CN114970339A - 数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于计算力学领域，提供一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，该方法使用奇异值分解方法和强秩揭示正交三角分解方法提取隐藏在数据集中的本征线性结构，提高了从观测数据提取非线性偏微分方程算法的计算效率、准确度和鲁棒性。本发明通过设计奇异值过滤的算法，对数据矩阵进行反复缩减并计算矩阵的奇异值，可以有效识别控制方程的个数并提取有关项。采用强秩揭示正交三角分解方法为每个控制方程设置左端项，并通过奇异值分解和最小二乘法有效识别控制方程组的最简形式。本发明所提出的方法作为一种新的控制方程数据驱动识别方法，借助高效的矩阵分解技术，快速准确，并且可以通过编写简单循环程序实现，降低了数值实施复杂度。
Description
技术领域
本发明属于计算力学领域，具体涉及一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法。
背景技术
科学研究试图从观察到的现象和测量得到的数据中总结归纳出一定的规律，以此来理解、预测并控制各种系统的演化。这种数据驱动的科学范式被广泛使用于自然科学和人文科学领域：如根据量子力学基本方程计算出较为精确的结果，然后数据驱动地拟合分子之间的相互作用势，从而为更大尺度的分子模拟提供等效模型；根据统计得到的感染数据来标定并优化传染病扩散的数学模型等。基于数据驱动的研究范式目前在科学研究中占据重要地位，成为继理论、实验之后支撑科学发展的第三大支柱。
现实中的系统往往是非常复杂的，系统在不同尺度会涌现出不同的规律，并且包含大量的非线性行为，换言之，复杂的非线性现象在实际应用场景中广泛存在。传统的建模方法尽管对线性系统的建模非常有效，但是对非线性系统的识别存在很大局限。因此，发展适用场景广泛、快速高效的数据驱动系统识别方法尤为重要。
一些具有代表性的非线性系统识别方法近年来被相继提出，如符号回归、深度学习等。这些方法在突破线性模型的限制上做出了尝试，然而目前仍存在问题：它们需要人为地预先提供结构化的先验知识，才能进行有监督地学习。此外，符号回归在处理较多的变量数目和函数库数目时，会陷入局部最优以及面临过拟合的问题；以神经网络为代表的深度学习技术在拟合变量之间非线性关系的能力上占据优势，然而深度学习的可解释性依旧是目前学术界没有攻克的难题，数据驱动得到的结果难以被显式地表达，从而限制了人们的理解和进一步利用。上述问题的存在，使得非线性系统的数据驱动识别目前仍然存在很大的挑战，具有重要的研究价值。
研究表明，稀疏学习是一种非线性系统建模的有效方法，其通过将稀疏向量的范数加入到优化目标函数中，从而能解决构建非线性函数库面临的维数暴增所带来的矩阵病态问题。Brunton等人于2016年首次将稀疏学习引入到动力系统的方程识别当中(SINDy)：对于各个观测量的时间序列数据，使用给定的非线性基函数组成数据矩阵，并使用最小绝对收缩选择算子、阈值最小二乘法等稀疏学习算法寻找稀疏解，以平衡拟合精度与方程复杂程度之间的矛盾。然而该方法必须预先人为设定控制方程的个数以及为每个方程指定左端项，从而限制了方法的应用场景。本发明将借鉴其构建非线性函数库并识别稀疏模型的思想，把依赖于先验知识的有监督学习范式转变为不依靠先验知识、自动化的无监督学习，从而使得方法的应用场景能够扩展至控制方程个数和方程各项完全未知的偏微分方程组的识别问题。
为了能够从数据集中准确地识别微分方程的个数和方程组中存在的所有非线性项，本发明创新性地设计了一套奇异值过滤的算法流程，通过迭代实施奇异值分解方法来识别隐藏在数据集中的本质属性。奇异值分解(SVD)是一种矩阵分解技术，主要用于矩阵的特征分解和降维。其作为很多机器学习算法的基石，能够处理模式识别、数据压缩、信号降噪等问题，并且应用于推荐系统、自然语言处理等机器学习领域。奇异值分解是谱分析理论在任意矩阵上的推广，其主要功能是在平方意义下寻找最为线性无关的一组正交向量，从而张成初始矩阵的原象。因此，奇异值分解具有寻找大数据中隐藏的本征线性结构和计算矩阵的低秩近似的能力。依据各个奇异值的大小关系，算法可以自动判断矩阵中各个模态所占的比重，从而识别控制方程的个数，而不依赖人为的预先设定。
为了确定每个方程的最简形式，使其在拟合精度与方程复杂度之间做出平衡，本发明拟采用处理列子集选择问题的代表性算法：强秩揭示正交三角分解(sRRQR)方法。由于假设存在的非线性函数库会存在大量冗余，随意选取方程的左端项进行回归将无法得到正确的结果。要设计方法使其能够实现自动识别，则这一组左端项应该满足两个条件：一是它们之间不应存在线性相关关系；二是它们应是某种范数意义下最能代表剩余列的一组基向量。这对应线性代数中的列子集选择问题(CSSP)，或称为内插分解(ID)。其中，sRRQR在满足上述两个条件的同时，具有较低的计算复杂度，能够保证方法的效率。
目前，对于非线性微分方程组的无监督数据驱动识别的研究还处于发展阶段，计算成本高、依赖先验知识、可解释性差等问题尚未被解决。因此，本发明将提出一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，结合快速高效的先进数值方法，设计鲁棒性强、适用广泛的算法流程，为非线性系统的数据驱动识别提供一种行之有效的途径。
发明内容
本发明要解决的技术问题：本发明基于矩阵的奇异值分解技术，并结合强秩揭示正交三角分解方法，针对非线性系统的数据驱动建模设计算法流程，创新性地提出了一种序列奇异值过滤方法(Sequential singular value filtering method，简称Seq-SVF)，其目的在于解决现有技术存在的以下问题：采用奇异值分解克服现有方法需要预先人为设定方程个数的缺点；采用强秩揭示正交三角分解克服现有方法对控制方程结构化先验知识的依赖，使得该方法能够突破其只能应用于动力系统的局限，从而将应用场景扩展到形式完全未知的微分方程组的数据驱动识别问题中；设计自动化的奇异值筛选流程来滤去非线性函数库中的冗余项，减少了矩阵分解的计算复杂度，提高了识别结果的泛化能力。
本发明的技术方案：
数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法(Seq-SVF),
为了准确发现隐藏在观测数据背后的数学规律，提高计算结果的效率与精度，本发明将设计一套基于奇异值分解方法和强秩揭示正交三角分解方法的算法流程，从测量数据中无监督地提取非线性控制方程组，提供了一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，具体步骤如下：
首先，给出序列奇异值过滤方法识别偏微分方程组的基本格式。对于一个在n维的时空坐标(t x1 x2…xb-1)下，由m个变量(u1 u2…um)组成的系统，设该系统由一组微分方程控制：
将方程中所有可能存在的项罗列出来，如式(2)所示：
其中
为待定系数。设采样点的数量为M，式(2)应在所有采样点上处处成立，即：
其中X1～XN代表所有假设存在的项，包括高阶导数和非线性项，因此可以根据在各个采样点处测得的变量值，通过数值计算得到数据矩阵A所有元素的大小。本发明的目标是求解式(3)中的系数矩阵Λ：识别控制方程的个数P，并计算待定系数
的值，同时使每一列系数向量尽可能稀疏。
接着，使用奇异值分解方法来确定控制方程的个数，并过滤掉函数库中冗余的项。式(3)表明，由于控制方程的存在，使得数据矩阵分布A在低维的子空间上，而不是整个N维空间：对于P个控制方程控制的系统，控制方程会对数据集产生P维的约束，使得矩阵分布在N-P维的子空间上。本发明使用奇异值分解方法提取出P的值。奇异值分解的功能是将M×N的矩阵A分解为正交矩阵U,V和对角矩阵∑的乘积：
A＝U∑VT (4)
由于采样点个数M远大于函数库的规模N，将上式展开有：
其中σ1,σ2,…,σN称为A的奇异值，满足σ1≥σ2≥…≥σN≥0。当A不是满秩矩阵时，即rank(A)＜N，此时A的奇异值只有前rank(A)个非零，即：σrank(A)+1＝σrank(A)+2＝…＝σN＝0。此时得到约化的奇异值分解：
测量数据会受到噪声的影响，并且数值微分也会带来难以避免的数值误差，导致实际的数据矩阵A并不是完全亏秩的，是一个近似奇异的病态矩阵。此时后N-rank(A)个奇异值的大小不严格等于0，是与前面奇异值相比的小量，它们的大小关系取决于噪声的量级大小。当噪声控制在一定范围时，A的后N-rank(A)个奇异值会远小于前面的奇异值，即σrank(A)+1,σrank(A)+2,…,σN＜＜σrank(A)。基于上述原理，本发明通过判断矩阵的小奇异值的数量来确定控制方程的个数，N-rank(A)即为P的大小。此外，为了防止各项的数量级相差过大对计算结果造成影响，本发明在预处理阶段对数据矩阵的每一列实施L2范数的归一化。
为了提高后续流程的计算效率和精度，本发明通过设计迭代流程，反复对数据矩阵进行缩减并实施奇异值分解，来筛选所有与控制方程相关的项。具体过程如下：依次删掉数据集矩阵中的每一列进行奇异值分解，删掉某列后如果仍然识别出了P个控制方程，说明这一列对应的项不包含在控制方程组里面；如果识别出了P-1个控制方程，说明这项存在于控制方程组里面。计算N次后可以成功筛选出N′个与控制方程有关的项，将这些项对应的列保留下来得到重构的数据集矩阵A′，以供后续步骤使用。
之后，使用强秩揭示正交三角分解(sRRQR)方法提取每个方程的左端项。在这里给出sRRQR的计算格式，对于任一矩阵A，sRRQR将其分解成式(7)形式：
其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，Q1,Q2,B,C,D分别为Q,R的子块。并满足：
σ(D)≤σQ+1(A)·q1(Q,N) (9)
|(B-1C)1～Q,1～N-Q|≤q2(Q,N) (10)
其中σ(B)是矩阵B的奇异值，Q是需要预先设定的值，q1(Q,N),q2(Q,N)具有多项式级的上界。式(10)指矩阵B-1C每个元素的大小都被限制不大于q2(Q,N)。式(7)中的Π是一个置换矩阵。在本发明中，将前面通过奇异值分解确定的矩阵的秩(rank(A))代入为Q的值(此时Q＝rank(A)＝N′-P，所以有N′-A＝P)，对缩减后的数据集矩阵A′使用sRRQR方法。根据计算得到的Π来提取A′Π的后N′-Q列在原矩阵A′中的位置信息，即找出了N′-Q个(P个)左端项在A′中的位置。
最后，使用奇异值分解方法和最小二乘法确定稀疏形式的控制方程组。确定控制方程稀疏形式的方法与用奇异值分解方法过滤函数库中冗余项的方法相同：将P个左端项分别逐个与N′-P个候选右端项组成矩阵，此时的矩阵受一个方程控制，即这个左端项对应的方程。依次删掉每个候选右端项进行奇异值分解，删掉某项后如果仍然识别出了1个控制方程，说明这一列对应的项不包含在此控制方程里面；如果识别出了0个控制方程，说明这项存在于此控制方程中。进行P(N′-P)次奇异值分解后，所有方程的左端项和右端项都已确定。使用最小二乘法计算对应系数，结果如式(11)所示：
根据上述理论推导得出的奇异值分解和强秩揭示正交三角分解方法的基本格式，嵌入到所述的迭代流程，即可实现本发明提出的序列奇异值过滤方法。结合图1所示的本发明提出的Seq-SVF方法计算循环示意图，其具体实施步骤如下，
步骤1：根据具体实例的需要设置候选函数库(设定导函数的最高阶次，乘积的最高幂次，以及其它非线性函数的形式)，根据初始数据和候选函数库计算数据矩阵，对矩阵每列实施正则化，使用奇异值分解方法识别控制方程的个数；
步骤2：根据删掉某一项后识别出的方程个数是否减少判断该项是否存在于控制方程组中，并更新数据矩阵；
步骤3：使用强秩揭示正交三角分解方法识别所有左端项在数据矩阵中的位置，并更新数据矩阵；
步骤4：依次将每个左端项与所有右端项组成矩阵，并依次删除每个右端项，根据控制方程的个数是0还是1确定该项是否存在于当前左端项对应的方程中。确定各个方程中的项之后使用最小二乘法计算各项系数。
在步骤1中，对于原始数据之外的导出项的计算，由于高阶导数的数值计算对噪声很敏感，所以在计算导出项之前对数据进行高斯滤波处理，以实现降噪功能，能够增加导出项的计算精度。
在步骤1中，为了防止各项的数量级相差过大对计算结果造成影响，本发明对数据矩阵的每一列实施L2范数的归一化。具体操作方法为将各列的所有分量平方求和后开根号，即为各列的L2范数，之后令矩阵每个元素除以该列的L2范数即可。这样归一化后的数据矩阵每列的L2范数都等于1，从而保证各列的数量级一致。
在步骤2中，奇异值分解计算结果中的有效信息为所有奇异值的大小(σ1,σ2,…,σN)，其储存在矩阵∑的对角元中。奇异值分解在各种常见的编程语言和软件中均有高度集成的内核代码(如Python，Matlab)，在编写算法时使用相关命令调用即可。
在步骤2中，通过删除数据矩阵中的各列，根据奇异值分解的结果判断该列是否存在于控制方程中。其具体实施过程使用伪代码的形式给出：
(1)初始化变量，令i＝1，k为空向量。P为矩阵A小奇异值的个数。
(2)若i≤矩阵A的列数N，开始循环；
(2.1)删掉矩阵A的第i列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi；
(2.2)如果Pi＝P-1，令k＝(ki)；否则不实施操作。令i＝i+1，返回步骤(2)继续循环。
(3)A′＝A(:,k)，即为过滤掉无关项后的数据矩阵。
在步骤3中，通过强秩揭示正交三角分解方法可以识别所有左端项在数据矩阵中的位置，其有效信息储存在置换矩阵Π中：后N′-Q列中的单位元素所处的行数即为左端项在A′中的列数，将左端项移至A′的最左侧。
在步骤4中，对每个方程各实施一次步骤2，即可在候选项中确定每个方程的稀疏模型。其具体实施过程使用伪代码的形式给出：
(1)初始化变量，令i＝1，j＝1，KP×(N′-P)＝0。其中N′为A′的列数。K中的各个元素用于记录该列对应的项是否存在于该行对应的控制方程中。
(2)若i≤P，开始循环；
(2.1)将第i个左端项和所有右端项组成矩阵，即A′i＝A′(:,(iP+1:N′))；
(2.2)若j≤N′-P，开始循环；
(2.2.1)删掉矩阵A′i的第j+1列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi,j；
(2.2.2)如果Pi,j＝0，令K(i,j)＝1；否则不实施操作。令j＝j+1，返回步骤(2.2)继续循环；
(2.3)令i＝i+1，j＝1。返回步骤(2)继续循环。
(3)输出K的值以供后续流程使用。
结合图1所示的Seq-SVF的操作流程图，本发明所提出的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法(Seq-SVF)的具体实现过程将通过如下的伪代码形式展示：
(1)对原始数据进行高斯滤波处理，并计算所有导出项的值，将其组成数据矩阵A，对各列实施L2范数的归一化。对A实施奇异值分解，小奇异值的个数计为P。
(2)初始化变量，令i＝1，k为空向量。
(2.1)若i≤矩阵A的列数N，开始循环；
(2.1.1)删掉矩阵A的第i列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi；
(2.1.2)如果Pi＝P-1，令k＝(ki)；否则不实施操作。令i＝i+1，返回步骤(2)继续循环。
(2.2)A′＝A(:,k)，即为过滤掉无关项后的数据矩阵。
(3)对A′实施强秩揭示正交三角分解方法，得到置换矩阵Π，其后N′-Q列中单位元素所处的行数即为左端项在A′中的列数，将A′中的左端项移至最左侧。
(4)初始化变量，令i＝1，j＝1，KP×(N′-P)＝0。其中N′为A′的列数。K中的各个元素用于记录该列对应的项是否存在于该行对应的方程中。
(4.1)若i≤P，开始循环；
(4.1.1)将第i个左端项和所有右端项组成矩阵，即A′i＝A′(:,(iP+1:N′))；
(4.1.2)若j≤N′-P，开始循环；
(4.1.2.1)删掉矩阵A′i的第j+1列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi,j；
(4.1.2.2)如果Pi,j＝0，令K(i,j)＝1；否则不实施操作。令j＝j+1，返回步骤(3.1.2)继续循环；
(4.1.3)令i＝i+1，j＝1，返回步骤(3.1)继续循环。
(4.2)根据K中记录的各方程对应项的信息，使用最小二乘法计算控制方程组所有项的系数。
本发明的有益效果：
采用本发明提供的技术方案与现有技术相比，具有如下显著效果：
(1)本发明提供的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，为非线性系统的数据驱动建模提供了一套简便的算法流程。将所有可能存在的高阶导数项和非线性项补充至数据集中，有效克服了传统建模方法只能识别线性系统的不足。通过采用奇异值分解、强秩揭示正交三角分解等先进的数值计算方法，保证了计算效率和结果的稳定性。与现有的基于优化范式的系统识别方法相比，能够避免结果陷入局部最优的问题。
(2)本发明提供的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，克服了现有方法过于依赖预先人为地对系统的控制方程个数和方程形式加以限制的不足，将有监督的学习范式转变为无监督的算法流程，将非线性系统识别的应用场景从动力系统拓展至由一般非线性偏微分方程组所控制的系统。使用奇异值分解技术自动识别隐藏在数据矩阵中的本征低秩结构，可以避免算法对关于控制方程个数的先验知识的依赖。使用强秩揭示正交三角分解方法可以从函数库中自动提取最具代表性的一组基底作为控制方程的右端项，避免了目前的有监督学习方法对于方程结构的先验知识的依赖。
(3)本发明提供的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，为显式提取非线性控制方程提供了一套自动化的算法流程，克服了现有的深度学习方法可解释性差的不足。创新性地设计了一套奇异值过滤流程，通过矩阵秩的变化情况判断各项与其余项的线性相关关系，能够自动排除与系统无关的干扰变量的影响，有效地确保了模型的稀疏结构，能够确保本发明的鲁棒性和泛化能力，并且为以该结果为基础的后续工作，如分析方程的物理意义和进一步的优化与数值模拟奠定了坚实基础。
附图说明
图1为本发明的一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法(Seq-SVF)的操作流程图；
图2为本发明的实施例1使用Seq-SVF识别三维梁弹性变形控制方程的流程示意图和计算结果；
图3为本发明的实施例2热力强耦合系统的(a)位移u和(b)温度T关于时间t和坐标x的变化图；
图4为本发明的实施例3使用Seq-SVF识别Lorenz系统控制方程的流程示意图和去噪前后计算结果的对比；
图5为本发明的实施例4二维不可压缩流场在(a)t＝0，(b)t＝10和(c)t＝20时位移u的原始数据云图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明的性能做出进一步详细说明。以下实施例用于说明本发明，但不能用来限制本发明的适用范围。
为了使本发明的目的、技术方案和具体实施效果展示更加清晰明了，下面通过四个具体实施例结合附图2～5对本发明提出的Seq-SVF方法的准确性和有效性作进一步的详细说明。首先，通过一个三维的经典弹性力学算例验证本发明所提出方法对准确识别高阶微分方程组的准确性和有效性。然后，通过采用热力耦合算例说明本发明提出的Seq-SVF方法识别复杂耦合问题的能力。最后，通过采用非线性动力系统和非线性微分方程控制的流场算例说明本发明提出方法识别非线性系统的能力。
实施例1：三维弹性梁复合加载下的受力变形(附图2)
本实施例为三维弹性体受力变形算例，通过在仿真软件中对弹性梁施加弯扭剪拉多种载荷，使其产生弯曲、扭转、剪切和轴向拉伸多种变形模式，如图2所示，并收集若干离散点的初始位置(x,y,z)和变形后的位置(u,v,w)作为原始数据集。弹性范围内固体的位移受一组微分方程控制：
其中
为拉普拉斯算子，λ,μ称为拉梅常数，在本实例中
将其代入式(12)并展开，为一组包含三个方程的二阶微分方程组：
Seq-SVF假设该系统包含所有0、1、2阶的导数作为函数库，即：
在添加噪声的情况下，Seq-SVF成功从30个候选函数中提取出了15个正确的项，同时将其余无关的项过滤掉，计算结果如(15)所示，各项系数的相对误差在1％以内：
此实施例有效地说明了本发明提出的序列奇异值过滤方法对识别高阶偏微分方程组的有效性和准确性。
实施例2：热力强耦合系统的数据驱动控制方程识别(附图3)
本实施例为物体的变形与温度互相影响的耦合算例。Seq-SVF作为一种无监督的偏微分方程识别方法，具有从多个变量中提取方程的能力，在识别复杂耦合微分方程问题方面具有显著优势。下面通过一个热力强耦合算例来说明序列奇异值过滤方法在处理多场问题方面的优势和必要性。如图3所示，考虑一维情况下物体位移(u)和温度的传播(T)。物体在变形过程中，弹性势能不断积累和释放，其中一部分转化为热能，会导致温度的变化；温度的变化会使得应力重新分布，从而反过来影响位移。热力强耦合的控制方程如式(16)所示，其中各物理量经过了无量纲化处理：
Seq-SVF将所有0、1、2阶的导数作为函数库，在添加噪声的情况下，识别出了正确形式的控制方程，并且各项系数的相对误差在0.5％以内，识别结果如(17)所示：
此实例强调了本发明提出的序列奇异值过滤方法对识别耦合多变量系统的有效性。
实施例3：Lorenz系统的数据驱动控制方程识别(附图4)
本实施例为非线性动力系统的验证算例。Lorenz系统是一种典型的非线性系统，在相空间内的轨迹如图4所示，其混沌吸引子具有对数值微扰的极端敏感性，因此成为非线性系统识别的一个经典算例。系统的控制方程如式(18)所示：
本发明提出的序列奇异值过滤方法将非线性函数库设为乘积形式，并将最高阶数假设至2阶，即数据矩阵为
Seq-SVF识别控制方程的流程如图4所示，可以看出导数数据的计算对噪声十分敏感，未经去噪处理的数据会导致方法得不到正确的结果。因此，此实例证明了对原始数据进行高斯滤波处理是必要并且有效的。计算得到的直接结果如(19)所示：
将各变量的一阶导数项移至左侧，以便对比计算结果与真实系数：
其中多出来的一项是由于对矩阵做线性变换所致，其系数可以小到忽略不计。该结果进一步证明了Seq-SVF方法的准确性与鲁棒性。
实施例4：由Navier-Stokes方程控制的二维不可压缩流场(附图5)
最后一个实施例将考察序列奇异值过滤方法对识别一般非线性偏微分方程的有效性。不可压缩流体的行为可以由Navier-Stokes方程来描述。二维流场的N-S方程如式(21)所示：(雷诺数为100)
u,v为位移，p为压强。当Seq-SVF没有假设非线性项在函数库中时，数据矩阵如下所示：
A＝[u,v,p,ut,ux,uy,vt,vx,vy,pt,px,py] (22)
由于数据矩阵中没有非线性项，所以没有识别出N-S方程，而是识别出了不可压缩条件：
ux+1.0064vy＝0 (23)
其理论方程中两项的系数为1。接着，在函数库中添加非线性项：
A＝[u,v,p,ut,uux,vuy,px,uxx,uyy,vt,uvx,vvy,py,vxx,vyy] (24)
Seq-SVF识别出了正确形式的控制方程，结果如(25)所示：
本实施例进一步说明了本发明提出的序列奇异值过滤方法的通用性和准确性，可以通过实际应用场景的需要合理设计非线性函数库，以求通过序列奇异值过滤方法得到预期的结果。
综上所述，我们首先通过实施三维弹性体位移驱动的偏微分方程的系统识别验证了本发明所提出的序列奇异值过滤方法Seq-SVF在高阶微分方程组的系统识别中的重要性和准确性，说明了Seq-SVF从构建数据集到过滤有关项并识别左端项，最后计算方程系数的整体流程。随后，考察固体的热力耦合算例，数据驱动地提取出了物体位移与温度变化的显式关系，有效说明了Seq-SVF面对多场耦合系统识别问题的正确性和必要性。接着，通过对非线性Lorenz系统的识别，有效说明了Seq-SVF在识别非线性动力系统问题中的准确性，并通过对比高斯滤波前后的结果说明了本方法对原始数据实施去噪处理的必要性。最后，一个由非线性微分方程组控制的二维流场系统的识别问题被考察，说明了Seq-SVF在识别一般形式的多变量非线性偏微分方程组的通用性和有效性。因此，本发明所提出的序列奇异值过滤方法Seq-SVF是一种极具发展前景的偏微分方程数据驱动识别方法。
本发明的实施例是为了示例和描述起见而给出的，而并不是无遗漏的或者将本发明限于所公开的形式。很多修改和变化对于本领域的普通技术人员而言是显而易见的。选择和描述实施例是为了更好的说明本发明的原理和实际应用，并且使本领域的普通技术人员能够理解本发明从而设计适于特定用途的带有各种修改的各种实施例。
Claims (6)
1.一种数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，步骤如下：
首先，给出序列奇异值过滤方法识别偏微分方程组的基本格式；对于一个在n维的时空坐标(t x1 x2…xn-1)下，由m个变量(u1 u2…um)组成的系统，设该系统由一组微分方程控制：
将微分方程中所有可能存在的项罗列出来，如式(2)所示：
其中，
为待定系数；设采样点的数量为M，式(2)应在所有采样点上处处成立，即：
其中，X1～XN代表所有假设存在的项，包括高阶导数和非线性项，因此根据在各个采样点处测得的变量值，通过数值计算得到数据矩阵A所有元素的大小；序列奇异值过滤方法的目标是求解式(3)中的系数矩阵A：识别控制方程的个数P，并计算待定系数
的值，同时使每一列系数向量尽可能稀疏；
接着，使用奇异值分解方法来确定控制方程的个数，并过滤掉函数库中冗余的项；式(3)表明，由于控制方程的存在，使得数据矩阵A分布在低维的子空间上，而不是整个N维空间：对于P个控制方程控制的系统，控制方程会对数据集产生P维的约束，使得数据矩阵A分布在N-P维的子空间上；使用奇异值分解方法提取出P的值；奇异值分解是将M×N的数据矩阵A分解为正交矩阵U，V和对角矩阵∑的乘积：
A＝U∑VT (4)
由于采样点个数M远大于函数库的规模N，将上式展开有：
其中，σ1，σ2，...，σN称为A的奇异值，满足σ1≥σ2≥…≥σN≥0；当A不是满秩矩阵时，即rank(A)＜N，此时A的奇异值只有前rank(A)个非零，即：σrank(A)+1＝σrank(A)+2＝…＝σN＝0；此时得到约化的奇异值分解：
测量数据会受到噪声的影响，并且数值微分也会带来难以避免的数值误差，导致实际的数据矩阵A并不是完全亏秩的，是一个近似奇异的病态矩阵；此时后N-rank(A)个奇异值的大小不严格等于0，是与前面奇异值相比的小量，它们的大小关系取决于噪声的量级大小；当噪声控制在一定范围时，A的后N-rank(A)个奇异值会远小于前面的奇异值，即σrank(A)+1，σrank(A)+2，...，σN＜＜σrank(A)；基于上述原理，通过判断矩阵的小奇异值的数量来确定控制方程的个数，N-rank(A)即为P的大小；此外，为了防止各项的数量级相差过大对计算结果造成影响，在预处理阶段对数据矩阵A的每一列实施L2范数的归一化；
为了提高后续流程的计算效率和精度，通过设计迭代流程，反复对数据矩阵进行缩减并实施奇异值分解，来筛选所有与控制方程相关的项；具体过程如下：依次删掉数据矩阵A中的每一列进行奇异值分解，删掉某列后如果仍然识别出了P个控制方程，说明这一列对应的项不包含在控制方程组里面；如果识别出了P-1个控制方程，说明这项存在于控制方程组里面；计算N次后可筛选出N′个与控制方程有关的项，将这些项对应的列保留下来得到重构的数据矩阵A′，以供后续步骤使用；
之后，使用强秩揭示正交三角分解方法sRRQR提取每个方程的左端项；给出sRRQR的计算格式，对于任一数据矩阵A，sRRQR将其分解成式(7)形式：
其中，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，Q1，Q2，B，C，D分别为Q，R的子块；并满足：
σ(D)≤σQ+1(A)·q1(Q，N) (9)
|(B-1C)1～Q，1～N-Q|≤q2(Q，N) (10)
其中σ(B)是矩阵B的奇异值，Q是需要预先设定的值，q1(Q，N)，q2(Q，N)具有多项式级的上界；
式(10)指矩阵B-1C每个元素的大小都被限制不大于q2(Q，N)；式(7)中的Π是一个置换矩阵；将前面通过奇异值分解确定的矩阵的秩rank(A)代入为Q的值，此时Q＝rank(A)＝N′-P，所以有N′-Q＝P，对缩减后的数据矩阵A′使用sRRQR方法；根据计算得到的Π来提取A′Π的后N′-Q列在原矩阵A′中的位置信息，即找出了N′-Q个即P个左端项在A′中的位置；
最后，使用奇异值分解方法和最小二乘法确定稀疏形式的控制方程组；确定控制方程稀疏形式的方法与用奇异值分解方法过滤函数库中冗余项的方法相同：将P个左端项分别逐个与N′-P个候选右端项组成矩阵，此时的矩阵受一个方程控制，即这个左端项对应的方程；依次删掉每个候选右端项进行奇异值分解，删掉某项后如果仍然识别出了1个控制方程，说明这一列对应的项不包含在此控制方程里面；如果识别出了0个控制方程，说明这项存在于此控制方程中；进行P(N′-P)次奇异值分解后，所有方程的左端项和右端项都已确定；使用最小二乘法计算对应系数，结果如式(11)所示：
根据上述理论推导得出的奇异值分解和强秩揭示正交三角分解方法的基本格式，嵌入到所述的迭代流程，即实现序列奇异值过滤方法，具体步骤如下，
步骤1：根据具体实例的需要设置候选函数库，包括设定导函数的最高阶次，乘积的最高幂次，以及其它非线性函数的形式，根据初始数据和候选函数库计算数据矩阵，对数据矩阵的每列实施正则化，使用奇异值分解方法识别控制方程的个数；
步骤2：根据删掉某一项后识别出的方程个数是否减少判断该项是否存在于控制方程组中，并更新数据矩阵；
步骤3：使用强秩揭示正交三角分解方法识别所有左端项在数据矩阵中的位置，并更新数据矩阵；
步骤4：依次将每个左端项与所有右端项组成矩阵，并依次删除每个右端项，根据控制方程的个数是0还是1确定该项是否存在于当前左端项对应的方程中；确定各个方程中的项之后使用最小二乘法计算各项系数。
2.根据权利要求1所述的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，
在步骤1中，对于原始数据之外的导出项的计算，由于高阶导数的数值计算对噪声很敏感，所以在计算导出项之前对数据进行高斯滤波处理，以实现降噪功能，能增加导出项的计算精度。
3.根据权利要求1所述的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，
在步骤1中，为了防止各项的数量级相差过大对计算结果造成影响，对数据矩阵的每一列实施L2范数的归一化；具体操作方法为将各列的所有分量平方求和后开根号，即为各列的L2范数，之后令矩阵每个元素除以该列的L2范数即可；这样归一化后的数据矩阵每列的L2范数都等于1，从而保证各列的数量级一致。
4.根据权利要求1所述的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，
在步骤2中，通过删除数据矩阵中的各列，根据奇异值分解的结果判断该列是否存在于控制方程中；其具体实施过程使用伪代码的形式给出：
(1)初始化变量，令i＝1，k为空向量；P为数据矩阵A中小奇异值的个数；
(2)若i≤数据矩阵A的列数N，开始循环；
(2.1)删掉数据矩阵A的第i列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi；
(2.2)如果Pi＝P-1，令k＝(ki)；否则不实施操作；令i＝i+1，返回步骤(2)继续循环；
(3)A′＝A(：，k)，即为过滤掉无关项后的数据矩阵。
5.根据权利要求1所述的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，
在步骤4中，对每个方程各实施一次步骤2，即可在候选项中确定每个方程的稀疏模型；其具体实施过程使用伪代码的形式给出：
(1)初始化变量，令i＝1，j＝1，KP×(N′-P)＝0；其中N′为A′的列数；K中的各个元素用于记录该列对应的项是否存在于该行对应的控制方程中；
(2)若i≤P，开始循环；
(2.1)将第i个左端项和所有右端项组成矩阵，即A′i＝A′(：，(iP+1：N′))；
(2.2)若j≤N′-P，开始循环；
(2.2.1)删掉矩阵A′i的第j+1列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi，j；
(2.2.2)如果Pi，j＝0，令K(i，j)＝1；否则不实施操作；令j＝j+1，返回步骤(2.2)继续循环；
(2.3)令i＝i+1，j＝1；返回步骤(2)继续循环；
(3)输出K的值以供后续流程使用。
6.根据权利要求1所述的数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法，其特征在于，
数据驱动识别偏微分方程的序列奇异值过滤方法Seq-SVF的具体实现过程将通过如下的伪代码形式展示：
(1)对原始数据进行高斯滤波处理，并计算所有导出项的值，将其组成数据矩阵A，对各列实施L2范数的归一化；对A实施奇异值分解，小奇异值的个数计为P；
(2)初始化变量，令i＝1，k为空向量；
(2.1)若i≤矩阵A的列数N，开始循环；
(2.1.1)删掉矩阵A的第i列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi；
(2.1.2)如果Pi＝P-1，令k＝(k i)；否则不实施操作；令i＝i+1，返回步骤(2)继续循环；
(2.2)A′＝A(：，k)，即为过滤掉无关项后的数据矩阵；
(3)对A′实施强秩揭示正交三角分解方法，得到置换矩阵Π，其后N′-Q列中单位元素所处的行数即为左端项在A′中的列数，将A′中的左端项移至最左侧；
(4)初始化变量，令i＝1，j＝1，KP×(N′-P)＝0；其中N′为A′的列数；K中的各个元素用于记录该列对应的项是否存在于该行对应的方程中；
(4.1)若i≤P，开始循环；
(4.1.1)将第i个左端项和所有右端项组成矩阵，即A′i＝A′(：，(i P+1：N′))；
(4.1.2)若j≤N′-P，开始循环；
(4.1.2.1)删掉矩阵A′i的第j+1列，做奇异值分解，计小奇异值的个数为Pi，j；
(4.1.2.2)如果Pi，j＝0，令K(i，j)＝1；否则不实施操作；令j＝j+1，返回步骤(3.1.2)继续循环；
(4.1.3)根据K中记录的各方程对应项的信息，令i＝i+1，j＝1，返回步骤(3.1)继续循环；
(4.2)使用最小二乘法计算控制方程组所有项的系数。
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|---|---|---|---|---|
| CN116010760A (zh) * | 2023-02-21 | 2023-04-25 | 北京航空航天大学 | 一种双层优化驱动的动态系统方程发现方法 |
| CN116010760B (zh) * | 2023-02-21 | 2023-06-30 | 北京航空航天大学 | 一种双层优化驱动的动态系统方程发现方法 |
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|---|---|
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