CN115080910B - 基于傅立叶变换的x射线调制望远镜透过率函数计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，该方法通过使用傅立叶变换对望远镜的光栅几何结构进行分析，并在傅立叶展开下计算双层光栅的积分，从而给出探测器透过率函数的解析结果；在此基础上，通过引入旋转矩阵与平移变换描述其在三维空间中的状态，进而可以分析其在各种工程条件下的表现形式。该方法相较之前普遍使用的基于数值计算及三角函数近似的方法，在计算的速度和精度上分别有不同程度的提升。最重要的是，该方法对于工程条件下的透过率函数进行精确计算的能力，是以往的方法所不具备的，在实际应用具有相当的价值。
Description
技术领域
本发明属于X射线成像望远镜技术领域，具体涉及双光栅调制X射线成像望远镜的光子透过率函数的计算。
背景技术
中国的先进天基太阳天文台上搭载的硬X射线成像望远镜(HXI)采用了空间调制成像技术，其携带有91个子准直器。每个子准直器由双层光栅组成，光栅限制了入射光的来向，通过采用不同的光栅节距与摆放角的子准直器组合，准直器能在频率空间上取到的不同波数-角度点，从而覆盖二维频率空间，在物理上完成对入射光的傅立叶变换，由子准直器后的探测单元记录入射光子数作为测量结果。后期对测量结果进行逆傅立叶变换重建图像，从而实现X射线的成像观测。
逆傅立叶变换重建图像的方法很多，包括pattern、visibility等，但无论何种方法，要实现准确重建，都需要基于准确的子准直器透过率函数来进行求解，若所采用的函数不够准确，会出现重新图像质量下降、与真实图像存在偏差甚至无法重建等情形。传统的透过率函数分析，主要是采用数值求解或通过三角函数近似，前者在求解速度上较慢，且参数改变后需要重新计算，进行误差分析耗时较长；后者则在精度上有所下降，且近似方法不适用于对复杂的工程条件进行分析。
发明内容
有鉴于此，本发明提供了一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，兼顾计算的速度与精度，能快速准确地计算复杂工程条件下的透过率函数。
为实现上述技术目的，本发明设计的技术方案为：
一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
定义描述光栅本征状态的自身坐标系为g系，设g系的三个坐标轴分别为xg、yg和zg轴，g系原点定义在光栅中心，其xg-yg平面与光栅主平面平行，xg轴与光栅中钨丝阵列的排列方向平行，yg轴与钨丝单体延伸的方向平行，zg轴垂直于xg-yg平面并指向太阳；
定义描述望远镜中探测平面状态的坐标系为探测平面系，设所述探测平面系的三个坐标轴分别为x、y和z轴，所述探测平面系的x-y平面与望远镜的探测平面重合，z轴垂直于x-y平面并指向太阳；光栅处于设计的理论位置和姿态时，中心位于探测平面系的z轴上，且主平面与探测平面系的x-y平面平行；
定义一个假设的光栅自身坐标系f系，所述f系为中间坐标系，通过一组x、y、z轴方向的空间平移能够与探测平面系重合，通过一组空间旋转变换能够与g系重合，设所述f系的三个坐标轴分别为xf、yf和zf轴
将入射光投影到x-z/xf-zf/xg-zg平面上，将其与z/zf/zg轴的夹角记为θ/θf/θg；将入射光投影到y-z/yf-zf/yg-zg平面，将其与z/zf/zg轴的夹角记为用参数对来表示入射光在各系中的入射角度，用参数对(x，y)/(xf，yf)/(xg，yg)来表示光子的入射位置；
所述计算方法的实施过程包括以下步骤：
步骤一，分析单层光栅的几何结构，给出光子在光栅中的投射长度t，在g系下，投射长度函数将其带入高能光子透过率公式/>得到单层光栅中光子的透过率函数Tg(xg，θg)，其中，λ(E)为能量E的光子的辐射长度；
步骤二，对透过率函数T(xg，θg)进行傅立叶级数展开；
步骤三，给出从f系到g系的空间旋转变换对应的旋转矩阵S(α，β，γ)，α，β，γ为空间旋转角；基于所述旋转矩阵S(α，β，γ)，求得光子的入射位置与入射角度在发生空间旋转变换前后的坐标关系；
步骤四，引入空间平移造成的坐标变换，沿着入射光方向将透过率函数投影到探测平面上，得到在探测平面系中的单层光栅的透过率函数x，y，θ，/>为探测平面系下的空间位置与入射角度；
步骤五，在傅立叶级数的形式下，在探测区域上对子准直器前、后光栅的透过率函数进行积分，得到目标的透过率函数
在上述方案的基础上，进一步改进或优选的方案还包括：
进一步的，步骤一中，光子在光栅中需要穿透的距离函数公式如下：
该函数在时成立，其中，p为光栅中相邻钨丝的节距，w为钨丝的宽度，s为相邻钨丝间的缝宽，u为光栅的厚度；
将其代入高能光子透过率公式得到：
进一步的，步骤二中，对透过率函数Tg(xg，θg)进行傅立叶级数展开，将其写成形如
或者，的傅立叶展开形式，其中：
gn(θg)为n阶展开的系数，g0(θg)即n＝0时的展开系数。
进一步的，从f系到g系的空间旋转变换为：第一步、光栅先绕自身zf轴顺时针旋转α角；第二步、光栅绕一旋转轴顺时针旋转β角；
所述旋转轴是定义在光栅自身xf-yf平面上的，且经过坐标系原点的一条轴线，设所述旋转轴与当前xf轴正方向的逆时针夹角为γ，其平面方向向量为(cosγ，sinγ)；
则所述空间旋转变换对应的旋转矩阵S为：
其中，cα＝cosα，sα＝sinα，cβ＝cosβ，sβ＝sinβ，cγ＝cosγ，sγ＝sinγ；
则步骤三中，基于所述旋转矩阵S(α，β，γ)求得光子的入射位置与入射角度在发生空间旋转变换前后的坐标关系的过程为：
先给出g系下非xg-yg平面上的点(x′g，y′g，z′g)到f系xf-yf平面的变换关系，根据旋转矩阵S，可以得到：
之后将(x′g，y′g，z′g)沿三维入射光方向向量投影到xg-yg平面的点(xg，yg，0)上，有：
最后，计算出f系下的入射光方向到g系下的入射光方向/>的变换形式：
其中，S3是矩阵S的第三行元素，S3＝(sβsα-γ sβcα-γ cβ)；
结合公式(11)、(12)和(13)，可以给出入射位置和入射角度从f系到g系下的关系：
进一步的，所述步骤四的具体过程为：
引入空间平移造成的坐标变换，并沿着三维入射光方向向量将透过率函数投影到探测平面系的x-y平面，得到：
其中，Lg是处于设计的理论位置的光栅中心到探测平面的垂直距离，x0，y0，z0为处于实际位置的光栅中心相对于其设计的理论位置在探测平面系x、y、z轴上所发生的位移；
将公式(15)带入式(14)，最终得到探测平面系到g系的关系：
将其带入傅立叶展开形式的透过率函数，即得到探测平面下的单层光栅透过率函数：
进一步的，所述步骤五的具体过程为：
在探测平面上，基于公式(5)的傅立叶展开形式，将子准直器的前、后光栅的透过率函数分别记为：
其中，带有下标t的参数表示前光栅的参数，带有下标b的参数表示后光栅的参数；
设探测器的有效探测区域为D，在区域D上对子准直器前、后光栅的透过率函数进行积分得到该子准直器的透过率函数
所述调制函数是关于m、n的级数求和式。
进一步的，作为步骤五的一个特例，当前、后光栅均为有厚度的理想无限大光栅，且参数完全相同时，将透过率函数其处理为前、后光栅在角度上的卷积，获得：
其中，θ0为子准直器的相位角，L＝Lgt-Lgb为前后光栅间距离的设计值；
将Tg的公式(4)的傅立叶展开形式代入并化简，得到：
进一步的，本发明方法还包括以下步骤：
步骤六，对于各向同性均匀分布的非平行光源与拓展光源，将其作为平行光源的线性组合来处理，将在光源发散角与光源张角下进行积分，得到非平行光下的透过率函数/>
进一步的，本发明方法还包括以下步骤：
步骤七，对上述积分形式在探测器的限制条件下进行化简，得到透过率函数的符号表达形式，已实现在工程条件下对透过率函数进行解析分析，具体过程为：
设HXI望远镜在工程条件下，满足如下假设：探测区域为半径为r的圆；前、后光栅参数相同，即ut＝ub＝u，wt＝wb＝w，st＝sb＝s和pt＝pb＝p；α与β满足小角近似；
此时，公式(19)的积分结果为：
其中，J1(x)为一阶BesselJ函数；
HXI望远镜的工程条件下，积分区域r足够大，使得与几乎为0，将其忽略，将公式(25)写为：
定义Δα＝αt-αb，L＝Lgt-Lgb，Δx＝x0t-x0b，Δy＝y0t-y0b，Δz＝z0t-z0b，将公式(27)式写为：
若拓展光源是个半径rs的圆，则对非平行光条件下的公式(24)进行同样的简化，得到：
本发明的有益效果是：
本发明采用了基于几何结构的符号计算方式，与现有方法相比，在对实际光栅进行大范围透过率函数的计算时，不需要大量算力进行数值求解即可得到同等精度；本发明方法求得的调制函数为傅立叶级数展开形式，在不需要高计算精度的情况下，可以通过限制傅立叶求和的级数来进一步加快计算速度。所以相较于现有技术，本发明的优越性在于计算方法同时具备了精度与速度，应用在X射线成像望远镜技术中，有利于提高观测图像质量和重建效率。且在进一步的技术方案中，本发明方法还能够对各种工程条件下的调制函数进行准确分析，由于给出的是函数的符号形式，可以方便地进行求导、泰勒展开等分析，这种分析能力是传统数值求解所不具备的。
附图说明
图1为本发明X射线调制望远镜透过率函数的计算流程图；
图2为g系、f系与探测平面系的定义图；
图3为g系、f系与探测平面系光线入射角的定义图；
图4为g系下的光栅参数的定义图；
图5为光栅空间旋转变换的定义图；
图6为HXI工程条件下子准直器调制因子随扭曲角的变化曲线；
图7为束流实验下存在倾角时子准直器的调制函数曲线。
具体实施方式
现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。
实施例1：
一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，具体实施过程如下。
为方便进行描述，首先定义三个不同的坐标系，分别为f系，g系与探测平面系，如附图2所示，其中：
探测平面系的x-y平面(指x轴和y轴所在的坐标系平面，下同)与HXI中所使用的LaBr探测器的探测平面重合，其z轴指向太阳；处于设计理论位置和姿态的光栅，中心位于探测平面系的z轴上，且主平面与探测平面系的x-y平面平行(或者说，理想状态下的光栅仅通过z轴方向的空间平移，即可使其自身坐标系与探测平面系重合)；所述探测平面系是用于观测与分析的坐标系，最终所有的计算都将在该坐标系下完成；
所述f系是一个为方便计算而定义的中间坐标系，为定义f系。假设单层光栅的位置与其理论位置仅有空间平移带来的偏移量而不存在空间旋转，则此时以该光栅的中心位置为原点建立f系，其三轴(xf，yf，zf)与探测平面系的三轴(x，y，z)平行，即f系可由探测平面系平移而来；
所述g系则是描述光栅本征状态(实际状态)的坐标系，连结在光栅上与光栅共同旋转，其原点定义在光栅中心，xg-yg平面与光栅主平面平行，xg轴沿着光栅中钨丝的排列方向延伸，yg轴与光栅中钨丝的方向平行，zg轴垂直于xg-yg平面并指向太阳。
实际操作中，当讨论同一光栅时，f系与g系的原点位置重合，g系是在f系的基础上追加考虑了空间旋转的影响，可由f系旋转而来。
其次，对于在下文计算中使用的相关坐标系参数进行定义。附图3中给出了在探测平面系、f系及g系下的入射光方向角的定义：将入射光投影到x-z/xf-zf/xg-zg平面，其(图中虚线)与z/zf/zg轴的夹角分别记为θ/θf/θg；将入射光投影到y-z/yf-zf/yg-zg平面，其(图中虚线)与z/zf/zg轴的夹角分别记为均定义顺时针方向为角度的正方向。以下将采用参数对/>来标记入射光的角度，同时由于在探测器中光线入射角总是满足小角近似，因此用三个坐标系下的三维向量/> 来表示该坐标系下入射光的三维方向向量。
最后，对下文中使用到的相关光栅参数进行定义。附图4中给出的是在g系中视线垂直xg-zg平面、沿yg轴正方向观测的视图。由于光栅中钨丝的走向与yg轴平行，因此在该视图下看到的是钨丝在xg-zg平面的截面。实际光栅中，钨丝沿xg向左右两侧排布直至边缘，图中为了方便只画出其中四条钨丝。定义图4中，两条钨丝同一方向侧面的距离为光栅的节距p，钨丝的宽度为丝宽w，两条钨丝的间距为缝宽s，钨丝在zg轴上的长度为光栅的厚度u，同时定义光子沿图中斜线穿过光栅的过程中，光子在钨丝中穿行的距离为透射长度t。以下为计算透过率函数的具体步骤：
步骤一，分析单层光栅的几何结构，在g系中对单层光栅进行分析：考虑到在该坐标系下，光栅在yg轴方向平移对称；同时，由于在探测器中入射角总满足小角近似，因此对入射角也有类似的对称性，因此，在g系中对光栅进行计算时，不用考虑yg与/>的影响。由此，给出入射位置(xg，yg)及入射角度/>的光子在光栅中的透射长度
该函数仅在时成立，对于分析仪器，该范围已经足够。对于能量为E的光子，其在材料中的辐射长度为λ(E)，则其对材料的透过率为/> 将上述(1)式结果代入，得到单光栅位置-角度透过率函数Tg(xg，θg)：
步骤二，对透过率函数Tg(xg，θg)进行傅立叶级数展开，将其写成形如的傅立叶展开形式，其中gn(θg)为n阶展开的系数。有时，为方便表达，也将(4)式写为：/> 其中：
步骤三，将光栅作为刚体，定义一组由f系到g系的空间旋转变换，旋转的定义见附图5：第一步、光栅先绕自身zf轴顺时针旋转α角；第二步，光栅绕定义在其自身xf-yf平面上的，经过坐标系原点，与当前xf轴正方向的逆时针夹角为γ，且平面方向向量为(cosγ，sinγ)的旋转轴，顺时针旋转β角。该空间旋转变换对应的旋转矩阵S为(定义cα＝cosα，sα＝sinα，cβ＝cosβ，sβ＝sinβ，cγ＝cosγ，sγ＝sinγ)：
考虑到工程上常用的旋转变换为欧拉角，欧拉角(αE，βE，γE)在旋转顺序为z轴-y轴-z轴下的顺时针旋转矩阵
对比(8)(9)式可得在本步骤中定义的旋转变换S与欧拉角的关系为
接下来在f系中展开分析，采用f下标的来标注f系下光子的入射位置与入射角，如附图3所示。为进行下一步计算，需要给出f系xf-yf平面坐标(xf，yf，0)到g系xg-yg平面坐标(xg，yg，0)的变换关系。为求得此关系，先给g系下非XOY平面上的点(x′g，y′g，z′g)到f系XOY平面的变换，根据旋转矩阵，可以得到：
此时，还需要将(x′g，y′g，z′g)沿三维入射光方向向量投影到xg-yg平面的点(xg，yg，0)上，注意在X射线望远镜中，入射角始终满足小角近似。有：
由于最终需要的是f系下的投影形式，这里还需要计算出f系下的入射光方向到g系下的入射光方向/>的变换形式，其中，S3是矩阵S的第三行，S3＝(sβsα-γ sβcα-γ cβ)：
结合(11)(12)(13)三式，可以给出入射位置和入射角度从f系到g系下的关系：
步骤四，引入空间平移造成的坐标变换，并沿着三维入射光方向向量 将透过率函数投影到探测平面系的x-y平面。这里用不带下标的/>来标记光子在探测平面下的入射位置与入射角(附图3)，Lg是光栅中心到探测平面的距离。得到：/>
其中，x0，y0，z0为光栅相对于其设计的理论位置在x、y、z轴上所发生的位移。将其带入步骤三中得到的表达式(14)，最终得到探测平面系到g系的关系：
因此，得到探测平面下的单层光栅透过率函数：
步骤五，在探测平面上，基于(5)的傅立叶展开形式，将子准直器的前、后光栅的透过率函数分别写成：
这里对所有出现在公式中的参数，均采用t和b的下标用于区分前后光栅，如pt为前光栅节距，z0b为后光栅在z轴上的位置偏移量，等等。设探测器的有效探测区域为D，在区域D上对前后光栅的透过率函数进行积分得到该子准直器的透过率函数(又称调制函数)
这里，调制函数是关于m、n的级数求和式，m与n数学含义相同，表现形式不同是用于区别前、后光栅的参数。
实施例2：
在实施例1的基础上，本实施例是作为步骤五的一个特例，考虑前后光栅均为有厚度的理想无限大光栅，且参数完全相同、不存在空间平移旋转等特殊情形，此时由于光栅在方向上的平移对称性，只需要考虑θg方向上的透过率函数P(θg)，同时由于光栅的周期性，只需要处理一个节距上的积分，此时可以将公式(19)处理为前后光栅在角度上的卷积，有
其中，θ0为子准直器的相位角，L＝Lgt-Lgb为前后光栅间距离的设计值。
将Tg的级数展开形式(4)代入并化简，得到：
实施例3：
在实施例1或实施例2的基础上，本实施例基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法还包括以下步骤：
步骤六，对于各向同性均匀分布的非平行光源与拓展光源，将其作为平行光源的线性组合来处理，首先考虑非平行光的点源：在平行光下，对于任意探测平面坐标(x，y)，其对应的入射角均是但对于角度分布均匀的发散光，在(x，y)处的入射角为其中l是光源到探测器系统的距离；在此基础上，再考虑强度均匀分布的发散源，将其处理为多个点源的复合：对于位置在源上(xs，ys)处的非平行光源，其在探测平面(x，y)位置处的入射角/>
此时，在公式(19)中，用替代坐标/>将拓展源分布区域记作ds，可得非平行光下的调制函数/>
实施例4：
在实施例1、2或3的基础上，本实施例基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法包括以下步骤：
步骤七，对公式(19)的积分形式在探测器的限制条件下进行化简；
首先讨论积分在HXI的工程条件下，满足如下假设：探测区域为半径为r的圆；上下光栅参数相同，即ut＝ub＝u，wt＝wb＝w，st＝sb＝s和pt＝pb＝p；α与β满足小角近似；此时，(19)式的积分结果为：/>
其中，J1(x)为一阶BesselJ函数；
注意到在HXI的工程条件下，积分区域r足够大，使得与几乎为0，可以被忽略，从而(25)式可以被写为：
定义Δα＝αt-αb，L＝Lgt-Lgb，Δx＝x0t-x0b，Δy＝y0t-y0b，Δz＝z0t-z0b，则(27)式可以被写成：
假设拓展光源是个半径rs的圆，则对非平行光条件下的(24)式进行同样的简化，得到：
举例如下：
一)分析HXI条件下子准直器扭曲角对调制函数造成的影响。在该情形下，可以认为β＝0，L+Δz≈L，则此时(28)式的调制函数可以进一步近似为：/>
这里给出该情形下对应的参数：p＝36μm，s＝20μm，w＝16μm，u＝1000μm，L＝1190mm，r＝11mm，β＝0。在此条件下，当扭曲角Δα较大(达到角分量级)时，对高阶项的压制非常显著，当n＞1时高阶项几乎消失，于是(30)式可以有近似：
该式描述了当扭曲角达到角分量级时调制函数的行为。附图6给出了的曲线，从结果可以看出，当Δα小于一角分时，对调制曲线的影响可以忽略。
二)计算束流实验下存在倾角时子准直器的调制函数。在该情形下，可以认为Δα＝0，αh＝0，L+Δz≈L，则此时(29)式的调制函数可以进一步近似为：
这里给出该情形下对应的参数：p＝36μm，s＝20μm，w＝16μm，u＝1000μm，L＝35mm，l＝26m，R＝10mm，rs＝0.2mm，α＝0，γ＝π/2。将该组参数带入上式，在附图7中给出β＝15角分(上)/30角分(下)时的调制函数曲线。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
定义描述光栅本征状态的自身坐标系为g系，设g系的三个坐标轴分别为xg、yg和zg轴,g系原点定义在光栅中心，其xg-yg平面与光栅主平面平行，xg轴与光栅中钨丝阵列的排列方向平行，yg轴与钨丝单体延伸的方向平行，zg轴垂直于xg-yg平面并指向太阳；
定义描述望远镜中探测平面状态的坐标系为探测平面系，设所述探测平面系的三个坐标轴分别为x、y和z轴，所述探测平面系的x-y平面与望远镜的探测平面重合，z轴垂直于x-y平面并指向太阳；光栅处于设计的理论位置和姿态时,中心位于探测平面系的z轴上，且主平面与探测平面系的x-y平面平行；
定义一个假设的光栅自身坐标系f系，所述f系为中间坐标系，通过一组x、y、z轴方向的空间平移能够与探测平面系重合，通过一组空间旋转变换能够与g系重合，设所述f系的三个坐标轴分别为xf、yf和zf轴；
将入射光投影到x-z/xf-zf/xg-zg平面上，将其与z/zf/zg轴的夹角记为θ/θf/θg；将入射光投影到y-z/yf-zf/yg-zg平面，将其与z/zf/zg轴的夹角记为用参数对来表示入射光在各系中的入射角度，用参数对(x,y)/(xf,yf)/(xg,yg)来表示光子的入射位置；
所述计算方法的实施过程包括以下步骤：
步骤一，分析单层光栅的几何结构，给出光子在光栅中的投射长度t，在g系下，投射长度函数将其带入高能光子透过率公式/>得到单层光栅中光子的透过率函数Tg(xg,θg)，其中，λ(E)为能量E的光子的辐射长度；
步骤二,对透过率函数T(xg,θg)进行傅立叶级数展开；
步骤三,给出从f系到g系的空间旋转变换对应的旋转矩阵S(α,β,γ)，α,β,γ为空间旋转角；基于所述旋转矩阵s(α,β,γ)，求得光子的入射位置与入射角度在发生空间旋转变换前后的坐标关系；
步骤四，引入空间平移造成的坐标变换，沿着入射光方向将透过率函数投影到探测平面上，得到在探测平面系中的单层光栅的透过率函数x,y,θ,/>为探测平面系下的空间位置与入射角度；
步骤五，在傅立叶级数的形式下，在探测区域上对子准直器前、后光栅的透过率函数进行积分，得到目标的透过率函数
2.根据权利要求1所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于，
步骤一中，光子在光栅中需要穿透的距离函数公式如下：
该函数在时成立，其中，p为光栅中相邻钨丝的节距，w为钨丝的宽度，s为相邻钨丝间的缝宽，u为光栅的厚度；
将其代入高能光子透过率公式得到：
。
3.根据权利要求2所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
步骤二中，对透过率函数Tg(xg,θg)进行傅立叶级数展开，将其写成形如
或者，的傅立叶展开形式，其中：
gn(θg)为n阶展开的系数，g0(θg)即n＝0时的展开系数。
4.根据权利要求3所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
从f系到g系的空间旋转变换为：第一步、光栅先绕自身zf轴顺时针旋转α角；第二步、光栅绕一旋转轴顺时针旋转β角；
所述旋转轴是定义在光栅自身xf-yf平面上的，且经过坐标系原点的一条轴线，设所述旋转轴与当前xf轴正方向的逆时针夹角为γ，其平面方向向量为(cosγ,sinγ)；
则所述空间旋转变换对应的旋转矩阵S为：
其中，cα＝cosα,sα＝sinα,cβ＝cosβ,sβ＝sinβ,cγ＝cosγ,sγ＝sinγ；
则步骤三中，基于所述旋转矩阵S(α,β,γ)求得光子的入射位置与入射角度在发生空间旋转变换前后的坐标关系的过程为：
先给出g系下非xg-yg平面上的点(x'g,y'g,z'g)到f系xf-yf平面的变换关系，根据旋转矩阵S，可以得到：
之后将(x'g,y'g,z'g)沿三维入射光方向向量投影到xg-yg平面的点(xg,yg,0)上，有：
最后，计算出f系下的入射光方向到g系下的入射光方向/>的变换形式：
其中，S3是矩阵S的第三行元素，S3＝(sβsα-γ sβcα-γ cβ)；
结合公式(11)、(12)和(13)，可以给出入射位置和入射角度从f系到g系下的关系：
。
5.根据权利要求4所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于，步骤四的具体过程为：
引入空间平移造成的坐标变换，并沿着三维入射光方向向量将透过率函数投影到探测平面系的x-y平面，得到：
其中，Lg是处于设计的理论位置的光栅中心到探测平面的垂直距离，x0,y0,z0为处于实际位置的光栅中心相对于其设计的理论位置在探测平面系x、y、z轴上所发生的位移；
将公式(15)带入式(14)，最终得到探测平面系到g系的关系：
将其带入傅立叶展开形式的透过率函数，即得到探测平面下的单层光栅透过率函数：
6.根据权利要求5所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于，所述步骤五的具体过程为：
在探测平面上，基于公式(5)的傅立叶展开形式，将子准直器的前、后光栅的透过率函数分别记为：
其中，带有下标t的参数表示前光栅的参数，带有下标b的参数表示后光栅的参数；
设探测器的有效探测区域为D，在区域D上对子准直器前、后光栅的透过率函数进行积分得到该子准直器的透过率函数
所述调制函数是关于m、n的级数求和式。
7.根据权利要求6所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
当前、后光栅均为有厚度的理想无限大光栅，且参数完全相同时，将透过率函数其处理为前、后光栅在角度上的卷积，获得：
其中，θ0为子准直器的相位角，L＝Lgt-Lgb为前后光栅间距离的设计值；
将Tg的公式(4)的傅立叶展开形式代入并化简，得到：
。
8.根据权利要求6所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于，还包括以下步骤：
步骤六，对于各向同性均匀分布的非平行光源与拓展光源，将其作为平行光源的线性组合来处理，将在光源发散角与光源张角下进行积分，得到非平行光下的透过率函数/>
9.根据权利要求8所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于，还包括以下步骤：
步骤七，对上述积分形式在探测器的限制条件下进行化简，得到透过率函数的符号表达形式，已实现在工程条件下对透过率函数进行解析分析，具体过程为：
设HXI望远镜在工程条件下，满足如下假设：探测区域为半径为r的圆；前、后光栅参数相同，即ut＝ub＝u，wt＝wb＝w，st＝sb＝s和pt＝pb＝p；α与β满足小角近似；
此时，公式(19)的积分结果为：
其中，J1(x)为一阶BesselJ函数；
HXI望远镜的工程条件下，积分区域r足够大，使得与几乎为0，将其忽略，将公式(25)写为：
定义Δα＝αt-αb，L＝Lgt-Lgb，Δx＝x0t-x0b，Δy＝y0t-y0b，Δz＝z0t-z0b，将公式(27)式写为：
。
10.根据权利要求9所述的一种基于傅立叶变换的X射线调制望远镜透过率函数计算方法，其特征在于：
若拓展光源是个半径rs的圆，则对非平行光条件下的公式(24)进行同样的简化，得到：
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| US7602509B1 (en) * | 2008-03-18 | 2009-10-13 | Kla-Tencor Corporation | Method for selecting optical configuration for high-precision scatterometric measurement |
| CN108828901A (zh) * | 2018-06-22 | 2018-11-16 | 北京理工大学 | 一种全视场高数值孔径成像系统偏振像差在线检测方法 |
| CN112508904A (zh) * | 2020-12-02 | 2021-03-16 | 长春理工大学 | 基于bp神经网络的拼接型望远镜平移像差检测方法 |
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Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 太阳硬X射线成像望远镜模拟研究;滕藤;伍健;常进;;天文学报;20110715(04);全文 * |
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