CN114692473B - 一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法 - Google Patents

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CN114692473B CN202210611317.3A CN202210611317A CN114692473B CN 114692473 B CN114692473 B CN 114692473B CN 202210611317 A CN202210611317 A CN 202210611317A CN 114692473 B CN114692473 B CN 114692473B
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Abstract

本发明公开了一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，针对不确定车桥耦合振动系统巧妙的引入了一个服从正态分布的振幅系数α，从而改变了输入系统的随机虚拟激励，让其具备了正态随机分布特征，进而带入方程得到系统响应，通过自相关过程得到响应功率谱密度函数，进而也可以求出系统响应的方差，标准差等；主要针对不确定模型的求解算法，通过在构造虚拟激励时的巧妙改变，且合理的划分空间频率区间，让本不具备计算不确定结构的虚拟激励法有了能够计算不确定结构的能力，这样就使得随机虚拟激励法有了一些虚拟激励法的特点，就比如计算的高效、结果的精确以及样本的减小，这也为研究不确定结构带来了便利。

Description

一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法
技术领域
本发明涉及车桥耦合振动系统响应求解分析技术领域，具体为一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法。
背景技术
近些年来，由于国内经济的加速，基建的投入不断加大，各地的桥梁拔地而起，随着桥梁的不断增加，行车效应的问题不得不正视，尤其对于车桥耦合振动响应的研究显得十分必要，对于桥梁行车的舒适性、安全性、稳定性还是桥梁健康的研究都有着重要的作用。桥梁作为交通运输咽喉有着及其重要的作用，特别是在高铁领域，现如今人们出行是离不开高铁这个重要的交通方式。随着桥梁和车辆模型的日益复杂，在整个系统中，桥梁的外部环境也十分重要，温度的变化，动静荷载的作用，测量的误差等。这给结构参数的实测与统计带来了难度，增加了其不确定性，比如车辆在制造测量环节，许多关键参数是不能确定的，以及桥梁参数也会随着外部环境而变化，这也给车桥耦合计算带来了新的难度与挑战。
在这之前计算车桥耦合随机振动的数值也是有很多种，其中最具影响力的是林家浩提出的虚拟激励法（Pseudo Excitation Method），由于此方法计算效率高，且步骤简便原理简单等优点，已经应用在了车辆工程、海洋工程、风工程以及结构抗震等领域。基本原理是构造虚拟激励，带入方程得到系统响应，通过自相关过程得到响应功率谱密度函数，进而也可以求出系统响应的方差，标准差等。以上都是将模型定义为确定模型而进行的计算分析，在不确定车桥耦合模型中此法尚不能应用。目前对于分析不确定参数的方法有以下几种；概率密度法、模糊方法间方法、以及传统的Monte Carlo法等。学者们对于研究计算不确定参数模型的算法依旧在不断探索，以求得简便、高效、易懂的方法。
对于近些年来，工程项目的不断推进以及复杂程度的变化，迫切的需要一种简便合理且高效的算法用于解决环境和生产时给结构带来的参数不确定的问题。传统的方法对于计算不确定模型不仅费时费力且计算效率的低下足以让人望而却步，显然无法满足学者的需求。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的在于提供一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，引入一个参数α反应系统的随机性，能够直接得出系统响应的样本结果，其结果能够结合随机振动分析抽样提供重要的依据，从而有效的分析车桥耦合系统响应的规律。技术方案如下：
一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，包括以下步骤：
步骤1：通过商业有限元软件Ansys建立车辆模型，并根据解析解验证车辆模型的自振频率；
步骤2：通过商业有限元软件Ansys建立桥梁模型，并根据计算得到的自振频率及模态验证桥梁模型的正确性；
步骤3：确定车辆模型和桥梁模型参数的变异系数Cov，依据变异系数Cov和均值通过Monte Carlo抽样获得随机参数；
步骤4：明确车辆和桥梁不确定模型样本数量，将随机参数结合不确定模型带入Ansys中获得不确定模型的模态和自振频率；
步骤5：选定轨道不平顺功率谱密度函数，根据随机虚拟激励原理在Matlab中编程，合理划分空间频率，获得随机虚拟激励；
步骤6：根据构造的随机虚拟激励
Figure 371105DEST_PATH_IMAGE001
，把随机虚拟激励样本分为余弦和正弦激 励样本，分别带入车桥耦合随机振动系统，并计算车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响 应样本；
步骤7：根据求解得到的正弦和余弦响应样本，结合空间频率进行梯形积分，得到系统响应统计量；
步骤8：根据系统响应统计量求得其标准差或方差；
步骤9：获得系统响应样本的分布情况。
进一步的，所述桥梁模型为：
Figure 819404DEST_PATH_IMAGE002
（1）
式中，M b 、C b 、K b 分别表示桥梁的质量矩阵、桥梁阻尼矩阵和桥梁刚度矩阵，
Figure 130300DEST_PATH_IMAGE003
分别表示桥梁的加速度、速度以及位移响应，F b 表示桥梁受到的外力作用；
所述车辆模型为：
Figure 807400DEST_PATH_IMAGE004
（2）
式中，M v 、C v 、K v 分别表示车辆的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，
Figure 949668DEST_PATH_IMAGE005
分别表示车辆运动的加速度、速度以及位移向量；f v 为作用在车辆上的外部激励力或荷载。
更进一步的，所述步骤5中获得随机虚拟激励，以及步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：结构受平稳激励作用下其运动方程为：
Figure 303289DEST_PATH_IMAGE006
（3）
其中，[M]、[C]、[K]分别代表n阶随时间变化的系统质量、阻尼和刚度矩阵，
Figure 350749DEST_PATH_IMAGE007
分别代表车桥系统响应的加速度、速度以及位移向量，[P]表示作用力分布状况的n×m阶矩 阵；｛x(t)｝表示为零均值平稳随机过程，其功率谱密度为[S xx (ω)]；
线性系统受到自谱密度为S xx (ω)的单点平稳随机激励x(t)时，其响应y的自功率谱S yy (ω)应为：
Figure 80807DEST_PATH_IMAGE008
（4）
式中，H(ω)表示线性时不变系统的频率响应函数，代表输入、输出信号为同频率的简谐波，ω代表空间圆频率，α为服从高斯正态分布的随机振幅参数的变量；
根据（4）式，将系统响应｛y｝的功率谱密度函数矩阵写为；
Figure 280844DEST_PATH_IMAGE009
（5）
式中，[H(ω)]为系统频率响应函数矩阵，其中带*字符的为其共轭矩阵，带T的为其转置矩阵，其中激励功率谱密度函数矩阵为Hermitian矩阵，对它进行分解得到以下关系：
Figure 805367DEST_PATH_IMAGE010
（6）
式中，
Figure 841587DEST_PATH_IMAGE011
为自谱功率谱密度函数矩阵的激励分解矩阵，[A]为激励的下三角矩阵，
Figure 844178DEST_PATH_IMAGE012
为[A]的第k列矩阵，m表示总的阶数，t代表计算时长；
将式（6）代入（5）式中：
Figure 898722DEST_PATH_IMAGE013
（7）
在结构平稳随机系统中，构造随机虚拟激励为：
Figure 859724DEST_PATH_IMAGE014
（8）
式中，
Figure 881776DEST_PATH_IMAGE015
为零均值平稳随机过程，由欧拉公式得到
Figure 688058DEST_PATH_IMAGE016
， 即
Figure 862687DEST_PATH_IMAGE017
。
更进一步的，所述步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：
随机激励作用下的第j阶第k列系统的响应为：
Figure 729012DEST_PATH_IMAGE018
（9）
式中，
Figure 739825DEST_PATH_IMAGE019
表示第j阶振型参与系数；
则第K阶随机激励作用下的随机振动响应为：
Figure 146535DEST_PATH_IMAGE020
（10）
式中，r表示响应向量总数；
Figure 175671DEST_PATH_IMAGE021
表示第j阶的模态信息，
Figure 727744DEST_PATH_IMAGE022
表示第j阶线性时 不变系统的频率响应函数；
得到在随机激励作用下的结构随机虚拟响应为：
Figure 209541DEST_PATH_IMAGE023
（11）
式中，
Figure 623205DEST_PATH_IMAGE024
表示第j阶第k列的结构响应。
更进一步的，所述步骤7中计算系统响应统计量具体为：
将结构随机响应的统计量
Figure 506847DEST_PATH_IMAGE025
表示为：
Figure 731286DEST_PATH_IMAGE026
（12）
式中，sign(·)为符号函数，
Figure 700379DEST_PATH_IMAGE027
为向量
Figure 652155DEST_PATH_IMAGE028
的转置向量，
Figure 655883DEST_PATH_IMAGE029
表示对α取绝对 值。
更进一步的，根据公式（8），得到非平稳的随机虚拟激励为：
Figure 549758DEST_PATH_IMAGE030
（13）
式中，
Figure 6147DEST_PATH_IMAGE031
是服从零均值高斯分布的随机过程，g(t)表示非平稳特征的时变调 制函数；
进而得到非平稳随机虚拟激励作用下的系统响应为：
Figure 761614DEST_PATH_IMAGE032
（14）
式中，τ表示任意时刻；h(t－τ)表示脉冲响应函数、g(τ)任意时刻的调制函数；I(ω,t)表示调制简谐激励；
则系统响应统计量
Figure 354269DEST_PATH_IMAGE033
为：
Figure 920511DEST_PATH_IMAGE034
（15）
式中，sign(α)表示关于α的符号函数。
更进一步的，所述步骤8中系统响应统计量的方差具体为：
平稳过程的均值
Figure 864196DEST_PATH_IMAGE035
和方差
Figure 423353DEST_PATH_IMAGE036
为：
Figure 136095DEST_PATH_IMAGE037
（16）
Figure 106193DEST_PATH_IMAGE038
（17）
非平稳过程的均值和方差为：
Figure 537175DEST_PATH_IMAGE039
（18）
Figure 634444DEST_PATH_IMAGE040
（19）
式中，E[α]表示α的数学期望或是均值，E[α]=0，V[α]表示α的方差值；R yy [0]表示零均值随机过程的方差值。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：本发明通过引入一个服从正态分布的振幅系数α，在构造随机虚拟激励时有着与传统虚拟激励不同的是激励样本发生了改变，在求解过程中也有着差别，传统虚拟激励法不能够直接获得车桥耦合系统响应的样本，而随机虚拟激励法则可以直接得到响应样本，进而对响应样本进行分析；故此随机虚拟激励法具备了传统虚拟激励法的优点，也为确定和不确定模型求解提供了方法；通过处理样本系统响应得到统计量，相比传统的方法，减少了计算样本，提高了效率。
附图说明
图1（a）为基于PEM和SPEM的确定质量模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向位移标准差。
图1（b）为基于PEM和SPEM的确定质量模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向加速度标准差。
图1（c）为基于PEM和SPEM的确定质量模型系统响应标准差图之车辆竖向位移标准差。
图1（d）为基于PEM和SPEM的确定质量模型系统响应标准差图之车辆竖向加速度标准差。
图2（a）为基于SPEM和Monte Carlo的不确定质量模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向位移标准差。
图2（b）为基于SPEM和Monte Carlo的不确定质量模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向加速度标准差。
图2（c）为基于SPEM和Monte Carlo的不确定质量模型系统响应标准差图之车辆竖向位移标准差。
图2（d）为基于SPEM和Monte Carlo的不确定质量模型系统响应标准差图之车辆竖向加速度标准差。
图3（a）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向位移均值。
图3（b）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向速度均值。
图3（c）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向加速度均值。
图3（d）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之车辆竖向加速度均值。
图3（e）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之车辆竖向速度均值。
图3（f）为基于PEM和SPEM的确定高速列车模型系统响应标准差图之车辆竖向位移均值。
图4（a）为基于PEM和Monte Carlo的不确定高速列车模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向位移标准差。
图4（b）为基于PEM和Monte Carlo的不确定高速列车模型系统响应标准差图之桥梁跨中竖向加速度标准差。
图4（c）为基于PEM和Monte Carlo的不确定高速列车模型系统响应标准差图之车辆竖向加速度标准差。
图4（d）为基于PEM和Monte Carlo的不确定高速列车模型系统响应标准差图之车辆横向加速度标准差。
图5为移动质量过单跨简支梁模型示意图。
图6为三跨简支梁模型Ansys图。
图7（a）为15个自由度的德国ICE高速列车简化模型图之车身正视图。
图7（b）为15个自由度的德国ICE高速列车简化模型图之车底转向架及轮对示意图。
图7（c）为15个自由度的德国ICE高速列车简化模型图之车身侧视图。
图8为高速列车过三跨简支梁模型示意图。
图9（a）为轨道不平顺功率谱及激励样本曲线图之基于随机高低不平顺模拟的空间域不平顺。
图9（b）为轨道不平顺功率谱及激励样本曲线图之高低不平顺功率谱图。
图10（a）不确定质量模型系统响应样本分布图之桥梁竖向位移。
图10（b）不确定质量模型系统响应样本分布图之车辆竖向位移。
图10（c）不确定质量模型系统响应样本分布图之桥梁竖向速度。
图10（d）不确定质量模型系统响应样本分布图之车辆竖向速度。
图10（e）不确定质量模型系统响应样本分布图之桥梁竖向加速度。
图10（f）不确定质量模型系统响应样本分布图之车辆竖向加速度。
图11（a）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之桥梁竖向位移。
图11（b）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之车辆竖向位移。
图11（c）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之桥梁竖向速度。
图11（d）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之车辆竖向速度。
图11（e）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之桥梁竖向加速度。
图11（f）不确定德国ICE高速列车模型系统响应样本分布图之车辆竖向加速度。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。
本发明基于随机虚拟激励法（Stochastic Pseudo Excitation Method），很好的解决了计算不确定车桥耦合的难点，显著提高了计算效率。其原理在构造虚拟激励的时候引入一个α，这个参数是服从正态分布的振幅系数，随后将其带入车桥耦合相互振动系统中进行计算，通过获得系统响应统计量最后计算得到不确定模型的标准差或方差等。随机虚拟激励法是在虚拟激励法的基础上发展而来的，此法为研究车桥耦合随机响应提供了一种依据。
本发明采用的技术方案步骤如下：
步骤1：通过商业有限元软件Ansys建立车辆模型，并根据解析解验证模型的自振频率；
步骤2：通过商业有限元软件Ansys建立桥梁模型，并根据计算得到的自振频率及模态验证模型的正确性；
步骤3：确定车辆模型和桥梁模型参数的变异系数Cov，依据变异系数Cov和均值通过Monte Carlo抽样获得随机参数；
步骤4：明确车辆和桥梁不确定模型样本数量，将随机参数结合模型带入Ansys中获得模型模态和自振频率；
步骤5：选定轨道不平顺功率谱密度函数，根据随机虚拟激励原理在Matlab中编程，合理划分空间频率，获得随机虚拟激励；
步骤6：根据构造的随机虚拟激励
Figure 467271DEST_PATH_IMAGE041
，把随机虚拟激励样本分为余弦和正弦激 励样本，分别带入VB-system计算车桥耦合随机振动系统响应样本；
步骤7：根据求解得到的正弦和余弦响应样本，结合空间频率进行梯形积分，得到系统响应统计量；
步骤8：根据响应统计量求得其标准差或是方差；
步骤9：获得系统响应样本的分布情况。
本发明涉及的基本理论如下：
1、所述桥梁模型为：
Figure 109736DEST_PATH_IMAGE042
（1）
式中，M b 、C b 、K b 分别表示桥梁的质量矩阵、桥梁阻尼矩阵和桥梁刚度矩阵，
Figure 28013DEST_PATH_IMAGE043
分别表示桥梁的加速度、速度以及位移响应，F b 表示桥梁受到的外力作用；
所述车辆模型为：
Figure 928973DEST_PATH_IMAGE004
（2）
式中，M v 、C v 、K v 分别表示车辆的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，
Figure 553989DEST_PATH_IMAGE044
分别 表示车辆运动的加速度、速度以及位移向量；f v 为作用在车辆上的外部激励力或荷载。
2、步骤5中获得随机虚拟激励，以及步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：
结构受平稳激励作用下其运动方程为：
Figure 882203DEST_PATH_IMAGE045
（3）
其中，[M]、[C]、[K]分别代表n阶随时间变化的系统质量、阻尼和刚度矩阵，
Figure 68202DEST_PATH_IMAGE046
分别代表车桥系统响应的加速度、速度以及位移向量，[P]表示作用力分布状况的n×m阶矩 阵；｛x(t)｝表示为零均值平稳随机过程，其功率谱密度为[S xx (ω)]；
线性系统受到自谱密度为S xx (ω)的单点平稳随机激励x(t)时，其响应y的自功率谱S yy (ω)应为：
Figure 772853DEST_PATH_IMAGE008
（4）
式中，H(ω)表示线性时不变系统的频率响应函数，代表输入、输出信号为同频率的简谐波，ω代表空间圆频率，α为服从高斯正态分布的随机振幅参数的变量；
根据（4）式，将系统响应｛y｝的功率谱密度函数矩阵写为；
Figure 49113DEST_PATH_IMAGE009
（5）
式中，[H(ω)]为系统频率响应函数矩阵，其中带*字符的为其共轭矩阵，带T的为其转置矩阵，其中激励功率谱密度函数矩阵为Hermitian矩阵，对它进行分解得到以下关系：
Figure 298960DEST_PATH_IMAGE047
（6）
式中，
Figure 926251DEST_PATH_IMAGE011
为自谱功率谱密度函数矩阵的激励分解矩阵，[A]为激励的下三角矩阵，
Figure 169013DEST_PATH_IMAGE048
为[A]的第k列矩阵，m表示总的阶数，t代表计算时长；
将式（6）代入（5）式中：
Figure 611365DEST_PATH_IMAGE049
（7）
在结构平稳随机系统中，构造随机虚拟激励为：
Figure 484643DEST_PATH_IMAGE014
（8）
式中，
Figure 599229DEST_PATH_IMAGE050
为零均值平稳随机过程，由欧拉公式得到
Figure 380104DEST_PATH_IMAGE051
， 即
Figure 444006DEST_PATH_IMAGE017
。
3、步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：
随机激励作用下的第j阶第k列系统的响应为：
Figure 284923DEST_PATH_IMAGE018
（9）
式中，
Figure 886805DEST_PATH_IMAGE052
表示第j阶振型参与系数；
则第K阶随机激励作用下的随机振动响应为：
Figure 471370DEST_PATH_IMAGE053
（10）
式中，r表示响应向量总数；
Figure 115014DEST_PATH_IMAGE054
表示第j阶的模态信息；
Figure 126832DEST_PATH_IMAGE055
表示第j阶线性时 不变系统的频率响应函数；
得到在随机激励作用下的结构随机虚拟响应为：
Figure 684853DEST_PATH_IMAGE056
（11）
式中，
Figure 73109DEST_PATH_IMAGE057
表示第j阶第k列的结构响应。
4、步骤7中计算系统响应统计量具体为：
将结构随机响应的统计量
Figure 49286DEST_PATH_IMAGE025
表示为：
Figure 28743DEST_PATH_IMAGE058
（12）
式中，sign(·)为符号函数，
Figure 605218DEST_PATH_IMAGE059
为向量
Figure 780854DEST_PATH_IMAGE060
的转置向量，
Figure 595226DEST_PATH_IMAGE061
表示对α取绝 对值。
根据公式（8），得到非平稳的随机虚拟激励为：
Figure 11164DEST_PATH_IMAGE062
（13）
式中，
Figure 12618DEST_PATH_IMAGE063
是服从零均值高斯分布的随机过程，g(t)表示非平稳特征的时变 调制函数；进而得到非平稳随机虚拟激励作用下的系统响应：
Figure 493409DEST_PATH_IMAGE032
（14）
式中，τ表示任意时刻；h(t－τ)表示脉冲响应函数、g(τ)任意时刻的调制函数；I(ω,t)表示调制简谐激励；
则系统响应统计量
Figure 427867DEST_PATH_IMAGE064
为：
Figure 217968DEST_PATH_IMAGE065
（15）
式中，sign(α)表示关于的符号函数。
5、步骤8中系统响应统计量的方差具体为：
平稳过程的均值
Figure 503456DEST_PATH_IMAGE066
和方差
Figure 20894DEST_PATH_IMAGE067
为：
Figure 75437DEST_PATH_IMAGE068
（16）
Figure 36440DEST_PATH_IMAGE069
（17）
非平稳过程的均值和方差为：
Figure 543645DEST_PATH_IMAGE070
（18）
Figure 366239DEST_PATH_IMAGE071
（19）
式中，E[α]表示α的数学期望或是均值，E[α]=0，V[α]表示α的方差值；R yy [0]表示零均值随机过程的方差值。
下面使用美国轨道不平顺功率谱作为目标谱，在Matlab中结合随机虚拟激励法原理，模拟得到随机虚拟激励，并以移动质量模型和德国高速列车两个模型为例，分析在不确定参数条件下车桥耦合振动的系统响应。
1）功率谱函数
轨道高低不平顺为：
Figure 540868DEST_PATH_IMAGE072
（20）
轨道方向不平顺为：
Figure 407193DEST_PATH_IMAGE073
（21）
式中，S(Ω)为轨道不平顺功率谱密度函数，单位为(m 2·m/rad)；Ω表示轨道不平顺空间频率值，单位为(rad/m)；k一般表示安全系数,常常取0.25；Ω c 为截断频率(rad/m)；A a 、A v 为粗糙度常数(m 2·m/rad)；对于不同等级的轨道可以参考表1。
轨道不平顺功率谱及激励样本曲线图中，基于随机高低不平顺模拟的空间域不平顺如图9（a）所示，高低不平顺功率谱图如图9（b）所示。
表1 美国轨道谱参数选取3
Figure 667273DEST_PATH_IMAGE074
。
功率密度谱函数S(Ω)，为了简化计算、方便带入需要将空间域转为时间域，通过关系式x=vt就可以实现，即
Figure 526513DEST_PATH_IMAGE075
（22）
式中，
Figure 352387DEST_PATH_IMAGE076
，其中V、λ分别表示车辆行驶速度以及波长，可以根据模型参 数来自行定义。
2）实例1
为了验证随机虚拟激励法的正确性，把选取车辆质量为随机参数。对于移动质量模型（单自由度），车辆质量的平均值M v 为5750kg，变异系数为0.2，遵循高斯正态分布。车辆刚度K v 为1.595×106 N/m，车辆阻尼系数C v 为9576 Ns/m。对于桥梁模型，密度M b 为2303 kg/m，杨氏模量E b 为2.87×109 pa，桥梁刚度I b 为2.90m4，阻尼比为0.02。具体模型参数见表2。采用车辆模型前15阶模态和自振频率以及桥梁模型前20阶模态和自振频率以确保模型的计算的准确性。车辆运行速度为100km/h，模型计算步长为0.006s，总的步数为250步。根据桥梁和车辆模型自振频率确定轨道不平顺功率谱空间频率为0~3(rad/m)，为了车辆能提前获得在桥头的初始速度并且保持稳定状态，车辆在距离桥头-5m处开始行驶，桥头处为0m，车辆驶出桥梁后继续行驶5m，以保证桥梁的振动充分。最终车辆行驶距离为40m，这显然能够满足系统耦合要求并且能保证车辆顺利通过桥梁稳定的行驶。
这里需要用到确定模型进行验证分析，在确定模型中空间频率区间以及步长等保持不变，同样采用美国六谱作为轨道激励，采用虚拟激励法与随机虚拟激励法进行验证分析。两种方法的样本数量分别为50个和60个。采用确定性模型验证随机虚拟激励法是进一步佐证随机虚拟激励法理论的正确性。即确定性模型验证之后，则需对不确定模型进行验证分析，需要采用传统的Monte Carlo法5000组样本与随机虚拟激励法50个样本进行对比验证。
表2 移动质量模型参数：
Figure 389613DEST_PATH_IMAGE078
。
在确定模型当中，通过虚拟激励法计算的样本与随机虚拟激励法的样本进行对比，如图1（a）～图1（d）所示。选取桥梁竖向位移、桥梁竖向加速度、车辆竖向位移、车辆竖向加速度画出其标准差图，系统响应的标准差能够基本吻合，说明随机虚拟激励法在求解确定性模型时也具备和虚拟激励法相同的特征，一样可以求出系统的响应，则进一步证明随机虚拟激励法的正确性，具备虚拟激励法的所具备的高效与节约计算成本的特性。
在不确定模型当中，如图2（a）～图2（d）所示，同样采用桥梁竖向位移、桥梁竖向加速度、车辆竖向位移、车辆竖向加速度画出其标准差图。对移动质量来说，随机激励法和传统Monte Carlo法计算出来的车辆竖向加速度、车辆竖向位移、桥梁竖向加速度和桥梁竖向位移曲线较为吻合。以桥桥梁竖向位移为例，使用Monte Carlo法得到的桥梁垂直位移的最大标准差为0.8974mm，用随机虚拟激励法得到的最大标准差为0.9063mm，误差为0.992%。
从图10（a）～图10（f）分析可以看出，图10（a）、图10（c）和图10（e）为桥梁系统响应分布图，图10（b）、图10（d）和图10（f）为列车系统响应分布图。采用了随机虚拟激励法计算车身质量不确定模型时，其中，柱状直方图表示样本的分布，实线曲线为正态分布的拟合控制曲线。以桥梁跨中竖向位移为例，系统响应样本与控制曲线变化基本一致，表明系统响应样本服从正态分布。
3）实例2
采用德国ICE高速列车模型，移动质量过单跨简支梁模型示意图如图5所示，三跨简支梁模型Ansys图如图6所示。车辆模型和桥梁模型的具体参数可以参考表3表4。其中车辆模型为15个自由度。15个自由度的德国ICE高速列车简化模型图如图7（a）～图7（c）所示，高速列车过三跨简支梁模型示意图如图8所示。同样需要采用随机虚拟激励法对确定性模型进行验证分析，由于除了模型参数都采用均值以外其余所需数据和不确定模型一样，所以这里只需介绍不确定模型需要参数定义情况。这里需要说明的是在确定性模型中采用虚拟激励法58个样本与随机虚拟激励法64个样本进行验证。在不确定模型中，只需要变动构造的虚拟激励，引入服从正态分布的振幅系数。采用车辆模型前12阶模态和自振频率以及桥梁模型前15阶模态和自振频率进行计算。与实例1相比将随机虚拟激励法样本数增加到64个，模型计算的步长为0.005s，总步数为600步，空间频率范围为0.0016·2·π～0.2387·2·π。
表3 弹性悬挂车辆模型参数：
Figure 887722DEST_PATH_IMAGE080
Figure 301385DEST_PATH_IMAGE082
Figure 185028DEST_PATH_IMAGE084
表4三跨简支桥梁参数：
Figure 658734DEST_PATH_IMAGE086
。
德国ICE高速列车模型的列车体质量为44000kg，变异系数为0.035，遵循高斯正态分布。在Monte Carlo中采用了5000个实测样本，随机虚拟激励法则是采用了50个样本。通过将其带入VB-system中，得到系统响应样本，并判断得到的系统响应服从分布规律。
从如图3（a）～图3（f）所示分析可以得出，在确定模型当中，以桥梁的垂直位移为例，虚拟激励法和随机虚拟激励法样本计算结果的最大标准差分别为9.6234×10-3 m/s 2和9.5439×10-3 m/s 2，两种方法的误差为0.83%。再以列车垂直加速度为例，虚拟激励法样本计算的最大标准差为0.8361 m/s 2，而随机虚拟激励法样本计算的最大标准偏差为0.8022m/s 2，相较之下虚拟激励法和随机虚拟激励法的计算误差为4%。随机虚拟激励法与虚拟激励法相比，随机虚拟激励法多计算了5个样本，计算效率降低了8.4%，计算耗时增加了15分钟。与蒙特卡洛法相比这种方法计算简便，而且计算效率很高。
总之，列车桥梁系统的响应曲线基本相同，这表明随机虚拟激励法理论算法的正确性。因此它也可以用于确定性结构的分析，具有虚拟激励法的特点。此外，考虑了一个振幅系数α，其服从标准正态分布，带入计算后不影响最终车桥耦合系统响应的结果。只是对车桥耦合系统响应标准差的振幅上有所影响，这就需要合理的调整样本个数和规划空间频率区间，这一步显得尤为重要。因此，随机虚拟激励法和虚拟激励法的计算结果可以很好地匹配，为确定性结构的研究提供了另一种解决方案，使其具有虚拟激励法的效率、正确性和简便的优点。
在不确定模型中，对于15个自由度的高速列车模型，通过计算获得的车桥耦合系统响应的标准差如图4（a）～图4（d）所示。随机虚拟激励法计算的结果与Monte Carlo法计算的结果有很好的一致性。因此，通过德国ICE列车模型，验证了随机虚拟激励法对不确定车桥耦合系统随机分析的准确性。随机虚拟激励法不仅处理了确定性系统的统计结果，而且还考虑了不确定参数对随机振动的影响。与Monte Carlo相比，随机虚拟激励法的效率也得到了体现。
从图11（a）～图11（f）分析可以看出，图中的实线是标准正态分布的概率密度函数。柱状图表示车桥耦合随机振动系统的动态响应分布，它是由随机虚拟激励法计算的样本得出的。结果显示，在轨道不规则和车身质量不确定参数的影响下，车桥耦合系统的动态响应分布也遵循标准正态分布。这进一步验证了随机虚拟激励算法中所选择的振幅因子的可用性。因此，随机虚拟激励法适用于计算不确定车桥耦合振动系统的随机响应。

Claims (6)

1.一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：通过商业有限元软件Ansys建立车辆模型，并根据解析解验证车辆模型的自振频率；
步骤2：通过商业有限元软件Ansys建立桥梁模型，并根据计算得到的自振频率及模态验证桥梁模型的正确性；
步骤3：确定车辆模型和桥梁模型参数的变异系数Cov，依据变异系数Cov和均值通过Monte Carlo抽样获得随机参数；
步骤4：明确车辆和桥梁不确定模型样本数量，将随机参数结合不确定模型带入Ansys中获得不确定模型的模态和自振频率；
步骤5：选定轨道不平顺功率谱密度函数，根据随机虚拟激励原理在Matlab中编程，合理划分空间频率，获得随机虚拟激励；
步骤6：根据构造的随机虚拟激励
Figure 914669DEST_PATH_IMAGE001
，把随机虚拟激励样本分为余弦和正弦激励样本，分别带入车桥耦合随机振动系统，并计算车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本；
步骤7：根据求解得到的正弦和余弦响应样本，结合空间频率进行梯形积分，得到系统响应统计量；
步骤8：根据系统响应统计量求得其标准差或方差；
步骤9：获得系统响应样本的分布情况；
所述步骤5中获得随机虚拟激励，以及步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：
结构受平稳激励作用下其运动方程为：
Figure 362968DEST_PATH_IMAGE002
（3）
其中，[M]、[C]、[K]分别代表n阶随时间变化的系统质量、阻尼和刚度矩阵，
Figure 159017DEST_PATH_IMAGE003
分别代表车桥系统响应的加速度、速度以及位移向量，[P]表示作用力分布状况的n×m阶矩阵；｛x(t)｝表示为零均值平稳随机过程，其功率谱密度为[S xx (ω)]；
线性系统受到自谱密度为S xx (ω)的单点平稳随机激励x(t)时，其响应y的自功率谱S yy (ω)应为：
Figure 85385DEST_PATH_IMAGE004
（4）
式中，H(ω)表示线性时不变系统的频率响应函数，代表输入、输出信号为同频率的简谐波，ω代表空间圆频率，α为服从高斯正态分布的随机振幅参数的变量；
根据（4）式，将系统响应｛y｝的功率谱密度函数矩阵写为；
Figure 430915DEST_PATH_IMAGE005
（5）
式中，[H(ω)]为系统频率响应函数矩阵，其中带*字符的为其共轭矩阵，带T的为其转置矩阵，其中激励功率谱密度函数矩阵为Hermitian矩阵，对它进行分解得到以下关系：
Figure 784536DEST_PATH_IMAGE007
（6）
式中，
Figure 837855DEST_PATH_IMAGE008
为自谱功率谱密度函数矩阵的激励分解矩阵，[A]为激励的下三角矩阵，
Figure 567914DEST_PATH_IMAGE009
为[A]的第k列矩阵，m表示总的阶数，t代表计算时长；
将式（6）代入（5）式中：
Figure 767951DEST_PATH_IMAGE010
（7）
在结构平稳随机系统中，构造随机虚拟激励为：
Figure 839943DEST_PATH_IMAGE011
（8）
式中，
Figure 125431DEST_PATH_IMAGE012
为零均值平稳随机过程，由欧拉公式得到
Figure 128022DEST_PATH_IMAGE013
，即
Figure 182566DEST_PATH_IMAGE014
。
2.根据权利要求1所述的一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，所述桥梁模型为：
Figure 392836DEST_PATH_IMAGE015
（1）
式中，M b 、C b 、K b 分别表示桥梁的质量矩阵、桥梁阻尼矩阵和桥梁刚度矩阵，
Figure 165620DEST_PATH_IMAGE016
分别表示桥梁的加速度、速度以及位移响应，F b 表示桥梁受到的外力作用；
所述车辆模型为：
Figure 971902DEST_PATH_IMAGE017
（2）
式中，M v 、C v 、K v 分别表示车辆的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，
Figure 146531DEST_PATH_IMAGE018
分别表示车辆运动的加速度、速度以及位移向量；f v 为作用在车辆上的外部激励力或荷载。
3.根据权利要求1所述的一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，
步骤6中车桥耦合随机振动系统的正弦和余弦响应样本具体包括：
随机激励作用下的第j阶第k列系统的响应为：
Figure 763589DEST_PATH_IMAGE019
（9）
式中，
Figure 820406DEST_PATH_IMAGE020
表示第j阶振型参与系数；
则第K阶随机激励作用下的随机振动响应为：
Figure 430379DEST_PATH_IMAGE021
（10）
式中，r表示响应向量总数；
Figure 708783DEST_PATH_IMAGE022
表示第j阶的模态信息，
Figure 11588DEST_PATH_IMAGE023
表示第j阶线性时不变系统的频率响应函数；
得到在随机激励作用下的结构随机虚拟响应为：
Figure 493385DEST_PATH_IMAGE025
（11）
式中，
Figure 641469DEST_PATH_IMAGE026
表示第j阶第k列的结构响应。
4.根据权利要求3所述的一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，步骤7中计算系统响应统计量具体为：
将结构随机虚拟响应的统计量
Figure 275844DEST_PATH_IMAGE027
表示为：
Figure 749551DEST_PATH_IMAGE028
（12）
式中，sign(·)为符号函数，
Figure 515382DEST_PATH_IMAGE029
为向量
Figure 716425DEST_PATH_IMAGE030
的转置向量，
Figure 454574DEST_PATH_IMAGE031
表示对α取绝对值。
5.根据权利要求4所述的一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，根据公式（8），得到非平稳的随机虚拟激励为：
Figure 895919DEST_PATH_IMAGE032
（13）
式中，
Figure 103041DEST_PATH_IMAGE033
是服从零均值高斯分布的随机过程，g(t)表示非平稳特征的时变调制函数；
进而得到非平稳随机虚拟激励作用下的系统响应为：
Figure 858507DEST_PATH_IMAGE034
（14）
式中，τ表示任意时刻；h(t－τ)表示脉冲响应函数、g(τ)任意时刻的调制函数；I(ω,t)表示调制简谐激励；
则系统响应统计量
Figure 451163DEST_PATH_IMAGE035
为：
Figure 266672DEST_PATH_IMAGE037
（15）
式中，sign(α)表示关于α的符号函数。
6.根据权利要求5所述的一种不确定车桥耦合振动系统响应的求解方法，其特征在于，步骤8中系统响应统计量的方差具体为：
平稳过程的均值
Figure 188186DEST_PATH_IMAGE038
和方差
Figure 747343DEST_PATH_IMAGE039
为：
Figure 460084DEST_PATH_IMAGE040
（16）
Figure DEST_PATH_IMAGE042
（17）
非平稳过程的均值和方差为：
Figure DEST_PATH_IMAGE043
（18）
Figure DEST_PATH_IMAGE044
（19）
式中，E[α]表示关于α的数学期望或是均值，E[α]=0，V[α]表示关于α的方差值；R yy [0]表示零均值随机过程的方差值。
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