CN115972260B - 基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法、系统 - Google Patents

基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法、系统 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，包括：采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据；使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据；依据工业机器人测量位置数据，获得第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得第一向量内积结果；依据工业机器人名义末端位置数据，获得第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得第二向量内积结果；将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；建立向量内积误差与工业机器人运动学参数误差向量之间的关系，获得方程组；求解方程组。本发明克服了传统位置误差模型无法准确获取测量设备的测量坐标系与工业机器人的基座坐标系之间的转换关系的缺点，无需进行坐标系转换即可对工业机器人的运动学参数进行标定，增加了运动学参数辨识的精度和鲁棒性。

Description

基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法、系统
技术领域
本发明涉及一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法、系统，属于工业机器人标定领域。
背景技术
随着人口老龄化加剧和出生率的持续减低，导致劳动力人口缺口增大、劳动力成本攀升，机器人换人是大势所趋。工业机器人因其柔性好、自动化程度高、重复精度高等优点被广泛应用于汽车、电子、物流等领域，但工业机器人的绝对定位精度差(可达数毫米)，限制了其在医疗器械、航空航天等高端装备制造行业的应用。
运动学标定是提升机器人定位精度的主要方法，通常需要对机器人末端位置进行测量，通过将测量坐标系转换到机器人基坐标系后计算定位误差，进而辨识出准确的运动学参数。但是，坐标系转换过程引入了额外的参数，增大了参数辨识模型的维度和冗余度，导致运动学参数辨识的鲁棒性降低。
发明内容
本发明提供了一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法、系统，以用于解决传统的工业机器人标定过程中测量设备的测量坐标系和工业机器人基座坐标系转换不准确的问题。
本发明的技术方案是：一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，包括：
采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；
使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；
依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；
依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得个第二向量内积结果；
将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；
建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得个方程组成的方程组；
求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq。
还包括：将求解的运动学参数误差向量Δq代入到建立的工业机器人运动学模型中，验证求解的运动学参数误差向量的有效性。
所述工业机器人运动学模型包括但不限于D-H模型、MD-H模型、指数积模型。
采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据的测量设备，包括但不限于：激光跟踪仪、关节臂式坐标测量机、视觉测量设备。
所述依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量，包括：以N组工业机器人测量位置数据中任意一点作为基准点，空间中其他点/>与基准点/>做差运算，得到N-1个第一空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标M代表测量设备的测量坐标系。
所述依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量，包括：以N组工业机器人名义末端位置数据中任意一点作为基准点，空间中其他点/>与基准点/>做差运算，得到N-1个第二空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标R代表工业机器人的基座坐标系。
建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，表达式为：其中，/>表示向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq的线性关系矩阵。
所述的表达式为：/>下标i、j、k分别代表第i、j、k组数据；/>为向量内积误差，Δq为工业机器人运动学参数误差向量，Bi,Bj,Bk为工业机器人在/>处的运动学参数雅克比矩阵；分别表示工业机器人第i、j、k组测量位置数据；/>分别表示工业机器人第i、j、k组名义末端位置数据。
所述工业机器人运动学参数误差向量Δq，其表达式为：Δq＝[Δa1 … Δan,Δα1… Δαn,Δd1 ... Δdn,Δθ1 ... Δθn,lx,ly,lz]T；式中共4n+3个运动学误差参数，其中Δa1 ... Δan代表工业机器人运动学参数中的n个连杆长度误差，Δα1 ... Δαn代表工业机器人运动学参数中的n个偏转角误差，Δd1 ... Δdn代表工业机器人运动学参数中的n个连杆偏距误差，Δθ1 ... Δθn代表工业机器人运动学参数中的n个关节零位误差，lx,ly,lz代表工业机器人的末端工具偏置；N的取值满足：
根据本发明的另一方面，还提供了一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定系统，包括：
采集模块，用于采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；
计算模块，用于使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；
第一获得模块，用于依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；
第二获得模块，用于依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得个第二向量内积结果；
第三获得模块，用于将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；
第四获得模块，用于建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得个方程组成的方程组；
求解模块，用于求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq。
本发明的有益效果是：
1、本发明的方法不需要进行测量设备的测量坐标系和工业机器人基座坐标系之间的转换，避免了坐标系转换带来的误差，参数辨识鲁棒性更高；
2、本发明的方法标定的参数更少，提高了标定效率；
3、本发明的方法在标定过程中不依赖于测量设备的位置，允许在标定过程中移动测量设备的位置，能够扩大工业机器人的标定范围。
附图说明
图1为本发明的一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法的流程图；
图2为本发明的空间向量构建示意图；
图3为实施例中采用MD-H方法的运动学模型。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对发明做进一步的说明，但本发明的内容并不限于所述范围。
实施例1：如图1-3所示，一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，包括：采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得/>个第二向量内积结果；将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得/>个方程组成的方程组；迭代求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq。
进一步地，还包括：将求解的运动学参数误差向量Δq代入到建立的工业机器人运动学模型中，验证求解的运动学参数误差向量的有效性。
进一步地，所述工业机器人运动学模型包括但不限于D-H模型、MD-H模型、指数积模型。
进一步地，采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据的测量设备，包括但不限于：激光跟踪仪、关节臂式坐标测量机、视觉测量设备。
进一步地，采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据，包括：使用测量设备采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据记录每个位置处的工业机器人关节角数据Θm＝[θ1m,θ2m,...,θnm]，m＝1,2...N；其中，/>表示工业机器人第m组测量位置数据，Θm表示第m个测量位置处的工业机器人关节角数据，θnm表示工业机器人第m个测量位置处第n个关节的关节角数据，n代表工业机器人的关节个数，上标M代表测量设备的测量坐标系，xM、yM、zM分别代表工业机器人末端位置在测量设备的测量坐标系x轴、y轴、z轴上的投影。
进一步地，使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据，包括：使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据其中，/>表示工业机器人第m组名义末端位置数据，上标R代表工业机器人的基座坐标系；xR、yR、zR分别代表工业机器人末端位置在基座坐标系x轴、y轴、z轴上的投影。
进一步地，所述依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量，包括：以N组工业机器人测量位置数据中任意一点作为基准点，空间中其他点/>与基准点/>做差运算，得到N-1个第一空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标M代表测量设备的测量坐标系。
进一步地，所述依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量，包括：以N组工业机器人名义末端位置数据中任意一点作为基准点，空间中其他点/>与基准点/>做差运算，得到N-1个第二空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标R代表工业机器人的基座坐标系。
进一步地，建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，表达式为：其中，/>表示向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq的线性关系矩阵。
进一步地，所述的表达式为：/>下标i、j、k分别代表第i、j、k组数据；/>为向量内积误差，Δq为工业机器人运动学参数误差向量，Bi,Bj,Bk为工业机器人在/>处的运动学参数雅克比矩阵；/> 分别表示工业机器人第i、j、k组测量位置数据；/>分别表示工业机器人第i、j、k组名义末端位置数据。
进一步地，所述运动学参数雅可比矩阵Bm，表示工业机器人末端位置误差与4n+3个运动学参数误差向量之间的微分关系，其表达式为：其中，fxm、fym、fzm工业机器人第m个末端位置x、y、z与工业机器人关节角之间的函数关系。
进一步地，所述工业机器人运动学参数误差向量Δq，其表达式为：Δq＝[Δa1... Δan,Δα1 ... Δαn,Δd1 ... Δdn,Δθ1 ... Δθn,lx,ly,lz]T；式中共4n+3个运动学误差参数，其中，Δa1 ... Δan代表工业机器人运动学参数中的n个连杆长度误差，Δα1... Δαn代表工业机器人运动学参数中的n个偏转角误差，Δd1 ... Δdn代表工业机器人运动学参数中的n个连杆偏距误差，Δθ1 ... Δθn代表工业机器人运动学参数中的n个关节零位误差，lx,ly,lz代表工业机器人的末端工具偏置；N的取值满足：
进一步地，迭代求解方程组最优解的方法包括但不限于线性最小二乘法、智能优化算法等。
应用上述技术方案，本发明克服了传统位置误差模型无法准确获取测量设备的测量坐标系与工业机器人的基座坐标系之间的转换关系的缺点，无需进行坐标系转换即可对工业机器人的运动学参数进行标定，增加了运动学参数辨识的精度和鲁棒性。
再进一步地，下面对本发明一种可选的实施方式说明如下：
步骤1：建立工业机器人的运动学模型。
本实施例所使用的工业机器人为串联六轴协作机器人，其运动学模型的构建采用MD-H方法，如图3所示，工业机器人第i个关节坐标系相对于第i-1个关节坐标系的变换矩阵如公式(1)所示。
其中，ai-1，αi-1，di，θi分别表示连杆扭转角，连杆长度，连杆偏距，关节角零位，其名义运动学参数如表1所示。
表1
关节 ai-1[mm] di[mm] θi[°] αi-1[°]
1 0 95.5 θ1 0
2 0 138 θ2 -90
3 418 -114 θ3 0
4 398 98 θ4 0
5 0 98 θ5 -90
6 0 89 θ6 -90
则工业机器人末端工具坐标系相对于工业机器人基座坐标系之间的变换矩阵可以用公式(2)表示。
当末端工具相对于工业机器人六轴法兰坐标系只存在x,y,z方向上的偏置时，其在工业机器人基座坐标系下的位置p可以用公式(3)表示。
其中，Vtool表示工业机器人末端工具在工业机器人六轴法兰坐标系下的偏置Vtool＝[lx,ly,lz]。
步骤2：使用测量设备采集工业机器人N组关节角下末端工具的位置坐标，记为工业机器人测量位置数据记录每个位置处的工业机器人关节角数据Θm＝[θ1m,θ2m,...,θ6m],m＝1,2...N；
步骤3：根据公式(3)，使用运动学参数名义值计算工业机器人在N组关节角下的末端位置，记为工业机器人名义位置数据
步骤4：如图2所示，在测量位置数据中，以任意一点作为基准点，空间中其他点与基准点/>做差运算，得到N-1个空间向量/>向量计算方式如公式(4)所示。
步骤5：测量位置数据得到的空间向量分别两两做内积运算得到/>个向量内积结果，内积计算方式如公式(5)所示。
步骤6：同样的，在工业机器人名义末端位置数据中，以任意一点作为基准点，空间中其他点/>与基准点/>做差运算，得到N-1个空间向量/>
步骤7：使用工业机器人名义位置数据得到的空间向量分别两两做内积运算，得到个向量内积结果/>
步骤8：将步骤7与步骤5得到的向量内积结果做差运算，记为工业机器人的向量内积误差ω，其表达式如公式(6)所示。
步骤9：建立向量内积误差ω与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系如公式(7)所示。
其中为工业机器人名义位置数据中的基准点，/>为除基准点之外的其他点，Bi,Bj,Bk为机器人在/>处的运动学参数雅克比矩阵。Δq可以表示为式(8)的形式。矩阵Bm表示工业机器人末端位置误差与运动学参数之间的微分关系，其求解方式如式(9)所示。
Δq＝[Δa1 ... Δa6,Δα1 ... Δα6,Δd1 ... Δd6,Δθ1 ... Δθ6,lx,ly,lz]T (8)
步骤10：对于个向量内积可以组成/>个如式(7)的方程，写成方程组的形式ΦΔq＝W，即包括/>个形如/>的方程。
步骤11：使用高斯牛顿法求解线性方程组，其解如式(10)所示。
Δq＝(ΦTΦ)-1ΦTW (10)
步骤12：更新运动学参数后，继续迭代求解，直到收敛为止。
上述中，所述步骤Step4和Step6中所述的基准点Pi可以任意选取，基准点选定之后，其他点与基准点构成N-1个向量，向量数值的计算方法为x，y，z代表末端位置在坐标系x轴，y轴，z轴上的投影，坐标系可以为测量坐标系，也可以为基座坐标系。
实验平台简图如图2所示，主要包括Elite机器人和APIRadianPro激光跟踪仪(其测量精度可达±5ppm)。在Elite机器人末端法兰上安装反射靶球，使用激光跟踪仪记录靶球位置。在机器人600mm×400mm×400mm的立体空间内随机记录了100组机器人关节角配置和激光跟踪仪记录的靶球位置数据，其中50组数据为标定组，分别使用位置误差模型和本发明向量内积误差模型辨识机器人运动学参数，剩下的50组数据作为验证组，用于验证经过辨识后的运动学参数的准确性。
具体地，标定前工业机器人的位置误差最大值为2.14mm，使用位置误差模型和向量内积误差模型标定后的运动学参数和结果对比如表2和表3所示，将两种模型标定的运动学参数误差向量补偿到Step1建立的工业机器人运动学模型中，验证结果如表4所示。通过标定及验证结果可知，对比传统的位置误差模型，基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法不需要进行工业机器人基座坐标系和测量设备的测量坐标系之间的转化，减少了运动学参数辨识的维度和冗余度，将工业机器人运动学参数误差全部映射到向量内积误差上，增加了辨识精度，提升了鲁棒性。
表2两种模型辨识参数误差对比
表3标定后误差对比结果
平均误差值(mm) 标准差 最大误差值(mm)
标定前 1.38 0.83 2.14
向量内积误差模型 0.16 0.11 0.68
位置误差模型 0.24 0.14 0.91
表4验证组误差对比结果
平均误差值(mm) 标准差 最大误差值(mm)
标定前 1.07 0.72 2.06
向量内积误差模型 0.17 0.12 0.70
位置误差模型 0.26 0.17 1.02
实施例2：根据本发明的另一方面，还提供了一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定系统，包括：采集模块，用于采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；计算模块，用于使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；第一获得模块，用于依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；第二获得模块，用于依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得/>个第二向量内积结果；第三获得模块，用于将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；第四获得模块，用于建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得/>个方程组成的方程组；求解模块，用于求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq。
上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。
在本发明的上述实施例中，对各个实施例的描述都各有侧重，某个实施例中没有详述的部分，可以参见其他实施例的相关描述。需要说明的是，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。
上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (5)

1.一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，其特征在于，包括：
采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；
使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；
依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；
依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得个第二向量内积结果；
将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；
建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得个方程组成的方程组；
求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq；
所述依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量，包括：以N组工业机器人测量位置数据中任意一点Pi M作为基准点，空间中其他点与基准点Pi M做差运算，得到N-1个第一空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标M代表测量设备的测量坐标系；
所述依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量，包括：以N组工业机器人名义末端位置数据中任意一点Pi R作为基准点，空间中其他点与基准点Pi R做差运算，得到N-1个第二空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标R代表工业机器人的基座坐标系；
建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，表达式为：其中，/>表示向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq的线性关系矩阵；
所述的表达式为：
其中：下标i、j、k分别代表第i、j、k组数据；为向量内积误差，Δq为工业机器人运动学参数误差向量，Bi,Bj,Bk为工业机器人在Pi R、/>处的运动学参数雅克比矩阵；Pi M、/>分别表示工业机器人第i、j、k组测量位置数据；Pi R、分别表示工业机器人第i、j、k组名义末端位置数据；
所述工业机器人运动学参数误差向量Δq，其表达式为：
Δq＝[Δa1…Δan,Δα1…Δαn,Δd1…Δdn,Δθ1…Δθn,lx,ly,lz]T
式中共4n+3个运动学误差参数，其中Δa1…Δan代表工业机器人运动学参数中的n个连杆长度误差，Δα1…Δαn代表工业机器人运动学参数中的n个偏转角误差，Δd1…Δdn代表工业机器人运动学参数中的n个连杆偏距误差，Δθ1…Δθn代表工业机器人运动学参数中的n个关节零位误差，lx,ly,lz代表工业机器人的末端工具偏置；N的取值满足：
2.根据权利要求1所述的基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，其特征在于，还包括：将求解的运动学参数误差向量Δq代入到建立的工业机器人运动学模型中，验证求解的运动学参数误差向量的有效性。
3.根据权利要求2所述的基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，其特征在于，所述工业机器人运动学模型包括但不限于D-H模型、MD-H模型、指数积模型。
4.根据权利要求1所述的基于向量内积误差模型的工业机器人标定方法，其特征在于，采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据的测量设备，包括但不限于：激光跟踪仪、关节臂式坐标测量机、视觉测量设备。
5.一种基于向量内积误差模型的工业机器人标定系统，其特征在于：包括：
采集模块，用于采集工业机器人在N组关节角下的末端位置数据，记为工业机器人测量位置数据；
计算模块，用于使用运动学参数名义值，计算工业机器人在N组关节角下的名义末端位置数据，记为工业机器人名义末端位置数据；
第一获得模块，用于依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量；依据第一空间向量进行内积运算，获得个第一向量内积结果；
第二获得模块，用于依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量；依据第二空间向量进行内积运算，获得个第二向量内积结果；
第三获得模块，用于将第一向量内积结果及对应的第二向量内积结果做差运算，获得工业机器人的向量内积误差；
第四获得模块，用于建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，获得个方程组成的方程组；
求解模块，用于求解方程组得到工业机器人的运动学参数误差向量Δq；
所述依据工业机器人测量位置数据，获得N-1个第一空间向量，包括：以N组工业机器人测量位置数据中任意一点Pi M作为基准点，空间中其他点与基准点Pi M做差运算，得到N-1个第一空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标M代表测量设备的测量坐标系；
所述依据工业机器人名义末端位置数据，获得N-1个第二空间向量，包括：以N组工业机器人名义末端位置数据中任意一点Pi R作为基准点，空间中其他点与基准点Pi R做差运算，得到N-1个第二空间向量/>下标i、j代表第i、j组的数据；i,j＝1,2,...,N；上标R代表工业机器人的基座坐标系；
建立向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq之间的关系，表达式为：其中，/>表示向量内积误差w与工业机器人运动学参数误差向量Δq的线性关系矩阵；
所述的表达式为：
其中：下标i、j、k分别代表第i、j、k组数据；为向量内积误差，Δq为工业机器人运动学参数误差向量，Bi,Bj,Bk为工业机器人在Pi R、/>处的运动学参数雅克比矩阵；Pi M、/>分别表示工业机器人第i、j、k组测量位置数据；Pi R、分别表示工业机器人第i、j、k组名义末端位置数据；
所述工业机器人运动学参数误差向量Δq，其表达式为：
Δq＝[Δa1…Δan,Δα1…Δαn,Δd1...Δdn,Δθ1...Δθn,lx,ly,lz]T
式中共4n+3个运动学误差参数，其中Δa1...Δan代表工业机器人运动学参数中的n个连杆长度误差，Δα1...Δαn代表工业机器人运动学参数中的n个偏转角误差，Δd1...Δdn代表工业机器人运动学参数中的n个连杆偏距误差，Δθ1...Δθn代表工业机器人运动学参数中的n个关节零位误差，lx,ly,lz代表工业机器人的末端工具偏置；N的取值满足：
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