CN114418325A - 一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法 - Google Patents

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CN114418325A CN202111607601.5A CN202111607601A CN114418325A CN 114418325 A CN114418325 A CN 114418325A CN 202111607601 A CN202111607601 A CN 202111607601A CN 114418325 A CN114418325 A CN 114418325A
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Abstract

本发明提出了一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法，以使社会总效用最大化。由于系统管理者和设施用户之间存在着双层决策结构，本发明构建了一个双层非线性整数规划模型。其上层是在预算约束下的医疗设施选址和服务能力规划问题，而下层是考虑拥挤效应的用户选择平衡问题。为了求解该双层规划模型，本发明采用遗传算法(GA)求解上层问题，采用逐次平均法(MSA)求解下层问题。实验表明该方法可以用于预算约束下的预防性医疗设施规划，也可以为预算编制提供参考。

Description

一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法
技术领域：
本发明提出了一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法，属于设施规划技术领域。
背景技术：
预防性医疗健康服务对政府来说至关重要，因为它可以通过早期发现降低潜在威胁生命的疾病的可能性和严重性。预防性医疗包括许多服务，例如流感预防、疫苗接种、癌症筛查、肝炎筛查和禁烟计划等。众所周知，预防永远比治疗好。它可以为政府节省大量资金，并提升全社会的福祉。然而，目前世界上许多国家和地区的预防性医疗健康服务并不令人满意。
本发明聚焦预防性医疗健康服务设施的选址和相关的服务能力规划。与传统的设施选址研究不同，用户不是选址最近的设施而是根据医疗设施的吸引力来选择。因此，了解用户如何做出选择至关重要。从用户行为选择的角度，先前的研究可以分为两种：(1)系统最优模型，即系统决策者指导用户去哪里；(2)用户选择模型，即用户可以自由选择设施。传统的设施选址研究通常是以距离为主要决定因素的系统最优模型。但某一设施的需求人数过多，排队等待时间就会过长，容易产生设施拥挤问题。Vidyarthi 和Kuzgunkaya考虑了在设施中的排队等待时间，提出了一个预防性医疗健康设施规划的系统优化模型。 Davari等不仅将排队时间作为约束条件，而且利用多目标优化将需求公平性和模糊吸引力纳入其中。最近，Risanger等提出了一个系统最优模型来选定药店进行新冠肺炎测试，其中需求是距离的指数衰减函数。总之，在系统最优模型中，每个用户都被系统决策者指定到一个设施。然而，在医疗健康服务行业，由于用户通常可以自由选择设施，因此采用用户选择模型更为合适。
用户选择模型解决用户如何选择设施的问题。它们可以进一步分为两类：(1)非均衡分配，即不考虑用户之间的竞争行为；(2)均衡配置，即考虑用户之间的竞争行为。更具体地说，非均衡配置有三种方式。最流行的一种是全有全无分配，即赢家通吃分配，其中用户到达设施的时间(或距离)被视为主要决定因素，用户被假设寻求最近的医疗设施的服务。另外，在最近的全有全无分配中也考虑到了设施的拥挤效应。例如，Zhang等试图将等待时间纳入总时间，Davari等和Dogan等则把等待时间作为约束条件。然而，假设来自同一需求节点的所有用户选择距离最近的同一设施的服务是不现实的。实际上，用户在选择设施方面可以有更大的灵活性。第二种是Huff-type分配，根据设施的吸引力和用户的行程时间，将部分需求分配给设施。著名的引力模型是Huff-type分配的一种特殊情况。对于给定的特定参数，Huff-type 分配将回退化为引力模型。第三种是多项式logit分配，在效用函数中可以包含用户的特征和未观察到的属性，但却没有考虑设施的等待时间，而仅将其作为一个约束条件，这是不符合现实的。总之，非均衡分配在设施选择中仍占主导地位，因为它们避免了均衡问题的复杂性。
相比之下，近期的研究开始采用均衡分配以考虑设施的拥挤效应。实证研究发现，等待时间对服务和医疗环境中的用户很重要。然而，等待时间不像出行时间那样是外生变量，而是内生变量。更具体地说，较短的等待时间吸引了用户，但这反过来又延长了设施服务的等待时间。这意味着必须考虑等待时间和用户数量之间的均衡问题。均衡分配有两种方式：(1)确定性用户均衡分配，其中设施的等待时间作为确定性效用不可或缺的组成部分；(2)随机用户均衡分配，其中进一步包括随机成分以反映未观察到的效用。假定用户光顾具有最大(随机)效用的设施。用户之间的博弈会达到纳什均衡状态，即所谓的用户均衡。在均衡状态下，每个用户都满足于他们光临的设施，即来自同一需求节点的人即使去不同的设施，也能获得相同的效用。最近用户选择行为的描述得到了进一步的改进。Kucukyazici等采用潜在类别分析，将用户偏好纳入癌症筛查设施网络的设计中。Krohn等进一步将医疗质量引入到用户选择的效用函数中。可以预期，研究将继续朝着更真实的用户选择行为方向发展。
发明内容：
技术问题：本发明要解决的技术问题是在有限预算约束下，如何在候选地点中确定预防性医疗设施的选址和服务能力规划，以使系统总的社会效用最大化。
技术方案：本发明旨在提出一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法。该问题被表述为一个双层非线性整数规划模型。上层是带有预算约束的医疗设施选址和服务能力规划问题。下层是用户选择平衡问题，它决定用户分配到的具体设施。本研究采用遗传算法(GA)求解上层问题，采用逐次平均法 (MSA)求解下层问题。本发明的技术方案包括以下步骤：
1.问题描述与数学建模
设由一组节点N和一组路段L组成的道路网G＝(N，L)。节点代表城市社区或道路交叉口，路段是主要的交通要道。我们假设每单位时间，节点i(i∈N)上需要预防性医疗服务的用户数量为hi。医疗设施的候选地点集是M，被选定地点集
Figure BSA0000261875670000025
从节点i到位置j的最短行程时间表示为tij。政府有一个可用的预算控制B，通过它可以在选定的设施位置建立一个或多个服务台。我们假设服务台是同质的，服务时间呈指数分布，单位时间内平均服务μ个用户。我们还假设用户是同质的，他们到达每个设施是服从泊松分布的，排队规则是先到先得(FCFS)。这些假设对于无需预约的设施是合理的，它适用于大多数常规服务。因此，这里的每个设施都是一个M/M/s排队系统，其中M表示用户服从马尔可夫(或泊松) 分布到达或离开，或者等价地表示服从指数间隔或服务时间分布，s表示医疗设施中的服务台数量。
该问题的目的是在预算B的约束下，确定每个医疗设施的位置和服务能力，即服务台的数量，以使系统的总效用最大化。为此，我们定义了三组决策变量：
Figure BSA0000261875670000021
sj＝在地点j的服务点的数量，
Figure BSA0000261875670000022
xij＝从人口节点i到地点j的用户的数量
Figure BSA0000261875670000023
j∈M.
假定我们得到方案S＝{j：j∈M，yi＝1}，则有
Figure BSA0000261875670000024
用λj表示用户在设施j的到达速率
Figure BSA0000261875670000031
可以得到
Figure BSA0000261875670000032
1.1效用评估函数
用户依据设施的吸引力来选择设施。因此，了解用户如何做出选择至关重要。用户选择模型，本质上基于设施吸引力定义的效用函数。用Uij表示来自需求节点i的用户在位置j接受服务时可观测到的效用。它主要有三个部分组成。(1)uj，位置j的固有吸引力。这可能包括停车方便性、设施外观、从业人员声誉等内在因素。(2)tij，出发地节点i到目的地设施j的最短出行时间。(3)
Figure BSA0000261875670000033
在位置j的预计等待时间，包括排队时间和服务时间，是到达率λj和服务台数sj的函数。因为它在节点j是一个M/M/sj排队系统，对于任意的sj≥1，可以根据经典的排队论求得
Figure BSA0000261875670000034
它可以由一组方程表示[21]：
Figure BSA0000261875670000035
Figure BSA0000261875670000036
Figure BSA0000261875670000037
Figure BSA0000261875670000038
其中Lj为根据用户数量表示的预计排队的长度，p0为无用户的概率，ρj为服务强度。注意，假设队列的稳定性条件是满足的。
为了结合这三种成本，我们假设Uij是传统的线性可加函数形式。同样合理的假设Uij和uj正相关，与tij和
Figure BSA0000261875670000039
负相关。因此，Uij可以被表示为
Figure BSA00002618756700000310
其中，β1和β2分别表示出行时间和等待时间的系数，可以用实测数据进行估计。注意，除了这些特定的成本外，还可以根据可用数据扩展该效用函数，以结合其他观察到的属性。
注意到达率λj和预计等待时间
Figure BSA00002618756700000311
之间存在依存关系。根据我们的模型，λj是xij的总和，而xij又依赖于Uij，也就依赖于
Figure BSA00002618756700000312
其又依赖于λj。即λj间接依赖于自身。由于我们考虑的是竞争性设施网络，这意味着我们需要解决一个用户均衡问题，以确定需求分配xij。
1.2用户均衡模型
假设用户采用效用最大化决策规则，即用户选择可观测效用最高的设施。用
Figure BSA00002618756700000313
表示需求节点i上用户产生的最高效用，即：
Figure BSA0000261875670000041
假设已知设施规划方案S和服务能力sj，
Figure BSA0000261875670000042
在用户均衡时，没有用户想要改变自己的选择。因此，均衡条件可以表述为：
Figure BSA0000261875670000043
其中
Figure BSA0000261875670000044
和
Figure BSA0000261875670000045
分别表示节点i的用户访问医疗设施j的效用和用户均衡时节点i用户的最高效用。此外，应该指出的是，
Figure BSA0000261875670000046
其中
Figure BSA0000261875670000047
为用户均衡时设施j的用户到达率，
Figure BSA0000261875670000048
为用户均衡时从需求节点i到设施位置j的用户数量。
均衡条件(9)指出，如果存在从节点i到设施j的用户流，那么，节点i对设施j的用户效用
Figure BSA0000261875670000049
必须等于最高效用
Figure BSA00002618756700000410
否则，它就不高于最高值。这个模型意味着每个用户都以观察到的最高吸引力选择服务设施。
为求公式(9)中的
Figure BSA00002618756700000411
我们可以求解以下等价的非线性数学规划：
Figure BSA00002618756700000412
约束条件为，
Figure BSA00002618756700000413
Figure BSA00002618756700000414
其中，
Figure BSA00002618756700000415
定理1对于给定的设施规划方案S和sj，
Figure BSA00002618756700000417
数学规划(10)-(13)等价于(9)。
证明为了证明该数学规划等价于(9)，我们将其转化为仅具有非负约束的拉格朗日函数，即，
Figure BSA00002618756700000416
其中，在目标函数中wi是约束(11)的拉格朗日乘数。
根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，该拉格朗日函数的最优条件为：
Figure BSA0000261875670000051
Figure BSA0000261875670000052
Figure BSA0000261875670000053
Figure BSA0000261875670000054
很明显，(17)等价于(11)。等式(15)和(16)意味着，
Figure BSA0000261875670000055
注意，
Figure BSA0000261875670000056
因此，公式(19)可以用公式(20)进一步改写为：
Figure BSA0000261875670000057
其也可以互补形式重新表述为：
Figure BSA0000261875670000058
Figure BSA0000261875670000059
Figure BSA00002618756700000510
公式(21)表示，如果有需求流xij＞0，效用Uij等于wi，如果没有需求流，即xij＝0，则效用Uij不大于wi。因此，拉格朗日乘数wi可以解释为节点i上用户产生的最高效用
Figure BSA00002618756700000511
因此，公式(21)与公式 (9)等价。因此，我们可以通过求解这个数学规划问题来得到均衡流。
1.3双层规划模型
这里考虑的整个问题是一个双层决策结构，其中上层的问题是确定设施位置和相关的服务能力，而下层的问题是在给定上层的决策下，确定用户从需求节点到设施位置的均衡流。
在实践中，通常只有有限的预算来支持预防性医疗设施的建立和运作。这种预算约束可用于考虑在城市不同地区建立和运营医疗服务设施之间的成本差异。设
Figure BSA0000261875670000061
为设施j(j∈M)的固定建设成本，并设cv为在设施中添加服务台的单位成本。此外，出于成本效益的考虑，只有用户需求量超过最低工作量要求Rmin时，才可以建立设施。此外，在场地约束条件下，设施j中的服务台数量不能超过有限的大小
Figure BSA0000261875670000062
我们考虑目标为最大化系统总社会效用，即用户的总体可观察的效用。医疗设施网络设计的上层模型可以建立为，
Figure BSA0000261875670000063
约束条件为，
Figure BSA0000261875670000064
Figure BSA0000261875670000065
Figure BSA0000261875670000066
Figure BSA0000261875670000067
Figure BSA0000261875670000068
Figure BSA0000261875670000069
Figure BSA00002618756700000610
Figure BSA00002618756700000611
其中，xij由后面的下层模型确定：
Figure BSA00002618756700000612
约束条件为，
Figure BSA00002618756700000613
Figure BSA00002618756700000614
目标函数(25)是最大化整个系统的效用。约束(26)确保为每个拟建设施分配至少一个服务台，同时保证决策变量sj的非负性。约束(27)将服务台的数量
Figure BSA00002618756700000615
限制为有限大小。约束(28)定义到达率λj。约束(29)表示队列的稳定性条件。约束(30)规定拟建设施的到达率必须满足最低工作量要求。约束(31)中T 表示一个较大的数字，确保用户只能从建设的设施获得服务。约束(32)是预算控制。约束(33)是决策变量的可行域。
2.求解方法
由于双层规划模型是高度非线性的，并且包含整数决策变量，很难精确求解。因此，我们聚焦在高效的启发式算法，这些算法在预防性医疗网络设计中有许多成功的应用[4，13]。我们的求解算法遵循双层框架。对于下层问题，采用逐次平均法(MSA)求解用户均衡模型。这种分配算法决定了用户到设施的均衡流量。针对上层问题，提出了一种元启发式算法，即具有精英策略的遗传算法，用于寻找最优位置和服务能力。
2.1下层的分配算法
对于给定的上层决策S和sj，
Figure BSA0000261875670000071
下层问题是解决均衡流量。采用的算法是一种迭代法，称为逐次平均法。让k做为迭代计数器，K作为最大迭代次数。设ε为预先确定的容错参数。θk， k＝1，...，K，为迭代时的步长参数，其取值在0到1之间。这里给出了具体的计算步骤：
步骤0(初始化)：为ε和K确定合适的值，设定k＝0；设定
Figure BSA0000261875670000072
步骤1(计算效用)：设定k：＝k+1；根据公式(2)，计算λj，
Figure BSA0000261875670000073
用Dijkstra算法计算最短路径出行时间tij，i∈N，j∈S。根据公式-计算等候时间
Figure BSA0000261875670000074
根据公式计算Uij， i∈N，j∈S；根据公式，得到
Figure BSA0000261875670000075
步骤2(全有或全无分配)：按全有或全无规则计算流量x′ij，即将用户的所有需求分配到他最感兴趣的设施。
Figure BSA0000261875670000076
步骤3(生成搜索方向)：定义
Figure BSA0000261875670000077
作为搜索方向。
步骤4(流量更新)：更新用户流
Figure BSA0000261875670000078
步长参数θk定义为，
Figure BSA0000261875670000079
步骤5(停止条件)：若连续的
Figure BSA00002618756700000710
和
Figure BSA00002618756700000711
达到相对误差，或k＞K，设定
Figure BSA00002618756700000712
且停止；否
则，请执行步骤1。相对误差定义为，
Figure BSA00002618756700000713
在每次迭代中，该算法在步骤3中找到xij的一个新的搜索方向，然后在步骤4中按步长更新xij。整个过程重复进行，直到满足步骤5中的任何一个停止条件。每次迭代的步长θk是预先设定的。设定θk的方法有很多种。一般来说，应该随着k的增大减小θk以确保收敛。我们设定θk为迭代次数k+1的倒数。注意，在步骤4中
Figure BSA0000261875670000081
更新的结果使得设施的到达率有可能大于最大值，这违反了稳定性条件(29)。通常有两种方法来解决这个问题：一种方法是减少步长，另一种方法是设置一个较大的惩罚时间。
2.2上层的选址算法
我们建立了一种基于精英选择策略的遗传算法来解决上层问题，因为它是解决组合优化问题最成功的元启发式算法之一，具有探索可行空间的其他区域和避免局部最优的能力。
在遗传算法中，每个染色体代表问题的一个解决方案，解决方案的质量由适应度来表示。在本研究中，使用整数编码来表示染色体。每个染色体都是由像基因一样的几个整数组成。每个基因对应M 中的一个潜在位置，它的值代表分配的服务台数量。如果没有可分配的服务台，则医疗设施不会在该位置选址。我们以如下步骤实现该遗传算法：
步骤0(初始化)：设置使用的参数，包括种群大小Npop，最大代数Gen，交叉概率pc，变异概率pm，代的标签gen＝1，精英的部分pe。
步骤1(初始种群的产生)：随机生成可行解作为染色体的初始群体Npop，分散在整个可能解的范围。如果根据约束条件判断其不可行，则生成另一个直到它是可行的。
步骤2(适应度的计算)：对于种群中的每条染色体，生成适应度值，即目标函数值。用其评估种群中每条染色体的性能。
步骤3(新种群的产生)
步骤3.1(选择)：根据步骤2中评估的适应度值，将表现最佳的pe部分记为精英，丢弃表现最差的pe部分。
步骤3.2(交叉)：剩余的(1-pe)Npop染色体用于交叉操作。这些染色体随机配对。进行交叉的概率为pc。如果选择两条染色体进行交叉，则随机确定一个基因位置交叉以生成两个后代作为新染色体。如果根据上层模型中的约束，新生染色体不可行，则尝试另一个基因位置，直到可行为止。
步骤3.3(突变)：用概率pm确定一个染色体的突变。随机选择两个至少有一个是正值的基因，交换它们的值。如果新染色体不可行，尝试另外两个基因位置，直到它是一个可行的后代。
步骤3.4(精英)：产生新的种群。经过遗传操作，仍然存在(1-pe)Npop个可行的染色体。添加在步骤3.1标记的peNpop精英以确保种群规模Npop。这使得当前一代中最好的染色体可以不加改变地延续到下一代。它保证了解决方案的质量不会从一代到下一代下降。令代的标签为gen：＝gen+1。
步骤4(停止迭代)：如果达到了最大代数，即gen≥Gen，终止迭代过程并输出结果。否则，转向步骤2。
有益效果：预防性医疗健康服务对政府来说至关重要，因为它可以通过早期发现降低潜在威胁生命的疾病的可能性和严重性。预防永远比治疗好。它可以为政府节省大量资金，并提升全社会的福祉。本发明提出一种在有限预算约束下考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法，以使系统的社会总效用最大化。可以为预防性医疗设施的选址和服务能力决策提供科学依据和可操作的方法，具有重要的应用价值。
附图说明：
图1为逻辑框架图；
图2为Sioux Falls测试网络；
图3为遗传算法的进化过程；
图4为可变预算控制下的敏感性分析。
具体实施方式：
我们进行了一个计算实验来评估所提出的模型和算法的有效性。实验采用了网络设计中广泛采用的SiouxFalls网络。这是一个如图2所示的中等规模的网络。该网络由24个节点和76条路段组成。为了进行计算实验，假设有8个需求节点和8个候选位置。因此，共有64对起讫点。路段a(a∈L)的行程时间与长度分别表示为ta和la，数值如表1所示。假设路段的行驶速度都为30英里/小时(mile/h)，那么路段长度可以转换为路段行驶时间。按每小时用户数量(用户/小时)计算的预防性医疗需求数据如表 2所示。
表1 Sioux Falls网络的特征
Figure BSA0000261875670000091
表2 Sioux Falls网络的医疗需求数据
Figure BSA0000261875670000101
基于所提出的模型和求解算法，实验研究中使用了以下参数值。
问题参数：
单个服务台的服务速度μ＝6用户/小时；
固定的设施吸引力ui＝0；
对行程时间的敏感度系数β1＝1和对等待时间的敏感度系数β2＝1；
最大服务台数
Figure BSA0000261875670000102
固定的设施建造成本
Figure BSA0000261875670000103
单位服务台成本cv＝1；
预算控制B＝50；
最小工作负担Rmin＝10用户/小时；
连续平均参数：
最大迭代次数K＝100；
误差容限ε＝0.01；
遗传算法参数：
种群数量Npop＝200；
最大代数Gen＝20；
交叉概率pc＝0.5；
突变概率pm＝0.2；
精英的概率pe＝0.1。
这些算法使用免费的开源语言R 3.6.3进行编程。所有的运行都是在一台配备3.6ghz的英特尔 i7-4790 CPU和16g内存的个人电脑上进行的。在本实验中，遗传算法运行1.61小时后停止。如图3所示，在经过11代后，进化过程开始趋于稳定。因此，可以得出结论，最终结果是近似的最优解。表3 报告了最优的方案，选择了四个可能的地点来建立预防性医疗设施，分别是节点3、7、21和23，其相应的服务台数分别为20、5、13和12。需求节点的用户可以被分配给一个以上的设施，例如节点13和20。然而，其他需求节点表明来自同一节点的用户通常也会光顾同一设施。表4显示用户选择了效用最高的设施，来自同一个需求节点的用户即使去往不同的设施，也获得近似相同的效用。
表3预防性医疗设施的最优规划方案和均衡状态
Figure BSA0000261875670000111
表4需求节点和设施位置之间的效用矩阵
Figure BSA0000261875670000112
灵敏度分析总是有益的，它可以提供有价值的管理见解。这里进行了不同预算控制的敏感性分析，这也是成本效益分析。预算按照步长5从45增加到75。结果如图4所示，横轴为预算控制，纵轴为系统总效用。由于仅使用出行时间和等待时间来定义效用函数，因此个人效用为负值，系统总效用也为负值。很明显边际效益是递减的。决策者不能用同样的额外投资获得相同的收益。存在一个边际成本等于边际收益的最优预算控制。
如图4所示，效用(收益)和预算(成本)之间的关系可以通过多项式回归来建模。用f表示系统总效用，B表示预算控制。多项式回归可以表述为，
f(B)＝α0+α1B+α2B2， (37)
其中，α0为截距，α1为B的系数，α2为B2的系数。这些系数的值可以用灵敏度分析的结果来估计。当边际效益等于边际成本时，可以得到最优预算B*。也就是说，
Figure BSA0000261875670000121
以这个灵敏度分析为例。公式(37)的参数估计如表5所示。假设检验表明，这些参数在0.05水平上都是显著的。因此，我们可以拒绝零假设。调整后的R2为0.884，表明多项式回归拟合数据较好。由公式(38)可知，最优预算为57.9。在最优预算之前增加投资是值得的。但是，在最优预算之后继续增加投资是不明智的，因为产出会小于投入。
表5多项式回归的估计参数
Figure BSA0000261875670000122

Claims (1)

1.本发明提出了一种考虑拥挤效应的预防性医疗设施规划方法，该方法包括以下技术特征：
(1)将其表示为一个双层规划模型，上层是系统管理者，下层是设施使用者；
(2)上层模型是以系统总的社会效用最大化为目标函数，以有限的预算投入为约束条件，以预防性医疗设施的选址和服务能力为决策变量，构建的一个非线性整数规划模型，其中各设施的用户需求分配由下层模型决定；
(3)下层模型是考虑拥挤效应的用户选择均衡问题，假设用户选择效用最大的医疗设施，但过多的用户会导致排队时间延长，用户成本上升，部分用户会转去别的实施，用户之间博弈的结果会达致用户均衡状态，其中采用了排队论计算排队时间；
(4)设计了一种启发式算法进行求解，其中对下层模型采用连续平均算法，而对上层模型采用带精英策略的遗传算法。
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