CN114418104A - 一种量子应用问题的处理方法及装置 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种量子应用问题的处理方法及装置，方法包括：获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。利用本发明实施例，能够处理偏微分方程对应的非稀疏情况，以处理高维大规模问题，并填补量子应用领域构造稀疏化的线性系统的技术空白。

Description

一种量子应用问题的处理方法及装置
技术领域
本发明属于量子计算技术领域，特别是一种量子应用问题的处理方法及装置。
背景技术
量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它就是量子计算机。量子计算机因其具有相对普通计算机更高效的处理数学问题的能力，例如，能将破解RSA密钥的时间从数百年加速到数小时，故成为一种正在研究中的关键技术。
量子计算模拟是一个借助数值计算和计算机科学来仿真遵循量子力学规律的模拟计算，作为一个仿真程序，它依据量子力学的量子比特的基本定律，利用计算机的高速计算能力，刻画量子态的时空演化。
目前，微分方程数值求解问题是量子算法应用领域中的一个重要部分。然而，在构建偏微分方程对应的线性系统和对线性系统进行求解的过程中，现有方法求解精度较低、成本较高，且难以处理高维大规模问题。
发明内容
本发明的目的是提供一种量子应用问题的处理方法及装置，以解决现有技术中的不足，它能够处理偏微分方程对应的非稀疏情况，以处理高维大规模问题，并填补量子应用领域构造稀疏化的线性系统的技术空白。
本申请的一个实施例提供了一种量子应用问题的处理方法，包括：
获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
可选的，所述对目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统，包括：
根据目标偏微分方程的边界条件，选择对应的基函数，其中，所述边界条件包括：周期性边界条件、非周期性边界条件，所述基函数包括：傅里叶基函数、切比雪夫基函数；
根据所述基函数，选择对应的节点，其中，所述节点包括：均匀节点、高斯-切比雪夫-洛巴托节点；
根据所述基函数和所述节点，构造所述目标偏微分方程对应的线性系统。
可选的，所述对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统，包括：
根据所述基函数，利用对应的量子变换算法，将所述线性系统变换为稀疏化的线性系统，作为稀疏线性系统，其中，所述量子变换算法包括：量子位移傅里叶变换、量子余弦变换。
可选的，所述利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解，包括：
利用基于HHL算法对应的量子线路，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解；其中，所述基于HHL算法对应的量子线路，由以下方式构建：
获得N*N维矩阵A和N维向量b，其中，所述矩阵A为可逆矩阵，所述N＝2n，所述n为正整数；
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0002748037830000021
所述bj为所述向量b的第j个元素；
确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，将所述矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵；其中，满足Ur…Ui…U1U＝IN，所述Ui为第i个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，1≤i≤r，所述
Figure BDA0002748037830000022
所述IN为N阶单位矩阵；
输出包含所述r个携带受控信息的单量子逻辑门的子量子线路，根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路。
可选的，所述确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，包括：
若所述矩阵A为酉矩阵，则将所述矩阵A直接确定为对应的酉矩阵U；
若所述矩阵A为厄米矩阵，确定对应的酉矩阵U＝eiAt；其中，所述t为常量；
若所述矩阵A为非厄米矩阵且非酉矩阵，确定对应厄米矩阵
Figure BDA0002748037830000031
以确定对应的酉矩阵U＝eiA′t，同时将所述向量b转换为
Figure BDA0002748037830000032
可选的，所述将所述酉矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，包括：
确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
针对所述排序中的第i个非对角元素，构造特定量子逻辑门的N阶酉矩阵Ui，以使矩阵Ui…U1U中与该非对角元素同位置的元素置为0，且不改变已置0的非对角元素；
其中，所述特定量子逻辑门包括操作一比特的单量子逻辑门，所述单量子逻辑门携带受其余比特控制的受控信息，1≤i≤r；当所述i＝1时，所述单量子逻辑门的酉矩阵由所述量子线路对应的酉矩阵U的元素确定；当1＜i≤r时，所述单量子逻辑门的酉矩阵由矩阵Ui-1…U1U的元素确定；并且，当所述第i个非对角元素的排序为所在列最后一个时，同时使矩阵Ui…U1U的相同列中的对角元素置为1。
可选的，所述确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，包括：
当n＝1时，所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素排序为(2，1)；其中，所述(2，1)表示坐标为第2行第1列的非对角元素；
当n＞1时，根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵的第一列排序，确定n比特量子线路对应的所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的第一列排序；其中，第一列中坐标(N/2+1，1)的非对角元素的排序位于第一列最后一个；
基于所述n比特量子线路对应的第一列排序，分别确定所述n比特量子线路对应的第2列至第N/2列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，对应确定所述n比特量子线路对应的第(N/2+1)列至第N列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序。
可选的，所述携带受控信息的单量子逻辑门的表示形式包括：
{Cn…Cm…C1}，其中，所述Cm表示0、1、*或单量子逻辑门V，所述m表示量子比特位，m∈[1，n]，并且，有且只有一个Cm表示单量子逻辑门V，所述单量子逻辑门V的酉矩阵由所述酉矩阵U确定；
当Cm为0时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为0态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为1时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为1态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为*时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为任意态时，均执行单量子逻辑门V。
可选的，所述根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路，包括：
根据所述子量子线路，构建相位估计运算对应的第一部分量子线路，以将|b>在所述矩阵A的特征空间上分解为：
Figure BDA0002748037830000041
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b>转化为：
Figure BDA0002748037830000042
其中，所述第一量子比特的数量z取决于相位估计的精度和成功概率，所述第二量子比特的数量为所述n，所述|μj>为所述矩阵A的特征向量，所述βj为|μj>的振幅，所述λj为所述矩阵A的特征值；
构建受控旋转操作对应的第二部分量子线路，以将基态|λj>中的值提取到辅助量子比特的量子态振幅上，得到：
Figure BDA0002748037830000043
其中，所述辅助量子比特的数量为1，所述C为常数，
Figure BDA0002748037830000044
构建相位估计逆运算对应的第三部分量子线路，以消除|λj>，得到：
Figure BDA0002748037830000045
构建针对所述辅助量子比特的量子测量操作，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1〉时，得到：
Figure BDA0002748037830000051
所述|x′>与
Figure BDA0002748037830000052
为振幅归一化的对应关系；
将所述第一部分量子线路、所述第二部分量子线路、所述第三部分量子线路和所述量子测量操作，依次组成HHL算法对应的量子线路。
本申请的另一实施例提供了一种量子应用问题的处理装置，包括：
离散化模块，用于获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
稀疏化模块，用于对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
求解模块，用于利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
本申请的另一实施例提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中所述的方法。
本申请的另一实施例提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中所述的方法。
与现有技术相比，本发明提供的一种量子应用问题的处理方法，首先获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解，从而实现处理偏微分方程对应的非稀疏情况，以处理高维大规模问题，并填补量子应用领域构造稀疏化的线性系统的技术空白。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理方法的计算机终端的硬件结构框图；
图2为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理方法的流程示意图；
图3为本发明实施例提供的一种特定量子逻辑门位于量子线路中的示意图；
图4为本发明实施例提供的一种相位估计对应的第一部分量子线路示意图；
图5为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理装置的结构示意图。
具体实施方式
下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
本发明实施例首先提供了一种量子应用问题的处理方法，该方法可以应用于电子设备，如计算机终端，具体如普通电脑、量子计算机等。
下面以运行在计算机终端上为例对其进行详细说明。图1为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端可以包括一个或多个(图1中仅示出一个)处理器102(处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置)和用于存储数据的存储器104，可选地，上述计算机终端还可以包括用于通信功能的传输装置106以及输入输出设备108。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述计算机终端的结构造成限定。例如，计算机终端还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。
存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的量子应用问题的处理方法对应的程序指令/模块，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器(Network Interface Controller，NIC)，其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频(Radio Frequency，RF)模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。
需要说明的是，真正的量子计算机是混合结构的，它包含两大部分：一部分是经典计算机，负责执行经典计算与控制；另一部分是量子设备，负责运行量子程序进而实现量子计算。而量子程序是由量子语言如QRunes语言编写的一串能够在量子计算机上运行的指令序列，实现了对量子逻辑门操作的支持，并最终实现量子计算。具体的说，量子程序就是一系列按照一定时序操作量子逻辑门的指令序列。
在实际应用中，因受限于量子设备硬件的发展，通常需要进行量子计算模拟以验证量子算法、量子应用等等。量子计算模拟即借助普通计算机的资源搭建的虚拟架构(即量子虚拟机)实现特定问题对应的量子程序的模拟运行的过程。通常，需要构建特定问题对应的量子程序。本发明实施例所指量子程序，即是经典语言编写的表征量子比特及其演化的程序，其中与量子计算相关的量子比特、量子逻辑门等等均有相应的经典代码表示。
量子线路作为量子程序的一种体现方式，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下对于量子比特进行操作的线路，其组成包括量子比特、线路(时间线)，以及各种量子逻辑门，最后常需要通过量子测量操作将结果读取出来。
不同于传统电路是用金属线所连接以传递电压信号或电流信号，在量子线路中，线路可看成是由时间所连接，亦即量子比特的状态随着时间自然演化，在这过程中按照哈密顿运算符的指示，一直到遇上逻辑门而被操作。
一个量子程序整体上对应有一条总的量子线路，本发明所述量子程序即指该条总的量子线路，其中，该总的量子线路中的量子比特总数与量子程序的量子比特总数相同。可以理解为：一个量子程序可以由量子线路、针对量子线路中量子比特的测量操作、保存测量结果的寄存器及控制流节点(跳转指令)组成，一条量子线路可以包含几十上百个甚至千上万个量子逻辑门操作。量子程序的执行过程，就是对所有的量子逻辑门按照一定时序执行的过程。需要说明的是，时序即单个量子逻辑门被执行的时间顺序。
需要说明的是，经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门。使用量子逻辑门，能够使量子态发生演化，量子逻辑门是构成量子线路的基础，量子逻辑门包括单比特量子逻辑门，如Hadamard门(H门，阿达马门)、泡利-X门(X门)、泡利-Y门(Y门)、泡利-Z门(Z门)、RX门、RY门、RZ门等等；多比特量子逻辑门，如CNOT门、CR门、iSWAP门、Toffoli门等等。量子逻辑门一般使用酉矩阵表示，而酉矩阵不仅是矩阵形式，也是一种操作和变换。一般量子逻辑门在量子态上的作用是通过酉矩阵左乘以量子态右矢对应的矩阵进行计算的。
参见图2，图2为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理方法的流程示意图，可以包括如下步骤：
S201，获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
此处量子应用问题是指涉及量子计算领域的应用需求所提出的待解决问题。在量子计算的众多应用领域中，有一种重要应用是通过对问题的数学模拟得到对应的偏微分方程(如一般严格对角占优、解高阶可微的偏微分方程等等)，然后以量子计算完成相应的求解。偏微分方程的量子求解方法是量子应用问题中极为重要的一部分。
具体的，可以根据目标偏微分方程的边界条件，选择对应的基函数，其中，边界条件包括：周期性边界条件、非周期性边界条件，基函数可以包括：傅里叶基函数、切比雪夫基函数；根据基函数，选择对应的节点，其中，节点可以包括：均匀节点、高斯-切比雪夫-洛巴托节点；根据基函数和节点，构造目标偏微分方程对应的线性系统。
本领域技术人员能够理解的是，边界条件(bound condition，或称边值条件)可分为周期性/非周期性边界条件，是指在求解区域边界上所求解的变量或其导数随时间和地点的变化规律。边界条件是控制方程有确定解的前提，对于任何问题，都需要给定边界条件。对于周期性边界条件，对应优选傅里叶基函数，对于非周期性边界条件，对应优选切比雪夫基函数，当然，选择现有的其他合适类型的基函数也是可行的。
然后，根据基函数的不同，选择对应的配套节点。对于傅里叶基函数，对应优选均匀节点，对于切比雪夫基函数，对应优选高斯-切比雪夫-洛巴托节点。
根据选择的基函数及其配套的节点，给出目标偏微分方程(也是目标函数)的一个近似线性组合(逼近函数，即线性系统)，具体以实际需求及实现为准：即该逼近函数要求在所有的节点上与原函数(原目标函数，即原目标偏微分方程)严格相等，在全局上高度近似，从而实现用较低阶数的基函数完成对方程解的高精度逼近，可称低阶高精度优势。
S202，对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
具体的，构造的线性系统的稀疏性往往较差，难以应对高维较大规模的情况，即微分方程的维数会导致问题规模迅速扩大，问题规模随着维数指数级增长。由此，可以引入量子变换算法，将原偏微分方程对应的线性系统稀疏化。
具体的，可以根据基函数，利用对应的量子变换算法，将线性系统变换为稀疏化的线性系统，作为稀疏线性系统。其中，量子变换算法优选量子位移傅里叶变换/量子余弦变换。
此处,量子位移傅里叶变换QSFT(Quantum Shift Fourier Transform)针对傅里叶基函数使用，量子余弦变换QCT(Quantun Cosine Transform)针对切比雪夫基函数使用。QSFT是量子傅里叶变换的推广，能够将含傅里叶基线性组合的量子态转化为消去傅里叶基项的量子态；QCT是离散余弦变换的推广，对切比雪夫基有类似的作用。
QSFT和QCT均可以通过量子逻辑门操作构造对应的量子线路以实现量子态的变换，且操作复杂度较低为多项式对数级，具体说明如下：
在量子傅里叶变换的基础上，一维量子位移傅里叶变换(QSFT)矩阵形式定义如下：
Figure BDA0002748037830000091
因此，
Figure BDA0002748037830000092
能够实现量子态变换：
Figure BDA0002748037830000093
于是，d维量子位移傅里叶变换可以如下定义：
Figure BDA0002748037830000101
其中，k＝(k1，…，kd)，kj∈[p]0，j∈[d]，k、l表示取值0至p的指标记号，|l>、|k>表示对应基矢，||k||∞、||l||∞表示无穷范数，[p]0表示0至p的整数集，[d]表示1至d的整数集，p表示对应量子线路所需的量子比特数。
在实际应用中，一维QSFT可以进行如下拆解：
Figure BDA0002748037830000102
其中，Fp为量子傅里叶变换，Sp、Rp为映射到自身空间的酉变换：
Figure BDA0002748037830000103
Figure BDA0002748037830000104
Figure BDA0002748037830000105
通过分别构造Sp、Fp、Rp的量子线路，从而得到整体的QSFT线路。其中，一维QSFT的量子逻辑门复杂度(即量子逻辑门数量)为O(logp log logp)，d维QSFT的量子逻辑门复杂度为O(dlogp log logp)。
由离散余弦变换(DCT)可以定义量子余弦(QCT)变换的原理如下：
Figure BDA0002748037830000106
其中，
Figure BDA0002748037830000107
表示(p+1)维的复数空间，vk表示原始信号，
Figure BDA0002748037830000108
表示DCT变换后的系数，δk、δl表示定义的δ函数：
Figure BDA0002748037830000111
Figure BDA0002748037830000112
类似地，分别给出一维和多维QCT变换的矩阵形式：
Figure BDA0002748037830000113
Figure BDA0002748037830000114
其中，k＝(k1，…，kd)，l＝(l1，…，ld)，kj，lj∈[p+1]0。一维和d维QCT变换的量子逻辑门复杂度分别为O(logp log logp)和0(dlogp log logp)。
结合所选基函数、量子位移傅里叶变换/量子余弦变换的良好性质，从而可以构造对应量子线路操作以高效完成线性系统的稀疏化操作。其中，本领域技术人员能够理解的是，量子位移傅里叶变换/量子余弦变换的作用在于，可以将任意的傅里叶基/切比雪夫基表示的量子态通过逆变换去掉基函数项仅保留系数项。直接使用基函数构造的线性系统左端项矩阵较稠密，经过这种变换处理后左端项矩阵会变得稀疏，以利于解决高维大规模问题。
在实际应用中，利用其他量子变换算法也是合理可行的，具体以本领域技术人员能够实现稀疏化操作为准。通过将一部分重要的偏微分方程通过量子变换稀疏化，转化为可以量子算法高效求解的PDE(Partial differential equation)问题，并填补偏微分方程的纯量子算法中构造稀疏线性系统过程的空白。
S203，利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
在得到稀疏线性系统后，可以调用现有的量子线性求解器完成问题求解，将稀疏线性系统的解映射后可以得到原偏微分方程的数值解。
此处用到的量子线性求解器可以为基于HHL(Harrow-Hassidim-Lloyd)算法及其改进版本。
示例性的，可以利用基于HHL算法对应的量子线路，对稀疏线性系统进行求解，得到目标偏微分方程的数值解。
其中，基于HHL算法对应的量子线路，可由以下方式构建，包括：
S2031，获得N*N维矩阵A和N维向量b，其中，所述矩阵A为可逆矩阵，所述N＝2n,所述n为正整数；
具体的，可以获得用户输入的一个N*N的矩阵A和一个N维向量b。
目前，线性系统是很多科学和工程领域的核心，由于HHL算法在特定条件下相较于经典算法具有指数加速效果，能够在量子计算领域具有广泛应用场景。HHL算法解决了一个求解线性方程的问题：输入一个N*N的矩阵A和一个N维向量b，输出n维向量x，满足Ax＝b，即x＝A-1b。由此，矩阵A需要满足为可逆矩阵，且由于下述需要将向量b的数据加载到量子线路的缘故，向量b的维数N能表示为2的正整数次幂。
S2032，获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0002748037830000121
所述bj为所述向量b的第j个元素；
具体的，可以获得输入的一组量子比特，具体可以量子比特位表示。例如，一位量子比特位上为0，表示该位量子比特的量子态为|0>态，为1则表示|1>态。
为了后续计算需要，该组量子比特区分为辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特，比特数可由用户根据需求确定，在计算资源充足的情况下，可设置较大数量的量子比特，满足多种计算需求。
并且，各量子比特的初态可由现有的振幅编码方式制备得到。其中，辅助量子比特和第一量子比特的初态置为|0>态，第二量子比特的初态置为
Figure BDA0002748037830000122
例如，对于4维向量b＝[b0,b1,b2,b3]，N＝4，可得n＝2。则，将向量b的数据编码到量子态振幅上，得到：
Figure BDA0002748037830000131
从而实现：将向量b的数据加载到量子线路中2个第二量子比特的量子态振幅上。
S2033，确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，将所述矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵；其中，满足Ur…Ui…U1U＝IN，所述Ui为第i个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，1≤i≤r，所述
Figure BDA0002748037830000132
所述IN为N阶单位矩阵；
具体的，若矩阵A为酉矩阵，则将矩阵A直接确定为对应的酉矩阵U；
若矩阵A为厄米矩阵，可以通过哈密顿量模拟实现厄米矩阵到酉矩阵的转换，得到对应的酉矩阵U＝eiAt；其中，t为常量，一般取值2π；
若矩阵A为非厄米矩阵且非酉矩阵，通过扩维将其转换，确定对应厄米矩阵
Figure BDA0002748037830000133
以确定对应的酉矩阵U＝eiA′t，同时将向量b转换为
Figure BDA0002748037830000134
也可写成
Figure BDA0002748037830000135
得
Figure BDA0002748037830000136
x即为前述HHL算法的解。
具体的，任意的酉矩阵都可以通过一系列量子逻辑门进行分解，进而转换为量子线路，因为一段量子线路本身就看成一个酉矩阵，当然，该量子线路不能包含任何不可逆操作，比如Measure(测量)或者Reset等操作。将矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，可以包括：
步骤A，确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
在一种实现方式中，酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序可以为：第一列按列号排至最后一列，每一列非对角元素按行号从上至下排序，一种两比特量子线路的4阶酉矩阵的排序示例如表1所示。
表1一种两比特量子线路的酉矩阵的元素排序
00 01 10 11
00 (1,1)
01 (2,1)1 (2,2)
10 (3,1)2 (3,2)1 (3,3)
11 (4,1)3 (4,2)2 (4,3)1 (4,4)
其中，00、01、10、11表示行或列对应的二进制表示，二进制位与量子比特位一一对应；(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)表示坐标对应的对角元素，诸如(2,1)、(3,1)、(4,1)表示坐标对应的非对角元素，括号后边的数字1、2、3表示对应的排序。
需要强调的是，由于量子逻辑门的矩阵形式均为酉矩阵，即酉矩阵与酉矩阵的转置共轭的乘积是单位阵，且酉矩阵之间的乘积也是酉矩阵，故只需关注矩阵对角线下方的非对角元素的置0操作即可，对角元素上方的同一列非对角元素在该对角元素被置1同时会被置0，这是酉矩阵的特性决定的，不再进行赘述。同理，只关注矩阵对角线上方的非对角元素的置0操作也是可行的。
优选的，为了便于后续的矩阵构造，在另一种实现方式中，酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序可以为：
当n＝1时，所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素排序为(2,1)；其中，所述(2,1)表示坐标为第2行第1列的非对角元素；
当n>1时，根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵的第一列排序，确定n比特量子线路对应的所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的第一列排序；其中，第一列中坐标(N/2+1,1)的非对角元素的排序位于第一列最后一个；
基于所述n比特量子线路对应的第一列排序，分别确定所述n比特量子线路对应的第2列至第N/2列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，对应确定所述n比特量子线路对应的第(N/2+1)列至第N列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序。
示例性的，对于1比特量子线路的2阶酉矩阵，对角元素下方只有一个元素(2,1)，故排序有且只有第一列的非对角元素为：(2,1)。
对于2比特量子线路的4阶酉矩阵，第一列排序采用递归的思想，即参考1比特量子线路的第一列排序，且第(N/2+1)行第1列的非对角元素排在该列最后一个，即(2,1)排在第1个、(3,1)排在最后1个，从而确定(4,1)排在第2个，最终可得第1列排序为：(2,1)、(4,1)、(3,1)。
对于3比特量子线路的8阶酉矩阵，第一列排序则参考2比特量子线路的第一列排序，即第1个至第3个为(2,1)、(4,1)、(3,1)，且(5,1)位于最后1个，其余(6,1)、(7,1)、(8,1)参考(2,1)、(3,1)、(4,1)的排序为(6,1)、(8,1)、(7,1)，最终可得第1列排序为：(2,1)、(4,1)、(3,1)、(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)。
以此类推，4比特量子线路的第1列排序参考3比特量子线路的第1列排序，为：(2,1)、(4,1)、(3,1)、(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)、(10,1)、(12,1)、(11,1)、(14,1)、(16,1)、(15,1)、(13,1)、(9,1)，同理可得更多比特量子线路的第1列排序。
然后，继续以2比特量子线路的4阶酉矩阵为例，确定第2列的排序：
获取第一列中与第2列(3,2)、(4,2)同行的元素(3,1)、(4,1)的排序，即(4,1)、(3,1)，对应的行的二进制表示为11和00，分别与第2列对应的二进制表示01进行异或操作：
11⊕01＝10＝(3,2)
10⊕01＝11＝(4,2)
可得，2比特量子线路的4阶酉矩阵第2列排序为：(3,2)、(4,2)。
确定第3列至第4列的排序：类比1比特量子线路的酉矩阵排序，为：(4,3)，最终得到的排序如表2所示。
表2另一种2比特量子线路的酉矩阵排序
Figure BDA0002748037830000151
Figure BDA0002748037830000161
同理以3比特量子线路为例，先确定第2列至第4列的排序：
第1列中与第2列同行的非对角元素为的排序为：(4,1)、(3,1)、(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)，对应的行的二进制分别与第2列的二进制进行异或，由2比特量子线路可知(3,2)、(4,2)的排序不变，在此可省略异或操作，即：
101⊕001＝100＝(5,2)
111⊕001＝110＝(7,2)
110⊕001＝111＝(8,2)
100⊕001＝101＝(6,2)
可得，3比特量子线路的8阶酉矩阵第2列排序为：(3,2)、(4,2)、(5,2)、(7,2)、(8,2)、(6,2)；
第1列中与第3列同行的非对角元素为的排序为：(4,1)、(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)，对应的行的二进制分别与第3列的二进制进行异或，由2比特量子线路可知(4,3)的排序不变，在此可省略异或操作，即：
101⊕010＝110＝(8,3)
111⊕010＝101＝(6,3)
110⊕010＝100＝(5,3)
100⊕010＝110＝(7,3)
可得，3比特量子线路的8阶酉矩阵第3列排序为：(4,3)、(8,3)、(6,3)、(5,3)、(7,3)；
第1列中与第4列同行的非对角元素为的排序为：(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)，对应的行的二进制分别与第4列的二进制进行异或操作，即：
101⊕011＝110＝(7,4)
111⊕011＝100＝(5,4)
110⊕011＝101＝(6,4)
100⊕011＝111＝(8,4)
可得，3比特量子线路的8阶酉矩阵第4列排序为：(7,4)、(5,4)、(6,4)、(8,4)。
接着，对于3比特量子线路的8阶酉矩阵第5列至第8列排序，则类比2比特量子线路的4阶酉矩阵第1列至第4列排序，可得：
第5列排序：(6，5)、(8，5)、(7，5)；
第6列排序：(7，6)、(8，6)；
第7列排序：(8，7)；
第8列排序：无。
同理可确定更多比特量子线路的酉矩阵第2列至最后一列排序。由上述，一种3比特量子线路的酉矩阵的部分列排序如表3所示。
表3一种3比特量子线路的酉矩阵的部分列排序
000 001 010 011 ...
000 (1，1) ...
001 (2，1)1 (2，2) ...
010 (3，1)3 (3，2)1 (3，3) ...
011 (4，1)2 (4，2)2 (4，3)1 (4，4) ...
100 (5，1)7 (5，2)3 (5，3)4 (5，4)2 ...
101 (6，1)4 (6，2)6 (6，3)3 (6，4)3 ...
110 (7，1)6 (7，2)4 (7，3)5 (7，4)1 ...
111 (8，1)5 (8，2)5 (8，3)2 (8，4)4 ...
步骤B，针对所述排序中的第i个非对角元素，构造特定量子逻辑门的N阶酉矩阵Ui，以使矩阵Ui…U1U中与该非对角元素同位置的元素置为0，且不改变已置0的非对角元素。并且，当第i个非对角元素的排序为所在列最后一个时，同时使矩阵Ui…U1U的相同列中的对角元素置为1。
为了方便区别，携带受控信息的单量子逻辑门也可理解为特定量子逻辑门，因其酉矩阵不再是普通意义上的单量子逻辑门的2阶酉矩阵，而是N阶酉矩阵Ui，该特定量子逻辑门的表示形式可以为：
{Cn…Cm…C1}
其中，Cm表示0、1、*或单量子逻辑门V，m表示量子比特位，m∈[1，n]，并且，有且只有一个Cm表示单量子逻辑门V。该单量子逻辑门V为普通意义上的操作一个量子比特的单量子逻辑门，只不过可额外受量子线路中的其余量子比特控制。对于不同项的待置0的非对角元素，构造的特定量子逻辑门可能不同。
当Cm为0时，表示量子线路运行到单量子逻辑门V之前(即下一步即将执行逻辑门V)，当判断出该位的量子比特的量子态为0态时，才执行单量子逻辑门V，简称0控；
当Cm为1时，表示量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为1态时，执行单量子逻辑门V，简称1控；
当Cm为*时，表示量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为任意态时，均执行单量子逻辑门V，简称无控。
例如，一种特定量子逻辑门的表示形式为{10*V}，表示单量子逻辑门V作用在最低位量子比特上，*表示逻辑门V不受第2位的量子比特控制(无控)，0表示逻辑门V受第3位的量子比特控制(0控)，1表示逻辑门V受第4位的量子比特控制(1控)。另外可知，量子线路为4比特量子线路，该特定量子逻辑门的酉矩阵为24＝16阶酉矩阵。
具体的，i为正整数，取值范围为：1≤i≤r。当i＝1时，单量子逻辑门V的酉矩阵由量子线路的酉矩阵U的元素确定；当1＜i≤r时，单量子逻辑门V的酉矩阵由矩阵Ui-1…U1U的元素确定。
示例性的，对于2比特量子线路，在表2基础上，对应增加特定量子逻辑门的表示形式，可如表4所示，U1＝{*V}，U2＝{1V}，U3＝{V*}，U4＝{1V}，U5＝{V1}，U6＝{1V}。
表4一种2比特量子线路对应的特定量子逻辑门
00 01 10 11
00 (1，1)
01 (2，1)1；{*V} (2，2)
10 (3，1)3；{V*} (3，2)1；{1V} (3，3)
11 (4，1)2；{1V} (4，2)2；{V1} (4，3)1；{1V} (4，4)
其中，具体矩阵形式如下：
Figure BDA0002748037830000181
Figure BDA0002748037830000191
Figure BDA0002748037830000192
Figure BDA0002748037830000193
其中，
Figure BDA0002748037830000194
可以补充的是，2比特量子线路相关的{0V}和{V0}的矩阵形式如下：
Figure BDA0002748037830000195
Figure BDA0002748037830000196
一种特定量子逻辑门{0V}、{1V}、{V0}、{V1}位于量子线路中的示意图可如图3所示，空心点及与V的连线表示0控，实心点及与V的连线表示1控，上方横线表示低位量子比特的时间线，下方横线表示高一位的量子比特时间线。
假设2比特量子线路的酉矩阵如下：
Figure BDA0002748037830000197
第一步，将u21同位置的非对角元素置0：
在1比特量子线路情况中，由矩阵乘法可知，V的元素确定与(1，1)项和(2，1)项相关，可看成利用(1，1)项消除(2，1)项，以使矩阵相乘后(2，1)项为0。以类似方式，首先也利用(1，1)项消除(2，1)项，V中各元素v11、v12、v21、v22根据(1，1)项和(2，1)项确定：
Figure BDA0002748037830000201
Figure BDA0002748037830000202
第二步，将u41同位置的非对角元素置0：
以(1，1)项消除(2，1)项类比，左下半部分，利用U1U中的(3，1)项消除(4，1)项，据此确定V：
Figure BDA0002748037830000203
Figure BDA0002748037830000204
第三步，将u31同位置的非对角元素置0，同时将该列对角元素置1：
利用U2U1U中的(1，1)项消除(3，1)项，据此确定V：
Figure BDA0002748037830000211
Figure BDA0002748037830000212
由于
Figure BDA0002748037830000213
和
Figure BDA0002748037830000214
均为酉矩阵，酉矩阵与其本身的转置共轭的乘积为单位阵，通过该条件，可计算得到：
Figure BDA0002748037830000215
以此类推，对于第2列，类比消除(4，1)项和(3，1)项的方式来消除(3，2)项和(4，2)项，同时不改变第一列中的元素为0的项。之后，矩阵的形式为二阶单位矩阵与二阶矩阵直和的形式，该二阶矩阵可看成1比特量子线路的情形，采用特定量子逻辑门{1V}来处理，这样已置0的前两列就不会受到影响。
对于3比特量子线路的酉矩阵，对于第一列，消除(2，1)、(4，1)、(3，1)项的方式与2比特量子线路的情况一样，只是所使用的特定量子逻辑门不同；对于下半部分，消除(6,1)、(8,1)、(7,1)项可类比为消除(2,1)、(4,1)、(3,1)项，最后利用(1,1)项消除(5,1)项。对于第二列，消除(3,2)、(4,2)项与2比特量子线路的情况一样，类比消除(6,1)、(8,1)、(7,1)、(5,1)项的方式来消除(5,2)、(7,2)、(8,2)、(6,2)项。其余列同理。
更具体的，利用元素为a的项消除元素为b的项，如果a项位置在b项上方，则：
Figure BDA0002748037830000221
否则，在a项位于b项下方的情况下：
Figure BDA0002748037830000222
其中，a*、b*表示a、b的共轭。
示例性的，对于3比特量子线路，在表3基础上，对应特定量子逻辑门的表示形式如下表5所示：
表5一种3比特量子线路对应的特定量子逻辑门
Figure BDA0002748037830000223
Figure BDA0002748037830000231
第一列，(2，1)：U1＝{**V}；(4，1)：U2＝{*1V}；(3，1)：U3＝{*V*}；(6，1)：U4＝{1*V}；(8，1)：U5＝{*1V}；(7，1)：U6＝{1V*}；(5，1)：U7＝{V**}；
第二列，(3，2)：U8＝{*1V}；(4，2)：U9＝{*V1}；(5，2)：U10＝{1*V}；(7，2)：U11＝{*1V}；(8，2)：U12＝{1V*}；(6，2)：U13＝{V*1}；
第三列，(4，3)：U14＝{*1V}；(8，3)：U15＝{1*V}；(6，3)：U16＝{10V}；(5，3)：U17＝{1V*}；(7，3)：U18＝{V1*}；
第四列，(7，4)：U19＝{1*V}；(5，4)：U20＝{10V}；(6，4)：U21＝{1V*}；(8，4)：U22＝{V11}；
第五列，(6，5)：U23＝{1*V}；(8，5)：U24＝{11V}；(7，5)：U25＝{1V*}；
第六列，(7，6)：U26＝{11V}；(8，6)：U27＝{1V1}；
第七列，(8，7)：U28＝{11V}；第八列无。
本领域技术人员可以理解的是，待置0的非对角元素的排序及特定量子逻辑门的N阶酉矩阵Ui的构造不限以上方式，具体以实现Ur…U1U＝IN为准。
矩阵构造存在一些基本规律。例如，2比特量子线路，对原酉矩阵U的行列根据对应的量子比特数进行二进制编码(前述的二进制表示)，即从00至11，一个{0V}矩阵作用在4阶酉矩阵U的左侧，则只会影响U的00和01部分(即前两行前两列)，同理可以得到{1V}只会影响U的10和11部分，{V0}只会影响U的00和10部分，{V1}只会影响U的01和11部分。对于{*V}和{V*}矩阵，其中不包含任何控制，由其矩阵形式可知，左乘原矩阵时会影响原矩阵的所有行和列。
特定量子逻辑门的矩阵表示形式的构造规律可概括如下：
一、首先说明量子线路酉矩阵第一列对应的矩阵构造：
1，一比特量子线路：
线路酉矩阵仅有一个元素(2，1)待置0，构造特定量子逻辑门{C1}＝{V}即可，以使{V}·U＝IN；
2，两比特量子线路：
采用递归思想，参考1比特量子线路，线路酉矩阵除最后一个待置0元素(3，1)外，对应的特定量子逻辑门{Cn…Cm…C1}＝{C2C1}＝{C2V}；
对于酉矩阵上半部分(2，1)，最高位量子比特设为不受控，即(2，1)：{C2V}＝{*V}；
对于下半部分(4，1)，判断低位量子比特对应的C1是否为1，若不为1，则(4，1)：{C2V}＝{1V}，否则{C2V}＝{*V}；判断可得：
(4，1)对应1比特量子线路的(2，1)：{C2C1}＝{C2V}＝{1V}；
最后一个待置0元素(3，1)直接设为：{C2C1}＝{V*}；
3，三比特量子线路：
对应构造的特定量子逻辑门{Cn…Cm…C1}＝{C3C2C1}，线路酉矩阵上半部分参考2比特量子线路，仍将最高位量子比特设为不受控，即{C3C2C1}＝{*C2C1}，可得：
(2，1)对应2比特量子线路的(2，1)：{C3C2C1}＝{*C2C1}＝{**V}；
(4，1)对应2比特量子线路的(4，1)：{C3C2C1}＝{*C2C1}＝{*1V}；
(3，1)对应2比特量子线路的(3，1)：{C3C2C1}＝{*C2C1}＝{*V*}；
对于下半部分除最后一个待置0元素(5，1)外，与上半部分按顺序一一对应，判断上半部分的、低2位量子比特对应的C2、C1是否均不为1，若均不为1，则{C3C2C1}＝{1C2C1}，否则{C3C2C1}＝{*C2C1}；判断可得：
(6，1)对应的{C3C2C1}中，C2、C1与(2，1)对应的C2、C1相同，即为*、V，且均不为1，可得：{C3C2C1}＝{C3*V}＝{1*V}；
同理，(8，1)对应(4，1)：{C3C2C1}＝{C31V}＝{*1V}；(7，1)对应(3，1)：{C3C2C1}＝{C3V*}＝{1V*}；
最后一个待置0元素(5，1)直接设为：{C3C2C1}＝{V**}；
以此类推，可实现任意比特量子线路酉矩阵的第一列对应的矩阵构造；
二、量子线路酉矩阵第二列至第N/2列对应的矩阵构造：
1，两比特量子线路，n＝2：
第2列，列下标l＝2，二进制表示01，二进制低位l1＝1、高位l2＝0；根据预设不等式2x-1＜l≤2x，求得x＝1；下半部分按顺序与前一列下半部分相对应，矩阵{C2C1}构造如下：
(3，2)：参考(4，1)对应的{1V}：若j＝n，且{1V}中Cn，…，Cx+1均不为1，则(3，2)对应的{C2C1}中的Cj＝1；若1≤j≤x，且{1V}中对应的Cj＝lj＝1，则(3，2)对应的{C2C1}中的Cj＝0；否则，(3，2)对应的Cj与{1V}中对应的Cj保持一致；判断可得：
j＝1时，满足Cj与{1V}中对应的Cj保持一致的条件，即C1＝V；
j＝2时，满足Cj与{1V}中对应的Cj保持一致的条件，即C2＝1；
可得，(3，2)对应的{C2C1}＝{1V}；
(4，2)：其为本列最后一个待置0元素，参考第一列(3，1)对应的{V*}：将{V*}中的*视为0，进行二进制加1操作，*变为1，得到(3，2)对应的{C2C1}＝{V1}；
2，三比特量子线路，n＝3：
第2列，列下标l＝2，二进制表示01，l1＝1、l2＝0；根据2x-1＜l≤2x，求得x＝1，上半部分(3，2)、(4，2)参考两比特量子线路：
(3，2)对应的{C3C2C1}中，C2C1取值与两比特量子线路的(3，2)对应的{C2C1}＝{1V}相同，C3设为*，即：(3，2)对应的{C3C2C1}＝{*1V}；
(4，2)对应的{C3C2C1}中，C2C1取值与两比特量子线路的(4，2)对应的{C2C1}＝{V1}相同，C3设为*，即：(3，2)对应的{C3C2C1}＝{*V1}；
下半部分按顺序与第一列下半部分进行对应，矩阵{C3C2C1}构造如下：
(5，2)：参考(6，1)对应的{1*V}：若j＝n，且{1*V}中Cn，…，Cx+1均不为1，则(5，2)对应的{C3C2C1}中的Cj＝1；若1≤j≤x，且{1*V}中对应的Cj＝lj＝1，则(5，2)对应的{C3C2C1}中的Cj＝0；否则，(5，2)对应{C3C2C1}中的Cj与{1*V}中对应的Cj保持一致；判断可得：
j＝1时，满足Cj与{1*V}中对应的Cj保持一致的条件，即C1＝V；
j＝2时，满足Cj与{1*V}中对应的Cj保持一致的条件，即C2等于*；
j＝3时，满足Cj与{1*V}中对应的Cj保持一致的条件，即C3＝1；
可得，(5，2)对应的{C3C2C1}＝{1*V}；
同理得，(7，2)对应的{C3C2C1}＝{*1V}；(8，2)对应的{C3C2C1}＝{1V*}；
(6，2)：其为本列最后一个待置0元素，参考第一列(5，1)对应的{V**}：将{V**}中的*视为0，进行二进制加1操作，00变为01，即**变为*1，得到(6，2)对应的{C3C2C1}＝{V*1}；
同理可得，第3列：
上半部分：(4，3)对应{*1V}；下半部分：(8，3)对应{1*V}，(6，3)对应{10V}，(5，3)对应{1V*}；本列最后一个待置0元素(7，3)对应{V1*}；
第4列不进行赘述；可见，下半部分除每列最后一个待置0元素外，偶数列与前一列(奇数列)的矩阵构造对应相同，奇数列的矩阵则参考第一列确定；
三、量子线路酉矩阵第(N/2+1)列至最后一列对应的矩阵构造：
参考第1列至第N/2列的上半部分，按顺序一一对应，将最高位的*变为1，其余不变，以上述3比特量子线路为例，可得：
第5列：(6，5)对应(2，1)，可得{1*V}；(8，5)对应(4，1)，可得{11V}；(7，5)对应(3，1)，可得{1V*}；
第6列：(7，6)对应(3，2)，可得{11V}；(8，6)对应(4，2)，可得{1V1}；
第7列：(8，7)对应(4，3)，可得{11V}；第8列无；
以此类推，可实现任意比特量子线路酉矩阵的所有列对应的矩阵构造，在此不对其进行赘述。
具体的，
Figure BDA0002748037830000261
其中，Vm等于：
|0><0|，若Cm＝0；|1><1|，若Cm＝1；V-I2，若Cm＝V；I2，若Cm为*。
S2034，输出包含所述r个携带受控信息的单量子逻辑门的子量子线路，根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路。
具体的，由Ur…U1U＝IN，可得：
Figure BDA0002748037830000262
为U1、Ur的转置共轭，即分解出的r个携带受控信息的单量子逻辑门(特定量子逻辑门)是处于转置共轭dagger状态的。
在特定量子逻辑门的矩阵形式确定后，特定量子逻辑门随即确定(例如图3所示的特定量子逻辑门位于量子线路中的示意图)，根据从
Figure BDA0002748037830000276
依次至
Figure BDA0002748037830000277
的执行时序，构建并输出分解后的、包括
Figure BDA0002748037830000274
至
Figure BDA0002748037830000275
的子量子线路。相比动辄包括成百上千量子逻辑门且存在较大数量的多比特量子逻辑门的复杂量子线路，子量子线路结构大为精简，运行量子线路时的计算复杂度和资源占用显著下降。
具体的，根据子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路，可以包括：
S20341，根据子量子线路，构建相位估计运算对应的第一部分量子线路，以将|b>在矩阵A的特征空间上分解为：
Figure BDA0002748037830000271
并将第一量子比特和第二量子比特的初态|0>|b>转化为：
Figure BDA0002748037830000272
本领域技术人员可以理解的是，相位估计(Phase estimation)是量子傅里叶变换QFT的一个重要应用，它的重要性体现在它是很多量子算法的基础。如图4所示，相位估计对应的第一部分量子线路，可以包括：H门操作模块、C-Uj操作(受控U算子操作)模块和量子傅里叶逆变换模块，其中，该U算子即为矩阵A对应的酉矩阵U，前述子量子线路即为该U算子对应的量子线路实现，在此不对其进行赘述。经过第一部分量子线路，辅助量子比特(对应图4最上的时间线)的量子态不变、第一量子比特(对应图4中间的时间线)的初态|0>转化为|λj>、第二量子比特(对应图4最下的时间线)的初态|b>分解
Figure BDA0002748037830000273
其中，第一量子比特的数量z取决于相位估计的精度和成功概率，第二量子比特的数量优选为n(至少为n，也可大于n)，|μj>为矩阵A的特征向量，βj为|μj>的振幅，λj为矩阵A的特征值。
实际上，输出的λj是估计值，可以通过增加第一量子比特的数量，提高相位估计的输出精度。并且，在实际应用中，可以设置辅助量子寄存器、第一量子寄存器、第二量子寄存器，分别存储辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的量子态。
S20342，构建受控旋转操作对应的第二部分量子线路，以将基态|λj>中的值提取到辅助量子比特的量子态振幅上，得到：
Figure BDA0002748037830000281
其中，辅助量子比特的数量为1，所述C为常数，
Figure BDA0002748037830000282
具体的，受控旋转又可称“提取占比”，因为经过相位估计运算之后，第一量子寄存器会存储一系列的特征值λj(具体存储在基态|λj>中)，而第二量子寄存器存储的输入态即初态|b>会在矩阵A的特征空间上进行分解，然后通过受控旋转操作，将基态中的λj值提取到了振幅上，将辅助量子比特的量子态|0>转化为得到
Figure BDA0002748037830000283
各量子比特的量子态经过第二部分量子线路由
Figure BDA0002748037830000284
转化为
Figure BDA0002748037830000285
为了减少资源占用，辅助量子比特可设1位，且C为常数，一般取1。
S20343，构建相位估计逆运算对应的第三部分量子线路，以消除|λj>，得到：
Figure BDA0002748037830000286
本领域技术人员可以理解的是，相位估计逆运算是前述相位估计的还原过程，或称相位估计的转置共轭运算，目的是消除|λj>，具体以将量子态
Figure BDA0002748037830000287
转化为如下为准：
Figure BDA0002748037830000288
S20344，构建针对所述辅助量子比特的量子测量操作，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0002748037830000289
所述|x′>与
Figure BDA00027480378300002810
为振幅归一化的对应关系；
具体的，量子测量操作施加在辅助量子比特上，以在相位估计逆运算后，对辅助量子比特进行测量。测量后，辅助量子比特的状态会塌缩至一个确定的状态，其中，塌缩至|0>的概率是
Figure BDA0002748037830000291
塌缩至|1>的概率是
Figure BDA0002748037830000292
当测量辅助量子比特的量子态为|1>、且C＝1时，即可得到确定的量子态：
Figure BDA0002748037830000293
可见是
Figure BDA0002748037830000294
进行振幅归一化的对应结果。在实际应用中，可以根据用户所需的应用场景，对应得到|x>，或者直接将|x′>用于后续的场景计算。
S20345，将所述第一部分量子线路、所述第二部分量子线路、所述第三部分量子线路和所述量子测量操作，依次组成HHL算法对应的量子线路。
具体的，根据第一部分量子线路、第二部分量子线路、第三部分量子线路和量子测量操作的执行时序，依次组成一条完整的量子线路，即为HHL算法对应的总量子线路。如前述，第一部分、第二部分、第三部分及总量子线路包含的量子比特总数均相同，可以为1+z+n。
可见，通过获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解，从而实现处理偏微分方程对应的非稀疏情况，以处理高维大规模问题，并填补量子应用领域构造稀疏化的线性系统的技术空白。
参见图5，图5为本发明实施例提供的一种量子应用问题的处理装置的结构示意图，可以包括：
离散化模块501，用于获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
稀疏化模块502，用于对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
求解模块503，用于利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
具体的，所述离散化模块，具体用于：
根据目标偏微分方程的边界条件，选择对应的基函数，其中，所述边界条件包括：周期性边界条件、非周期性边界条件，所述基函数包括：傅里叶基函数、切比雪夫基函数；
根据所述基函数，选择对应的节点，其中，所述节点包括：均匀节点、高斯-切比雪夫-洛巴托节点；
根据所述基函数和所述节点，构造所述目标偏微分方程对应的线性系统。
具体的，所述稀疏化模块，具体用于：
根据所述基函数，利用对应的量子变换算法，将所述线性系统变换为稀疏化的线性系统，作为稀疏线性系统，其中，所述量子变换算法包括：量子位移傅里叶变换、量子余弦变换。
具体的，所述求解模块，具体用于：
利用基于HHL算法对应的量子线路，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解；其中，所述基于HHL算法对应的量子线路，由以下方式构建：
获得N*N维矩阵A和N维向量b，其中，所述矩阵A为可逆矩阵，所述N＝2n，所述n为正整数；
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure BDA0002748037830000301
所述bj为所述向量b的第j个元素；
确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，将所述矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵；其中，满足Ur…Ui…U1U＝IN，所述Ui为第i个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，1≤i≤r，所述
Figure BDA0002748037830000302
所述IN为N阶单位矩阵；
输出包含所述r个携带受控信息的单量子逻辑门的子量子线路，根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路。
具体的，所述求解模块，具体用于：
若所述矩阵A为酉矩阵，则将所述矩阵A直接确定为对应的酉矩阵U；
若所述矩阵A为厄米矩阵，确定对应的酉矩阵U＝eiAt；其中，所述t为常量；
若所述矩阵A为非厄米矩阵且非酉矩阵，确定对应厄米矩阵
Figure BDA0002748037830000311
以确定对应的酉矩阵U＝eiA′t，同时将所述向量b转换为
Figure BDA0002748037830000312
具体的，所述求解模块，具体用于：
确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
针对所述排序中的第i个非对角元素，构造特定量子逻辑门的N阶酉矩阵Ui，以使矩阵Ui…U1U中与该非对角元素同位置的元素置为0，且不改变已置0的非对角元素；
其中，所述特定量子逻辑门包括操作一比特的单量子逻辑门，所述单量子逻辑门携带受其余比特控制的受控信息，1≤i≤r；当所述i＝1时，所述单量子逻辑门的酉矩阵由所述量子线路对应的酉矩阵U的元素确定；当1＜i≤r时，所述单量子逻辑门的酉矩阵由矩阵Ui-1…U1U的元素确定；并且，当所述第i个非对角元素的排序为所在列最后一个时，同时使矩阵Ui…U1U的相同列中的对角元素置为1。
具体的，所述求解模块，具体用于：
当n＝1时，所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素排序为(2，1)；其中，所述(2，1)表示坐标为第2行第1列的非对角元素；
当n＞1时，根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵的第一列排序，确定n比特量子线路对应的所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的第一列排序；其中，第一列中坐标(N/2+1，1)的非对角元素的排序位于第一列最后一个；
基于所述n比特量子线路对应的第一列排序，分别确定所述n比特量子线路对应的第2列至第N/2列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，对应确定所述n比特量子线路对应的第(N/2+1)列至第N列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序。
具体的，所述携带受控信息的单量子逻辑门的表示形式包括：
{Cn…Cm…C1}，其中，所述Cm表示0、1、*或单量子逻辑门V，所述m表示量子比特位，m∈[1，n]，并且，有且只有一个Cm表示单量子逻辑门V，所述单量子逻辑门V的酉矩阵由所述酉矩阵U确定；
当Cm为0时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为0态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为1时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为1态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为*时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为任意态时，均执行单量子逻辑门V。
具体的，所述求解模块，具体用于：
根据所述子量子线路，构建相位估计运算对应的第一部分量子线路，以将|b>在所述矩阵A的特征空间上分解为：
Figure BDA0002748037830000321
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b>转化为：
Figure BDA0002748037830000322
其中，所述第一量子比特的数量z取决于相位估计的精度和成功概率，所述第二量子比特的数量为所述n，所述|μj>为所述矩阵A的特征向量，所述βj为|μj>的振幅，所述λj为所述矩阵A的特征值；
构建受控旋转操作对应的第二部分量子线路，以将基态|λj>中的值提取到辅助量子比特的量子态振幅上，得到：
Figure BDA0002748037830000323
其中，所述辅助量子比特的数量为1，所述C为常数，
Figure BDA0002748037830000324
构建相位估计逆运算对应的第三部分量子线路，以消除|λj>，得到：
Figure BDA0002748037830000325
构建针对所述辅助量子比特的量子测量操作，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1>时，得到：
Figure BDA0002748037830000326
所述|x′>与
Figure BDA0002748037830000327
为振幅归一化的对应关系；
将所述第一部分量子线路、所述第二部分量子线路、所述第三部分量子线路和所述量子测量操作，依次组成HHL算法对应的量子线路。
可见，通过获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解，从而实现处理偏微分方程对应的非稀疏情况，以处理高维大规模问题，并填补量子应用领域构造稀疏化的线性系统的技术空白。
本发明实施例还提供了一种存储介质，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以被设置为存储用于执行以下步骤的计算机程序：
S1，获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
S2，对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
S3，利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
具体的，在本实施例中，上述存储介质可以包括但不限于：U盘、只读存储器(Read-Only Memory，简称为ROM)、随机存取存储器(Random Access Memory，简称为RAM)、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储计算机程序的介质。
本发明实施例还提供了一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行上述任一项中方法实施例中的步骤。
具体的，上述电子装置还可以包括传输设备以及输入输出设备，其中，该传输设备和上述处理器连接，该输入输出设备和上述处理器连接。
具体的，在本实施例中，上述处理器可以被设置为通过计算机程序执行以下步骤：
S1，获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
S2，对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
S3，利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
以上依据图式所示的实施例详细说明了本发明的构造、特征及作用效果，以上所述仅为本发明的较佳实施例，但本发明不以图面所示限定实施范围，凡是依照本发明的构想所作的改变，或修改为等同变化的等效实施例，仍未超出说明书与图示所涵盖的精神时，均应在本发明的保护范围内。

Claims (12)

1.一种量子应用问题的处理方法，其特征在于，包括：
获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述对目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统，包括：
根据目标偏微分方程的边界条件，选择对应的基函数，其中，所述边界条件包括：周期性边界条件、非周期性边界条件，所述基函数包括：傅里叶基函数、切比雪夫基函数；
根据所述基函数，选择对应的节点，其中，所述节点包括：均匀节点、高斯-切比雪夫-洛巴托节点；
根据所述基函数和所述节点，构造所述目标偏微分方程对应的线性系统。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统，包括：
根据所述基函数，利用对应的量子变换算法，将所述线性系统变换为稀疏化的线性系统，作为稀疏线性系统，其中，所述量子变换算法包括：量子位移傅里叶变换、量子余弦变换。
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解，包括：
利用基于HHL算法对应的量子线路，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解；其中，所述基于HHL算法对应的量子线路，由以下方式构建：
获得N*N维矩阵A和N维向量b，其中，所述矩阵A为可逆矩阵，所述N＝2n,所述n为正整数；
获得包括辅助量子比特、第一量子比特、第二量子比特的若干量子比特，其中，所述辅助量子比特和所述第一量子比特的初态置为|0>，所述第二量子比特的初态置为
Figure FDA0002748037820000021
所述bj为所述向量b的第j个元素；
确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，将所述矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵；其中，满足Ur…Ui…U1U＝IN，所述Ui为第i个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，1≤i≤r，所述
Figure FDA0002748037820000022
所述IN为N阶单位矩阵；
输出包含所述r个携带受控信息的单量子逻辑门的子量子线路,根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述确定所述矩阵A对应的酉矩阵U，包括：
若所述矩阵A为酉矩阵，则将所述矩阵A直接确定为对应的酉矩阵U；
若所述矩阵A为厄米矩阵，确定对应的酉矩阵U＝eiAt；其中，所述t为常量；
若所述矩阵A为非厄米矩阵且非酉矩阵，确定对应厄米矩阵
Figure FDA0002748037820000023
以确定对应的酉矩阵U＝eiA′t,同时将所述向量b转换为
Figure FDA0002748037820000024
6.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述将所述酉矩阵U分解成r个携带受控信息的单量子逻辑门对应的酉矩阵，包括：
确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
针对所述排序中的第i个非对角元素，构造特定量子逻辑门的N阶酉矩阵Ui，以使矩阵Ui…U1U中与该非对角元素同位置的元素置为0，且不改变已置0的非对角元素；其中，所述特定量子逻辑门包括操作一比特的单量子逻辑门，所述单量子逻辑门携带受其余比特控制的受控信息，1≤i≤r；当所述i＝1时，所述单量子逻辑门的酉矩阵由所述量子线路对应的酉矩阵U的元素确定；当1＜i≤r时,所述单量子逻辑门的酉矩阵由矩阵Ui-1…U1U的元素确定；并且，当所述第i个非对角元素的排序为所在列最后一个时，同时使矩阵Ui…U1U的相同列中的对角元素置为1。
7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述确定所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，包括：
当n＝1时，所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素排序为(2,1)；其中，所述(2,1)表示坐标为第2行第1列的非对角元素；
当n>1时，根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵的第一列排序，确定n比特量子线路对应的所述酉矩阵U中对角元素下方的、待置0的非对角元素的第一列排序；其中，第一列中坐标(N/2+1,1)的非对角元素的排序位于第一列最后一个；
基于所述n比特量子线路对应的第一列排序，分别确定所述n比特量子线路对应的第2列至第N/2列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序；
根据(n-1)比特量子线路对应的酉矩阵中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序，对应确定所述n比特量子线路对应的第(N/2+1)列至第N列中对角元素下方的、待置0的非对角元素的排序。
8.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述携带受控信息的单量子逻辑门的表示形式包括：
{Cn…Cm…C1}，其中，所述Cm表示0、1、*或单量子逻辑门V，所述m表示量子比特位，m∈[1,n]，并且，有且只有一个Cm表示单量子逻辑门V，所述单量子逻辑门V的酉矩阵由所述酉矩阵U确定；
当Cm为0时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为0态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为1时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为1态时，执行单量子逻辑门V；
当Cm为*时，表示所述量子线路运行到单量子逻辑门V之前，当该位的量子比特的量子态为任意态时，均执行单量子逻辑门V。
9.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述根据所述子量子线路和各量子比特及其初态，构建HHL算法对应的量子线路，包括：
根据所述子量子线路，构建相位估计运算对应的第一部分量子线路，以将|b>在所述矩阵A的特征空间上分解为：
Figure FDA0002748037820000031
并将所述第一量子比特和所述第二量子比特的初态|0>|b>转化为：
Figure FDA0002748037820000032
其中，所述第一量子比特的数量z取决于相位估计的精度和成功概率，所述第二量子比特的数量为所述n,所述|μj>为所述矩阵A的特征向量，所述βj为|μj>的振幅，所述λj为所述矩阵A的特征值；
构建受控旋转操作对应的第二部分量子线路，以将基态|λj>中的值提取到辅助量子比特的量子态振幅上，得到：
Figure FDA0002748037820000041
其中，所述辅助量子比特的数量为1，所述C为常数，
Figure FDA0002748037820000042
构建相位估计逆运算对应的第三部分量子线路，以消除|λj>，得到：
Figure FDA0002748037820000043
构建针对所述辅助量子比特的量子测量操作，以使测量到所述辅助量子比特的量子态为|1〉时，得到：
Figure FDA0002748037820000044
所述|x′>与
Figure FDA0002748037820000045
为振幅归一化的对应关系；
将所述第一部分量子线路、所述第二部分量子线路、所述第三部分量子线路和所述量子测量操作，依次组成HHL算法对应的量子线路。
10.一种量子应用问题的处理装置，其特征在于，包括：
离散化模块，用于获得目标量子应用问题对应的目标偏微分方程，对所述目标偏微分方程进行离散化处理，得到对应的线性系统；
稀疏化模块，用于对所述线性系统进行稀疏化处理，得到稀疏线性系统；
求解模块，用于利用量子线性求解算法，对所述稀疏线性系统进行求解，得到所述目标偏微分方程的数值解。
11.一种存储介质，其特征在于，所述存储介质中存储有计算机程序，其中，所述计算机程序被设置为运行时执行所述权利要求1至9任一项中所述的方法。
12.一种电子装置，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为运行所述计算机程序以执行所述权利要求1至9任一项中所述的方法。
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