CN114415210B - 一种多维信息联合的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种多维信息联合的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法，通过最大似然准则建立直接定位模型，可在低干噪比情况下显著提高定位性能，通过多个接收站的天线阵列截获欺骗式干扰源的辐射信号，利用接收信号中的传输时延、多普勒频移和导向矢量信息，结合已知扩频码序列，确定欺骗式干扰源所在的空间位置。本发明解决了传统两步定位方法中参数估计与位置解算相分离带来的定位误差大的问题，联合时、频、空多维域信息，提高观测站接收数据的处理增益，定位性能得以提升；充分利用不同扩频序列的正交性，信息量利用率高，定位多欺骗式干扰源时无需增加观测站数目，增加了定位的自由度和分辨率。

Description

一种多维信息联合的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法

技术领域

本发明涉及无源定位领域，具体涉及一种联合信号到达角度、信号到达时延、多普勒频移和导航信号扩频序列和的欺骗式干扰源直接定位方法和系统。

背景技术

卫星导航信号到达地面终端时极其微弱，通常被噪声淹没，极易受到有意和无意压制式干扰。随着调零天线等技术的逐渐应用，压制式干扰能够被有效地抑制。欺骗式干扰采用与卫星导航相近的信号进行干扰，接收机难以察觉，更具隐蔽性，欺骗式干扰成为了抗干扰接收机所面临的主要威胁之一。因此，如何快速、准确地实现对干扰源的定位和排查是我国北斗卫星导航领域的关键问题。然而，卫星导航反欺骗技术研究主要针对欺骗式干扰的检测或抑制，少有涉及对欺骗式干扰机的定位。因此，在民用场景下不利于对干扰机的举证与取缔；同时，在军用场景下使得我方精确制导武器面临潜在威胁。

现有的卫星导航干扰源定位研究主要针对压制式干扰，其定位方法多采用经典的无源定位技术，即两步定位技术。两步定位先通过接收机截获干扰源的信号，对原始信号进行处理，估计与干扰源位置有关的参数，如到达角度(Direction of Arrival，DOA)、到达时间(Time of Arrival，TOA)、到达时间差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到达频差(Frequency Difference of Arrival，FDOA)等；第二步建立中间参数与辐射源位置之间的方程，求解方程即可得到辐射源位置信息。

对于卫星导航干扰源的定位，传统两步定位法的定位精度极大程度上受参数估计精度的影响，其位置解算与参数估计分离，不能有效利用不同接收站接收信号间的关联性，带来了信息量损失、定位参数关联困难、系统灵敏度需求高等问题。尤其在针对欺骗式干扰源定位的低干噪比(Interference to Noise Ratio，INR)条件下，两步定位技术的定位精度较低，甚至无法定位。相比于两步定位，直接定位是一种更有效、快速、精确的定位方式。直接定位方法相比于两步定位方法定位精度更高，但接收信号强度对于直接定位算法的定位精度影响较大，欺骗信号到达接收站时信噪比极低，多数直接定位方法无法收敛至最优值，因此适用性较低。

直接定位(Direct Position Determination，DPD)在2004年由Weiss A J提出(文献Weiss AJ.Direct position determination of narrowband radio transmitters[J].IEEE Signal Processing Letters,2004,11(5):513-516.)，该方法无需估计中间参数，直接对接收站截获的原始信号进行处理，利用信号中与辐射源位置有关的信息，构建目标函数，再通过对目标函数的优化算法实现定位。DPD方法避免了中间参数估计精度带来的位置估计误差传播和定位参数关联困难的问题，故定位精度较高。

目前常见定位场景中，接收站可不同程度的掌握辐射源发射的信号特征。研究表明，利用信号特征特别是波形信息能够带来直接定位精度的提升。从信息论角度来看，当信号波形信息完全已知时算法的定位精度可以收敛到理论最优值。在实际定位场景中，信号波形信息往往很难完全已知，大多数情况下是完全未知或部分已知。对于信号波形完全已知的直接定位方法(记载于Amar A,Weiss A J,Direct position determination(DPD)ofmultiple known and unknown radio-frequency signals[C].12th European SignalProcessing Conference,Vienna,Austria,Sept.6-10,2004,1115-1118.和Amar A,WeissA J.Localization of Narrowband Radio Emitters Based on Doppler FrequencyShifts[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(11),5500-5508.)，可将其概括为S-DPD(Synthetic-DPD)；对于信号波形未知的直接定位方法(Weiss A J,AmarA.Direct geolocation of stationary wideband radio signal based on time delaysand Doppler shifts[C].15th Workshop on Statistical Signal Processing,Cardiff,UK,2009.101-104.和Ho K C,Ming S.Passive source localization using timedifferences of arrival and gain ratios of arrival[J].IEEE Transactions onSignal Processing,2008,56(2):464-477.)，可将其称为N-DPD(Nonsynthetic-DPD)。

融合信号特征的DPD算法可提高定位性能，并且定位时所用信息越多，定位性能越好。研究直接定位算法对信号种类的适应性可有效拓展直接定位的应用范围，欺骗式干扰源隐蔽性强，破坏性大，如何在复杂电磁环境中实现对干扰源的定位是亟待解决的问题之一。如何将卫星导航扩频序列信息与TOA、TDOA、FDOA等信息联合起来，建立针对欺骗式干扰源的定位模型，对于快速精准地定位欺骗式干扰源具有重要意义。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种多维信息联合的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法。为解决现有两步定位技术存在的由于参数估计与位置解算相分离而导致定位精度低等问题，同时联合部分信号波形信息以进一步提高定位精度和分辨率，本发明提出一种融合DOA、TOA、多普勒频移、扩频序列的直接定位方法，可将其称为DS-DPD(Despreading-DPD)，通过最大似然准则建立直接定位模型，可在低干噪比情况下显著提高定位性能。通过多个接收站的天线阵列截获欺骗式干扰源的辐射信号，利用接收信号中的传输时延、多普勒频移和导向矢量信息，结合已知扩频码序列，确定欺骗式干扰源所在的空间位置。

对于存在多个欺骗式干扰源的定位场景，若各干扰源辐射信号的扩频码不同，DS-DPD算法可充分利用扩频码序列间的正交性，实现多个欺骗式干扰源位置的有效估计，避免了未知信号波形场景中定位分辨率低的问题。若各干扰源使用相同结构的扩频码，DS-DPD算法可利用到达角、时延、多普勒频移信息分辨出不同欺骗式干扰源的位置。本发明所涉及的针对欺骗式干扰源的定位场景，在航空和航海、电子侦察、卫星定位预警等民用和军用领域都有着广阔的应用前景。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案的步骤如下：

步骤1：建立包含到达时延、多普勒频移和信号导向矢量的目标源信号数据的基带接收模型，并对目标源信号进行数据采集；

空间中存在Q个欺骗式干扰源，在t时刻，每个欺骗式干扰源的发射信号模型s_q(t)表示为：

其中，对第q个欺骗式干扰源，a_m,q表示第m个发射符号，c_i,m,q为其扩频序列对应的第i个码片，T_c,q为码片周期，I_q是扩频因子，t_0q是发射时间，δ_q(t)为发射端脉冲成型器的时域波形；

空间存在L个接收站，每个接收站上有K个接收天线，各个接收站对接收信号已完成解调，各站之间已实现时频同步；对第l个接收站，在t时刻，接收信号模型表示为：

其中，r_l(t)＝[r_l,1(t),r_l,2(t),......,r_l,K(t)]^T，r_l,k(t)表示l个接收站上第k个天线上的接收信号，n_l(t)为均值为0，方差为σ²的复高斯白噪声，对第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站上，d_l,q为天线阵列响应，b_l,q为信道响应，f_l,q表示信号传输的多普勒频移，τ_l,q是信号传输时延，其中，d_l,q表示为：

d_l,q＝exp[-j2π(α₁,α₂,......,α_K)^Tβ_l,q] (3)

表示第k个天线的坐标位置，β_l,q表示为：

其中，对于第q个干扰源，第l个接收站上的俯仰角及方位角分别表示为θ_l,q、欺骗式干扰源q的运动速度为v_q，其位置为p_q，则p_l处的观测站接收到的信号中的多普勒频移f_l,q表示为：

式(5)中，f_c为信号原始载波频率，c为光速，||·||表示取范数；

f_l,q、τ_l,q取决于接收站与欺骗式干扰源之间的相对运动速度和位置，d_l,q仅取决于两者之间的位置，三个未知量均与欺骗式干扰源位置p_q有关；

步骤2：在接收端已知扩频码片c_i,m,q、成型脉冲形状δ_q(t)、码片周期T_c,q、扩频因子I_q的前提下，通过最大似然估计方法构造关于估计的欺骗式干扰源位置的似然函数；关于未知参量的极大似然函数为：

即

对式(7)取对数可得：

最大化式(6)等价于最大化式(8)，忽略常数项，则关于干扰源位置的最大似然估计转化为如式(9)所示的优化问题：

故最大似然准则下，关于干扰源位置的代价函数为：

式(10)中，

式(10)～(12)中，表示对于变量x的估计值或假设值；式(10)～(12)中与第q个欺骗式干扰源位置/>有关的变量为/>和/>分别表示第l个接收站的第k个阵元上，第q个辐射源所产生的多普勒频移、传输时延、阵列响应的假设值，欺骗式干扰源位置与均无关；

将式(11)带入式(10)，得到关于似然函数的闭式表达式：

式(13)中，

式(14)表示对接收信号r_l,k(t)进行匹配滤波，当估计的多普勒频移、传输时延和阵列响应最接近真实的多普勒频移、传输时延和阵列响应时，匹配滤波的能量达到最大；接收端至少接收M个发射端的符号，y_l,q表示的能量，与τ_l,q无关，故令y_l,q＝1；当匹配滤波后的信号能量达到最大，并且/>时，式(13)的似然函数取得最大值，故写为：

步骤3：对于用不同码序列进行扩频的欺骗式干扰源，用不同的扩频码片c_i,m,q和扩频因子I_q对接收信号进行解扩，并求解似然函数；

将步骤2中的式(12)带入式(14)，得到x_l,k,q关于估计符号的表达式：

其中，

式(19)中，

对于第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站的第k个天线阵元上，表示第m个符号的第i个码片的估计值，/>表示由/>与已知扩频码片的相关结果，均取决于由假设的欺骗式干扰源位置计算得到的/> 为已知扩频码片，由于不同欺骗式干扰源所用扩频码序列可能不同，因此DS-DPD算法在定位时对不同干扰源分别处理，式(16)表示第q个干扰源定位的代价函数；如果多普勒频移值远小于信号带宽，并且经过匹配滤波后，码脉冲的能量集中至零频附近；式(19)近似表示为：

式(21)中，是接收信号经过接收端匹配滤波器后得到的。将式(17)带入式(16)，得到：

其中，

式(23)中的是一M维行矢量，记为/>表示由式(18)～式(20)估计出的第q个欺骗式干扰源的符号集合，/>表示根据第l个接收站上所有阵元的接收信号与第q个辐射源的扩频序列联合估计到的第m个符号，表示为：

由于y_l,q＝1，故有因此最大化式(22)相当于求解Q_q的最大特征值，表示为λ_max(Q_q)，式(18)表示为：

Q_q是一个M×M维的相关矩阵，令Q_q＝VV^H，则/>与Q_q有相同的非零特征值，式(25)写成：

若存在一估计位置使得上式(23)的似然函数取得最大值，此时/>即为DS-DPD算法的定位结果，其优化模型表示为：

式(26)中，是一个L×L的矩阵，其第r行，第c列元素记为：

当r≠c时，式(28)为各个接收站估计的符号间的互相关；从式(18)、式(21)中看出，这些估计到的符号是由估计的码片与真实码片解扩产生的，估计码片时补偿了传输时延、多普勒频移和阵列响应带来的影响；当假设的欺骗式干扰源位置为真实位置时，估计的时延、多普勒频移和阵列响应与真实的时延、多普勒频移和阵列响应最接近，这将导致接收信号与扩频码序列对齐，因而产生较大的相关性，故相关值最大时的坐标位置对应于估计到的欺骗式干扰源的最佳位置；

确定目标干扰源位置时可采用地理网格搜索法寻找满足式(27)的位置坐标在实际应用中，先用侦察设备确定目标干扰源大致位置范围，对该范围进行疏网格划分，对每个网格计算目标函数值，即式(26)中/>进行空间谱峰搜索找到目标函数最大时的网格位置，即目标干扰源所在网格，再对该网格进行细划分并计算目标函数值，多次细划分后，可得到精确的目标干扰源位置估计值。

本发明的有益效果在于：

1.采用直接定位方法，解决了传统两步定位方法中参数估计与位置解算相分离带来的定位误差大的问题；

2.充分利用了信号到达的时延、多普勒频移、到达角度信息，并结合欺骗式干扰源的扩频序列信息，联合时、频、空多维域信息，提高观测站接收数据的处理增益，定位性能得以提升；

3.充分利用不同扩频序列的正交性，信息量利用率高，定位多欺骗式干扰源时无需增加观测站数目，增加了定位的自由度和分辨率。

附图说明

图1为本发明联合多维信息的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法流程图。

图2为本发明观测站截获信号数据的物理场景示意图。

图3为本发明方法二维定位结果图，图3的图(a)为辐射源与观测站位置分布图，图3的图(b)为欺骗式干扰源1定位结果，图3的图(c)为欺骗式干扰源2定位结果。

图4为定位性能与接收干噪比的关系示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

1.建立包含到达时延、多普勒频移、阵列响应的欺骗式干扰源信号数据接收模型，并对欺骗式干扰源进行数据采集；

2.根据步骤1建立的欺骗式干扰源数据接收模型和接收站对欺骗式干扰源采集到的数据，结合欺骗式干扰源位置的均方误差，用最大似然方法构造直接定位的代价函数；

3.用已知的扩频序列信息对接收信号进行匹配滤波、相关、解扩等，根据建立好的目标函数，通过最大似然方法求解目标位置。

具体实施定位流程如图1所示，实施例具体步骤如下：

步骤1：建立包含到达时延、多普勒频移和信号导向矢量的目标源信号数据的基带接收模型，并对目标源信号进行数据采集；

空间中存在Q个欺骗式干扰源，在t时刻，每个欺骗式干扰源的发射信号模型s_q(t)表示为：

其中，对第q个欺骗式干扰源，a_m,q表示第m个发射符号，c_i,m,q为其扩频序列对应的第i个码片，T_c,q为码片周期，I_q是扩频因子，t_0q是发射时间，δ_q(t)为发射端脉冲成型器的时域波形；

空间存在L个接收站，每个接收站上有K个接收天线，各个接收站对接收信号已完成解调，各站之间已实现时频同步；对第l个接收站，在t时刻，接收信号模型表示为：

其中，r_l(t)＝[r_l,1(t),r_l,2(t),......,r_l,K(t)]^T，r_l,k(t)表示l个接收站上第k个天线上的接收信号，n_l(t)为均值为0，方差为σ²的复高斯白噪声，对第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站上，d_l,q为天线阵列响应，b_l,q为信道响应，f_l,q表示信号传输的多普勒频移，τ_l,q是信号传输时延，其中，d_l,q可表示为：

d_l,q＝exp[-j2π(α₁,α₂,......,α_K)^Tβ_l,q] (3)

表示第k个天线的坐标位置，β_l,q表示为：

其中，对于第q个干扰源，第l个接收站上的俯仰角及方位角分别表示为θ_l,q、欺骗式干扰源q的运动速度为v_q，其位置为p_q，则p_l处的观测站接收到的信号中的多普勒频移f_l,q表示为：

式(5)中，f_c为信号原始载波频率，c为光速，||·||表示取范数；

f_l,q、τ_l,q取决于接收站与欺骗式干扰源之间的相对运动速度和位置，d_l,q仅取决于两者之间的位置，三个未知量均与欺骗式干扰源位置p_q有关；

步骤2：在接收端已知扩频码片c_i,m,q、成型脉冲形状p_q(t)、码片周期T_cq、扩频因子I_q的前提下，通过最大似然估计方法构造关于估计的欺骗式干扰源位置的似然函数。关于未知参量的极大似然函数为：

即：

对式(7)取对数可得：

最大化式(6)等价于最大化式(8)，忽略常数项，则关于干扰源位置的最大似然估计转化为如式(9)所示的优化问题：

故最大似然准则下，关于干扰源位置的代价函数为：

式(10)中，

式(10)～(12)中，表示对于变量x的估计值或假设值。式(10)～(12)中与第q个欺骗式干扰源位置/>有关的变量为/>和/>分别表示第l个接收站的第k个阵元上，第q个辐射源所产生的多普勒频移、传输时延、阵列响应的假设值，欺骗式干扰源位置与均无关；

将式(11)带入式(10)，得到关于似然函数的闭式表达式：

式(13)中，

式(14)表示对接收信号r_l,k(t)进行匹配滤波，当估计的多普勒频移、传输时延和阵列响应最接近真实的多普勒频移、传输时延和阵列响应时，匹配滤波的能量达到最大；假设接收端至少接收M个发射端的符号，y_l,q表示的能量，与τ_l,q无关，故可令y_l,q＝1；当匹配滤波后的信号能量达到最大，并且/>时，式(13)的似然函数取得最大值，故写为：

步骤3：对于用不同码序列进行扩频的欺骗式干扰源，用不同的扩频码片c_i,m,q和扩频因子I_q对接收信号进行解扩，并求解似然函数。

将步骤2中的式(12)带入式(14)，得到x_l,k,q关于估计符号的表达式：

其中，

式(19)中，

对于第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站的第k个天线阵元上，表示第m个符号的第i个码片的估计值，/>表示由/>与已知扩频码片的相关结果，均取决于由假设的欺骗式干扰源位置计算得到的/> 为已知扩频码片，由于不同欺骗式干扰源所用扩频码序列可能不同，因此DS-DPD算法在定位时对不同干扰源分别处理，式(16)表示第q个干扰源定位的代价函数；如果多普勒频移值远小于信号带宽，并且经过匹配滤波后，码脉冲的能量集中至零频附近；式(19)可近似表示为：

式(21)中，是接收信号经过接收端匹配滤波器后得到的。将式(17)带入式(16)，得到：

其中，

式(23)中的是一M维行矢量，记为/>表示由式(18)～式(20)估计出的第q个欺骗式干扰源的符号集合。/>表示根据第l个接收站上所有阵元的接收信号与第q个辐射源的扩频序列联合估计到的第m个符号，表示为：

由于已有假设y_l,q＝1，故有因此最大化式(22)相当于求解Q_q的最大特征值，表示为λ_max(Q_q)。这样，式(18)可以表示为

式中的Q_q是一个M×M维的相关矩阵，令Q_q＝VV^H，则/>与Q_q有相同的非零特征值，式(25)可写成：

若存在一估计位置可使得上式(23)的似然函数取得最大值，此时/>即为DS-DPD算法的定位结果，其优化模型可表示为：

式(26)中，是一个L×L的矩阵，其第r行，第c列元素可以记为

当r≠c时，式(28)为各个接收站估计的符号间的互相关。从式(18)、式(21)中可以看出，这些估计到的符号是由估计的码片与真实码片解扩产生的，估计码片时补偿了传输时延、多普勒频移和阵列响应带来的影响。当假设的欺骗式干扰源位置为真实位置时，估计的时延、多普勒频移和阵列响应与真实的时延、多普勒频移和阵列响应最接近，这将导致接收信号与扩频码序列对齐，因而产生较大的相关性，故相关值最大时的坐标位置对应于估计到的欺骗式干扰源的最佳位置。

确定目标干扰源位置时可采用地理网格搜索法寻找满足式(27)的位置坐标实施例中可先确定一感兴趣地理范围，对该范围进行疏网格划分，对每个网格计算目标函数值，即式(26)中/>进行空间谱峰搜索找到目标函数最大时的网格位置，即目标干扰源所在网格，再对该网格进行细划分并计算目标函数值，多次细划分后，可得到精确的目标干扰源位置估计值。

实施例：

假设空间中存在两个运动的欺骗式干扰源，其扩频序列已知，空间二维位置为(-2,0)km，(2,0)km。欺骗式干扰源向外辐射经BPSK调制和直接序列扩频后的信号，发射信号的符号数为8，扩频序列长度为1023，码速率为1.023MHz，每个码片8倍过采样后进入发射端脉冲成型滤波器，滤波器为根升余弦形状。经调制、扩频、过采样、脉冲成型后，发射信号辐射到空间中。空间中三个静止的观测站均匀分布在半径为10km的圆周上，每个站上有一均匀线阵接收信号，阵元数为3，布站间距为半波长。欺骗式干扰源和观测站的位置分布图如图3.(a)所示。

假设接收干噪比为-30dB，接收端匹配滤波器形状与发射端脉冲成型器相同，图3.(b)、图3.(c)为对两个欺骗式干扰源定位结果的二维图。从图中可以看出，本发明的方法能够定位出欺骗式干扰源的位置，满足一般对定位效果的要求。图4为S-DPD、DS-DPD(本发明方法)、N-DPD这三种定位方法定位性能随接收干噪比变化情况，仿真时通过300次蒙特卡洛实验分析算法的定位性能。从仿真结果中可以看出，S-DPD方法的定位性能最优，主要原因在于S-DPD方法在定位时综合了扩频增益与符号增益，但实际中卫星导航电文符号的先验信息不易得到，故其应用性较低。本发明所提出的DS-DPD方法利用了导航信号伪码序列的扩频增益，因此定位性能优于未利用任何导航信号特征的N-DPD方法。由于扩频增益存在，DS-DPD方法在低干噪比环境中定位性能较好。在目前针对欺骗式干扰源的定位场景中，民用卫星导航信号的扩频序列先验信息已公开，因此DS-DPD方法更贴合实际应用场景。

Claims (1)

1.一种多维信息联合的卫星导航欺骗式干扰源直接定位方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤1：建立包含到达时延、多普勒频移和信号导向矢量的目标源信号数据的基带接收模型，并对目标源信号进行数据采集；

空间中存在Q个欺骗式干扰源，在t时刻，每个欺骗式干扰源的发射信号模型s_q(t)表示为：

其中，对第q个欺骗式干扰源，a_m,q表示第m个发射符号，c_i,m,q为其扩频序列对应的第i个码片，T_c,q为码片周期，I_q是扩频因子，t_0q是发射时间，δ_q(t)为发射端脉冲成型器的时域波形；

空间存在L个接收站，每个接收站上有K个接收天线，各个接收站对接收信号已完成解调，各站之间已实现时频同步；对第l个接收站，在t时刻，接收信号模型表示为：

其中，r_l(t)＝[r_l,1(t),r_l,2(t),......,r_l,K(t)]^T，r_l,k(t)表示l个接收站上第k个天线上的接收信号，n_l(t)为均值为0，方差为σ²的复高斯白噪声，对第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站上，d_l,q为天线阵列响应，b_l,q为信道响应，f_l,q表示信号传输的多普勒频移，τ_l,q是信号传输时延，其中，d_l,q表示为：

d_l,q＝exp[-j2π(α₁,α₂,......,α_K)^Tβ_l,q] (3)

表示第k个天线的坐标位置，β_l,q表示为：

其中，对于第q个干扰源，第l个接收站上的俯仰角及方位角分别表示为θ_l,q、欺骗式干扰源q的运动速度为v_q，其位置为p_q，则p_l处的观测站接收到的信号中的多普勒频移f_l,q表示为：

式(5)中，f_c为信号原始载波频率，c为光速，||·||表示取范数；

f_l,q、τ_l,q取决于接收站与欺骗式干扰源之间的相对运动速度和位置，d_l,q仅取决于两者之间的位置，三个未知量均与欺骗式干扰源位置p_q有关；

步骤2：在接收端已知扩频码片c_i,m,q、成型脉冲形状δ_q(t)、码片周期T_c,q、扩频因子I_q的前提下，通过最大似然估计方法构造关于估计的欺骗式干扰源位置的似然函数；关于未知参量的极大似然函数为：

即

对式(7)取对数可得：

最大化式(6)等价于最大化式(8)，忽略常数项，则关于干扰源位置的最大似然估计转化为如式(9)所示的优化问题：

故最大似然准则下，关于干扰源位置的代价函数为：

式(10)中，

式(10)～(12)中，表示对于变量x的估计值或假设值；式(10)～(12)中与第q个欺骗式干扰源位置/>有关的变量为/>和/>分别表示第l个接收站的第k个阵元上，第q个辐射源所产生的多普勒频移、传输时延、阵列响应的假设值，欺骗式干扰源位置与均无关：

将式(11)带入式(10)，得到关于似然函数的闭式表达式：

式(13)中，

式(14)表示对接收信号r_l,k(t)进行匹配滤波，当估计的多普勒频移、传输时延和阵列响应最接近真实的多普勒频移、传输时延和阵列响应时，匹配滤波的能量达到最大；接收端至少接收M个发射端的符号，y_l,q表示的能量，与τ_l,q无关，故令y_l,q＝1；当匹配滤波后的信号能量达到最大，并且/>时，式(13)的似然函数取得最大值，故写为：

步骤3：对于用不同码序列进行扩频的欺骗式干扰源，用不同的扩频码片c_i,m,q和扩频因子I_q对接收信号进行解扩，并求解似然函数；

将步骤2中的式(12)带入式(14)，得到x_l,k,q关于估计符号的表达式：

其中，

式(19)中，

对于第q个欺骗式干扰源，在第l个接收站的第k个天线阵元上，表示第m个符号的第i个码片的估计值，/>表示由/>与已知扩频码片的相关结果，均取决于由假设的欺骗式干扰源位置计算得到的/>为已知扩频码片，由于不同欺骗式干扰源所用扩频码序列可能不同，因此DS-DPD算法在定位时对不同干扰源分别处理，式(16)表示第q个干扰源定位的代价函数；如果多普勒频移值远小于信号带宽，并且经过匹配滤波后，码脉冲的能量集中至零频附近；式(19)近似表示为：

式(21)中，是接收信号经过接收端匹配滤波器后得到的；将式(17)带入式(16)，得到：

其中，

式(23)中的是一M维行矢量，记为/>表示由式(18)～式(20)估计出的第q个欺骗式干扰源的符号集合，/>表示根据第l个接收站上所有阵元的接收信号与第q个辐射源的扩频序列联合估计到的第m个符号，表示为：

由于y_l,q＝1，故有因此最大化式(22)相当于求解Q_q的最大特征值，表示为λ_max(Q_q)，式(18)表示为：

Q_q是一个M×M维的相关矩阵，令Q_q＝VV^H，则/>与Q_q有相同的非零特征值，式(25)写成：

若存在一估计位置使得上式(23)的似然函数取得最大值，此时/>即为DS-DPD算法的定位结果，其优化模型表示为：

式(26)中，是一个L×L的矩阵，其第r行，第c列元素记为：

当r≠c时，式(28)为各个接收站估计的符号间的互相关；从式(18)、式(21)中看出，这些估计到的符号是由估计的码片与真实码片解扩产生的，估计码片时补偿了传输时延、多普勒频移和阵列响应带来的影响；当假设的欺骗式干扰源位置为真实位置时，估计的时延、多普勒频移和阵列响应与真实的时延、多普勒频移和阵列响应最接近，这将导致接收信号与扩频码序列对齐，因而产生较大的相关性，故相关值最大时的坐标位置对应于估计到的欺骗式干扰源的最佳位置；

确定目标干扰源位置时可采用地理网格搜索法寻找满足式(27)的位置坐标在实际应用中，先用侦察设备确定目标干扰源大致位置范围，对该范围进行疏网格划分，对每个网格计算目标函数值，即式(26)中/>进行空间谱峰搜索找到目标函数最大时的网格位置，即目标干扰源所在网格，再对该网格进行细划分并计算目标函数值，多次细划分后，可得到精确的目标干扰源位置估计值。