CN115146218A - 一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法，根据海面下偶极子的极化方向和类型结合索末菲积分得到其辐射场公式，然后将此索末菲型积分的形式综合，并按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间来简化计算此辐射场公式得到单个偶极子在空间中的辐射场分布，而后通过坐标转换和坐标平移，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场，最后基于所做工作构建操作简单的、具有可交互界面的计算平台，利用此计算平台可以得到给定参数的偶极子阵列在空间中的场分布二维伪彩图。本发明可以方便快捷地使研究人员解决和分析海面下给定参数的低频偶极子阵列在空间中的散射问题。

Description

一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法

技术领域

本发明属于电磁场数值计算技术领域，具体涉及一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法。

背景技术

随着人类在水下的探测及生产活动越来越频繁，人类对于水下通信的需求也日益提高。在技术飞速发展的今天，传统的声波水下通信已经不再能够满足人类对于信息传输速度的需求，因此电磁波水下通信已经成为近年的热点问题。而电磁波运用于海洋环境时有一个致命的缺点，那就是电磁波在海水中传播时的损耗。因此，通常会选择低频段的电磁波来降低传播时的损耗。在计算低频电磁波在海水中的辐射场时，由于海水的色散性，通常会选择数值方法来计算。而现有的成果中，仅仅只通过数值方法计算过单个偶极子在海水中的辐射场，而应用范围更广、辐射更稳定的偶极子阵列的辐射场却鲜有人计算。为了更好的服务于相关领域的科研人员，在解决此问题的基础上，还需要基于此方法构建一款具有可交互界面的能够计算海面下低频偶极子阵列在空间中的辐射场分布的计算平台。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法，根据海面下偶极子的极化方向和类型结合索末菲积分得到其辐射场公式，然后将此索末菲型积分的形式综合，并按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间来简化计算此辐射场公式得到单个偶极子在空间中的辐射场分布，而后通过坐标转换和坐标平移，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场，最后基于所做工作构建操作简单的、具有可交互界面的计算平台，利用此计算平台可以得到给定参数的偶极子阵列在空间中的场分布二维伪彩图。本发明对于激励源类型有了更进一步的扩展，将激励源从单个偶极子扩展到偶极子阵列，并由此构建了一款操作简单的、具有可交互界面的计算平台。本发明可以方便快捷地使研究人员解决和分析海面下给定参数的低频偶极子阵列在空间中的散射问题。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：

步骤1：将海面视作平面边界，偶极子向外辐射的球面波分解为传播方向垂直于边界方向的不均匀平面波的合成，即将球面波函数用索末菲积分的形式表示；

步骤1-1：假设海平面为z＝0的平面，并设海面附近有一点源，其坐标为x＝0，y＝0，z＝d，则该点源激发的球面波函数表示如下：

G(x,y,z)＝e^-jkr/r (1)

式中j为复数单位，k为波数；r为点源到场点的距：

d为点源的z坐标；

G(x,y,z)的傅里叶变换F(ξ,η,ζ)和傅里叶变换F(ξ,η,ζ)的傅里叶逆变换如下：

式中ξ，η，ζ为傅里叶变换后的坐标；

步骤1-2：由于

故有积分恒等式：

当x的绝对值趋向于无穷时，e^-jkr/r→e^-jk|x|/|x|→0，由式(1)得式(5)中等号右边第一项为0；若将变量x换成y或z，所述依旧成立；

对式(5)进一步推导得到：

式中

为拉普拉斯算子；

由G(x,y,z)满足非齐次亥姆霍兹方程有：

式中δ(...)为冲激函数；

将式(7)代入式(6)并积分，得：

步骤1-3：比较式(2)和式(8)，即求得：

将式(9)代入式(3)，得逆变换：

令

γ²＝k²-ξ²-η² (11)

式中γ为不均匀平面波沿传播方向的波数；

则式(10)化为：

当ζ＝±γ时，上式中对ζ积分的因子的被积函数出现极点；假设k和γ位于第四象限中，此时有ζ＝-γ，应用留数定理得到：

式(13)的物理含义是传播方向为使|z-d|增大的方向的波；这样在直角坐标系中有：

由坐标转换得到圆柱坐标系下球面波函数的索末菲积分：

式中，

和ρ为圆柱坐标系坐标轴，λ为球面波沿ρ方向的波数，

为(ξ,η,ζ)转换到圆柱坐标系下的点在z＝0平面的投影点与O的连线和x轴正半轴的夹角；则有：

进行直角坐标系到圆柱坐标系的变换，微分面积也随之变化，由dξdη变为

如果有

则有：

已知零阶贝塞尔函数的积分表达式为

式中，J为贝塞尔函数，其下标“0”为贝塞尔函数的阶数0；将式(16)代入式(14)，应用式(17)(18)得：

即球面波函数已经用索末菲积分的形式进行了表示；

步骤2：根据海面下偶极子的极化方向和类型得到电偶极子和磁偶极子的辐射场公式；

步骤2-1：求解垂直极化方向的电偶极子的辐射场；

将求解垂直电偶极子的辐射场公式的问题置于圆柱坐标系内解决；取一圆柱坐标系ρ,

z，令海平面为z＝0的坐标面，z轴垂直向下为正；O为原点，ρ是场点距点源的水平距离，

是场点在z＝0平面的投影点与O的连线和x轴正半轴的夹角，k、ε、σ分别是所在区域的相位常数、介电常数和电导率；区域1是指海平面之下的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“1”；区域2是指海平面之上的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“2”；

在此问题当中，矢量磁位只有z分量；在区域1中，矢量磁位满足非齐次亥姆霍兹方程：

式中A为矢量磁位，I为电偶极子的电流，μ₀为真空中的磁导率，dl为电偶极子长度的微分；求得式(20)的特解为：

其中，r₁表示场点与垂直电偶极子的空间距离：

由式(19)，改写式(21)为：

其中，λ是球面波沿着ρ的方向传播的波数；γ₁则是其沿着z轴传播的波数：

由于海水与空气之间存在分界面，因此区域1中的矢量磁位在式(21)之外再加上齐次标量亥姆霍兹方程

的通解：

式中，A(λ)为待定系数；同样地，式(21)和式(24)均与方位角无关；

区域1中的矢量磁位即为：

海面之上不存在点源，区域2中的矢量磁位满足齐次标量亥姆霍兹方程，用式(26)表示：

式中，B(λ)为待定系数；

式(26)被看作由海水中的垂直电偶极子透过海空分界面所产生的矢量磁位；式中的指数取正，因为区域2中z为负值；

待定系数A(λ)和B(λ)由下面的边界条件得出：

海水和空气两种介质的导磁系数都等于μ₀；将式(25)和式(26)代入式(27)和式(28)，由于积分式相等，因此被积分的函数和积分后的数值也相等，这里由被积分的函数相等得到：

式(25)中的第二项包含指数因子|z-d|，在0≤z≤d的范围内，由于|z-d|≤0，所以对该式进行求导时，第二项要乘以jγ₁而不是-jγ₁；

为了简化，令：

则得到：

进而得到A_1z和A_2z：

接下来求电磁场各分量；因为矢量磁位与方位角无关，所以电场分量只包含径向分量

和垂直分量

磁场分量中只包含方位角磁场

将式(35)和式(36)应用在式(37)-(39)中，可得垂直电偶极子在区域1内的电磁场为：

式(40)第一项中“±”的含义为：0≤z≤d时是“-”号，z>d时是“+”号；

同样地，得到垂直电偶极子在区域2内的电磁场为：

步骤2-2：再求水平极化方向的电偶极子的辐射场；

取一直角坐标系，使海平面与xoy面重合，z轴垂直向下为正；设有一水平电偶极子位于坐标(0，0，d)处，极化方向为x方向；

在有边界的模型中求解水平电偶极子的电磁场时，假定同时存在平行于场源和垂直于边界的矢量磁位；水平电偶极子所处的区域1的水平矢量磁位A_1x和区域2内的水平矢量磁位A_2x分别是非齐次标量亥姆霍兹方程和齐次标量亥姆霍兹方程的解：

将式(19)代入式(46)得：

待定系数A(λ)和B(λ)由边界条件决定：

解得：

其中：

M＝γ₁+γ₂ (53)

区域1和区域2内的垂直矢量磁位均为齐次标量亥姆霍兹方程的解；垂直矢量磁位的边界条件为：

式(56)中存在矢量磁位的水平分量对x的偏导数，在对矢量磁位求偏导时，已知有：

在式(57)-(60)中，

贝塞尔函数的递推关系式：

由式(57)知，垂直矢量磁位中应包含

从而得：

其中包含系数a₁(λ)和b₁(λ)，将水平矢量磁位和垂直矢量磁位一同代入边界条件公式中，得：

将系数a₁(λ)和b₁(λ)再代入式(62)与式(63)，得

至此，得到了矢量磁位的水平分量与垂直分量，它们各自产生的电磁场在经过线性叠加后求得区域1和区域2内的总的电磁场；

海面下水平电偶极子在区域1内的电磁场为：

同样地，得到海面下水平电偶极子在区域2内的电磁场为：

步骤2-3：采用与求解电偶极子相同的方法求解磁偶极子的辐射场公式，结果为：

海面下垂直磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下垂直磁偶极子在区域2内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域2内的电磁场为

步骤3：计算积分，将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合，按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间；

步骤3-1：将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合；

在圆柱坐标系下，海面附近偶极子的电磁场公式中包含的索末菲型积分的形式综合为：

式中，f(...)是会随偶极子类型和电磁场分量变化而变化的代数式，包含三个参数；J_l(...)表示贝塞尔函数，因此它有多个零点，下标为“1”时为一阶贝塞尔函数，下标为“0”时为零阶贝塞尔函数；γ_m是不均匀平面波谱在海平面之下和海平面之上，m＝1时指海平面之下，m＝2时指海平面之上沿z轴传播的波数，且有：

步骤3-2：在进行数值积分运算时，按照贝塞尔函数的零点划分积分区间，将式(97)变为无穷级数，从而提高运算的效率和结果的精确度；

零阶贝塞尔函数的零点通过公式(99)计算得到：

式中，n表示第n个零点；将n＝1代入，得到第一个零点；将n＝2代入，得到第二个零点，依此类推；根据式(99)计算得到零阶贝塞尔函数的前十二个零点值，将该值列在表1中，同时列出了cos(x-0.25π)的零点值，即x_0,n；

表1零阶贝塞尔函数前十二个零点α_0,n的值及x_0,n的值

一阶贝塞尔函数的零点通过公式(100)计算得到：

表2中列出了一阶贝塞尔函数前十二个零点的值，同时列出了cos(x-0.75π)的零点值，即x_1,n；

表2一阶贝塞尔函数前十二个零点α_1,n的值及x_1,n的值

在第十二个零点之后，用式(101)代替贝塞尔函数：

那么对于零阶贝塞尔函数，式(97)改写为：

对于一阶贝塞尔函数来说，式(97)改写为：

上面两个公式中α′_0,n＝α_0,n/ρ，α′_1,n＝α_1,n/ρ，x′_0,12＝11.75π/ρ，x′_1,12＝12.25π/ρ，△＝π/ρ；

步骤4：建立海面下偶极子阵列模型，并通过坐标转换和坐标平移统一各偶极子所处的坐标系，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

步骤4-1：首先建立垂直极化方向的电偶极子二元阵的模型，两个阵元分别位于O₁和O₂处；电磁波的传播是以海面为界分为两条路径：首先是海面下的点源产生的电磁波离开辐射源传播至海水-空气界面处这条路径，这一过程由指数因子

体现；第二条路径是在海面上方空气中传播至海面上空的场点处，由指数因子

体现；此时，坐标系的原点就转移到垂直电偶极子在海平面上的投影点，即O′点；

步骤4-2：通过坐标转换和坐标平移统一两个偶极子的坐标系，基于叠加原理将它们在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

两个垂直电偶极子在场点的磁场分量H_z1和H_z2的方向是相同的，但H_ρ1和H_ρ2、

和

的方向不相同，需要进行坐标转换

对H_ρ1和H_ρ2、

和

H_z1和H_z2应用公式(104)，得到：

此时，两个偶极子在场点产生的磁场分量方向已经统一在x′、y′和z′方向，H_x1和H_x2、H_y1和H_y2、H_z1和H_z2的数值分别直接相加，即得到两个垂直电偶极子在该场点的叠加磁场的不同方向的分量；

再进行坐标平移以统一坐标系；首先设置模型的坐标系原点，设为O(0,0,0)；设在该坐标系下偶极子S₁的坐标为(-x_S1,+y_S1,+z_S1)，偶极子S₂的坐标为(+x_S2,+y_S2,+z_S2)；坐标中使用的变量均为非负值，正负由变量前的符号代表；对于S₁，要将坐标系原点由(-x_S1,+y_S1,0)平移到O点，需要向x轴正方向平移0+x_S1，向y轴正方向平移0-y_S1，体现在公式中就是

同时角度也需要变化

垂直方向上的变化体现在公式中的变量z和d中；对于S₂，需要向x轴正方向平移0-x_S2，向y轴正方向平移0-y_S2，体现在公式中就是

同时角度也需要进行变化

这样就分别将两个坐标系的原点统一到了设置的模型的坐标系原点上；

步骤5：基于步骤1到步骤4的公式推导在MATLAB环境下建立海面下偶极子辐射场分布的可视化计算平台，通过该可交互界面调整偶极子阵列阵元的类型、极化方向、分布形式、工作频率和偶极矩值，后计算得到该偶极子阵列在海水中及空气中的场分布二维伪彩图。

本发明的有益效果如下：

本发明可以方便快捷地使研究人员解决和分析海面下给定参数的低频偶极子阵列在空间中的散射问题。

附图说明

图1为本发明方法流程图。

图2为本发明方法的海平面下单个垂直电偶极子辐射模型图。

图3为本发明方法的海平面下单个水平电偶极子辐射模型图。

图4为本发明计算平台的坐标转换与坐标平移示意图。

图5为本发明计算平台内部的逻辑关系示意图。

图6为本发明计算平台界面示意图。

图7为本发明计算平台计算海面下水平电偶极子三元阵在观测面上的场分布示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

本发明解决的技术问题是：现有技术中尚未解决的计算海面下低频偶极子阵列在整个空间中的辐射场分布的问题，本发明设计一种计算海面下低频偶极子阵列辐射场分布的计算平台。

一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法，包括如下步骤：

步骤1：将海面视作平面边界，在求解海面下方偶极子产生的电磁场时，因为偶极子向外辐射的是球面波，所以需先对球面波进行处理，分解为不均匀平面波的合成，其传播方向为垂直于边界方向，也就是需要将球面波函数用索末菲积分的形式表示出来；

假设海平面为z＝0的平面，并设海面附近有一点源，其坐标为x＝0，y＝0，z＝d，则该点源激发的球面波函数表示如下：

G(x,y,z)＝e^-jkr/r

采用索末菲积分的形式进行表示：

步骤2：由于海面下偶极子产生的电磁波在透过边界面时会发生改变，所以海面下偶极子在海水中产生的电磁场和其在空气中产生的电磁场公式是不同的，需要根据偶极子的类型(电偶极子、磁偶极子)和极化方向(垂直、水平)分别求解，下面以电偶极子为例求解，磁偶极子的解因求解过程与电偶极子类似，故仅展示解，求解过程从略。

步骤2-1：求解垂直极化方向的电偶极子的辐射场；

矢量磁位方法和傅里叶变换方法都是求解海面下垂直电偶极子在空间中的电磁场的有效方法，在傅里叶变换方法中，直接波和反射波这两部分需要通过积分运算求得；而矢量磁位方法中，这两部分只需对球面波e^-jkr/r进行微分运算即可求出。并且微分运算更容易，因此采用矢量磁位法可以使推导过程简化。

得到垂直极化方向的电偶极子区域1内的电磁场为：

同样地，得到区域2内的电磁场为：

步骤2-2：再求水平极化方向的电偶极子的辐射场；

水平极化方向的海面下水平电偶极子在区域1内的电磁场为：

同样地，得到区域2内的电磁场为：

步骤2-3：采用与求解电偶极子相同的方法求解磁偶极子的辐射场公式，结果为：海面下垂直磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下垂直磁偶极子在区域2内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域2内的电磁场为

步骤3：计算积分，将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合，按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间；

步骤3-1：将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合；

在圆柱坐标系下，海面附近偶极子的电磁场公式中包含的索末菲型积分的形式综合为：

式中，f(...)是会随偶极子类型和电磁场分量变化而变化的代数式，包含三个参数，一般不会频繁地正负变化；J_l(...)表示贝塞尔函数，，是缓慢衰减的、正负交替变化的函数，因此它会有多个零点，下标为“₁”时为一阶贝塞尔函数，下标为“₀”时为零阶贝塞尔函数；γ_m是不均匀平面波谱在海平面之下和海平面之上，m＝1时指海平面之下，m＝2时指海平面之上沿z轴传播的波数，且有：

步骤3-2：在进行数值积分运算时，按照贝塞尔函数的零点划分积分区间，将式(97)变为无穷级数，从而提高运算的效率和结果的精确度；

零阶贝塞尔函数的零点通过公式(99)计算得到：

式中，n表示第n个零点；将n＝1代入，得到第一个零点；将n＝2代入，得到第二个零点，依此类推；根据式(99)计算得到零阶贝塞尔函数的前十二个零点值，将该值列在表1中，同时列出了cos(x-0.25π)的零点值，即x_0,n；一阶贝塞尔函数的零点通过公式(100)计算得到：

表2中列出了一阶贝塞尔函数前十二个零点的值，同时列出了cos(x-0.75π)的零点值，即x_1,n；

在第十二个零点之后，用式(101)代替贝塞尔函数：

那么对于零阶贝塞尔函数，式(97)改写为：

对于一阶贝塞尔函数来说，式(97)改写为：

上面两个公式中α′_0,n＝α_0,n/ρ，α′_1,n＝α_1,n/ρ，x′_0,12＝11.75π/ρ，x′_1,12＝12.25π/ρ，△＝π/ρ；

步骤4：建立海面下偶极子阵列模型，并通过坐标转换和坐标平移统一各偶极子所处的坐标系，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

步骤4-1：首先建立垂直极化方向的电偶极子二元阵的模型，如图4所示。两个阵元分别位于O₁和O₂处。根据索末菲积分式，柱坐标系下垂直电偶极子在区域2内产生的电磁场各个分量在步骤二中都已经求出。为了使积分更为简便，所以在求解海面下偶极子的电磁场公式时均在圆柱坐标系内进行。根据得到的电磁场公式可以看出，电磁波的传播是以海面为界分为两条路径：首先是海面下的源点产生的电磁波离开辐射源传播至海水-空气界面处这条路径，这一过程可以由公式中的指数因子所体现，即

第二条路径是在海面上方空气中传播至海面上空的场点处，公式中的指数因子

体现了这一过程。此时，坐标系的原点就可以转移到垂直电偶极子在海平面上的投影点，即O′点。因为海水和空气的电磁参数本就不同，这样处理有利于在z轴方向上简化公式，而且有利于之后探究偶极子阵列的场分布。

步骤4-2：通过坐标转换和坐标平移统一两个偶极子的坐标系，基于叠加原理将它们在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

在探究多个偶极子源的场分布时，会出现坐标系不统一的情况，因此所求出的场并不能直接相加。由图4可见，两个垂直电偶极子在场点的磁场分量H_z1和H_z2的方向是相同的，但H_ρ1和H_ρ2、

和

的方向不相同，需要进行坐标转换

对H_ρ1和H_ρ2、

和

H_z1和H_z2应用公式(104)，得到：

此时，两个偶极子在场点产生的磁场分量方向已经统一在x′、y′和z′方向，H_x1和H_x2、H_y1和H_y2、H_z1和H_z2的数值分别直接相加，即得到两个垂直电偶极子在该场点的叠加磁场的不同方向的分量；

之后再进行坐标平移以统一坐标系。首先需要设置模型的坐标系原点，设为O(0,0,0)，如图4所示，xyz坐标轴方向亦如图所示。设在该坐标系下偶极子S₁的坐标为(-x_S1,+y_S1,+z_S1)，偶极子S₂的坐标为(+x_S2,+y_S2,+z_S2)。在本段中，坐标中使用的变量均为非负值，正负由变量前的符号代表。对于S₁来说，要将坐标系原点由(-x_S1,+y_S1,0)平移到O点(与步骤二的推导过程保持一致)，需要向x轴正方向平移0+x_S1，向y轴正方向平移0-y_S1(需要注意平移量为负值，但是平移方向为y轴正方向，也就是向y轴负方向平移一段距离)，体现在公式中就是

同时角度也需要变化

垂直方向上的变化体现在公式中的变量z和d中。对于S₂来说也是如此，需要向x轴正方向平移0-x_S2，向y轴正方向平移0-y_S2，这个改变体现在公式中就是

同时角度也需要进行变化

这样就分别将两个坐标系的原点统一到了设置的模型的坐标系原点上。

步骤5：基于步骤1到步骤4的公式推导在MATLAB环境下建立海面下偶极子辐射场分布的可视化计算平台，通过该可交互界面调整偶极子阵列阵元的类型、极化方向、分布形式、工作频率和偶极矩值，后计算得到该偶极子阵列在海水中及空气中的场分布二维伪彩图。

此计算平台内部的逻辑关系如图5所示。

下面以三元偶极子阵列为例，简单介绍此计算平台的使用方法。

运行计算平台，选择左上角的菜单为“three dipoles”对三元阵列计算，操作界面如图6所示，在这里还可以选择“single dipole”对单个偶极子进行计算，但由于其操作流程与计算阵列基本一致且更简单，因此直接介绍计算阵列的操作流程。在界面左侧“Pleaseenter parameters”提示语下方的“coordinate”字样后方的三行括号内，输入三个阵元所在坐标(单位：m)(若要计算其他数量阵元的阵列，在原程序中修改即可)。接下来分别在“frequency”和“the value of Idl”字样后面填入阵列工作频率(单位：Hz)和阵元电(磁)偶极子的电(磁)流矩(单位：A·m(V·m))。在“the value of Idl”字样下方，有三个弹出式菜单，分别为偶极子类型(“Dipole type”)、极化方向(“Polarization direction”)和计算区域(“Region”)。而在计算平台界面右侧部分设置了六个坐标轴(Axes)来分别显示电磁场的六个分量：上排三个坐标轴显示电场分量，从左到右依次为：E_x、E_y、E_z；下排三个坐标轴显示磁场分量，从左到右依次为：H_x、H_y、H_z。对于水平偶极子来说，电磁场分量有六个，因此每一个坐标轴都会有数据显示，但是对于垂直偶极子来说，只有五个坐标轴会显示数据。

下面以水平电偶极子三元阵为例，展示计算平台计算结果。

输入三个偶极子源坐标为：(-300,0,100)、(300,0,100)、(0,-300,100)，工作频率f＝8Hz，Idl＝1A·m，依次选择三个弹出式菜单为“electric dipole”、“horizontalpolarization”、“in sea water”，即可得到该水平电偶极子三元阵的场分布，如图7所示。

8.根据权利要求1所述的一种计算海面下低频偶极子阵列在空间中的辐射场分布的计算平台，其特征在于将偶极子向外辐射的球面波函数用索末菲积分的形式表示出来，根据海面下偶极子的极化方向和类型得到其辐射场公式，后将此辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合，并按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间来简化计算此辐射场公式得到单个偶极子在空间中的辐射场分布，而后通过坐标转换和坐标平移统一各偶极子所处的坐标系，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场，最后基于所做工作构建操作简单的、具有可交互界面的计算平台，利用此计算平台可以得到给定参数的偶极子阵列在空间中的场分布二维伪彩图。

如图1所示为本计算平台所使用的方法流程图。首先根据海面下偶极子的极化方向和类型结合索末菲积分得到其辐射场公式，然后将此辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合，并按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间来简化计算此辐射场公式得到单个偶极子在空间中的辐射场分布，而后通过坐标转换和坐标平移，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场。

如图2所示为海平面下单个垂直电偶极子辐射模型。取一圆柱坐标系ρ,

z，令海平面为z＝0的坐标面，z轴垂直向下为正。O为原点，ρ是场点距源的水平距离，

是场点在z＝0平面的投影点与O的连线和x轴正半轴的夹角，z代表场点距海平面的垂直距离，d代表源点距海平面的垂直距离。k、ε、σ分别是所在区域的相位常数、介电常数和电导率。区域1是指海平面之下的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“1”；区域2是指海平面之上的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“2”。

如图3所示为海平面下单个水平电偶极子辐射模型。取一直角坐标系，使海平面与xoy面重合，z轴垂直向下为正，圆柱坐标系亦有标注。设有一水平电偶极子位于坐标(0，0，d)处，极化方向为x方向。区域1是指海平面之下的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“1”；区域2是指海平面之上的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“2”。导磁系数都用μ₀表示。

如图4所示为坐标转换与坐标平移示意图。

如图5所示为计算平台内部的逻辑关系示意图。

如图6所示为计算平台界面示意图。

如图7所示为计算平台计算海面下水平电偶极子三元阵在观测面上的场分布示意图。

Claims (1)

1.一种海面下低频偶极子阵列辐射场分布计算平台构建方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：将海面视作平面边界，偶极子向外辐射的球面波分解为传播方向垂直于边界方向的不均匀平面波的合成，即将球面波函数用索末菲积分的形式表示；

步骤1-1：假设海平面为z＝0的平面，并设海面附近有一点源，其坐标为x＝0，y＝0，z＝d，则该点源激发的球面波函数表示如下：

G(x,y,z)＝e^-jkr/r (1)

式中j为复数单位，k为波数；r为点源到场点的距：

d为点源的z坐标；

G(x,y,z)的傅里叶变换F(ξ,η,ζ)和傅里叶变换F(ξ,η,ζ)的傅里叶逆变换如下：

式中ξ，η，ζ为傅里叶变换后的坐标；

步骤1-2：由于

故有积分恒等式：

当x的绝对值趋向于无穷时，e^-jkr/r→e^-jkx/|x|→0，由式(1)得式(5)中等号右边第一项为0；若将变量x换成y或z，所述依旧成立；

对式(5)进一步推导得到：

式中

为拉普拉斯算子；

由G(x,y,z)满足非齐次亥姆霍兹方程有：

式中δ(...)为冲激函数；

将式(7)代入式(6)并积分，得：

步骤1-3：比较式(2)和式(8)，即求得：

将式(9)代入式(3)，得逆变换：

令

γ²＝k²-ξ²-η² (11)

式中γ为不均匀平面波沿传播方向的波数；

则式(10)化为：

当ζ＝±γ时，上式中对ζ积分的因子的被积函数出现极点；假设k和γ位于第四象限中，此时有ζ＝-γ，应用留数定理得到：

式(13)的物理含义是传播方向为使|z-d|增大的方向的波；这样在直角坐标系中有：

由坐标转换得到圆柱坐标系下球面波函数的索末菲积分：

式中，

和ρ为圆柱坐标系坐标轴，λ为球面波沿ρ方向的波数，

为(ξ,η,ζ)转换到圆柱坐标系下的点在z＝0平面的投影点与O的连线和x轴正半轴的夹角；则有：

进行直角坐标系到圆柱坐标系的变换，微分面积也随之变化，由dξdη变为

如果有

则有：

已知零阶贝塞尔函数的积分表达式为

式中，J为贝塞尔函数，其下标“0”为贝塞尔函数的阶数0；将式(16)代入式(14)，应用式(17)(18)得：

即球面波函数已经用索末菲积分的形式进行了表示；

步骤2：根据海面下偶极子的极化方向和类型得到电偶极子和磁偶极子的辐射场公式；

步骤2-1：求解垂直极化方向的电偶极子的辐射场；

将求解垂直电偶极子的辐射场公式的问题置于圆柱坐标系内解决；取一圆柱坐标系ρ,

z，令海平面为z＝0的坐标面，z轴垂直向下为正；O为原点，ρ是场点距点源的水平距离，

是场点在z＝0平面的投影点与O的连线和x轴正半轴的夹角，k、ε、σ分别是所在区域的相位常数、介电常数和电导率；区域1是指海平面之下的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“1”；区域2是指海平面之上的所有空间，该区域中的物理量均带有下标“2”；

在此问题当中，矢量磁位只有z分量；在区域1中，矢量磁位满足非齐次亥姆霍兹方程：

式中A为矢量磁位，I为电偶极子的电流，μ₀为真空中的磁导率，dl为电偶极子长度的微分；求得式(20)的特解为：

其中，r₁表示场点与垂直电偶极子的空间距离：

由式(19)，改写式(21)为：

其中，λ是球面波沿着ρ的方向传播的波数；γ₁则是其沿着z轴传播的波数：

由于海水与空气之间存在分界面，因此区域1中的矢量磁位在式(21)之外再加上齐次标量亥姆霍兹方程

的通解：

式中，A(λ)为待定系数；同样地，式(21)和式(24)均与方位角无关；

区域1中的矢量磁位即为：

海面之上不存在点源，区域2中的矢量磁位满足齐次标量亥姆霍兹方程，用式(26)表示：

式中，B(λ)为待定系数；

式(26)被看作由海水中的垂直电偶极子透过海空分界面所产生的矢量磁位；式中的指数取正，因为区域2中z为负值；

待定系数A(λ)和B(λ)由下面的边界条件得出：

海水和空气两种介质的导磁系数都等于μ₀；将式(25)和式(26)代入式(27)和式(28)，由于积分式相等，因此被积分的函数和积分后的数值也相等，这里由被积分的函数相等得到：

式(25)中的第二项包含指数因子|z-d|，在0≤z≤d的范围内，由于|z-d|≤0，所以对该式进行求导时，第二项要乘以jγ₁而不是-jγ₁；

为了简化，令：

则得到：

进而得到A_1z和A_2z：

接下来求电磁场各分量；因为矢量磁位与方位角无关，所以电场分量只包含径向分量

和垂直分量

磁场分量中只包含方位角磁场

将式(35)和式(36)应用在式(37)-(39)中，可得垂直电偶极子在区域1内的电磁场为：

式(40)第一项中“±”的含义为：0≤z≤d时是“-”号，z>d时是“+”号；

同样地，得到垂直电偶极子在区域2内的电磁场为：

步骤2-2：再求水平极化方向的电偶极子的辐射场；

取一直角坐标系，使海平面与xoy面重合，z轴垂直向下为正；设有一水平电偶极子位于坐标(0，0，d)处，极化方向为x方向；

在有边界的模型中求解水平电偶极子的电磁场时，假定同时存在平行于场源和垂直于边界的矢量磁位；水平电偶极子所处的区域1的水平矢量磁位A_1x和区域2内的水平矢量磁位A_2x分别是非齐次标量亥姆霍兹方程和齐次标量亥姆霍兹方程的解：

将式(19)代入式(46)得：

待定系数A(λ)和B(λ)由边界条件决定：

解得：

其中：

M＝γ₁+γ₂ (53)

区域1和区域2内的垂直矢量磁位均为齐次标量亥姆霍兹方程的解；垂直矢量磁位的边界条件为：

式(56)中存在矢量磁位的水平分量对x的偏导数，在对矢量磁位求偏导时，已知有：

在式(57)-(60)中，

贝塞尔函数的递推关系式：

由式(57)知，垂直矢量磁位中应包含

从而得：

其中包含系数a₁(λ)和b₁(λ)，将水平矢量磁位和垂直矢量磁位一同代入边界条件公式中，得：

将系数a₁(λ)和b₁(λ)再代入式(62)与式(63)，得

至此，得到了矢量磁位的水平分量与垂直分量，它们各自产生的电磁场在经过线性叠加后求得区域1和区域2内的总的电磁场；

海面下水平电偶极子在区域1内的电磁场为：

同样地，得到海面下水平电偶极子在区域2内的电磁场为：

步骤2-3：采用与求解电偶极子相同的方法求解磁偶极子的辐射场公式，结果为：海面下垂直磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下垂直磁偶极子在区域2内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域1内的电磁场为：

海面下水平磁偶极子在区域2内的电磁场为

步骤3：计算积分，将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合，按照贝塞尔函数的零点来划分积分区间；

步骤3-1：将步骤2中得到的辐射场公式中的索末菲型积分的形式综合；

在圆柱坐标系下，海面附近偶极子的电磁场公式中包含的索末菲型积分的形式综合为：

式中，f(...)是会随偶极子类型和电磁场分量变化而变化的代数式，包含三个参数；J_l(...)表示贝塞尔函数，因此它有多个零点，下标为“1”时为一阶贝塞尔函数，下标为“0”时为零阶贝塞尔函数；γ_m是不均匀平面波谱在海平面之下和海平面之上，m＝1时指海平面之下，m＝2时指海平面之上沿z轴传播的波数，且有：

步骤3-2：在进行数值积分运算时，按照贝塞尔函数的零点划分积分区间，将式(97)变为无穷级数，从而提高运算的效率和结果的精确度；

零阶贝塞尔函数的零点通过公式(99)计算得到：

式中，n表示第n个零点；将n＝1代入，得到第一个零点；将n＝2代入，得到第二个零点，依此类推；根据式(99)计算得到零阶贝塞尔函数的前十二个零点值，将该值列在表1中，同时列出了cos(x-0.25π)的零点值，即x_0,n；

表1零阶贝塞尔函数前十二个零点α_0,n的值及x_0,n的值

一阶贝塞尔函数的零点通过公式(100)计算得到：

表2中列出了一阶贝塞尔函数前十二个零点的值，同时列出了cos(x-0.75π)的零点值，即x_1,n；

表2一阶贝塞尔函数前十二个零点α_1,n的值及x_1,n的值

在第十二个零点之后，用式(101)代替贝塞尔函数：

那么对于零阶贝塞尔函数，式(97)改写为：

对于一阶贝塞尔函数来说，式(97)改写为：

上面两个公式中α′_0，n＝α_0,n/ρ，α′_1,n＝α_1,n/ρ，x′_0,12＝11.75π/ρ，x′_1,12＝12.25π/ρ，△＝π/ρ；

步骤4：建立海面下偶极子阵列模型，并通过坐标转换和坐标平移统一各偶极子所处的坐标系，基于叠加原理将各独立源在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

步骤4-1：首先建立垂直极化方向的电偶极子二元阵的模型，两个阵元分别位于O₁和O₂处；电磁波的传播是以海面为界分为两条路径：首先是海面下的点源产生的电磁波离开辐射源传播至海水-空气界面处这条路径，这一过程由指数因子

体现；第二条路径是在海面上方空气中传播至海面上空的场点处，由指数因子

体现；此时，坐标系的原点就转移到垂直电偶极子在海平面上的投影点，即O′点；

步骤4-2：通过坐标转换和坐标平移统一两个偶极子的坐标系，基于叠加原理将它们在空间中的电磁场分布叠加得到总场；

两个垂直电偶极子在场点的磁场分量H_z1和H_z2的方向是相同的，但H_ρ1和H_ρ2、

和

的方向不相同，需要进行坐标转换

对H_ρ1和H_ρ2、

和

H_z1和H_z2应用公式(104)，得到：

此时，两个偶极子在场点产生的磁场分量方向已经统一在x′、y′和z′方向，H_x1和H_x2、H_y1和H_y2、H_z1和H_z2的数值分别直接相加，即得到两个垂直电偶极子在该场点的叠加磁场的不同方向的分量；

再进行坐标平移以统一坐标系；首先设置模型的坐标系原点，设为O(0,0,0)；设在该坐标系下偶极子S₁的坐标为(-x_S1,+y_S1,+z_S1)，偶极子S₂的坐标为(+x_S2,+y_S2,+z_S2)；坐标中使用的变量均为非负值，正负由变量前的符号代表；对于S₁，要将坐标系原点由(-x_S1,+y_S1,0)平移到O点，需要向x轴正方向平移0+x_S1，向y轴正方向平移0-y_S1，体现在公式中就是

同时角度也需要变化

垂直方向上的变化体现在公式中的变量z和d中；对于S₂，需要向x轴正方向平移0-x_S2，向y轴正方向平移0-y_S2，体现在公式中就是

同时角度也需要进行变化

这样就分别将两个坐标系的原点统一到了设置的模型的坐标系原点上；

步骤5：基于步骤1到步骤4的公式推导在MATLAB环境下建立海面下偶极子辐射场分布的可视化计算平台，通过该可交互界面调整偶极子阵列阵元的类型、极化方向、分布形式、工作频率和偶极矩值，后计算得到该偶极子阵列在海水中及空气中的场分布二维伪彩图。

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