CN114819165B - 一种量子系统的模拟演化方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种量子系统的模拟演化方法，包括：基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从所述量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，所述第一关系式为含时演化，所述第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；基于所述量子态初态，按照N份所述子演化时间的序列，依次根据所述第二关系式对所述量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。本发明可以有效提高降低时间复杂度，并且可以提升计算精度，无需更多的辅助比特。

Description

一种量子系统的模拟演化方法及装置

技术领域

本发明涉及量子系统领域，特别涉及一种量子系统的模拟演化方法及装置。

背景技术

量子计算机是高效模拟量子系统演化的载体。它可以帮助我们计算分子、量子材料的微观演化形式和性质。对于量子模拟问题经典计算机的其时间复杂度往往随着系统的粒子个数指数上升。但对于量子计算机而言，其时间复杂度往往仅随系统粒子数以多项式的形式增加，极大地提升模拟效率。

量子系统的含时动力学演化是一类非常重要的演化过程，它描述了对量子系统施加周期性外场的过程，例如激光、交流磁场或电场等。由于其每一时刻的演化方程都不相同，这一类量子模拟问题往往比不含时动力学模拟更加的困难。实现高效地含时演化量子模拟，有助于我们了解量子系统在复杂外场影响下的性质和特点。

对于含时量子动力学演化，目前主要有两种实现方案。

1.基于一阶马格努斯(Magnus)展开和一、二阶特罗得(Trotter)分解相结合的方案。该方法将演化过程分解成N份，对每一份演化进行一阶马格努斯展开获得等效的非含时演化算符，进而用特罗得展开将演化算符分解为物理系统可以实现的子演化算符。这类方案不需要辅助量子比特，所以物理实现较为简单。然而，其主要的误差来源是一阶马格努斯展开，这导致了无论如何增加特罗得展开的阶数，都无法突破精确度的限制。具体的，其算法时间复杂度随模拟精度以O(1/ε)的形式增加。

2.基于戴森展开的方案。该方案将含时演化整体作戴森展开，将其等效为若干酉矩阵的带系数相加形式。然后应用酉正矩阵线性叠加技术，对该形式对应的演化方程进行模拟。这种方法能够得到更高的精度，然而，上面一种方案相比，戴森展开需要较为多的辅助比特，并且要求量子器件具有更加复杂的连通性，在现有技术下实现较为困难。

简言之，基于一阶马格努斯展开的方案精度较差，其算法时间复杂度随模拟精度以O(1/ε)的形式增加。基于戴森展开的方案虽然精度更高，但是物理实现更为复杂，需要更多的辅助比特，并且要求量子器件具有更加复杂的连通性。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的上述问题。

为实现上述目的，本发明提供了一种量子系统的模拟演化方法，包括：基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从所述量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，所述第一关系式为含时演化，所述第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；基于所述量子态初态，按照N份所述子演化时间的序列，依次根据所述第二关系式对所述量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。

本发明可以有效提高降低时间复杂度，并且可以提升计算精度，无需更多的辅助比特。

附图说明

图1为本发明实施例一种量子系统的模拟演化方法的流程图；

图2为本发明实施例的量子系统的模拟演化方法的一个实施例的流程图；

图3为本发明实施例的一种量子系统的模拟演化装置的结构图；

图4为本发明实施例的一种计算设备。

具体实施方式

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

在量子系统中，量子系统的量子态初态演化至量子态末态的过程，可以包括含时演化和非含时演化两种方式，在含时演化的过程中，由于其每一时刻的演化方程均不相同，这一类量子模拟问题往往比不含时动力学模拟更加的困难。实现高效地含时演化量子模拟，有助于我们了解量子系统在复杂外场影响下的性质和特点。

现有的对于含时演化的处理，主要有两种方案，两种方案如下：

1.基于一阶马格努斯(Magnus)展开和一、二阶特罗得(Trotter)分解相结合的方案。该方法将演化过程分解成N份，对每一份演化进行一阶马格努斯展开获得等效的非含时演化算符，进而用特罗得展开将演化算符分解为物理系统可以实现的子演化算符。这类方案不需要辅助量子比特，所以物理实现较为简单。然而，其主要的误差来源是一阶马格努斯展开，这导致了无论如何增加特罗得展开的阶数，都无法突破精确度的限制。具体的，其算法时间复杂度随模拟精度以O(1/ε)的形式增加。

2.基于戴森展开的方案。改方案将含时演化整体作戴森展开，将其等效为若干酉矩阵的带系数相加形式。然后应用酉正矩阵线性叠加技术，对该形式对应的演化方程进行模拟。这种方法能够得到更高的精度，然而，上面一种方案相比，戴森展开需要较为多的辅助比特，并且要求量子器件具有更加复杂的连通性，在现有技术下实现较为困难。

也就是说，现有的两种方案具有的缺点为：

基于一阶马格努斯展开的方案精度较差，其算法时间复杂度随模拟精度以O(1/ε)的形式增加。基于戴森展开的方案虽然精度更高，但是物理实现更为复杂，需要更多的辅助比特，并且要求量子器件具有更加复杂的连通性。

下面结合图1详细描述本发明实施例的一种量子系统的模拟演化方法，如图1所示为本发明实施例的量子系统的模拟演化方法的流程图。

如图1所示，一种量子系统的模拟演化方法，包括：

S101：基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；

在该步骤中，获取到的量子系统，根据标准量子态制备方法制备量子态初态，对于该量子态初态演化到量子态末态的时间，在演化之前是可以预先设置的。

例如，根据需要想要获得该量子态初态演化1微秒后得到的量子态末态，即可以将演化时间T预设为1微秒。若想获得演化2微秒后的量子态末态，即可以将演化时间T预设为2微秒。

在本发明的一些可选实施例中，对于预设的演化时间T确定后，可以将演化时间T分成N份子演化时间，并且N份子演化时间之间的时间间距需要相等。由此可以在量子态初态随着演化时间T演化为量子态末态的过程拆解为N份演化，并且由于每份子演化时间的相等，便于计算。

在本发明的再一些可选实施例中，对于预设的演化时间T确定后，可以将演化时间T分成N份子演化时间，并且N份子演化时间之间的时间间距可以不相等。由此可以根据实际需要，灵活的对N份子演化时间的长短进行设置。

在将演化时间T按等间距分为N份时，N的数值越大，演化时间T所分解的子演化时间的份数越多，由此量子态初态在按照每份子演化时间演化时，精度越高。

需要说明的是，在将演化时间T分解为N份子演化时间时，随着N的增加，演化中的误差会更小，也就是演化的精度也会增大，但是所需的资源也会增加。因此，对于将演化时间T的分解份数N的选取，需要根据实际情况来具体分析。选取合适的N的数值，即可以保证提升量子态初态演化为量子态末态的精度，降低误差，同时还可以消耗最少的资源。

S102：将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，第一关系式为含时演化，第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；

在该步骤中，由前文可知，将演化时间T分为N份子演化时间后，量子态初态可以按照每份子演化时间进行演化，在此时的演化过程中，量子态初态根据第一关系式进行演化。

具体地，第一关系式为含时演化，在量子系统中，含时演化即受时间影响的演化，其过程中由于每一时刻的演化方程式都不相同，所以含时演化的模拟相对困难。

上文中的第一关系式为：

其中，ρ为表征量子态的密度矩阵，t表示演化时间，i表示虚数单元，H(t)是由表示t时刻量子系统的哈密顿量，哈密顿量可以为由具体数值组成的矩阵。

由该第一关系式可以了解到，量子态初态的演化是受到时间影响的，因此可知，在量子计算机中直接按照上述关系式对量子系统进行演化是较为困难的。

而第二关系式为非含时演化，相比于第一关系式的含时演化较为简单，因此，在本发明实施例的一种量子系统的模拟演化方法中，将量子系统的含时演化转换为非含时演化，从而降低演化模拟的困难度。

进一步地，第二关系式的非含时演化依赖于多阶马格努斯展开。本领域技术人员可以理解的是，对于多阶马格努斯展开，其至少为二阶以上。由此，通过至少在二阶以上的多阶马格努斯展开，可以在不需要更多量子比特的情况下，降低时间复杂度。

优选地，在本发明的实施例的一种量子系统的模拟演化中，第二关系式可以依赖于二阶马格努斯展开，通过二阶马格努斯展开，可以有效的降低算法的时间复杂度，并且不需要更多的量子比特，与现有的技术方案相比，物理实现简单，并且精度较高。

在该实施例中，第二关系式如下：

其中，

表示二阶马格努斯展开，其公式如下：

t表示量子初态的演化时间，i表示子演化时间的序号，即t_i对应于第i份子演化时间，t_i+1对应于第i+1份子演化时间，H(t)是由具体数值组成的表示t时刻的哈密顿量的矩阵。

由上文可知，在第二关系式中，使用了二阶马格努斯展开，由此可知，第二关系式基于二阶马格努斯展开后，可以被看成一个非含时演化，因此，量子态初态可以通过量子计算机按照第二关系式进行演化，将含时演化转换为一个非含时演化，从而无需过多辅助比特，时间复杂度也会降低。

下面详细阐述下第一关系式转换为第二关系式的具体过程：

首先第一关系式：

通过马格努斯展开定理可以转换为关系式：

此处的转化本领技术人员可以理解，是一种标准的数学转换做法。

其中Ω_m为m阶马格努斯展开,其具体形式由H(t)决定。上述公式也可以被称为无穷阶的马格努斯展开。一般情况下该公式不能直接被计算，但可以被近似表示。

在本发明实施例中，以二阶马格努斯展开为例，上式中的

其中

上式中的exp(-i(Ω₁+Ω₂))可以被看成一个以

为哈密顿量，以Δt为时长的非含时演化(其中Δt＝t_i+1-t_i)。

那么将Ω₁、Ω₂、

和Δt分别带入公式

中，可以得到

最终，将可以将公式

近似为如下的非含时演化，也就是第二关系式：

S103：基于量子态初态，按照N份子演化时间的序列，依次根据第二关系式对量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。

在该步骤中，在将演化时间T分为N份子演化时间时，N份子演化时间之间的是具有时间序列的。例如，演化时间T设置为10微秒，并将演化时间T等分为10份，则每份子演化时间为1微秒，那么可以理解的是，10份子演化时间的排列顺序可以为1-1微秒为第一份子演化时间，1微秒-2微秒为第二份子演化时间，以此类推。

换言之，将演化时间T拆分为多份子演化时间时，量子态初态可以按照子演化时间的序列，按照每份子演化时间的顺序进行演化，直到获得量子态末态，并对末态进行测量。为了便于描述，以ρ表示量子态，第一份演化时间为t₁，即量子态ρ(t₁)演化为ρ(t₂)，其中t₁＝0。在第i份演化将ρ(t_i)演化为ρ(t_i+1)。以此类推，最后一份将最终把量子态演化为ρ(t_N+1),其中t_N+1＝T。

S104：对量子态末态进行测量以获得期望值数据。

在该步骤中，通过对量子态末态进行测量，可以获取到期望值，为了保证所测量的结果的准确性，可以通过重复上述步骤获得多个量子态末态，并对多个量子态末态进行测量，并对多个测量结果取平均值，从而可以获得待估计物理量的期望值，并获取需要的若干物理性质。通过多次测量取平均值，可以有效的保证测量结果的准确性，从而提升该方法测量结果的精度。

在本发明实施例的一种量子系统的模拟演化方法中，按照N份子演化时间的序列，依次根据第二关系式对量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态，包括：

将第二关系式转换为第三关系式，其中第三关系式包括量子系统可直接实现的若干子演化，依次在序列的各子演化时间中，按照第三关系式包含的若干子演化，对量子系统进行模拟演化以得到量子态末态。

具体地，前文已经对第一关系式转换为第二关系式的具体步骤进行了描述，此处不做赘述。在得到第二关系式后，由于第二关系式中

对应的非含时演化过程仍然无法直接被获得，因此需要将第二关系式进一步转换为第三关系式，第三关系式为：

其中，

为固定数值，是量子系统可直接实现的子演化。

下面对第二关系式转换为第三关系式的步骤进行描述。

可以对第二关系式进行特罗得展开，将其拆分为若干子演化的乘积。

即

其中h_k,i满足：

且每一项

都是物理系统可以实现的演化。因此，只要在量子系统上按子演化时间的序列，依次实现

对应的非含时演化，就可以近似模拟ρ(t_i)到ρ(t_i+1)的演化，也就是将上述步骤应用在ρ(t₁)，ρ(t₂)，……直到ρ(t_N),便能够得到量子系统的末态ρ(t_N+1)＝ρ(T)。从而将原本是含时演化的量子系统，转换为非含时演化。可以有效的降低时间复杂度，并且保证精度的同时，无需过多的辅助比特。

通过本发明实施例的一种量子系统的模拟演化方法，通过将二阶马格努斯展开与特罗德展开结合，提高了模拟的精度，并且在不需要更多的辅助比特的情况下，降低了模拟演化的时间复杂度，可以将时间复杂度降低到

本方法的理实现简单，以及精度较高的优点。

图2位本发明实施例的一种量子系统的模拟演化方法的一个实施例的流程图，下面结合图2详细描述本方法。

首先根据实际需要制备量子态初态，并预先设定所需要的演化时间T，将演化时间T分为N份子演化时间，其中，N份子演化时间的时间间距可以相等也可以不相等。

在本发明的实施例中，优选地，将N份子演化时间设为相等时间间距。

量子态初态按照N份子演化时间依次进行演化，在初始阶段，获得的量子系统是含时演化，由于含时演化在量子计算机上计算较为困难和复杂，因此需要将含时演化等效为非韩式演化。

在本发明的实施例的一种量子系统的演化方法中，现将每份子演化时间的演化对应的第一关系式：

转换为第二关系式：

并做马格努斯展开，便可以将含时演化等效为非含时演化。

在第二关系式中，由于

对应的非含时演化过程仍然无法直接被获得，因此需要将第二关系式进一步转换为第三关系式，第三关系式为：

其中，

为固定数值，是量子系统可直接实现的子演化。

由此可以实现对量子态初态的演化，从而得到量子态末态，对量子态末态进行测量，并且取平均后，即可得到物理量的期望值。

在本发明的一些实施例中，量子系统包含玻色子阵列，且与周期性外场相互作用，周期性外场包括激光。

具体地，该方案可以应用到多体物理与周期性外场的相互作用中。为了便于描述，下面以量子系统中含有的玻色子阵列作为例。

假设每个玻色子的基态-第一激发态能级差为h_i，第i个玻色子和第j个玻色子的相互作用强度为J_i,j，另外，我们在每一个玻色子张施加周期性外场(例如激光)。系统的哈密顿量可以表示为：

其中，Ω_i表示外场的强度，ω_i表示周期性外场的频率，φ_i表示其相位。其马格努斯展开、特罗得分解都可以按照上面给出的公式获得。对于给定的初态，可以在完成模拟演化，并获得量子系统的量子态末态之后，对每个玻色子的激发<a_i>，和关联函数|<a_i><a_j>-<a_ia_j>|进行测量，最终可以得到多体物理系统在外场影响下的局域性、关联、纠缠等性质。

图3为本发明实施例的一种量子系统的模拟演化装置100的结构图，量子系统的模拟演化装置100包括：制备模块10，基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；转换模块20，将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，第一关系式为含时演化，所第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；演化模块30，基于量子态初态，按照N份子演化时间的序列，依次根据第二关系式对量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。

通过本发明实施例的一种量子系统的模拟演化装置100，通过将二阶马格努斯展开与特罗德展开结合，提高了模拟的精度，并且在不需要更多的辅助比特的情况下，降低了模拟演化的时间复杂度，可以将时间复杂度降低到

本方法的理实现简单，以及精度较高的优点。

图4为本发明实施例的一种计算设备200，包括存储器40和处理器50，存储器40中存储有可执行代码，处理器50执行可执行代码时，实现权利要求1-7中任一项的方法。

以上的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种量子系统的模拟演化方法，其特征在于,包括：

基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从所述量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；

将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，所述第一关系式为含时演化，所述第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；

基于所述量子态初态，按照N份所述子演化时间的序列，依次根据所述第二关系式对所述量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，还包括：

对所述量子态末态进行测量以获得期望值数据。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述第一关系式为：

其中，ρ为表征所述量子态的密度矩阵，t表示演化时间，i表示虚数单元，H(t)是由表示t时刻所述量子系统的哈密顿量。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述第二关系式依赖于二阶马格努斯展开，其具体形式为：

其中，

表示二阶马格努斯展开，其公式如下：

t表示演化时间，i表示所述子演化时间的序号，H(t)是由表示t时刻所述量子系统的哈密顿量。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述按照N份所述子演化时间的序列，依次根据所述第二关系式对所述量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态，包括：

将所述第二关系式转换为第三关系式，其中第三关系式包括所述量子系统可直接实现的若干子演化；

依次在所述序列的各子演化时间中，按照所述第三关系式包含的若干子演化，对所述量子系统进行模拟演化以得到所述量子态末态。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述第三关系式如下：

其中，

为固定数值，是所述量子系统可直接实现的子演化。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述量子系统包含玻色子阵列，且与周期性外场相互作用，所述周期性外场包括激光。

8.一种量子系统的模拟演化装置，其特征在于，包括：

制备模块，基于待演化的量子系统制备量子态初态，将预设的从所述量子态初态演化为量子态末态所需要的演化时间T分解为N份子演化时间；

转换模块，将每份子演化时间中量子态演化所依据的第一关系式转换为第二关系式；其中，所述第一关系式为含时演化，所第二关系式为依赖于多阶马格努斯展开的非含时演化；

演化模块，基于所述量子态初态，按照N份所述子演化时间的序列，依次根据所述第二关系式对所述量子系统进行模拟演化，以获得量子态末态。

9.一种计算设备，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有可执行代码，所述处理器执行所述可执行代码时，实现权利要求1-7中任一项所述的方法。

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