CN113240596B - 一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法及系统 - Google Patents
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Abstract
本发明属于彩色视频恢复技术领域，公开了一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法及系统，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法包括：基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；通过在张量上实施T‑SVD，定义新的张量维数秩；利用基于张量前向秩的张量核范数，并利用近端算子和ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。实验结果表明，在理论最佳参数的前提下，对于生成数据和彩色视频，HTRPCA在处理相应问题方面具有优越性，为张量准确恢复提供了理论保障。
Description
技术领域
本发明属于彩色视频恢复技术领域，尤其涉及一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法及系统。
背景技术
目前，随着数据科学和计算机硬件能力的发展，人们处理大数据量的高维张量成为可能。张量是多维数据建模的强大工具，如彩色图像，视频，高光谱图像等。对于高维数据的处理，以压缩感知和低秩矩阵为代表的传统的稀疏恢复方法恢复数据时会把高维数据展开成向量或矩阵，然后进行数据建模。然而，这种方法会破坏原始数据的多维特征，从而不可逆转地丢失相应的结构信息。张量主成分分析问题是将高维数据分解为低秩部分和稀疏部分的一种基本数据研究方法。主成分分析方法在处理轻微扰动数据时非常方便有效。然而，现实生活中的数据往往会受到较大程度的干扰，如噪声污染、部分数据丢失等。为了解决主成分分析出现的这种问题，提出了鲁棒主成分分析(RPCA)方法。观察矩阵为中的X，可组成为X＝L0+E0。在一定的假设下，通过求解下面的问题，可以高概率恢复低秩部分L0和稀疏部分E0：
这里RPCA的主要问题是它只能处理矩阵数据，对数据的维数有限制。将基于矩阵的主成分分析扩展到张量的情况需要有处理张量的有效工具。首先需要对张量的秩有一个合理的定义，秩是由张量分解的方式决定的。最常用的张量秩定义是CANDECOMP/PARAFAC(CP)秩和Tucker秩。CP秩在CP分解的基础上定义为实现CP分解的最小秩1张量的个数。然而，CP秩的精确计算已被证明是一个NP难的数学问题。Tucker秩基于Tucker分解，是由各模态矩阵秩组成的向量。2013年，Liu等人提出SNN作为Tucker秩的凸替代。然而，SNN不是Tucker秩的紧凸替代，并且SNN破坏了张量的空间结构，在实践层面仍有不少提升空间。特别的，Kilmer等将张量的维数关系作为一个整体来研究张量的奇异值分解(T-SVD)。首先对中的阶-3张量/>的管纤维进行离散傅里叶变换(DFT)。然后在傅里叶域中对张量的每个正向切片进行矩阵SVD。最后通过逆DFT得到/>在and/>是正交张量，/>是f-对角张量(每个切片是一个对角矩阵)。张量的秩定义为非零奇异管的个数。因此，把t-SVD下的张量秩称为管秩。
在Kilmer的基础上，C.Lu提出了TRPCA方法，将PCA可处理的数据维数提高到3阶，开创性地将张量的主成分分析运算与熟悉的矩阵主成分分析连接，证明了矩阵的RPCA方法是TRPCA的特殊情况。TRPCA的主要结论为：观测三阶张量可分解为在一定的假设下，通过求解下面的问题，可以高概率恢复低秩部分/>和稀疏部分ε0。
其中，张量核范数||·||*定义为的第一个正向切片的所有元素之和，其中/>通过对x取t-SVD获得。实验证明，由于保持了数据结构的完整性，直接对张量进行处理比将张量展开成低维数据更有效。TRPCA引起了人们的广泛关注，解决了许多研究问题。
由于现实生活中存在大量的高维数据(维度p大于等于4)，自然会想到将PCA方法应用到任意的p阶张量。此时主要用于处理3阶数据的TRPCA方法显得不足，尽管它能够通过将高阶转化为3阶处理，但又陷入了传统低阶方法的困境。在得到提出的p阶张量主成分分析(HTRPCA)方法时有相当多的困难：首先目前高维张量的一些基本性质仍处于研究阶段，难以给出p阶张量的具体表达式；其次，对于3阶张量，可以把它分为列、行、管或切片，然而，随着张量维数的增加，这种分解变得难以描述；再者，没有一个统一的高阶张量的运算法则，需要对算法所需的高阶张量代数框架有完整的清晰的定义。
通过上述分析，现有技术存在的问题及缺陷为：
(1)传统鲁棒主成分分析方法只能处理矩阵数据，对数据的维数有限制。
(2)现有的TRPCA方法在应用于高维数据(p≥4)时表现的效果不佳。
(3)高维张量的代数框架目前处于初步研究阶段，一些如：张量的表示、一般运算、分解等关键要素缺少统一或最优的定义。
解决以上问题及缺陷的难度为：为实现高阶鲁棒奇异值分解，需要准确地定义高阶张量的具体表达式、高阶张量之间的运算法则以及高阶张量的分解与相应的秩。
解决以上问题及缺陷的意义为：克服了维度上的限制，理论上能够对任意阶数的数据进行RPCA处理，恢复出数据中的低秩部分和稀疏误差部分，可应用于视频去噪、人脸去噪、背景建模等方面，同时为该领域的后继研究奠定基础。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法及系统。
本发明是这样实现的，一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法包括以下步骤：
步骤一，基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；其中，所述p≥3；提出HTRPCA问题所需的完整高阶张量代数框架，为后面步骤提供基础理论工具。
步骤二，根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；降低算法运行时间提高效率。
步骤三，通过在张量上实施T-SVD，定义新的张量维数秩；
步骤四，利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。步骤三和步骤四秩与基于秩的张量核范数的定义以及相关定理，为算法提供了理论保证，利用提出的算法进行相关的实验研究。
进一步，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法中，所述符号包括：
实数域和复数域分别记为R和C，用黑体欧拉字母表示张量，上标表示张量的相应维数，例如一个p阶张量可以记为矩阵用黑体大写字母表示，例如A，向量以黑体小写字母表示，例如a，用小写字母表示标量，例如a。一个阶3张量/>可以看成是矩阵的组合，称之为切片。对于任意p阶张量/>也可以看成是低维张量的组合称之为次张量通过固定一些原始张量的维数而得到。在子张量的右上角标记一个序列，例如/>这个张量显然是由/>固定它的第j维度为ij同时固定它的第k维度为ik。对高阶张量的处理一般从最后一个维度逆向一直到倒数第二个维度为止，将/>简写为特别的，/>的前向切片定义为/>它是一个二阶子张量并且可以被记为/>并且称大小为1×1×n3×…×np的子张量/>为管子张量。
A和B在上的內积定义为<A，B>＝tr(A*B)。三阶张量/>和/>在/>上的內积定义为/>有：
对于任意它的复共轭定义为/>即取/>每一个元素的复共轭。
矩阵的谱范数定义为A＝maxiσi(A)，即为A的最大元素。矩阵的核范数定义为||A||*＝∑iσi(A)。定义p阶张量的l1-范数为无穷范数定义为F范数定义为/>
进一步，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法中，所述DFT的共轭性质，包括：
离散傅里叶变换(DFT)在算法运算时起着核心作用。对的傅里叶变换后结果为/>记为/>其中Fn是DFT矩阵，记为：
其中，ω＝e-2πi/n。注意是一个正交矩阵。已知a的循环矩阵可以用DFT矩阵对角化。
其中，表示一个对角矩阵，其第i个对角项为/>
引理2.1对于任何实向量有其关联向量/> 的第i项定义为/>满足：
把这个性质扩展到矩阵的情况，并最终扩展到p阶张量的情况。
引理2.2对于张量/>是通过对A的第三维度采取傅里叶变换的结果，有/>是一个块对角矩阵并且它对角线上的/>是/>的切片，例如：
有：
引理2.2的证明利用分块循环矩阵可被DFT对角化的性质，例如：
其中，Fn是一个大小为n×n的傅里叶矩阵并且是/>的块循环矩阵，它的定义如下：
引理2.2证明通过(8)，的前向切片/>对于/>的任意元素，它能被写作/>并且能在/>的相同位置上发现它的共轭，即：
因此能得到相反地，对于任意给定的当它满足(7)那么必定存在一个满足(8)的实张量。基于前述公式可以得到3阶张量的以下性质：
引理2.3对于张量/>是对/>从第p维度做傅里叶变换直到第三维度的结果。
因此，对于是一个块对角矩阵，它的第(i3，i4，…，ip)对角块/>是/>的第(i3，i4，…，ip)前向切片，例如：
有，
其中，
p，j，k＝3，…，p-1。
类似于引理2.2，引理2.3的证明使用到了块循环矩阵可通过傅里叶变换对角化的性质，即：
对于的任意元素，根据(11)的索引在/>的某一个相应的正向切片中找到它的共轭，令/>且/>上面的等式可以简记为
其中按下述定义，将/>简写为/>
且
通过使用下式得到高阶张量的以下性质，这些性质将在证明中频繁使用：
其中，L1＝L2＝1，Li＝n3*…*ni。
进一步，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法中，所述代数框架，包括：
对于定义
unf old算子将按照第p维度展开为np个大小为n1×n2×···×np-1的张量且fold是它的逆算子。
其中是/>
tcirc算子将展开为它的块循环矩阵/>算子将/>展开为大小为n1n3…np×l的矩阵且tfold是它的逆算子/>
定义2.1令那么张量积/>是大小为n1×l×n3×…×np的p阶张量，
备注2.4引理2.2提供了一种更有效的方法来计算p阶张量积和p阶张量奇异值分解。例如，和/>是两个5阶张量。如果想要得到它们之间的乘积，按原来的方法需要125次矩阵乘积。但如果使用(10)，只需要计算标记(1～3，1，1)，(1～5，2～3)和(1～5，1～5，2～3)之间的63次乘积。
由此可以设计出p阶张量积的算法。
定义2.2令它的共轭转置为/>
定义2.3令当它的第一个正向切片为大小为n×n的单位矩阵其他切片全为0时称它为单位张量。对于合适大小的/>有/>
定义2.4令若/>然后称这个实值张量是一个p阶正交张量。
定义2.5如果张量的每一个正向切片都是对角矩阵，则该张量称为f-对角张量。
定理2.5令是一个p阶实值张量。那么/>能被分解为：
其中是正交张量，且/>是一个f-对角张量。
证明通过构造证明。对于的一个前端切片，例如/>找到和它完全一样的另一片。然后用下面的方法构造/>的SVD，当/>时，通过得到/>然后当/>且i3＝1∶n3时，
由/>得到。剩下的部分的处理方法以此类推直到/>且/>由/>得到。然后使用共轭性质(10)来找到相应的前向切片，对他们做SVD以得到剩下的/>和/>通过这种方法可以保证所有的/>都是实张量。因此，
通过构造和定义2.1，将DFT对角化矩阵之间的矩阵积等价于原张量之间的张量积，从而完成了证明。
通过构建它们的方式都是实的。算法2展示了计算t-SVD的方法。
已知矩阵的奇异值具有递减性质。在t-SVD的处理过程中，令的第一个正向切片对角线上的元素S(1，…，1)具有相同的递减性质：
通过DFT的处理得到以下性质，
定义2.6对于表示张量正向秩(或张量1,2维秩)为张量正面秩的值为/>的非零管子张量的个数，它们是通过对/>得到的。因此，定义：
实际上，张量是通过对一个张量从第p维到第三维求反fft得到的。因此，/>的第一个切片必须包含张量其余切片的信息。张量的正向秩由/>的第一个正向切片对角线上的元素决定：
因此张量前向秩等于非零项的个数。很明显，通过旋转张量得到几个相似的秩，从而固定另一对维度作为新的在第一维度和第二维度。例如，定义p阶张量/>的1,4维秩(rank1，4)通过固定一维和四维，进行T-SVD得到的。
像矩阵的情况一样定义张量秩k近似。对于任意大小为n1×n2×…×np的高维张量当
那么有是/>前向秩至多为k的最佳近似。
定义2.7对于将张量平均前向秩表示为其/>的秩乘以/>因此，定义：
定义2.8是一个p阶张量，其谱范数为/>
已知矩阵核范数是矩阵谱范数的对偶范数。因此，定义了核张量范数，定义作为张量特殊范数的对偶范数。对于任何的/>与/>有
令且/>有：
有：
其中，这样就有了任意维度的张量核范数的定义。
定义2.9令作为/>的t-SVD结果。/>的张量核范数定义为：
其中，
从TNN的定义可以看出，张量的核范数只与T-SVD生成的/>的第一个正向切片的值有关。因此，把/>的非零项称为张量/>的奇异值。
定理2.6在集合上，张量核范数/>是张量平均前向秩/>的凸包络。
进一步，步骤四中，所述恢复保证，包括：
假设低秩部分不是稀疏的，而稀疏部分也不是低秩的，定义张量列基是一个张量，其中第(i，1，…，1)元素等于1，其他的为0。定义张量管基是一个张量，其中第j维度上的第ij元素等于1，其他的为0，j＝3，…，p，ij∈[1，…，nj]。
定义3.1对于张量前向秩/>以及
且/>那么/>满足张量的参数为μ非相干性条件，若：
满足非相干性条件的张量在避免了低秩情况的同时也避免了稀疏的情况；另一个可识别性问题是稀疏张量有低前向秩。这可以假定/>的支撑为均匀分布解决。
定理3.1令服从张量非相干性条件，定义/>如下分布：/>
Ω是的支撑集，均匀分布在所有m基数集合中，并且/>对于所有(i1，i2，…，ip)∈Ω。那么，存在常数c1,c2>0，这样至少有概率是问题的唯一最小值。/>如果：
其中，n(1)是min(n1,n2)，n(2)是max(n1,n2)。
进一步，步骤四中，所述HTRPCA的ADMM算法，包括：
(1)使用标准的交替方向乘子法(ADMM)来解决问题，引入近端算子，从而原问题等价于下面的问题：
可以证明它有一个类似于矩阵核范数的解。令对于任意τ>0，引入t-SVT算子如下：
其中，
增广拉格朗日函数为：
其中，μ是控制算法速度的正标量且为拉格朗日乘子张量。接着/>和εp可以通过交替极小化增广拉格朗日函数L来更新。两个子问题都有封闭解。对于/>本发明可以使用t-SVT，即奇异值阈值算法，并采用软阈值方法解决εp。
(2)收敛性分析
当目标函数是两个凸函数的和时，能够保证两块ADMM收敛到全局最小值。在HTRPCA程序中，目标函数由两个闭凸函数和/>组成。显然，该算法是标准的双块ADMM算法在张量环境下的直接应用，其收敛性在理论上是有保证的。
本发明的另一目的在于提供一种应用所述的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复系统，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复系统包括：
低秩和稀疏部分提取模块，用于基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；
改进算法构建模块，用于根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；
张量维数秩定义模块，用于通过在张量上实施T-SVD定义新的张量维数秩；
准确恢复保证模块，用于利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。
本发明的另一目的在于提供一种所述的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法在图像修补和图像去噪中的应用，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法在图像修补和图像去噪中的应用方法，包括：
(1)模拟数据的精确恢复
在所有实验中设置，考虑大小为n×n×l×l×l的张量，它的维度上的具体数值为n＝200和n＝400,l＝10。通过求/>得张量积来得到前向秩为r的低阶张量，其中/>和/>都是大小为n×r×l×l×l的张量，他们的每一个元素都服从分布。/>的大小为m的支撑集Ω是均匀选取的。对于所有的/>令/>其中/>是拥有独立伯努利±1元素的张量。
(2)算法中是一个线性算子，它表示Ω支撑集上的值不变而之外的值全变成0。从网站http://trace.eas.asu.edu/yuv/中选择15个彩色视频进行测试。对于实验中的每个视频序列，由于计算成本的关系，使用前150帧进行测试，使用格式为网站提供的QCIF格式，其中每一帧大小为144×176×3。在缺失值的设置上，对于一个大小为/>的彩色视频张量，随机设置m＝3phwf个元素来观察，考虑p＝0.3，p＝0.4和p＝0.5。同时应用HaLRTC，TMac，NRTAC，TNN这四种先进的张量修补方法进行视频恢复，并比较它们的性能。在实验中，这些比较方法均使用了参考文献中建议的参数设置，其中TNN是将数据的前两个维度直接拼接，再进行3阶的张量补全。实验中用于判断视频补全质量标准的PSNR值计算公式为：
本发明的另一目的在于提供一种存储在计算机可读介质上的计算机程序产品，包括计算机可读程序，供于电子装置上执行时，提供用户输入接口以实施所述的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法。
本发明的另一目的在于提供一种计算机可读存储介质，储存有指令，当所述指令在计算机上运行时，使得计算机执行所述的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法。
结合上述的所有技术方案，本发明所具备的优点及积极效果为：本发明提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法，考虑高维鲁棒主成分分析(HTRPCA)问题，从p阶张量(p≥3)中提取低秩和稀疏部分。根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出了张量积和张量SVD的改进算法。通过在张量上实施T-SVD，定义了一个新的张量维数秩。利用基于张量前向秩的张量核范数(张量维数秩的特例)，设计了近端算子和交替方向乘子法(ADMM)算法来求解HTRPCA问题，为准确恢复提供了理论保障。本发明生成数据和彩色视频的实验结果表明，HTRPCA在处理相应问题方面具有优越性。
本发明提出了一种新的张量主成分分析方法，即利用高阶张量代数框架将原本只能作用于2阶或者3阶数据的RPCA方法拓展到任意维度，并给出了相应的恢复条件，同时设计了完整的算法。大量实验也证明了本发明的方法可以在理论最佳参数的前提下，有效地对以彩色视频为代表的高阶张量进行恢复处理，为对应现实问题提供了一种实用的解决方案。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对本发明实施例中所需要使用的附图做简单的介绍，显而易见地，下面所描述的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明实施例提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法流程图。
图2(a)是本发明实施例提供的原始视频的特定帧示意图。
图2(b)是本发明实施例提供的30前向秩PSNR＝36.1示意图。
图2(c)是本发明实施例提供的101,4维秩PSNR＝45.7示意图。
图2(d)是本发明实施例提供的奇异值变化示意图。
图3(a)是本发明实施例提供的Akiyo，News，Container和Claire视频的样帧示意图。
图3(b)是本发明实施例提供的该样帧特定采样率下的观测(比例为p＝0.5)示意图。
图3(c)-图3(g)是本发明实施例提供的分别由HaLRTC，TMac，NRTAC，TNN和我们的方法恢复的结果示意图。
图4(a)是本发明实施例提供的4个视频的样帧示意图。
图4(b)是本发明实施例提供的该样帧加噪后的观测示意图。
图4(c)-图4(e)是本发明实施例提供的分别由SNN,TRPCA和本发明的方法恢复的结果示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法及系统，下面结合附图对本发明作详细的描述。
如图1所示，本发明实施例提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法包括以下步骤：
S101，基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；其中，所述p≥3；
S102，根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；
S103，通过在张量上实施T-SVD，定义新的张量维数秩；
S104，利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。
本发明提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法业内的普通技术人员还可以采用其他的步骤实施，图1的本发明提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法仅仅是一个具体实施例而已。
本发明实施例提供的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复系统包括：
低秩和稀疏部分提取模块，用于基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；
改进算法构建模块，用于根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；
张量维数秩定义模块，用于通过在张量上实施T-SVD定义新的张量维数秩；
准确恢复保证模块，用于利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。
下面结合实施例对本发明的技术方案作进一步的描述。
1、本发明利用中提出的启发式的处理高阶张量的循环思想，设计了p阶张量的代数框架和相应的p阶张量SVD分解方法。同时，很自然地提出了一个新的张量维数秩。在此基础上，本发明设计了高阶张量核范数，并可以证明它是目标的紧凸替代。对于HTRPCA问题，本发明的目标是从通过凸假设恢复低秩部分/>和稀疏部分/>
其中为第二节中定义的张量核范数。证明了在一定条件下，/>可以恢复稀疏部分，/>张量前向秩的低秩部分是合理的小。本发明的分析表明，如果使用本发明可以获得准确的恢复。
总结如下：
1.推导出高阶张量的共轭性质，并将其应用于张量积和张量SVD运算，这种改进相对于不加共轭的原方法将节省大量的时间。
2.利用提出的基于张量前向秩的张量核范数，成功地完善了HTRPCA所需的代数框架并给出了完整算法。至此，理论上本发明可以从任意维数的观察中恢复低秩部分/>和稀疏部分χp。
3.通过对彩色视频数据的大量实验，本发明证明HTRPCA方法能够相对更有效地处理高维问题。HTRPCA可以保存数据的空间结构，相较于将高维数据转为低维数据进行处理的传统方法，HTRPCA的可以取得更好的效果。
2、符号和数学框架
2.1符号
本发明中使用的符号包括：实数域和复数域分别记为R和C，黑体欧拉字母表示张量，上标表示张量的相应维数，例如一个p阶张量可以记为，矩阵用黑体大写字母表示，例如A，向量以黑体小写字母表示，例如a，用小写字母表示标量，例如a。一个阶3张量/>可以看成是矩阵的组合，对于任意p阶张量/>也可以看成是低维张量(次张量)的组合通过固定一些原始张量的维数而得到。为了表示原张量的某个子张量的确切位置，本发明在子张量的右上角标记一个序列，例如这个张量显然是由/>固定它的第j维度为ij同时固定它的第k维度为ik。本发明对高阶张量的处理一般从最后一个维度逆向一直到倒数第二个维度为止，将/>简写为/>特别的，/>的前向切片定义为/>它是一个二阶子张量并且可以被记为并且称大小为1×1×n3×…×np的子张量/>为管子张量。
A和B在上的內积定义为<A，B>＝tr(A*B)。三阶张量/>和/>在/>上的內积定义为/>因此，有：
对于任意它的复共轭定义为/>即取/>每一个元素的复共轭。
矩阵的谱范数定义为即为A的最大元素。矩阵的核范数定义为定义p阶张量的l1-范数为/>无穷范数为F范数为/>
2.2DFT的共轭性质
离散傅里叶变换(DFT)在算法运算时起着核心作用。对的傅里叶变换后结果为/>记为/>其中Fn是DFT矩阵，它记为：
其中ω＝e-2πi/n。注意是一个正交矩阵。已知a的循环矩阵可以用DFT矩阵对角化。
/>
其中表示一个对角矩阵，其第i个对角项为/>
引理2.1对于任何实向量本发明有其关联向量/> 的第i项定义为/>满足：
本发明把这个性质扩展到矩阵的情况，并最终扩展到p阶张量的情况。
引理2.2对于张量/>是通过对A的第三维度采取傅里叶变换的结果，本发明有/>是一个块对角矩阵并且它对角线上的/>是/>的切片，例如：
有：
引理2.2的证明利用分块循环矩阵可被DFT对角化的性质，例如：
其中Fn是一个大小为n×n的傅里叶矩阵并且是/>的块循环矩阵，它的定义如下：
引理2.2证明通过(8)，的前向切片/>对于/>的任意元素，它能被写作/>并且能在/>的相同位置上发现它的共轭，即：
因此能得到相反地，对于任意给定的当它满足(7)那么必定存在一个满足(8)的实张量。基于前述公式/>本发明可以得到3阶张量的以下性质：
引理2.3对于张量/>是对/>从第p维度做傅里叶变换直到第三维度的结果。
因此，对于是一个块对角矩阵，它的第(i3，i4，…，ip)对角块/>是/>的第(i3，i4，…，ip)前向切片，例如：
有，
其中，
p，j，k＝3，…，p-1。
类似于引理2.2，引理2.3的证明使用到了块循环矩阵可通过傅里叶变换对角化的性质，即：
对于的任意元素，本发明都能根据(11)的索引在/>的某一个相应的正向切片中找到它的共轭，因此能得到(12)中的结果。令/>且/>上面的等式可以简记为/>
其中按下述定义，本发明将/>简写为/>
且
类似于(9)和(10)，通过使用(11)式，本发明可以得到高阶张量的以下性质，这些性质将在证明中频繁使用，
其中，L1＝L2＝1，Li＝n3*…*ni。
2.3代数框架
对于本发明定义
unf old算子将按照第p维度展开为np个大小为n1×n2×···×np-1的张量且fold是它的逆算子。
/>
其中是/>
tcirc算子将展开为它的块循环矩阵/>算子将/>展开为大小为n1n3…np×l的矩阵且tf old是它的逆算子/>
定义2.1令那么张量积/>是大小为n1×l×n3×…×np的p阶张量，
备注2.4引理2.2提供了一种更有效的方法来计算p阶张量积和p阶张量奇异值分解。例如，和/>是两个5阶张量。如果想要得到它们之间的乘积，按原来的方法需要125次矩阵乘积。但如果使用(10)，本发明只需要计算标记(1～3，1，1)，(1～5，2～3)和(1～5，1～5，2～3)之间的63次乘积。
由此可以设计出p阶张量积的算法。参见算法1。
定义2.2令它的共轭转置为/>
定义2.3令当它的第一个正向切片为大小为n×n的单位矩阵其他切片全为0时称它为单位张量。对于合适大小的/>有/>
定义2.4令若/>然后称这个实值张量是一个p阶正交张量。
定义2.5如果张量的每一个正向切片都是对角矩阵，则该张量称为f-对角张量。
定理2.5令是一个p阶实值张量。那么/>能被分解为：/>
其中是正交张量，且/>是一个f-对角张量。
证明通过构造证明。正如本发明在2.2中提到的，对于的一个前端切片，例如可以找到和它完全一样的另一片。然后用下面的方法构造/>的SVD，当时，通过/>得到/>然后当且i3＝1∶n3时，/>由/>得到。剩下的部分的处理方法以此类推直到/>且
由/>得到。然后可以使用共轭性质(10)来找到相应的前向切片，对他们做SVD以得到剩下的和/>通过这种方法本发明可以保证所有的/>都是实张量。因此，
通过构造和定义2.1，将DFT对角化矩阵之间的矩阵积等价于原张量之间的张量积，从而完成了证明。本发明同时注意到通过本发明构建它们的方式都是实的。算法2展示了计算t-SVD的方法。
已知矩阵的奇异值具有递减性质。在t-SVD的处理过程中，令的第一个正向切片对角线上的元素S(1，…，1)具有相同的递减性质：
本发明可以通过DFT的处理得到以下性质，
定义2.6对于本发明表示张量正向秩(或张量1,2维秩)为张量正面秩的值为/>的非零管子张量的个数，它们是通过对/>得到的。因此，本发明可以定义：
实际上，本发明知道张量是通过对一个张量从第p维到第三维求反fft得到的。因此，/>的第一个切片必须包含张量其余切片的信息。并且(18)表示了/>和/>之间的准确关系。张量的正向秩由/>的第一个正向切片对剑线上的元素决定：/>
因此张量前向秩等于非零项的个数。很明显，可以通过旋转张量得到几个相似的秩，从而固定另一对维度作为新的在第一维度和第二维度。例如，本发明定义p阶张量/>的1,4维秩(rank1，4)通过固定一维和四维，然后进行T-SVD得到的。
本发明中可似矩阵的情况一样，可定义张量秩k近似。对于任意大小为n1×n2×…×np的高维张量当/>
那么有是/>前向秩至多为k的最佳近似。
从图2可以看出，彩色视频的奇异值迅速下降，无论T-SVD是基于一个相对较低的正向秩还是基于1,4维秩，都可以在很小的相应秩的情况下很好地逼近原始视频，证明了彩色视频数据通常有一定的低秩性。
定义2.7对于本发明将张量平均前向秩表示为其/>的秩乘以因此，定义
定义2.8是一个p阶张量。它的张量谱范数为/>
已知矩阵核范数是矩阵谱范数的对偶范数。因此，本发明定义了核张量范数，定义作为张量特殊范数的对偶范数。对于任何的/>与有/>
其中(21)使用(13)，(22)是因为是/>中的任意矩阵，(23)利用矩阵核范数是矩阵谱范数的对偶范数，(24)使用(11)。然后，令/>且有：
通过(23)和(27)，有：
其中这样就有了任意维度的张量核范数的定义。
定义2.9令作为/>的t-SVD结果。/>的张量核范数定义为：
其中
从TNN的定义可以看出，张量的核范数只与T-SVD生成的/>的第一个正向切片的值有关。因此，本发明可以把S(1，…，1)的非零项称为张量/>的奇异值。
定理2.6在集合上，张量核范数/>是张量平均前向秩/>的凸包络。
3、HTRPCA的准确恢复保证
本发明最初的问题(3)是从高度损坏的测量值中恢复一个低秩张量在这一节中，将展示在张量非相干条件下，可以精确恢复低秩部分/>和稀疏部分/>并给出了求解该问题的算法。
3.1恢复保证
正如本发明上面所提到的，如果张量χp既是稀疏张量又是低秩张量，则不能从它恢复出低秩部分和稀疏部分。所以本发明必须假设低秩部分不是稀疏的，而稀疏部分也不是低秩的。可以定义张量非相干条件来达到本发明的目的。张量列基是一个张量，其中第(i，1，…，1)元素等于1，其他的为0，定义张量管基/>是一个张量，其中第j维度上的第ij元素等于1，其他的为
0，j＝3，…，p，ij∈[1，…，nj]。
定义3.1对于张量前向秩/>以及且/>那么/>满足张量的参数为μ非相干性条件，若
另一个可识别性问题是稀疏张量有低前向秩。这可以假定/>的支撑为均匀分布解决。
定理3.1令服从张量非相干性条件。本发明定义/>如下分布：
Ω是的支撑集，均匀分布在所有m基数集合中，并且/>对于所有(i1，i2，…，ip)∈Ω。那么，存在常数c1,c2>0，这样至少有概率是问题的唯一最小值。/>Lp＝n3n4…np，如果/>
其中n(1)是min(n1,n2)，n(2)是max(n1,n2)。
3.2HTRPCA的ADMM算法
可以使用标准的交替方向乘子法(ADMM)来解决问题。首先，本发明需要引入近端算子，从而原问题等价于下面的问题，
可以证明它有一个类似于矩阵核范数的解。令对于任意τ>0，本发明引入t-SVT算子如下
其中
本发明现在给出解决(3)的ADMM算法细节。(3)的增广拉格朗日函数为：
其中μ是控制算法速度的正标量且yp为拉格朗日乘子张量。接着和εp可以通过交替极小化增广拉格朗日函数L来更新。两个子问题都有封闭解。对于/>可以使用t-SVT，即奇异值阈值算法，并采用软阈值方法解决εp。奇异值阈值法见算法3，总的ADMM算法见算法4。/>
3.3收敛性分析
现有文献中已经证明，当目标函数是两个凸函数的和时，能够保证两块ADMM收敛到全局最小值。在本发明的HTRPCA程序(8)中，目标函数由两个闭凸函数和||εp||1组成。显然，该算法是标准的双块ADMM算法在张量环境下的直接应用，其收敛性在理论上是有保证的。
4、实验
在这一节中，本发明进行数值实验来验证定理3.1中的主要结果。首先研究凸HTRPCA模型(5)恢复具有不同前向秩和不同稀疏噪声级别的张量的能力。然后将其应用于图像修补和图像去噪。根据定理3.1，本发明在所有实验中设置理论建议值为实践提供了很好的指导，基本都能得到很好的效果，但是对于不同的数据，可以通过更仔细地调出不同的最优λ进一步提高性能。
4.1模拟数据的精确恢复
首先，本发明验证本发明提出的定理3.1是否能对随机生成数据得到正确的恢复。为了简单，本发明考虑大小为n×n×l×l×l的张量，它的维度上的具体数值为n＝200和n＝400,l＝10。通过求得张量积来得到前向秩为r的低阶张量，其中/>和/>都是大小为n×r×l×l×l的张量，他们的每一个元素都服从/>分布。/>的大小为m的支撑集Ω是均匀选取的。对于所有的(i1，i2，i3，i4，i5)∈Ω，令其中/>是拥有独立伯努利±1元素的张量。
表1模拟数据恢复结果
表1表明了和/>在不同选择的稀疏度m和张量前向秩r下的恢复结果。可以看出本发明的算法在所有的情况下都给出了/>的正确的张量前向秩估计，并且相对误差非常小，小于/>的稀疏估计不如秩的估计效果好。但注意到相对误差/>都很小，不到1e-9，远小于恢复低秩部分的相对误差。这些结果很好地验证了定理3.1所提出的恢复现象是正确的。
4.2视频补全
在本发明中，彩色视频被用来从部分观测项中进行低秩张量补全来评估本发明的方法的实用性以及定理3.1在实际应用中的准确性。张量补全是定理3.1的直接应用，它的算法只需要在算法4的基础上进行简单的修改，见算法5。算法中是一个线性算子，它表示Ω支撑集上的值不变而之外的值全变成0。本发明从网站http://trace.eas.asu.edu/yuv/中选择15个彩色视频进行测试。对于实验中的每个视频序列，由于计算成本的关系，本发明使用前150帧进行测试，使用格式为网站提供的QCIF格式，其中每一帧大小为144×176×3。在缺失值的设置上，对于一个大小为/>的彩色视频张量，本发明随机设置m＝3phwf个元素来观察，在本实验中，本发明考虑p＝0.3，p＝0.4和p＝0.5。同时本发明应用HaLRTC，TMac，NRTAC，TNN这四种先进的张量修补方法进行视频恢复，并比较它们的性能。在实验中，这些比较方法均使用了参考文献中建议的参数设置，其中TNN是将数据的前两个维度直接拼接，再进行3阶的张量补全。实验中用于判断视频补全质量标准的PSNR值计算公式为：
/>
越高的PSNR值证明恢复的效果越好。实验的结果(部分)见表2，部分结果见图3。显然，无论是PSNR值还是直观的恢复效果，都是本发明的方法最优的，同时证明了定理3.1在张量补全上的合理性。
表2不同张量补全方法的PSNR值
4.3视频去噪
本发明应用HTRPCA对随机噪声干扰下的彩色视频图像进行恢复。本发明将在实际数据上表明，HTRPCA在建议理论参数下的恢复性能理论是令人满意的。所有的测试视频同样来自于上一节的网页，考虑计算成本，每一个视频都被预先设置为大小为144×176×3×100的4阶张量。对于每一个视频，本发明随机设置30％的像素为[0,255]中的随机值，同时本发明应用基于SNN，TNN的两种高阶张量去噪方法进行比较。在实验中，这些比较方法均使用了参考文献中建议的参数设置，其中基于TNN的方法TRPCA仍然是将数据的前两个维度直接拼接，再进行3阶的去噪。实验中用于判断视频补全质量标准的PSNR值同上。
表3视频去噪PSNR比较
从实验结果表3和图4可以看出以下几点：首先基于Tucker秩的SNN方法无论是从时间还是PSNR上都比不过基于管秩的TNN方法，主要是因为SNN并不是目标的凸包络，以及Tucker方法的普遍耗时。本发明的方法与TRPCA相比，时间上要稍微长一些，原因是高阶的t-SVD计算比低阶更耗时，但恢复效果是要绝对比TRPCA好的，TNN将4阶张量转化为3阶张量进行处理，必然会丧失空间结构信息，而这就是本发明的HTRPCA的优势所在。
本发明提出了一种新的张量主成分分析方法，即利用高阶张量代数框架将原本只能作用于2阶或者3阶数据的RPCA方法拓展到任意维度，并给出了相应的恢复条件，同时设计了完整的算法。大量实验也证明了本发明的方法可以在理论最佳参数的前提下，有效地对以彩色视频为代表的高阶张量进行恢复处理，为对应现实问题提供了一种实用的解决方案。
在上述实施例中，可以全部或部分地通过软件、硬件、固件或者其任意组合来实现。当使用全部或部分地以计算机程序产品的形式实现，所述计算机程序产品包括一个或多个计算机指令。在计算机上加载或执行所述计算机程序指令时，全部或部分地产生按照本发明实施例所述的流程或功能。所述计算机可以是通用计算机、专用计算机、计算机网络、或者其他可编程装置。所述计算机指令可以存储在计算机可读存储介质中，或者从一个计算机可读存储介质向另一个计算机可读存储介质传输，例如，所述计算机指令可以从一个网站站点、计算机、服务器或数据中心通过有线(例如同轴电缆、光纤、数字用户线(DSL)或无线(例如红外、无线、微波等)方式向另一个网站站点、计算机、服务器或数据中心进行传输)。所述计算机可读取存储介质可以是计算机能够存取的任何可用介质或者是包含一个或多个可用介质集成的服务器、数据中心等数据存储设备。所述可用介质可以是磁性介质，(例如，软盘、硬盘、磁带)、光介质(例如，DVD)、或者半导体介质(例如固态硬盘SolidState Disk(SSD))等。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，都应涵盖在本发明的保护范围之内。
Claims (3)
1.一种基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法在图像修补和图像去噪中的应用，其特征在于，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法在图像修补和图像去噪中的应用方法，包括：
(1)模拟数据的精确恢复
在所有实验中设置其中λ是恢复模型的一个参数，用来控制模型恢复的精确度，n(1)是彩色视频前两个维度，是长和宽的最大值，Lp是从第三个维度开始的各个维度的乘积，等于彩色通道数乘以视频帧数的值，考虑大小为n×n×l×l×l的张量，它的维度上的具体数值为n＝200和n＝400,1＝10；通过求/>得张量积来得到前向秩为r的低阶张量，其中/>和/>都是大小为n×r×l×l×l的张量，他们的每一个元素都服从/>分布；/>的大小为m的支撑集Ω是均匀选取的；对于所有的(i1，i2，i3，i4，i5)∈Ω，令/>其中/>是拥有独立伯努利±1元素的张量，i1～i5分别是各个维度的标识；
(2)算法中是一个线性算子，它表示Ω支撑集上的值不变而之外的值全变成0；从网站http：//trace.eas.asu.edu/yuv/中选择15个彩色视频进行测试；对于实验中的每个视频序列，由于计算成本的关系，使用前150帧进行测试，使用格式为网站提供的QCIF格式，其中每一帧大小为144×176×3；在缺失值的设置上，对于一个大小为/>的彩色视频张量，随机设置m＝3phwf个元素来观察，考虑p＝0.3，p＝0.4和p＝0.5；同时应用HaLRTC，TMac，NRTAC，TNN这四种先进的张量修补方法进行视频恢复，并比较它们的性能；在实验中，这些比较方法均使用了参考文献中建议的参数设置，其中TNN是将数据的前两个维度直接拼接，再进行3阶的张量补全；实验中用于判断视频补全质量标准的PSNR值计算公式为：
其中，X指、的是恢复得到的结果，M是原始的视频数据，h、w、f分别是彩色视频除了色彩通道以外的长、宽、帧数的值；
所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复方法包括：
应用于彩色视频高阶张量恢复处理的基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；其中，p≥3；
根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；
通过在彩色视频高阶张量上实施T-SVD，定义新的张量维数秩；
利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解彩色视频HTRPCA问题，实现彩色视频HTRPCA的准确恢复保证。
2.一种基于如权利要求1所述的应用的基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复系统，其特征在于，所述基于高阶张量奇异值分解的彩色视频恢复系统包括：
低秩和稀疏部分提取模块，用于基于高维鲁棒主成分分析HTRPCA问题，从p阶张量中提取低秩和稀疏部分；
改进算法构建模块，用于根据p阶张量生成块对角矩阵的共轭性质，提出张量积和张量SVD的改进算法；
张量维数秩定义模块，用于通过在张量上实施T-SVD定义新的张量维数秩；
准确恢复保证模块，用于利用基于张量前向秩的张量核范数，设计近端算子和交替方向乘子法ADMM算法来求解HTRPCA问题，实现HTRPCA的准确恢复保证。
3.一种计算机可读存储介质，储存有指令，当所述指令在计算机上运行时，使得计算机执行如权利要求1所述的应用。
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| Title |
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| Graph-regularized tensor robust principal component analysis for hyperspectral image denoising;Nie YM等;《APPLIED OPTICS》;6094-6102 * |
| Low-Tubal-Rank Plus Sparse Tensor Recovery with prior subspace information;feng zhang等;《IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence》;3492 – 3507 * |
| Tensor robust principal component analysis with a new tensor nuclear norm;Canyi Lu等;《IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence》;925-938 * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN113240596A (zh) | 2021-08-10 |
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