CN115966268B - 一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法 - Google Patents
一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，方法包括：根据超声导波在板中的传播特性，假设波的传播方向为沿板平面内的任意方向，基于部分波理论，得到三个方向的位移矢量分量表达式，将三维求解问题简化为一维求解，结合虚功原理，将虚位移替换为测试函数；结合通用有限元软件，建立复合材料层压板的一维有限元模型；定义多个弱形式偏微分方程并分别指定到具有不同材料参数的结构层；利用有限元软件的特征值模块求解，得到波数与对应的频率，本发明的优势在于只需采用通用有限元软件就可以更加快速、准确地求解沿任意方向传播的各向异性层压板导波频散关系，且无需繁琐编程。
Description
技术领域
本发明涉及一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，尤指利用有限元软件求解板结构的波动控制方程的弱形式，得到波数和对应的频率，从而计算频散关系，属于超声无损检测技术领域。
背景技术
当前超声导波频散特性的计算方法在常规结构中的应用已较为成熟，如求解简单的单层板、杆、管等结构。但随着工程技术的发展，越来越多的复合材料应用于结构中，由于复合材料结构的材料性质复杂，传统的解析求解方法如传递矩阵法和全局矩阵法，虽然可以求解该类复杂结构，但存在数值求解不稳定及收敛速度慢等问题。而对于各向异性层压板结构，层数的增加和各层材料铺设方向的不同使其结构特性和材料特性更为复杂，使用传统的方法计算频散特性需要处理很大的矩阵，除了存在计算量大，计算速度慢，失根等问题，还存在程序编制上面临非常巨大的挑战。有限元法也是一种常用的数值求解方法，但是要对整个波导结构进行网格划分，会产生较多的自由度，求解的速度很慢。因此，提出一种更加快速、准确且无需繁琐编程的方法计算各向异性层压板结构频散特性显得尤为重要。
发明内容
本发明的目的在于，提供一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，可以求解超声导波沿各向异性层压板任意方向传播的相速度、群速度和波结构。
该方法基于半解析有限元(SAFE)理论和弱形式偏微分方程(PDE)理论，将波导结构的假设位移解代入波动控制方程中，进而将三维结构波动问题求解简化为一维求解问题，推导在各向异性材料下板波动控制方程的弱形式，并利用有限元软件求解，得到波数及对应的频率，计算相速度和群速度，从而绘制频散曲线和波结构图。
一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，包括以下步骤：
1.根据超声导波在板中的传播特性，假设波的传播方向为沿板平面内的任意方向，基于部分波理论，得到三个方向的位移矢量的分量表达式，将三维求解问题简化为一维求解，并据此推导波动控制方程的弱形式以及在各向异性材料下方程弱形式的展开式：
1.1.声波在各向异性弹性介质中传播，波动控制方程、胡克定律、应变-位移方程分别为：
σij＝Cijklεkl (2)
其中，ρ为材料的密度；σij为二阶应力张量；为位移对时间的二阶导数；Cijkl为弹性固体的四阶刚度张量；εkl为应变张量的分量。
1.2.基于虚功原理，把虚功原理中的虚位移替换为测试函数vi，对表达式(1)
在体积域上积分，可以得到板结构的波动控制方程的弱形式为：
1.3.对表达式(4)的第一项应用散度定理，并结合边界条件得到：
1.4.在边界Γ上的积分趋于零，所以表达式(5)方程的弱形式可化简为：
1.5.根据部分波理论，在无限大介质中，假设声波为沿板结构的x-y平面任意方向传播的时间简谐波，并用系数Kx和Ky定义归一化的波矢量的方向，三个方向的部分波具有如下形式：
其中，k为波数；ω＝2πf为角频率；
1.6.由表达式(2)、(3)、(7)，可以推导得到各向异性材料下板波动控制方程的弱形式展开式，且三维的波动问题简化为一维求解：
∫Ωv(i，j){(ikKxC11ux+ikKyC12uy+C13u′z+C14u′y+ikKyC14uz+C15u′x+ikKxC15uz+ikKyC16ux+ikKxC16uy)+(ikKxC21ux+ikKyC22uy+C23u′z+C24u′y+ikKyC24uz+C25u′x+ikKxC25uz+ikKyC26ux+ikKxC26uy)+(ikKxC31ux+ikKyC32uy+C33u′z+C34u′y+ikKyC34uz+C35u′x+ikKxC35uz+ikKyC36ux+ikKxC36uy)+2(ikKxC41ux+ikKyC42uy+C43u′z+C44u′y+ikKyC44uz+C45u′x+ikKxC45uz+ikKyC46ux+ikKxC46uy)+2(ikKxC51ux+ikKyC52uy+C53u′z+C54u′y+ikKyC54uz+C55u′x+ikKxC55uz+ikKyC56ux+ikKxC56uy)+2(ikKxC61ux+ikKyC62uy+C63u′z+C64u′y+ikKyC64uz+C65u′x+ikKxC65uz+ikKyC66ux+ikKxC66uy)}-vi(ρω2ux+ρω2uy+ρω2uz)dΩ＝0 (8)
2.构建沿层压板厚度方向的一维有限元模型，利用线段间隔定义多段线，每段线段的尺寸对应层压板板结构每层的厚度尺寸。
3.输入参数：刚度张量(Cij)、层压板厚度(a)、扫描的波数k(或角频率ω)以及波矢量分量的系数Kx和Ky，参数Kx和Ky用于定义归一化的波矢量在板平面内的传播方向：设波沿板结构平面的传播角度为θ，有Kx＝cosθ，Ky＝sinθ。
4.在有限元软件的弱形式偏微分方程模块中定义多个弱形式偏微分方程，并根据不同材料所在的结构层分别指定到各自的域，将波动控制方程弱形式中的被积函数转化为有限元能读取的表达式，输入弱形式表达式后有限元软件将自动对被积函数进行积分处理。
5.根据需要求解的频率范围预估网格划分的粗细程度，对模型进行有限元网格划分。
6.对波数(或角频率)进行扫描以计算特征值角频率(或波数)，设定扫描的范围及扫描步长，并根据需要求解的模态数量设定所需特征值数，提交特征计算。
7.将所得结果通过相速度计算公式Vp＝2Tf/k和群速度计算公式Vg＝2πΔf/Δk，分别计算其相速度和群速度，从而绘制频散曲线。
其中，f为频率；k为波数；Δf为同一模态下相邻频率点之差；Δk为相邻波数之差。
8.在有限元软件的计算结果中，添加一维绘图组，根据选定频率下不同方向的位移量分别绘制不同方向的波结构图。
本发明具有以下优点：
1)本方法基于弱形式偏微分方程理论，采用通用有限元软件，计算一般各向异性层压板中沿任意方向传播的超声导波频散特性和波结构。
2)只需建立层压板结构的厚度方向一维有限元模型，模型的维度从三维降为一维，求解自由度少，提高了计算速度，且在求解过程中无模态缺失，频散曲线完整性高。
附图说明
图1为基于弱形式偏微分方程求解超声导波频散曲线的步骤框图；
图2为多层板任意超声导波传播方向的三维模型示意图；
图3为多层板沿厚度方向的一维模型选取示意图；
图4为利用弱形式偏微分方程求解的相速度频散曲线与理论频散曲线对比示意图；
图5为利用弱形式偏微分方程求解的群速度频散曲线与理论频散曲线对比示意图；
图6为利用弱形式偏微分方程求解A0模态面内位移波结构图与理论波结构图对比示意图；
图7为利用弱形式偏微分方程求解A0模态离面位移波结构图与理论波结构图对比示意图；
图8为利用弱形式偏微分方程求解S0模态面内位移波结构图与理论波结构图对比示意图；
图9为利用弱形式偏微分方程求解S0模态离面位移波结构图与理论波结构图对比示意图。
具体实施方式
结合本发明方法的内容提供以下各向异性层压板(0°/90°/90°/0°)中超声导波频散关系计算方法实例，并与理论计算的结果对比验证本方法的正确性。具体实施步骤如图1所示：
1)根据超声导波在板中的传播特性，假设波的传播方向为沿板平面内的任意方向，基于部分波理论，得到三个方向的位移矢量分量表达式，结合虚功原理，将虚位移替换为测试函数，推导得到板结构波动制方程的弱形式及其在各向异性材料下的展开式：
∫Ωv(i，j){(ikKxC11ux+ikKyC12uy+C13u′z+C14u′y+ikKyC14uz+C15u′x+ikKxC15uz+ikKyC16ux+ikKxC16uy)+(ikKxC21ux+ikKyC22uy+C23u′z+C24u′y+ikKyC24uz+C25u′x+ikKxC25uz+ikKyC26ux+ikKxC26uy)+(ikKxC31ux+ikKyC32uy+C33u′z+C34u′y+ikKyC34uz+C35u′x+ikKxC35uz+ikKyC36ux+ikKxC36uy)+2(ikKxC41ux+ikKyC42uy+C43u′z+C44u′y+ikKyC44uz+C45u′x+ikKxC45uz+ikKyC46ux+ikKxC46uy)+2(ikKxC51ux+ikKyC52uy+C53u′z+C54u′y+ikKyC54uz+C55u′x+ikKxC55uz+ikKyC56ux+ikKxC56uy)+2(ikKxC61ux+ikKyC62uy+C63u′z+C64u′y+ikKyC64uz+C65u′x+ikKxC65uz+ikKyC66ux+ikKxC66uy)}-vi(ρω2ux+ρω2uy+ρω2uz)dΩ＝0 (8)
2)选择具有弱形式偏微分方程分析的有限元软件COMSOL Multiphysics 6.0进行分析，将多层板结构的三维模型简化为沿板厚度方向的一维模型进行计算，采用的研究类型为特征值。使用线段间隔构建四层板厚度方向模型，板的每层厚度为0.5mm，总厚度为2mm，板结构的三维结构图如图2所示，其一维有限元模型选取示意图如图3所示。
3)在参数栏中设置刚度张量(Cij)、模型尺寸(a)、扫描的波数k以及波矢量分量的系数Kx和Ky。波数k的初始值将会在参数化扫描后被覆盖，故可设置为0。超声导波沿多层板结构的x轴方向传播，传播角θ＝0°，故设置Kx＝1，Ky＝0；各向异性板的材料参数：选用IM7/977-3复合材料，其力学参数为：E1＝172GPa，E2＝9.8GPa，G12＝172GPa，G23＝172GPa，v12＝0.37，v23＝0.55，ρ＝1608kg/m3；第一层与第四层板中，纤维方向与超声导波传播方向平行；第二层与第三层板中，纤维方向与超声导波传播方向垂直。对应的刚度矩阵为：
第一层，第四层：
第二层，第三层：
4)通过推导得到各向异性层压板波动控制方程的弱形式，并将被积函数转换为COMSOL软件能读取的弱表达式，不同纤维方向层的弱表达式的区别仅在于弹性常数，可在COMSOL的弱形式偏微分方程(w)中，增加两个弱形式偏微分方程，分别定义不同弹性常数下的弱表达式，并分别指定到不同的域。将角频率定义为特征值，其中第二层与第三层的弱表达式为：
-(u1z+Kx*k*u3*i)*(D56*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+
Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D35*conj(test(u3z))-D55*(conj(test(u1z))-
Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D45*(conj(test(u2z))-
Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D15*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+
D25*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)-(u2z+
Ky*k*u3*i)*(D46*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+
Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D34*conj(test(u3z))-D45*(conj(test(u1z))-
Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D44*(conj(test(u2z))-
Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D14*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+
D24*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)-(Kx*k*u2*i+
Ky*k*u1*i)*(D66*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+
Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D36*conj(test(u3z))-D56*(conj(test(u1z))-
Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D46*(conj(test(u2z))-
Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D16*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+
D26*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)-u3z*(D36*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D33*conj(test(u3z))-D35*(conj(test(u1z))-Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D34*(conj(test(u2z))-Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D13*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+D23*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)-lambda^2*rho*conj(test(u1))*u1-lambda^2*rho*conj(test(u2))*u2-lambda^2*rho*conj(test(u3))*u3-Kx*k*u1*(D16*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D13*conj(test(u3z))-D15*(conj(test(u1z))-Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D14*(conj(test(u2z))-Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D11*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+D12*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)*i-Ky*k*u2*(D26*(Kx*conj(test(u2))*conj(k)*i+Ky*conj(test(u1))*conj(k)*i)-D23*conj(test(u3z))-D25*(conj(test(u1z))-Kx*conj(test(u3))*conj(k)*i)-D24*(conj(test(u2z))-Ky*conj(test(u3))*conj(k)*i)+D12*Kx*conj(test(u1))*conj(k)*i+D22*Ky*conj(test(u2))*conj(k)*i)*i
其中，conj为复共轭函数；lambda为特征值，波数参数化扫描时，特征值为角频率；test()函数表示测试函数。
5)对模型进行网格划分，大小选择“极细化”。
6)对波数k进行参数化扫描，扫描范围为[0，5*pi/a]，其中a为层压板的厚度。特征值求解中，设置所需特征值数为20。
7)在COMSOL软件的“结果”中添加全局计算，将所得波数和对应的角频率通过相速度计算公式Vp＝2πf/k和群速度计算公式Vg＝2πΔf/Δk，分别计算其相速度和群速度，从而绘制频散曲线，如图4、5所示。
8)在COMSOL软件中，添加一维绘图组分别绘制不同方向的波结构图。归一化处理后的波结构图如图6、7、8、9所示。
本发明公开了一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，方法包括：根据超声导波在板中的传播特性，假设波的传播方向为沿板平面内的任意方向，基于部分波理论，得到三个方向的位移矢量分量表达式，将三维求解问题简化为一维求解，结合虚功原理，将虚位移替换为测试函数，并推导一般各向异性板结构导波波动控制方程的弱形式表达式及展开式；结合通用有限元软件，建立复合材料层压板的一维有限元模型；定义多个弱形式偏微分方程并分别指定到具有不同材料参数的结构层，实现复合材料层压板波动特性求解问题的弱形式半解析有限元建模，添加并设置参数化扫描参数；利用有限元软件的特征值模块求解，得到波数与对应的频率，即可计算相速度、群速度及相应波结构。本发明的优势在于只需采用通用有限元软件就可以更加快速、准确地求解沿任意方向传播的各向异性层压板导波频散关系，且无需繁琐编程。
最后应说明的是：本发明不限于上述的特定实施例，对本领域技术人员来说能够进行各种明显的变化、重新调整和替代而不会脱离本发明的保护范围。因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是不仅仅限于以上实施例，在不脱离本发明构思的情况下，还可以包括更多其他等效实施例，而本发明的范围由所附的权利要求范围决定。
Claims (4)
1.一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，其特征在于，包括以下步骤：
①基于部分波理论，得到板结构三个方向的位移矢量分量表达式，将三维求解问题简化为一维求解，基于虚功原理，对波动控制方程的两边乘以测试函数并在所求的域上积分，推导板结构波动控制方程的弱形式以及在各向异性材料下的弱形式方程展开式；
②构建层压板结构的一维有限元模型，利用线段间隔定义多段线，每段线段的尺寸对应层压板结构每层的厚度尺寸；
③设置有限元计算所需要的参数：刚度张量Cij、层压板厚度a、扫描的波数k或角频率ω以及波矢量分量的系数Kx和Ky，参数Kx和ky用于定义归一化的波矢量在板平面内的传播方向；
④对于不同材料铺设方向的结构层，定义多个弱形式偏微分方程，并根据不同材料所在的结构层分别指定到各自的域；
⑤预估有限元网格尺寸，并划分网格；
⑥添加波数或角频率的参数化扫描，设置扫描范围，并计算特征值；
⑦根据相速度公式Vp＝2πf/k和群速度公式Vg＝2πΔf/Δk，分别计算相速度和群速度并绘制频散曲线；
其中，f为频率；k为波数；Δf为同一模态下相邻频率点之差；Δk为相邻波数之差；
⑧在有限元软件的计算结果中，根据选定频率下不同方向的位移量分别绘制不同方向的波结构图。
2.根据权利要求1所述一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，其特征在于：波导结构为具有各向异性特性的多层板结构，且超声导波的传播方向可沿多层板的x-y平面内任意方向传播。
3.根据权利要求1所述一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，其特征在于，所述基于部分波理论，得到板三个方向的位移矢量分量的表达式，如下式：
4.根据权利要求1所述一种计算各向异性层压板任意方向传播超声导波频散特性的方法，其特征在于，所述波矢分量的系数Kx和Ky用于定义归一化的波矢量在板平面内的传播方向，具体为：假设超声导波沿板平面的传播角度为θ，Kx＝cosθ，Ky＝sinθ。
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