CN115616602A - 基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略 - Google Patents

Abstract

基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，本发明涉及观测者最优机动策略。本发明的目的是为了解决现有被动声纳BOL方法难以提供稳定有效的目标状态估计作为输入，导致被动声纳BOL的机动策略可观测性差，收敛时间长、收敛速度慢、收敛精度差、收敛后的稳定性差的问题。具体过程为：S100、根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；S200、建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数；S300、对建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；S400、将航向约束嵌入到确定的最优机动策略，得到观测者最优航向。本发明用于纯方位运动分析领域。

Description

基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动 策略

技术领域

本发明涉及纯方位运动分析领域，具体涉及基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略。

背景技术

被动声纳纯方位定位(bearings-only localization，BOL)(仅依靠方位信息进行定位)由于在定位和监视领域的广泛应用而备受关注。大多数被动声纳BOL方法利用经典阈值测量模型来估计目标位置，包括两个步骤：1)通过对波束形成器(beamformer，BF)输出进行阈值处理，估计目标方位；2)根据第一步估计的方位来定位目标。然而，在被动声纳BOL问题中，数据具有信噪比低、漏检率高、虚警率高等特点。两步方法面临两个重大挑战。首先，阈值的设置可能在虚警和检测之间存在不可接受的权衡。第二，第一步中保留的方位要么来自目标，要么来自虚警。为了确保用于定位的方位来自目标，两步法必须进行测量-跟踪关联，由于测量-跟踪关联的复杂性，在许多应用中由训练有素的声纳操作人员进行。然而，高虚警、低信噪比、多目标交叉等不利条件可能会频繁造成操作者过载，从而导致目标丢失，甚至发生碰撞。

由于这些原因，基于无阈值测量模型的非线性检测前跟踪(Track-before-Detect,TBD)策略在被动声纳BOL问题中受到青睐。TBD策略避免了测量-跟踪关联，充分建模了方位测量和目标状态之间的非线性关系。但由于方位是唯一的测量，距离是不可测量的，因此估计位置的唯一性可能无法保证。观察者必须机动以确保可观察性。有效的机动策略可以提高可观测性，从而提高收敛时间、收敛精度和收敛后的稳定性等性能。因此，研究如何提高BOL问题的可观测性是必要的。

然而，据我们所知，所有关于提高可观测性的文献都是为经典的两步方法所设计的。这些方法的输入是通过两步算法估计的目标状态。对于所考虑的被动声纳场景，两步方法性能较差，难以提供稳定有效的目标状态估计作为输入。较差的性能可以归因于前面提到的被动声纳BOL中的挑战。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有被动声纳BOL方法难以提供稳定有效的目标状态估计作为输入，导致被动声纳BOL的机动策略可观测性差，收敛时间长、收敛速度慢、收敛精度差、收敛后的稳定性差的问题，而提出基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略。

纯方位指测量信息仅包括与方位有关的信息。

基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略具体过程为：

S100、根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；

S200、建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数；

S300、对S200中建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；

S400、将航向约束嵌入到S300中所确定的最优机动策略，得到观测者最优航向。

本发明的有益效果为：

本发明公开了基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，目的是改善被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的可观测性，从而提高算法性能。

本发明设计了一个专门用于TBD方法的最优机动策略(optimal maneuverstrategy，OMS)。OMS的设计是为了最大化系统的可观测性，可观测性被表示为Fisher信息矩阵(FIM)的行列式值。本发明推导了TBD方法的FIM递推式，并基于最大化FIM原则设计OMS。此外，考虑到实际应用中的物理限制，本发明将提出的OMS扩展到航向约束。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为两条最优航向位置的几何示意图；

图3a为两个候选最优航向都在航向范围内条件下的最优机动策略的几何示意图；

图3b为仅有候选最优航向一在航向范围内条件下的最优机动策略的几何示意图；

图3c为仅有候选最优航向二在航向范围内条件下的最优机动策略的几何示意图；

图3d为两个候选最优航向都不在航向范围内条件下的最优机动策略的几何示意图；

图4a为目标静止时所设计的OMS和对比算法对应于不同的K值的观测者轨迹示意图；

图4b为目标运动时所设计的OMS和对比算法对应于不同的K值的观测者轨迹示意图；

图5a为目标静止时所设计的OMS和对比算法对应于不同的K值的FIM的行列式值示意图；

图5b为目标运动时所设计的OMS和对比算法对应于不同的K值的FIM的行列式值示意图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略具体过程为：

S100、根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；

S200、建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数；

S300、对S200中建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；

S400、将航向约束嵌入到S300中所确定的最优机动策略，得到观测者最优航向(观测者指的是搭载被动声呐的设备，可以是UUV或舰船)。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，所述步骤S100中根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；具体过程为：

目标的位置和速度被表示为

其中()^T表示矩阵转置；

表示k时刻目标在x方向(大地坐标系)的位置，

表示k时刻目标在y方向(大地坐标系)的位置，

表示k时刻目标在x方向(大地坐标系)的速度，

表示k时刻目标在y方向(大地坐标系)的速度；

观测者的位置和速度被表示为：

其中

表示k时刻观测者在x方向(大地坐标系)的位置，

表示k时刻观测者在y方向(大地坐标系)的位置，

表示k时刻观测者在x方向(大地坐标系)的速度，

表示k时刻观测者在y方向(大地坐标系)的速度；

||表示取模运算；

表示观测者在k时刻的航向；

表示观测者在k时刻的速度大小；

因此，目标和观测者在k时刻的相对位置可以被表示为

相对方位可以被表示为θ^k＝tan^-1(x^k/y^k)；

其中x^k表示k时刻目标相对观测者在x方向(大地坐标系)的位置，y^k表示k时刻目标相对观测者在y方向(大地坐标系)的位置；

被动声纳检测前跟踪算法的输入为波束形成(beamformer，BF)的输出；若波束形成在一个处理周期的扫描角度数目为M，对应M个分辨单元，则k时刻的波束形成(beamformer，BF)输出可以被表示为

其中

表示k时刻第i′个分辨单元的波束形成(beamformer，BF)输出，本发明使用点扩散函数来近似波束形成(beamformer，BF)输出；

其中e^k是k时刻波束形成(beamformer，BF)输出的目标强度；b^k表示波束形成(beamformer，BF)输出的平均强度；β_i′表示第i′个分辨单元对应的方位；β_i′＝i′×Δθ，Δθ是波束形成(beamformer，BF)的角度扫描间隔；L(θ^k)表示波束形成(beamformer，BF)输出在方位θ^k的衰减程度；

表示k时刻第i′个分辨单元的波束形成(beamformer，BF)输出；M表示分辨单元个数；i′＝1,2，…M；

根据方程(2)，似然函数

可以被写为

令J^k表示k时刻的Fisher信息矩阵FIM，则J^k满足下列递推式

J^k+1＝J^k+ΔJ^k (4)

其中ΔJ^k表示k时刻的Fisher信息矩阵的增量；

将(3)代入(5)得

因此，Fisher信息矩阵FIM的递推式可以被表示为

其中J⁰表示初始时刻的Fisher信息矩阵，由先验信息确定；ΔJⁱ表示i时刻的Fisher信息矩阵的增量。k为当前时刻，i为k之前时刻。

式(7)为FIM的递推式，FIM的递推式为行列式。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，所述步骤S200中建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数(公式17)；具体过程为：

有效目标位置的估计误差分布的不确定区域可以表示为

其中det()表示计算行列式值运算；A_1σ表示目标位置的估计误差分布的不确定区域；

A_1σ与FIM反比；因此，可以通过最大化FIM的行列式值来设计最优机动策略(optimal maneuver strategy，OMS)；

方程(7)写为

J^k＝J^k-1+ΔJ^k-1+ΔJ^k (9)

由于J^k和ΔJ^k均为半正定，对称矩阵，因此有

det(J^k-1+ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2≥det(J^k-1)^1/2+det(ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2 (10)

结合方程(9)和方程(10)，有

det(J^k+1)^1/2-det(J^k-1)^1/2≥det(ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2 (11)

进一步地有

或者等价于

其中，Jⁱ表示i时刻的FIM，ΔJⁱ表示i时刻FIM的增量，T_p是处理周期，o(T_p)表示在T_p→0的条件下，和T_p以相同的或更快的速率趋于0的项；

根据方程(6)，det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)可以被写为

其中，L(θ^m)表示波束形成(beamformer，BF)输出在方位θ^m的衰减程度，r^m表示m时刻的相对位置，θ^m表示m时刻的相对方位；k为当前时刻，m为k之前时刻。

对于所考虑的被动声纳场景，目标是远场目标，具有较低的方位变化率。因此，在多数情况下，相对方位变化量αⁱ＝|θⁱ-θ^i-1|≤Δθ成立；这允许我们假设L(θⁱ)＝L(θ^i-1)；因此，det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)可以被简化为

det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)＝[2L(θ^i-1)sinαⁱ/(|rⁱ||r^i-1|)]² (15)

其中rⁱ表示i时刻的相对位置，θⁱ表示i时刻的相对方位，Δθ表示BF的角度扫描间隔；

定义中间变量Mⁱ＝L(θ^i-1)sinαⁱ/(|rⁱ||r^i-1|)；将(15)带入(13)得

L(θⁱ)表示波束形成(beamformer，BF)输出在方位θⁱ的衰减程度；

通过最大化

实现最大化J^k；

因此，以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数为：

其中M^k+1表示中间变量。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，所述步骤S300中对S200中建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；具体过程为：

最优机动策略OMS致力于确定最优机动来最大化M^k+1

M^k+1＝L(θ^k)sinα^k+1/(|r^k+1||r^k|) (18)

其中M^k表示中间变量，α^k表示k时刻的相对方位变化量；

在k时刻，L(θ^k)和|r^k|是确定的；方程(17)等价于

为了简洁，本发明定义P^k＝sin²α^k+1/|r^k+1|²；P^k表示中间变量；

本发明假设在一个处理周期内，观测者的速度保持恒定；并且定义

和

分别为观测者和目标的运动向量；

Δr^k表示目标相对于观测者的运动向量；

则有

sin²α^k＝1-cos²α^k＝1-[(r^k)^T·r^k+1/(|r^k||r^k+1|)]² (23)

因此，P^k可以被简化为

令

表示观测者的最优航向；由于

使P^k最大化，因此下列约束存在

为了简化后续的推导，我们定义

γ^k＝(x^ky^k+1-y^kx^k+1)/[(x^k+1)²+(y^k+1)²] (27)

其中γ^k表示中间变量；

方程(26)可以进一步写为

根据(28)，两种情况满足

情况一：

γ^k＝(x^ky^k+1-y^kx^k+1)/[(x^k+1)²+(y^k+1)²]＝0 (29)

经过化简后，有r^k+1＝λr^k,

即α^k＝0；其中λ为常数；

因此，在情况一，P_k＝0，是极小值；

情况二：

将(1)，(21)和(24)带入(30)得

经过一系列数学运算，可以获得

其中m^k、n^k、S^k为中间变量；

根据辅助角公式

方程(27)可以被进一步化简为

或者等价于

其中

表示观测者最优航向一，

表示观测者最优航向二；

因此，在情况二，存在两个候选最优航向

和

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，所述步骤S400中将航向约束嵌入到S300中所确定的最优机动策略，得到观测者最优航向；具体过程为：

首先讨论两个最优候选航向的位置。图2展示了两个候选最优航向位置的几何示意图。假设目标运动向量

在相对位置向量r^k的右边；注意，存在下面的关系

在图2中，k时刻观测者位于O点，目标从T^k运动到T点；因此有

以T为圆心，观测者运动向量的模长为半径画圆；

在圆上分别取A、B、C、D、G五点，其中OA和OD与圆相切，OB和OG与r^k平行，OC与OT平行；向量

和

表示四种特殊的情况下的观测者运动向量；

情况一：如果

那么

α^k达到最大，对应r^k+1在r^k的左边的情况；

情况二：如果

或者

那么r^k+1＝λr^k,

则P^k＝0是最小值；

情况三：如果

那么

r^k+1达到最小；

情况四：如果

那么

α^k达到最大，对应r^k+1在r^k的右边的情况；

根据(19)，可知最优航向在减小距离和增加方位变化之间提供了一个平衡；

因此

位于

位于

其中

表示不包括两条半径的扇形；

表示与观测者最优航向一

相反的航向对应的观测者运动向量，

表示与观测者最优航向二

相反的航向对应的观测者运动向量，

表示观测者最优航向一

对应的观测者运动向量，

表示观测者最优航向二

对应的观测者运动向量；

如果

那么一定有

满足|r^k+1′|＝|r^k+1|，α^k+1′＞α^k+1；

表示与

关于OT对称的观测者运动向量；

表示与

关于OT对称的观测者运动向量；

OB和OB′关于OT对称；r^k+1′和α^k+1′表示

所对应的k+1时刻的相对位置和相对方位变化量；

因此，有

所以，

进一步可以得到以下结论

1)当

从

旋转到

P^k+1一直降低；

2)当

从

旋转到

P^k+1一直增加；

3)当

从

旋转到

P^k+1一直降低；

4)当

从

旋转到

P^k+1一直增加；

根据以上结论，假设观测者航向限制在圆心角∠ETF内，则观测者运动向量

限制

如图3a、3b、3c、3d所示；航向约束下的最优机动路径如下所示：

1)如果

并且

参考图3a；

2)如果

并且

参考图3b；

其中

和

分别表示对应于

和

的航向；

3)如果

并且

参考图3c；

4)如果

并且

参考图3d；

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

实施算例：

本算例给出了一组参数级的仿真实验来说明所设计的OMS的特点，并与传统两步算法设计的轨迹优化算法进行对比，为了简便，称为对比算法。本算例中的对比算法确定观测者最优航向通过求解以下优化问题

从本质上讲，对比算法所确定的最优航向对应于图2中的情况一和情况四。由于距离的影响被忽略，因此是一个次优方法。相比之下，本发明所设计的OMS联合考虑了方位变化和距离的影响，理论上具有更好的性能。为了公平，航向约束也被嵌入到对比算法。在航向约束下的方程(46)可以写为

其中[c_min,c_max]表示可选的航向区间。

为了说明所设计的OMS的特点，本算例给出了对于不同程度的观测者运动能力，所设计的OMS和对比算法的观测者轨迹。令K＝|v_o|T_p/|r⁰|表示观测者改变距离和方位变化的能力。这里|r⁰|表示初始的相对距离，|v_o|表示观测者的速度。两个有代表性的场景被考虑：1)静止目标。2)目标运动保持一个恒定的速度v_t＝[0.1m/s,0]^T。目标和观测者的起始位置分别在[0,100m]和[0,0]。观测者的最大转弯速率是0.1065rad/s。系统处理周期是10s。本发明将FIM的行列式值作为一个指标来衡量可观测性，因为它与限制误差分布的不确定区域大小成反比。即FIM行列式值越大，可观测性越大。

如图4a、4b和图5a、5b所示，所设计的OMS和对比算法的结果分别用实线和虚线表示。静止目标的观测者轨迹如图4a所示。由于在起始位置时，两条候选最优航向所对应的行列式值相等，因此存在两组关于Y轴对称的最优机动路径。为了图片的简洁，给出了K＝1.0条件下的对称观测者轨迹。注意，此对称性在对比算法中同样存在，因为在起始位置时，在Y轴左右两侧方位变化是相等的。运动目标的观测者轨迹如图4b所示。

所设计的OMS的观测者轨迹表明了K值越大，目标靠近目标的速度越快。也就是说，当K值较大时，观测者更倾向于降低相对距离。相反，当K值较小时，观测者更倾向于增加方位变化。注意，如果

并且

最优航向直接朝向目标来获得无穷的可观测性，因为此时距离|r^k+1|→0。这个结果与理论分析一致：所设计的OMS在降低距离和增加方位变化之间提供了一个平衡。由于对比算法忽略了距离的影响，因此无论K如何，观测者总是趋向于增加方位变化。因此对比算法的观测者轨迹总是在所设计的OMS的观测者轨迹的外侧。对应不同K值得FIM行列式值如图5a、5b所示，表明了在相同的时刻，所设计的OMS总是比对比算法具有更高的可观测性。这里，灰色和黑色的虚线分别表示无穷和零。这些结果进一步验证了所设计的OMS的有效性。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (5)

1.基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，其特征在于：所述策略具体过程为：

S100、根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；

S200、建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数；

S300、对S200中建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；

S400、将航向约束嵌入到S300中所确定的最优机动策略，得到观测者最优航向。

2.根据权利要求1所述的基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，其特征在于：所述步骤S100中根据目标和观测者的位置信息，进行被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的FIM递推式的推导；具体过程为：

目标的位置和速度被表示为

其中()^T表示矩阵转置；

表示k时刻目标在x方向的位置，

表示k时刻目标在y方向的位置，

表示k时刻目标在x方向的速度，

表示k时刻目标在y方向的速度；

观测者的位置和速度被表示为：

其中

表示k时刻观测者在x方向的位置，

表示k时刻观测者在y方向的位置，

表示k时刻观测者在x方向的速度，

表示k时刻观测者在y方向的速度；

| |表示取模运算；

表示观测者在k时刻的航向；

表示观测者在k时刻的速度大小；

因此，目标和观测者在k时刻的相对位置可以被表示为

相对方位可以被表示为θ^k＝tan^-1(x^k/y^k)；

其中x^k表示k时刻目标相对观测者在x方向的位置，y^k表示k时刻目标相对观测者在y方向的位置；

使用点扩散函数来近似波束形成输出；

其中e^k是k时刻波束形成输出的目标强度；b^k表示波束形成输出的平均强度；β_i′表示第i′个分辨单元对应的方位；β_i′＝i′×Δθ，Δθ是波束形成的角度扫描间隔；L(θ^k)表示波束形成输出在方位θ^k的衰减程度；

表示k时刻第i′个分辨单元的波束形成输出；M表示分辨单元个数；i′＝1,2，…M；

根据方程(2)，似然函数

可以被写为

令J^k表示k时刻的Fisher信息矩阵FIM，则J^k满足下列递推式

J^k+1＝J^k+ΔJ^k (4)

其中ΔJ^k表示k时刻的Fisher信息矩阵的增量；

将(3)代入(5)得

因此，Fisher信息矩阵FIM的递推式可以被表示为

其中J⁰表示初始时刻的Fisher信息矩阵；ΔJⁱ表示i时刻的Fisher信息矩阵的增量；

式(7)为FIM的递推式，FIM的递推式为行列式。

3.根据权利要求2所述的基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，其特征在于：所述步骤S200中建立以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数；具体过程为：

方程(7)写为

J^k＝J^k-1+ΔJ^k-1+ΔJ^k (8)

由于J^k和ΔJ^k均为半正定，对称矩阵，因此有

det(J^k-1+ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2≥det(J^k-1)^1/2+det(ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2 (9)

结合方程(9)和方程(10)，有

det(J^k+1)^1/2-det(J^k-1)^1/2≥det(ΔJ^k-1+ΔJ^k)^1/2 (10)

进一步地有

或者等价于

其中，Jⁱ表示i时刻的FIM，ΔJⁱ表示i时刻FIM的增量，T_p是处理周期，o(T_p)表示在T_p→0的条件下，和T_p以相同的或更快的速率趋于0的项；

根据方程(6)，det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)可以被写为

其中，L(θ^m)表示波束形成输出在方位θ^m的衰减程度，r^m表示m时刻的相对位置，θ^m表示m时刻的相对方位；

对于所考虑的被动声纳场景，目标是远场目标，相对方位变化量αⁱ＝|θⁱ-θ^i-1|≤Δθ成立；假设L(θⁱ)＝L(θ^i-1)；因此，det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)可以被简化为

det(ΔJⁱ+ΔJ^i-1)＝[2L(θ^i-1)sinαⁱ/(|rⁱ||r^i-1|)]² (14)

其中rⁱ表示i时刻的相对位置，θⁱ表示i时刻的相对方位，Δθ表示BF的角度扫描间隔；

定义中间变量Mⁱ＝L(θ^i-1)sinαⁱ/(|rⁱ||r^i-1|)；将(15)带入(13)得

L(θⁱ)表示波束形成输出在方位θi的衰减程度；

通过最大化

实现最大化J^k；

因此，以最大化FIM的行列式值为目标的目标函数为：

其中M^k+1表示中间变量。

4.根据权利要求3所述的基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，其特征在于：所述步骤S300中对S200中建立的目标函数进行求解，确定观测者的最优机动策略；具体过程为：

最优机动策略OMS致力于确定最优机动来最大化M^k+1

M^k+1＝L(θ^k)sinα^k+1/(|r^k+1||r^k|) (17)

其中M^k表示中间变量，α^k表示k时刻的相对方位变化量；

在k时刻，L(θ^k)和|r^k|是确定的；方程(17)等价于

定义P^k＝sin²α^k+1/|r^k+1|²；P^k表示中间变量；

假设在一个处理周期内，观测者的速度保持恒定；并且定义

和

分别为观测者和目标的运动向量；

Δr^k表示目标相对于观测者的运动向量；

则有

sin²α^k＝1-cos²α^k＝1-[(r^k)^T·r^k+1/(|r^k||r^k+1|)]² (22)

因此，P^k可以被简化为

令

表示观测者的最优航向；由于

使P^k最大化，因此下列约束存在

定义

γ^k＝(x^ky^k+1-y^kx^k+1)/[(x^k+1)²+(y^k+1)²] (26)

其中γ^k表示中间变量；

方程(26)可以进一步写为

根据(27)，两种情况满足

情况一：

γ^k＝(x^ky^k+1-y^kx^k+1)/[(x^k+1)²+(y^k+1)²]＝0 (28)

经过化简后，有

即α^k＝0；其中λ为常数；

因此，在情况一，P_k＝0，是极小值；

情况二：

将(1)，(20)和(24)带入(29)得

可以获得

其中m^k、n^k、S^k为中间变量；

根据辅助角公式

方程(27)可以被进一步化简为

或者等价于

其中

表示观测者最优航向一，

表示观测者最优航向二；

因此，在情况二，存在两个候选最优航向

和

5.根据权利要求4所述的基于被动声纳纯方位定位检测前跟踪算法的观测者最优机动策略，其特征在于：所述步骤S400中将航向约束嵌入到S300中所确定的最优机动策略，得到观测者最优航向；具体过程为：

假设目标运动向量

在相对位置向量r^k的右边；存在下面的关系

k时刻观测者位于O点，目标从T^k运动到T点；因此有

以T为圆心，观测者运动向量的模长为半径画圆；

在圆上分别取A、B、C、D、G五点，其中OA和OD与圆相切，OB和OG与r^k平行，OC与OT平行；向量

和

表示观测者运动向量；

情况一：如果

那么

α^k达到最大，对应r^k+1在r^k的左边的情况；

情况二：如果

或者

那么

则P^k＝0是最小值；

情况三：如果

那么

r^k+1达到最小；

情况四：如果

那么

α^k达到最大，对应r^k+1在r^k的右边的情况；

根据(19)，可知最优航向在减小距离和增加方位变化之间提供了一个平衡；

因此

位于

位于

其中

表示不包括两条半径的扇形；

表示与观测者最优航向一

相反的航向对应的观测者运动向量，

表示与观测者最优航向二

相反的航向对应的观测者运动向量，

表示观测者最优航向一

对应的观测者运动向量，

表示观测者最优航向二

对应的观测者运动向量；

如果

那么一定有

满足|r^k+1′|＝|r^k+1|，α^k+1′＞α^k+1；

表示与

关于OT对称的观测者运动向量；

表示与

关于OT对称的观测者运动向量；

OB和OB′关于OT对称；r^k+1′和α^k+1′表示

所对应的k+1时刻的相对位置和相对方位变化量；

因此，有

所以，

进一步可以得到以下结论

1)当

从

旋转到

P^k+1一直降低；

2)当

从

旋转到

P^k+1一直增加；

3)当

从

旋转到

P^k+1一直降低；

4)当

从

旋转到

P^k+1一直增加；

根据以上结论，假设观测者航向限制在圆心角∠ETF内，则观测者运动向量

限制

航向约束下的最优机动路径如下所示：

1)如果

并且

2)如果

并且

其中

和

分别表示对应于

和

的航向；

3)如果

并且

4)如果

并且

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