CN110377639B - 一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法 - Google Patents

Abstract

一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法，首先确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵，然后利拉丁超立方体抽样得到一组来自同维标准正态分布总体的样本，使其协方差矩阵的秩不小于多群截面总体协方差矩阵的秩，对该样本进行线性变换，求解一个用于线性变换的转换矩阵，保证变换后的样本均值和协方差分别等于多群截面总体的均值和协方差，进而得到多群截面输入参数计算样本。本发明以最小样本量重构核数据不确定度，保证不确定性分析结果的收敛，解决了传统抽样方法损失核数据不确定度信息、所需样本量巨大等问题；发明方法易于实施、使计算效率显著提高、收敛结果准确可靠，对核反应堆物理不确定性分析有重要意义。

Description

一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法

技术领域

本发明涉及核反应堆物理不确定性分析领域，是一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法。

背景技术

核反应堆物理不确定性分析结果对于保证反应堆的安全性和经济性具有重要意义。统计学抽样方法是进行不确定性分析的一种应用广泛的有效方法，该方法简单易行，且对于各种类型的输入-输出系统适用性很强。核数据不确定度是核反应堆物理不确定度的一个主要来源。基于抽样方法对核数据不确定度进行分析的过程中，由样本携带多群截面输入参数不确定度信息，将其由核数据传递到反应堆物理计算的关键响应。因此，样本还原核数据不确定度的程度和所需的样本容量是抽样方法的关键，分别决定了核反应堆物理不确定性分析结果的收敛性和计算效率。

核数据不确定度由评价核数据库(如ENDF/B)提供的核数据之间的协方差信息确定，传统的蒙特卡洛抽样及其相应的降方差技术是最常见的抽样方法，但传统抽样方法在有限样本容量下产生的样本几乎不可能完全重构评价核数据库给定的多群截面之间的协方差，意味着样本一定程度上损失了核数据的不确定度信息，因此单个样本计算的结果就会引入由于抽样方法带来的误差。这是传统抽样方法在收敛性方面面临的技术问题。

另外，由于核反应堆物理计算的多群截面输入参数众多，传统抽样方法面临“维度灾难”的问题。如尽可能完全描述核数据不确定度信息，传统抽样方法所需样本量非常庞大，而反应堆物理计算模型复杂、程序规模大、计算耗时长，不确定性分析过程中每个样本都需要计算程序重复地执行一次，大量样本的计算代价是非常巨大、甚至无法承受的。这是传统抽样方法在计算代价方面面临的技术问题。

综上所述，亟需发明一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法，利用样本完全重构所要分析的多群截面输入参数不确定度，用小样本计算代替传统抽样方法所需巨额样本量的计算，以确保核反应堆物理不确定性分析结果的收敛性和计算效率。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于：根据核反应堆物理核数据不确定性分析问题的特征，在传统抽样方法的基础上，提供一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法,利用样本完全重构所要分析多群截面输入参数不确定度，保证核反应堆物理不确定性分析计算结果收敛的同时使其计算代价达到最小。本发明中，最小化是指样本可以完全重构所要分析多群截面输入参数不确定度时的最小样本量。

为了实现上述目的，本发明采用了以下技术方案予以实施：

一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法，包括如下步骤：

步骤1：确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数维度NV；基于评价核数据库中的核数据信息，确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体的均值向量μ；根据评价核数据库中核数据之间的协方差信息，构造需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ；

步骤2：通过矩阵特征值分解，对步骤1中确定的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ做矩阵对角化处理，并求出核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵的秩r；

步骤3：给定维度为NV的标准正态分布总体，取样本容量NS不少于步骤2中所确定的多群截面总体协方差矩阵的秩r，利用拉丁超立方体抽样方法，对标准正态分布总体进行抽样，生成样本Z_S；计算样本Z_S的样本协方差矩阵I^*；其中

步骤4：通过矩阵特征值分解，对步骤3中样本Z_S的样本协方差矩阵I^*做矩阵对角化处理，并求出样本协方差矩阵的秩k；比较k与r的值，若k<r，重复步骤3；

步骤5：按特征值大小降序排列样本协方差矩阵I^*的特征值和特征向量；利用样本协方差矩阵I^*的前N_I*个特征向量构成的矩阵P_k和非零特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个L矩阵：

其中N_I*＝k；

步骤6：按特征值大小降序排列多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值和特征向量；利用多群截面总体协方差矩阵Σ的前N_Σ个特征向量构成的矩阵U_k和前N_Λ个特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个R矩阵：

其中N_Σ＝k，N_Λ＝k；

步骤7：求一个可逆矩阵F，使其能够将步骤5中的L矩阵化成行最简形矩阵；

步骤8：基于步骤6中的R矩阵，令S＝(R|O)构造阶数等于多群截面输入参数维度的方阵S；通过A＝SF求解转换矩阵A，用于生成核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本；

步骤9：利用转换矩阵A对步骤3中来自标准正态分布的样本Z_S进行线性变换X_S＝AZ_S+V，其中

表示由NS个μ构成的增广矩阵，维度为NV×NS；得到核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本X_S，进而用于不确定性分析。

与传统抽样方法相比，本发明有以下突出优点：

1.本发明结合核反应堆物理不确定性分析中核数据不确定度的特性，使生成的样本可以对目标多群截面输入参数协方差矩阵实现高精度重构，保留了核数据不确定度的全部信息。

2.本发明所需的样本容量是当样本可以重构目标多群截面协方差矩阵时数学上可成立的最小值，低于多群截面输入参数的维度。另外根据评价核数据库提供的多群截面协方差信息可以预先确定该最小样本量，避免了传统抽样方法由样本容量测试带来计算代价的倍增。因此，本发明可以很大程度上减小核反应堆物理不确定性分析的计算代价。

3.本发明得到的样本可使不确定性分析计算结果在最小样本容量处直接收敛，实现用小样本代替传统方法无穷大样本量的计算，保证了核数据不确定性分析结果的收敛性。

4.本发明生成的样本用于核反应堆物理不确定性分析时，统计涨落极小、可被忽略，避免了传统抽样方法中采用再抽样技术测试统计涨落带来的计算代价问题。

附图说明

图1为本发明抽样过程的程序实现流程图。

图2a为测试算例一中本发明生成的样本在核反应堆物理特征值计算不确定性分析中的应用及结果。

图2b为测试算例二中本发明生成的样本在核反应堆物理特征值计算不确定性分析中的应用及结果。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

如图1所示，本发明一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量，包括如下步骤：

步骤1：确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数维度NV；基于评价核数据库中的核数据信息，确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体的均值向量μ；根据评价核数据库中核数据之间的协方差信息，构造需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ；

σ_i(i＝1,2,…,NV)——第i个需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数；

μ_σi(i＝1,2,…,NV)——第i个需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数σ_i的均值；

μ——需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体的均值向量；

Cov(σ_i,σ_j)(i,j＝1,2,…,NV)——第i个和第j个需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数σ_i和σ_j之间的协方差；

D(σ_i)——第i个需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数σ_i的方差；

Σ——需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵。

步骤2：通过矩阵特征值分解，对步骤1中核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ做矩阵对角化处理，并求出核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵的秩r；

Σ＝UΛ_ΣU^T (2)

式中：

U＝(u_Σ1,u_Σ2,...,u_ΣNV)；

λ_∑i——将核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值按大小降序排列后，第i个特征值；

u_∑i——将核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值按大小降序排列后，第i个特征值对应的特征向量；

Λ_Σ——核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ的所有特征值λ_∑i(i＝1，2，...，NV)，按大小降序排列构成的对角阵，维度为NV×NV；

U——核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ的所有特征向量u_∑i(i＝1，2，...，NV)对应降序的特征值顺序排列构成的矩阵，维度为NV×NV；

步骤3：给定维度为NV的标准正态分布总体N_NV(0,I)，取样本容量NS不少于步骤2中所确定的多群截面总体协方差矩阵的秩r，利用拉丁超立方体抽样方法，对标准正态分布总体进行抽样，生成标准正态分布样本Z_S；计算标准正态分布Z_S的样本协方差矩阵I^*；在维度较低的情况下，样本容量虽不少于r，但也不宜过小，推荐NS≥30；

NS——选取的抽样样本容量，应不小于多群截面总体协方差矩阵的秩r；

Z_S——来自标准正态分布的样本，维度为NV×NS；

I^*——标准正态分布样本Z_S的协方差矩阵，维度为NV×NV；

步骤4：通过矩阵特征值分解，对步骤3中标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*做矩阵对角化处理，并求出样本协方差矩阵的秩k。比较k与r的值，若k<r，重复步骤3；

式中：

λ_I*i——标准正态分布样本将Z_S的样本协方差矩阵I^*的特征值按大小降序排列后，第i个特征值；

p_I*i——将Z_S的样本协方差矩阵I^*的特征值按大小降序排列后，第i个特征值对应的特征向量；

——标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*的所有特征值λ_I*i(i＝1，2，..，NV)，按大小降序排列构成的对角阵，维度为NV×NV；

P——标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*的所有特征向量p_I*i(i＝1，2，...，NV)对应降序的特征值顺序排列构成的矩阵，维度为NV×NV；

步骤5：按特征值大小降序排列样本协方差矩阵I^*的特征值和特征向量；利用标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*的前N_I*个特征向量构成的矩阵P_k和非零特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个L矩阵：其中N_I*＝k；

式中：

——按特征值大小降序排列标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*的特征值，取非零特征值的平方根构成的对角阵，维度为k×k；

P_k——标准正态分布样本Z_S的样本协方差矩阵I^*对应降序的特征值顺序的前N_I*＝k个特征向量排列构成的矩阵，维度为NV×k；

步骤6：按特征值大小降序排列多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值和特征向量；利用多群截面总体协方差矩阵Σ的前N_Σ个特征向量构成的矩阵U_k和前N_Λ个特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个R矩阵：其中N_Σ＝k，N_Λ＝k；

式中：

U_k＝(u_Σ1,u_Σ2,...,u_Σk)；

——按特征值大小降序排列需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值，取前N_Λ＝k个特征值，其中r个非零特征值和(k-r)个零特征值，的平方根构成的对角阵，维度为k×k.

U_k——需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ对应特征值顺序的前N_Σ＝k个特征向量排列构成的矩阵，维度为NV×k；

步骤7：求一个可逆矩阵F，使其能够将步骤5中的矩阵L化成行最简形矩阵；

I_k——L的行最简形矩阵中非零行(共k行)所构成的矩阵，即k阶单位阵。维度为k×k；

F——对L矩阵进行初等行变换时所用的可逆矩阵，维度为NV×NV；

步骤8：基于步骤6中的R矩阵构造阶数等于多群截面输入参数维度的方阵S；求解转换矩阵A，用于生成核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本；

S＝(R|O) (12)

A＝SF (13)

O——零矩阵，维度为NV×(NV-k)；

A——用于生成核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本的转换矩阵。

步骤9：利用转换矩阵A对步骤3中来自标准正态分布的样本进行线性变换，得到核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本X_S，进而用于不确定性分析。

X_S＝AZ_S+V；

X_S——核反应堆内核素的多群截面输入参数的样本，维度为NV×NS

V——由NS个μ构成的增广矩阵，维度为NV×NS。

本发明步骤1中，当核反应堆不确定性分析中所用的协方差矩阵为核数据之间的相对协方差矩阵时，多群截面输入参数服从均值为零向量的正态分布，即X～N_nV(0,Σ)。当步骤1中确定的多群截面输入参数向量空间维度较高时，其总体协方差矩阵Σ非常稀疏、是不满秩的矩阵，因此步骤2中坐标变换后可完全解释原始多群截面协方差数据的最低坐标系统维度r小于输入参数向量空间的维度，进一步减小了步骤3中对标准正态分布总体样本量的需求，从而降低用于核数据不确定性分析的多群截面输入参数计算的样本量。

步骤3中用户可任选抽样技术，例如蒙卡抽样、拉丁超立方体抽样等，推荐采用拉丁超立方体抽样等收敛速度快的抽样技术。这一步要求样本容量不少于多群截面总体协方差矩阵的秩r，但在输入参数向量空间维度较低的情况下，样本容量虽不少于r，但也不宜过小，否则无法保证生成的标准正态分布样本均值为零向量。推荐采用拉丁超立方体抽样技术，且当r＜100时，选择样本容量为100。

步骤4中对标准正态分布样本协方差矩阵进行特征值分解可以得到样本协方差矩阵的秩，若该秩小于多群截面总体协方差矩阵的秩，则无法通过线性变换使多群截面样本协方差矩阵等于步骤1中基于核数据库确定的多群截面总体协方差矩阵Σ。因此一旦出现这种情况，需要重复步骤3的抽样直至产生的样本满足条件。

由实现步骤可以看出，本发明的转换矩阵A由来自标准正态分布的样本协方差矩阵和基于核数据库确定的多群截面总体协方差矩阵共同决定。传统方法在样本量有限、来自标准正态分布的样本协方差矩阵不等于单位阵时，经过转换后的多群截面输入参数样本协方差矩阵自然不等于基于核数据库确定的多群截面总体协方差矩阵Σ。而本发明结合核反应堆物理不确定性分析中核数据不确定度的特性，克服了由于抽样方法引入的误差，人为控制随机过程、定向产生样本，使样本可以高精度重构多群截面协方差矩阵，保证了非无穷大样本容量下，核反应堆物理不确定性分析结果的收敛。

对于样本容量，结合数学上的结论，有：

条件k≥r说明需要保证来自标准正态分布样本协方差矩阵I^*的秩不小于基于目标多群截面总体协方差矩阵Σ的秩。结合上式，只需要保证标准正态分布样本Z_S的秩不小于Σ的秩，就可以满足本发明的条件。因此，是多群截面总体协方差矩阵的秩r是本发明所需的最小样本容量，可以证明这也是数学上当样本协方差矩阵可以完全重构目标总体协方差矩阵时的最小样本量。由于高维情况下，核数据协方差矩阵通常是稀疏的、不满秩的矩阵，因此这个条件对样本容量的需求大大减小:传统方法得到准确解时需要的样本量为无穷大，本发明的多群截面输入参数样本量控制在基于核数据库确定的多群截面总体协方差矩阵秩的水平上，且只要保证不少于这一水平，用户可任意指定样本容量。

为验证本发明的有效性，将其应用于核反应堆物理不确定性分析，用本发明生成的样本携带多群截面不确定度信息将其从核数据传递到反应堆物理计算的关键响应。考察的响应为热态满功率条件下UAM基准题中TMI-1单栅元k_∞的不确定度。测试中将本发明的结果与基于直接数值扰动(DNP)的确定论方法以及传统抽样方法结果作对比。传统抽样方法和本发明采用的抽样技术均为拉丁超立方体抽样(LHS)，另外给出传统抽样方法选取样本容量为10000时的计算结果，以作为大致参考。

测试算例一：输入的核数据不确定度源为²³⁵U的σ_(n,f)反应道，共69维；对比情况如图2(a)所示。

测试算例二：输入的核数据不确定度源为²³⁵U的σ_(n,elas),σ_(n,inel),σ_(n,2n),σ_(n,f),σ_(n,γ),σ_(n,ν)6个反应道，共414维；对比情况如图2(b)所示。

测试算例一中本发明需要的样本量为59，测试算例二中本发明需要的样本量为258，均小于输入参数的维度，并远远小于传统抽样方法想要使结果达到收敛所需的样本量。另外本发明以最小样本量高精度重构核数据不确定度，实现核反应堆物理不确定性分析结果的收敛。可以看到本发明对于核反应堆物理不确定性分析在计算代价和计算精度上的显著优势。

Claims (1)

1.一种最小化核反应堆物理不确定性分析抽样样本量的方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面输入参数维度NV；基于评价核数据库中的核数据信息，确定需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体的均值向量μ；根据评价核数据库中核数据之间的协方差信息，构造需要分析的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ；

步骤2：通过矩阵特征值分解，对步骤1中确定的核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵Σ做矩阵对角化处理，并求出核反应堆内核素的多群截面总体协方差矩阵的秩r；

步骤3：给定维度为NV的标准正态分布总体，取样本容量NS不少于步骤2中所确定的多群截面总体协方差矩阵的秩r，利用拉丁超立方体抽样方法，对标准正态分布总体进行抽样，生成样本Z_S；计算样本Z_S的样本协方差矩阵I^*；

步骤4：通过矩阵特征值分解，对步骤3中样本Z_S的样本协方差矩阵I^*做矩阵对角化处理，并求出样本协方差矩阵的秩k；比较k与r的值，若k<r，重复步骤3；

步骤5：按特征值大小降序排列样本协方差矩阵I^*的特征值和特征向量；利用样本协方差矩阵I^*的前N_I*个特征向量构成的矩阵P_k和非零特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个L矩阵：

其中

步骤6：按特征值大小降序排列多群截面总体协方差矩阵Σ的特征值和特征向量；利用多群截面总体协方差矩阵Σ的前N_Σ个特征向量构成的矩阵U_k和前N_Λ个特征值的算数平方根构成的对角阵

确定一个R矩阵：

其中N_Σ＝k，N_Λ＝k；

步骤7：求一个可逆矩阵F，使其能够将步骤5中的L矩阵化成行最简形矩阵；

步骤8：基于步骤6中的R矩阵，令S＝(R|O)构造阶数等于多群截面输入参数维度的方阵S；通过A＝SF求解转换矩阵A，用于生成核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本；

步骤9：利用转换矩阵A对步骤3中来自标准正态分布的样本Z_S进行线性变换X_S＝AZ_S+V，其中

表示由NS个μ构成的增广矩阵，维度为NV×NS；得到核反应堆内核素的多群截面输入参数计算样本X_S，进而用于不确定性分析。

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