CN114722354B - 计算归一化轨道角动量通量密度的方法、设备及存储介质 - Google Patents

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CN114722354B CN202210654132.0A CN202210654132A CN114722354B CN 114722354 B CN114722354 B CN 114722354B CN 202210654132 A CN202210654132 A CN 202210654132A CN 114722354 B CN114722354 B CN 114722354B
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    • Y02E60/00—Enabling technologies; Technologies with a potential or indirect contribution to GHG emissions mitigation

Abstract

本发明涉及一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法，包括确定紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式；根据轨道角动量通量表达式的积分形式得到轨道角动量通量密度表达式；将轨道角动量通量密度表达式分解为个有相似形式的分解式；将每个分解式化简为4个卷积运算之和，并将轨道角动量通量密度表达式写为个卷积运算之和；对轨道角动量通量密度归一化，得到分数结构的轨道角动量通量密度表达式。本发明将归一化轨道角动量通量密度处理为分数结构，分子表现为个卷积运算之和，分母表现为个卷积运算之和，可借助软件Matlab实现快速计算。

Description

计算归一化轨道角动量通量密度的方法、设备及存储介质
技术领域
本发明涉及光学技术领域，尤其是指一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法、设备及存储介质。
背景技术
1992年Allen第一次提出了涡旋光束，这是一种具有螺旋形波前、携带轨道角动量(OAM)的特殊光束，在光学操纵、遥感、成像、量子光学、光通信等领域都表现出新奇有趣的物理特性。轨道角动量也成为了国内外学者研究工作的焦点，它在光镊、超分辨率显微镜等方面的应用非常丰富。涡旋光束的轨道角动量(OAM)为调控光-物质相互作用提供了新的维度，也为相关领域带来了现实价值。
目前大多数轨道角动量的研究都集中在完全相干场的情况，事实证明，部分相干场具有减少湍流引起的闪烁、减少光束扩散、减少图像噪音等优点，在自由空间通信、粒子俘获、原子吸收等方面比相干光束更具优势。特别地，在部分相干场上增加涡旋可以提高这些能力。因此，将涡旋光束从完全相干场扩展到部分相干场是非常有意义的，相干性也成为了调控部分相干光束轨道角动量通量密度的新的自由度。2022年王海云提出了一种有效的数值方法（Wang H, Yang Z, Liu L, et al. Fast calculation of orbital angularmomentum flux density of partially coherent Schell-model beams on propagation[J]. Optics Express, 2022, 30(10): 16856-16872.），其仅采用二维傅里叶变换可计算任意部分相干傍轴ABCD光束的轨道角动量通量密度，建立了轨道角动量通量密度的快速数值计算的一般形式。但是该方法仅适用于傍轴光束模型，存在一定局限性，无法计算非傍轴情况，例如紧聚焦焦场的轨道角动量通量密度。
虽然有关完全相干光紧聚焦焦场的轨道角动量研究发展迅速，但有关部分相干光紧聚焦焦场的轨道角动量研究却鲜有涉及，很大程度是因为受限于运算过程中不可避免的偏微分和四重积分。若采用传统的完全相干展开法求解，需将部分相干光分解为多个完全相干光的非相干叠加，分别求解每个完全相干光模式的在紧聚焦焦场的轨道角动量通量密度，再对每个模式的轨道角动量通量密度进行叠加，得到部分相干光的轨道角动量通量密度。但这种近似计算方法需要大量的模式数，给计算效率和结果精度带来了较大的阻碍。
因此提出一种高效、精确计算紧聚焦焦场的轨道角动量通量密度的方法显得尤为重要。
发明内容
为此，本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术存在的问题，提出一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法、设备及存储介质，其将归一化轨道角动量通量密度处理为分数结构，分子表现为个卷积运算之和，分母表现为个卷积运算之和，可借助软件Matlab实现快速计算。
为解决上述技术问题，本发明提供一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法，包括以下步骤：
根据部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式和非傍轴情况下的交叉谱密度矩阵确定紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式；
根据轨道角动量通量表达式的积分形式得到轨道角动量通量密度表达式；
将轨道角动量通量密度表达式分解为
Figure 811915DEST_PATH_IMAGE001
个有相似形式的分解式；
将每个分解式化简为4个卷积运算之和，并将轨道角动量通量密度表达式写为
Figure 361845DEST_PATH_IMAGE002
个卷积运算之和；
对轨道角动量通量密度进行归一化，得到分数结构的轨道角动量通量密度表达式。
在本发明的一个实施例中，根据部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式和非傍轴情况下的交叉谱密度矩阵确定紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量形式的方法包括：
确定部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式如下：
Figure 305530DEST_PATH_IMAGE003
(1)
其中
Figure 84261DEST_PATH_IMAGE004
表示真空中的光速，
Figure 797002DEST_PATH_IMAGE005
表示通过光束横截面的平均能量，其使用坡印廷矢 量
Figure 783413DEST_PATH_IMAGE006
的积分来描述，
Figure 214394DEST_PATH_IMAGE007
和
Figure 46084DEST_PATH_IMAGE008
表示交叉二阶矩；
在紧聚焦系统中，使用
Figure 862599DEST_PATH_IMAGE009
交叉谱密度矩阵
Figure 754332DEST_PATH_IMAGE010
来描述部分相干矢量光束在焦 平面附近的二阶相关特性：
Figure 407030DEST_PATH_IMAGE011
(2)
其中
Figure 42411DEST_PATH_IMAGE012
和
Figure 729744DEST_PATH_IMAGE013
表示焦场附近的同一截面上两个观察点的横截 面坐标，
Figure 808689DEST_PATH_IMAGE014
表示观察点到焦点的纵向距离，
Figure 683105DEST_PATH_IMAGE015
和
Figure 387755DEST_PATH_IMAGE016
分别表示
Figure 664016DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 163130DEST_PATH_IMAGE018
处的电场，
Figure 774109DEST_PATH_IMAGE019
表示系综平均，
Figure 751292DEST_PATH_IMAGE020
表示转置复共轭，
Figure 147639DEST_PATH_IMAGE021
表示
Figure 817654DEST_PATH_IMAGE022
矩阵中的9个交叉谱密度 矩阵元；
引入新的坐标表达形式
Figure 932241DEST_PATH_IMAGE023
和
Figure 198268DEST_PATH_IMAGE024
， 将公式(2)写为
Figure 714700DEST_PATH_IMAGE025
(3)
将坡印廷矢量
Figure 555617DEST_PATH_IMAGE026
用公式(3)中的偏振矩阵元表示：
Figure 891921DEST_PATH_IMAGE027
(4)
那么公式(1)中的两个交叉二阶矩和分别表示为：
Figure 476486DEST_PATH_IMAGE028
(5)
Figure 96692DEST_PATH_IMAGE029
(6)
其中
Figure 842931DEST_PATH_IMAGE030
为虚数单位，
Figure 666531DEST_PATH_IMAGE031
为入射光波数；将公式(5)和公式(6)代入公式(1)中，得到 紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式如下：
Figure 54787DEST_PATH_IMAGE032
(7)。
在本发明的一个实施例中，根据轨道角动量通量表达式的积分形式得到轨道角动量通量密度表达式的方法包括：
从公式(7)的积分形式中获得沿传输方向的轨道角动量通量密度
Figure 14652DEST_PATH_IMAGE033
如 下：
Figure 948105DEST_PATH_IMAGE034
(8)
将公式(8)中交叉谱密度矩阵的矩阵元
Figure 259000DEST_PATH_IMAGE035
、
Figure 185368DEST_PATH_IMAGE036
和
Figure 265319DEST_PATH_IMAGE037
写成表达式如下：
Figure 618940DEST_PATH_IMAGE038
(9)
其中
Figure 666400DEST_PATH_IMAGE039
为透镜的焦距，
Figure 130879DEST_PATH_IMAGE040
为入射光波长，
Figure 65337DEST_PATH_IMAGE041
表示
Figure 855438DEST_PATH_IMAGE042
的傅里叶变换，
Figure 609768DEST_PATH_IMAGE043
表示
Figure 894250DEST_PATH_IMAGE044
的傅里叶变换，
Figure 948793DEST_PATH_IMAGE045
表示共轭。
在本发明的一个实施例中，将轨道角动量通量密度表达式分解为
Figure 644217DEST_PATH_IMAGE046
个有相似 形式的分解式的方法包括：
将公式(9)写为4个有相似形式的积分的和
Figure 151422DEST_PATH_IMAGE047
(11)
其中
Figure 472550DEST_PATH_IMAGE048
(12)
于是公式(8)表示为
Figure 116021DEST_PATH_IMAGE049
(13)
其中
Figure 247925DEST_PATH_IMAGE050
(14)。
在本发明的一个实施例中，将每个分解式化简为4个卷积运算之和，并将轨道角动 量通量密度表达式写为
Figure 976847DEST_PATH_IMAGE051
个卷积运算之和的方法包括：
分别对分解式进行求偏导、狄拉克函数以及傅里叶变换运算，将每个分解式简化为4个卷积运算之和，得到：
Figure 852399DEST_PATH_IMAGE052
(23)
Figure 632267DEST_PATH_IMAGE053
(24)
Figure 403914DEST_PATH_IMAGE054
(25)
Figure 151290DEST_PATH_IMAGE055
(26)
其中
Figure 564954DEST_PATH_IMAGE056
(27)
将公式(23)-(26)代入公式(13)即得到沿传输方向的轨道角动量通量密度
Figure 183017DEST_PATH_IMAGE033
。
在本发明的一个实施例中，对分解式进行求偏导、狄拉克函数以及傅里叶变换运算的方法包括：
针对
Figure 640412DEST_PATH_IMAGE057
表达式中方括号内的第一个偏导：
Figure 609505DEST_PATH_IMAGE058
(15)
其中
Figure 561281DEST_PATH_IMAGE059
表示狄拉克函数，满足
Figure 299430DEST_PATH_IMAGE060
；
Figure 678459DEST_PATH_IMAGE061
表示狄拉克 函数的一阶导，满足
Figure 885580DEST_PATH_IMAGE062
；
利用
Figure 641047DEST_PATH_IMAGE063
对公式(15)的
Figure 499281DEST_PATH_IMAGE064
积分，利用傅里叶变换 对
Figure 49211DEST_PATH_IMAGE065
积分，得到：
Figure 727317DEST_PATH_IMAGE066
(16)
其中
Figure 270163DEST_PATH_IMAGE067
为
Figure 982904DEST_PATH_IMAGE068
的傅里叶变换，
Figure 703735DEST_PATH_IMAGE069
为
Figure 134717DEST_PATH_IMAGE070
的傅里叶变换，
Figure 231986DEST_PATH_IMAGE071
；
已知
Figure 284386DEST_PATH_IMAGE072
表示
Figure 441698DEST_PATH_IMAGE073
的傅里叶变换，即
Figure 94396DEST_PATH_IMAGE074
， 那么：
Figure 729777DEST_PATH_IMAGE075
(17)
其中
Figure 417110DEST_PATH_IMAGE076
，将公式(17)代入公式(16)，得到：
Figure 994591DEST_PATH_IMAGE077
(18)
其中
Figure 869006DEST_PATH_IMAGE078
为卷积运算符号。
在本发明的一个实施例中，对轨道角动量通量密度归一化，得到分数结构的轨道角动量通量密度表达式的方法包括：
对轨道角动量通量密度归一化，
Figure 308078DEST_PATH_IMAGE079
处的归一化轨道角动量通量密度表示为：
Figure 849918DEST_PATH_IMAGE080
(28)
其中
Figure 83453DEST_PATH_IMAGE081
和
Figure 461476DEST_PATH_IMAGE082
分别是约化普朗克常数和光的角频率，获得坡印廷矢量
Figure 704238DEST_PATH_IMAGE083
表 达式：
Figure 100584DEST_PATH_IMAGE084
(29)
将公式(23)-(26)和公式(29)代入公式(28)，最终得到紧聚焦焦场的沿传输方向 的归一化轨道角动量通量密度
Figure 770600DEST_PATH_IMAGE085
。
在本发明的一个实施例中，分数结构的轨道角动量通量密度表达式中分子表现为
Figure 354028DEST_PATH_IMAGE086
个卷积运算之和，分母表现为
Figure 649749DEST_PATH_IMAGE087
个卷积运算之和。
此外，本发明还提供了一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现上述所述方法的步骤。
并且，本发明还提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时实现上述所述方法的步骤。
本发明的上述技术方案相比现有技术具有以下优点：
1.本发明将归一化轨道角动量通量密度处理为分数结构，分子表现为个卷积运算之和，分母表现为个卷积运算之和，可借助软件Matlab实现快速计算；
2.本发明采用数值计算，无近似、误差等模糊处理，计算结果准确清晰；
3.本发明可根据实际情况改变入射光的波长、相干性、偏振性和透镜参数等，计算时间和结果精度不受影响，具有广泛的适用性。
附图说明
为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据本发明的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明。
图1是本发明计算归一化轨道角动量通量密度的方法的流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好地理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。
请参阅图1所示，本发明实施例提供一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法，包括以下步骤：
S1：根据部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式和非傍轴情况下的交叉谱密度矩阵确定紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式；
S2：根据轨道角动量通量表达式的积分形式得到轨道角动量通量密度表达式；
S3：将轨道角动量通量密度表达式分解为
Figure 166181DEST_PATH_IMAGE001
个有相似形式的分解式；
S4：将每个分解式化简为4个卷积运算之和，并将轨道角动量通量密度表达式写为
Figure 741519DEST_PATH_IMAGE002
个卷积运算之和；
S5：对轨道角动量通量密度归一化，得到分数结构的轨道角动量通量密度表达式。
在本发明公开的一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法中，本发明将归一化轨道角动量通量密度处理为分数结构，分子表现为个卷积运算之和，分母表现为个卷积运算之和，可借助软件Matlab实现快速计算。
具体地，部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量
Figure 359713DEST_PATH_IMAGE088
可以用两个交叉二阶 矩
Figure 944278DEST_PATH_IMAGE089
和
Figure 49638DEST_PATH_IMAGE090
来表示：
Figure 61456DEST_PATH_IMAGE003
(1)
其中
Figure 150635DEST_PATH_IMAGE091
是真空中的光速，也可以表示为
Figure 546017DEST_PATH_IMAGE092
，
Figure 771462DEST_PATH_IMAGE093
和
Figure 954181DEST_PATH_IMAGE094
分别是真空中的 介电常数和磁导率。
Figure 265077DEST_PATH_IMAGE095
表示通过光束横截面的平均能量，可以用坡印廷矢量
Figure 925865DEST_PATH_IMAGE096
的积 分来描述。
在紧聚焦系统中，可以用
Figure 22129DEST_PATH_IMAGE097
交叉谱密度矩阵
Figure 375749DEST_PATH_IMAGE098
来描述部分相干矢量光束在焦 平面附近的二阶相关特性：
Figure 439520DEST_PATH_IMAGE099
(2)
其中
Figure 904000DEST_PATH_IMAGE100
和
Figure 353305DEST_PATH_IMAGE101
为焦场附近的同一截面上两个观察点的横 截面坐标，
Figure 612248DEST_PATH_IMAGE102
为观察点到焦点的纵向距离，
Figure 897735DEST_PATH_IMAGE103
和
Figure 431485DEST_PATH_IMAGE104
分别表示
Figure 220449DEST_PATH_IMAGE105
和
Figure 666605DEST_PATH_IMAGE106
处的 电场。
Figure 173810DEST_PATH_IMAGE107
表示系综平均，
Figure 245671DEST_PATH_IMAGE020
表示转置复共轭。
Figure 889142DEST_PATH_IMAGE108
表示矩阵
Figure 21046DEST_PATH_IMAGE109
中的9个 交叉谱密度矩阵元。此处引入新的坐标表达形式
Figure 264815DEST_PATH_IMAGE110
和
Figure 874788DEST_PATH_IMAGE111
，那么公式(2)写为：
Figure 638344DEST_PATH_IMAGE112
(3)
于是紧聚焦焦场中的坡印廷矢量
Figure 675570DEST_PATH_IMAGE113
可以用公式(3)中偏振矩阵元来表示：
Figure 157367DEST_PATH_IMAGE027
(4)
右下角标表示坐标
Figure 56184DEST_PATH_IMAGE114
。那么公式(1)中的两个交叉二阶矩
Figure 939827DEST_PATH_IMAGE115
和
Figure 413533DEST_PATH_IMAGE116
分别表示：
Figure 117047DEST_PATH_IMAGE117
(5)
Figure 334402DEST_PATH_IMAGE029
(6)
上式中
Figure 56239DEST_PATH_IMAGE118
为虚数单位，
Figure 700847DEST_PATH_IMAGE119
为入射光波数。
把公式(5)和公式(6)代入公式(1)中，得到轨道角动量通量：
Figure 891657DEST_PATH_IMAGE120
(7)
从公式(7)的积分形式中可以获得沿传输方向的轨道角动量通量密度
Figure 647123DEST_PATH_IMAGE121
：
Figure 505358DEST_PATH_IMAGE122
(8)
在部分相干谢尔模光束的紧聚焦系统中，可以将公式(8)中交叉谱密度矩阵的矩 阵元
Figure 806020DEST_PATH_IMAGE123
、
Figure 749706DEST_PATH_IMAGE124
和
Figure 308863DEST_PATH_IMAGE125
写成统一表达式：
Figure 756025DEST_PATH_IMAGE038
(9)
其中
Figure 991703DEST_PATH_IMAGE126
为透镜的焦距，
Figure 891526DEST_PATH_IMAGE127
为入射光波长。
Figure 988795DEST_PATH_IMAGE128
表示
Figure 556042DEST_PATH_IMAGE129
的傅里叶变换，
Figure 713354DEST_PATH_IMAGE130
表示
Figure 100473DEST_PATH_IMAGE131
的傅里叶变换，
Figure 752166DEST_PATH_IMAGE132
表示共轭；
Figure 439499DEST_PATH_IMAGE133
和
Figure 767712DEST_PATH_IMAGE134
记为：
Figure 642127DEST_PATH_IMAGE135
(10)
Figure 330466DEST_PATH_IMAGE136
为入射点坐标，其中
Figure 606727DEST_PATH_IMAGE137
为入射点相对光轴的距离，
Figure 105841DEST_PATH_IMAGE138
为入射点相对光轴的方位角。
Figure 733132DEST_PATH_IMAGE139
为虚数单位，
Figure 710315DEST_PATH_IMAGE140
为入射光波数，
Figure 857394DEST_PATH_IMAGE141
为观察 点到焦点的纵向距离；
Figure 261830DEST_PATH_IMAGE142
为孔径函数，由透镜参数决定，
Figure 376417DEST_PATH_IMAGE143
小于透镜最大半径
Figure 422870DEST_PATH_IMAGE144
时，
Figure 673723DEST_PATH_IMAGE145
，否则为0。
Figure 498328DEST_PATH_IMAGE146
是入射点和焦点连线与光轴的夹角。
Figure 100211DEST_PATH_IMAGE147
和
Figure 684776DEST_PATH_IMAGE148
为入射光 电场中元素。
Figure 337605DEST_PATH_IMAGE149
和
Figure 349424DEST_PATH_IMAGE150
为两个入射点坐标，引入新的坐标表达 形式
Figure 173023DEST_PATH_IMAGE151
和
Figure 295700DEST_PATH_IMAGE152
。
Figure 521145DEST_PATH_IMAGE153
表示
Figure 218711DEST_PATH_IMAGE154
的傅里叶 变换，
Figure 264028DEST_PATH_IMAGE155
是入射光相干结构矩阵
Figure 190396DEST_PATH_IMAGE156
中元素。
Figure 535926DEST_PATH_IMAGE157
和
Figure 623968DEST_PATH_IMAGE158
为积分变量。
为简便计算，将公式(9)写为4个有相似形式的积分的和：
Figure 172892DEST_PATH_IMAGE159
(11)
其中
Figure 637372DEST_PATH_IMAGE048
(12)
于是公式(8)表示为：
Figure 837409DEST_PATH_IMAGE160
(13)
其中
Figure 361931DEST_PATH_IMAGE161
(14)
不难发现公式(14)展现的四个式子有相同的结构，因此我们以第一个
Figure 381840DEST_PATH_IMAGE162
为例展开推导，其余三式类比。
首先针对
Figure 899277DEST_PATH_IMAGE162
表达式中方括号内的第一个偏导
Figure 953821DEST_PATH_IMAGE163
(15)
其中
Figure 649245DEST_PATH_IMAGE164
表示狄拉克函数，满足
Figure 422029DEST_PATH_IMAGE165
；
Figure 962731DEST_PATH_IMAGE166
表示狄 拉克函数的一阶导，满足
Figure 888093DEST_PATH_IMAGE167
。利用
Figure 754418DEST_PATH_IMAGE168
对公式(15)的
Figure 14498DEST_PATH_IMAGE169
积分，利用傅里叶变换对
Figure 624471DEST_PATH_IMAGE170
积 分，得到：
Figure 637295DEST_PATH_IMAGE171
(16)
其中
Figure 940101DEST_PATH_IMAGE172
为
Figure 421897DEST_PATH_IMAGE173
的傅里叶变换，
Figure 835561DEST_PATH_IMAGE174
为
Figure 453624DEST_PATH_IMAGE175
的傅里叶变换，在这里定义
Figure 678064DEST_PATH_IMAGE176
。已知
Figure 647157DEST_PATH_IMAGE177
表示
Figure 333353DEST_PATH_IMAGE178
的傅里叶变换，即
Figure 337081DEST_PATH_IMAGE179
，那么
Figure 716110DEST_PATH_IMAGE180
(17)
其中
Figure 421766DEST_PATH_IMAGE181
表示
Figure 177233DEST_PATH_IMAGE182
的傅里叶变换，在这里定义
Figure 769888DEST_PATH_IMAGE183
。 将公式(17)代入公式(16)，整理得到：
Figure 585397DEST_PATH_IMAGE184
(18)
Figure 279815DEST_PATH_IMAGE185
为卷积运算符号。
接下来计算
Figure 573393DEST_PATH_IMAGE186
表达式中方括号内的第二个偏导：
Figure 286134DEST_PATH_IMAGE187
(19)
对公式(19)中
Figure 6966DEST_PATH_IMAGE188
和
Figure 687214DEST_PATH_IMAGE189
积分：
Figure 784483DEST_PATH_IMAGE190
(20)
其中
Figure 351731DEST_PATH_IMAGE191
为
Figure 243464DEST_PATH_IMAGE192
的傅里叶变换，
Figure 161741DEST_PATH_IMAGE193
为
Figure 813433DEST_PATH_IMAGE194
的傅里叶变换，在这里定义
Figure 969608DEST_PATH_IMAGE195
。同时
Figure 297821DEST_PATH_IMAGE196
(21)
其中
Figure 437816DEST_PATH_IMAGE197
表示
Figure 391734DEST_PATH_IMAGE198
的傅里叶变换，在这里定义
Figure 667995DEST_PATH_IMAGE199
。将公式(21)代入公式(20)，整理得到：
Figure 167109DEST_PATH_IMAGE200
(22)
将公式(18)和公式(22)代入
Figure 528820DEST_PATH_IMAGE201
表达式中，得到
Figure 771583DEST_PATH_IMAGE202
(23)
经过类似推导，我们同样得到
Figure 918662DEST_PATH_IMAGE203
、
Figure 323098DEST_PATH_IMAGE204
和
Figure 437685DEST_PATH_IMAGE205
Figure 952980DEST_PATH_IMAGE053
(24)
Figure 469412DEST_PATH_IMAGE054
(25)
Figure 44749DEST_PATH_IMAGE055
(26)
其中
Figure 895900DEST_PATH_IMAGE056
(27)
将公式(23)-(26)代入公式(13)即得到沿传输方向的轨道角动量通量密度
Figure 214885DEST_PATH_IMAGE206
。由于轨道角动量通量密度取决于场的强度和环流，为消除强度的影响，对轨 道角动量通量密度归一化，
Figure 585824DEST_PATH_IMAGE207
处的归一化轨道角动量通量密度表示为：
Figure 597642DEST_PATH_IMAGE208
(28)
其中
Figure 155663DEST_PATH_IMAGE209
和
Figure 294651DEST_PATH_IMAGE210
分别是约化普朗克常数和光的角频率，获得坡印廷矢量
Figure 520096DEST_PATH_IMAGE211
表 达式：
Figure 437236DEST_PATH_IMAGE212
(29)
以上，将公式(23)-(26)和公式(29)代入公式(28)，最终得到紧聚焦焦场的沿传输 方向的归一化轨道角动量通量密度
Figure 13711DEST_PATH_IMAGE213
。观察其分数结构，分子表现为
Figure 674500DEST_PATH_IMAGE214
个卷 积运算之和，分母表现为
Figure 3719DEST_PATH_IMAGE215
个卷积运算之和。可借助软件Matlab实现快速计算。
本发明采用数值计算，无近似、误差等模糊处理，计算结果准确清晰。
本发明可根据实际情况改变入射光的波长、相干性、偏振性和透镜参数等，计算时间和结果精度不受影响，具有广泛的适用性。
在本实施例中，入射光束为部分相干x偏振拉盖尔高斯涡旋光束，角向量子数
Figure 622919DEST_PATH_IMAGE216
，径向量子数
Figure 155531DEST_PATH_IMAGE217
。入射电场表示为：
Figure 885590DEST_PATH_IMAGE218
(30)
束腰宽度
Figure 570780DEST_PATH_IMAGE219
，入射波长为
Figure 95303DEST_PATH_IMAGE220
。
Figure 115211DEST_PATH_IMAGE221
代表阶乘。相干度为高 斯函数：
Figure 383382DEST_PATH_IMAGE222
(31)
相干长度
Figure 437925DEST_PATH_IMAGE223
。紧聚焦系统中，透镜的数值孔径
Figure 133349DEST_PATH_IMAGE224
,焦距
Figure 889821DEST_PATH_IMAGE225
，周围介质折射率
Figure 961682DEST_PATH_IMAGE226
，选取焦平面
Figure 870732DEST_PATH_IMAGE227
。那么
Figure 737057DEST_PATH_IMAGE228
和
Figure 747870DEST_PATH_IMAGE229
矩阵中的元素为：
Figure 92263DEST_PATH_IMAGE230
(32)
Figure 121399DEST_PATH_IMAGE231
是入射点和焦点连线与光轴的夹角，
Figure 893046DEST_PATH_IMAGE232
是入射点相对光 轴的方位角。经过计算可以得到：
Figure 640422DEST_PATH_IMAGE233
(33)
Figure 788507DEST_PATH_IMAGE234
(34)
Figure 944854DEST_PATH_IMAGE235
(35)
Figure 418561DEST_PATH_IMAGE236
(36)
其中
Figure 387654DEST_PATH_IMAGE237
(37)
坡印廷矢量
Figure 73850DEST_PATH_IMAGE238
Figure 359469DEST_PATH_IMAGE239
(38)
其中，
Figure 472919DEST_PATH_IMAGE240
表示
Figure 929308DEST_PATH_IMAGE241
的傅里叶变换，
Figure 419195DEST_PATH_IMAGE242
表示
Figure 526697DEST_PATH_IMAGE243
的傅里叶变换，
Figure 342207DEST_PATH_IMAGE244
表示共轭；
Figure 20313DEST_PATH_IMAGE245
表示
Figure 313891DEST_PATH_IMAGE246
的 傅里叶变换。
将公式(33)-(36)和公式(38)代入
Figure 761053DEST_PATH_IMAGE247
表达式
Figure 498196DEST_PATH_IMAGE248
(39)
以上我们得到部分相干x偏振拉盖尔高斯涡旋光束在紧聚焦焦场的归一化轨道角 动量通量密度。在这个分数结构中，分子表现为
Figure 929177DEST_PATH_IMAGE249
个卷积运算之和，分母表现为
Figure 760867DEST_PATH_IMAGE250
个卷积运算之和。可借助软件Matlab实现快速计算。
相应于上面的方法实施例，本发明实施例还提供了一种计算机设备，包括：
存储器，其用于存储计算机程序；
处理器，其用于执行计算机程序时实现上述计算归一化轨道角动量通量密度的方法的步骤。
在本发明实施例中，处理器可以为中央处理器(Central Processing Unit，CPU)、特定应用集成电路、数字信号处理器、现场可编程门阵列或者其他可编程逻辑器件等。
处理器可以调用存储器中存储的程序，具体的，处理器可以执行计算归一化轨道角动量通量密度的方法的实施例中的操作。
存储器中用于存放一个或者一个以上程序，程序可以包括程序代码，程序代码包括计算机操作指令。
此外，存储器可以包括高速随机存取存储器，还可以包括非易失性存储器，例如至少一个磁盘存储器件或其他易失性固态存储器件。
相应于上面的方法实施例，本发明实施例还提供了一种计算机可读存储介质，计算机可读存储介质上存储有计算机程序，计算机程序被处理器执行时实现上述计算归一化轨道角动量通量密度的方法的步骤。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质（包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等）上实施的计算机程序产品的形式。
本申请是参照根据本申请实施例的方法、设备（系统）、和计算机程序产品的流程图和／或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和／或方框图中的每一流程和／或方框、以及流程图和／或方框图中的流程和／或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和／或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和／或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和／或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引申出的显而易见的变化或变动仍处于本发明创造的保护范围之中。

Claims (4)

1.一种计算归一化轨道角动量通量密度的方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：根据部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式和非傍轴情况下的交叉谱密度矩阵确定紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式；
其中，S1包括：
确定部分相干光束沿传输方向的轨道角动量通量的一般表达式如下：
Figure FDA0003801838000000011
其中c表示真空中的光速，St表示通过光束横截面的平均能量，其使用坡印廷矢量S(r，z)的积分来描述，<xθy>和<yθx>表示交叉二阶矩；
在紧聚焦系统中，使用3×3交叉谱密度矩阵Φ来描述部分相干矢量光束在焦平面附近的二阶相关特性：
Figure FDA0003801838000000012
其中r1＝(x1，y1)和r2＝(x2，y2)表示焦场附近的同一截面上两个观察点的横截面坐标，z表示观察点到焦点的纵向距离，τ(r1，z)和τ(r2，z)分别表示r1和r2处的电场，<>表示系综平均，
Figure FDA0003801838000000013
表示转置复共轭，Φij(i，j＝1，2，3)表示Φ矩阵中的9个交叉谱密度矩阵元；
引入新的坐标表达形式
Figure FDA0003801838000000021
和rd＝r1-r2＝(rdx，rdy)，将公式(2)写为
Figure FDA0003801838000000022
将坡印廷矢量S(r，z)用公式(3)中的偏振矩阵元表示：
Figure FDA0003801838000000023
那么公式(1)中的两个交叉二阶矩和分别表示为：
Figure FDA0003801838000000024
Figure FDA0003801838000000031
其中i为虚数单位，k为入射光波数；将公式(5)和公式(6)代入公式(1)中，得到紧聚焦系统下焦场的轨道角动量通量表达式如下：
Figure FDA0003801838000000032
S2：根据轨道角动量通量表达式的积分形式得到轨道角动量通量密度表达式；
其中，S2包括：
从公式(7)的积分形式中获得沿传输方向的轨道角动量通量密度Mdz(r，z)如下：
Figure FDA0003801838000000041
将公式(8)中交叉谱密度矩阵的矩阵元Φ11(rs，rd，z)、Φ22(rs，rd，z)和Φ33(rs，rd，z)写成表达式如下：
Figure FDA0003801838000000051
其中f为透镜的焦距，λ为入射光波长，
Figure FDA0003801838000000052
表示Aηj的傅里叶变换，
Figure FDA0003801838000000053
表示Biζ的傅里叶变换，*表示共轭，ρ1＝(ρ1x,ρ1y)和ρ2＝(ρ2x,ρ2y)为两个入射点坐标，引入新的坐标表达形式
Figure FDA0003801838000000054
和ρd＝ρ1-ρ2＝(ρdx,ρdy)，
Figure FDA0003801838000000055
表示uαβ的傅里叶变换，uαβ(α,β＝x,y)是入射光相干结构矩阵
Figure FDA0003801838000000056
中元素，u1和u2为积分变量；
S3：将轨道角动量通量密度表达式分解为3×4个有相似形式的分解式；
其中，S3包括：
将公式(9)写为4个有相似形式的积分的和
Figure FDA0003801838000000061
其中
Figure FDA0003801838000000071
于是公式(8)表示为
Figure FDA0003801838000000081
其中
Figure FDA0003801838000000082
S4：将每个分解式化简为4个卷积运算之和，并将轨道角动量通量密度表达式写为3×4×4个卷积运算之和；
其中，S4包括：
分别对分解式进行求偏导、狄拉克函数以及傅里叶变换运算，包括：
针对
Figure FDA0003801838000000091
表达式中方括号内的第一个偏导：
Figure FDA0003801838000000092
其中δ()表示狄拉克函数，满足δ(s)＝∫exp(-2πisv)dv；δ′()表示狄拉克函数的一阶导，满足
Figure FDA0003801838000000101
利用∫f(v)δ′(v-v0)dv＝-f′(v0)对公式(15)的u1积分，利用傅里叶变换对ρd积分，得到：
Figure FDA0003801838000000102
其中
Figure FDA0003801838000000103
为uxx的傅里叶变换，
Figure FDA0003801838000000104
为
Figure FDA0003801838000000105
的傅里叶变换，
Figure FDA0003801838000000111
已知
Figure FDA0003801838000000112
表示
Figure FDA0003801838000000113
的傅里叶变换，即
Figure FDA0003801838000000114
那么：
Figure FDA0003801838000000115
其中
Figure FDA0003801838000000116
将公式(17)代入公式(16)，得到：
Figure FDA0003801838000000121
其中
Figure FDA0003801838000000122
为卷积运算符号；
将每个分解式简化为4个卷积运算之和，得到：
Figure FDA0003801838000000131
Figure FDA0003801838000000141
Figure FDA0003801838000000151
Figure FDA0003801838000000161
其中
Figure FDA0003801838000000171
将公式(23)-(26)代入公式(13)即得到沿传输方向的轨道角动量通量密度Mdz(r，z)；
S5：对轨道角动量通量密度进行归一化，得到分数结构的轨道角动量通量密度表达式；
其中，S5包括：
对轨道角动量通量密度归一化，r处的归一化轨道角动量通量密度表示为：
Figure FDA0003801838000000172
其中
Figure FDA0003801838000000181
和ω分别是约化普朗克常数和光的角频率，获得坡印廷矢量S(r，z)表达式：
Figure FDA0003801838000000182
将公式(23)-(26)和公式(29)代入公式(28)，最终得到紧聚焦焦场的沿传输方向的归一化轨道角动量通量密度mdz(r)。
2.根据权利要求1所述的计算归一化轨道角动量通量密度的方法，其特征在于，分数结构的轨道角动量通量密度表达式中分子表现为3×4×4个卷积运算之和，分母表现为3×4个卷积运算之和。
3.一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述程序时实现权利要求1或2所述方法的步骤。
4.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该程序被处理器执行时实现权利要求1或2所述方法的步骤。
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