CN113033054A - 一种基于pce_bo的结构性能参数快速反演方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，包括以下步骤：步骤1：建立可表征结构物理模型特性的高保真数值模型；步骤2：选定待反演的结构性能参数作为输入变量，通过拉丁超立方法随机采样有限组输入变量集，代入结构数值模型中求解出相应的输出变量集，构建可表征结构特性的多项式混沌展开代理模型；步骤3：通过纳入工程需求参数对应的实测数据作为贝叶斯优化器中的输入集，再基于多项式混沌展开代理模型结合贝叶斯优化算法来快速更新待反演的结构性能参数。本发明弥补传统确定性反分析的不足，解放经典反分析领域中反演效率受制于复杂数值模型计算成本的限制，提高反演效率和对噪声的鲁棒性，实现了结构性能参数快速反演的目标。

Description

一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法
技术领域
本发明属于结构工程领域，涉及一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法。
背景技术
大坝作为水利水电枢纽的主要建筑物，其安全性是人们十分关心的重要问题。在大坝的安全监控和健康诊断领域，确定坝体混凝土和基岩材料在施工、运行过程中的物理参数对于预测结构的安全性至关重要。当前大坝工程参数反分析研究很大一部分是基于具有工程判断力的确定性分析或有限的概率分析，通过对相应的数值模型进行大量的有限元分析来求解状态方程，但由于大坝特殊的几何形状以及与水库、基岩等不同物质相之间复杂的耦合作用，所建立的可以很好表征真实物理模型结构特性的高保真数值模型计算代价通常是相当昂贵的，特别是处理随机瞬态(例如地震)仿真时。
传统的大坝参数反演方法多是基于解析位移反分析法和数值位移反分析法(有限元法，边界元法等)来反演其静力学参数，反演的精度和效率很大程度上受制于有限元模型的复杂程度，特别是考虑大坝动力响应情况下的动参数反演时，传统方法尤为受限。现有主流的大坝参数反演方法大多采用基于数值模型联合智能优化算法的策略，而优化算法本质上都是采用迭代方式不断寻找更优的极值点过程，均需要对有限元模型进行大量的正向运算，因此受到与传统方法同样的掣肘。为解决此局限性，诸如多项式混沌扩展或高斯过程、支持向量机等代理模型技术引起了广泛的关注，其中多项式混沌扩展方法因可以基于少量的初始有限元模拟来开发一些具有结构替代性的代理模型而备受青睐。目前该方法广泛应用于参数敏感性分析、不确定量化以及结构设计优化等领域，并取得显著成果，但是缺乏将其应用于大坝参数反演的相关研究。因此，本申请提出一种基于多项式混沌展开(PCE)_贝叶斯优化(BO)的结构性能参数快速反演方法。
发明内容
为解决上述问题，本发明提供了一种基于PCE_BO的大坝结构性能参数快速反演方法，与现有方法相比，该方法能克服传统算法应用范围小，计算效率低下等缺点，具有很好的鲁棒性。
为实现上述目的，本发明提供了如下的技术方案。
一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，包括以下步骤：
步骤1：建立可表征结构物理模型特性的高保真数值模型；
步骤2：选定待反演的结构性能参数作为输入变量，通过拉丁超立方法随机采样有限组输入变量集，代入结构数值模型中求解出相应的输出变量集，基于“输入—输出”构建出可表征结构特性的多项式混沌展开代理模型；
步骤3：通过纳入工程需求参数对应的实测数据作为贝叶斯优化器中的输入集，再基于所述多项式混沌展开代理模型结合贝叶斯优化算法来快速更新待反演的结构性能参数。
优选地，所述步骤2中的多项式混沌展开代理模型的构建包括以下步骤：
步骤2.1：多项式混沌展开代理模型一般式为：
Figure BDA0002996875810000021
式中：M是输入随机变量的个数，
Figure BDA0002996875810000022
为自然数集合，
Figure BDA0002996875810000023
是M维自然数向量集合，βα是待定的展开系数，ψα是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，α为M维基函数索引下标；
步骤2.2：对项的数量进行双曲线截断，以向量-范数和多项式总阶数共同定义截断：
Figure BDA0002996875810000031
式中：
Figure BDA0002996875810000032
是分布函数上的概率测度；
Figure BDA0002996875810000033
Figure BDA0002996875810000034
称为下标向量α的秩，表示向量α中元素大于零的个数；
Figure BDA0002996875810000035
为向量α的q-范数，
Figure BDA0002996875810000036
为截断后下标集合；
步骤2.3：采用最小角回归方法作为自适应计算策略，构建多项式混沌展开代理模型：
Figure BDA0002996875810000037
Figure BDA0002996875810000038
式中：ξ＝Φ-1(Fx(X))为标准正态变换，0表示截断误差，Φ(·)为标准正态分布函数；β为所有参数构成的列向量，ψ(·)为基函数构成的列向量，
Figure BDA0002996875810000039
为数学期望，‖β‖1＝∑αβα，λ∈R为惩罚因子。
优选地，所述步骤3具体包括以下步骤：
步骤3.1：设结构上有m个观测点，每个观测点的响应实测值为di，i＝1，2，...，m，组成响应实测向量D＝[d1，d2，...，dm]；每个观测点响应对应的多项式混沌展开代理模型计算值为
Figure BDA00029968758100000310
构成的计算响应向量为
Figure BDA00029968758100000311
其中θ为力学参数构成向量，则参数反演模型为：
Figure BDA00029968758100000312
式中：Θ为参数空间，EV称为目标函数；
步骤3.2：根据中心极限定理及贝叶斯估计原理，设在给定的响应实测值D和参数θ时，目标函数EV服从正态分布：
Figure BDA00029968758100000313
式中：K为协方差矩阵；
当考虑噪声影响时，给定响应实测值D和参数θ时，目标函数EV的观测结果为z，且z＝EV+ε，其中噪声ε服从正态分布，均值为零，方差为σ2，即：
Figure BDA0002996875810000041
步骤3.3：设当前样本为：
Figure BDA0002996875810000042
根据高斯过程性质有：
Figure BDA0002996875810000043
式中：EV*为预测值；
根据贝叶斯公式，此时参数μt，
Figure BDA0002996875810000044
的后验估计为：
μt(θ)＝k(θ)T(K+σ2I)-1Z (9)
Figure BDA0002996875810000045
式中：Z＝(z1，z2，...zt)T；k(·，·)为协方差核函数；
步骤3.4：在获得当前样本的分布下，选择合适的参数值作为当前样本下参数值的估计，在已知后验均值和后验方差时，即可得到新的参数估计值如下式：
Figure BDA0002996875810000046
式中：αt(θ)＝μt(θ)-σt(θ)称为采集函数，由于对采集函数取其最小值，得到新的参数θt+1估计值优于当前的估计值；将θt+1加入到样本集
Figure BDA0002996875810000047
得到新样本集
Figure BDA0002996875810000048
重复上述的过程，直至找到最优参数。
本发明有益效果：
1.使用PCE_BO策略进行结构性能参数反演，可以在不降低计算精度的情况下极大程度上提高计算效率，实现大型复杂工程结构参数快速反演的目标；
2.与传统和现有主流方法相比，基于PCE_BO的结构性能参数反演方法能解放它们“过于依赖数值模型精度”的限制性，使得更为耗时的结构动参数反演成为可能；
3.多项式混沌扩展代理模型通过有效量化复杂结构的材料随机特性，从而一定程度上规避了基于确定性分析的传统方法抗噪能力弱这一缺点。
以下结合附图及实施例对本发明作进一步的说明。
附图说明
图1是本发明实施例的基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法的流程图；
图2是本发明实施例的某拱坝三维有限元模型；
图3是本发明实施例的某拱坝变形监测布置立面图；
图4是本发明实施例的拱坝测点1处数值模型与PCE模型对比；
图5是本发明实施例的基于PCE模型参数反演过程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，整个反演方法示意图如图1所示，包括以下步骤：
步骤1：建立可表征结构物理模型特性的高保真数值模型；
步骤2：选定待反演的结构性能参数作为输入变量，通过拉丁超立方法(LatinHypercube Sampling，LHS)随机采样有限组输入变量集，代入结构数值模型中求解出相应的输出变量集，基于“输入—输出”构建出可表征结构特性的多项式混沌展开(Polynomialchaos expansions，PCE)代理模型；
步骤2.1：多项式混沌展开代理模型一般式为：
Figure BDA0002996875810000051
式中：M是输入随机变量的个数，
Figure BDA0002996875810000052
为自然数集合，
Figure BDA0002996875810000053
是M维自然数向量集合，βα是待定的展开系数，ψα是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，α为M维基函数索引下标；
步骤2.2：对项的数量进行双曲线截断，以向量-范数和多项式总阶数共同定义截断：
Figure BDA0002996875810000061
式中：
Figure BDA0002996875810000062
是分布函数上的概率测度；
Figure BDA0002996875810000063
Figure BDA0002996875810000064
称为下标向量α的秩，表示向量α中元素大于零的个数；
Figure BDA0002996875810000065
为向量α的q-范数，
Figure BDA0002996875810000066
为截断后下标集合；
步骤2.3：采用最小角回归方法作为自适应计算策略，构建多项式混沌展开代理模型：
Figure BDA0002996875810000067
Figure BDA0002996875810000068
式中：ξ＝Φ-1(Fx(X))为标准正态变换，ε表示截断误差，Φ(·)为标准正态分布函数；β为所有参数构成的列向量，ψ(·)为基函数构成的列向量，
Figure BDA00029968758100000612
为数学期望，‖β‖1＝∑αβα，λ∈R为惩罚因子。
步骤3：通过纳入工程需求参数对应的实测数据作为贝叶斯优化器中的输入集，再基于所述多项式混沌展开代理模型结合贝叶斯优化(Bayesian optimization，BO)算法来快速更新待反演的结构性能参数。
步骤3.1：设结构上有m个观测点，每个观测点的响应实测值为di，i＝1，2，...，m，组成响应实测向量D＝[d1，d2，...，dm]；每个观测点响应对应的多项式混沌展开代理模型计算值为
Figure BDA0002996875810000069
构成的计算响应向量为
Figure BDA00029968758100000610
其中θ为力学参数构成向量，则参数反演模型为：
Figure BDA00029968758100000611
式中：Θ为参数空间，EV称为目标函数；
步骤3.2：根据中心极限定理及贝叶斯估计原理，设在给定的响应实测值D和参数θ时，目标函数EV服从正态分布：
Figure BDA0002996875810000071
式中：K为协方差矩阵；
当考虑噪声影响时，给定响应实测值D和参数θ时，目标函数EV的观测结果为z，且z＝EV+ε，其中噪声ε服从正态分布，均值为零，方差为σ2，即：
Figure BDA0002996875810000072
步骤3.3：设当前样本为：
Figure BDA0002996875810000073
根据高斯过程性质有：
Figure BDA0002996875810000074
式中：EV*为预测值；
根据贝叶斯公式，此时参数μt，
Figure BDA0002996875810000075
的后验估计为：
μt(θ)＝k(θ)T(K+σ2I)-1Z (9)
Figure BDA0002996875810000076
式中：Z＝(z1，z2，...zt)T；k(·，·)为协方差核函数；
步骤3.4：在获得当前样本的分布下，选择合适的参数值作为当前样本下参数值的估计，在已知后验均值和后验方差时，即可得到新的参数估计值如下式：
Figure BDA0002996875810000077
式中：αt(θ)＝μt(θ)-σt(θ)称为采集函数，由于对采集函数取其最小值，得到新的参数θt+1估计值优于当前的估计值；将θt+1加入到样本集
Figure BDA0002996875810000078
得到新样本集
Figure BDA0002996875810000079
重复上述的过程，直至找到最优参数。
实施例1，
本实施例基于国家重点研发计划(2018YFC0406703)；国家重点基金项目(51739006)的资助进行实施；本实施例选用某拱坝有限元模型如图2所示，图3显示了该拱坝变形监测布置立面图，各测点位置如图中标号所示。其中测点1、2处布置正垂监测，测点3处布置倒垂监测。表1提供了构建PCE代理模型所需的概率反演随机变量先验分布和统计值，表明本实施例共有9个待反演性能参数，以各参数经验值为反演变量的初始值。
表1概率反演随机变量先验分布和统计值
参数 符号 单位 概率分布模型 分布参数
分区1弹性模量 E1 Pa 高斯分布 N(2.00×10<sup>10</sup>，0.20×10<sup>10</sup>)
分区1线性热膨胀系数 α1 ℃ 高斯分布 N(7.00×10<sup>-6</sup>，0.70×10<sup>-6</sup>)
分区2弹性模量 E2 Pa 高斯分布 N(2.00×10<sup>10</sup>，0.20×10<sup>10</sup>)
分区2线性热膨胀系数 α2 ℃ 高斯分布 N(7.00×10<sup>-6</sup>，0.70×10<sup>-6</sup>)
分区3弹性模量 E3 Pa 高斯分布 N(1.60×10<sup>10</sup>，0.16×10<sup>10</sup>)
分区3线性热膨胀系数 α3 ℃ 高斯分布 N(7.00×10<sup>-6</sup>，0.70×10<sup>-6</sup>)
分区4弹性模量 E4 Pa 高斯分布 N(1.20×10<sup>10</sup>，0.12×10<sup>10</sup>)
分区5弹性模量 E5 Pa 高斯分布 N(0.60×10<sup>10</sup>，0.06×10<sup>10</sup>)
分区6弹性模量 E6 Pa 高斯分布 N(0.50×10<sup>10</sup>，0.05×10<sup>10</sup>)
针对表1中的9个随机变量，采用拉丁超立方抽样方法生成70组待反演参数有限元输入数据集，并将其代入到有限元模型中进行计算，提取出图3中三个测点的有限元节点顺河向位移，作为表征大坝结构特性的输出变量。所得的“输入-输出”数据集，其中40组用作构建不同样本量的试验设计，另外30组作为验证数据集以验证所构建的PCE代理模型的精度。
采用验证误差εval和留一误差εloo两种方法对代理模型精度进行评价，公式如下：
Figure BDA0002996875810000081
Figure BDA0002996875810000082
式中：
Figure BDA0002996875810000083
是验证集响应的样本均值，K为验证集中样本个数。
Figure BDA0002996875810000084
为将第i个样本点从完整试验设计中去除后得到PCE模型。
然后，利用不同样本量的试验设计，建立不同的PCE代理模型，以评价试验设计值不同对PCE模型预测精度的影响，选择其中合适的代理模型作为后续反演用的PCE模型。所构建的PCE模型精度如图4和表2，表明PCE模型可以起到很好替代有限元模型的效果。
表2拱坝PCE模型误差
测点编号 LOO误差 验证误差
1 1.0495×10<sup>-3</sup> 9.3430×10<sup>-4</sup>
2 8.5499×10<sup>-3</sup> 3.8182×10<sup>-3</sup>
3 9.1001×10<sup>-3</sup> 5.4290×10<sup>-3</sup>
再基于贝叶斯优化算法，结合已构建的PCE代理模型来确定表1中待反演参数的最优值。图5显示了基于PCE模型参数反演过程图，表明算法收敛速度快。表3显示了本方法与基于传统的有限元参数反演法结果对比，将其代入数值模型中计算得到各测点的位移计算值如图3所示，对比位移计算值如表4所示。
表3基于PCE模型参数反演与基于有限元参数反演结果对比
参数名 单位 基于PCE的参数反演结果 基于有限元的参数反演结果
E1 Pa 2.3327×10<sup>10</sup> 2.2711×10<sup>10</sup>
α1 ℃ 6.0303×10<sup>-6</sup> 6.3788×10<sup>-6</sup>
E2 Pa 2.2206×10<sup>10</sup> 2.2406×10<sup>10</sup>
a2 ℃ 6.3078×10<sup>-6</sup> 5.9853×10<sup>-6</sup>
E3 Pa 1.8576×10<sup>10</sup> 1.8219×10<sup>10</sup>
α3 ℃ 6.4781×10<sup>-6</sup> 6.1683×10<sup>-6</sup>
E4 Pa 9.6647×10<sup>9</sup> 1.0259×10<sup>10</sup>
E5 Pa 5.3074×10<sup>9</sup> 5.1921×10<sup>9</sup>
E6 Pa 4.4895×10<sup>9</sup> 4.2701×10<sup>9</sup>
表4各节点的顺河向位移绝对计算值
Figure BDA0002996875810000091
经过分析可知，本方法得到三个测点2个时间点位移计算值与实测值之间的均方根误差为0.4867，基于传统的有限元参数反演法得到的均方根误差为0.4243，可知两种算法反演精度十分接近且反演效果良好。但本方法计算总耗时为0.698小时，而基于传统的有限元参数反演法计算耗时为27.664小时，两者相差39.63倍，表明本方法的计算效率远高于传统算法，故而更加适用于复杂工程的参数反演。
上述实施例证实了本发明对大坝结构参数反演的有效性，能极大程度上提高大型复杂工程结构中参数反演的效率。
以上仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立可表征结构物理模型特性的高保真结构数值模型；
步骤2：选定待反演的结构性能参数作为输入变量，通过拉丁超立方法随机采样有限组输入变量集，代入结构数值模型中求解出相应的输出变量集，基于“输入-输出”构建出可表征结构特性的多项式混沌展开代理模型；
步骤3：通过纳入工程需求参数对应的实测数据作为贝叶斯优化器中的输入集，再基于所述多项式混沌展开代理模型结合贝叶斯优化算法来更新待反演的结构性能参数。
2.根据权利要求1所述的基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，其特征在于，所述步骤2中的多项式混沌展开代理模型的构建包括以下步骤：
步骤2.1：多项式混沌展开代理模型一般式为：
Figure FDA0002996875800000011
式中：M是输入随机变量的个数，
Figure FDA00029968758000000110
为自然数集合，
Figure FDA0002996875800000012
是M维自然数向量集合，βα是待定的展开系数，ψα是关于X的联合概率密度函数正交的多变量基函数，α为M维基函数索引下标；
步骤2.2：对项的数量进行双曲线截断，以向量-范数和多项式总阶数共同定义截断：
Figure FDA0002996875800000013
式中：
Figure FDA0002996875800000014
是分布函数上的概率测度；
Figure FDA0002996875800000015
Figure FDA0002996875800000016
称为下标向量α的秩，表示向量α中元素大于零的个数；
Figure FDA0002996875800000017
为向量α的q-范数，
Figure FDA0002996875800000018
为截断后下标集合；
步骤2.3：采用最小角回归方法作为自适应计算策略，构建多项式混沌展开代理模型：
Figure FDA0002996875800000019
Figure FDA0002996875800000021
式中：ξ＝Φ-1(Fx(X))为标准正态变换，ε表示截断误差，Φ(·)为标准正态分布函数；β为所有参数构成的列向量，ψ(·)为基函数构成的列向量，
Figure FDA0002996875800000029
为数学期望，||β||1＝∑αβα，λ∈R为惩罚因子。
3.根据权利要求2所述的基于PCE_BO的结构性能参数快速反演方法，其特征在于，所述步骤3中具体包括以下步骤：
步骤3.1：设结构上有m个观测点，每个观测点的响应实测值为di，i＝1，2，...，m，组成响应实测向量D＝[d1，d2，...，dm]；每个观测点响应对应的多项式混沌展开代理模型计算值为
Figure FDA0002996875800000022
构成的计算响应向量为
Figure FDA0002996875800000023
其中θ为力学参数构成向量，则参数反演模型为：
Figure FDA0002996875800000024
式中：Θ为参数空间，EV称为目标函数；
步骤3.2：根据中心极限定理及贝叶斯估计原理，设在给定的响应实测值D和参数θ时，目标函数EV服从正态分布：
Figure FDA0002996875800000025
式中：K为协方差矩阵；
当考虑噪声影响时，给定响应实测值D和参数θ时，目标函数EV的观测结果为z，且z＝EV+ε，其中噪声ε服从正态分布，均值为零，方差为σ2，即：
Figure FDA0002996875800000026
步骤3.3：设当前样本为：
Figure FDA0002996875800000027
根据高斯过程性质有：
Figure FDA0002996875800000028
式中：EV*为预测值；
根据贝叶斯公式，此时参数μt，
Figure FDA0002996875800000031
的后验估计为：
μt(θ)＝k(θ)T(K+σ2I)-1Z， (9)
Figure FDA0002996875800000032
式中：Z＝(z1，z2，...zt)T；k(·，·)为协方差核函数；
步骤3.4：在获得当前样本的分布下，选择合适的参数值作为当前样本下参数值的估计，在已知后验均值和后验方差时，即可得到新的参数估计值如下式：
Figure FDA0002996875800000033
式中：αt(θ)＝μt(θ)-σt(θ)称为采集函数，由于对采集函数取其最小值，得到新的参数θt+1估计值优于当前的估计值；将θt+1加入到样本集
Figure FDA0002996875800000034
得到新样本集
Figure FDA0002996875800000035
重复上述的过程，直至找到最优参数。
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