CN115114831A - 一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法 - Google Patents

一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法 Download PDF

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CN115114831A CN202210867476.XA CN202210867476A CN115114831A CN 115114831 A CN115114831 A CN 115114831A CN 202210867476 A CN202210867476 A CN 202210867476A CN 115114831 A CN115114831 A CN 115114831A
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晏家坤
刘敏
杨新峰
周程灵
杨惠菁
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Abstract

本发明公开一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，定义电热驱动柔顺机构设计域及边界条件、初始化设计参数，采用顺序耦合方法求解电‑热‑结构多物理场结构响应，以机构的输出位移最大化为优化目标，通过引入结构指示函数，构建实相和空相材料结构最小尺寸约束函数，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型，利用移动渐近算法求解拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，最后输出最优的电热驱动柔顺机构拓扑构型；能够有效地抑制细小尺寸结构的出现，便于加工制造。

Description

一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法
技术领域
本发明涉及柔顺拓扑优化设计相关技术领域，特别涉及一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法。
背景技术
柔顺机构是一种利用自身的弹性变形来实现运动、力和能量的传递和转化的机构。柔顺机构驱动方式主要有静电、电磁、压电和电热驱动等。与其它的驱动方式相比，电热驱动柔顺机构能够在低电压作用下可以产生较大的输出位移和输出力，并且容易控制、集成加工制造等优点。因此，电热驱动柔顺机构用于进行细胞夹持、穿刺和释放等显微操作，它在生物工程显微操作领域具有广泛应用前景。
目前，电热驱动柔顺机构设计大多基于设计人员的直观感觉和经验，难以获得最优性能的电热驱动柔顺机构。采用拓扑优化方法进行电热驱动柔顺机构设计，只需给定设计域和指定输入、输出作用，在满足约束条件下寻求最佳的机构拓扑构型，且使得机构性能达到最优。然而，拓扑优化设计的电热驱动柔顺机构拓扑构型中容易存在单节点类铰链结构，使得加工制造存在一定的困难。
发明内容
为解决上述现有技术中所存在的问题，本发明提供一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，采用结构指示函数构建实相和空相材料结构的最小尺寸约束，拓扑优化设计的电热驱动柔顺机构拓扑构型的实相和空相最小特征尺寸能够满足指定尺寸约束，能够有效地抑制细小尺寸结构的出现，便于加工制造。
为了实现上述技术目的，本发明提供了一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，包括：
S1，设定电热驱动柔顺机构设计域、边界条件，将所述设计域离散成N个有限单元，定义材料参数、作用载荷大小、输出的弹簧刚度、最小尺寸控制参数和设计变量初始值；
S2，采用单元密度过滤方法对所述有限单元进行结构单元密度过滤，然后，采用Heaviside映射函数对过滤后的所述单元密度进行二次过滤，得到单元物质密度；
S3，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与所述单元物质密度之间的关系，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，获得机构结构的位移响应；
S4，以所述电热驱动柔顺机构的输出位移为优化目标，通过引入结构指示函数，构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型；
S5，根据所述电热驱动柔顺机构拓扑优化模型，计算优化目标函数和约束值，得到所述电热驱动柔顺机构的输出位移和实相、空相结构最小特征尺寸、结构体积约束的灵敏度；
S6，采用移动渐近优化算法更设计变量，求解基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则电热驱动柔顺机构拓扑优化过程结束，输出最优的电热驱动柔顺机构拓扑构型。
可选地，所述S2包括以下步骤：
S21，采用单元密度过滤方法对所述有限单元进行结构单元密度过滤，通过相邻单元密度的加权平均方法，得到过滤后的单元密度：
Figure BDA0003759177370000031
式中，
Figure BDA0003759177370000032
为单元i过滤后的单元密度；ρj为单元j的密度；vj为单元j的体积；Ωi为单元质心与单元i质心的距离不超过最小过滤半径Rmin的所有单元集合；xj为单元j中心的坐标；ω(xj)为权重函数：
Figure BDA0003759177370000033
式中，xi为单元i中心的坐标；
S22，利用Heaviside映射函数对所述过滤后的单元密度进行二次过滤，得到单元物质密度：
Figure BDA0003759177370000034
Figure BDA0003759177370000035
为单元i的单元物质密度；ηi为阈值；β为控制近似Heaviside映射函数近似程度的参数。
可选地，所述S3包括以下步骤：
S31，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与所述单元物质密度之间的关系：
Figure BDA0003759177370000036
Figure BDA0003759177370000037
Figure BDA0003759177370000041
Figure BDA0003759177370000042
为单元e的单元物质密度；σE、σT、E分别为单元e的介电常数、热传导系数和弹性模量；σE0、σT0、E0分别为充满实体材料的单元介电常数、热传导系数和弹性模量；P1、P2、P3为惩罚值，均取值为3；
S32，考虑线弹性变形范围内，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，其中，电场、热场、结构场有限元平衡方程分别表示为：
Figure BDA0003759177370000043
Figure BDA0003759177370000044
Figure BDA0003759177370000045
式中，下标E、T和S分别表示电场、热场和结构场；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure BDA0003759177370000046
表示单元的单元物质密度。
可选地，所述S4包括以下步骤：
S41，控制柔顺机构实相和空相材料结构的最小尺寸，满足下列充分条件：
Figure BDA0003759177370000047
Figure BDA0003759177370000048
式中，
Figure BDA0003759177370000049
为过滤后的单元密度；Ω1表示实相材料区域；Ω2表示空相材料区域；ηe、ηi和ηd均为阈值，分别取值为0.75、0.5和0.25；
Figure BDA00037591773700000410
为过滤后的单元密度
Figure BDA0003759177370000058
的空间梯度；x表示单元的坐标；
S42，引入所述结构指示函数，描述柔顺机构构型中的实相材料区域Ω1和空相材料区域Ω2：
Figure BDA0003759177370000051
Figure BDA0003759177370000052
式中，上标s和v分别表示实相和空相；Is和Iv分别表示为实相和空相材料区域的结构指示函数；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的内部；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的外部；对于空相材料区域的结构指示函数Iv具有相同的规律；λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径；
S43，利用所述结构指示函数构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数：
Figure BDA0003759177370000053
Figure BDA0003759177370000054
式中，Gs和Gv分别表示为实相和空相材料区域的几何约束函数；N表示有限单元的数目；i表示第i个单元；
Figure BDA0003759177370000055
为单元i过滤后的单元密度；ηe、ηd均为为阈值，分别取0.75和0.25；
S44，对所述几何约束函数进行松弛处理：
Figure BDA0003759177370000056
Figure BDA0003759177370000057
式中，
Figure BDA0003759177370000061
是一个很小的正值；
S45，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型：
Figure BDA0003759177370000062
Figure BDA0003759177370000063
Figure BDA0003759177370000064
Figure BDA0003759177370000065
Figure BDA0003759177370000066
Figure BDA0003759177370000067
Figure BDA0003759177370000068
Figure BDA0003759177370000069
式中，Uout为机构的输出位移；L为单位矢量，除了在输出位移方向的自由度为1，其他自由度方向均为0；
Figure BDA00037591773700000610
表示单元的单元物质密度；V0和V分别为优化前和优化后的机构体积，v0为充满材料的单元体积；f*为允许的体积份数；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure BDA00037591773700000611
为单元物质密度
Figure BDA00037591773700000612
的最小值，以防止刚度矩阵为非正定，取值为10-4。
可选地，所述S5包括以下步骤：
S51，求解电热驱动柔顺机构输出位移对设计变量的灵敏度；
S52、求解实相和空相结构最小特征尺寸约束的灵敏度；
S53、求解结构体积约束的灵敏度。
可选地，所述S51中所述电热驱动柔顺机构输出位移对设计变量的灵敏度为：
Figure BDA0003759177370000071
其中：
Figure BDA0003759177370000072
Figure BDA0003759177370000073
Figure BDA0003759177370000074
式中，λE、λT和λS分别为伴随矩阵矢量；Uout为机构的输出位移；vj为单元j的体积；ρi为单元i的密度；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；ωj为单元j的权重；
由于伴随矩阵矢量可为任一矢量，为了消除
Figure BDA0003759177370000075
和
Figure BDA0003759177370000076
项，λS、λT和λE分别满足以下等式：
Ksλs＝L
Figure BDA0003759177370000077
Figure BDA0003759177370000081
得到输出位移对单元物质密度的偏导为：
Figure BDA0003759177370000082
可选地，所述S52中实相和空相结构最小特征尺寸约束的灵敏度为：
Figure BDA0003759177370000083
Figure BDA0003759177370000084
其中：
Figure BDA0003759177370000085
Figure BDA0003759177370000086
Figure BDA0003759177370000087
Figure BDA0003759177370000088
Figure BDA0003759177370000089
Figure BDA00037591773700000810
实相和空相材料结构指示函数对单元物质密度的导数分别为：
Figure BDA00037591773700000811
Figure BDA00037591773700000812
其中：
Figure BDA0003759177370000091
Figure BDA0003759177370000092
式中，λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径。
可选地，所述S53中结构体积约束的灵敏度为：
Figure BDA0003759177370000093
本发明具有如下技术效果：
采用结构指示函数构建实相和空相材料结构的最小尺寸约束，拓扑优化设计的电热驱动柔顺机构拓扑构型的实相和空相最小特征尺寸能够满足指定尺寸约束，能够有效地抑制细小尺寸结构的出现，便于加工制造。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明实施例基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法的流程框图；
图2为本发明实施例中电热驱动柔顺机构设计域、作用载荷与边界条件的示意图；
图3为本发明实施例获得的电热驱动柔顺机构拓扑构型；
图4为本发明实施例获得的电热驱动柔顺机构的空间梯度；
图5为本发明实施例获得的电热驱动柔顺机构的固相拐点域；
图6为本发明实施例获得的电热驱动柔顺机构的空相拐点域。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1所示，本发明公开一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，包括：
S1，设定电热驱动柔顺机构设计域、边界条件，将设计域离散成N个有限单元，定义材料参数、作用载荷大小、输出的弹簧刚度、最小尺寸控制参数和设计变量初始值。
S2，采用单元密度过滤方法对有限单元进行结构单元密度过滤，然后，采用Heaviside映射函数对过滤后的单元密度进行二次过滤，得到单元物质密度；
S21，采用单元密度过滤方法对有限单元进行结构单元密度过滤，通过相邻单元密度的加权平均方法，得到过滤后的单元密度：
Figure BDA0003759177370000111
式中，
Figure BDA0003759177370000112
为单元i过滤后的单元密度；ρj为单元j的密度；vj为单元j的体积；Ωi为单元质心与单元i质心的距离不超过最小过滤半径Rmin的所有单元集合；xj为单元j中心的坐标；ω(xj)为权重函数：
Figure BDA0003759177370000113
式中，xi为单元i中心的坐标；
S22，为了使得单元密度值向0和1两端集中，利用Heaviside映射函数对过滤后的单元密度
Figure BDA0003759177370000114
进行二次过滤，得到单元物质密度
Figure BDA0003759177370000115
的计算公式为：
Figure BDA0003759177370000116
式中，
Figure BDA0003759177370000117
为单元i的单元物质密度；ηi为阈值；β为控制近似Heaviside映射函数近似程度的参数。
S3，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与单元物质密度之间的关系，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，获得机构结构的位移响应；
S31，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与所述单元物质密度之间的关系：
Figure BDA0003759177370000118
Figure BDA0003759177370000119
Figure BDA0003759177370000121
Figure BDA0003759177370000122
为单元e的单元物质密度；σE、σT、E分别为单元e的介电常数、热传导系数和弹性模量；σE0、σT0、E0分别为充满实体材料的单元介电常数、热传导系数和弹性模量；P1、P2、P3为惩罚值，均取值为3。
S32，考虑线弹性变形范围内，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，其中，电场、热场、结构场有限元平衡方程分别表示为：
Figure BDA0003759177370000123
Figure BDA0003759177370000124
Figure BDA0003759177370000125
式中，下标E、T和S分别表示电场、热场和结构场；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure BDA0003759177370000126
表示单元的单元物质密度。
S4，以电热驱动柔顺机构的输出位移为优化目标，通过引入结构指示函数，构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型；
为了S41，控制柔顺机构实相和空相材料结构的最小尺寸，满足下列充分条件：
Figure BDA0003759177370000127
Figure BDA0003759177370000128
式中，
Figure BDA0003759177370000131
为过滤后的单元密度；Ω1表示实相材料区域；Ω3表示空相材料区域；ηe、ηi和ηd均为阈值，分别取值为0.75、0.5和0.25；
Figure BDA0003759177370000132
为过滤后的单元密度
Figure BDA0003759177370000133
的空间梯度；x表示单元的坐标。
S42，引入两个结构指示函数，描述柔顺机构构型中的实相材料区域Ω1和空相材料区域Ω2：
Figure BDA0003759177370000134
Figure BDA0003759177370000135
式中，上标s和v分别表示实相和空相；Is和Iv分别表示为实相和空相材料区域的结构指示函数；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的内部；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的外部；对于空相材料区域的结构指示函数Iv具有相同的规律；λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径。
S43，为了满足上述充分条件，利用上述两个结构指示函数构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数：
Figure BDA0003759177370000136
Figure BDA0003759177370000137
式中，Gs和Gv分别表示为实相和空相材料区域的几何约束函数；N表示有限单元的数目；i表示第i个单元；
Figure BDA0003759177370000138
为单元i过滤后的单元密度；ηe、ηd均为为阈值，分别取0.75和0.25；
通过满足上述几何约束函数，过滤后的单元密度大于阈值ηe的单元位于拐点区域Ω1内，过滤后的单元密度小于阈值ηd的单元位于拐点区域Ω2内，从而实现电热驱动柔顺机构实相和空相材料结构的最小尺寸控制。
S44，由于非拐点区域的结构指示函数Is和Iv为非零值，导致几何约束函数Gs和Gv也为非零值，不能严格满足上述几何约束等式，因此对几何约束函数Gs和Gv进行松弛处理：
Figure BDA0003759177370000141
Figure BDA0003759177370000142
式中，
Figure BDA0003759177370000143
是一个很小的正值。
S45，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型为：
Figure BDA0003759177370000144
Figure BDA0003759177370000145
Figure BDA0003759177370000146
Figure BDA0003759177370000147
Figure BDA0003759177370000148
Figure BDA0003759177370000149
Figure BDA00037591773700001410
Figure BDA00037591773700001411
式中，Uout为机构的输出位移；L为单位矢量，除了在输出位移方向的自由度为1，其他自由度方向均为0；
Figure BDA00037591773700001412
表示单元的单元物质密度；V0和V分别为优化前和优化后的机构体积，v0为充满材料的单元体积；f*为允许的体积份数；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure BDA0003759177370000151
为单元物质密度
Figure BDA0003759177370000152
的最小值，以防止刚度矩阵为非正定，取值为10-4。
S5，根据电热驱动柔顺机构拓扑优化模型，计算优化目标函数和约束值，得到所述电热驱动柔顺机构的输出位移和实相、空相结构最小特征尺寸、结构体积约束的灵敏度；
S51，求解电热驱动柔顺机构输出位移对设计变量的灵敏度；
Figure BDA0003759177370000153
其中：
Figure BDA0003759177370000154
Figure BDA0003759177370000155
Figure BDA0003759177370000156
式中，λE、λT和λS分别为伴随矩阵矢量；Uout为机构的输出位移；vj为单元j的体积；ρi为单元i的密度；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；ωj为单元j的权重；
由于伴随矩阵矢量可为任一矢量，为了消除
Figure BDA0003759177370000161
和
Figure BDA0003759177370000162
项，λS、λT和λE分别满足以下等式：
Ksλs＝L
Figure BDA0003759177370000163
Figure BDA0003759177370000164
得到输出位移对单元物质密度的偏导为：
Figure BDA0003759177370000165
S52、求解实相和空相结构最小特征尺寸约束的灵敏度：
Figure BDA0003759177370000166
Figure BDA0003759177370000167
其中：
Figure BDA0003759177370000168
Figure BDA0003759177370000169
Figure BDA00037591773700001610
Figure BDA00037591773700001611
Figure BDA00037591773700001612
Figure BDA00037591773700001613
实相和空相材料结构指示函数对单元物质密度的导数分别为：
Figure BDA0003759177370000171
Figure BDA0003759177370000172
其中：
Figure BDA0003759177370000173
Figure BDA0003759177370000174
式中，λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径。
S53、求解结构体积约束的灵敏度：
Figure BDA0003759177370000175
S6，采用移动渐近优化算法更设计变量，求解基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则电热驱动柔顺机构拓扑优化过程结束，输出最优的电热驱动柔顺机构拓扑构型。
为了进一步验证本发明实施例基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法的有效性，以二维电热驱动柔顺机构为例进一步说明本发明。电热驱动柔顺机构设计域、边界条件及输入端输出端如图2所示，设计域尺寸为160μm×86μm，设计域的左右两端边缘固定，且在两端施加电压为7.5V，输出端弹簧刚度kout为5μN/μm，设计域离散为160×86个平面四节点单元。材料弹性模量E为1GPa，泊松比μ为0.3，电导率q为1，热导率c为1，热膨胀系数α为1×10-4，允许体积份数f*为0.25，最小过滤半径为Rmin＝6。
图3-图6分别为基于最小尺寸控制的拓扑优化设计获得的电热驱动柔顺机构拓构型、空间梯度、固相拐点域及空相拐点域图，由图3可知，实相和空相材料结构最小特征尺寸能够满足指定尺寸约束，使得电热驱动柔顺机构的最小特征尺寸得到有效控制，并且有效地避免类铰链结构出现。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (8)

1.一种基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，设定电热驱动柔顺机构设计域、边界条件，将所述设计域离散成N个有限单元，定义材料参数、作用载荷大小、输出的弹簧刚度、最小尺寸控制参数和设计变量初始值；
S2，采用单元密度过滤方法对所述有限单元进行结构单元密度过滤，然后，采用Heaviside映射函数对过滤后的所述单元密度进行二次过滤，得到单元物质密度；
S3，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与所述单元物质密度之间的关系，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，获得机构结构的位移响应；
S4，以所述电热驱动柔顺机构的输出位移为优化目标，通过引入结构指示函数，构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型；
S5，根据所述电热驱动柔顺机构拓扑优化模型，计算优化目标函数和约束值，得到所述电热驱动柔顺机构的输出位移和实相、空相结构最小特征尺寸、结构体积约束的灵敏度；
S6，采用移动渐近优化算法更设计变量，求解基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化问题，判断是否满足收敛准则，若不满足，转至步骤S2，若满足，则电热驱动柔顺机构拓扑优化过程结束，输出最优的电热驱动柔顺机构拓扑构型。
2.根据权利要求1所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S2包括以下步骤：
S21，采用单元密度过滤方法对所述有限单元进行结构单元密度过滤，通过相邻单元密度的加权平均方法，得到过滤后的单元密度：
Figure FDA0003759177360000021
式中，
Figure FDA0003759177360000022
为单元i过滤后的单元密度；ρj为单元j的密度；vj为单元j的体积；Ωi为单元质心与单元i质心的距离不超过最小过滤半径Rmin的所有单元集合；xj为单元j中心的坐标；ω(xj)为权重函数：
Figure FDA0003759177360000023
式中，xi为单元i中心的坐标；
S22，利用Heaviside映射函数对所述过滤后的单元密度进行二次过滤，得到单元物质密度：
Figure FDA0003759177360000024
Figure FDA0003759177360000025
为单元i的单元物质密度；ηi为阈值；β为控制近似Heaviside映射函数近似程度的参数。
3.根据权利要求1所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S3包括以下步骤：
S31，采用固体各向同性材料惩罚模型描述材料介电常数、热传导系数和弹性模量与所述单元物质密度之间的关系：
Figure FDA0003759177360000026
Figure FDA0003759177360000031
Figure FDA0003759177360000032
Figure FDA0003759177360000033
为单元e的单元物质密度；σE、σT、E分别为单元e的介电常数、热传导系数和弹性模量；σE0、σT0、E0分别为充满实体材料的单元介电常数、热传导系数和弹性模量；P1、P2、P3为惩罚值，均取值为3；
S32，考虑线弹性变形范围内，采用顺序耦合方法求解电-热-结构多物理有限元平衡方程，其中，电场、热场、结构场有限元平衡方程分别表示为：
Figure FDA0003759177360000034
Figure FDA0003759177360000035
Figure FDA0003759177360000036
式中，下标E、T和S分别表示电场、热场和结构场；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure FDA0003759177360000037
表示单元的单元物质密度。
4.根据权利要求1所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S4包括以下步骤：
S41，控制柔顺机构实相和空相材料结构的最小尺寸，满足下列充分条件：
Figure FDA0003759177360000038
Figure FDA0003759177360000039
式中，
Figure FDA0003759177360000041
为过滤后的单元密度；Ω1表示实相材料区域；Ω2表示空相材料区域；ηe、ηi和ηd均为阈值，分别取值为0.75、0.5和0.25；
Figure FDA0003759177360000042
为过滤后的单元密度
Figure FDA0003759177360000043
的空间梯度；x表示单元的坐标；
S42，引入所述结构指示函数，描述柔顺机构构型中的实相材料区域Ω1和空相材料区域Ω2：
Figure FDA0003759177360000044
Figure FDA0003759177360000045
式中，上标s和v分别表示实相和空相；Is和Iv分别表示为实相和空相材料区域的结构指示函数；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的内部；当Is＝1时，表明单元位于实相材料区域Ω1的外部；对于空相材料区域的结构指示函数Iv具有相同的规律；λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径；
S43，利用所述结构指示函数构建实相和空相材料结构最小尺寸的几何约束函数：
Figure FDA0003759177360000046
Figure FDA0003759177360000047
式中，Gs和Gv分别表示为实相和空相材料区域的几何约束函数；N表示有限单元的数目；i表示第i个单元；
Figure FDA0003759177360000048
为单元i过滤后的单元密度；ηe、ηd均为为阈值，分别取0.75和0.25；
S44，对所述几何约束函数进行松弛处理：
Figure FDA0003759177360000051
Figure FDA0003759177360000052
式中，
Figure FDA0003759177360000053
是一个很小的正值；
S45，建立基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化模型：
Figure FDA0003759177360000054
Figure FDA0003759177360000055
Figure FDA0003759177360000056
Figure FDA0003759177360000057
Figure FDA0003759177360000058
Figure FDA0003759177360000059
Figure FDA00037591773600000510
Figure FDA00037591773600000511
式中，Uout为机构的输出位移；L为单位矢量，除了在输出位移方向的自由度为1，其他自由度方向均为0；
Figure FDA00037591773600000512
表示单元的单元物质密度；V0和V分别为优化前和优化后的机构体积，v0为充满材料的单元体积；f*为允许的体积份数；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；
Figure FDA00037591773600000513
为单元物质密度
Figure FDA00037591773600000514
的最小值，以防止刚度矩阵为非正定，取值为10-4。
5.根据权利要求1所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S5包括以下步骤：
S51，求解电热驱动柔顺机构输出位移对设计变量的灵敏度；
S52、求解实相和空相结构最小特征尺寸约束的灵敏度；
S53、求解结构体积约束的灵敏度。
6.根据权利要求5所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S51中所述电热驱动柔顺机构输出位移对设计变量的灵敏度为：
Figure FDA0003759177360000061
其中：
Figure FDA0003759177360000062
Figure FDA0003759177360000063
Figure FDA0003759177360000064
式中，λE、λT和λS分别为伴随矩阵矢量；Uout为机构的输出位移；vj为单元j的体积；ρi为单元i的密度；KE、KT和Ks分别表示结构的整体电传导矩阵、整体热传导矩阵和整体刚度矩阵；UE、UT和Us分别表示节点的电压列阵、温度列阵和位移列阵；FE、FT和Fs分别为电压载荷列阵、温度载荷列阵和力载荷列阵；ωj为单元j的权重；
由于伴随矩阵矢量可为任一矢量，为了消除
Figure FDA0003759177360000065
和
Figure FDA0003759177360000071
项，λS、λT和λE分别满足以下等式：
Ksλs＝L
Figure FDA0003759177360000072
Figure FDA0003759177360000073
得到输出位移对单元物质密度的偏导为：
Figure FDA0003759177360000074
7.根据权利要求5所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S52中实相和空相结构最小特征尺寸约束的灵敏度为：
Figure FDA0003759177360000075
Figure FDA0003759177360000076
其中：
Figure FDA0003759177360000077
Figure FDA0003759177360000078
Figure FDA0003759177360000079
Figure FDA00037591773600000710
Figure FDA00037591773600000711
Figure FDA00037591773600000712
实相和空相材料结构指示函数对单元物质密度的导数分别为：
Figure FDA0003759177360000081
Figure FDA0003759177360000082
其中：
Figure FDA0003759177360000083
Figure FDA0003759177360000084
式中，λ取值为10-4；Rmin为最小过滤半径。
8.根据权利要求5所述的基于最小尺寸控制的电热驱动柔顺机构拓扑优化方法，其特征在于，所述S53中结构体积约束的灵敏度为：
Figure FDA0003759177360000085
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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