CN115270233B - 计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法。该方法提出广义内力约束方程组和广义内力约束矩阵的概念，并将广义内力约束矩阵与平衡矩阵合并，形成扩展广义平衡矩阵，仅需对扩展广义平衡矩阵进行一次奇异值分解即可得到满足指定构件预应力分布模式的整体预应力模态，实现分析过程的简化；可根据需求，仅指定一部分构件的预应力分布模式，且只构建涉及到构件的广义内力约束方程，降低了求解的工作量和难度；在广义内力约束方程中，构件预应力的分布模式可根据需要灵活设定，如可以规定某些构件的预应力满足一定的比例关系，而不局限于对称和相等，具有更高的灵活性，更易于获得符合工程需求的整体预应力模态。

Description

计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分 解法

技术领域

本发明涉及建筑工程的结构分析与设计技术领域，尤其是涉及一种计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法。

背景技术

预应力索结构由只受拉的柔性索和既可受拉、又可受压的撑杆组成，是一类跨越能力强、受力性能好的大跨度结构体系，广泛应用于体育场馆、展馆等大跨度建筑的屋顶结构，常见形式有单层索网、索桁架结构、索穹顶结构等。

不同于混凝土结构、传统钢结构等刚性结构靠材料自身提供结构刚度和承载力，索结构需要通过引入预应力来达到稳定状态，进而建立刚度、形成承载能力。可以在结构中存在的预应力并非任意的，而是与结构位形、刚度要求直接相关。求解满足目标要求的结构位形及相应预应力的过程称作形态分析。根据工程需求的不同，形态分析可以设定不同的求解目标，进而细分为三类典型情况：第一类为目标位形己知，求解满足平衡条件的预应力分布，也称为找力；第二类为目标预应力己知，求解相应的位形，也称为找形；第三类为同时求解位形和预应力，即找力和找形同步进行。

第一类情况(即已知位形情况下的找力问题)通常在各类索结构的方案评估和初步设计阶段具有较强的需求和现实意义。这些阶段不需进行十分精确的形态分析，自重和附加恒荷载也可以忽略，设计的核心需求是快速获得在给定位形下满足平衡条件的预应力，以使索结构达到稳定状态、形成承载能力，进而对结构开展概念上、较为粗略的受力性能评估。此外，在更加深入的施工图设计阶段，也可能存在找力的需求，典型情形是按照专利文献(ZL201710146029.4)中的方法对双层索结构进行形态分析时，需要对结构上层索系和撑杆组成的体系进行找力，从而得到下层索系找形的驱动荷载。

平衡矩阵理论是索结构找力最常用的理论工具，其最早由Pellegrino等在论文《Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks》中提出，并在之后的《Structural computations with the singular value decompositionof the equilibrium matrix》等论文中得到进一步完善。基于该理论，对索结构的平衡矩阵进行高斯消去或者奇异值分解，可以直接得到满足平衡条件的预应力模态。当预应力模态数量为0时，表明当前的结构位形或结构布置不合理，不存在满足自平衡条件的预应力模态，需对结构进行调整；当预应力模态唯一时，将该模态直接整体缩放到设定的预应力水平，即得到满足要求的预应力；当存在多个预应力模态时，需将各预应力模态进行线性组合，使组合后的预应力分布满足索结构的对称性要求，通常将组合后满足对称要求的预应力分布称为整体预应力模态(integral prestress modes)。

针对由多预应力模态线性组合求解整体预应力模态的问题，袁行飞等在论文《Prestress design of cable domes with new forms》中提出了二次奇异值分解法。该方法目前已成为处理该问题的主流方法，其分为如下步骤：

(a)组集索结构的3n_f×m平衡矩阵[A]，由平衡矩阵奇异值分解得到p个(p≥2)独立的预应力模态{t_i}，其集合为m×p的矩阵[T]＝[…{t_i}…]，其中n_f为索结构自由节点的个数，m为索结构的构件个数。

(b)根据结构的对称性，将全部构件分为g组，令每组内构件的预应力值相等，构建考虑结构对称性的预应力分布表达式

{X}＝[E]{X₀} (1)

其中m×g的矩阵[E]满足

g×1的向量{X₀}＝{…x_k…}^T中每个元素表示每组构件的预应力值。

(c)将{X}表达为预应力模态的线性组合，即

{X}＝[T]{a} (2)

其中p×1的向量{a}＝{…a_i…}^T为待求解的预应力模态的组合系数。

(d)联立式(1)和式(2)，有

[T]{a}＝[E]{X₀} (3)进而改写为

(e)对m×(p+g)的矩阵[[T] -[E]]进行奇异值分解，得到式(4)的非零解。当非零解数量为0时，表明第(b)步的构件分组方式不合理，需调整分组方式重新计算；当非零解数量不为0时，对任意一个非零解

显然满足

由此得到了满足对称性条件的预应力分布

即整体预应力模态。

在上述求解整体预应力模态过程中，第(a)步和第(e)步分别进行了一次奇异值分解，因此称为二次奇异值分解法。该方法提供了多预应力模态索结构的整体预应力模态求解方法，为进一步确定满足索受拉、撑杆受压条件的整体可行预应力模态(integralfeasible prestress mode)奠定了基础。然而，在工程应用过程中，该方法存在两方面的问题：

(1)构建预应力分布表达式时，同一分组内的构件预应力值只能相等，对于需要令分组内的构件预应力值不相等、但满足特定关系的情况，尚无法处理；

(2)需要指定全部构件的分组方式，对于形体复杂、对称性不容易判别、构件数量多的索结构，结构构件分组较为困难，可能需要多次尝试才能得到，甚至无法获得合适的分组方式。

公开于该背景技术部分的信息仅仅旨在加深对本发明的总体背景技术的理解，而不应当被视为承认或以任何形式暗示该信息构成已为本领域技术人员所公知的现有技术。

发明内容

本发明的目的在于提供一种计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法，仅通过一次奇异值分解即可得到整体预应力模态，实现分析过程的简化，同时更易于获得符合工程需求的整体预应力模态。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明提供一种计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法，其包括如下步骤：

S1：组集索结构的3n_f×m平衡矩阵：

其中，m×n的矩阵[C]的各个元素满足：

[C]的每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[C]的各列按照自由节点在先、边界节点在后的顺序排列，则有[C]＝[[C_f][C_b]]；

m×n_f的矩阵[C_f]和m×n_b的矩阵[C_b]分别为自由节点和边界节点对应列的集合，n×1的向量{x}、{y}和{z}分别为所有节点的x、y和z三个方向的坐标集合，m×m的对角矩阵[L]＝diag(…l_j…)为所有构件长度的集合，m为索结构的构件数，n为索结构的总节点数，n_f和n_b分别为自由节点和边界节点的个数；

S2：考虑结构对称性和其他条件，指定整体预应力模态需要满足的构件预应力分布模式，进而构建广义内力约束方程组：

其中，f_j为待求的第j个构件的预应力值，γ_p-j为第p个广义内力约束方程中第j个构件预应力的系数，当第p个广义内力约束方程不涉及第j个构件的预应力时，γ_p-j＝0；

S3：将广义内力约束方程组写成[Γ]{f}＝{0}，c×m的矩阵[Γ]定义为广义内力约束矩阵，其各个元素满足[Γ](p,j)＝γ_p-j，即矩阵[Γ]的每行包含了一个广义内力约束方程的构件预应力系数信息，其中c为广义内力约束方程的个数；

S4：合并平衡矩阵[A]和广义内力约束矩阵[Γ]，得到(3n_f+c)×m的矩阵

定义为扩展广义平衡矩阵；

S5：对矩阵

进行奇异值分解，有/>

若矩阵

的秩/>

则表明第S2步指定的构件预应力分布模式不合理，不存在整体预应力模态，需调整构件预应力分布模式，并返回第S2步，重新构建广义内力约束方程组；

若

则矩阵/>

的第/>

列至第m列满足/>

其中/>

为矩阵/>

的第q个列向量，q满足/>

所述列向量

不仅满足索结构中各节点的平衡关系、即/>

还满足广义内力约束方程组限定的构件预应力分布模式、即/>

由整体预应力模态的概念可知，向量/>

即为索结构的整体预应力模态，其个数为/>

当整体预应力模态数

且该整体预应力模态满足索受拉、撑杆受压的条件时，该整体预应力模态可直接作为整体可行预应力模态；

当整体预应力模态数

则将各整体预应力模态进行线性组合，且使组合后的预应力分布满足索受拉、撑杆受压的条件，即得到整体可行预应力模态。

采用上述技术方案，本发明具有如下有益效果：

(1)本发明提出广义内力约束方程组和广义内力约束矩阵的概念，并将广义内力约束矩阵与平衡矩阵合并，形成扩展广义平衡矩阵，仅需对扩展广义平衡矩阵进行一次奇异值分解即可得到满足指定构件预应力分布模式的整体预应力模态，简化了分析过程；

(2)现有技术需要将全部构件分组并指定预应力分布模式，而本发明可根据需求，仅指定一部分构件的预应力分布模式，且只构建涉及到构件的广义内力约束方程，由此降低了求解的工作量和难度；

(3)本发明在广义内力约束方程中，构件预应力的分布模式可根据需要灵活设定，如可以规定某些构件的预应力满足一定的比例关系，而不局限于对称和相等，具有更高的灵活性，更易于获得符合工程需求的整体预应力模态。

本发明的一个或多个实施方案的细节在以下的说明书中阐明。根据说明书和权利要求，本发明其它特征、目的和优点将变得清楚。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单的介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明提供的计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法流程图；

图2为本发明实施例提供的凯威特型索穹顶结构轴测图；

图3为本发明实施例提供的凯威特型索穹顶结构平面图；

图4为本发明实施例提供的凯威特型索穹顶结构典型剖面图；

图5为本发明实施例提供的凯威特型索穹顶结构对称单元及构件分组示意图。

在附图中，相同的符号标示相同的元件，其中：1为上径向索，2为上斜索，3为撑杆，4为下径向吊索，5为下斜吊索，6为内环索，7为外环索，8为边界节点。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的实施方式作进一步详细描述。以下实施例的详细描述和附图用于示例性地说明本发明的原理，但不能用来限制本发明的范围，即本发明不限于所描述的优选实施例，本发明的范围由权利要求书限定。

为了更好地理解本发明，下面结合附图对根据本发明实施例进行详细描述。

结合图1至图5所示，本实施例以凯威特型索穹顶结构为例，对本发明提供的计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法进行说明。

本实施例的凯威特型索穹顶结构由上径向索1、上斜索2、撑杆3、下径向吊索4、下斜吊索5、内环索6和外环索7组成，其中每根上径向索1分为3个分段。

本实施例给出的凯威特型索穹顶由145个构件组成，其中126个为索，19个为撑杆；节点总数为56个，其中18个位于最外圈的节点为边界节点8，剩余38个节点为自由节点。边界节点8的x、y、z三个方向的自由度被约束。

组集本实施例结构的114×145平衡矩阵：

其中145×56的矩阵[C]的各个元素满足：

每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[C]的各列按照自由节点在先、边界节点8在后的顺序排列，则有[C]＝[[C_f][C_b]]，其中145×38的矩阵[C_f]为自由节点对应列的集合，145×18的矩阵[C_b]为边界节点对应列的集合，56×1的向量{x}、{y}和{z}分别为所有节点的x、y和z三个方向的坐标集合，145×145的对角矩阵[L]＝diag(…l_j…)为所有构件长度的集合。

1、采用二次奇异值分解法求解整体预应力模态

对114×145的平衡矩阵[A]进行奇异值分解，得到其预应力模态数为31。考虑结构对称性，按照图5所示的方式，将所有构件分为18组，采用二次奇异值分解法，得到该结构的整体预应力模态数为4个，表1列出了各整体预应力模态。

表1二次奇异值分解法得到的实施例结构整体预应力模态

2、采用扩展广义平衡矩阵奇异值分解法求解整体预应力模态

按照图5所示分组方式反映的结构对称性，构建广义内力约束方程组。以第①组构件为例，具体说明广义内力约束方程的构建方法。用f_j表示第j个构件的预应力值，第①组共有6个构件，令该分组中每个构件的预应力值相等，则有f₁＝f₂＝f₃＝f₄＝f₅＝f₆，由此可得到5个广义内力约束方程：

按同样的方式，可得到对应其他17个构件分组的广义内力约束方程，其中第⑦组仅有1个构件，因此不需要定义广义内力约束方程。由此得到127个广义内力约束方程。

将所有广义内力约束方程组集为[Γ]{f}＝{0}，得到127×145的广义内力约束矩阵[Γ]。[Γ]的各个元素满足[Γ](p,j)＝γ_p-j，其中γ_p-j为第p个广义内力约束方程中的第j个构件预应力的系数，当第p个广义内力约束方程不涉及第j个构件的预应力时，γ_p-j＝0。

合并平衡矩阵[A]和广义内力约束矩阵[Γ]，得到241×145的扩展广义平衡矩阵

对矩阵

进行奇异值分解，得到其秩/>

因此该结构的整体预应力模态数为145－141＝4个。各整体预应力模态中，属于同一分组的各构件的预应力值相等，即各预应力模态也可以用对应18个构件分组的预应力值表示。表2列出了各整体预应力模态。

表2扩展广义平衡矩阵奇异值分解法得到的实施例结构整体预应力模态

表2和表1给出的整体预应力模态在数值上不一致，但通过分析发现，表2中的每个整体预应力模态均与表1中的4个整体预应力模态线性相关，即表2中的每个整体预应力模态均可由表1中的4个整体预应力模态的线性组合表示，组合系数如表3所示。由此可知，表1和表2中的整体预应力模态是等效的，即当构件预应力需要满足的分布模式一致时，本发明提出的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法与二次奇异值分解法得到的结果一致，但本发明方法的求解过程只需进行一次奇异值分解，分析过程得到了简化。

表3整体预应力模态组合系数

3、由其他预应力分布模式构建广义内力约束方程组(一)

上述结果对比验证了本发明方法的正确性。对于本实施例，从工程受力合理的角度，可以按下述预应力分布模式(称为预应力分布模式一)构建广义内力约束方程组，进而求取整体预应力模态：

(1)考虑到上径向索1通常由一整根索组成，在节点处通过索夹与其他构件连接，为减小上径向索索夹的不平衡力，同时考虑结构对称性，令所有上径向索分段(即图5中分组①、②、③对应的构件)的预应力值相等，本实施例有6根上径向索1，共18个上径向索分段，可以构建17个广义内力约束方程；

(2)内环索6(对应图5中分组

)和外环索7(对应图5中分组/>

)通常也采用通长的索组成，为减小环索索夹的不平衡力，令内环索6和外环索7每个分段的预应力值各自相等，本实施例的内环索6有6个分段、外环索7有12个分段，可以分别构建5个和11个广义内力约束方程；

(3)上径向索索夹和环索索夹在竖向通过撑杆3相连，为使同一圈索夹的受力均匀，令内圈撑杆3(对应图5中分组⑧)和外圈撑杆3(对应图5中分组⑨、⑩)的预应力值各自相等，本实施例的内圈有6根撑杆3、外圈有12根撑杆3，可以分别构建5个和11个广义内力约束方程。

由以上预应力分布模式，可以构建由49个方程组成的广义内力约束方程组，进而得到49×145的广义内力约束矩阵[Γ]。

合并平衡矩阵[A]和广义内力约束矩阵[Γ]，得到163×145的扩展广义平衡矩阵

对矩阵

进行奇异值分解，得到其秩/>

因此在预应力分布模式一下，该结构的整体预应力模态数为145－144＝1个。观察发现，该整体预应力模态仍然按照图5所示的18个分组保持对称性，因此也可以用对应18个构件分组的预应力值表示。表4列出了唯一的整体预应力模态，可以看到，该整体预应力模态满足索受拉、撑杆受压的条件，可以直接作为整体可行预应力模态。

表4预应力分布模式一下的实施例结构整体预应力模态

4、由其他预应力分布模式构建广义内力约束方程组(二)

对于本实施例，还可以按下述预应力分布模式(称为预应力分布模式二)构建广义内力约束方程组，进而求取整体预应力模态：

(1)令所有上径向索分段(即图5中分组①、②、③对应的构件)的预应力水平分量相等，本实施例有6根上径向索1，共18个上径向索分段，广义内力约束方程的构建方式为：以f_j表示第j个上径向索分段的预应力值，l_j和l_Pj分别表示第j个上径向索分段的长度和水平投影长度，则有：

由此可得到17个广义内力约束方程：

对于本实施例，分组①、分组②和分组③中构件的

值分别为0.99671、0.96995和0.91403；

(2)令内环索6(对应图5中分组

)和外环索7(对应图5中分组/>

)每个分段的预应力值各自相等，本实施例的内环索6有6个分段、外环索7有12个分段，可以分别构建5个和11个广义内力约束方程；

(3)令内圈撑杆3(对应图5中分组⑧)和外圈撑杆3(对应图5中分组⑨、⑩)的预应力值各自相等，本实施例的内圈有6根撑杆3、外圈有12根撑杆3，可以分别构建5个和11个广义内力约束方程。

由以上预应力分布模式，可以构建由49个方程组成的广义内力约束方程组，进而得到49×145的广义内力约束矩阵[Γ]。

合并平衡矩阵[A]和广义内力约束矩阵[Γ]，得到163×145的扩展广义平衡矩阵

对矩阵

进行奇异值分解，得到其秩/>

因此在预应力分布模式二下，该结构的整体预应力模态数为145－144＝1个。观察发现，该整体预应力模态仍然按照图5所示的18个分组保持对称性，因此也可以用对应18个构件分组的预应力值表示。表5列出了唯一的整体预应力模态，可以看到，该整体预应力模态满足索受拉、撑杆受压的条件，可以直接作为整体可行预应力模态。

表5预应力分布模式二下的实施例结构整体预应力模态

以上实施例表现出本发明的如下有益效果：

(1)提出广义内力约束方程组和广义内力约束矩阵的概念，并将广义内力约束矩阵与平衡矩阵合并，形成扩展广义平衡矩阵，仅需对扩展广义平衡矩阵进行一次奇异值分解即可得到满足指定构件预应力分布模式的整体预应力模态，简化了分析过程；

(2)现有技术需要将全部构件分组并指定预应力分布模式，而本发明可根据需求，仅指定一部分构件的预应力分布模式，且只构建涉及到构件的广义内力约束方程，由此降低了求解的工作量和难度；

(3)在广义内力约束方程中，构件预应力的分布模式可根据需要灵活设定，如可以规定某些构件的预应力满足一定的比例关系，而不局限于对称和相等，具有更高的灵活性，更易于获得符合工程需求的整体预应力模态。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (1)

1.一种计算索结构整体预应力模态的扩展广义平衡矩阵奇异值分解法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：组集索结构的3n_f×m平衡矩阵：

其中，m×n的矩阵[C]的各个元素满足：

[C]的每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[C]的各列按照自由节点在先、边界节点在后的顺序排列，则有[C]＝[[C_f] [C_b]]；

m×n_f的矩阵[C_f]和m×n_b的矩阵[C_b]分别为自由节点和边界节点对应列的集合，n×1的向量{x}、{y}和{z}分别为所有节点的x、y和z三个方向的坐标集合，m×m的对角矩阵[L]＝diag(… l_j …)为所有构件长度的集合，m为索结构的构件数，n为索结构的总节点数，n_f和n_b分别为自由节点和边界节点的个数；

S2：考虑结构对称性和其他条件，指定整体预应力模态需要满足的构件预应力分布模式，各整体预应力模态中，属于同一分组的各构件的预应力值相等，进而构建广义内力约束方程组：

其中，f_j为待求的第j个构件的预应力值，γ_p-j为第p个广义内力约束方程中第j个构件预应力的系数，当第p个广义内力约束方程不涉及第j个构件的预应力时，γ_p-j＝0；

S3：将广义内力约束方程组写成[Γ]{f}＝{0}，c×m的矩阵[Γ]定义为广义内力约束矩阵，其各个元素满足[Γ](p,j)＝γ_p-j，即矩阵[Γ]的每行包含了一个广义内力约束方程的构件预应力系数信息，其中c为广义内力约束方程的个数；

S4：合并平衡矩阵[A]和广义内力约束矩阵[Γ]，得到(3n_f+c)×m的矩阵

定义为扩展广义平衡矩阵；

S5：对矩阵

进行奇异值分解，有/>

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则表明第S2步指定的构件预应力分布模式不合理，不存在整体预应力模态，需调整构件预应力分布模式，并返回第S2步，重新构建广义内力约束方程组；

若

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所述列向量

不仅满足索结构中各节点的平衡关系、即/>

还满足广义内力约束方程组限定的构件预应力分布模式、即/>

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