相关的计算矩阵；W_N(R)表示与第N片层相关的计算矩阵；Im{}表示对括号内的公式取其虚部；Re{}表示对括号内的公式取其实部；Φ_N-n(R)为空间域的第N-n片层的出射波函数，R为空间域的位置矢量；

为空间域的第N片层的出射波函数的共轭形式；

表示卷积运算；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2表示第N-n+2层的透射函数。

在本发明的一些实施例中，在多模态情况下，第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量分别满足以下公式：

所述入射波函数的修正量满足以下公式：

ΔΦ_0，c(R)＝-2f(c)t₁(R)W_N，c(R)；

其中，

其中，ΔV_N-n+1(R)和ΔA_N-n+1(R)分别表示第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量，n＝1，2，...，N；ΔΦ_0，c(R)表示第c个模态的入射波函数的修正量；W_n，c(R)表示第c个模态与第n片层有关的计算矩阵；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；Im{}表示对括号内的公式取其虚部；Re{}表示对括号内的公式取其实部；C表示总模态数，f(c)表示第c个模态的入射电子所占的比例；Φ_N-n，c(R)为空间域的第c个模态第N-n片层的出射波函数，R为空间域的位置矢量；

为空间域的第c个模态第N片层出射波函数的共轭形式；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2(R)表示第N-n+2层的透射函数。

在多模态情况下，不同扫描位置的模拟衍射像的成像公式在频率域表示为：

在空间域表示为：

用多层法来描述各模态的入射波穿透所有片层后的出射波函数，出射波函数Φ_N，c(R)表示为：

其中，Φ_0，c(R)是第c个模态的入射波函数，P_n(R)表示第n层的真空传播函数；t_n(R)表示第n层的透射函数，n＝1，2，3，...，N；第n层透射函数t_n(R)为复数矩阵。

本发明的另一方面提供了一种叠层成像中物体波和入射波的恢复装置，其包括处理器和存储器，所述存储器中存储有计算机指令，所述处理器用于执行所述存储器中存储的计算机指令，当所述计算机指令被处理器执行时该装置实现如前所述的恢复方法的步骤。

本发明的另一方面还提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时实现如前所述的恢复方法的步骤。

本发明的叠层成像中物体波和入射波的恢复方法和装置，通过对被测物体各个片层的透射函数的相位和振幅部分进行求偏导并进行迭代运算，充分考虑了成像时的相干性，能够快速恢复样品的每个片层的波函数的相位和振幅，并针对入射束提供修正。本发明大大提高了叠层成像技术的实用性和高效性。

本发明的附加优点、目的，以及特征将在下面的描述中将部分地加以阐述，且将对于本领域普通技术人员在研究下文后部分地变得明显，或者可以根据本发明的实践而获知。本发明的目的和其它优点可以通过在说明书以及附图中具体指出的结构实现到并获得。

本领域技术人员将会理解的是，能够用本发明实现的目的和优点不限于以上具体所述，并且根据以下详细说明将更清楚地理解本发明能够实现的上述和其他目的。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，并不构成对本发明的限定。

图1为基于模拟衍射像与实验衍射像之差的迭代恢复方法的示意性原理图。

图2为现有3ML算法的原理示意图。

图3为本发明一实施例中叠层成像中物体波和入射波的恢复方法的流程示意图。

图4为本发明另一实施例中叠层成像中物体波和入射波的恢复方法的流程示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，下面结合实施方式和附图，对本发明做进一步详细说明。在此，本发明的示意性实施方式及其说明用于解释本发明，但并不作为对本发明的限定。

在此，还需要说明的是，为了避免因不必要的细节而模糊了本发明，在附图中仅仅示出了与根据本发明的方案密切相关的结构和/或处理步骤，而省略了与本发明关系不大的其他细节。

应该强调，术语“包括/包含”在本文使用时指特征、要素、步骤或组件的存在，但并不排除一个或更多个其它特征、要素、步骤或组件的存在或附加。

针对现有的本发明叠层成像中物体波恢复中存在的问题，本发明提出了一种新的物体波恢复方法，该恢复方法中是对被测物体各个片层的透射函数(复数函数)的相位和振幅部分进行求偏导，并进行迭代优化来求物体片层的透射函数的振幅和相位，充分考虑了成像时的相干性，且本发明的算法更加简单高效。本发明仅需较少的迭代次数就可以恢复出符合预期的波函数，适用于实时快速恢复的应用。实测表明，本发明的方法在第一次迭代就可以恢复正确的相位图像，有助于实时实现层叠成像应用的图像恢复。本发明的方法同时可以对入射波进行修正，实现入射波的恢复。

本发明的方法可以实现片层恢复，目前采用片层恢复的算法并不多，有3ML和3ePIE算法，3ML算法是对3ePIE算法的延伸，本发明相对于3ML算法进行了进一步的优化。为了更好得体现本发明中的算法与3ML算法的区别，下面首先对3ML算法进行描述。

3ML算法运用的成像原理如图2所示。图2中，假设物体由N个片层构成，n＝1，2，...，N是片层序数，r为空间域的空间坐标，表明是在空间域的变量；

为以第j个位置ri为中心的入射波函数；

为入射到第n层切片的入射波函数，

为物体第n片层的透射函数；Δz_1，2表示两个片层(如第1切片和第2切片在z方向)的距离差，

为第n层切片在第j个扫描位置r_j的出射波场(或称为出射波函数)；

表示第n层的出射波函数；

表示空间域中第j个扫描位置出射视面在频率域的强度幅度；

表示二维傅里叶变换。

从入射波函数

模拟出射波函数

的过程，可以写作：

其中，

为在自由空间z方向上的真空传播函数，例如，

为在第n层到第n+1层自由空间z方向上的真空传播函数。出射后的频率域的波函数最终被CCD记录，这个过程写作：

其中，I_j，q(q)表示入射光以第j个扫描位置为中心记录的衍射图像，q是频率空间的坐标向量，而

是

在频率域的表现形式。

在3ML算法中，误差函数被定义为：

其中，

为误差函数，m_q表示在频率空间对衍射像的所有频率的强度偏差求和。

对第n层的切片的出射波函数的修正写作：

其中，

为空间域空间内物体的第n个片层透射函数的修正量；

为空间域空间内第n个片层入射波函数的修正量；*表示取共轭；

为入射到第n片层的入射波函数。

其中，

表示空间域空间内第N个片层出射波函数与实验记录衍射图换算的波函数之间的幅度差异，被表示为：

其中，

表示反傅里叶变换。

以下写出第N层和第N-1层片层的透射函数的修正量的展开形式：

上述公式为3ML算法的核心公式部分。

从上述公式可以看出3ML算法包含了片层与片层之间的部分。3ML算法中，最小化的目标函数相当于是取实验衍射像与模拟衍射像的开根号的差之和；优化的目标是每个片层的透射函数，是复数形式。3ML算法在推导过程中是对物体O的透射函数和入射光P的波函数进行求偏导。

本发明提出的恢复算法与3ML算法不同，本发明的方法从求导部分进行革新，改为对透射函数的振幅A和相位V分别进行求偏导来求透射函数的修正量，这是与3ML算法的一个核心差别；例如第N层片层的修正项内，本发明比3ML多乘

的部分，其他层差别也相似。本发明的方法算法形式凝练简洁，且发明人发现仅需较少的迭代次数就可以恢复出符合预期的透射函数结果，适用于实时快速恢复的应用。实测表明，本发明的方法在第一次迭代就可以恢复正确的相位图像，有助于实时实现层叠成像应用的图像恢复。本发明的方法同时可以对入射波进行恢复。

下面对本发明的叠层成像中物体波和入射波的恢复方法进行详细描述。

图3为本发明一实施例中叠层成像中透射函数波和入射波的恢复方法的流程示意图。如图3所示，该方法包括以下步骤：

步骤S110，获得被测物体(样品)不同扫描位置的多张实验衍射像。

在该步骤中，可以采用现有的方法来获得样品不同扫描位置的多张实验衍射像，在此不再赘述。

下面，将通过多次迭代操作由实验衍射像恢复物体各片层的透射函数，以迭代方式不断更新待求的透射函数。各次迭代操作包括如下步骤：

步骤S120，在当前迭代中确定被测物体各片层待修正透射函数的振幅和相位，并估计入射波函数。

初始执行本步骤时，可首先针对样品每个片层的透射函数的振幅和相位分别假设一个预估的初始值。作为示例，待测物体各片层透射函数的振幅A_whole初始值均可假定为1，待测物体各片层透射函数的相位V_whole初始值均可假定为0。基于初始假设的振幅A_whole和相位V_whole，可以计算得样品各个片层的假设的衍射像，即模拟衍射像I₀(R)或I₀(k)，后续的迭代中将基于误差函数来修正对模拟衍射像以进行恢复。

可用A_n(R)表示样品第n个片层的透射函数的振幅，用V_n(R)表示样品第n个片层的透射函数的相位。

在本发明实施例中，可以根据实验的条件估计入射波函数Φ₀(R)。首次迭代时的入射波函数Φ₀(R)假设为已知，可写作：

Φ₀(R)＝∫A_aper(k)exp[-iχ(k)]exp(-ikR)dk；

其中，A_aper为光阑函数，可以从实验中大致测量出；χ为入射波的相位部分，可以从实验条件(如离焦量等)大致估计；k表示频率域空间的矢量，R表示空间域空间的矢量。

步骤S130，基于实验衍射像、传播函数以及被测物体各片层的透射函数的振幅和相位，利用成像公式获得被测物体在不同扫描位置的模拟衍射像。

衍射像用于记录物体表面的相干成像过程。在确定了当前迭代中待修正的透射函数的振幅和相位后，基于现有的成像公式可获得样品不同扫描位置的模拟衍射像。

作为示例，基于出射波函数的空间域表达式Φ_N(R)，利用成像公式可以得到频率域的模拟衍射像：

I_N(k)＝φ_N(k)[φ_N(k)]^*；

其中，IN(k)为频率域的不同扫描位置的模拟衍射像，为实数形式的矩阵；φ_N(k)为第N片层出射波函数在频率域的表达，[φ_N(k)]^*为φ_N(k)的共轭形式。

如果将衍射像在空间域空间进行表示，需要做傅里叶变换，具体写作：

I_N(R)＝∫I_N(k)exp(ikR)dk＝∫φ_N(k)[φ_N(k)]^*exp(ikR)dk；

其中，I_N(R)为空间域的模拟衍射像，它是通过反傅里叶变换从I_N(k)计算得到的复数形式的矩阵；Φ_N(R)和

为空间域的第N片层的出射波函数及其共轭形式；R和R′均为空间域的位置矢量。

在本发明一实施例中，波函数传播过程，采用的是多片层法，此时Φ_N(R)可表示为：

其中，Φ₀(R)为首次迭代的入射波函数，P_n(R)表示第n片层的真空传播函数，片层厚度已知则该函数已知；t_n(R)表示第n片层的透射函数，n＝1，2，3，...，N，第n层透射函数t_n(R)为复数矩阵。

每片层的透射函数t_n(R)包含振幅和相位部分，写作：

t_n(R)＝A_n(R)exp[iV_n(R)]；

其中，A_n(R)为第n片层透射函数的振幅部分，V_n(R)为第n片层透射函数的相位部分。在初次迭代中，振幅部分A_n(R)和相位部分V_n(R)为初始设定的值。

步骤S140，基于模拟衍射像和实验衍射像的差值，计算衍射像的误差函数。

在本发明实施例中，衍射像的误差函数S可基于如下公式来计算：

其中，I_N(R⁰)为空间域空间模拟衍射像的光强度，R⁰表示在空间域中表示位置的积分变量，I_E(k)为频率域记录的实验衍射像。将I_E(k)做反傅里叶变换，可得到复数的空间域图像I_E(R⁰)，由于它是直接由频率域的模拟衍射像做傅里叶变换后得到，可被记为I_E(R⁰)，并记图像在空间域的差别为ΔI(R⁰)。

ΔI(R⁰)＝I_N(R⁰)-I_E(R⁰)。

步骤S150，基于衍射像的误差函数分别对各片层透射函数的振幅与相位求梯度公式，利用求得的梯度公式计算各片层的透射函数的振幅和相位的修正量。

作为示例，根据计算得到的误差函数，通过求解该误差函数对相位V(R)的偏导数，可以计算样品透射函数相位V(R)的修正量。

同样，根据计算得到的误差函数，通过求解该误差函数对振幅A(R)的偏导数，可以计算样品透射函数振幅A(R)的修正量。

本发明还可以根据误差函数，求解误差函数对入射波函数的Φ₀(R)的偏导数，计算入射波函数的修正量。

步骤S160，基于获得的修正量来修正物体透射函数的振幅和相位，从而获得修正后的模拟衍射像。

本发明实施例在迭代优化中以梯度下降方向来优化物体每个片层的透射函数的相位和振幅部分，物体透射函数的相位与振幅，以及入射波函数的修正公式可分别表示如下：

其中，

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的相位部分；whole表示整个样品区域，由每个衍射像恢复的相位拼接而成；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的相位修正量；

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的振幅部分；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的振幅修正量；

和

分别表示第j+1次和第j次迭代中的入射波函数；

表不第j次迭代的入射波函数的修正量；

以及

分别为第j次迭代中透射函数的相位、振幅以及入射波函数的常数修正项，为常数。

下面将详细描述如何基于误差函数对相位V(R)的偏导数计算V(R)的修正量以及如何基于误差函数对振幅A(R)的偏导数计算A(R)的修正量，从而体现本发明的针对多片层和入射波函数的恢复算法的推导过程。

(一)基本推导

(1)根据误差函数S，求解误差函数对相位V(R)的偏导数，以计算物体透射函数相位V(R)的修正量。假设现在考虑的是第N-n+1层的相位V_N-n+1(R)，它的负梯度方向写作：

其中，ΔV_N-n+1(R)表示第N-n+1片层的透射函数的相位的修正量，n＝1，2，...，N；Im表示对括号内的结果取虚部；W_n(R)表示通过当前已知的入射波函数、各片层的透射函数、以及模拟衍射像与实验衍射像之差共同计算的与第n片层有关的计算矩阵。

其中，W₁(R)可表示为：

为了将计算矩阵通过归纳总结的方法进行整合，有利于直观地看出各层之间的关系，使冗长的结果更加直白简洁，令

n＞＝2。

由此可计算得到相位V(R)的修正量ΔV(R)。

(2)误差函数S对振幅A_n(R)求导，其负梯度方向可以计算A(R)的修正量。

因为A(R)也是实数，它的推导特性与V(R)完全一样，只是推导细节上略有不同。第N-n+1层修正量ΔA_N-n+1(R)可写作：

其中，ΔA_N-n+1(R)表示第N-n+1片层的透射函数的振幅的修正量，Re{}表示对括号内的公式取其实部；Φ_N-n(R)为空间域的第N-n片层的透射函数，R为空间域的位置矢量。

总结而言：

ΔV_N-n+1(R)＝4Im{t_N-n+1(R)Φ_N-n(R)W_n(R)}；

ΔA_N-n+1(R)＝-4Re{exp[iV_N-n+1(R)]Φ_N-n(R)W_n(R)}；

其中，

为空间域的第N片层的出射波函数的共轭形式；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2表示第N-n+2层的透射函数；n＝1，2，…N。势场恢复从样品靠近底面的片层开始向项面修正。

如果样品多片层划分时，厚度不同，P(R)此时存在下角标，比如P_n(R)表示第n层透射后波函数经历的真空传播函数，则上面3个公式分别写作：

ΔV_N-n+1(R)＝4Im{t_N-n+1(R)Φ_N-n(R)W_n(R)}；

ΔA_N-n+1(R)＝-4Re{exp[iV_N-n+1(R)]Φ_N-n(R)W_n(R)}；

(3)对于入射波函数求偏导量

以下描述根据误差函数求解误差函数对入射波函数Φ₀(R)的偏导数，写作：

ΔΦ₀(R)＝-2W_N(R)t₁(R)；

其中，ΔΦ₀(R)是对入射波函数的修正量，也是由负梯度方向求得。

(4)关于常数

以及

的考虑

在考虑单个变量的系数时，可以使用求解一元三次方程来求解各个变量的系数。以下以入射波函数的修正为例进行说明：

如果已求得第j次迭代的入射波函数为

以及它的修正量

现在要求修正常数

则第j+1次迭代的入射波函数表示为：

对应的出射波函数表示为：

修正量后的模拟衍射像I表示为：

其中，w指与第w个实验衍射像相对应，其对应的出射波函数为

因为：

则：

通过变形，可以得到：

令

的结果变为：

如上公式中，求和号可以换位置。上式可知，

可以由解一元三次方程求得。

接下来本发明讨论三种特殊情况：

(1)如果每个片层的势场都一样，则每一层的修正量都一样，那么相位和振幅的修正是连加性质，这种情况下透过函数的振幅和相位的修正可写为：

(2)考虑多模态后的公式修改

衍射成像依赖入射光的高相干性，如果完全相干，光是可以用单一的纯净的模态进行描述，然而由于电子束固有的部分相干性，适当考虑电子束的部分相干性是高质量结构重建的先决条件，那么参考激光中的模式分解，可以利用Laguerre-Gaussian分解法将入射光分解成一组正交波，即多个模态，它们满足相互独立并且秩最小，然后对每个模态分别进行迭代恢复，然后对每个模态进行正交化，这样便完成了模态分解。与传统的不考虑(或者只考虑)一个模态的电子波成像法相比，模态分解电子波成像具有为研究更复杂的系统提供了更清洁的探针，更好的成像效果的优点。

已有实验证明，与传统的原子分辨率STEM成像技术相比，多模态的叠层成像方法同时提供四倍的采集速度，在相同剂量下将信息限制增加一倍，或在相同分辨率下将剂量减少多达50倍。

在多模态情况下，通过将模拟衍射像公式

进行拓展，分别考虑每种模态的情况，再将每个模态所占的百分比f(c)加入到该公式中，可得到：

其中，f(c)表示第c个模态入射电子所占的比例，Φ_N，c(R+R′)表示第N片层，第c个模式在空间域空间的出射波函数，

表示在空间域第N片层，第c个模式的波函数共轭，c表示第几个模态，C表示总的模态数；R+R′和R′都是空间域坐标。

基于上述模拟衍射像和与前述步骤类似的推导过程，可以得到在多模态情况下，第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量分别满足以下公式：

入射波函数的修正量满足以下公式：

ΔΦ_0，c(R)＝-2f(c)t₁(R)W_N，c(R)；

其中，

其中，ΔV_N-n+1(R)和ΔA_N-n+1(R)分别表示第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量，n＝1，2，...，N；ΔΦ_0，c(R)表示第c个模态的入射波函数的修正量；W_n，c(R)表示与第c个模态第n片层有关的计算矩阵；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；Im{}表示对括号内的公式取其虚部；Re{}表示对括号内的公式取其实部；C表示模态数，f(c)表示第c个模态的入射电子所占的比例；Φ_N-n，c(R)为空间域的第c个模态第N-n片层的出射波函数，R为空间域的位置矢量；

为空间域的第c个模态第N片层的出射波函数的共轭形式；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2(R)表示第N-n+2层的透射函数。

(3)考虑内插以扩大空间域探针(probe)面积

在利用本发明的方法进行物体透射函数恢复时，对于没有探测波在空间域范围超过记录介质的情况，也能通过类似于在CBED图像上做插值(内插)，以实现该算法的应用。

如果采用内插，计算项

其中，以1/2Δk步长插入的倒空间分量在原实验衍射像上没有数值，即不存在I_E(k+0.5*Δk)(Δk为最小倒空间格矢)。那么计算内插ΔI(k+0.5*Δk)时，这部分内插数值默认为0，即ΔI(k+0.5*Δk)＝0。在计算

时会有用，避免了CBED衍射盘内插带来的麻烦，尤其在光阑圈上。

此项因素有助于恢复探针尺寸在实际空间较大，超过了记录的衍射像的尺寸。

在叠层成像记录过程中，沿着扫描点会记录许多衍射像，针对所有的衍射像，都可以采用图4所示的流程来恢复整个样品多片层及入射波函数的相位和振幅。如图4所示，进行整个样品多片层透射函数的相位和振幅、及入射波函数的恢复的具体流程描述如下：

步骤S1，获得不同片层对应的多个实验衍射像。

步骤S2，确定被测物体各个片层透射函数的振幅和相位，并根据实验的条件估计入射波函数。

首次迭代时，可先假定待测物体透射函数的振幅A_whole初始值以及相位V_whole初始值，并根据实验的条件估计入射波函数Φ₀(R)。

在示例性实施例中，待测物体透射函数的振幅A_whole初始值均假定为1，待测物体透射函数的相位V_whole初始值均为0，但本发明并不限于此。基于初始假设的振幅A_whole和相位V_whole，可以计算得样品各个片层的假设的衍射像，即模拟衍射像I₀(R)或I₀(k)，后续迭代中将基于误差函数来对模拟衍射像进行恢复。

在本发明示例性实施例中，入射波函数Φ₀(R)可写作：

Φ₀(R)＝∫A_aper(k)exp[-iχ(k)]exp(-ikR)dk.

步骤S3，选择样品各个片层的实验衍射像的不同扫描位置，即选择各个片层的实验衍射像中不同扫描位置的实验衍射像。

针对各个不同扫描位置的实验衍射像，分别进行以下操作：

步骤S4，利用选取的实验衍射像结果计算得到成像公式中的I(R)或I(k)，即得到实验衍射像I(R)或I(k)，其中R代表正空间，k代表倒空间，I(R)和I(k)二者可通过傅里叶变换相互转换。

由于每次恢复时只是取图像的一小部分，本发明需要对所选取的扫描位置部分进行不断地变换，以对所有位置的衍射像做恢复运算，以得到对应的物体透射函数的相位V、振幅A，以及入射波函数的修正量。因此，图4中步骤S4-S6包括了多个分支，表示分别对实验衍射像的不同的扫描位置分别进行恢复运算。

步骤S5，将各个片层所选取的位置的实验衍射像与对应位置的模拟衍射像I(R)或I(k)(由振幅A_whole和相位V_whole计算得出)进行作差，得到衍射像的误差函数ΔI(R)或ΔI(k)。

步骤S6，基于衍射像的误差函数对振幅与相位的分别求导，以计算得到振幅和相位的修正量ΔA(R)(或ΔA(k))和ΔV(R)(或ΔV(k))，以及入射波函数的修正量。

步骤S7，利用得到的修正量ΔA(R)(或ΔA(k))和ΔV(R)(或ΔV(k))来修正假定的模拟衍射像中的振幅A(R)和相位V(R)。

由此完成所选取的位置的图像的一次迭代过程。

如上步骤适用于对每个片层的修正，也适用于整个样品的修正，因此上面的描述未对各个片层进行区分。针对各个片层，上述各步骤计算的参数中加上脚标n即可清楚表示各个片层的修正。

对各个片层的所有位置的模拟衍射像做恢复运算后，便可得到对应的物体透射函数的相位V、振幅A，以及入射波函数的修正量。

将所有区域对应地放回目标物体的对应区域(一般情况下还需要做位置矫正)，并修正入射波函数(一般情况下，还得考虑多模态)，并优化完成一次物体的振幅、相位以及入射波的修正，这样便完成一次完整的迭代过程。

重复执行步骤S2至步骤S7，循环这个迭代过程，不断降低误差，从而可得到最终修正结果，并输出(步骤S8)。

上述可知，本发明的叠层成像中物体波和入射波的恢复方法具有如下优点：

(1)本发明针对的是物体透射函数的相位和振幅的恢复，在恢复相位时，这样带来的好处是一次性就可以给出噪声很小的相位结果，效果优于其他方法。本发明的实践表明，在第一次迭代修正后即可出现正确的相位图像，且噪声较小。与3ML算法相比，3ML算法直接用频率域开根号来处理并除以波函数，会导致噪声被放大。

(2)本方法可以快速给出物体的轮廓。因为3ML等其他方法不是直接求透射函数的相位，所以相位恢复效果差，其实数部分仅能看出一些轮廓。另外一方面，算法恢复的透射函数需要拼接到整个物体的所有扫描区域，由于相位并不正确，因此轮廓并不清晰。由于本发明的算法收敛很快，迭代一次就可以出较好的结果，因此本发明的方法有望实现快速的相位恢复以快速的检查成像的质量和样品的概貌。

(3)与现有3ML算法公式的直接对比：

对于第1片层，本发明的恢复算法中片层透射函数相位的修正量表示为：

而现有3ML算法中第一片层透射函数的修正量表示为：

对于第N层：本发明的恢复算法中片层透射函数相位的修正量表示：

而现有3ML算法中第N片层透射函数的修正量表示为：

上述公式可见，本发明与3M恢复算法的细节并不相同，至少在3ML方法中，并没有与第N层透射函数t_N(R)相乘。

(4)本发明的算法与其他方法一样，能够考虑入射波函数的恢复，能够计算多模态的出射波。

(5)本发明可以方便地实现信息拓展。在利用本发明的方法进行物体透射函数恢复时，对于没有入射波在空间域范围超过记录介质的情况，也能通过类似于在CBED图像上做插值，以实现该算法的应用。

(6)推导的公式简洁明了，便于编程和理解。此外，从量纲上考虑，3ML算法在公式中是两个透射函数对卷，而本发明的方法从推导角度来说考虑了实空间的卷积过程。

(7)本发明的算法可应用于X光和电子显微镜成像学领域，应用广泛。

此外，还需要说明的是，波函数传播过程，采用的是多片层法。本发明在进行公式推导时，是假设先透射物体再真空传播，传播N层后，得到出射波函数Φ_N(R)。

在本发明的另选实施例中，也可以在假设先真空传播再透射物体的情况下进行推导，也能推导到相似的波函数公式，基于同样的构思可以实现被测物体透射函数和入射波的恢复。

前述可知，本发明主要针对层叠成像技术中记录的实验衍射像，提出了基于多片层法的恢复技术，该算法能够恢复样品的每个片层的透射函数的相位和振幅，以及针对入射束提供修正。尤其重要的是，该算法计算效率很高，在第一次迭代时即能恢复平滑的反映物体结构的相位轮廓。本发明大大提高了叠层成像技术的实用性和高效性。

与大部分的叠层成像方法有所不同，本发明的方法对被测物体各个片层的透射函数的相位V和振幅A进行了求解计算。

总之，本发明的方法采用的误差函数是经过了完备的推导得到的，算法表达更加凝练，并且代码的编写也更易于实现，并且在实际运行过程中计算效果也更好，因此，本发明的方法大大提高了叠层成像技术的实用性和高效性。

与上述方法相应地，本发明还提供了一种叠层成像中物体波和入射波的恢复装置，该装置包括计算机设备，所述计算机设备包括处理器和存储器，所述存储器中存储有计算机指令，所述处理器用于执行所述存储器中存储的计算机指令，当所述计算机指令被处理器执行时该装置实现如前所述方法的步骤。

本发明实施例还提供一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时以实现前述边缘计算服务器部署方法的步骤。该计算机可读存储介质可以是有形存储介质，诸如随机存储器(RAM)、内存、只读存储器(ROM)、电可编程ROM、电可擦除可编程ROM、寄存器、软盘、硬盘、可移动存储盘、CD-ROM、或技术领域内所公知的任意其它形式的存储介质。

本领域普通技术人员应该可以明白，结合本文中所公开的实施方式描述的各示例性的组成部分、系统和方法，能够以硬件、软件或者二者的结合来实现。具体究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本发明的范围。当以硬件方式实现时，其可以例如是电子电路、专用集成电路(ASIC)、适当的固件、插件、功能卡等等。当以软件方式实现时，本发明的元素是被用于执行所需任务的程序或者代码段。程序或者代码段可以存储在机器可读介质中，或者通过载波中携带的数据信号在传输介质或者通信链路上传送。

需要明确的是，本发明并不局限于上文所描述并在图中示出的特定配置和处理。为了简明起见，这里省略了对已知方法的详细描述。在上述实施例中，描述和示出了若干具体的步骤作为示例。但是，本发明的方法过程并不限于所描述和示出的具体步骤，本领域的技术人员可以在领会本发明的精神后，作出各种改变、修改和添加，或者改变步骤之间的顺序。

本发明中，针对一个实施方式描述和/或例示的特征，可以在一个或更多个其它实施方式中以相同方式或以类似方式使用，和/或与其他实施方式的特征相结合或代替其他实施方式的特征。

以上所述仅为本发明的优选实施例，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明实施例可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种叠层成像中物体片层透射函数的恢复方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

获得被测物体不同扫描位置的多张实验衍射像；

通过多次迭代操作由实验衍射像恢复物体各片层的透射函数，各次迭代操作包括如下步骤：

在当前迭代中确定被测物体各片层待修正透射函数的振幅和相位，并估计入射波函数；

基于实验衍射像、传播函数以及被测物体各片层的透射函数的振幅和相位，利用成像公式获得被测物体在不同扫描位置的模拟衍射像；

基于模拟衍射像和实验衍射像的差值，计算衍射像的误差函数；

基于衍射像的误差函数分别对各片层透射函数的振幅与相位求梯度公式，利用求得的梯度公式计算各片层的透射函数的振幅和相位的修正量；以及

基于获得的修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位，从而获得当前迭代优化后的模拟衍射像。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在初次迭代中估计的入射波函数表示为：

Φ₀(R)＝∫A_aper(k)exp[-i_χ(k)]exp(-ikR)dk；

其中，A_aper为聚光镜的光阑函数，χ为聚光镜的像差函数，k表示频率域空间的矢量，R是空间域空间的矢量；

利用成像公式得出的不同扫描位置的模拟衍射像，模拟衍射像表示为I_N(k)或I_N(R)：

I_N(k)＝φ_N(k)[φ_N(k)]^*；

其中，I_N(k)是频率域的模拟衍射像，为实数形式的矩阵；φ_N(k)为频率域的第N个片层的出射波函数；I_N(R)为空间域的模拟衍射像，其为通过反傅里叶变换从I_N(k)计算得到的复数形式的矩阵；Φ_N(R)和

为空间域的第N片层的出射波函数及其共轭形式；R和R′均为空间域的位置矢量；

Φ_N(R)表示为：

其中，P_n(R)表示第n层的真空传播函数；t_n(R)表示第n层的透射函数，n＝1,2,3,…,N；第n层透射函数t_n(R)为复数矩阵。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述透射函数符合如下公式：

t_n(R)＝A_n(R)exp[iV_n(R)]；

其中，A_n(R)为第n片层透射函数的振幅部分，V_n(R)为第n片层透射函数的相位部分。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述方法还包括：

基于衍射像的误差函数对入射波函数求梯度公式，利用求得的梯度公式计算入射波函数的修正量，并基于计算的入射波函数的修正量来修正估计的入射波函数。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，

所述基于获得的修正量来修正各片层透射函数的振幅和相位包括：基于如下公式修正各片层透射函数的振幅和相位：

所述基于计算的入射波函数的修正量来修正估计的入射波函数包括：基于如下公式来修正估计的入射波函数：

其中，

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的相位部分；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的相位修正量；

和

分别表示整个样品区域第n片层在第j+1次迭代和第j次迭代中透射函数的振幅部分；

表示整个样品区域第n片层在第j次迭代的透射函数的振幅修正量；

和

分别表示第j+1次和第j次迭代中的入射波函数；

表示第j次迭代的入射波函数的修正量；

以及

分别为第j次迭代中透射函数的相位、振幅以及入射波函数的常数修正项。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量分别满足以下公式：

ΔV_N-n+1(R)＝4Im{t_N-n+1(R)Φ_N-n(R)W_n(R)}；

ΔA_N-n+1(R)＝-4Re{exp[iV_N-n+1(R)]Φ_N-n(R)W_n(R)}；

所述入射波函数的修正量满足以下公式：

ΔΦ₀(R)＝-2W_N(R)t₁(R)；

其中，

其中，ΔV_N-n+1(R)和ΔA_N-n+1(R)分别表示第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量，n＝1,2,…,N；ΔΦ₀(R)表示入射波函数的修正量；W_n(R)表示与第n片层有关的计算矩阵；Im{}表示对括号内的公式取其虚部；Re{}表示对括号内的公式取其实部；Φ_N-n(R)为空间域的第N-n片层的出射波函数，R为空间域的位置矢量；

为空间域的第N片层的出射波函数的共轭形式；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2表示第N-n+2层的透射函数。

7.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，在多模态情况下，第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量分别满足以下公式：

所述入射波函数的修正量满足以下公式：

ΔΦ_0,c(R)＝-2f(c)t₁(R)W_N,c(R)；

其中，

其中，ΔV_N-n+1(R)和ΔA_N-n+1(R)分别表示第N-n+1片层的透射函数的相位和振幅的修正量，n＝1,2,…,N；ΔΦ_0,c(R)表示第c个模态的入射波函数的修正量；W_n,c(R)表示第c个模态与第n片层相关的计算矩阵；ΔI^*(R)表示模拟衍射像与实验衍射像之差并取共轭；Im{}表示对括号内的公式取其虚部；Re{}表示对括号内的公式取其实部；C表示总模态数，f(c)表示第c个模态的入射电子所占的比例；Φ_N-n,c(R)为空间域的第c个模态第N-n片层的出射波函数，R为空间域的位置矢量；

为空间域的第c个模态第N片层的出射波函数的共轭形式；P_N-n+1(R)和P_N(R)分别表示第N-n+1和第N层的真空传播函数；t_N-n+2(R)表示第N-n+2层的透射函数。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在多模态情况下，不同扫描位置的模拟衍射像的成像公式在频率域表示为：

在空间域表示为：

用多层法来描述各模态的入射波穿透所有片层后的出射波函数，第c个模态得到的出射波函数Φ_N,c(R)表示为：

其中，Φ_0,c(R)是第c个模态的入射波函数,R_n(R)表示第n层的真空传播函数；t_n(R)表示第n层的透射函数，n＝1,2,3,…,N；第n层透射函数t_n(R)为复数矩阵。

9.一种叠层成像中物体波和入射波的恢复系统，包括处理器和存储器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机指令，所述处理器用于执行所述存储器中存储的计算机指令，当所述计算机指令被处理器执行时该系统实现如权利要求1至8中任一项所述方法的步骤。

10.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该程序被处理器执行时实现如权利要求1至8中任一项所述方法的步骤。

Images