CN115392112A - 基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法 - Google Patents

基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法。群智能优化算法、Monte Carlo方法、拟蒙特卡洛方法抽样所产生的样本有较高的随机性或仅要求样本的均匀分布，不一定是高效的样本构造方式。本发明取三者之优点，以Direct优化算法构造候选样本，设置优化目标函数，筛选重要样本形成训练集。采用支持向量回归近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构可靠性分析。本发明在结构可靠性分析中通用性强，能适应各类非线性问题，扩展了支持向量机这种高效、易实现的回归方法在结构可靠性分析领域的适用范围。

Description

基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法
技术领域
本发明涉及结构可靠性分析技术领域，尤其是涉及采用响应面方法结合蒙特卡罗仿真进行结构可靠性分析方面，具体涉及一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法。
背景技术
土木工程、机械工程和航空航天等领域结构或产品可靠性分析合理考虑了工程中存在的不确定性因素，是工程结构或产品设计理论的重要内容。随机结构或产品可靠性主要分析源于荷载、材料性质以及结构或产品制造过程客观不确定因素的影响，对工程实践的安全评定，结构或产品的安全运营以及改进其中重要的影响因素，提高安全储备具有重要意义。
土木工程、机械工程和航空航天等领域大型复杂结构或产品表征结构正常工作能力或临界安全的功能函数往往是高度非线性、隐式表达的，这种情况下对结构或产品进行可靠性分析无论是经典的一次二阶矩法还是蒙特卡罗方法都显得比较困难或效率不高，要么精度不高，要么计算非常耗费时间，尤其是当需要对结构和产品响应采用有限元等大型数值方法进行大量分析时，很难达到工程实践可靠性分析的效率和精度要求。
响应面方法在少量有代表性的结构响应分析基础上，构造替代函数近似真实的功能函数来作土木工程、机械工程和航空航天等领域结构或产品可靠性分析，特别是与蒙特卡罗仿真方法相结合，既避免了大量的结构响应分析又能保证很好的可靠性分析精度，大大提高了可靠性分析的效率，在工程实践中得到越来越广泛的重视和应用。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法。该分析方法普适性强，能适用于各类非线性性能函数的结构可靠性分析，首先，采用Direct优化算法，设置优化目标，对样本进行抽样，得到样本后，采用支持向量回归近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构可靠性分析，改善支持向量机回归的响应面法计算可靠指标的精度，是现有结构可靠性方法的扩展。
本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法，所述结构可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域的产品结构、待分析领域中反映产品结构正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x)、随机变量x＝(x1,x2,…,xn)及其特征参数，其中，n为随机变量x中元素的个数，x1,x2,…,xn是随机变量向量x的各分量，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)，z1,z2,…,zn是标准正态随机变量向量z的各分量；
步骤S2中，Rosenblatt变换可参考“张明.结构可靠度分析：方法与程序.科学出版社,2009.”专著
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、若iter＝1，利用Direct算法产生所有样本，构造支持向量回归响应面
Figure BDA0003775668110000021
设置目标函数f(z)，若iter＞1，以f(z)为优化目标函数将Direct算法产生的新增加样本追加到先前样本中，建立新的样本训练集，根据真实功能函数计算新增加样本对应的结构响应；
S5、对样本进行预处理，将标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)各分量缩放至[-1,1]范围，得到归一化后的y＝(y1,y2,...,yn)，y1,y2,…,yn是向量y的各分量；
S6、采用高斯核函数对功能函数进行支持向量回归估计；
S7、利用交叉验证方法寻找支持向量机最优惩罚系数C和参数γ，得到支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000031
S8、对标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)进行蒙特卡罗仿真，转化为归一化参数y＝(y1,y2,...,yn)，，基于支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000032
计算结构失效概率；
S9、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标，否则iter＝iter+1，返回步骤S4继续执行。
进一步地，所述步骤S4中，Direct算法迭代过程中生成样本，构造高精度响应面的目标函数f(z)定义为：
Figure BDA0003775668110000033
其中，
Figure BDA0003775668110000034
为支持向量回归响应面函数，p(z)为联合概率密度函数，
Figure BDA0003775668110000035
j表示标准随机变量z第j个分量，
Figure BDA0003775668110000036
为标准随机变量z第j个标准随机变量的密度函数，即
Figure BDA0003775668110000037
ν＝12-2×iter，当ν＜2时，令ν＝2，y(z)为归一化向量y与标准正态随机变量向量z之间的转化关系。
进一步地，所述转化关系y(z)是归一化向量y的分量yk与标准正态随机变量向量z的分量zk之间的转化关系yk(zk),k＝1,…,n，按如下方式进行：
Figure BDA0003775668110000041
将正态变量映射到区间[-1,1]以避免计算过程中大数吃小数导致的计算困难或失效问题，其中，zk,min和zk,max分别为所有样本分量zk最小值和最大值。
进一步地，所述支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000042
具有如下形式：
Figure BDA0003775668110000043
通过非线性核函数和支持向量的线性组合表征以合理精度近似任意非线性功能函数，l为样本支持向量个数，y(i)表示自样本产生的第i个支持向量，当选择高斯核函数，K(y,y(i))＝exp(-γ||y-y(i)||)2，γ为核参数，αi、
Figure BDA0003775668110000044
分别为第一、第二拉格朗日乘子，b为超平面参数，这些参数通过支持向量机机器学习方法中的最优化算法求解得到。
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
(1)传统的Monte Carlo方法、拟蒙特卡洛方法所产生的样本有很高的随机性或仅仅考虑样本分布的均匀性等特点，不一定是高效的样本构造方式，Direct算法作为在均匀的候选解中寻找全局最小的一种有效算法，结合合适的优化目标函数，有助于找到更重要的训练样本改善响应面函数的精度。
(2)得到训练样本后，采用支持向量回归拟合近似功能函数，以内积核函数代替向高维空间的非线性映射，增强响应面方法的非线性适应性，在此基础上进行蒙特卡罗模拟，作结构可靠性分析，保证了求解的精度，增强了可靠性方法的适用性。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1是本发明公开的一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法的流程图；
图2是本发明实施例2中三跨十二层框架结构示意图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1
图1是本实施例公开的一种基于Direct算法抽样和支持向量机响应面的结构可靠性分析方法流程图，如图1所示，本实施例1以一个包含5个随机变量的应用实例对本发明进行进一步阐述。
一种基于Direct算法抽样和支持向量机响应面的结构可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析结构，一个串联结构体系有四个主要失效模式，相应的功能函数为：
g1＝2.688-x1-x2，
g2＝2.6-x2-x3，
g3＝2.424-x3-x4，
g4＝2.5-x4-x5，
g(x)＝max(g1,g2,g3,g4)
表1.实施例1的随机变量的分布情况表
变量 分布形式 均值 标准差
x<sub>1</sub> 正态 20 2
x<sub>2</sub> 对数 0.4 0.04
x<sub>3</sub> 对数 1.5 0.15
x<sub>4</sub> 对数 600 4
x<sub>5</sub> 正态 250 0.0003
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态随机变量向量z＝(z1,z2,...,zn)，z1,z2,…,zn是标准正态随机变量向量z的各分量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、若iter＝1，利用Direct算法产生所有样本，构造支持向量回归响应面
Figure BDA0003775668110000061
设置目标函数f(z)，若iter＞1，以f(z)为优化目标函数将Direct算法产生的新增加样本追加到先前样本中，建立新的样本训练集，根据真实功能函数计算新增加样本对应的结构响应；
S5、对样本进行预处理，将标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)各分量缩放至[-1,1]范围，得到归一化后的y＝(y1,y2,...,yn)，y1,y2,…,yn是向量y的各分量；
S6、采用高斯核函数对功能函数进行支持向量回归估计；
S7、利用交叉验证方法寻找支持向量机最优惩罚系数C和参数γ，得到支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000062
S8、对标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)进行蒙特卡罗仿真，转化为归一化参数y＝(y1,y2,...,yn)，基于支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000063
计算结构失效概率；
S9、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标，否则iter＝iter+1，返回步骤S4继续执行。
实施例1中公开的可靠性分析方法与其它各方法计算的失效概率及其相对误差对比见表2，其中，MCS的结果作为失效概率精确解。从表2可以看出，采用本发明的一种基于Direct算法抽样和支持向量机响应面的结构可靠性分析方法计算得到的失效概率相对误差小，迭代四次后，需要的样本数仅为传统粒子群算法的18.75％，就能满足工程实际需求。
表2.实施例1各种方法计算得到的失效概率及其相对误差对比表
Figure BDA0003775668110000071
实施例2
本实施例2继续以一个包含12个随机变量的应用实例对本发明进行进一步阐述。一种基于Direct算法抽样和支持向量机响应面的结构可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析结构，三跨十二层框架结构计算简图见图2，随机变量为各单元截面面积Ai，单元截面惯性矩Ii，各个单元弹性模量E以及外荷载P，截面面积A1,A2,A3,A4,A5，单元截面惯性矩I1,I2,I3,I4,I5，各个单元弹性模量E以及荷载P的统计特性见表3。功能函数为节点A的位移uA(x)不超过最大允许水平位移[u]＝H/500＝0.096m(H为楼高)，即：
g(x)＝[u]-uA(x)＝0.096-D(x)
其中，x＝(A1,…A5,E,I1,…,I5,P)，D(x)表示三跨十二层框架在节点A的位移，所有随机变量独立不相关。
表3.实施例2的随机变量的分布表
Figure BDA0003775668110000072
Figure BDA0003775668110000081
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态随机变量向量z＝(z1,z2,...,zn)，z1,z2,…,zn是标准正态随机变量向量z的各分量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、若iter＝1，利用Direct算法产生所有样本，构造支持向量回归响应面
Figure BDA0003775668110000082
设置目标函数f(z)，若iter＞1，以f(z)为优化目标函数将Direct算法产生的新增加样本追加到先前样本中，建立新的样本训练集，根据真实功能函数计算新增加样本对应的结构响应；
S5、对样本进行预处理，将标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)各分量缩放至[-1,1]范围，得到归一化后的y＝(y1,y2,...,yn)，y1,y2,…,yn是向量y的各分量；
S6、采用高斯核函数对功能函数进行支持向量回归估计；
S7、利用交叉验证方法寻找支持向量机最优惩罚系数C和参数γ，得到支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000083
S8、对标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)进行蒙特卡罗仿真，转化为归一化参数y＝(y1,y2,...,yn)，，基于支持向量回归响应面函数
Figure BDA0003775668110000084
计算结构失效概率；
S9、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到失效概率和可靠性指标，否则iter＝iter+1，返回步骤S4继续执行。
实施例2中公开的可靠性分析方法与其它方法计算的失效概率及其相对误差对比见表4，其中，MCS的结果作为参照的精确失效概率，从表4可以看出，本发明的一种基于Direct算法抽样和支持向量机响应面的结构可靠性分析方法计算得到的失效概率相对误差小，迭代五次后，需要的样本数仅为传统粒子群算法的14.90％，能满足工程实际需求。
表4.实施例2各种方法计算得到的失效概率及其相对误差
Figure BDA0003775668110000091
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法，其特征在于，所述结构可靠性分析方法包括以下步骤：
S1、指定待分析领域的产品结构、待分析领域中反映产品结构正常工作能力或安全工作临界状态的功能函数g(x)、随机变量x＝(x1,x2,…,xn)及其特征参数，其中，n为随机变量x中元素的个数，x1,x2,…,xn是随机变量向量x的各分量，所述待分析领域包括土木工程、机械电子和航空航天；
S2、将随机变量x＝(x1,x2,…,xn)通过Rosenblatt变换转化为标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)，z1,z2,…,zn是标准正态随机变量向量z的各分量；
S3、设置循环变量iter＝1；
S4、若iter＝1，利用Direct算法产生所有样本，构造支持向量回归响应面
Figure FDA0003775668100000011
设置目标函数f(z)，若iter＞1，以f(z)为优化目标函数将Direct算法产生的新增加样本追加到先前样本中，建立新的样本训练集，根据真实功能函数计算新增加样本对应的结构响应；
S5、对样本进行预处理，将标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)各分量缩放至[-1,1]范围，得到归一化后的y＝(y1,y2,...,yn)，y1,y2,…,yn是向量y的各分量；
S6、采用高斯核函数对功能函数进行支持向量回归估计；
S7、利用交叉验证方法寻找支持向量机最优惩罚系数C和参数γ，得到支持向量回归响应面函数
Figure FDA0003775668100000013
S8、对标准正态随机变量z＝(z1,z2,...,zn)进行蒙特卡罗仿真，转化为归一化参数y＝(y1,y2,...,yn)，，基于支持向量回归响应面函数
Figure FDA0003775668100000012
计算结构失效概率；
S9、检验结构失效概率是否收敛，若收敛，得到结构失效概率和可靠性指标，否则iter＝iter+1，返回步骤S4继续执行。
2.根据权利要求1所述的基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法，其特征在于，所述步骤S4中，Direct算法迭代过程中生成样本，构造高精度响应面的目标函数f(z)定义为：
Figure FDA0003775668100000021
其中，
Figure FDA0003775668100000022
为支持向量回归响应面函数，p(z)为联合概率密度函数，
Figure FDA0003775668100000023
j表示标准随机变量z第j个分量，
Figure FDA0003775668100000024
为标准随机变量z第j个标准随机变量的密度函数，即
Figure FDA0003775668100000025
当ν＜2时，令ν＝2，y(z)为归一化向量y与标准正态随机变量向量z之间的转化关系。
3.根据权利要求2所述的基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法，其特征在于，所述转化关系y(z)是归一化向量y的分量yk与标准正态随机变量向量z的分量zk之间的转化关系yk(zk),k＝1,…,n，按如下方式进行：
Figure FDA0003775668100000026
其中，zk,min和zk,max分别为所有样本分量zk最小值和最大值。
4.根据权利要求1所述的基于Direct算法抽样和支持向量机的结构可靠性分析方法，其特征在于，所述支持向量回归响应面函数
Figure FDA0003775668100000027
具有如下形式：
Figure FDA0003775668100000031
l为样本支持向量个数，y(i)表示自样本产生的第i个支持向量，当选择高斯核函数，K(y,y(i))＝exp(-γ||y-y(i)||)2，γ为核参数，αi、
Figure FDA0003775668100000032
分别为第一、第二拉格朗日乘子，b为超平面参数。
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