CN115859012A - 基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下doa和sap估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法。该方法引入光滑函数性质并推广为复数矩阵形式，基于推广后的性质，引入到多快照稀疏贝叶斯学习，推导出了矩阵形式的松弛证据下限relax‑ELBO；基于relax‑ELBO采用VEM方法求解隐变量的后验分布近似；根据后验分布近似对DOA和SAP估计，避免了矩阵求逆，很大程度上提高了运算速度，克服SBL难以在大规模领域和在线应用的局限。

Description

基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法

技术领域

本发明属于水下目标探测技术领域，特别是涉及基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法。

背景技术

阵列信号处理技术被广泛应用于水下目标探测，如复数域多快照的高分辨率波达角(DOA)和目标源幅相(SAP)估计。其中，空间谱估计算法克服了传统波束形成器分辨率低的缺点，大幅度提高DOA估计的性能。例如，MUSIC有更高的估计精度和分辨率，但也需要更多快照，不能很好地处理相干信号，并且从MUSIC伪谱中无法给出定量的SAP估计。

近些年来，压缩感知(CS)技术在各个领域得到广泛利用，也为DOA和SAP估计提供了新捷径。焦点欠定系统求解器(FOCUSS)算法基于加权范数最小化的迭代框架，但是只能保证局部最小化。作为l₀范数最小化的凸全局近似，l₁-SVD通过施加基于l₁范数的惩罚来增强稀疏性，得到了较高的恢复精度，但在选择规范化参数上有困难。与FOCUSS和基追踪(BP)相比，稀疏贝叶斯学习(SBL)能提供估计的不确定性，并能有效地减小局部最小化引起的误差。尽管SBL的性能优于上述估计算法，但每次迭代所需的矩阵反演导致计算量增加，使其难以应用于大规模问题和在线系统。因此，快速SBL方法的研究得到更多关注，并提出了许多实现方式。例如，空间交替变分估计(SAVE)算法是在非结构化假设下进行变分贝叶斯推理(VBI)，隐含了目标源之间独立性。快速拉普拉斯算法采用分层拉普拉斯先验，每次迭代更新目标源向量的一个元素，而不是整个向量。一旦推断出一个超参数为零，对应的元素将从模型中删除。利用信号的稀疏性，可以找到大量的零值元素，大大降低了模型的规模。然而，SAVE和快速拉普拉斯算法的可扩展性有限，不适于更复杂的先验分布。快速无逆稀疏贝叶斯学习法(IF-SBL)引入光滑函数的基本性质，来放松证据下界(relax-ELBO)，将SBL中的矩阵求逆转变为对角矩阵求倒数，从而大幅度降低计算成本，因此原理上具有更强的扩展性。然而，原始的IF-SBL主要用于实数信号处理，导致复数域的单快照和多快照波束形成模型均难以适用。

发明内容

本发明目的是为了解决在SBL中矩阵求逆导致的运算量大问题，提出了基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法。该方法(FMIF-SBL)通过将平滑函数的性质推广到复数矩阵形式，从而推导出波束形成模型适用的松弛证据下限(relax-ELBO)来解耦目标源与测量矩阵的关系，避免矩阵求逆运算，有效降低运算复杂程度。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明提出基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法，在波束形成模型的基础上，用隐变量的变分分布近似后验分布，然后将平滑函数的基本性质推广到复数矩阵形式，推导出松弛证据下限relax-ELBO,根据似然函数和先验分布结合松弛ELBO进行贝叶斯推理，对隐变量进行更新，最后根据隐变量的后验分布近似进行DOA和SAP估计。

进一步地，所述波束形成模型的构建具体为：

对于接收远场窄带信号的M元传感器阵列，阵列信号的多快照模型表示为：

Y＝AX+N (1)

其中

是接收到的测量矩阵，/>

是噪声矩阵，/>

是信号矩阵，

是感知矩阵；

a(θ_n)表示第n个预成波束方向的导向矢量：

a(θ_n)＝[1,...,exp(-j2πf(m-1)τ_n)...,exp(-j2πf(M-1)τ_n)]^T (2)

τ_n表示信号到达下一个阵元的时延：

其中θ_n是预成波束方向角度，c为声速，d为阵元间距；

由N个导向矢量组成：

A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_N)]

则似然函数表示为：

进一步地，所述用隐变量的变分分布近似后验分布具体为：

假设噪声矩阵N服从高斯分布，均值为0，协方差矩阵为(1/γ)I：

p(γ)＝Γ(γ|c_γ,d_γ) (4)

其中Γ表示Gamma分布，c_γ,d_γ是给定的形状参数和速率参数；

为源信号矩阵X设计两层层次先验，第一层为X赋值高斯先验分布，即:

其中α_n为先验分布的超参数，X_nl表示X处于第n行第l列的元素，α＝[α₁,α₂,...,α_N],

且α_n＞0，Λ增强了X的稀疏性增强；对于第二层，假设α_n的超先验服从Gamma分布，即:

设Θ＝{X,α,γ}为层次模型中的隐变量，其后验分布p(Θ|Y)近似于变分分布q(Θ)，可因式分解为：

进一步地，将平滑函数的基本性质推广到复数向量域，具体为：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，以下不等式成立：

接着将该条性质推广到复数向量域中：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，v,/>

f表示成：

因此，可以得到：

整理得到：

进一步地，在公式(11)的基础上将该条性质推广到复数矩阵上，具体为：

设

是一个连续可微函数，将f(x)视为多个向量的函数，表示为f(X₁,X₂,...,X_L)，每列X_l和对应的Lipschitz常数T_l(f)具有Lipschitz连续梯度；根据(11)，对于矩阵U,/>

的每一列，表示为：

对(12)的左右两边求和得：

假设f的列向量是线性可分的，则可以表示为每个列向量函数的和：

其中U_i表示U的第i个列向量；对于U的每一列，函数h(U_l)满足：

由于Lipschitz常数T只依赖于函数h(·)，因此(13)列标签l可以省略,从而得到：

/>

进一步地，所述推导出松弛证据下限relax-ELBO具体为：

基于扩展后的性质，p(Y|X,γ)的下界可表示为：

其中：

此时松弛ELBO可以写成：

引入新函数h(Z)：

将分布规范化，把(19)的右侧重新表述为：

将Z也纳入隐变量的范围，Θ＝{X,Z,α,γ}。

进一步地，所述对隐变量进行更新，具体包括：

对q(x)更新：

可以看出，q(x)服从高斯分布，且均值M和协方差矩阵Σ如下：

Σ＝(<γ>TI+<Λ>^-1)^-1

Μ＝<γ>Σ[TZ-A^H(AZ-Y)] (23)；

对q(α)更新：

其中M_n表示M的第n行，Σ_nn表示Σ的第n个对角元素；因此，α具有Gamma分布乘积的形式：

其中：

对q(γ)更新：

可以看出γ同样服从Gamma分布：

进一步地，所述对隐变量进行更新，还包括：

对Z更新：

Z通过最小化如下等式得到：

接着Q(Z|Z^(t-1))对Z求导，可以得到：

令导数为0，则Z＝M。

本发明还提出一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现所述基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法的步骤。

本发明还提出一种计算机可读存储介质，用于存储计算机指令，所述计算机指令被处理器执行时实现所述基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法的步骤。

本发明具有以下有益效果：

1、本发明利用快照之间的联合稀疏性，提高了SBL的恢复性能，使得DOA和SAP估计的精度更高。

2、本发明提出的FMIF-SBL无需矩阵求逆，降低了变分SBL的运算复杂度，提高了运算速度，使得在线应用变成了可能。

3、从估计性能方面，本发明提出的FMIF-SBL在大快照数的情况下具有更明显的运算速度优势，而且可以扩展到雷达成像、医学和地震成像等更广泛的领域。

附图说明

图1为快照数对不同算法指标的影响示意图；其中(a)是快照数对不同算法RMSE_θ的影响；(b)是快照数对不同算法RMSE_X的影响；(c)是快照数对不同算法运行时间的影响；

图2为SNR对不同算法指标的影响示意图；其中(a)是SNR对不同算法RMSE_θ的影响；(b)是SNR对不同算法RMSE_X的影响；(c)是SNR对不同算法运行时间的影响；

图3为阵元数对不同算法指标的影响示意图；其中(a)是阵元数对不同算法RMSE_θ的影响；(b)是阵元数对不同算法RMSE_X的影响；(c)是阵元数对不同算法运行时间的影响；

图4为稀疏度对不同算法指标的影响示意图；其中(a)是稀疏度对不同算法RMSE_θ的影响；(b)是稀疏度对不同算法RMSE_X的影响；(c)是稀疏度对不同算法运行时间的影响；

图5为f＝109Hz时，采用各个算法后的重构结果示意图；其中(a)是f＝109Hz时，采用FMIF-SBL的重构结果；(b)是f＝109Hz时，采用IF-SBL的重构结果；(c)是f＝109Hz时，采用MSBL的重构结果；(d)是f＝109Hz时，采用SAVE-MSBL的重构结果；(e)是f＝109Hz时，采用SBL1的重构结果；(f)是f＝109Hz时，采用SBL的重构结果；

图6为f＝127Hz时，采用各个算法后的重构结果示意图；其中(a)是f＝127Hz时，采用FMIF-SBL的重构结果；(b)是f＝127Hz时，采用IF-SBL的重构结果；(c)是f＝127Hz时，采用MSBL的重构结果；(d)是f＝127Hz时，采用SAVE-MSBL的重构结果；(e)是f＝127Hz时，采用SBL1的重构结果；(f)是f＝127Hz时，采用SBL的重构结果；

图7为f＝145Hz时，采用各个算法后的重构结果示意图；其中(a)是f＝145Hz时，采用FMIF-SBL的重构结果；(b)是f＝145Hz时，采用IF-SBL的重构结果；(c)是f＝145Hz时，采用MSBL的重构结果；(d)是f＝145Hz时，采用SAVE-MSBL的重构结果；(e)是f＝145Hz时，采用SBL1的重构结果；(f)是f＝145Hz时，采用SBL的重构结果；

图8为f＝163Hz时，采用各个算法后的重构结果示意图；其中(a)是f＝163Hz时，采用FMIF-SBL的重构结果；(b)是f＝163Hz时，采用IF-SBL的重构结果；(c)是f＝163Hz时，采用MSBL的重构结果；(d)是f＝163Hz时，采用SAVE-MSBL的重构结果；(e)是f＝163Hz时，采用SBL1的重构结果；(f)是f＝163Hz时，采用SBL的重构结果；

图9为f＝198Hz时，采用各个算法后的重构结果示意图；其中(a)是f＝198Hz时，采用FMIF-SBL的重构结果；(b)是f＝198Hz时，采用IF-SBL的重构结果；(c)是f＝198Hz时，采用MSBL的重构结果；(d)是f＝198Hz时，采用SAVE-MSBL的重构结果；(e)是f＝198Hz时，采用SBL1的重构结果；(f)是f＝198Hz时，采用SBL的重构结果；

图10为本发明所述基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法的流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

结合图10，本发明提出基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法，在波束形成模型的基础上，用隐变量的变分分布近似后验分布，接着将平滑函数的基本性质推广到复数矩阵上，推导出松弛证据下限relax-ELBO,根据似然函数和先验分布结合松弛ELBO进行贝叶斯推理，对隐变量进行更新，最后根据隐变量的后验分布近似进行DOA和SAP估计。

所述波束形成模型的构建具体为：

对于接收远场窄带信号的M元传感器阵列，阵列信号的多快照模型表示为：

Y＝AX+N(1)

其中

是接收到的测量矩阵，/>

是噪声矩阵，/>

是信号矩阵，

是感知矩阵；

a(θ_n)表示第n个预成波束方向的导向矢量：

a(θ_n)＝[1,...,exp(-j2πf(m-1)τ_n)...,exp(-j2πf(M-1)τ_n)]^T(2)

τ_n表示信号到达下一个阵元的时延：

其中θ_n是预成波束方向角度，c为声速，d为阵元间距；

由N个导向矢量组成：

A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_N)]

则似然函数表示为：

所述用隐变量的变分分布近似后验分布具体为：

假设噪声矩阵N服从高斯分布，均值为0，协方差矩阵为(1/γ)I：

p(γ)＝Γ(γ|c_γ,d_γ)(4)

其中Γ表示Gamma分布，c_γ,d_γ是给定的形状参数和速率参数；

为源信号矩阵X设计两层层次先验，第一层为X赋值高斯先验分布，即:

其中α_n为先验分布的超参数，X_nl表示X处于第n行第l列的元素，α＝[α₁,α₂,...,α_N],

且α_n＞0，Λ增强了X的稀疏性增强；对于第二层，假设α_n的超先验服从Gamma分布，即:

设Θ＝{X,α,γ}为层次模型中的隐变量，其后验分布p(Θ|Y)近似于变分分布q(Θ)，可因式分解为：

将平滑函数的基本性质推广到复数向量域，具体为：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，以下不等式成立：

接着将该条性质推广到复数向量域中：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，v,/>

f表示成：

因此，可以得到：

整理得到：

/>

在公式(11)的基础上将该条性质推广到复数矩阵上，具体为：

设

是一个连续可微函数，将f(x)视为多个向量的函数，表示为f(X₁,X₂,...,X_L)，每列X_l和对应的Lipschitz常数T_l(f)具有Lipschitz连续梯度；根据(11)，对于矩阵U,/>

的每一列，表示为：

对(12)的左右两边求和得：

假设f的列向量是线性可分的，则可以表示为每个列向量函数的和：

其中U_i表示U的第i个列向量；对于U的每一列，函数h(U_l)满足：

由于Lipschitz常数T只依赖于函数h(·)，因此(13)列标签l可以省略,从而得到：

所述推导出松弛证据下限relax-ELBO具体为：

基于扩展后的性质，p(Y|X,γ)的下界可表示为：

其中：

此时松弛ELBO可以写成：

引入新函数h(Z)：

将分布规范化，把(19)的右侧重新表述为：

将Z也纳入隐变量的范围，Θ＝{X,Z,α,γ}。

所述对隐变量进行更新，具体包括：

对q(x)更新：

可以看出，q(x)服从高斯分布，且均值M和协方差矩阵Σ如下：

Σ＝(γTI+Λ^-1)^-1

Μ＝γΣ[TZ-A^H(AZ-Y)](23)；

对q(α)更新：

其中M_n表示M的第n行，Σ_nn表示Σ的第n个对角元素；因此，α具有Gamma分布乘积的形式：

其中：

对q(γ)更新：

可以看出γ同样服从Gamma分布：

所述对隐变量进行更新，还包括：

对Z更新：

Z通过最小化如下等式得到：

接着Q(Z|Z^(t-1))对Z求导，可以得到：

令导数为0，则Z＝M。

本次仿真中，为了验证本发明所述的快速多快照无逆稀疏贝叶斯学习方法(FMIF-SBL)的性能，引入其他几种先进的SBL方法作为对照组，包括SAVE-MSBL，IF-SBL，多快照稀疏贝叶斯学习(MSBL)，SBL1和变分稀疏贝叶斯学习(VSBL)，并把均方根误差(RMSE)作为衡量方法恢复能力的指标。

将DOA估计的均方根误差定义为：

其中θ是真实角度，

是第l个快照的估计角度，T是MC迭代的次数。

同理，将SAP估计的均方差误差定义为：

这里X是真实源矩阵，而

是估计源矩阵。

仿真中加入加性高斯白噪声，并设置传感器数目M＝60的均匀线性阵列(ULA)。扫描区域为[-90°,90°]，并均匀划分为100个网格，快照数L＝20，信噪比SNR＝20dB，生成的源角度在[-60°，60°]随机分布。实验结果都是基于100次MC仿真(MonteCarlosimulationtrials)得到的。

从图1可以看出，随着快照数量的增加，本发明提出的FMIF-SBL算法的DOA和SAP估计性能逐渐提高。快照数处于5至60时，该算法的估计性能优于其他算法。在大快照数的情况下，FMIF-SBL算法比IF-SBL算法运行速度更快，同时也比其他算法具有一定的优势。

从图2可以看出，DOA和SAP的RMSE随着信噪比的增加而减小，在高信噪比条件下，FMIF-SBL的RMSE最低。如图2(c)所示，FMIF-SBL的运行时间比其他算法快，特别是在信噪比较高的情况下。

图3显示了阵元数目在5到60之间时的恢复结果。当阵元数目较多时，本发明提出的FMIF-SBL算法优于其他算法。此外，MSBL和SBL1在阵元数目较少的情况下性能良好，且无需任何近似。

图4所示源稀疏性对恢复结果的影响。随着稀疏度的增加，所有算法的DOA和SAP估计精度都在下降。尽管FMIF-SBL的SAP误差也随着稀疏度的增大而增大，但图4(a)中的支持区域仍然是准确的。此外，本发明提出的算法和其他算法相比，运行速度更快。

实施实例

本实例给出了距离加州圣迭戈附近的Point Loma尖端12公里的沿海水域进行的swellexx-96声学实验的结果。本次实验选取了SAVE-MSBL、、SBL1、IF-SBL、MSBL和SBL五种其他算法来验证FMIF-SBL的性能，比较了109、127、145、163、198Hz五个频率的浅源回波数据。结果图分成两部分，上部分是估计的多快照源幅值，下部分是跨快照的平均剖面。如图5所示，f＝109Hz时，本发明提出的FMIF-SBL在DOA估计性能和噪声抑制方面优于其他比较算法。其他频率的恢复结果如图6，7，8，9所示。

本发明还提出一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现所述基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法的步骤。

本发明还提出一种计算机可读存储介质，用于存储计算机指令，所述计算机指令被处理器执行时实现所述基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法的步骤。

本申请实施例中的存储器可以是易失性存储器或非易失性存储器，或可包括易失性和非易失性存储器两者。其中，非易失性存储器可以是只读存储器(read only memory，ROM)、可编程只读存储器(programmable ROM，PROM)、可擦除可编程只读存储器(erasablePROM，EPROM)、电可擦除可编程只读存储器(electrically EPROM，EEPROM)或闪存。易失性存储器可以是随机存取存储器(random access memory，RAM)，其用作外部高速缓存。通过示例性但不是限制性说明，许多形式的RAM可用，例如静态随机存取存储器(static RAM，SRAM)、动态随机存取存储器(dynamic RAM，DRAM)、同步动态随机存取存储器(synchronousDRAM，SDRAM)、双倍数据速率同步动态随机存取存储器(double data rate SDRAM，DDRSDRAM)、增强型同步动态随机存取存储器(enhanced SDRAM，ESDRAM)、同步连接动态随机存取存储器(synchlink DRAM，SLDRAM)和直接内存总线随机存取存储器(direct rambusRAM，DRRAM)。应注意，本发明描述的方法的存储器旨在包括但不限于这些和任意其它适合类型的存储器。

在上述实施例中，可以全部或部分地通过软件、硬件、固件或者其任意组合来实现。当使用软件实现时，可以全部或部分地以计算机程序产品的形式实现。所述计算机程序产品包括一个或多个计算机指令。在计算机上加载和执行所述计算机指令时，全部或部分地产生按照本申请实施例所述的流程或功能。所述计算机可以是通用计算机、专用计算机、计算机网络、或者其他可编程装置。所述计算机指令可以存储在计算机可读存储介质中，或者从一个计算机可读存储介质向另一个计算机可读存储介质传输，例如，所述计算机指令可以从一个网站站点、计算机、服务器或数据中心通过有线(例如同轴电缆、光纤、数字用户线(digital subscriber line，DSL))或无线(例如红外、无线、微波等)方式向另一个网站站点、计算机、服务器或数据中心进行传输。所述计算机可读存储介质可以是计算机能够存取的任何可用介质或者是包含一个或多个可用介质集成的服务器、数据中心等数据存储设备。所述可用介质可以是磁性介质(例如，软盘、硬盘、磁带)、光介质(例如，高密度数字视频光盘(digital video disc，DVD))、或者半导体介质(例如，固态硬盘(solid state disc，SSD))等。

在实现过程中，上述方法的各步骤可以通过处理器中的硬件的集成逻辑电路或者软件形式的指令完成。结合本申请实施例所公开的方法的步骤可以直接体现为硬件处理器执行完成，或者用处理器中的硬件及软件模块组合执行完成。软件模块可以位于随机存储器，闪存、只读存储器，可编程只读存储器或者电可擦写可编程存储器、寄存器等本领域成熟的存储介质中。该存储介质位于存储器，处理器读取存储器中的信息，结合其硬件完成上述方法的步骤。为避免重复，这里不再详细描述。

应注意，本申请实施例中的处理器可以是一种集成电路芯片，具有信号的处理能力。在实现过程中，上述方法实施例的各步骤可以通过处理器中的硬件的集成逻辑电路或者软件形式的指令完成。上述的处理器可以是通用处理器、数字信号处理器(DSP)、专用集成电路(ASIC)、现场可编程门阵列(FPGA)或者其他可编程逻辑器件、分立门或者晶体管逻辑器件、分立硬件组件。可以实现或者执行本申请实施例中的公开的各方法、步骤及逻辑框图。通用处理器可以是微处理器或者该处理器也可以是任何常规的处理器等。结合本申请实施例所公开的方法的步骤可以直接体现为硬件译码处理器执行完成，或者用译码处理器中的硬件及软件模块组合执行完成。软件模块可以位于随机存储器，闪存、只读存储器，可编程只读存储器或者电可擦写可编程存储器、寄存器等本领域成熟的存储介质中。该存储介质位于存储器，处理器读取存储器中的信息，结合其硬件完成上述方法的步骤。

以上对本发明所提出的基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (10)

1.基于快速多快照无逆稀疏贝叶斯的水下DOA和SAP估计方法，其特征在于，在波束形成模型的基础上，用隐变量的变分分布近似后验分布，接着将平滑函数的基本性质推广到复数矩阵形式，推导出松弛证据下限relax-ELBO,根据似然函数和先验分布结合松弛ELBO进行贝叶斯推理，对隐变量进行更新，最后根据近似后验分布进行DOA和SAP估计。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述波束形成模型的构建具体为：

对于接收远场窄带信号的M元传感器阵列，阵列信号的多快照模型表示为：

Y＝AX+N (1)

其中

是接收到的测量矩阵，/>

是噪声矩阵，/>

是信号矩阵，

是感知矩阵；

a(θ_n)表示第n个预成波束方向的导向矢量：

a(θ_n) ＝ [1,...,exp(-j2πf(m-1)τ_n)...,exp(-j2πf(M-1)τ_n)]^T (2)

τ_n表示信号到达下一个阵元的时延：

其中θ_n是预成波束方向角度，c为声速，d为阵元间距；

由N个导向矢量组成：

A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_N)]

则似然函数表示为：

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述用隐变量的变分分布近似后验分布具体为：

假设噪声矩阵N服从高斯分布，均值为0，协方差矩阵为(1/γ)I：

p(γ)＝Γ(γ|c_γ,d_γ) (4)

其中Γ表示Gamma分布，c_γ,d_γ是给定的形状参数和速率参数；

为源信号矩阵X设计两层层次先验，第一层为X赋值高斯先验分布，即:

其中α_n为先验分布的超参数，X_nl表示X处于第n行第l列的元素，α＝[α₁,α₂,...,α_N],

且α_n＞0，Λ增强了X的稀疏性增强；对于第二层，假设α_n的超先验服从Gamma分布，即:

设Θ＝{X,α,γ}为层次模型中的隐变量，其后验分布p(Θ|Y)近似于变分分布q(Θ)，可因式分解为：

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，将平滑函数的基本性质推广到复数向量域，具体为：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，以下不等式成立：

接着将该条性质推广到复数向量域中：

设

是一个具有Lipschitz连续梯度和Lipschitz常数T(f)的连续可微函数；对于任意T≥T(f)，/>

f表示成：

因此，可以得到：

整理得到：

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，在公式(11)的基础上将该条性质推广到复数矩阵上，具体为：

设

是一个连续可微函数，将f(x)视为多个向量的函数，表示为f(X₁,X₂,...,X_L)，每列X_l和对应的Lipschitz常数T_l(f)具有Lipschitz连续梯度；根据(11)，对于矩阵/>

的每一列，表示为：

对(12)的左右两边求和得：

假设f的列向量是线性可分的，则可以表示为每个列向量函数的和：

其中U_i表示U的第i个列向量；对于U的每一列，函数h(U_l)满足：

由于Lipschitz常数T只依赖于函数h(·)，因此(13)列标签l可以省略,从而得到：

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述推导出松弛证据下限relax-ELBO具体为：

基于扩展后的性质，p(Y|X,γ)的下界可表示为：

其中：

此时松弛ELBO可以写成：

引入新函数h(Z)：

将分布规范化，把(19)的右侧重新表述为：

将Z也纳入隐变量的范围，Θ＝{X,Z,α,γ}。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述对隐变量进行更新，具体包括：

对q(x)更新：

可以看出，q(x)服从高斯分布，且均值M和协方差矩阵Σ如下：

Σ＝(<γ>TI+<Λ>^-1)^-1

Μ＝<γ>Σ[TZ-A^H(AZ-Y)] (23)；

对q(α)更新：

其中M_n表示M的第n行，Σ_nn表示Σ的第n个对角元素；因此，α具有Gamma分布乘积的形式：

其中：

对q(γ)更新：

可以看出γ同样服从Gamma分布：

8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，所述对隐变量进行更新，还包括：

对Z更新：

Z通过最小化如下等式得到：

接着Q(Z|Z^(t-1))对Z求导，可以得到：

令导数为0，则Z＝M。

9.一种电子设备，包括存储器和处理器，所述存储器存储有计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述计算机程序时实现权利要求1-8任一项所述方法的步骤。

10.一种计算机可读存储介质，用于存储计算机指令，其特征在于，所述计算机指令被处理器执行时实现权利要求1-8任一项所述方法的步骤。

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