CN1156113C - 双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器及其制备方法 - Google Patents

Abstract

一种双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器及其制备方法，主要用于波分复用通信系统中的波分复用信号中奇偶数信号的两信道分离和一切需要平坦化光谱透射率函数的滤波器。包括的核心元件是由结构相同的K≥1个模拟波片构成的滤波器。控制模拟波片的双折射延迟和偏振取向可以使光谱透射率函数的级数接近理想周期矩形透射率函数的傅立叶级数。采用傅立叶级数对比法和搜索方法获得最接近周期矩形透射率函数的K个模拟波片中的K个模偏振旋转片的相匹配的组合角度。与在先技术相比，本发明的分离器易于实现各种大小光谱频率间隔的波分信号的奇偶分离，能够达到在先技术达不到的很小的光谱频率间隔。采用的方法简单，可以减少滤波器中模拟波片的数量。

Description

双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器及其制备方法

技术领域：

本发明是一种双折射级联偏振干涉的奇偶数信号分离器及其制备方法，信号分离器主要用作波分复用通信系统中的波分复用信号中奇数和偶数信号的两信道分离(英文名interleaver)，还可用于一切需要平坦化光谱透射率函数的滤波器。

背景技术：

波分复用信号由一系列等频率间隔的单一载频信号组成，采用解复用器可将波分复用信号按波长的不同进行分离。随着密集波分复用技术的发展，频率间隔愈来愈小，这对于解复用器提出了更高的光谱分辨要求。奇偶数波分复用分离器(以下简称奇偶分离器)的作用是将波分复用信号按照波分载频的顺序分离成为奇数系列和偶数系列两个信道，每个信道中的波分频率间隔相应增加一倍，这样就降低了波分复用解复用器的要求，因此奇偶分离器是一种重要的光通信核心器件，而且为了适应于愈来愈高密度的波分复用，奇偶分离器的发展方向是实现尽小的光谱频率间隔。为了实现低交叉干扰的奇偶分离，奇偶分离器必须具备平坦而高对比度的通带和阻带的光谱透过特性。

在先技术[1](参见Opt.Lett.，A.M.Vengsarkar et al.，21，336-338，1996)中所描述的是一种利用长周期光纤光栅的光谱透过函数来实现光纤放大器增益平坦化的结构。用于掺铒光纤放大器可使其实现增益平坦化，在25-30nm带宽内增益谱的起伏小于0.2dB。在波分复用光通信系统中，可使20个信道以0.6nm的间隔分布于1550.4-1561.8nm的带宽内。同样可用于齐偶信号信道的分离。但该在先技术在实际应用中存在一些局限性，如其对弯曲非常敏感，一个很小的弯曲都会将它的峰值波长向短波区域移动，而峰值也会从20dB降到3dB左右，从而丧失原特性。

在先技术[2](参见Journal ofLightwave Technology，Thomas Kamalakis et al.，19(11)，1716，2001)中所描述的是一种利用阵列波导光栅(英文简称AWG)产生平坦光谱响应函数。它是通过调整阵列波导的长度和它们在自由传播区域边界的相对位置来实现的。可实现波分复用技术中的复用/解复用功能，插分复用功能和波长路由等功能。但该在先技术在实际应用中必须采用其它方法和设备消除偏振和温度的影响，从而限制了它的应用。

在先技术[3](参见Eltctron.Lett.，W.J.Carlsen and C.F.Buhrer，23(3)，106-107，1987)中所描述的是一种产生平坦化光谱透射率函数的级联双折射干涉技术。其采用的光学系统结构为一块起偏器和一块检偏器及其它们两者之中放置的厚度比为1∶2∶2的三块双折射晶体波片。通过逆推计算方法计算出了所需的各块晶体相对于起偏器的偏角值。但它在通带和阻带的抖动不大于1％时，仅得到了一组晶体偏角值，而且在通带和阻带抖动不大于0.1％时，通带或者阻带的宽度δf与周期Δf的比值不到3％。因此该结构需要大尺寸，高光学质量，高双折射的晶体，这类晶体品种很少。此外所用的是高阶波片，制做困难。

在先技术[4](参见Journal of the Optical Society of American.，S.E.Harris etal.，54(10)，1267-1279，1964)中所描述的是对级联双折射滤波器产生特定滤波光谱波形时所需的滤波器结构需要用逆向计算方法求得，这种逆向也就是反推法虽然在理论上具有普适性，但要求构成级联双折射滤波器所采用的晶体必须厚度相同，因此在模拟具有高次阶余弦级数的光谱波形时需要使用较多晶体，并且推算方法复杂。

发明内容：

本发明的奇偶数信号分离器的核心元件滤波器是由结构相同的K≥1个模拟波片构成的，控制模拟波片的双折射延迟和偏振取向可以使光谱透射率函数的级数接近理想的周期矩形透射率的傅立叶级数。采用傅立叶级数对比法和搜索方法求得接近理想周期矩形透射率函数的K个模拟波片中的K个模偏振旋转片的相匹配的组合角度，以获得模偏振旋转片的结构。方法简单、可靠。

本发明的技术解决方案如下：

一种双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器，具体包括有：

<1>准直透镜，输出端面置于准直透镜前焦点上的输入光纤，在输入光纤输出光束的光路上与准直透镜相对的有并列置放的第一聚焦透镜和第二聚焦透镜，输入端面置于第一聚焦透镜后焦点上的有第一输出光纤，输入端面置于第二聚焦透镜后焦点上的有第二输出光纤；

<2>在准直透镜与两聚焦透镜之间的光路上置有输入偏振分束器，在输入偏振分束器与两聚焦透镜之间的光路上置有输出偏振合束器；

其特征在于：

<3>在输入偏振分束器与输出偏振合束器之间的光路上有输入偏振旋转器，在输入偏振旋转器与输出偏振合束器之间的光路上有输出偏振旋转器，在输入偏振旋转器与输出偏振旋转器之间的光路上有输出偏振分束器；

<4>在输入偏振旋转器与输出偏振分束器之间的光路上置有由结构相同的K≥1个模拟波片构成的滤波器，所说的模拟波片包括将入射偏振光旋转-180°＜θ＜180°角度的，光束的入射面与出射面相互平行的模偏振旋转片，有光束入射面和出射面相互平行的模偏振合束片，模偏振旋转片两平行的光束入射面和出射面与模偏振合束片两平行的光束入射面和出射面都垂直于模偏振旋转片和模偏振合束片两者重合的中心轴线，在模偏振旋转片与模偏振合束片之间，有两平行的光束入射面和出射面垂直于中心轴线，且中心在中心轴线上的模偏振分束片上，在模偏振分束片与模偏振合束片之间置有折射率不相同的沿长度方向与中心轴线平行并列置放的第一介质和第二介质；

<5>在滤波器中第K个模拟波片与输出偏振分束器之间的光路上置有中间偏振旋转器。

在两个介质与模偏振合束片之间置有第二模偏振旋转片。

一种双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器的制备方法，其特点是制备核心元件模拟波片是采用由模拟波片构成的滤波器所产生的光谱透射率函数的级数与理想的周期矩形光谱透射率函数的傅立叶级数对比相近的傅立叶级数对比法，具体做法是：

<1>选用理想的周期矩形光谱透射率函数的傅立叶级数表达式为：

$T\left(f\right)=T_0+T_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_2\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{2f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_3\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{3f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....+T_n\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+...---\left(1\right)$

(1)式中傅立叶系数为 $T_0=\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}},$ $T_n=2\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\sin c\left(\frac{\mathrm{n\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)(n\&NotEqual;0),$ 其中f为透射的光波频率，Δf-为光谱周期，δf-为透过通带宽度， -为开口比，n为级次、正整数；

<2>确定模拟波片的光谱周期参数：确定一个模拟波片的光谱透射率函数的最大周期为Δf，其余K-1个的模拟波片的光谱周期应等于Δf或为Δf/2、Δf/3、Δf/4……Δf/n(n为正整数)，最大光谱周期的等效时延 ${\mathrm{\&gamma;}}_b=\frac{1}{\mathrm{\&Delta;f}},$ 其余K-1个模拟波片的等效时延γ_k＝γ_b或它的整数倍(1，2，3......)，把相同等效时延值的项合并，最终得到接近于(1)式理想的周期矩形光谱透射率函数的模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的级数表达式：

T(f)＝T′₀+T′₁cos(2γπ_bf)+T′₂cos(2×2πγ_bf)+T′₃cos(3×2πγ_bf)+

      +....+T′_ncos(n×2πγ_bf)+....                                     (2)

(2)式中T′_n是与K个模拟波片中K个模偏振旋转片对入射偏振光方向旋转的角度θ₁、θ₂、θ₃、…、θ_K有关和与中间偏振旋转器(8)旋转偏振角度θ_P有关的系数；

<3>预先简化计算变量：当模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的开口比P为大于1的整数时，理想周期矩形光谱透射率函数的第P×1，P×2，P×3，......项的级数系数为零，因此可以选定θ_P值和θ₁，θ₂-θ₁，θ₃-θ₂，....，θ_K-θ_K-1之中的某些为特定固定值；

<4>确定参数：选用透射率最大峰顶值和最小峰谷值分别为1和0，平坦通带与周期的开口比

所采用的滤波器中包含的模拟波片的数量K≥1，透射由模拟波片构成的滤光器的光波频率f以及平坦度要求s％值，依据第一步的表达式(1)做出理想光谱透过率函数的曲线；

<5>采用搜索法，寻找K个模拟波片中K个模偏振旋转片相对入射偏振方向旋转的角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和中间偏振旋转器的旋转偏振角度θ_P，θ_k和θ_P可以以输入第一个模拟波片时光束的偏振方向为起点，或者以前一个模拟波片中模偏振旋转片的旋转方向为起点，在全角-180°＜θ＜180°范围内，每隔特定角值Δθ≤5°取得θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P的相匹配的组合角度；

<6>将上述确定的参数以及取得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相匹配的组合角度求得的系数T′_n代入上述表达式(2)式中，绘出由模拟波片构成的滤波器的光谱透射率函数的曲线，与上述理想的周期矩形光谱透射率函数的曲线对比，在满足平坦度s％情况下，选出最相近似的相匹配的组合角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P；

<7>依据上述第六步获得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相匹配的组合角度，确定模拟波片中的模偏振旋转片以及中间偏振旋转器，当采用旋光晶体时，模偏振旋转片和中间偏振旋转器的通光长度为： $D=\frac{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&zeta;}},$ 其中ζ为旋光晶体的旋光率，或者当模偏振旋转片和中间偏振旋转器是半波片时，半波片的快轴或者慢轴与输入光的偏振方向的夹角ξ为： $\mathrm{\&xi;}=\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}.$

本发明的技术效果：

在先技术[1]采用的是光纤和光纤光栅，在先技术[2]采用的是平面集成光学，本发明采用的是结构相同的模拟波片构成的滤波器，是将分立光学元件组装在一起的模拟波片，可以使用传统光学加工技术加工各光学元件，具有设备简单，工艺可靠的优点。而且与在先技术[1][2]相比，本发明采用模拟波片中的介质和模偏振分束片合束片等，避免了弯曲效应和应力偏振的影响。在先技术[3]采用的是晶体的双折射，与此相比本发明采用模拟波片是两块介质503，504的折射率差，因此不仅能生成范围很大的等效双折射差值，而且能达到比单块晶体双折射大得多的等效双折射。光学玻璃的折射率为1.45-1.8，光学晶体的折射率为1.5-2.2，例如在1550nm波长BK7玻璃和铌酸锂晶体组合的第一，第二介质503，504的双折射可以达到0.7，远大于单一的石英晶体双折射0.0084、铌酸锂晶体双折射0.073、方解石晶体双折射0.156和钒酸钇晶体双折射0.209，因此本发明的模拟波片结构简单，优质介质易得，介质材料的选择余地大而价格低，易于实现各种大小光谱频率间隔的波分信号的奇偶分离，特别适用于高度密集波分复用信号并实现晶体干涉法以及其在先技术达不到的很小的光谱频率间隔，同时在装调时，只要旋转介质对可以改变光程而实现光谱带宽的微调谐，器件易于装校。与在先技术[3]只取得一组的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相比，本发明采用傅立叶级数对比法能够得到透过峰值更平坦的更多的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相匹配的组合角度。与在先技术[4]相比，本发明采用正向的搜索法，方法较简单，模拟波片可以使用不同的光谱基频即不同的介质厚度，减少模拟波片的使用数量。

附图说明：

图1为本发明双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器最佳实施例的结构示意图。

图2为图1中模拟波片的第一种结构示意图。

图3为图1中模拟波片的第二种结构示意图。

图4为理想的周期矩形透过率函数的曲线波形图。

图5为具体实施方式中产生的平坦化光谱透射率函数的曲线波形图。

具体实施方式：

本发明双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器实施例的具体结构如图1所示，由图可见，本发明双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器，包括输入光纤1，沿着由输入光纤1发射光束前进的方向上的光路上依次置有准直透镜2，输入偏振分束器3，输入偏振旋转器4，由结构相同的第一模拟波片5，第二模拟波片6，第三模拟波片7，共有K≥1个模拟波片构成的滤波器16，或者有中间偏振旋转器8，输出偏振分束器9，输出偏振旋转器10，输出偏振合束器11，并列置放的第一聚焦透镜12和第一输出光纤13与第二聚焦透镜14和第二输出光纤15。

所说构成滤波器16的模拟波片5，6，7，包括将入射偏振光旋转-180°＜θ＜180°角度的模偏振旋转片501，有光束的入射面与出射面相互平行的模偏振合束片505，模偏振旋转片501的两平行的光束入射面和出射面与模偏振合束片505的两平行的光束入射面和出射面都垂直于模偏振旋转片501和模偏振合束片505两者重合的中心轴线OO₂，在模偏振旋转片501与模偏振合束片505之间，有两平行的光束入射面和出射面垂直于中心轴线OO₂，且中心O₁在中心轴线OO₂上的模偏振分束片502，在模偏振分束片502与模偏振合束片505之间置有折射率不相同的沿长度方向与中心轴线OO₂平行的并列置放的第一介质503和第二介质504。如图2所示。在两个介质503，504与模偏振合束片505之间或者置有第二模偏振旋转片506。如图3所示。

所说的上述模拟波片5，6，7(所有模拟波片)实际上有两种结构。图2是第一种结构，由模偏振旋转片501，模偏振分束片502，第一介质503，第二介质504，模偏振合束片505所组成。入射偏振光经过模偏振旋转片501旋转相对于入射偏振光方向θ角度，再通过模偏振分束片502分解为在空间上上下分离的和正交偏振的二束平行光束，这二个光束分别经过折射率不相同的第一介质503和第二介质504，最后经过模偏振合束片505再合成为一束输出光束。因此模拟波片的作用相当于双折射晶体波片，即产生了同一光束中两个正交偏振分量的不同的相位延迟。图3是第二种结构，由模偏振旋转片501，模偏振分束片502，第一介质503，第一介质504，模偏振旋转片506，模偏振合束片505所组成，比第一种结构多了一个第二模偏振旋转片506，入射偏振光经过模偏振旋转片501旋转相对于入射偏振光方向θ角度，再通过模偏振分束片502分解为空间上平行分离的和偏振正交的二个光束，它们分别经过折射率不同的第一介质503和第一介质504，然后通过第二模偏振旋转片506旋转这二光束的偏振方向90°，最后经过模偏振合束片505合成为一个输出光束，其作用也相当于双折射晶体波片。在第一种结构中，模偏振分束片502中的寻常偏振光束和异常偏振光束在模偏振合束片505中仍然为寻常偏转光束和异常偏转光束，寻常偏振光和异常偏振光的光程不同，因此模偏振分束片502和模偏振合束片505产生一个附加双折射延迟。在第二种结构中，模偏振分束片502中的寻常偏振光束和异常偏振光束在模偏振合束片505中分别变为异常偏振光束和寻常偏振光束，它能够消除模偏振分束片502和模偏振合束片505引入的附加双折射延迟。

准直透镜2用于对输入光纤1发射的无规偏振波分复用信号光束进行准直和扩束，经过准直透镜2输出平行细光束A，其入射到输入偏振分束器3后在水平方向上被分解为等强度的左右分离的二束偏振正交的平行光束，经过输入偏振旋转器4只对于其中之一(图1中左边的)垂直偏振的异常光束起作用，并旋转偏振方向90°，因而经过输入偏振旋转器4后为二束偏振同为水平偏振方向的平行光束a₁和a₂，再通过由K个模拟波片5，6，7构成的滤波器16后进入输出偏振分束器9。

输出偏振分束器9对于从a₁和a₂而来的二束平行光束各沿着垂直方向上分解为二束平行光束，即产生四束光束，其中(上面)二束b₁，c₁为水平偏振的寻常光，另外(下面)二束b₂，c₂为垂直偏振的异常光。进入输出偏振旋转器10后对于上右光束b₁和下左光束c₂产生附加90°的偏振方向旋转，因此通过输出偏振旋转器10后和照射输出偏振合束器11前的四个光束b₁，c₁，b₂，c₂的偏振状态为：光束b₁垂直偏振，光束c₁水平偏振，光束b₂垂直偏振，光束c₂水平偏振，进入输出偏振合束器11在水平方向上合成光束，它使光束b₁和c₁合成为输出光束C，使光束b₂和c₂合成为输出光束B。第一聚焦透镜12对于B路输出光束进行聚焦并耦合入到第一输出光纤13之中，第二聚焦透镜14对于C路输出光束进行聚焦并耦合入第二输出光纤15之中。

所说的输入偏振分束器3和输入偏振旋转器4用于分解无规偏振的输入光束，输出偏振分束器9，输出偏振旋转器10和输出偏振合束器11用于把滤波后的偏振光束再合成无规偏振的输出光束，主要目的是实现与输入光束偏振无关的工作特性。因此，所有的模拟波片有一定的宽度，允许能够对于输入偏振分束器3分解的二个光束同时进行相同的处理。

在输入偏振旋转器4和输出偏振分束器9之间依次是滤波器16中的第一模拟波片5，第二模拟波片6，第三模拟波片7，和中间偏振旋转器8。级联的模拟波片有K个，所以其中也就包含K个模偏振旋转片501，601，...K01，它们相对于入射偏振光方向偏振旋转角度为θ₁，θ₂，...，θ_K。光束a₁和a₂入射并通过模拟波片5及随后的K-1个级联的模拟波片6，7，...，它们经过中间偏振旋转器8旋转偏振方向角度为θ_P。本发明的核心关键元件是K个模拟波片构成的滤波器16等效组成了K个不同双折射延迟和不同取向的级联的等效双折射波片的偏振干涉滤光器，一个波片的偏振干涉滤光器产生余弦形的光谱透过率函数，其基本的光谱频率周期反比于双折射延迟。因此，多个波片的级联产生的光谱透过率函数不仅包含它们各自的基频项而且有它们的和差组合项，光谱透过率函数是一个由不同光谱频率项组成的级数。所以调整和控制模拟波片的双折射延迟和偏振取向可以使这个级数接近于周期矩形函数的傅立叶级数，从而产生平坦的透过通带和透过阻带，同时保持最大透过率和最小透过率分别为1和0。

上述所说的偏振旋转器4，8，10以及模偏振旋转片501，...K01可以采用旋光片或者半波片。其中旋光片由双面抛光的旋光晶体构成，旋光晶体的旋光率为ζ(度/毫米)，所需的相对于入射于第一个旋转器的入射光偏振方向偏振旋转角度为θ时，旋光片的通光长度D(mm)为：

$=\frac{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&zeta;}}.---\left(1\right)$

当使用半波片，所需的偏振旋转角度为θ时，则半波片的快轴或慢轴与输入光的偏振方向的夹角ξ为：

$\mathrm{\&xi;}=\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}.---\left(2\right)$

上述所说的偏振分束器3，9以及模偏振分束片502，...K02和偏振合束器11以及模偏振合束片505，...K05可以采用双折射晶体块或者偏光棱镜组合，上述所说的模拟波片中的折射率不相同的第一，第二介质503，504可以采用各向同性材料如玻璃或者各向异性材料如晶体，晶体必须沿主轴切割。模拟波片5，6，7中的模偏振旋转片501，601，701可以不用，这时模拟波片组合需要沿光轴旋转相应的θ角。模拟波片中的介质对503，504旋转时其产生的等效双折射延迟会发生变化，这可以用于光谱带宽的微调谐。

对于上述本发明结构的分析如下：

一、关于模拟波片5，6，7

对于上述无论是第一种或第二种结构的模拟波片当采用双折射晶体块作为模偏振分束片502和模偏振合束片505时，非寻常光e的偏离角α度为：

$\mathrm{tg\&alpha;}=(\frac{n_o^2}{n_e^2}-1)\frac{\mathrm{ctg}{\mathrm{\&beta;}}_1}{1+\frac{n_o^2}{n_e^2}{\mathrm{ctg}}^2{\mathrm{\&beta;}}_1},---\left(3\right)$

其中，n_o为寻常光折射率，n_e为非寻常(异)光折射率，β₁为光轴与晶体介面的夹角。

对于第一种结构的模拟波片，o-寻常光和e-非寻常光的相位延迟为：

当L_a，k＝L_b，k和L_c，k＝L_d，k时，有：

其中，n_a为第一介质503的折射率其长度为L_a，n_a，K为第K个模拟波片中的第一介质K03的折射率，其长度为L_a，K，n_b为第二介质504的折射率其长度为L_b，同样，n_b，K为第K个模拟波片中的第二介质K04的折射率，其长度为L_b，K，L_c，K为第K个模拟波片中模偏振分束片K02的长度，L_d，K为第K个模拟波片中模偏振合束片K05的长度，β₂为模偏振分束片中o-光与晶体光轴的夹角，n_e(β₂)为e-光等效折射率：

$n_e^2=\frac{n_o^2{n}_e^2}{n_o^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_2+n_e^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_2}.---\left(5\right)$

对于第二种结构的模拟波片，对于o-光和e-光的相位延迟为：

当L_a，k＝L_b，k和L_c，k＝L_d，k时有

每个模拟波片的相位延迟可以表达为偏振干涉的光谱周期Δf_k或等效时延γ_k：

其中：C为光速，λ为入射光的波长。

二、奇偶分离器的光谱透射率函数

偏振光学问题通常采用琼斯矩阵公式分析，如图1所示的结构中光学元件和器件的琼斯矩阵分别为：

偏振分束器(水平偏振)的琼斯矩阵P₁

$P_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],---\left(8\right)$

模拟波片5，6，7...K的的琼斯矩阵W_K

取向θ_s的偏振合束器的琼斯矩阵P₂

$P_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]R\left({\mathrm{\&theta;}}_s\right),---\left(10\right)$

其中

$R\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&theta;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right].---\left(11\right)$

因此，含有K个模拟波片的滤波器的琼斯矩阵M表示为：

                 M＝P₂W_K....W₂W₁P₁。                     (12)

对于模拟波片入射光和出射光有如下关系：

$\left[\begin{array}{c}{E_x}^{\&prime;}\\ {E_y}^{\&prime;}\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\end{array}\right]---\left(13\right)$

当出射光在水平偏振方向检偏，它的场振幅E_x′＝M₁₁E_x。其中M₁₁为M的对角矩阵。因入射光是水平方向的线偏振光，则该模拟波片的滤波器的光谱透射率为：T＝|M₁₁|²，或者以通常的级数表达为

T(f)＝T₀+T₁cos(2πγ′₁f)+T₂cos(2πγ′₂f)+T₃cos(2πγ′₃f)+....+T_ncos(2πγ′_nf)+....，

                                                                                   (14)

其中，T_n是与角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和角度θ_P有关的系数，γ′_n为(γ₁，γ₂，γ₃，.....，γ_K)的单独或者其任意组合的差项，和项或者和差项，因而第n项的等效光谱周期为：

${{\mathrm{\&Delta;f}}_n}^{\&prime;}=\frac{1}{{{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}}_n}.---\left(15\right)$

例如，当K＝3时从(8)-(14)式计算出滤波器的光谱透射率级数如下：

$T\left(f\right)=T_0+T_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}\right)+T_2\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}\right)+T_3\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}\right)+$

$+T_4\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2})\right)+T_5\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3})\right)+T_6\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3})\right)+$

$+T_7\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2})\right)+T_8\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)+T_9\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)+,\left(16\right)$

$+T_{10}\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)+T_{11}\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)+$

$+T_{12}\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)+T_{13}\cos \left(2\mathrm{\&pi;f}(-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1})\right)$

包括零级共有14项。由上述(8)-(13)式可知，T_n是与角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_k和θ_P有关的系数，可得出下列T₀-T₁₃的级数系数为：

T₀＝1/2[1+cos2θ₁cos2(θ₂-θ₁)cos2(θ₃-θ₂)cos2(θ_p-θ₃)]

T₁＝(-1/2)cos2(θ_p-θ₃)cos2(θ₃-θ₂)sin2θ₁sin2(θ₂-θ₁)

T₂＝(-1/2)cos2θ₁cos2(θ_p-θ₃)sin2(θ₃-θ₂)sin2(θ₂-θ₁)

T₃＝(-1/2)cos2θ₁sin2(θ_p-θ₃)sin2(θ₃-θ₂)cos2(θ₂-θ₁)

T₄＝(-1/2)cos²(θ₂-θ₁)cos2(θ_p-θ₃/)sin2(θ₃-θ₂)sin2θ₁

T₅＝(1/4)sin2θ₁sin2(θ_p-θ₃)sin2(θ₃-θ₂)sin2(θ₂-θ₁)

T₆＝(-1/2)cos2θ₁cos²(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2(θ₂-θ₁)

T₇＝(1/2)cos2θ₁sin²(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2(θ₂-θ₁)            (17)

T₈＝(1/4)sin2θ₁sin2(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2(θ₂-θ₁)

T₉＝1/2 sin2θ₁sin²(θ₂-θ₁)cos2(θ_p-θ₃)sin2(θ₃-θ₂)

T₁₀＝(-1/2)cos²(θ₂-θ₁)cos²(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2θ₁

T₁₁＝(1/2)cos²(θ₃-θ₂)sin²(θ₂-θ₁)sin2(θ_p-θ₃)sin2θ₁

T₁₂＝(-1/2)sin²(θ₂-θ₁)sin²(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2θ₁

T₁₃＝(1/2)cos²(θ₂-θ₁)sin²(θ₃-θ₂)sin2(θ_p-θ₃)sin2θ₁同时有：

${\mathrm{\&gamma;}}_1=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

${\mathrm{\&gamma;}}_2=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}$

${\mathrm{\&gamma;}}_3=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}$

${\mathrm{\&gamma;}}_4=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}$

${\mathrm{\&gamma;}}_5=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}$

${\mathrm{\&gamma;}}_6=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}$

${\mathrm{\&gamma;}}_7=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}$

${\mathrm{\&gamma;}}_8=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

${\mathrm{\&gamma;}}_9=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

${\mathrm{\&gamma;}}_{10}=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

${\mathrm{\&gamma;}}_{11}=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1},---\left(18\right)$

${\mathrm{\&gamma;}}_{12}=\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

${\mathrm{\&gamma;}}_{13}=-\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_3}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;f}}_1}$

三、再看对于理想周期矩形光谱透过率函数的傅立叶级数表达

一个理想的周期矩形光谱透过率函数(见图4)为

$T\left(f\right)=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{rect}\left(\frac{f-\mathrm{n\&Delta;f}}{\mathrm{\&delta;f}}\right),---\left(19\right)$

其中δf为光谱透过开口宽度，对于信号分离器来说，即为透过通带宽度。

该周期矩形光谱透过率函数可以用傅立叶级数表达为

$T\left(f\right)=T_0+T_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_2\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{2f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_3\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{3f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....+T_n\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....,---\left(20\right)$

其中傅立叶系数为

$T_0=\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}},---(21-1)$

$T_n=2\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\sin c\left(\frac{\mathrm{n\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)(n\&NotEqual;0).---(21-2)$

四、根据上述的分析得到制备本发明信号分离器的方法，特别是制备核心关键元件模拟波片的制备方法

为了得到任一开口比

的矩形光谱透射率函数(参见公式19)，可以采用K个模拟波片并控制它们的模偏振旋转角度和θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K、中间偏振旋转角度θ_P和光谱周期Δf₁，Δf₂，Δf₃，....，Δf_K，使得其所产生的光谱透射率函数的级数(公式14)与上述理想周期矩形函数的傅立叶级数(公式20)对比相近的，即得到与理想周期矩形函数相近的光谱透射率函数。这称为傅立叶级数对比法。

具体做法是：

<1>选用上述理想的周期矩形光谱透过率函数的傅立叶级数表达式(20)

$T\left(f\right)=T_0+T_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_2\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{2f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_3\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{3f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+...+T_n\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....,$

当用于精密计算理想周期矩形光谱透过率函数的曲线时取n≥30，当用于级数系数比较时所取的级数与模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的实际级数数目相同；

<2>依据模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数级数表达式(14)

T(f)＝T₀+T₁cos(2πγ′₁f)+T₂cos(2πγ′₂f)+T₃cos(2πγ′₃f)+....+T_ncos(2πγ′_nf)+....，

其中T_n是与模拟波片中模偏振旋转片相对入射偏振光方向旋转的角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K有关的，也与中间偏振旋转器8旋转偏振角度θ_P有关的系数， ${{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}}_n=\frac{1}{{{\mathrm{\&Delta;f}}_n}^{\&prime;}},$ Δf_n′为第n项的等效光谱周期；

所要求的光谱透射率函数的周期Δf决定了模拟波片的最大的偏振干涉的光谱周期，因此至少一个模拟波片的光谱周期应等于Δf，其余K-1个的模拟波片的光谱周期应等于Δf或为Δf的整数比例倍缩小，这时上式(即公式14)中的有关γ′_n的值为γ_b或它的整数倍(θ，1，2，3......)， ${\mathrm{\&gamma;}}_b=\frac{1}{\mathrm{\&Delta;f}},$ 把相同γ′(γ_b)值的项合并，最终得到接近于理想的周期矩形光谱透射率函数(公式20)的模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的级数表达式为：

T(f)＝T′₀+T′₁cos(2πγ_bf)+T′₂cos(2×2πγ_bf)+T′₃cos(3×2πγ_bf)+；

      +.....+T′_ncos(n×2πγ_bf)+.....                                    (22)

(22)式中，T＇_n如上述T_n是与K个模拟波片中K个模偏振旋转片对入射偏振光方向旋转的角度θ₁、θ₂、θ₃、…、θ_K有关和与中间偏振旋转器8旋转偏振角度θ_P有关的系数；

<3>简化计算变量，当模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的开口比为整数倍(P＞1)时，理想周期矩形光谱透射率函数的第P×1，P×2，P×3，......的级数系数为零，因此可以选用θ_P值和θ₁，θ₂-θ₁，θ₃-θ₂，....，θ_K-θ_K-1之中的某些为特定固定值，这将简化以下的搜索计算；

<4>确定参数：选用透射率最大峰顶值和最小峰谷值分别为1和0，由于实际使用的模拟波片数是有限的，它产生的透射率函数的级数项也是有限的，因此不可能形成如上述那么理想的周期矩形函数，但可以实现平坦的透过通带和透过阻带。在此前提下定义了平坦度，设定最大峰值降低了s％的宽度为透过通带的光谱宽度δf，设定最小峰值增加s％的宽度为透过阻带光谱宽度，当s＝0.1时达到-30dB的交叉干扰，s＝1时达到-20dB，确定平坦通带与周期的开口比

所采用的模拟波片(5，6，7)的数量K以及透射由模拟波片所构成的滤波器的光波频率f，依据第一步的表达式(公式20)做出理想光谱透过率函数的曲线；

<5>采用搜索方法，寻找K个模拟波片中K个模偏振旋转片入射偏振光方向旋转的角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P，θ_k和θ_P可以以输入第一个模拟波片时光束的偏振方向为起点，或者以前一个模拟波片中的模偏振旋转片的旋转方向为起点，在全角-180°＜θ＜180°范围内，每隔特定角值Δθ≤5°取得θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K及θ_P的相匹配的组合角度；

<6>将上述确定的参数以及取得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K及θ_P的相匹配的组合角度求得的系数T＇_n，代入上述由模拟波片构成的滤波器的光谱透过率函数的傅立叶级数表达式(22)中，并绘出光谱透过率函数的曲线，与上述理想的周期矩形光谱透射率的傅立叶级数(20)式对比，找出满足平坦度要求的接近理想的周期矩形透过率函数曲线的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P角的相匹配的组合角度；

<8>依据上述获得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P的相匹配的组合角度确定模拟波片中的模偏振旋转片。当模偏振旋转片是采用旋光晶体时，模偏振旋转片的通光长度为： $D=\frac{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&zeta;}},$ 其中ζ为旋光晶体的旋光率；或者当模偏振旋转片是半波片时，半波片的快轴或者慢轴与输入光的偏振方向的夹角ξ为： $\mathrm{\&xi;}=\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}.$

如图1所示的结构，实施例是用于输入信号为50GHz光谱频率间隔的波分复用信号奇偶数分离为100GHz光谱频率间隔的奇偶波分信号分离器，用于λ＝1550nm波段。

一、按照上述的具体做法制备模拟波片

具体的做法如上所述。

当确定奇偶分离器产生平坦通带与周期的开口比

为2∶1的周期平坦通带和阻带的光谱透过函数，由上述第一步中的公式(20)得到的是理想周期矩形函数的傅立叶级数只有奇数频率项，为

$T\left(f\right)=0.5+\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)-\frac{2}{3\mathrm{\&pi;}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{3f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+\frac{2}{5\mathrm{\&pi;}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{5f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)-....+...,---\left(23\right)$

本实施例中是采用三个模拟波片即K＝3，具体结构见于图1，其光谱透射率函数及其相应的参数已由公式(16)-(18)给出，共有14项。

为产生接近公式(15)所表达的理想的周期矩形函数，设定Δf₁＝2Δf₂＝2Δf₃＝Δf，θ₁＝45°和θ_p＝0°，这时奇偶分离器的光谱透射率函数的

(22)式的具体表达形式为：

$T\left(f\right)=0.5+(T_1+T_8+T_9+T_{12}+T_{13})\cos \left(\frac{2\mathrm{\&pi;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+(T_4+T_5+T_{11})\cos \left(\frac{6\mathrm{\&pi;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_{10}\cos \left(\frac{10\mathrm{\&pi;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right).---\left(24\right)$

用搜索法每隔Δθ＝1°对θ₂和θ₃在-180°至180°内作循环寻找满足平坦化光谱透射率函数所要求的θ₂和θ₃，要求除了零级以外从1级开始，应该是正负相间的级数，所以对于上述(24)式的1级是T₁+T₈+T₉+T₁₂+T₁₃＞0，5级是T₁₀＞0而3级是T₄+T₅+T₁₁＜0，而且限定通带的透过为1和阻带透过为0，通带和阻带的抖动不大于0.1％(-30dB)，可以采用的结果如下：

θ2°	θ3°	通带带宽与光谱间隔之比	阻带带宽与光谱间隔之比
				-72	84	0.185185
-18	6
		-71	83	0.199199
-19	7
		-70	82			0.202202
-20	8
		-70	83	0.190190
-20	7
		-69	81			0.192192
-21	9
		-69	82	0.189189
-21	8

图5是本实施例中采用的结构为θ₁＝45°，θ₂＝-71°，θ₃＝83°，θ_P＝0°下的平坦化光谱透过率曲线，与图4所示的理想的周期矩形透射率函数的曲线波形最接近。

二、关于器件结构

整体结构见于图1。K＝3的三个模拟波片5，6，7都采用图3所示的第二种结构，两种介质均采用光学玻璃，第一介质503的牌号为SF11，第二介质504为BK7的玻璃，第一介质503的折射率n_a是n_α＝1.74474，第二介质504的折射率n_b是n_b＝1.50065，等效双折射Δn＝0.24409。因为Δf₁＝2Δf₂＝2Δf₃，所以2L₁＝L₂＝L₃(其中L_a.1＝L_b.1＝L₁，L_a，2＝L_b.2＝L₂，L_a，3＝L_b，3＝L₃)。由公式(4-2)和(5)得到L₁＝12.282mm和L₂＝L₃＝24.564mm。

入射的是经准直的光纤光束，口径为Φ0.5mm，在器件内两光束(a₁和a₂)的中心光轴间隔为1.5mm，因此四光束(b₁，b₂，c₁，c₂)的中心光轴的间隔为1.5mm×1.5mm。为了保证四光束的全部通光，光学元件的通光面的尺寸为2.5×2.5mm²。所有的偏振分束器和偏振合束器都采用单块自然切割的光束入射面与出射面相平行的方解石晶体块，为产生1.5mm的寻常光和异常光两中心光轴的分离，方解石晶体的通光长度为～13.5mm。偏振旋转器和模偏振旋转片都是石英半波片，第一模拟波片5中的模偏振旋转片501的相对于入射偏振光a₁、a₂偏振旋转角θ₁为45°，则半波片的快轴(或慢轴)与输入光的偏振方向的夹角ξ＝22.5°。第二模拟波片6中的模偏振旋转片601的偏振旋转角θ₂为-71°，其半波片的快轴(或慢轴)与输入光的偏振方向的夹角ξ＝-35.5°。第三模拟波片7中的模偏振旋转片701的偏振旋转角θ₃为83°，其半波片的快轴(或慢轴)与输入光的偏振方向的夹角ξ＝41.5°。因为θ_P＝0，中间偏振旋转器8可以不要。总之，本实施例的奇偶分离滤波器的总体外形尺寸大约为2.5mm×2.5mm×180mm(长×宽×深)。

Claims (3)

1.一种双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器，具体包括有：

<1>准直透镜(2)，输出端面置于准直透镜(2)前焦点上的输入光纤(1)，在输入光纤(1)输出光束的光路上与准直透镜(2)相对的有并列置放的第一聚焦透镜(12)和第二聚焦透镜(14)，输入端面置于第一聚焦透镜(12)后焦点上的有第一输出光纤(13)，输入端面置于第二聚焦透镜(14)后焦点上的有第二输出光纤(15)；

<2>在准直透镜(2)与两聚焦透镜(12，14)之间的光路上置有输入偏振分束器(3)，在输入偏振分束器(3)与两聚焦透镜(12，14)之间的光路上置有输出偏振合束器(11)；

其特征在于：

<3>在输入偏振分束器(3)与输出偏振合束器(11)之间的光路上有输入偏振旋转器(4)，在输入偏振旋转器(4)与输出偏振合束器(11)之间的光路上有输出偏振旋转器(10)，在输入偏振旋转器(4)与输出偏振旋转器(10)之间的光路上有输出偏振分束器(9)；

<4>在输入偏振旋转器(4)与输出偏振分束器(9)之间的光路上置有由结构相同的K≥1个模拟波片(5，6，7)构成的滤波器(16)，所说的构成滤波器(16)的模拟波片(5，6，7)，包括将入射偏振光旋转-180°＜θ＜180°角度的，光束的入射面与出射面相互平行的模偏振旋转片(501)，有光束入射面和出射面相互平行的模偏振合束片(505)，模偏振旋转片(501)两平行的光束入射面和出射面与模偏振合束片(505)两平行的光束入射面和出射面都垂直于模偏振旋转片(501)和模偏振合束片(505)两者重合的中心轴线(OO₂)，在模偏振旋转片(501)与模偏振合束片(505)之间，有两平行的光束入射面和出射面垂直于中心轴线(OO₂)，且中心(O₁)在中心轴线(OO₂)上的模偏振分束片(502)上，在模偏振分束片(502)与模偏振合束片(505)之间置有折射率不相同的沿长度方向与中心轴线(OO₂)平行并列置放的第一介质(503)和第二介质(504)；

<5>在滤波器(16)中第K个模拟波片与输出偏振分束器(9)之间的光路上置有中间偏振旋转器(8)。

2.根据权利要求1所述的双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器，其特征是在两个介质(503，504)与模偏振合束片(505)之间置有第二模偏振旋转片(506)。

3.一种双折射级联偏振干涉奇偶数信号分离器的制备方法，其特征在于制备核心元件模拟波片(5，6，7)是采用由模拟波片(5，6，7)构成的滤波器(16)所产生的光谱透射率函数的级数与理想的周期矩形光谱透射率函数的傅立叶级数对比相近的傅立叶级数对比法，具体做法是：

<1>选用理想的周期矩形光谱透射率函数的傅立叶级数表达式为：

$T\left(f\right)=T_0+T_1\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_2\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{2f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+T_3\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{3f}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....+T_n\cos \left(2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)+....---\left(1\right)$

(1)式中傅立叶系数为 $T_0=\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}},$ $T_n=2\frac{\mathrm{\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\sin c\left(\frac{\mathrm{n\&delta;f}}{\mathrm{\&Delta;f}}\right)(n\&NotEqual;0),$ 其中f为透射的光波频率，Δf-为光谱周期，8f-为透过通带宽度， -为开口比，n为级次、正整数；

<2>确定模拟波片的光谱周期参数：确定一个模拟波片的光谱透射率函数的最大周期为Δf，其余K-1个的模拟波片的光谱周期应等于Δf或为Δf/2、Δf/3、Δf/4……Δf/n(n为正整数)，最大光谱周期的等效时延 ${\mathrm{\&gamma;}}_b=\frac{1}{\mathrm{\&Delta;f}},$ 其余K-1个模拟波片的等效时延γ_k＝γ_b或它的整数倍(1，2，3......)，把相同等效时延值的项合并，最终得到接近于(1)式理想的周期矩形光谱透射率函数的模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的级数表达式：

T(f)＝T′₀+T′₁cos(2πγ_bf)+T′₂cos(2×2πγ_bf)+T′₃cos(3×2πγ_bf)+

      +....+T′_ncos(n×2πγ_bf)+....                                      (2)

(2)式中T′_n是与K个模拟波片中K个模偏振旋转片对入射偏振光方向旋转的角度θ₁、θ₂、θ₃、…、θ_K有关和与中间偏振旋转器(8)旋转偏振角度θ_P有关的系数；

<3>预先简化计算变量：当模拟波片构成的滤波器(16)的光谱透射率函数的开口比P为大于1的整数时，理想周期矩形光谱透射率函数的第P×1，P×2，P×3，......项的级数系数为零，因此可以选定θ_P值和θ₁，θ₂-θ₁，θ₃-θ₂，....，θ_K-θ_K-1之中的某些为特定固定值；

<4>确定参数：选用透射率最大峰顶值和最小峰谷值分别为1和0，平坦通带与周期的开口比 所采用的滤波器中包含的模拟波片的数量K≥1，透射由模拟波片构成的滤光器的光波频率f以及平坦度要求s％值，依据第一步的表达式(1)做出理想光谱透过率函数的曲线；

<5>采用搜索法，寻找K个模拟波片中K个模偏振旋转片相对入射偏振方向旋转的角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和中间偏振旋转器的旋转偏振角度θ_P，θ_k和θ_P可以以输入第一个模拟波片时光束的偏振方向为起点，或者以前一个模拟波片中模偏振旋转片的旋转方向为起点，在全角-180°＜θ＜180°范围内，每隔特定角值Δθ≤5°取得θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P的相匹配的组合角度；

<6>将上述确定的参数以及取得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相匹配的组合角度求得的系数T′_n代入上述表达式(2)式中，绘出由模拟波片构成的滤波器的光谱透射率函数的曲线，与上述理想的周期矩形光谱透射率函数的曲线对比，在满足平坦度s％情况下，选出最相近似的相匹配的组合角度θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P；

<7>依据上述第六步获得的θ₁，θ₂，θ₃，....，θ_K和θ_P相匹配的组合角度，确定模拟波片中的模偏振旋转片以及中间偏振旋转器，当采用旋光晶体时，模偏振旋转片和中间偏振旋转器的通光长度为： $D=\frac{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&zeta;}},$ 其中ζ为旋光晶体的旋光率，或者当模偏振旋转片和中间偏振旋转器是半波片时，半波片的快轴或者慢轴与输入光的偏振方向的夹角ξ为： $\mathrm{\&xi;}=\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}.$

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