CN114861489B - rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，属于结构工程领域。包括以下步骤：建立能够概略反映待分析结构系统的有限元模型；建立动参数空间样本集；采用概率有限元分析，建立动参数空间样本集驱动的结构系统响应空间样本集；建立能够将动参数空间样本集映射到结构系统响应空间样本集的鲁棒多项式混沌‑克里金(rPCK)代理模型；以实测的结构系统响应驱动rPCK代理模型，进而采用贝叶斯推断进行结构动参数辨识，以贝叶斯后验估计均值作为结构动参数估计值。本发明所提方法突破了现有确定性参数辨识方法难以精确辨识结构动参数的局限性，为建立工程实际结构系统的高保真有限元模型创造了条件。

Description

rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法

技术领域

本发明属于结构工程领域，具体涉及rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法。

背景技术

我国水利水电事业蓬勃发展数十年，大坝数量已超过世界总量四成。很多早期建成的大坝渐渐老化，而近十来年新建的特高拱坝由于其独特的功用，大多建立在西南地区高山窄谷强地震带上，其抗震安全性是大坝设计工作要解决的主要问题之一。目前大坝抗震安全分析通常采用有限元法，而筑坝材料的动参数是影响有限元分析结果的主要因素，工程上通常采用室内试验法确定筑坝材料的动参数。但是由于大坝施工现场的坝料密度及弹性模量受施工工艺、方法、环境与质量的影响，通常与室内试验法确定的参数值具有一定的差异，而这些动参数又直接影响大坝整体动力特性，因此基于反分析方法确定坝体混凝土和基岩材料在施工、运行过程中的物理参数对于大坝安全分析至关重要。

现有的大坝参数辨识方法多是基于多测点位移等静态监测数据进行确定性的反分析，此种方法不仅忽略了材料的固有随机特性，而且多测点位移仅仅只能反映出大坝局部的静力特性，难以整体表征大坝结构的时空全域力学特性。此外，所建立的能够概略反映待分析结构系统行为的有限元模型其计算代价通常是极其昂贵的，尤其是进行高阶模态分析和瞬态分析时，现有的大坝参数辨识方法便捉襟见肘。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的不足，本发明提供了rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法。

为了实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，包括以下步骤：

将待分析结构系统按设定比例缩放后，得到概略反映待分析结构系统的有限元模型；

由先验知识确定有限元模型中动参数服从的概率分布函数，根据概率分布函数利用拉丁超立方采样法生成动参数空间样本集；其中，动参数包括：坝体动弹模，坝体密度，坝体泊松比，坝基动弹模，坝基密度和坝基泊松比；

采用概率有限元分析动参数空间样本集，建立动参数空间样本集驱动的结构系统响应空间样本集；

将动参数空间样本集映射到结构系统响应空间样本集，得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；

以实测的待分析结构系统响应驱动鲁棒多项式混沌-克里金代理模型，采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识，以贝叶斯后验估计均值作为坝体动弹模，坝体密度，坝基动弹模和坝基密度的结构动参数估计值。

优选的，利用下式得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型

式中，Y是代理模型预测的结构系统响应，M是未知的结构动参数变量的个数，是M维自然数向量集合,β_α是待定的多项式展开系数，α是M维基函数索引下标,X＝{X₁,X₂,…,X_M}是具有独立分量的M维动参数空间样本，/>是高斯过程索引，σ²是高斯过程的方差，Z(x)是具有零均值和协方差函数的高斯过程；

式中，ψ_α(X)是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，

式中，α_i是多项式次数,是对应α_i的第i个变量中的一元正交多项式，x_i是动参数空间样本集中第i个单变量。

优选的，所述得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型的步骤还包括：

采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中待定的展开系数β_α；

校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中的Z(x。

优选的，根据下式采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中待定的展开系数β_α，

式中β是多项式展开系数向量，是使得数学期望达到最小值的多项式系数，/>是截断后的自然数向量集合，其中/>是截断误差，/>是多项式基数的多索引截断集，p是多项式阶数，λ是惩罚项的惩罚因子，||β||₁是多项式展开系数向量的范数；

是强制最小化以支持低秩解决方案的正则化项，

优选的，所述校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中的Z(x)的步骤包括：

将Z(x)定义如下：

Z(x＝Cov(Z(x_i,Z(x_j))＝σ²R(x_i,x_j；θ)

式中，Z(x_i)是观测值，Z(x_j)是新插值，R(x_i,x_j；θ)是用超参数θ＝[θ₁,…,θ_n]^T描述观测值Z(x_i)和新插值Z(x_j)之间相似性的函数,x_i和x_j是结构系统响应空间的一对采样点；

根据下式采用最大似然估计方法对超参数θ进行估计，

式中，D_θ是θ的参数空间，R是R(x_i,x_j；θ的简写。

优选的，所述采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识的步骤包括：

当未知的结构动参数变量X＝{x₁,…,x_M}不能直接测量时，建立N个独立的测量y_i并收集在数据集Y中得到

引入差异项将模型预测值X＝{x₁,…,x_M}与观测结果联系起来，得到计算模型/>

式中，是描述实验观测和模型预测之间差异的差异项，并且ε～N(ε|0,σ²)；

根据观测结果计算结构动参数向量x中模型参数x_M和差异参数x_ε；利用模型参数x_M表征模型预测值X＝{x₁,…,x_M}。

优选的，所述根据观测结果计算结构动参数向量x中模型参数x_M和差异参数x_ε的步骤包括：

得到模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布如下，

π(x)＝π(x_M)π(σ²)

根据观测结果得到模型参数x_M的似然函数如下，

式中N是实测的待分析结构系统响应参数的个数，N_out是代理模型预测的待分析结构系统响应参数的个数；

根据模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布以及模型参数x_M的似然函数，获得模型参数x_M的后验分布如下，

式中，Z是分布积分为1的归一化因子，

式中，Dx是x的参数空间；

根据下式基于模型参数x_M的后验分布以第一个统计矩表征模型预测值X＝{x₁,…,x_M}，

E[X|Y＝∫_Dxxπ(x|Y)dx。

优选的，根据下式通过后验协方差矩阵量化点估计的不确定性，

Cov[X|Y＝∫_Dx(x-E[X|Y])(x-E[X|Y])^Tπ(x|Y)dx。

优选的，还包括：

利用动参数空间样本集、结构系统响应空间样本集构建待分析结构系统样本谱；

基于结构系统样本谱生成预测模型，直至预测模型精度满足要求，将预测模型作为鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；否则，重复生成动参数空间样本集和系统响应空间样本集，利用新得到的动参数空间样本集和系统响应空间样本集建立预测模型，直至预测模型精度满足要求。

优选的，还包括：

采用结构动参数估计值建立结构系统的高保真有限元模型；

比较高保真模型的系统响应和实测的结构系统响应。

本发明提供的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法具有以下有益效果：本发明在很大程度上减少了对结构系统的有限元模型的调用次数，突破了现有参数辨识方法难以精确确定结构动参数的局限性，具有良好的实用性。本发明建立的多项式混沌-克里金代理模型通过引入统计学中概率先验模型，打破了传统动参数辨识忽略材料随机分布的不足。本发明超越了现有代理模型大多用于结构系统静参数辨识的局限性，为建立工程实际结构系统的高保真有限元模型创造了条件。

以下结合附图及实施例对本发明作进一步的说明。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例及其设计方案，下面将对本实施例所需的附图作简单地介绍。下面描述中的附图仅仅是本发明的部分实施例，对于本领域普通技术人员来说，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例1的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法的流程图；

图2为本发明实施例1的某拱坝原型精细有限元模型；

图3为本发明实施例1的某拱坝1：200缩尺简化有限元模型；

图4为本发明实施例1的某拱坝缩尺试验模型锤击测试频响函数图；

图5为本发明实施例1的rPCK模型精度评价图；

图6为本发明实施例1的rPCK模型辅助的概率化结构动参数辨识前后计算固有频率曲线及实测固有频率分布。

具体实施方式

为了使本领域技术人员更好的理解本发明的技术方案并能予以实施，下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

实施例1

参阅图1，本发明提供了rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，包括以下步骤：将待分析结构系统按设定比例缩放后，得到概略反映待分析结构系统的有限元模型；由先验知识确定有限元模型中动参数服从的概率分布函数，根据概率分布函数利用拉丁超立方采样法生成动参数空间样本集；其中，动参数包括：坝体动弹模，坝体密度，坝体泊松比，坝基动弹模，坝基密度和坝基泊松比；采用概率有限元分析动参数空间样本集，建立动参数空间样本集驱动的结构系统响应空间样本集；将动参数空间样本集映射到结构系统响应空间样本集，得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；以实测的待分析结构系统响应驱动鲁棒多项式混沌-克里金代理模型，采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识，以贝叶斯后验估计均值作为坝体动弹模，坝体密度，坝基动弹模和坝基密度的结构动参数估计值。

其中，建立鲁棒多项式混沌-克里金代理模型的步骤包括：利用动参数空间样本集、结构系统响应空间样本集构建待分析结构系统样本谱；基于结构系统样本谱生成预测模型，直至预测模型精度满足要求，将预测模型作为鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；否则，重复生成动参数空间样本集和系统响应空间样本集，利用新得到的动参数空间样本集和系统响应空间样本集建立预测模型，直至预测模型精度满足要求。

在本实施例中，利用下式得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型

式中，Y是代理模型预测的结构系统响应，M是未知的结构动参数变量的个数，是M维自然数向量集合,β_α是待定的多项式展开系数，α是M维基函数索引下标,X＝{X₁,X₂,…,X_M}是具有独立分量的M维动参数空间样本，/>是高斯过程索引，σ²是高斯过程的方差，Z(x)是具有零均值和协方差函数的高斯过程。

式中，ψ_α(X)是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，

式中，α_i是多项式次数,是对应α_i的第i个变量中的一元正交多项式，x_i是动参数空间样本集中第i个单变量。

得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型后，采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型/>中待定的展开系数β_α；校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型/>中的Z(x)。

具体的，根据下式采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中待定的展开系数β_α，

式中β是多项式展开系数向量，是使得数学期望达到最小值的多项式系数，/>是截断后的自然数向量集合，其中/>是截断误差，/>是多项式基数的多索引截断集，p是多项式阶数，λ是惩罚项的惩罚因子，||β||₁是多项式展开系数向量的范数。

是强制最小化以支持低秩解决方案的正则化项，

具体的，校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中的Z(x)的步骤包括：

将Z(x)定义如下：

Z(x)＝Cov(Z(x_i),Z(x_j))＝σ²R(x_i,x_j；θ)

式中，Z(x_i)是观测值，Z(x_j)是新插值，R(x_i,x_j；θ)是用超参数θ＝[θ₁,…,θ_n]^T描述观测值Z(x_i)和新插值Z(x_j)之间相似性的函数,x_i和x_j是结构系统响应空间的一对采样点。

根据下式采用最大似然估计方法对超参数θ进行估计，

式中，D_θ是θ的参数空间，R是R(x_i,x_j；θ)的简写。

具体的，采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识的步骤包括：当未知的结构动参数变量X＝{x₁,…,x_M}不能直接测量时，只能求助于工程实测或实验测量结构的系统响应，基于此，建立N个独立的测量y_i并收集在数据集Y中得到引入差异项将模型预测值X＝{x₁,…,x_M}与观测结果/>联系起来，得到计算模型/>

式中，是描述实验观测和模型预测之间差异的差异项，并且ε～N(ε|0,σ²)。根据观测结果/>计算结构动参数向量x中模型参数x_M和差异参数x_ε；利用模型参数x_M表征模型预测值X＝{x₁,…,x_M}。

假设模型参数x_M和差异参数x_ε这两部分是优先级独立的，并且可以得到未知方差σ²的先验分布π(x_ε)，根据观测结果计算结构动参数向量x中模型参数x_M和差异参数x_ε的步骤包括：得到模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布如下，

π(x)＝π(x_M)π(σ²)

根据观测结果得到模型参数x_M的似然函数如下，

式中N是实测的待分析结构系统响应参数的个数，N_out是代理模型预测的待分析结构系统响应参数的个数。根据模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布以及模型参数x_M的似然函数，获得模型参数x_M的后验分布如下，

式中，Z是分布积分为1的归一化因子，

式中，Dx是x的参数空间。根据下式基于模型参数x_M的后验分布以第一个统计矩表征模型预测值X＝{x₁,…,x_M}，

E[X|Y]＝f_Dxxπ(x|Y)dx。

具体的，根据下式通过后验协方差矩阵量化点估计的不确定性，

Cov[X|Y]＝∫_Dx(x-E[X|Y])(x-E[X|Y])Tπ(x|Y)dx。

下面通过具体的实例对本发明进行说明。

本实例对于某实际拱坝的简化缩尺模型进行动参数辨识研究。在本实例中，以rPCK代理模型作为鲁棒多项式混沌-克里金代理模型的简称。缩尺拱坝坝高1.35m，原型坝高270m，比例尺1:200。图2和3分别显示了某拱坝原型精细有限元模型及其缩尺简化有限元模型。

在此基础上，建立了拱坝的缩尺试验模型，该模型由坝体和坝基两部分组成。其中，坝基采用商品C30混凝土完全浇筑，坝体材料按缩尺试验原则进行配制并取样进行动弹模测试。等养护完成后，基于锤击试验对该试验拱坝进行动力响应测试，得到其频响函数图如图4。此外，表1提供了该缩尺试验拱坝各分区材料的先验分布和统计值，以其经验伪真值为分布函数的均值，给定10％的偏差，选择对结构固有频率影响较大的弹性模量以及密度进行辨识。

表1缩尺试验拱坝各分区材料的先验分布和统计值

针对表1中的4个未知的结构动参数(两个材料分区的弹性模量及密度)，采用拉丁超立方采样法生成100组代表参数空间分析的动参数空间样本集，采用概率有限元分析(模态分析)，提取与实测固有频率相对应的前八阶计算固有频率作为表征大坝结构动力特性的结构系统响应空间样本集。所得的100组动参数空间样本集及对应的结构系统响应空间样本集用以构建待分析结构系统样本谱，其中前80组结构系统样本谱分5批次构建不同数量的试验设计(design of experiment,DOE),分别为10，20，40，60，80，最后的20组作为验证数据集，以探讨不同规模的样本量对rPCK代理模型精度的影响。

采用留一法交叉验证误差(Err_LOO)对rPCK模型精度进行评价，公式如下：

式中：是试验设计响应的样本平均值，M^metal\i(·)为将第i个样本点从完整试验设计中去除后得到rPCK代理模型。

采用均方根误差(RSME)和平均绝对百分比误差(MAPE)对rPCK代理模型辅助的概率化结构动参数辨识方法的精度进行评价，公式如下：

所构建的rPCK代理模型精度评价见表2及图5。

表2基于LOO误差的rPCK模型精度评价

由表2及图5可知，即便是对于误差较大的高阶固有频率，对应的rPCK代理模型误差依然足够小(最大约为1.14％)，而对于起绝对主导作用的前三阶固有频率对应的rPCK代理模型误差接近于0，表明所构建的PCK代理模型均能轻量、高效且精确地地替代原有限元模型用于后续动参数反演，为进一步节约计算成本，选用试验设计样本量最小的一组rPCK代理模型进行后续动参数辨识。

如图4所示，通过提取出缩尺试验模型实测固有频率，以其驱动rPCK代理模型，进而采用贝叶斯推断进行结构动参数辨识，以贝叶斯后验估计均值作为结构动参数估计值，其结果见下表3。

表3 rPCK模型辅助的概率化结构动参数辨识结果

参数	单位	基于rPCK的结构动参数估计值
			Ec	GPa	1.36
ρc	Kg/m3	2239.07
			Ef	GPa	26.87
ρf	Kg/m3	2438.14

采用结构动参数估计值作为结构系统参数，建立结构系统的高保真有限元模型，经有限元分析提取出其计算固有频率与实测固有频率进行对比，再采两种常见误差验证指标对该方法的精度进行多维度评价，结果见表4。

表4固有频率实测值与动参数辨识后的有限元计算值比较

最后将动参数辨识前后的计算固有频率曲线及实测固有频率分布点图可视化如图6所示。

上述实施例证实了本发明对大坝结构动参数辨识的有效性，使得现有参数辨识方法难以在考虑材料随机分布的条件下精确确定结构动参数成为现实。

以上实施例仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换，均属于本发明的保护范围。

Claims (8)

1.rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，包括以下步骤：

将待分析结构系统按设定比例缩放后，得到概略反映待分析结构系统的有限元模型；

由先验知识确定有限元模型中动参数服从的概率分布函数，根据概率分布函数利用拉丁超立方采样法生成动参数空间样本集；其中，动参数包括：坝体动弹模，坝体密度，坝体泊松比，坝基动弹模，坝基密度和坝基泊松比；

采用概率有限元分析动参数空间样本集，建立动参数空间样本集驱动的结构系统响应空间样本集；

将动参数空间样本集映射到结构系统响应空间样本集，得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；

以实测的待分析结构系统响应驱动鲁棒多项式混沌-克里金代理模型，采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识，以贝叶斯后验估计均值作为坝体动弹模，坝体密度，坝基动弹模和坝基密度的结构动参数估计值；

其中，利用下式得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型

式中，Y是代理模型预测的结构系统响应，M是未知的结构动参数变量的个数，是M维自然数向量集合，β_α是待定的多项式展开系数，α是M维基函数索引下标，X＝{x₁，x₂，...，x_M}是未知的结构动参数向量，/>是高斯过程索引，Dx是x的参数空间，σ²是高斯过程的方差，Z(x)是具有零均值和协方差函数的高斯过程；

式中，ψ_α(X)是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，

式中，α_i是多项式次数，是对应α_i的第i个变量中的一元正交多项式，x_i是未知的结构动参数向量X中第i个单变量；

所述采用贝叶斯推断对待分析结构系统进行结构动参数辨识的步骤包括：

当未知的结构动参数向量X不能直接测量时，建立N个独立的测量y_i并收集在观测结果中；

引入差异项将x与y联系起来，得到计算模型

式中，是描述实验观测和模型预测之间差异的差异项，并且ε～N(ε|0，σ²)；

根据计算X中有限元模型参数x_M和差异参数x_ε；利用模型参数x_M表征未知的结构动参数向量X。

2.根据权利要求1所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，所述得到鲁棒多项式混沌-克里金代理模型的步骤还包括：

采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中待定的展开系数β_α；

校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中的Z(x)。

3.根据权利要求2所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，根据下式采用最小角回归法计算鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中待定的展开系数β_α，

式中β是多项式展开系数向量，是使得数学期望达到最小值的多项式系数，/>是截断后的自然数向量集合，其中/>是截断误差，/>是多项式基数的多索引截断集，p是多项式阶数，λ是惩罚项的惩罚因子，||β||₁是多项式展开系数向量的范数；

是强制最小化以支持低秩解决方案的正则化项，

4.根据权利要求2所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，所述校准鲁棒多项式混沌-克里金代理模型中的Z(x)的步骤包括：

将Z(x)定义如下：

Z(x)＝Cov(Z(x_i)，Z(x_j))＝σ²R(x_i，x_j；θ)

式中，Z(x_i)是观测值，Z(x_j)是新插值，R(x_i，x_j；θ)是用超参数θ＝[θ₁，...，θ_n]^T描述观测值Z(x_i)和新插值Z(x_j)之间相似性的函数，x_i和x_j是结构系统响应空间的一对采样点；

根据下式采用最大似然估计方法对超参数θ进行估计，

式中，D_θ是θ的参数空间，R是R(x_i，x_j；θ)的简写。

5.根据权利要求1所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，根据观测结果计算未知的结构动参数向量X中模型参数x_M和差异参数x_ε的步骤包括：

得到有限元模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布如下，

π(x)＝π(x_M)π(σ²)

根据观测结果得到有限元模型参数x_M的似然函数如下，

式中N是实测的待分析结构系统响应参数的个数，N_out是代理模型预测的待分析结构系统响应参数的个数；

根据有限元模型参数x_M和差异参数x_ε的联合先验分布以及x_M的似然函数，获得x_M的后验分布如下，

式中，Z是分布积分为1的归一化因子，

式中，Dx是x的参数空间；

根据下式基于模型参数x_M的后验分布以第一个统计矩表征未知的结构动参数向量X，

E[X|Y]＝∫_Dxxπ(x|Y)dx。

6.根据权利要求5所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，根据下式通过后验协方差矩阵量化点估计的不确定性，

Cov[X|Y]＝∫_Dx(x-E[X|Y])(x-E[X|Y])^Tπ(x|Y)dx。

7.根据权利要求1所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，还包括：

利用动参数空间样本集、结构系统响应空间样本集构建待分析结构系统样本谱；

基于结构系统样本谱生成预测模型，直至预测模型精度满足要求，将预测模型作为鲁棒多项式混沌-克里金代理模型；否则，重复生成动参数空间样本集和系统响应空间样本集，利用新得到的动参数空间样本集和系统响应空间样本集建立预测模型，直至预测模型精度满足要求。

8.根据权利要求1所述的rPCK代理模型辅助的结构动参数辨识方法，其特征在于，还包括：

采用结构动参数估计值建立结构系统的高保真有限元模型；

比较高保真模型的系统响应和实测的结构系统响应。