CN115642897A - 基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法，相比于传统的可变小数延时滤波器设计方法，在相同的可变频率响应误差精度下，本发明所提方法有效降低了可变小数延时滤波器实现结构复杂度，减少了乘法器的数量。本发明的技术方案为：基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，在可变频率响应误差门限已知的情况下，利用小数延时定义域等间隔分段准则和基于系数关系结构的minimax算法设计可变小数延时滤波器，使得实际可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差不超过误差门限，最终得到并行FIR子滤波器的离散时间冲激响应。

Description

基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法

技术领域

本发明涉及通信、雷达、声纳、导航技术领域，具体涉及一种基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法。

背景技术

可变小数延时滤波器是具备可变小数相位延时的数字滤波器，一般采用Farrow结构实现，由一组并行FIR子滤波器及延时控制单元组成，优点是无需重新设计滤波器就可以在线更改小数延时值。可变小数延时滤波器一直是数字信号处理领域中比较活跃的研究方向，广泛应用于采样率转换、信道模拟、语音编码、时延估计、数字信号插值等技术领域。可变小数延时滤波器设计方法可以分为时域设计算法和频域设计算法。时域设计算法基于多项式插值理论，例如Lagrange插值、Hermite插值、B样条插值等，可以直接得到滤波器系数，在低频处有较好的可变小数延时响应。频域设计算法旨在寻找一组滤波器系数，使得可变小数延时滤波器的可变频率响应在一定准则下达到最小。根据近似准则不同，频域设计算法可以分为最大平坦度设计、加权最小二乘设计和minimax设计。以上方法中，频域设计算法由于能够获得更大的频率带宽、在高频处性能较好、设计更加灵活等优点，一经问世就受到了国内外学者的广泛关注。

在频域设计算法中，基于minimax算法设计可变小数延时滤波器被认为是最经典、应用最广泛的方法之一。基于minimax算法设计可变小数延时滤波器的核心思想是利用Farrow结构，不断地优化滤波器系数，使得可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差最小。相比于最大平坦度设计和加权最小二乘设计等频域设计算法，minimax设计算法能够在相同的滤波器实现结构复杂度下获得更小的可变频率响应峰值误差，并且用此算法设计出的可变小数延时滤波器的幅频响应是等纹波的。目前，基于minimax设计算法进行可变小数延时滤波器设计，国内外研究者们主要有两方面研究方向。一是根据不同的设计目标，优化minimax的设计流程，降低算法的设计复杂度；二是通过优化滤波器的阶数及系数个数，对Farrow结构进行改进，降低滤波器实现结构复杂度，减少乘法器资源的使用量。

为了降低滤波器实现结构复杂度，国内外研究者们使用不同的优化方法进行minimax设计，能够在不同程度上减少资源的使用量。首先，研究者们提出了基于双线性规划的minimax设计算法，将滤波器的可变频率响应误差拆分成实部误差和虚部误差，对两部分分别进行优化，并通过对Farrow结构中子滤波器的阶数进行一般化，有效降低了滤波器实现结构复杂度。基于双线性规划的minimax算法将非线性优化问题转换成两个线性优化问题，不可避免地会得到不完备的优化结果。为此，国内外研究者们又提出了基于SOCP(Second-OrderConeProgramming)的minimax设计算法，能够直接最小化可变频率响应的峰值误差，获得最优的优化结果。为了进一步降低可变小数延时滤波器实现结构复杂度，国内外研究者们推导出了Farrow结构中相邻子滤波器之间的系数关系，并基于新的系数关系给出了一种复杂度更低的结构，相比于传统Farrow结构，该结构能够大幅度减少乘法器资源及系数存储资源。然而，上述方法都是对完整的小数延时定义域[-0.5,0.5]进行优化设计，这相当于给非线性优化问题施加了一个强约束条件，需要更多的子滤波器数目及滤波器阶数才能够满足设计精度要求，从而大大增加了可变小数延时滤波器实现结构复杂度。

为解决这一问题，国内外研究者们提出了基于等间隔分段的可变小数延时滤波器设计方法。该方法基于传统Farrow实现结构，将小数延时定义域进行等间隔分段，在每一段中分别进行基于SOCP的minimax设计，放宽了minimax设计的约束条件，使用较少的乘法器资源就可以获得与常规设计方法相同的设计精度。但是，传统Farrow实现结构复杂度较高，直接对其应用小数延时定义域等间隔分段准则无法达到明显的优化效果。并且，等间隔分段的优化算法并没有考虑可变频率响应随小数延时的变化规律，需要更多的系数存储资源才能够获得更少的乘法器资源。目前，在小数延时定义域进行优化的有关研究少见报道。

发明内容

有鉴于此，本发明提供了一种基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法，相比于传统的可变小数延时滤波器设计方法，在相同的可变频率响应误差精度下，本发明所提方法有效降低了可变小数延时滤波器实现结构复杂度，减少了乘法器的数量。

为达到上述目的，本发明的技术方案为：基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，在可变频率响应误差门限已知的情况下，利用小数延时定义域等间隔分段准则和基于系数关系结构的minimax算法设计可变小数延时滤波器，使得实际可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差不超过误差门限，最终得到并行FIR子滤波器的离散时间冲激响应。

进一步地，基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法具体包括如下步骤：

步骤1：偶数阶可变小数延时滤波器的小数延时定义域为p，p∈[-0.5,0.5]，利用非等间隔分段准则将p分成K段，其中S_k表示索引为k的分段区间，k＝0,1,...,K-1，即

步骤2：定义k_p表示小数延时定义域p的分段区间的索引，即

则

其中，

表示向下取整。

步骤3：初始化参数：分段区间索引k＝0，多项式阶次M_k＝2，优化误差ε₀＝0；

步骤4：计算参数：

其中，M_ek表示Farrow结构中多项式阶次为偶数次幂的子滤波器个数，M_ok表示Farrow结构中多项式阶次为奇数次幂的子滤波器个数。

步骤5：初始化滤波器阶数：

其中，

N_mk＝max{N_emk,N_omk},m＝1,2,...,M_ek (7)

其中，N_emk表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器阶数，N_omk表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器阶数，索引m表示Farrow结构中第m个子滤波器；

步骤6：令

其中

表示N_k中索引为i的元素加1后的结果。

步骤7：根据参数M_ek、M_ok、

构建实际可变小数延时滤波器的可变频率响应为H(ω,p)：

其中，

其中ω是归一化角频率；b_ek为滤波器系数矩阵，b_emk为b_ek的行向量；f_k为滤波器响应中实数成分矩阵，f_mk为f_k的行向量；g_k为滤波器响应中虚数成分矩阵，g_mk为g_k的行向量。

步骤8：根据理想可变小数延时滤波器的可变频率响应和实际可变小数延时滤波器的可变频率相应，得到可变频率响应误差为e(ω,p)：

其中H_I(ω,p)为理想的可变频率响应；e_R(ω,p)为可变频率响应误差e(ω,p)的实数部分；-e_I(ω,p)为可变频率响应误差e(ω,p)的虚数部分。

步骤9：利用可变频率响应误差和小数延时定义域非等间隔分段准则，偶数阶可变小数延时滤波器的minimax设计表示为

其中

为峰值误差。

在分段区间S_k内进行minimax设计，得到峰值误差

以及相应的滤波器系数b_ek。

步骤10：重复步骤6至步骤9，从i＝0遍历至i＝M_ek-1，共可以得到M_ek个峰值误差；从所有结果中选取最小的峰值误差

即

并用相应的

更新N_k，即

步骤11：判断

是否小于给定误差门限

若是，进入步骤13；否则进入步骤12；给定误差门限

如何设定；根据实际需求进行设定。

步骤12：计算参数

其中δ为当前优化比率参数。

并用当前

更新ε₀，即

ε₀为；初值设为0步骤3有记载；判断当前优化比率参数δ是否大于给定优化比率门限△，若是则返回步骤6；否则令M_k自增2，ε₀＝0，并返回步骤4。

步骤13：设置偶数次幂窗函数w_em(n)、偶数次幂窗函数w_om(n)继续优化相邻子滤波器的系数个数。

其中，w_em(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器系数个数，w_om(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器系数个数。

则f_mk和g_mk改写为

其中，m＝1,2,...,M_ek；

步骤14：令

为当前优化的偶数次幂窗函数；w_ei(n)为第i个偶数次幂窗函数。

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_em(n)(m≠i)、w_om(n)进行步骤9的minimax设计，将此步骤14从i＝1遍历至i＝M_ek，得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤15：令

为当前优化的奇数次幂窗函数；w_oi(n)为；

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_om(n)(m≠i)、w_em(n)进行所示的minimax设计，将此步骤15从i＝1遍历至i＝M_ek，得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤16：令

判断ε_min是否大于给定误差门限

若是则

保持不变，进入步骤17；否则按下述原则更新

返回步骤14；

步骤17：对下一个分段区间S_k+1进行优化，令k＝k+1，M_k＝M_k-1，返回步骤4；将步骤4至步骤16从k＝0遍历至k＝K-1，得到所有分段区间上的多项式阶次M_k、并行FIR子滤波器阶数N_k、窗函数w_em(n)、w_om(n)以及相应的子滤波器系数b_ek，k＝0,1,...,K-1。

步骤18：通过系数b_ek，k＝0,1,...,K-1，计算得出偶数阶可变小数延时滤波器的冲激响应a_nm：

a_nm＝[a₀(n,2m)a₁(n,2m)…a_K-1(n,2m)]^T (61)

其中，

b_emk(n,m)为b_emk中参数；k＝0,1,...,K-1。

进一步地，K值选取为：K＝4。

进一步地，步骤8中，

有益效果：

本发明基于系数关系结构及小数延时定义域非等间隔分段准则提出了一种改进的Farrow小数延时滤波器设计方法，对比已有技术，本发明从时域设计角度分析，将小数延时定义域进行非等间隔分段，能够对滤波器的离散冲激响应得到更好的近似，从而降低了多项式阶次；从频域设计角度分析，在每个分段区间内进行minimax设计，相当于放宽了约束条件，从而降低了多项式阶次和并行FIR滤波器的阶数；

本发明利用小数延时定义域非等间隔分段准则对基于系数关系结构的可变小数延时滤波器进行优化设计，原本低复杂度的结构得到了进一步的优化，所需乘法器资源更少。

本发明对小数延时定义域进行非等间隔分段，更符合可变小数延时滤波器的可变频率响应随小数延时参数的变化规律，相比于等间隔分段，优化效果更好，实现结构复杂度更低。

附图说明

图1为本发明的实现结构图；

图2为本发明的小数延时定义域非等间隔分段准则原理图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种基于非等间隔分段的改进Farrow结构小数延时设计方法，其基本实施过程如下：

利用minimax设计算法进行可变小数延时滤波器设计的基本思路是设计实际可变小数延时滤波器去逼近理想可变小数延时滤波器。利用Farrow结构原理进行分解后，实际可变小数延时滤波器由多个并行FIR子滤波器及延时控制单元组成。利用系数对称结构，相邻FIR子滤波器可以使用相同的滤波器系数实现，从而降低了实现结构复杂度。通过不断地优化每个子滤波器系数，使得实际可变小数延时滤波器可变频率响应峰值误差达到最小。

实际可变小数延时滤波器可变频率响应误差可表示为

e(ω,p)＝H(ω,p)-H_I(ω,p) (1)

其中，H_I(ω,p)是理想的偶数阶可变小数延时FIR滤波器可变频率响应，

H_I(ω,p)＝e^-jωp＝cos(ωp)-jsin(ωp) (2)

H(ω,p)是实际的偶数阶可变小数延时FIR滤波器可变频率响应，

其中，ω∈[0,απ]是归一化角频率，α∈(0,1)表示通带截止频率απ，p∈[-0.5,0.5]表示小数延时参数，M表示多项式阶次，即并行FIR子滤波器个数，每个子滤波器阶次为2N，相应的离散时间冲激响应为a(n,m),n＝-N,-N+1,...,N,m＝0,1,...,M，

表示多项式阶次为偶数次幂的子滤波器个数，其相应的离散时间冲激响应为a(n,2m),n＝-N,-N+1,...,N,m＝1,2,...,M_e。

表示向下取整。

本发明所提方法就是在可变频率响应误差门限已知的情况下，利用小数延时定义域等间隔分段准则和基于系数关系结构的minimax算法设计可变小数延时滤波器去近似理想可变小数延时滤波器，使得实际可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差不超过误差门限，最终得到并行FIR子滤波器的离散时间冲激响应a(n,2m)。具体如下：

步骤1：偶数阶可变小数延时滤波器的小数延时定义域为p∈[-0.5,0.5]，利用非等间隔分段准则将其分成K段，其中S_k表示索引为k的分段区间，k＝0,1,...,K-1，即

本发明实施例中，选取K＝4，此时可达到明显的优化效果。

步骤2：定义k_p表示小数延时p所在分段区间的索引，即

则

其中，

表示向下取整，并且k_-p＝k_p。

该步骤原理如下：

本步骤的目的是对小数延时定义域进行非等间隔分段。非等间隔分段的分段准则选用二分法，即对小数延时定义域p∈[0,0.5]中靠近0.5的定义区间进行划分。由于在可变小数延时滤波器的一般化设计中，滤波器的可变频率响应随小数延时具备一定变化规律，在小数延时越靠近0.5时，对滤波器可变频率响应的约束性越强，需要使用更多的并行FIR子滤波器阶数才能够得到相同的精度。因此，相比于使用等间隔分段方法对小数延时定义域进行分段，使用非等间隔分段方法对小数延时定义域进行分段更符合滤波器的可变频率响应随小数延时的变化规律，能够在分段区间上得到更优的设计。

从时域角度考虑，将小数延时定义域进行非等间隔分段能够更好地近似理想离散时间冲激响应，有助于降低分段多项式阶次。并且，非等间隔分段算法通过对约束性较弱的区间减少分段个数，加大分段间隔，对约束性较强的区间增加分段个数，减小分段间隔，从而提升了多项式近似精度。

从频域角度考虑，非等间隔分段相当于在不同程度下放宽了minimax设计的约束条件，在相同的设计精度下，只需使用更少的并行子滤波器数目和滤波器阶数就能够达到设计精度，从而减少了乘法器资源的使用量。

步骤3：初始化参数：分段区间索引k＝0，多项式阶次M_k＝2，优化误差ε₀＝0。

步骤4：计算参数：

其中，M_ek表示Farrow结构中多项式阶次为偶数次幂的子滤波器个数，M_ok表示Farrow结构中多项式阶次为奇数次幂的子滤波器个数。

步骤5：初始化滤波器阶数：

其中，

N_mk＝max{N_emk,N_omk},m＝1,2,...,M_ek (7)

其中，N_emk表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器阶数，N_omk表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器阶数，索引m表示Farrow结构中第m个子滤波器。

步骤6：令

其中

表示N_k中索引为i的元素加1后的结果。

步骤7：根据参数M_ek、M_ok、

构建实际可变小数延时滤波器的可变频率响应为

其中，

该步骤7的原理如下：

本步骤的目的是根据设定的多项式阶次和并行子滤波器的阶数，推导出实际的可变小数延时滤波器的可变频率响应。

理想的偶数阶可变小数延时FIR滤波器的可变频率响应可表示为

H_I(ω,p)＝e^-jωp＝cos(ωp)-jsin(ωp) (13)

其中，ω∈[0,απ]是归一化角频率，α∈(0,1)表示通带截止频率απ，p∈[-0.5,0.5]表示小数延时参数。相应的离散时间冲激响应为

h_I(n,p)＝sinc(n-p),n∈Z (14)

其中，

由于理想冲激响应h_I(n,p)在时域为无限长信号，无法直接实现。在实际中，采用有限长的冲激响应h(n,p)去近似h_I(n,p)，则实际偶数阶可变小数延时FIR滤波器的传递函数为

其中，滤波器阶次为2N，h(n,p)表示可变小数延时滤波器的离散时间冲激响应。根据Farrow结构原理及小数延时定义域非等间隔分段准则，h(n,p)可以表示为p的分段多项式，分段个数为K，多项式阶次为M，即：

其中，a_k(n,m)表示分段多项式系数，k＝0,1,...,K-1。

将式(17)代入式(16)可得

其中

根据式(14)，可变小数延时滤波器的理想冲激响应具备以下性质：

因此，约束实际小数延时滤波器的离散时间冲激响应同样满足条件：

根据上述条件，系数a_k(n,m)满足：

为了降低复杂度，令:

a_k(n,0)＝δ(n),k＝0,1,...,K-1 (23)

因此，每个FIR滤波器A_k(z,m)的系数都是对称的：当m是偶数时，a_k(n,m)为偶对称；当m是奇数时，a_k(n,m)为奇对称，且a_k(0,m)＝0。同时，当m＝0时，FIR滤波器A_k(z,0)＝1,k＝0,1,...,K-1。

基于上述对称性，实际偶数阶可变小数延时滤波器的传递函数可以改写为

其中，并行FIR滤波器的传递函数为

令z＝e^jω，可以得到偶数阶可变小数延时滤波器的可变频率响应为

其中，

并行FIR子滤波器频率响应F_k(ω,m)和G_k(ω,m)分别为

系数b_ek(n,2m)和b_ok(n,2m-1)分别为

通过对比式(13)和式(26)，可以得到如下近似关系：

对式(31)两边关于ω求导，可以推导出

即

对比式(34)和式(32)，可以得到如下系数关系：

b_ok(n,2m-1)＝nb_ek(n,2m),m＝1,2,...,M_e (35)

为了降低滤波器结构复杂度，限定M为偶数，并对多项式阶次和子滤波器阶数进行一般化，则偶数阶可变小数延时滤波器的传递函数可写为

其中，

则基于系数关系结构及小数延时定义域非等间隔分段的可变小数延时滤波器可以用一种复杂度更低的结构实现。

相应地，偶数阶可变小数延时滤波器的可变频率响应可写为

其中，

令

则式(38)可以改写为

其中，

步骤8：根据理想可变小数延时滤波器的可变频率响应和实际可变小数延时滤波器的可变频率相应，可以得到可变频率响应误差为

其中，

步骤9：利用可变频率响应误差和小数延时定义域非等间隔分段准则，偶数阶可变小数延时滤波器的minimax设计可以表示为

其中，

在分段区间S_k内进行minimax设计，就可以得到峰值误差

以及相应的滤波器系数b_ek。

该步骤原理如下：

minimax设计的近似准则是不断优化系数，使得可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差最小。式(46)和式(47)所示的优化问题是一个SOCP问题，因为约束条件是一个二阶锥，即

其中，C_s表示二阶锥，定义为

C_s＝{(x₁,x₂)∈R×R^N-1|x₁≥||x₂||₂} (49)

R表示实数集合，R^N-1表示实N-1维矢量。

对上述SOCP问题进行化简，令

则式(46)可以改写为

其中，

对参数ω∈[0,απ]和

进行采样，其中

采样间隔分别为απ/(L₁-1)和1/[2K(L₂-1)]。当p＝0时，式(46)自动满足，故不需要考虑该点。因此，一共有L₁(L₂-1)个离散点

对于每一个离散点

都有一个形如式(51)的约束条件。因此，式(51)所示的SOCP问题可以利用非线性优化工具求解，得到矢量系数y_k，从而得到峰值误差

以及相应的滤波器系数b_ek。

步骤10：重复步骤6至步骤9，从i＝0遍历至i＝M_ek-1，共可以得到M_ek个峰值误差。从所有结果中选取最小的峰值误差

即

并用相应的

更新N_k，即

步骤11：判断

是否小于给定误差门限

如果小于，进入步骤13；如果大于，进入步骤12；

步骤12：计算参数

并用当前

更新ε₀，即

判断参数δ是否大于给定优化比率门限△，如果大于，返回步骤6；如果小于，令M_k＝M_k+2，ε₀＝0，并返回步骤4；

步骤13：设置窗函数w_em(n)、w_om(n)继续优化相邻子滤波器的系数个数。

其中，w_em(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器系数个数，w_om(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器系数个数。

则式(41)可改写为

其中，m＝1,2,...,M_ek。

步骤14：令

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_em(n)(m≠i)、w_om(n)进行如式(46)所示的minimax设计，将此步骤从i＝1遍历至i＝M_ek，可以得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤15：令

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_om(n)(m≠i)、w_em(n)进行如式(46)所示的minimax设计，将此步骤从i＝1遍历至i＝M_ek，可以得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤16：令

判断ε_min是否大于给定误差门限

如果大于，则

保持不变，进入步骤17；如果小于，按下述原则更新

返回步骤14。

步骤17：对下一个分段区间S_k+1进行优化，令k＝k+1，M_k＝M_k-1，返回步骤4。将步骤4至步骤16从k＝0遍历至k＝K-1，即可得到所有分段区间上的多项式阶次M_k、并行FIR子滤波器阶数N_k、窗函数w_em(n)、w_om(n)以及相应的子滤波器系数b_ek，k＝0,1,...,K-1。

步骤18：通过系数b_ek，k＝0,1,...,K-1，利用式(29)即可计算得出偶数阶可变小数延时滤波器的冲激响应

a_nm＝[a₀(n,2m)a₁(n,2m)…a_K-1(n,2m)]^T (61)

其中，

b_emk(n,m)为b_emk中参数；k＝0,1,...,K-1。

可见，经过步骤1至步骤18，本发明在已知可变频率响应误差门限的基础上，利用小数延时定义域非等间隔分段准则，能够高效设计可变小数延时FIR滤波器，实现结构复杂度更低。

令截止频率ω_c＝0.9π，即α＝0.9，分段个数K＝4，优化比率门限△＝0.01，可变小数延时滤波器可变频率响应误差上限

并行FIR滤波器初始化阶次为N_k＝[11…1]。

将本文所提算法与目前性能最优的几种偶数阶可变小数延时滤波器设计算法比较，包括基于双线性规划的minimax设计算法，基于SOCP的minimax设计算法，基于系数关系结构的minimax设计算法，基于SOCP及小数延时定义域等间隔分段的minimax设计算法。

表1偶数阶可变小数延时滤波器实现结构复杂度比较

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，其特征在于，在可变频率响应误差门限已知的情况下，利用小数延时定义域等间隔分段准则和基于系数关系结构的minimax算法设计可变小数延时滤波器，使得实际可变小数延时滤波器的可变频率响应峰值误差不超过误差门限，最终得到并行FIR子滤波器的离散时间冲激响应。

2.如权利要求1所述的基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，其特征在于，所述方法具体包括如下步骤：

步骤1：偶数阶可变小数延时滤波器的小数延时定义域为p，p∈[-0.5,0.5]，利用非等间隔分段准则将p分成K段，其中S_k表示索引为k的分段区间，k＝0,1,...,K-1，即

步骤2：定义k_p表示小数延时定义域p的分段区间的索引，即

则

其中，

表示向下取整；

步骤3：初始化参数：分段区间索引k＝0，多项式阶次M_k＝2，优化误差ε₀＝0；

步骤4：计算参数：

其中，M_ek表示Farrow结构中多项式阶次为偶数次幂的子滤波器个数，M_ok表示Farrow结构中多项式阶次为奇数次幂的子滤波器个数；

步骤5：初始化滤波器阶数：

其中，

N_mk＝max{N_emk,N_omk},m＝1,2,...,M_ek (7)

其中，N_emk表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器阶数，N_omk表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器阶数，索引m表示Farrow结构中第m个子滤波器；

步骤6：令

其中

表示N_k中索引为i的元素加1后的结果；

步骤7：根据参数M_ek、M_ok、

构建实际可变小数延时滤波器的可变频率响应为H(ω,p)：

其中，

其中ω是归一化角频率；b_ek为滤波器系数矩阵，b_emk为b_ek的行向量；f_k为滤波器响应中实数成分矩阵，f_mk为f_k的行向量；g_k为滤波器响应中虚数成分矩阵，g_mk为g_k的行向量；

步骤8：根据理想可变小数延时滤波器的可变频率响应和实际可变小数延时滤波器的可变频率相应，得到可变频率响应误差为e(ω,p)：

其中H_I(ω,p)为理想的可变频率响应；e_R(ω,p)为可变频率响应误差e(ω,p)的实数部分；-e_I(ω,p)为可变频率响应误差e(ω,p)的虚数部分；

步骤9：利用可变频率响应误差和小数延时定义域非等间隔分段准则，偶数阶可变小数延时滤波器的minimax设计表示为

其中

为峰值误差；

在分段区间S_k内进行minimax设计，得到峰值误差

以及相应的滤波器系数b_ek；

步骤10：重复步骤6至步骤9，从i＝0遍历至i＝M_ek-1，共可以得到M_ek个峰值误差；从所有结果中选取最小的峰值误差

即

并用相应的

更新N_k，即

步骤11：判断

是否小于给定误差门限

若是，进入步骤13；否则进入步骤12；给定误差门限

如何设定；根据实际需求进行设定

步骤12：计算参数

其中δ为当前优化比率参数；

在δ计算完成后，用当前

更新ε₀，即

步骤3有记载；判断当前优化比率参数δ是否大于给定优化比率门限△，若是则返回步骤6；否则令M_k自增2，ε₀＝0，并返回步骤4；

步骤13：设置偶数次幂窗函数w_em(n)、偶数次幂窗函数w_om(n)继续优化相邻子滤波器的系数个数；

其中，w_em(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为偶数次幂的子滤波器系数个数，w_om(n)中1的个数表示索引为m的多项式阶次为奇数次幂的子滤波器系数个数；

则f_mk和g_mk改写为

其中，m＝1,2,...,M_ek；

步骤14：令

为当前优化的偶数次幂窗函数；w_ei(n)为第i个偶数次幂窗函数；

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_em(n)(m≠i)、w_om(n)进行步骤9的minimax设计，将此步骤14从i＝1遍历至i＝M_ek，得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤15：令

为当前优化的奇数次幂窗函数；w_oi(n)为；

并令

中的最后一个非零元素置为0，利用

w_om(n)(m≠i)、w_em(n)进行所示的minimax设计，将此步骤15从i＝1遍历至i＝M_ek，得到M_ek个峰值误差

从所有结果中选取最小的峰值误差

即

步骤16：令

判断ε_min是否大于给定误差门限

若是则

保持不变，进入步骤17；否则按下述原则更新

返回步骤14；

步骤17：对下一个分段区间S_k+1进行优化，令k＝k+1，M_k＝M_k-1，返回步骤4；将步骤4至步骤16从k＝0遍历至k＝K-1，得到所有分段区间上的多项式阶次M_k、并行FIR子滤波器阶数N_k、窗函数w_em(n)、w_om(n)以及相应的子滤波器系数b_ek，k＝0,1,...,K-1；

步骤18：通过系数b_ek，k＝0,1,...,K-1，计算得出偶数阶可变小数延时滤波器的冲激响应a_nm：

a_nm＝[a₀(n,2m) a₁(n,2m)…a_K-1(n,2m)]^T (61)

其中，

b_emk(n,m)为b_emk中参数；k＝0,1,...,K-1。

3.如权利要求2所述的基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，其特征在于，所述K值选取为：K＝4。

4.如权利要求2所述的基于非等间隔分段的改进farrow结构小数延时设计方法，其特征在于，步骤8中，

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