CN115718962A - 一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于航空航天结构中加筋壳的结构设计，涉及一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，能够同时优化筋条的尺寸和布局，从而最大化加筋壳的屈曲载荷。该方法通过高阶连续的等几何退化壳单元和Timoshenko梁单元来模拟蒙皮和筋条，通过梁壳耦合模型建立加筋单胞模型。借助等几何壳的高阶连续性，解析获得连续且光滑的筋条灵敏度场，因此可以通过梯度类优化算法求解加筋优化问题。在此基础上，采用均匀化方法得到加筋单胞模型的等效刚度系数，通过瑞利‑里兹法计算等效模型的屈曲载荷。综上，本发明建立了基于等几何分析的加筋壳屈曲优化设计框架。本发明可以显著提高加筋壳的优化效率和寻优能力，获得创新的加筋单胞构型，其性能明显优于传统的正置正交加筋壳。

Description

一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法

技术领域

本发明属于航空航天结构计算领域，提出一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法。

背景技术

运载火箭在发射阶段需要承受巨大的起飞推力，由于惯性载荷的存在，加筋壳主要受到轴向载荷的作用。对于此类薄壁结构，轴压屈曲失稳往往先于强度破坏发生，是其主要失效模式。为了保证运载火箭的承载性能，设计人员希望通过合理的加筋优化设计来提高加筋壳的抗屈曲能力。在运载火箭中，常见的加筋单胞构型主要有正置正交、斜置正交、正三角、横三角等。

不少学者在这些加筋构型基础上，对蒙皮厚度、筋条厚度、筋条高度等参数展开轻量化设计，以期提升加筋壳的承载效率。这种加筋形式虽然可以解决增加结构刚度，减少结构质量的问题，但是由于设计空间较小，很难成为最理想的解决方案。

随着运载火箭直径的跨越式增大，加筋壳的结构尺寸和结构复杂性相应增加，加筋壳的轻量化和高承载设计要求也变得日益苛刻，为此很多研究者致力于加筋壳的优化方法的研究以弥补现有设计的不足。一方面，应用精细的有限元模型来开展加筋壳的屈曲分析及优化设计，必将导致结构的分析和优化效率极低，难以应用工程实际。考虑到加筋壳的结构形式往往具有周期性，研究者们通常应用等效刚度法或者均匀化方法获得加筋模型的等效刚度系数，然后借助有限元方法或瑞利-里兹法来预测结构的屈曲载荷，从而极大地减少分析的自由度，显著地提升加筋壳的分析和优化效率。另一方面，传统加筋构型的有效性和可靠性在大量的实验和应用中得到了证明，设计人员希望在传统加筋构型的基础上，能够充分挖掘结构设计潜能，获得承载性能更为优异的新颖加筋构型，为此研究者们提出了多级加筋构型和曲线加筋构型等创新加筋构型。近年来，拓扑优化也广泛的应用于加筋布局优化的初始设计阶段。

受上述研究的启发，本发明基于等几何梁壳耦合模型、结合均匀化方法和瑞利-里兹法建立加筋壳高效屈曲优化方法。其中应用梁壳耦合模型模拟加筋单胞构型，耦合关系通过等几何形函数建立。应用基结构生成筋条初始布局并通过均匀化获得加筋单胞的等效刚度系数，然后应用瑞利-里兹法来计算加筋壳的屈曲载荷，基于上述方法搭建加筋壳屈曲优化设计框架，并应用罚函数法来控制筋条的最小厚度以满足工程制造要求，通过优化加筋单胞的筋条尺寸和形状来提高加筋壳的屈曲载荷。本发明同时考虑了筋条的尺寸和形状，设计空间能够涵盖传统的加筋构型且设计空间和设计潜能更大。而均匀化和瑞利-里兹法的应用极大地提高加筋壳分析和优化的效率。

发明内容

本发明主要解决加筋壳模型大型化和复杂化导致优化效率低，寻优能力差等难题，提出一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，能够协同优化筋条的尺寸和布局，从而获得创新的构型设计，并达到大幅提升加筋壳的屈曲载荷的目的。

为达到上述研究目的，本发明采用的技术方案为：

一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，包括以下步骤：

步骤100，建立加筋壳的高效屈曲分析方法，用于步骤400的加筋壳屈曲优化，包括以下几个步骤：

步骤101，选取加筋单胞模型的平面为矩形，加筋单胞模型的大小通过轴向单胞数N_a和环向单胞数N_c来定义，保证加筋单胞模型能够围成完整的加筋壳。采用等几何退化壳单元模拟加筋单胞模型的蒙皮，采用Timoshenko梁单元模拟加筋单胞模型的筋条，然后基于等几何形函数构建筋条和蒙皮的位移耦合关系，生成加筋单胞的等几何分析模型，如图1所示。将筋条刚度矩阵K_b转换为蒙皮刚度矩阵

的表达形式如下：

其中，N为等几何壳单元形函数形成的转换矩阵，由筋条节点坐标对应等几何壳单元的参数坐标确定，参数坐标可通过牛顿-拉夫森算法迭代计算获得。

步骤102，在加筋单胞的等几何分析模型上施加周期性边界条件，通过均匀化方法获得加筋单胞模型的等效刚度系数C_ij，包含等效拉伸刚度系数A_ij、拉弯耦合刚度系数B_ij和弯曲刚度系数D_ij，具体表达形式如下：

其中，K是加筋单胞模型的刚度矩阵，Ω代表周期性加筋单胞的体积域，

和

是等几何壳控制点的位移场。

和

是特征位移场。加筋壳等效模型如图2所示。这里L是高度、R是半径，x、θ、z是坐标轴，u、v、w是相应方向的位移。

步骤103，基于瑞利-里兹法计算加筋壳等效模型的屈曲载荷，具体表达形式如下：

其中，K_macro和G_macro是瑞利-里兹法计算过程中形成的线性刚度矩阵和几何刚度矩阵。λ和

是广义特征值问题的特征值和特征向量。

步骤200，建立加筋单胞模型的筋条初始布局，提出几何控制和尺寸控制策略，用于步骤400加筋壳的屈曲优化，包括以下几个步骤：

步骤201，通过基结构模型生成用于步骤400的加筋壳屈曲优化的初始布局，以确保筋条间的连接性，如图3所示。

步骤202，为了防止优化过程中筋条出现重叠和交叉现象，提出三角形内半径约束来约束基结构模型中每个三角形的形状变化，应用于步骤400的优化过程，如图4所示。三角形内半径约束的表达形式如下：

其中，x₁，y₁，x₂，y₂，x₃，y₃是三角形的三个节点坐标，R_j为第j个三角形的内半径，R_min为允许的最小内半径，S_j为第j个三角形的面积，P_j为第j个三角形的周长。

步骤203，提出罚函数法对筋条厚度变量小于最小厚度的筋条进行惩罚处理，从而满足最小厚度约束，应用于步骤400的优化过程，如图5所示。罚函数的表达形式如下：

其中，t_b是初始筋条厚度，t_bmin是允许的最小筋条厚度，

是更新后的筋条厚度，β是惩罚参数。此外，最大厚度约束可以通过设计变量的上限显式控制。

步骤300，推导步骤103得到的加筋壳等效模型的加筋壳屈曲载荷倒数对设计变量s(包括筋条厚度和筋条节点坐标)的解析灵敏度，包括以下步骤：

步骤301，计算等效刚度系数对加筋壳设计变量的导数

和

步骤302，计算加筋壳屈曲载荷对等效刚度系数导数

具体表达形式如下：

其中，μ_k是第k个特征值λ_k的倒数。

步骤303，通过链式法则获得加筋壳屈曲载荷对加筋壳设计变量的灵敏度

步骤400，基于步骤100，步骤200和步骤300，建立加筋壳屈曲优化列式，具体表达形式如下：

其中t_bj第j个筋条的厚度，l_j是第j个筋条的高度，x_i和y_i是筋条的节点坐标。h_b是筋条的高度，n是筋条的总数。x_min,x_max,y_min和y_max是筋条的节点位移约束，V是筋条的总体积，V_max是筋条总体积的上限，R_min是允许的最小内半径。参数p一般取16。基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法的实现流程图如图6所示。优化过程中，通过内点法求解优化问题并更新设计变量，并逐步更新惩罚参数β从而获得满足筋条厚度约束的加筋布局结果，获得高承载的创新加筋单胞构型。

本发明的有益效果为：

(1)本发明针对加筋壳结构日益大型化和复杂化的发展趋势导致加筋壳的优化面临求解效率低，寻优能力差的难题。本发明利用加筋壳的周期性特征，基于等几何梁壳耦合模型、均匀化方法和瑞利-里兹法建立了加筋壳屈曲优化方法，解决了敏度驱动下筋条形状和尺寸协同优化设计难题。

(2)本发明通过引入局部几何控制避免了筋条的交叉和重叠现象，确保了优化结果的清晰性，采用罚函数策略实现了筋条的尺寸控制，保证了工艺可达性。

(3)该方法显著减少了模型自由度及优化变量数目，大幅提升了加筋壳的分析和优化效率，实现了加筋壳的高承载创新构型设计，避免了额外的特征提取。本发明有望成为将来我国运载火箭设计等航空航天领域中加筋壳结构的主要优化方法之一。

附图说明

图1为梁壳耦合模型示意图；

图2为加筋壳等效模型示意图；

图3为加筋单胞模型的初始布局示意图；

图4为三角形内半径约束示意图；

图5为不同惩罚参数β下的罚函数示意图；

图6为本发明实施例提供的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法；

图7不同初始布局对加筋单胞优化结果的影响。

具体实施方式

为使本发明解决的方法问题、采用的方法方案和达到的方法效果更加清楚，下面结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，而非对本发明的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与本发明相关的部分而非全部内容。

图6为本发明实施例提供的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法的实现流程图。下面结合实施例对本发明作进一步的详细说明，具体包括：

步骤100，以工程中典型的金属加筋壳模型为初始设计，加筋壳的半径R为1500mm，高度H为1000mm，蒙皮厚度t_s为4mm，环向单胞个数N_a为90，轴向单胞个数N_c为25。加筋壳材料为铝锂合金，杨氏模量E为70.0GPa，泊松比μ为0.33，密度为2.7×10^-6kg/mm³。有限元模型的边界条件设置如下：底端固支，顶端约束除轴向位移外的其余自由度，并将顶端面所有节点刚性耦合至参考点，在参考点上施加轴压载荷，正置正交加筋壳的屈曲载荷为13542kN。接下来基于本发明进行加筋壳的屈曲优化设计，加筋壳的质量上限为355.0kg，与初始设计相同。固定筋条高度h为15mm，优化过程中为了防止基结构模型中筋条发生交叉现象，最小内径约束固定为2.5mm。下面建立加筋壳的屈曲优化方法，用于步骤400的加筋壳屈曲优化。

步骤101，选择加筋壳轴向单胞数N_a为10，环向单胞数N_c为50的加筋单胞模型来开展加筋壳屈曲优化设计。加筋单胞的蒙皮厚度固定为4mm，离散为17×16的等几何壳单元。筋条通过等几何梁单元模拟，采用均匀的网格划分，网格尺寸为5mm，基于式(1)构建梁壳耦合模型，梁壳耦合模型如图1所示。

步骤102，在梁壳耦合加筋单胞等几何分析模型的基础上，施加周期性边界条件，通过均匀化方法式(2)获得加筋单胞的等效刚度系数A_ij、B_ij和D_ij。

步骤103，基于瑞利-里兹法式(3)计算加筋壳等效模型的屈曲载荷，加筋壳的等效模型如图2所示。

步骤200，生成加筋单胞模型的初始布局，建立几何控制和尺寸控制约束，用于步骤400加筋壳的屈曲优化，包括以下几个步骤：

步骤201，通过基结构模型生成加筋壳的初始布局，以确保筋条间的连接性。基本节选择四种基结构作为初始布局，基结构的节点数分别为3×3、4×3、3×4和4×4，如图7(a)-(d)所示。

步骤202，基于三角形内半径约束式(4)控制筋条的布局，防止发生筋条发生重叠和交叉现象，如图4所示。

步骤203，通过设计变量的上限显式控制筋条的最大厚度约束，应用罚函数法式(5)对筋条厚度变量小于最小厚度的筋条进行惩罚处理，从而满足筋条最小厚度约束，如图5所示。本算例中筋条厚度最小为3.0mm，最大为12.0mm。

步骤300，屈曲分析涉及到均匀化方法、瑞利-里兹法和等几何梁壳耦合模型，需要计算屈曲载荷对设计变量s(包括筋条厚度和筋条节点坐标)的解析灵敏度，用于步骤400加筋壳的屈曲优化，包括以下步骤：

步骤301，基于式(6)计算等效刚度系数对加筋壳设计变量的导数

和

步骤302，基于式(7)计算加筋壳屈曲载荷倒数对等效刚度系数导数

步骤303，通过链式法则式(8)获得屈曲载荷对加筋壳设计变量的解析灵敏度

步骤400，基于步骤100提供的加筋壳屈曲分析方法、步骤200提供的初始布局生成方法、几何和尺寸控制策略以及步骤300提供的加筋壳设计变量的解析灵敏度，建立考虑屈曲问题的加筋壳优化列式(9)。优化过程中每隔50步更新一次惩罚参数β从而获得满足筋条最小厚度约束的加筋布局结果。优化获得的加筋单胞和屈曲载荷如图7(e)-(f)所示。优化结果表明，对于筋条高度一致的布局优化结果，筋条的厚度呈现明显的层级性，由于初始布局基结构节点数的不同，优化得到的加筋单胞模型呈现出明显的差异性，但是其屈曲载荷十分接近，加筋单胞I-IV的屈曲载荷分别为20451kN、20445kN、20528kN和20375kN，验证了提出方法对于不同的初始布局都能够得到一个较优的加筋单胞。以加筋单胞IV为例，相比加筋壳初始设计屈曲载荷提升了50.5％，表明提出方法具有较强的寻优能力。表1给出了筋条高度h为15mm的加筋单胞I-IV的等效模型与精细模型屈曲载荷的对比，等效模型屈曲载荷P_cr和精细模型

的屈曲载荷的相对误差在2.0％以内。等效模型和精细模型的对比结果表明结合等几何梁壳耦合模型、均匀化方法和瑞利-里兹法能够准确的预测加筋壳的屈曲载荷且分析和优化效率大幅提升。此外，本章方法由于筋条的参数能够显式的表达，特征提取操作简单，建立的精细模型无需再进行精细的尺寸优化，极大地缩短了周期性加筋壳设计的周期，有望成为航空航天领域加筋壳优化的优化设计方法之一。

表1等效模型和精细壳模型的屈曲载荷结果对比

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的方法方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通方法人员应当理解：其对前述各实施例所记载的方法方案进行修改，或者对其中部分或者全部方法特征进行等同替换，并不使相应方法方案的本质脱离本发明各实施例方法方案的范围。

Claims (5)

1.一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤100，建立加筋壳的高效屈曲分析方法，用于步骤400的加筋壳屈曲优化；

步骤200，建立加筋单胞模型的筋条初始布局，提出几何控制和尺寸控制策略，用于步骤400加筋壳的屈曲优化；

步骤300，推导步骤103得到的加筋壳等效模型的加筋壳屈曲载荷倒数对设计变量s的解析灵敏度，其中设计变量s包括筋条厚度和筋条节点坐标；

步骤400，基于步骤100，步骤200和步骤300，建立加筋壳屈曲优化列式。

2.根据权利要求1所述的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，其特征在于，所述的步骤100具体包括以下几个步骤：

步骤101，选取加筋单胞模型的平面为矩形，加筋单胞模型的大小通过轴向单胞数N_a和环向单胞数N_c来定义，保证加筋单胞模型能够围成完整的加筋壳；采用等几何退化壳单元模拟加筋单胞模型的蒙皮，采用Timoshenko梁单元模拟加筋单胞模型的筋条，然后基于等几何形函数构建筋条和蒙皮的位移耦合关系，生成加筋单胞的等几何分析模型；将筋条刚度矩阵K_b转换为蒙皮刚度矩阵

的表达形式如下：

其中，N为等几何壳单元形函数形成的转换矩阵，由筋条节点坐标对应等几何壳单元的参数坐标确定，参数坐标可通过牛顿-拉夫森算法迭代计算获得；

步骤102，在加筋单胞的等几何分析模型上施加周期性边界条件，通过均匀化方法获得加筋单胞模型的等效刚度系数C_ij，包含等效拉伸刚度系数A_ij、拉弯耦合刚度系数B_ij和弯曲刚度系数D_ij，具体表达形式如下：

其中，K是加筋单胞模型的刚度矩阵，Ω代表周期性加筋单胞的体积域，

和

是等几何壳控制点的位移场；

和

是特征位移场；

步骤103，基于瑞利-里兹法计算加筋壳等效模型的屈曲载荷，具体表达形式如下：

其中，K_macro和G_macro是瑞利-里兹法计算过程中形成的线性刚度矩阵和几何刚度矩阵；λ和

是广义特征值问题的特征值和特征向量。

3.根据权利要求1所述的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，其特征在于，所述的步骤200具体包括以下几个步骤：

步骤201，通过基结构模型生成用于步骤400的加筋壳屈曲优化的初始布局，以确保筋条间的连接性；

步骤202，为了防止优化过程中筋条出现重叠和交叉现象，提出三角形内半径约束来约束基结构模型中每个三角形的形状变化，应用于步骤400的优化过程；三角形内半径约束的表达形式如下：

其中，x₁，y₁，x₂，y₂，x₃，y₃是三角形的三个节点坐标，R_j为第j个三角形的内半径，R_min为允许的最小内半径，S_j为第j个三角形的面积，P_j为第j个三角形的周长；

步骤203，提出罚函数法对筋条厚度变量小于最小厚度的筋条进行惩罚处理，从而满足最小厚度约束，应用于步骤400的优化过程；罚函数的表达形式如下：

其中，t_b是初始筋条厚度，t_bmin是允许的最小筋条厚度，

是更新后的筋条厚度，β是惩罚参数；此外，最大厚度约束可以通过设计变量的上限显式控制。

4.根据权利要求1所述的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，其特征在于，所述的步骤300具体包括以下几个步骤：

步骤301，计算等效刚度系数对加筋壳设计变量的导数

和

步骤302，计算加筋壳屈曲载荷对等效刚度系数的导数

具体表达形式如下：

其中，μ_k是第k个特征值λ_k的倒数；

步骤303，通过链式法则获得加筋壳屈曲载荷对加筋壳设计变量的灵敏度

具体表达形式如下：

5.根据权利要求1所述的一种基于梁壳耦合模型的加筋壳高效屈曲优化方法，其特征在于，所述的步骤400具体包括以下几个步骤：

其中，t_bj第j个筋条的厚度，l_j是第j个筋条的高度，x_i和y_i是筋条的节点坐标；h_b是筋条的高度，n是筋条的总数；x_min,x_max,y_min和y_max是筋条的节点位移约束，V是筋条的总体积，V_max是筋条总体积的上限，R_min是允许的最小内半径；p为参数；优化过程中，通过内点法求解优化问题并更新设计变量，并逐步更新惩罚参数β从而获得满足筋条厚度约束的加筋布局结果，获得高承载的创新加筋单胞构型。

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